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算法与程序框图1.1.1
算
法
的
概
念课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第一章
算法初步考点一考点二考点三N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测读教材·填要点小问题·大思维[读教材·填要点]
1．算法的概念
算法可以理解为由基本运算及规定的 所构成的完整的 ，或者看成按照要求设计好的 确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决这一类问题．
2．描述算法的方式
(1)可以用 和 加以叙述；
(2)可以借助 (算法语言)给出精确的说明；
(3)可以用 直观地显示算法的全貌．运算顺序解题步骤有限的自然语言数学语言形式语言框图 3．算法的要求
(1)写出的算法，必须能 ，并且能
．?
(2)算法过程要能一步一步执行，每一步执行的操作，必须 ，不能含混不清，而且经过 步后能得出结果．解决一类问题重复使用确切有限[小问题·大思维]
1．一个具体问题的算法唯一吗？
提示：不一定唯一．如二元一次方程组的解法就有消元法、代入法等．由于传统数学解法不唯一．故使得解某一个问题的算法不一定只有一个．2．算法与具体问题解法一样吗？
提示：算法同一般意义上具体问题的解法既有联系．又有区别．它们之间有一般与特殊的关系，也是抽象与具体的关系．算法不仅适用于一般意义上具体问题的求解方法，而且任何一个具体问题都可以利用这类问题的一般算法来解决． [自主解答] 算法是解决问题的精确的描述，但是并不是所有问题都有算法，有些问题使用形式化、程序化的刻画是最恰当的．
[答案] D[悟一法]
(1)算法一般是机械的，有时要进行大量重复的计算．只要按部就班地去做，总能算出结果．
(2)实际上，处理任何问题都需要算法，比如，中国象棋有中国象棋的棋谱，国际象棋有国际象棋的棋谱．
(3)算法指在有限步骤内求解某一问题所使用的一组定义明确的规则．[通一类]
1．下列关于算法的说法中，正确的是 ( )
①求解一类问题的算法是唯一的；
②算法必须在有限步操作之后停止；
③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义；
④算法执行后一定产生确定的结果．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个解析：根据算法的定义，它实际上是解决问题的一种程序性方法，通常指向一类问题，具有可终止性，明确性和确定性，所以②③④正确，一般说解决某类问题的算法不唯一，故①错．
答案：C[研一题]
[例2] 写出求1＋2＋3＋4＋5＋6的值的一个算法．
[自主解答] 算法1：
S1 计算1＋2得3；
S2 将S1中的运算结果3与3相加得到6；
S3 将S2中的运算结果6与4相加得到10；
S4 将S3中的运算结果10与5相加得到15；
S5 将S4中的运算结果15与6相加得到21.[悟一法]
(1)算法1是最原始的办法，比较烦琐，步骤较多．当加数较大时，比如1＋2＋3＋…＋10 000，再利用这种方法计算会很慢；算法2是比较简单的算法，它体现了算法的本质“对一类问题机械的统一的求解方法”，且易于在计算机上执行操作．
(2)对于数值型计算问题的算法，可以借助数学公式采用数学计算的方法，将过程分解成清晰的步骤，使之条理化即可，但应注意多个数进行四则运算时应分步计算，依次进行，直到算出结果．2．[例题多维思考] 本例中，将“和式”改为“积式”，写
出一个算法．
解：S1 计算1×2得到2.
S2 将S1的运算结果2乘3，得到6.
S3 将S2的运算结果6乘4，得到24.
S4 将S3的运算结果24乘5，得到120.
S5 将S4的运算结果120乘6，得到720. [例3] 请设计一个算法，找出a，b，c，d四个互不相同的数中的最小数．
[自主解答] 算法如下：
S1 定义最后求得的最小者为m，令m＝a.
S2 如果b
m，则m的值不变．
S3 如果cm，则m的值不变．
S4 如果dm，则m的值不变．
S5 输出m，则m就是a，b，c，d这四个互不相同的数 中的最小数．[悟一法]
1．非数值性计算问题主要指顺序、查找最大(小)值、变量的交换、文字处理等问题．
2．求解此类问题需先建立过程模型，通过过程模型进行算法的设计与描述，在写算法时应简练、清晰地表达，要善于分析任何可能的情况，体现出思维的严密性和完整性． 3．任给有限个数，求其中的最大数，最小数的算法，在数不是很多的情况下，可以采用逐一比较的办法．解这类问题，应先找出解题的数学方法，然后按部就班地做，每一步都有唯一结果，有限步之后总能得出结论．[通一类]
3．一位喜欢收藏钱币的人，购得了9枚银元，其中有1枚略
轻的是假银元．你能用天平(无砝码)帮他将假银元找出来吗？写出解决这一问题的一种算法．
解：算法1：
S1 任取2枚银元分别放在天平两边，如果天平不平衡，则轻的是假银元，结束；如果天平平衡，那么执行S2；
S2 取下右边的银元放在一边，然后把剩下的7枚银元依次放在右边进行称量，直到天平不平衡，偏轻的那一枚就是假银元．算法2：
S1 把9枚银元分成3组，每组3枚；
S2 先将其中的两组放在天平的两边，如果天平不平衡，那么假银元在较轻的那一组；如果天平平衡，那么假银元在未称量的那一组；
S3 从含假银元的那一组中，任取2枚银元放在天平的两边，如果天平不平衡，那么较轻的是假银元；如果天平平衡，那么没称的那一枚是假银元.点击此图片进入NO.1 课堂强化点击此图片进入NO.2 课下检测课件34张PPT。1.1
算法与程序框图1.1.2
程
序
框
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算法初步考点一考点二考点三N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测读教材·填要点小问题·大思维[读教材·填要点]
1．程序框图的概念
(1)定义：用一些 构成一张图来表示算法，这种图称做程序框图(简称框图)．
(2)常见图形符号及其表示的意义开始结束数据结果通用图形符号赋值执行计算语句结果的传送给定条件方向另一页另一部分理解框图 2．画程序框图的规则
(1)使用 的框图的符号．
(2)框图一般按 、 的方向画．
(3)除判断框外，大多数框图符号只有一个 点和一个 点．判断框是具有超过一个 点的唯一符号．
(4)一种判断框是 的判断，有且仅有两个可能结果；另一种是 判断，可能有几种不同的结果．
(5)在图形符号内描述的语言要非常 ．标准从上到下从左到右进入退出退出二择一形式简练清楚多分支[小问题·大思维]
1．一个程序框图常包括几部分？
提示：(1)表示相应操作的程序框；
(2)带箭头的流程线；
(3)框内外必要的文字说明．
2．判断框有两个退出点，是否表示在这里要同时执行？
提示：不是．判断框的退出点在任何情况下都是根据条件去执行其中的一个，而另一个不会被执行，故判断框后的指向线应根据情况标注“是”或“否”．3．把用自然语言设计的算法改为用程序框图表示．
S1 取一只空的墨水瓶，设其为白色；
S2 将黑墨水瓶中的蓝墨水装入白瓶中；
S3 将蓝墨水瓶中的黑墨水装入黑瓶中；
S4 将白瓶中的蓝墨水装入蓝墨水瓶中；
S5 交换结束．提示： [例1] 下列关于程序框图的说法正确的有 ( )
①程序框图只有一个入口，也只有一个出口；
②程序框图中的每一部分都应有一条从入口到出口的路径通过它；
③程序框图中的循环可以是无尽循环；
④连接点是用来连接两个程序框图的．
A．①②③ B．②③
C．① D．①② [自主解答] 由框图符号及作用的说明可知③④错误，程序框图中的循环必须是有限循环；连接点是连接同一个程序框图的不同部分，只有①②正确，故选择D.
