苏教版（2019）必修第一册1.3 交集、并集 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
第1章
1.3
交集、并集
学习目标
1.理解两个集合的交集与并集的含义，明确数学中的“且”“或”的含义.
2.会求两个集合的交集与并集，并能利用交集与并集的性质解决相关问题.
3.能使用Venn图或数轴表示集合之间的运算，体会数形结合思想对理解抽象概念的作用.
4.掌握区间的表示方法.
核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算
新知学习
一、交集
1.交集的概念
（1）文字语言：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B（读作“A交B”）.
（2）符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.
（3）图形语言：可用Venn图表示.
【概念理解】（1）两个集合的交集仍是一个集合.
（2）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素.
（3）理解交集定义中“所有”两字的含义：
① A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素；② A与B的所有公共元素都属于A∩B；
③ 当集合A与B没有公共元素时，A∩B＝?.
（4）当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是集合A，B的交集为空集.
例如，A＝{0，1，2，3}，B＝{4，5，6}，则A∩B＝?.
2.A，B，A∩B之间的情形与关系
如图，图中的阴影部分表示A∩B.
① A与B有部分公共元素 ② A与B没有公共元素，A∩B＝? ③ B?A，则A∩B＝B
④ A?B，则A∩B＝A ⑤ A∩B＝A＝B
3.交集的运算性质
性质 说明
A∩B＝B∩A 满足交换律
A∩?＝? 空集与任何集合的交集都为空集
A∩A＝A 集合与集合本身的交集仍为集合本身
（A∩B）∩C＝A∩（B∩C） 多个集合的交集满足结合律
若A∩B＝A，则A?B 交集关系与子集关系的转化
（A∩B）?A，（A∩B）?B 两个集合的交集是其中任一集合的子集
【示例】（1）已知集合A＝{3，4，5，12，13}，B＝{2，3，5，8，13}，则A∩B＝　　 　　.
（2）设集合A＝{x|-1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝　 　　　.
【解析】 （1）作出Venn图，如图，
故A∩B＝{3，4，5，12，13}∩{2，3，5，8，13}＝ {3，5，13}.
（2）在数轴上表示出集合A与B，如图.
由图可得A∩B＝{x|0≤x≤2}.
{3，5，13}
{x|0≤x≤2}
【点拨】（1）求两集合的交集时，首先要化简集合，使集合的元素特征尽量明朗化，然后根据交集的定义写出结果.
（2）在求与不等式有关的集合的交集运算中，数轴分析法可使问题直观清晰，应重点考虑.
二、并集
1.并集的含义
（1） 文字语言：一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B（读作 “A并B”）.
（2）符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.
（3）图形语言：可用Venn图表示.
【特别提示】并集中的“x∈A，或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，且x?B；x∈B，且x?A；x∈A且x∈B.
【概念理解】（1）A∪B仍是一个集合.
（2）并集的元素由所有属于集合A或属于集合B的元素组成.如：A＝ {0，1}，B＝{2}，则A∪B＝{0，1，2}．
（3）集合A，B中的公共元素在并集中只出现一次.如：A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝{1，2，3，4，6}.
（4）并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，这与生活用语中的“或”是有区别的.生活用语中的“或”一般指或此或彼，必居其一，二者不可兼有，而并集中的“或”是可兼有的.
2.A，B，A∪B之间的情形与关系
如图所示，图中的阴影部分表示A∪B.
①A与B有部分公共元素 ②A与B没有公共元素 ③B?A，则A∪B＝A
④A?B，则A∪B＝B ⑤A∪B＝A＝B
【思考】 A∪B的元素个数等于A的元素个数与B的元素个数的和吗？
提示：不一定，用Venn图表示A∪B如图.
当A与B有相同的元素时，根据集合元素的互异性，重复的元素在并集中只能出现一次，
如图②③④中，A∪B的元素个数都小于A与B的元素个数的和.
3.并集的运算性质
性质 说明
A∪B＝B∪A 满足交换律
A∪?＝A 任何集合与空集的并集仍为集合本身
A∪A＝A 集合与集合本身的并集仍为集合本身
（A∪B）∪C＝A∪（B∪C） 多个集合的并集满足结合律
若A∪B＝B，则A?B 并集关系与子集关系的转化
A?（A∪B），B?（A∪B） 任何集合都是该集合与另一集合并集的子集
【示例】已知集合P＝{x|x<3}，集合Q＝{x|-1≤x≤4}，则P∪Q＝（　）
A.{x|-1≤x<3} B.{x|-1≤x≤4} C.{x|x≤4} D.{x|x≥-1}
【解析】在数轴上表示出集合P＝{x|x<3}，Q＝{x|-1≤x≤4}，如图，P∪Q＝{x|x≤4}.
C
三、区间及其表示
1.区间的概念及几何表示（设a，b∈R，且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 ［a，b］
{x|a{x|a≤x{x|a2.含“∞”的区间的几何表示
定义 符号 数轴表示
{x|x≥a} ［a，+∞）
{x|x>a} （a，+∞）
{x|x≤b} （-∞，b］
{x|x【说明】区间的“闭”与“开”的区别在于前者能取到，后者取不到但可以无限接近.
【示例】集合{x|-4≤x<3}用区间表示为　　 　　，该区间的长度是　　　　.
［-4，3）
【解析】左端包含-4，右端不含3，所以是前闭后开区间.
7　
【注意】（1）一般地，区间的左端点值小于右端点值.
（2）区间符号中的两个端点（字母或数字）之间只能用“，”隔开.
（3）左右端点值a，b都能取到的叫闭区间，左右端点值有一端能取到、另一端不能取到的叫半开半闭区间，左右端点值都不能取到的叫开区间.
（4）几何表示时，用实心点表示端点值能取到，用空心圈表示端点值取不到.
（5）对于区间［a，b］，（ a，b），［ a，b ），（ a，b］，称b-a为它们的区间长度.
【知识拓展】补集的运算性质
性 质 说 明
（綂UA）∪A＝U 任何集合与其补集的并集为全集
（綂UA）∩A＝? 任何集合与其补集的交集为空集
四、德·摩根定律
集合运算中的两个重要等式，即德·摩根定律.
（1）綂U（A∩B）＝（綂UA）∪（綂UB）
（简记为“交的补”＝“补的并”），如图；
（2） 綂U（A∪B）＝（綂UA）∩（綂UB）
（简记为“并的补”＝“补的交”），如图.
【示例】设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则（綂UA）∪（綂UB）＝（　）
A.{2，3} B.{1，4，5} C.{4，5} D.{1，5}
【解析】（方法1）∵ 綂UA＝{4，5}，綂UB＝{1，5}，∴ （綂UA）∪（綂UB）＝{1，4，5}.
（方法2）∵ A∩B＝{2，3}，∴ （綂UA）∪（綂UB）＝綂U（A∩B）＝{1，4，5}.
B
典例剖析
一、集合的交集运算
例 1（1）已知集合A＝{0，2，4，6}，B＝{2，4，8，16}，则A∩B等于（　）
A. {2}　　　 B. {4} C. {0，2，4，6，8，16}　 D. {2，4}
（2）设集合A＝［-1，2］，B＝［0，4］，则A∩B等于（　）
A.［0，2］　　 B.［1，2］　　 C.［0，4］　　　　　　　 D.［1，4］
【方法归纳】（1）对于元素个数有限的集合，可逐个挑出两个集合共有的元素，并注意集合元素的互异性.
（2）对于元素个数无限的集合，进行交集运算时，可考虑借助数轴.两个集合的交集等于两个集合在数轴上所表示部分的公共区域，注意端点值的取舍.
D
【解析】（1）观察集合A，B，可得集合A，B的全部公共元素是2，4，所以A∩B＝{2，4}.
（2）在数轴上表示出集合A与B，如图，则由交集的定义可得A∩B＝［0，2］.
A
二　集合的并集运算
例 2 （1）已知集合M＝{-1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∪N＝（　）
A. {-1，0，1}　　 B. {-1，0，1，2} C. {-1，0，2}　　　　 D. {0，1}
（2）已知集合M＝{x|-35}，则M∪N＝（　）
A. {x|x<-5或x>-3}　　　　 B. {x|-55}
【方法归纳】
1.对于元素个数有限的集合，可直接将两个集合的元素放在一起直接观察或借助于Venn图写出结果，但要注意集合中元素的互异性.
2.对于元素个数无限的集合，可考虑借助数轴求解.两个集合的并集对应的是两个集合在数轴上所表示部分的全部区域.
A
【解析】（1）集合M，N都是以列举法的形式给出的，根据并集的定义，可得M∪N＝{-1，0，1，2}.
（2）将集合M和N在数轴上表示出来，如图所示.可知M∪N＝{x|x<-5或x>-3}.
B
三、交集、 并集、补集的综合运算
例 3 设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|-1≤x≤5}，则（A∪B）∩C＝（　）
A. {2} B. {1，2，4} C. {1，2，4，6} D. {x∈R|-1≤x≤5}
B
【分析】 先算括号内的并集运算，再算交集运算.
【解析】A∪B＝{1，2，4，6}，又C＝{x∈R|-1≤x≤5}，所以（A∪B）∩C＝{1，2，4}.
例 4 已知全集U＝{x|-5≤x≤3}，A＝{x|-5≤x<-1}，B＝{x|-1≤x<1}，求綂UA，綂UB，（綂UA）∩（綂UB）.
【方法技巧】集合交、并、补运算的技巧
（1）明确运算顺序：进行集合的混合运算时，要先算括号内的，再按照从左到右的顺序运算.