[答案] D[悟一法]
利用程序框图能够清楚地展现算法的逻辑结构，具有直观、形象、容易理解的特点，深刻理解程序框图的符号、作用及画程序框图的规则是正确理解和使用程序框图的关键．[通一类]
1．下列关于程序框图的理解中正确的有 ( )
①用程序框图表示算法直观、形象，容易理解；
②程序框图能够清楚地展现算法的逻辑结构，也就是通常所说的“一图胜万言”；
③输入和输出框可用在算法中任何需要输入、输出的位置．
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个解析：程序框图较自然语言描述的算法更直观、形象，容易理解，故①②正确；输入、输出框可用在任何需要输入、输出的位置，故③正确．
答案：C[研一题]
[例2] 已知f(x)＝x2－2x－3，求f(3)、f(－5)，并计算f(3)＋f(－5)的值，设计出解决该问题的一个算法，并画出程序框图． [自主解答] 算法如下： 程序框图如下．[悟一法]
画程序框图，必须遵守一些共同的规则，不能随意乱画，用框图表示算法的一般思路是:
(1)用自然语言(数学语言)描述算法、明确解决问题的步骤及各步之间的关系．
(2)结合图形符号的意义画出相应的程序框图．解：[通一类]
2．写出计算1＋3＋5＋7的值的一个算法，并画出程
序框图．
解：算法如下：
S1 计算1＋3，得结果4；
S2 计算4＋5，得结果9；
S3 计算9＋7，得结果16；
S4 输出运算结果．程序框图如图所示．[例3] 如图所示的程序框图表示的含义是什么？[悟一法]
根据框图确定算法，是根据算法画程序框图的逆过程．解决此类问题时，关键是要对框图的每一步了如指掌，再依据,框图的顺序依次写出自然语言描述的算法，从而写出框图的功能．这类问题综合考查分析、判断和逻辑推理能力．[通一类]
4．观察下面程序框图，指出该框图的功能是什么？ 著名数学家高斯8岁时就很迅速的计算出1＋2＋3＋…＋100的事实至今被人们所熟知，请写出1＋2＋3＋…＋100的算法，并画出该程序框图．
[巧思] 若是从1依次加上2,3,4，…会浪费掉很长的时间，但要按照高斯的思想设计算法，却能轻易获取，即1＋2＋3＋…＋100＝50×101＝5050. [妙解] 算法如下：
S1 计算a＝1＋100；
S2 计算S＝50×a；
S3 输出S
程序框图如下 点击此图片进入NO.1 课堂强化点击此图片进入NO.2 课下检测课件34张PPT。1.1
算法与程序框图1.1.3
算法的三种基本逻辑结构和框图表示课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第一章
算法初步考点一考点二考点三N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测读教材·填要点小问题·大思维第一课时
顺序结构与条件分支结构第一课时 顺序结构与条件分支结构[读教材·填要点]
顺序结构和条件分支结构语句与语句框与框从上到下不同指令[小问题·大思维]
1．任何一种算法都一定有顺序结构和条件分支结构吗？
提示：不一定．任何一种算法一定有顺序结构，但并不是任何一种算法都一定有条件分支结构．因为顺序结构是最简单、最基本的算法结构．任何一个算法都离不开它，但如果算法中没有条件需要判断，那么它就没有条件分支结构．2．条件分支结构与顺序结构有什么不同？
提示：条件分支结构与顺序结构的不同之处是：它不是依次执行操作指令进行运算，而是依据条件作出逻辑判断，选择执行不同指令中的一个．一般地，这里的判断主要是判断“是”或“否”，即是否符合条件的要求．该算法的程序框图：[悟一法]
顺序结构是最简单的算法结构，语句与语
句之间、框与框之间是按照从上而下的顺序进
行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成
的，如图所示，其中A和B两个框是顺序执行,的，即在执行完A框所指定的操作后，必然接着执行B框所指定的操作．[通一类]
1．已知圆的半径，设计一个算法求圆的周长和面积的近
似值，并用程序框图表示．
解：算法设计：S1输入圆的半径R.
S2 计算L＝2πR.
S3 计算S＝πR2.
S4 输出L和S.程序框图： [例2] 某居民区的物业管理部门每月向居民收取卫生费．计费方法是：3人和3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元．设计一个算法，根据输入的人数，计算应收取的卫生费，画出程序框图．
[自主解答] 算法过程如下：
S1 输入x.
S2 若x≤3，则y＝5；否则(x＞3)，y＝5＋1.2(x－3)．
S3 输出y.程序框图如图所示．[悟一法]
(1)处理条件分支结构问题时，首先对问题的条件作出判断，然后根据条件是否成立选择不同流向的算法结构，从而正确地画出框图.
(2)求分段函数的函数值的程序框图画法不唯一，判断框内的内容可以改变，但相应处理框的内容也要发生改变．
(3)如果是分两段的分段函数，只需引入一个判断框；如果分三段，则要两个判断框，依次类推．
(4)使用条件分支结构画框图时要明确两点：一是判断的条件是什么？二是判断后的条件分别对应着什么结果．[例题多维思考] 在本题中，把“3人及3人以下的住户，每户收取5元”改为“3人时，每户5元，少于3人时，每户4元”其他条件不变，计算应收取的卫生费，画出程序框图．
解：算法过程如下：
S1 输入x.
S2 若x>3，则y＝5＋1.2(x－3)；否则执行下步．
S3 若x＝3，则y＝5；否则，y＝4.
S4 输出y.程序框图如图所示．
解：程序框图如图所示．[例3] (2011·陕西高考)如右框图，当x1＝6，
x2＝9，p＝8.5时，x3等于 ( )
A．7 B．8
C．10 D．11答案：B
[悟一法]
解决程序框图的应用问题，读懂程序框图是关键．将程序框图按流程顺序“翻译”成数学问题，实现框图的纯数学化，最后利用相关数学知识解决．[通一类]
3．已知函数y＝|x－3|(x≠3)，程序框图如图表示的是给定x
的值，求其对应函数值的算法．请将该程序框图补充完整，其中①处应填______________，②处应填______．答案：x<3 y＝x－3
[解] 法一：法二： 法三： [点评] 关于分段函数求函数值问题，画程序框图时，需用到条件分支结构．以上几种方法大致相同，在引入两个判断框时，判断框内的内容是没有顺序的．?
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算法与程序框图1.1.3
算法的三种基本逻辑结构和框图表示课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第一章
算法初步考点一考点二考点三N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测读教材·填要点小问题·大思维第二课时
循环结构第二课时 循 环 结 构[读教材·填要点]
循环过程和循环结一系列的计算步骤完全相同重复执行[小问题·大思维]
条件分支结构与循环结构有什么区别和联系？
提示：条件分支结构根据条件是否成立决定不同的流向，循环结构是根据条件决定是否重复执行一条或多条指令．循环结构不能是永无终止的“死循环”，一定要在某个条件下终止循环，这就需要条件分支结构来判断．因此，循环结构一定包含条件分支结构． [例1] 设计程序框图，计算1×2×3×4×…×n的值．
[自主解答] 第一步，设mul＝1，i＝2.
第二步，如果i≤n成立，则执行第三步；否则，输出mul，结束算法．
第三步，mul＝mul×i.
第四步，i＝i＋1，返回第二步．
根据自然语言描述，程序框图为图1. 此题的程序框图称为当型循环，我们也可以用直到型来表示，框图为图2.[悟一法]
1．循环结构是指在算法中从某处开始，按照一定条件，反复执行某些步骤的结构．在科学计算中，有许多有规律的重复计算，如累加求和、累乘求积的问题．这些算法中往往就包含循环结构，循环结构非常适合计算机处理，因此很多算法都用循环结构进行设计． 2．循环结构在程序框图中也是利用判断框来表示，判断框内写上条件，两个出口分别对应着条件成立和条件不成立时执行的不同操作，其中一个要指向循环体，然后再从循环体回到判断框的入口处．
3．在循环结构中，要注意根据条件设计合理的计数变量：累加(乘)变量及个数等，特别要求条件的表述要恰当、精确．[通一类]
1．[例题多维思考] 本例中，把“积”改为“和”，请设计
程序框图．
解：由于需要重复作加法计算，因此要设计成循环结构．法一： 法二：A．i>100 B．i≤100
C．i>50 D．i≤50答案：B
[例2] 求1＋2＋3＋…＋n>20 000的最小正整数n的算法，并画出相应的程序框图．
[自主解答] 法一：算法为：S1 令n＝0，S＝0.
S2 n＝n＋1.
S3 S＝S＋n.
S4 如果S>20000，则输出n，否则，执行S2.该算法的程序框图如图所示：法二：算法为：S1 令n＝0，S＝0.
S2 若S≤20000成立，则执行S3，S4；
否则，输出n，结束算法．
S3 n＝n＋1.
?S4 S＝S＋n，返回S2.
程序框图如图所示：[悟一法]
循环结构既能求循环算式，又可以求满足条件的变量，求满足条件的变量时，判断框内不再是计数变量满足的条件，而应是和式或积式满足的条件．
两种方法形式上有本质的区别，尤其判断框内的内容输出怎样的n是解决问题的关键．3．(2011·北京高考)执行如图所示的程序
框图，若输入A的值为2，则输出的P
值为 ( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案：C
[例3] 某高中男子体育小组的50 m赛跑成绩(单位：s)为6.4，6.5,7.0,6.8,7.1,7.3,6.9,7.4,7.5,7.6,6.3,6.4,6.4,6.5,6.7,7.1,6.9,6.4,7.1,7.0.设计一个算法，从这些成绩中搜索出小于6.8 (s)的成绩，并画出框图． [自主解答] 体育小组共20人，要解决该问题必须对运动员进行编号，设第i个运动员编号为Ni，成绩为Gi.