（2） 当已知集合是有限集合时，可直接依据定义运算，也可借助Venn图简化运算；当已知集合是无限集合时，可借助数轴求解.
（3）不等式中的等号在补集中能否取到要引起重视，还要注意补集是全集的子集.
【解】将集合U，A，B分别表示在数轴上，如图所示，
则綂UA＝{x|-1≤x≤3}，綂UB＝{x|-5≤x<-1，或1≤x≤3}.
（方法1）（綂UA）∩（綂UB）＝{x|1≤x≤3}.
（方法2）因为A∪B＝{x|-5≤x<1}，所以（綂UA）∩（綂UB）＝綂U（A∪B）＝{x|1≤x≤3}.
四、集合运算中的参数问题
1.利用集合的运算结果求参数（或范围）
例 4 已知集合A＝{m，7}，B＝{7，m2}，若A∪B＝{-1，1，7}，则实数m＝　　　　.
【方法归纳】对于已知集合的运算结果求参数（或范围）的问题，一般是先观察得到不同集合中元素之间的关系，再列方程（组）或不等式（组）求解.
-1
【解析】 集合A＝{m，7}，B＝{7，m2}，
若A∪B＝{-1，1，7}，则当m＝1时，m2＝1，不合题意；当m＝-1时，m2＝1，符合题意.
综上知，m＝-1.
2.利用集合的运算性质求参数（或范围）
例 5 已知集合A＝{x|1≤x≤7}，B＝{x|m-1≤x≤2m+1}.
（1）若A∩B＝B，求实数m的取值范围.
（2）若A∪B＝B，求实数m的取值范围.

【方法归纳】
1.一般步骤：
（1）转化：将集合中的运算关系转化为两集合之间的关系，即①A∪B＝B?A?B，②A∩B＝B?B?A，③A∩B＝A∪B?A＝B.
（2）列不等式（组）：利用数轴表示出两个集合之间的关系，进而列出不等式（组）.
（3）解不等式（组）确定出参数的取值范围.
2.求参问题四注意：
（1）注意两个转化：①A∩B＝A?A?B；②A∪B＝A?B?A.
（2）注意空集的特殊性：若B?A（A≠?），则应分成B＝?和B≠?两类情况进行讨论.
五、集合中的实际应用问题
例 6 向50名学生调查对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
【方法总结】与集合运算相关的实际应用问题主要是涉及集合中元素个数的问题.其一般思路如下：
（1）对实际问题进行分析、抽象，建立集合模型，转化为集合问题；
（2）运用集合知识进行求解；
（3）将数学问题的解翻译成实际问题的解并进行检验.

1. 已知集合P＝{x|x<3}，Q＝{x|-1≤x≤4}，那么P∪Q＝（　）
A. {x|-1≤x<3} B. {x|-1≤x≤4} C. {x|x≤4} D. {x|x≥-1}
2. 设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|-1≤x≤5}，则（A∪B）∩C＝（　）
A. {2} B. {1，2，4} C. {1，2，4，6} D. {x∈R|-1≤x≤5}
3. 已知集合A＝{-1，0，m}，B＝{1，2}.若A∪B＝{-1，0，1，2}，则实数m的值为（　）
A. -1或0 B. 0或1 C. -1或2 D. 1或2
4. ［多选题］已知集合P＝{2，3，4，5，6}，Q＝{3，5，7}.若M＝P∩Q，则下列结论正确的有（　 ）
A.集合M中有2个元素 B.集合M的真子集个数为3
C.集合M的子集个数为3 D. 集合M的子集个数为4
ABD
随堂小测
C
B
D
5. ［多选题］已知M＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，N＝{x|x＝k+2，k∈Z}，则（　）
A. M＝N B. M∪N＝N C. N?M D. M∩N＝M
6. 已知U＝R，A＝{x|6+x-x2≥0}，B＝{x|x≤-1}，则图中阴影部分表示的集合为（　）
A. {x|-17. 已知集合A＝{x|x<1或x>5}，B＝{x|a≤x≤b}，且A∪B＝R，A∩B＝{x|5BD
A
-4
8. 设全集U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2（1）分别求A∩B，A∪（綂UB）；
（2）若B∪C＝B，求实数a的取值范围.
解：（1）由题意知，A∩B＝{x|1≤x≤3}∩{x|2所以A∪（綂UB）＝{x|1≤x≤3}∪{x|x≤2或x≥4}＝ {x|x≤3或x≥4}.
（2）由B∪C＝B，可知C?B，画出数轴（图略），易知2故实数a的取值范围是（2，3）.
9. 从①A∪B＝B；②A∩B＝?；③A∩B＝B这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中.若问题中的实数a存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由.
问题：已知集合A＝{x|a
谢 谢！