可以设计下面的算法．
S1 i＝1；
S2 输入Ni，Gi；
S3 如果Gi<6.8，则输出Ni、Gi，并执行S4，否则， 也执行S4；
S4 i＝i＋1；
S5 如果i≤20，则返回S2，否则结束．算法框图如图所示．[悟一法]
循环结构不能是永无终止的“死循环”，一定要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来作出判断．解决这类问题时，关键要读懂题意，构建模型．并一一作出判断，根据什么条件终止循环．[通一类]
4．设计程序框图，表示用“二分法”求方程x2－2＝0(x>0)的
近似解的算法．
解：程序框图如下．画出计算1×3×5×7×…×99的值的程序框图．
[解] 程序框图一： 程序框图二：程序框图三： 程序框图四：程序框图五： 程序框图六： [点评] 本题的几种算法中，大致可分两类：一种是“当型”循环，一种是“直到型”循环.1×3×5×7×…×99的过程中，一共循环50次，所以也可以设计以循环次数终止循环的程序框图．从算法上看，改变了初始值或计数变量的意义，某些相应的框中内容也要做相应改变．本题的初始值也可以是“i＝99”，这样“p＝p×i，i＝i－2”，还可设计出更多程序框图．点击此图片进入NO.1 课堂强化点击此图片进入NO.2 课下检测课件30张PPT。1.2
基本算法语句 1.2.1
赋值、
输入和输出语句课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第一章
算法初步考点一考点二考点三N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测读教材·填要点小问题·大思维[读教材·填要点]
1．赋值语句赋值语句变量名＝表达式赋值号右边左边变量名字表达式右边的表达式的值左边的变量代数式(符号)一个变量两个或多个2．输入和输出语句程序初始数据单个或多个字符input(提示内容)在屏幕上输出[小问题·大思维]
1．赋值语句中的赋值号与数学运算中的等号有什么区别？
提示：两者的区别是：
(1)数学运算中的等号表示的意义是等号两端是对称的，地位是相同的；而赋值语句中的赋值号两端是地位不同的，具有方向性的，其意义是将右边表达式的确定值赋给左边变量．
(2)数学运算中的等号可以进行代数式(或符号)的演算，而赋值号却不能．2．语句“a＝input(“提示内容”，“string”)”表达什么含义？
提示：a是指程序在运行时专门存放的数据，“提示内容”提示用户输入什么样的信息；“input”可输入单个或多个字符．“string”，它代表输入的是字符型变量．
3．语句“print(%io(2)，表达式)”表达什么含义？
提示：参数%io(2)表示在屏幕上输出，其中io表示input－out－put；表达式表示输出的内容，它可以是数、字母、常量、变量、表达式或字符(如print(%io(2)，“no solution”))． [例1] “x＝3*5”，“x＝x＋1”是某一程序中先后相邻的两个语句，那么下列说法正确的是 ( )
①x＝x＋1语句执行时，“＝”左边的x的值是15；
②x＝3*5是将表达式3*5的值赋给x；
③x＝3*5可以写为3*5＝x；
④x＝x＋1语句在执行时，“右边的x的值是15，执行后
左边x的值是16． A．①③ B．②④
C．①④ D．②③
[自主解答] 赋值语句左边是变量，右边是表达式，它是将右边的表达式的值赋给左边的变量，左右两边不能交换，故③错误，②正确，在①④中，x＝x＋1表示首先执行右边，即将x的值加上1之后仍存放在变量x中，故①错误，④正确．[答案] B
[悟一法]
在赋值语句中可以对一个变量多次赋值，赋值号左边的变量如果原来没有值，则执行赋值语句后，获得一个值；如果已有值，则执行该语句，以赋值号右边表达式的值代替该变量的原值，即将原值“冲掉”，如N＝N＋1，此式的意思是将N的原值加1再赋给N，此时左边N的值就是原来N的值加1.[通一类]
1．求下面程序运算的结果解：x1＝0，x2＝x1＋1＝1，x3＝x2＋2＝1＋2＝3，x4＝x3＋3＝3＋3＝6，∴程序运算的结果是6.[例2] 下列程序语言中表达式的值正确的是 ( )
A．6*2+3＾2*2=154?
B．3*（5+4）+3＾2=17?
C．（5+3*5）/4=5?
D．（2+3）*5-4+2*3*2＾2=72[自主解答] A中，6×2＋32×2＝12＋18＝30；
B中，3×9＋32＝36；
C中（5+3*5）÷4=（5+15）÷4=5.
D中，5×5-4+2×3×4=45.[答案] C
[悟一法]
写出了算法，不等于实现了算法，用自然语言或程序框图描述的算法，计算机是无法“理解”的，必须转化为能“理解”的程序设计语言．
以下是几种常见的算术运算符(运用在程序语句的设计中)2．(1)b2－4ac用程序语言表示为________．
(2) 2*3+5＾ 2*2-1的结果为________ ．
解析： (1)b＾2-4*a*c；?
(2)2×3+52×2-1=55.?
答案： (1)b＾2-4*a*c（2）55 [例3] 编写一个程序，交换两个变量a和b的值，并输出交换后的值． [自主解答] 算法如下： 程序语句如下：[悟一法]
利用赋值、输入、输出语句编写程序的步骤如下：
①写出解决问题的算法；②理解三种语句；③用标准的语句语言描述出来．[通一类]
3．已知一个正方形和一个圆的周长均为l，要求输入l的值，
输出正方形和圆的面积(π取3.14)，请画出程序框图，并写出程序．解：程序框图如图： 程序如下：
写出下列程序的输出结果． [错解] 因为a＝10，且“a＝b”，所以b＝10；
因为b＝20，且“b＝c”，所以c＝20；
因为c＝30，且“c＝a”，所以a＝30；
所以a＝30，b＝10，c＝20.
[错因] 赋值语句的作用是先计算出赋值号右边表达式的值，然后把该值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等于表达式的值．[正解] 因为b＝20，且“a＝ b”，所以a ＝20；
因为c＝30，且“b ＝c”，所以b＝30；
又因为“c ＝ a”，所以c ＝20；
所以a ＝20， b ＝30， c ＝20.点击此图片进入NO.1 课堂强化点击此图片进入NO.2 课下检测课件35张PPT。1.2
基本算法语句 1.2.2
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算法初步考点一考点二考点三N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测读教材·填要点小问题·大思维[读教材·填要点]
1．条件语句的概念
处理 的算法语句，叫做条件语句．
2．Scilab语言中的条件语句的格式及功能条件分支逻辑结构表达式后面的语句序列1else后面的语句序列2真跳过语句序列1[小问题·大思维]
条件语句对应程序框图中的哪种基本逻辑结构？
提示：条件分支结构． [例1] 编写程序，对输入的x的值，若为非负数，则直接输出，否则输出其相反数．
[自主解答] 程序如下：[悟一法]
解决该类问题，一般要先作出算法分析，通过框图，理清条件成立时执行的语句，再用语句描述．用语句表示时，要用准确的语言符号，连同标准符号也要标准．[通一类]
[例题多维思考]阅读下列程序，说出它们的功能是什么？[通一类]
1．画出程序框图，编写程序，输入任意两个实数，输出
其差的绝对值．解：程序框图如图所示．程序如下：
[自主解答] 框图如图所示．用语句描述为：[悟一法]
在某些较为复杂的算法中，有时需要按条件要求执行的某一语句(特别是else后的语句序列2)继续按照另一条件进行判断，这时可以再利用一个条件语句完成这一要求，这就形成了条件语句的嵌套，其一般格式是：这种嵌套格式的算法对应程序框图如下图所示．2．设计一个程序，输入一个学生的成绩S，根据该成
绩的不同值作以下输出：若0≤S＜90，则输出“不及格”；若90≤S＜120，则输出“及格”；若S≥120，则输出“优秀”．解： [例3] 某班的一次数学考试，成绩满分为100分．现对该班的成绩进行分析评价：成绩超过80分的为A，低于60分的为C，其他的为B.
请设计算法，当输入的数学成绩为x时，输出相应的评价结果．(写出算法，画出程序框图)． [自主解答] 对成绩的分析评价需分三种情况讨论，因此可引用条件结构的叠加画程序框图．
第一步，输入学生的数学成绩．
第二步，判断该同学的数学成绩是否大于80，若满足，输出A.
第三步，判断该同学的数学成绩是否小于60，若满足，输出C.
第四步，判断该同学的数学成绩是否大于等于60，同时小于等于80，若满足，输出B.程序框图如图所示：程序语句如下：[悟一法]
1．编写程序解决实际问题时，通常先建立数学模型，再根据所得数学模型确定算法分析和算法框图，最后再将算法框图转化为程序语句．需要分类讨论的问题，通常用条件语句来解决． 2．编程的一般步骤:
(1)算法分析：根据提供的问题，利用数学及相关学科知识，设计解决问题的算法；
(2)画程序框图：依据算法分析，画出程序框图；
(3)写出程序：根据程序框图中的算法步骤，逐步把算法用相应的程序语句表达出来．[通一类]
3．铁路运输托运行李，从甲地到乙地，规定托运费计算方
法是：行李质量不超过50 kg时按0.25元/kg收费；超过50 kg而不超过100 kg时，其超过部分按0.35元/kg收费；超过100 kg时，其超过部分按0.45元/kg收费．编写程序，输入行李质量m(kg)，计算并输出托运的费用y(元)．解：Scilab语言写出如下程序： 某次考试规定：共考三门课，凡考试符合下列条件之一的，发给优秀证书．
(1)三门成绩之和大于280分的；
(2)其中两门成绩大于95分，另一门大于80分的．
试编写一个程序．
[巧思] 本题考查多个条件语句的嵌套使用，第一种情况容易实现，第二种情况又可以分为三种情况，要一一分清．采用条件语句的嵌套． [妙解] 程序如下：点击此图片进入NO.1 课堂强化点击此图片进入NO.2 课下检测课件30张PPT。1.2
基本算法语句 1.2.3
循
环
语
句课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第一章
算法初步考点一考点二考点三N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测读教材·填要点小问题·大思维[读教材·填要点]
1．循环语句的概念
用来处理 的语句．
2．在Scilab语言中，for循环和while循环的格式算法中的循环结构初值步长终值表达式循环次数循环重复运算重复的执行[小问题·大思维]
1．在“for语句”中，步长代表什么？它可以为零吗？
提示：步长是指循环变量每次增加的值，步长可以为正，也可以为负，但是不能是0，否则会陷入“死循环”．步长为正数时，要求终值大于初值，如果终值小于初值，则循环将不能执行；步长为负数时，要求终值必须小于初值．虽然两个程序的初值和终值相同，但如果步长不相同，循环次数也就不相同．若步长为1，则可以省略不写，但为其他值时，必须写，不能省略．2．for语句和while语句有什么区别和联系？
提示：(1)for语句适用于预先知道循环次数的循环结构，而while循环结构首先要对表达式进行判断．
(2)在for循环语句中，循环变量的值与终值比较，结果为真时执行循环体，结果为假时，停止循环，而while语句是先判断条件再执行循环体．
(3)在两种语句中，都含“end”，它的作用都是控制结束一次循环，开始一次新的循环． [例1] 已知程序框图如图所示．试分析算法的功能，写出其程序． [自主解答] 此算法的功能是求方程x(x＋2)＝48的正整数解．
其程序如下：[悟一法]
for语句只有当循环次数明确时，才能使用本语句，“初值，步长，终值”之间用冒号间隔，不可以用分号或逗号间隔，否则程序不会运转．使用for语句编写程序时要注意设定好循环变量的初值、步长和终值，避免出现多一次循环或少一次循环的情况．[通一类] [例2] 1×3×5×7×…×i>2 007，问如何寻找满足条件的最小整数？
[自主解答] 利用如下程序求解．[悟一法]
计算机遇到while语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，则执行while后面的循环体，然后再检查上述条件，如果条件符合，再次执行循环体，这个过程反复执,行，直到某一次条件不符合为止，这时不再执行循环体，将跳过循环体部分，结束循环．2．写出求满足1＋2＋3＋…＋n>2 011的最小自然数n的
程序．解：程序为： [例3] 写出求12－22＋32－42＋…＋992－1002的值的程序．
[自主解答] 法一：程序如下： 法二：因为n2－(n＋1)2＝－(2n＋1)(n＝1,3,5，…，99)，
所以12－22＋32－42＋…＋992－1002
＝－(3＋7＋11＋…＋199)．
for语句程序如下：while语句程序如下：法三：∵992－1002＝(99＋100)(99－100)
＝－(99＋100)．
∴类似地，12－22＝－(1＋2)，32－42＝－(3＋4)，…
∴12－22＋32－42＋…＋992－1002
＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100)
for语句程序如下：while语句程序如下：[悟一法]
(1)for语句和while语句的区别可总结为：for语句“先执行，后判断”，while语句“先判断，后执行”．
(2)理解for循环的关系是理解计算机如何执行循环体，例如“S＝S＋1”这个执行过程实际上是每次循环直至结束．而while循环则是在每次执行循环体之前，都要判断表达式是否为真．这样重复执行，一直到表达式为假时，就跳过循环体部分，结束循环．
(3)在Scilab界面内可直接输入程序，for(while)循环语句可以写在同一行，但在循环条件后面要用“，”号分开，也可以分行写，但要记住加end.3．编写程序，求100！的值(100！＝
100×99×98×…×2×1)．解：程序如下：
for循环语句 while循环语句： 某商场第一年销售计算机5 000台，如果平均每年销售量比上一年增加10%，那么从第一年起，大约几年可使总销售量达到30 000台？画出程序框图并写出程序．
[巧思] 根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同，均为10%，所以每年的销售量是在上一年的基础上乘以1＋10%，即1.1倍．故可以考虑使用循环结构、循环语句解决．在问题“大约几年可使总销售量达到30 000台”中，可以使用while语句．[妙解] 程序框图如图所示：程序如下：?
点击此图片进入NO.1 课堂强化点击此图片进入NO.2 课下检测课件26张PPT。1.3
中国古代数学中的算法案例课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第一章
算法初步考点一考点二N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测读教材·填要点小问题·大思维[读教材·填要点]
1．求两个正整数最大公约数的算法
(1)更相减损之术(等值算法) :
用两数中较大的数减去较小的数，再用 和 构成新的一对数，再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生 ，这个数就是最大公约数．差数较小数一对相等的数(2)用“等值算法”求最大公约数的程序:while a＝a－bb＝b－a 2．割圆术
用圆内接正多边形面积逐渐逼近 的算法，是计算圆周率的一种方法．
3．秦九韶算法
(1)把一元n次多项式P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写为:
P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0
＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0
＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0
＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，
令vk＝(…(anx＋an－1)x＋…＋an－(k－1))x＋an－k，圆的面积最内层的括号由内向外最外层括号常数项v0＝an vk＝vk－1x＋an－k [小问题·大思维]
1．任意两个正整数总能用辗转相除法求它们的最大公约
数吗？
提示：由除法的性质可以知道，对于任意两个正整数，辗转相除法的步骤总可以在有限步之后完成，从而总可以用辗转相除法求出两个正整数的最大公约数．2．用辗转相除法求a，b的最大公约数的算法步骤是什么？
提示：S1 输入正整数a，b(a>b)．
S2 用r表示a÷b的余数；
S3 若r≠0，则将b的值赋给a，将r的值赋给b，转S2.
S4 输出最大公约数b.
3．辗转相除法和更相减损之术的理论依据分别是什么？
提示：辗转相除法的理论依据是：由m＝nq＋r可以看出，m，n和n，r有相同的公约数．更相减损之术的理论依据为：由m－n＝r，得m＝n＋r，可以看出，m，n与n，r有相同的公约数，即二者的“算理”相似．4．秦九韶算法的特点是什么？ [例1] 分别用辗转相除法和更相减损之术求261和319的最大公约数．
[自主解答] 法一：辗转相除法：
319÷261＝1(余58)，
261÷58＝4(余29)，
58÷29＝2(余0)，
所以319与261的最大公约数是29.法二：更相减损之术：
319－261＝58，
261－58＝203，
203－58＝145，
145－58＝87，
87－58＝29，
58－29＝29，
所以319与261的最大公约数是29.[悟一法]
辗转相除法与更相减损之术都是求两个正整数的最大公约数的方法．辗转相除法进行的是除法运算，即辗转相除；更相减损之术进行的是减法运算，即辗转相减，其实质都是一个不断的递归过程．[通一类]1．(1)用更相减损之术来求80和36的最大公约数．
(2)用辗转相除法求123和48的最大公约数．
解：(1)∵80与36都是偶数，要去公因数2,80÷2＝40；36÷2＝18；40和18都是偶数，要去公因数2，
40÷2＝20,18÷2＝9；20－9＝11；11－9＝2；9－2＝7；7－2＝5；5－2＝3；3－2＝1；2－1＝1.
可得80和36的最大公约数为22×1＝4.
(2)123＝2×48＋27；48＝1×27＋21；27＝1×21＋6；21＝3×6＋3；6＝2×3＋0，最后6能被3整除，得123和48的最大公约数为3. [例2] 求当x＝2时，f(x)＝x5－5x4＋x3－1的函数值．
[自主解答] f(x)＝x5－5x4＋x3－1＝((((x－5)x＋1)x＋0)x＋0)x－1，利用公式有v0＝1；
v1＝1×2－5＝－3，
v2＝(－3)×2＋1＝－5，
v3＝(－5)×2＋0＝－10，
v4＝(－10)×2＋0＝－20，
v5＝(－20)×2－1＝－41，
∴f(2)＝－41.[悟一法]
利用秦九韶算法计算多项式的值，关键是能正确地将所给多项式改写，然后由内向外逐次计算，当多项式函数中间出现空项时要以系数为零的齐次项补充．由于后项计算需用到前项的结果，故应认真细心确保中间结果的准确性．2．[例题多维思考]本例中将f(x)变为f(x)＝x5＋2x4＋3x3
＋4x2＋5x＋6，求x＝2时的值．
解：先将f(x)化为
f(x)＝x5＋2x4＋3x3＋4x2＋5x＋6
＝((((x＋2)x＋3)x＋4)x＋5)x＋6.
v1＝1×2＋2＝4，
v2＝v1×2＋3＝11，
v3＝v2×2＋4＝26，
v4＝v3×2＋5＝57，
v5＝v4×2＋6＝120.
故多项式f(x)在x＝2时的值f(2)＝120.3．已知函数f(x)＝x4－2x2－5x＋6，用秦九韶算法，
求f(10)的值．
解：f(x)＝x4＋0×x3－2x2－5x＋6
＝(((x＋0)x－2)x－5)x＋6，
所以v0＝1，
v1＝1×10＋0＝10，
v2＝10×10－2＝98，
v3＝98×10－5＝975，
v4＝975×10＋6＝9756，
∴f(10)＝9756.[通一类] 求三个数168,56,264的最大公约数．
[巧思] 求三个数的最大公约数应先求其中两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数．
[妙解] 法一：采用更相减损之术求解．
先求168与56的最大公约数：
168－56＝112,112－56＝56，因此
168与56的最大公约数是56.再求56与264的最大公约数：
264－56＝208 208－56＝152，
152－56＝96， 96－56＝40，
56－40＝16， 40－16＝24，
24－16＝8， 16－8＝8，
故8是56与264的最大公约数，也就是三个数的最大公约数．法二：采用辗转相除法．
先求168与56的最大公约数，
∵168＝56×3，故168与56的最大公约数是56.
再求56与264的最大公约数，
∵264＝56×4＋40，
56＝40×1＋16，
40＝16×2＋8，
16＝8×2，
故56与264的最大公约数是8.
因此168,56,264的最大公约数是8.点击此图片进入NO.1 课堂强化点击此图片进入NO.2 课下检测课件37张PPT。
章
末
复
习
方
案
与
全
优
评
估
要点整合再现高频考点例析第一章
算法初步阶段质量检测考点一考点二考点三 1．算法
算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者可以看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤和序列能够解决一类问题．
2．算法的设计问题
用数学语言描述算法解决问题的过程大体可分为三步：
第一步 明确问题的性质，分析题意，我们将问题简单地分为数值型问题和非数值型问题，不同类型的问题可以有针对性地采用不同的方法进行处理． 第二步 建立问题的描述模型．
对于数值型问题，可以建立数学模型，通过数学语言来描述问题．对于非数值型问题，我们可以建立过程模型，通过过程模型来描述问题．
第三步 设计、确立算法．
对于数值型问题，我们可以采用数值分析的方法进行处理，数值分析中有许多现成的固定算法，我们可以直接使用，当然我们也可以根据问题的实际情况设计算法．对于非数值型问题，根据过程模型分析算法并进行处理，也可以选择一些成熟的办法进行处理．如排序、递推等． 3．算法的三种程序框图
算法的逻辑结构通常有三种：顺序结构、条件分支结构、循环结构．画程序框图之前应先对问题设计出合理有效的算法，然后分析算法的逻辑结构，根据逻辑结构画出相应的程序框图．三种结构的框图特征如下：
(1)顺序结构，顾名思义是一步步顺下来，一框接一框画下来的结构形式，是最简单的算法框图结构，程序框图如图①； (2)条件分支结构，在设计算法时，经常遇见判断形式，根据判断的不同结果，分别运算不同的步骤，这就是条件分支结构．它有双分支和单分支两种：双分支指有“是”与“否”两种；单分支只有一种判断的处理方式．条件分支结构所对应的程序框图如图②； (3)循环结构，是依据逻辑判断形式，进行是否运算循环体的判断，是一种反复执行循环体的处理过程，应特别注意它的循环逻辑判断条件，程序框图如图③. 4．基本算法语句
在编写程序中的基本算法语句有五种：输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句和循环语句．
(1)输入、输出语句和赋值语句是一个程序必不可少的语句，使用时一定要注意它们各自的格式及要求． (2)条件语句和循环语句是解决一些较复杂问题的编程必须用到的两种语句，在用循环语句编写程序时，一是要注意两种格式的循环语句即for语句和while语句在解决同一问题时条件的表述的不同，二是注意计数变量的取值范围，以免出现多一次循环和少一次循环的错误． 5．中国古代数学中的算法案例
(1)更相减损之术和辗转相除法是求两个数的最大公约数的方法:
更相减损之术又叫等值算法．是用较大的数减去较小的数，把差与较小数相比较，用这两数中较大的数减去较小的数，反复以上操作，当两数相等时，该数就是所求的最大公约数． 辗转相除法是用较大的数除以较小的数所得的余数和较小的数构成新的一对数，继续做上面的除法，直到大数被小数除尽，这个较小的数就是最大公约数．
(2)秦九韶算法是通过改写多项式将其转化为多个一次式的求值问题．首先把多项式按由外向内规则进行改写．而后再由内向外逐层计算． [例1] 设计一个算法，将高一某班56名同学中考试成绩不及格(低于60分)的分数打印出来．
[解] 首先可输入一个学生的成绩，然后判断成绩是否小于60，如果小于60，则输出，否则不输出，然后继续输入下一个学生的成绩，直到56个同学的成绩全部输完为止．算法步骤如下：
S1 令n＝1；
S2 如果n>56，则结束，否则转到S3；
S3 输入一个学生的成绩G；
S4 将G与60比较，如果G<60，则输出G；
S5 n＝n＋1；
S6 转到S2. [借题发挥] 对于给定的问题，设计算法时一定要与解决该问题的一般方法相联系，从中提炼出算法步骤．如果本例要求统计这56名同学中，优秀(90分及90分以上)和不及格(低于60分)的人数，又该怎样设计算法呢？1．已知在直角△ABC中，∠C是直角，c＝13，b＝12，
求△ABC
的面积．写出解决该问题的算法步骤．2．设计一个用二分法求方程x2－5＝0的近似正根的算
法，要求近似值与精确值的差不超过0.000 5.3.(2011·山东高考)执行右图所示的程序
框图，输入l＝2，m＝3，n＝5，则
输出的y的值是________．
解析：逐次计算．第一次y＝70×2
＋21×3＋15×5＝278；执行循环，
第二次y＝278－105＝173；再次循
环，y＝173－105＝68，此时输出，
故输出结果是68.答案：684．写出解方程px＋q＝0(其中p，q为常数)的一个算法，并画出
程序框图．
程序框图如图所示．5．任意给定三个正实数，设计一个算法，判断以这三个正
实数为三条边长的三角形是否存在，并画出这个算法的程序框图．
解：算法步骤如下：
S1 输入3个正实数a，b，c；
S2 判断a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b是否同时成立．若是，则存在这样的三角形；否则，不存在这样的三角形．程序框图如下． [例3] 如图，在边长为4的正方形
ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA
由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P运
动的路程为x，△APB的面积为y，求y与
x之间的函数关系式，画出程序框图，写出程序．程序框图如图所示：
程序如下：
[借题发挥] 编写程序的基本方法是“自上而下，逐步求精”的方法．这种方法与写文章采用的方法类似．
(1)把一个复杂的大问题分解成若干相对独立的小问题．若小问题仍较为复杂，则可以把小问题分解成若干个子问题，这样不断的分解，使小问题或子问题简单到能直接用程序的三种基本结构甚至是五种基本语句表达清楚为止．
(2)对应每一个小问题或子问题编写出一个功能上相对独立的程序块来．
(3)把每一个模块统一组装，完成程序．6．写出下列程序的运行结果．
若输入2，输出结果为________．
解析：∵2>0，∴m＝2×2－1＝3.
答案：3解析：当i＝1时，c＝2，a＝－1，b＝2.
当i＝2时，c＝1，a＝2，b＝1.
当i＝3时，c＝3，a＝1，b＝3.i>3时输出c＝3.
答案：3
8．用分期付款的方式购买价格为1 150元的冰箱，如果
购买时先付150元，以后每月付50元，加入欠款的利息．若一个月后付第一个月的分期付款，月利率为1%，那么购买冰箱钱全部付清后，实际共付款多少元？画出程序框图，写出程序．解：框图如下： 程序如下：点击此图片进入阶段质量检测课件32张PPT。3.1
事件与概率3.1.1
~ 3.1.2
随机现象
事件与基本事件空间课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第三章
概率考点一考点二考点三N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测读教材·填要点小问题·大思维[读教材·填要点]
1．常见现象的特点及分类必然不一定 2．试验
把观察随机现象或为了某种目的而进行的 统称为试验，把 或 称为试验的结果．观察结果实验结果实验3．不可能事件、必然事件、随机事件事件一定会发生始终不会发生可能发生也可能不发生A、B、C4．基本事件、基本事件空间再分最简单它们来描绘集合Ω[小问题·大思维]
1．随机事件的概念中“在同样的条件下”这一限定能否
去掉？
提示：不能．事件的分类依据是试验的结果，而在不同条件下试验的结果往往是不一样的．如常温下水是液态的，能流动，加上条件在零下10℃，就是不可能事件，在零上5℃，就是必然事件．2．必然事件就是无论在什么条件下都会发生的事件吗？
提示：必然事件的发生不是无条件的，它仅在某一条件范围内一定发生，一旦超出这一范围，便不能保证是否还会必然发生．如“在1个标准大气压下，水的沸点为100℃”这一事件为必然事件，但如果去除或改变了这一条件，水的沸点也会改变，这一事件也就不再是必然事件了．3．在掷骰子试验中，“出现偶数点”可以作为基本事件吗？
提示：基本事件这个说法是相对的：在本试验中，事件“出现偶数点”与“出现4点”相比是有交叉的，不互斥，所以不是基本事件；而相对于“出现奇数点”来说，二者互斥，且每掷一枚骰子点不是奇数就是偶数，所以可以作为基本事件． [例1] 下列哪些现象是随机现象？哪些现象是必然
现象？
(1)新生婴儿的性别；
(2)某电话交换台在单位时间内收到用户呼叫的次数；
(3)检查流水线上一件产品是合格品还是不合格品；
(4)一个盒子中有10个完全相同的白球，搅匀后从中任意摸取一球是白球． [自主解答] (1)中的婴儿可能是男性，也可能是女性，因此是随机现象；
(2)中呼叫次数是不确定的，因此也是随机现象；
(3)中产品可能是合格品，也可能是不合格品，因此也为随机现象；
(4)中所有球均为白球，所以无论怎么摸，摸出的总是白球，因此为必然现象． [悟一法]
对随机现象、必然现象判断的关键是观察各现象是否一定发生，若必然发生，则为必然现象；若可能发生，也可能不发生，则为随机现象．随机现象具有这样的特点：当在相同条件下多次观察同一现象，每次观察到的结果不一定相同，事先很难预料哪一种结果会出现．
确切把握随机现象、必然现象的定义是做好本类问题的关键．[通一类]
1．判断以下现象是否为随机现象．
(1)某路口单位时间内通过“红旗”牌轿车的车辆数；
(2)n边形的内角和为(n－2)·180°；
(3)某同学竞选学生会主席成功；
(4)一名篮球运动员每场比赛所得的分数．
解：(1)、(3)、(4)是随机现象，(2)不是随机现象. [例2] 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机
事件．
(1)中国体操运动员将在2012年伦敦奥运会上获得全能
冠军；
(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯；
(3)若x∈R，则x2＋1≥1；
(4)抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和大于12. [自主解答] 由题意知：(1)(2)中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；(3)中事件一定会发生，是必然事件；由于骰子朝上面的数字最大是6，两次朝上面的数字之和最大是12，不可能大于12，所以(4)中事件不可能发生，是不可能事件．[悟一法]
判断一个事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件，关键是看它在一定的条件下是否一定发生，若可能发生，也可能不发生，则是随机事件；若必然发生，则是必然事件；若一定不发生，则是不可能事件．2．[例题多维思考] 将本例作下列变动，指出是必然事件、
不可能事件还是随机事件．
(1)中国体操运动员将在2012年伦敦奥运会上参加全能
比赛；
(2)出租车司机小李驾车通过十字路口都将遇到红灯；
(3)若x∈R，则x2＋1<1；
(4)抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和不大于12.解：(1)尽管中国体操在世界上一直处于领先地位，2012年中国体操队很可能会参加所有体操项目，包括全能，但仍然存在不参加此项比赛的可能，故这一事件属随机事件．
(2)十字路口有红灯和绿灯，通过时可能遇到红灯，也可能遇不到红灯，故该事件是随机事件．
(3)因为当x∈R时，x2＋1≥1，所以x2＋1<1(x∈R)是不可能
事件．
(4)骰子有六个面，上面标有1,2,3,4,5,6.抛两次，出现的数字之和不可能超过12，故“朝上数字之和不大于12”为必然事件． [例3] 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次．
(1)写出这个试验的基本事件空间；
(2)下列随机事件由哪些基本事件构成，
事件A：取出的两件产品都是正品；
事件B：取出的两件产品恰有1件次品． [自主解答] (1)基本事件空间Ω＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}，共有6个基本事件．
(2)事件A包含2个基本事件(a1，a2)，(a2，a1)．
事件B包含4个基本事件(a1，b1)，(b1，a1)，(a2，b1)，(b1，a2)．[悟一法]
随机事件的结果是相对于条件而言的．要弄清某一随机事件的所有结果，必须首先明确事件发生的条件，根据题意，按一定的次序列出问题的答案．在写基本事件空间时，要注意做到既不重复也不遗漏．[通一类]
3．一个盒子中装有4个完全相同的球，分别标有号码1,2,3,5，
从中任取两球，然后不放回．
(1)写出这个试验的基本事件空间；
(2)求这个试验的基本事件总数；
(3)写出“取出的两球上的数字之和是6”这一事件所包含的基本事件．解：(1)这个试验的基本事件空间
Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,5)，(2,3)，(2,5)，(3,5)}．
(2)基本事件的总数是6.
(3)“取出的两球上的数字之和是6”包含1个基本事件：(1,5). 一只口袋装有除颜色外，形状、大小完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球，从中任取2个球．
(1)写出这个试验的基本事件空间；
(2)求这个试验的基本事件的总数；
(3)“至少有1个白球”这一事件包含哪几个基本事件？,
[巧思] 因为每次取出2个球，所以这2个球没有顺序的差别，只有颜色的不同，故可按照2个球同色、2个球异色进行分类，然后按照既定的顺序写出每个基本事件． [妙解] (1)这个试验的基本事件空间是Ω＝{(白，白)，(黑，黑)，(红，红)，(白，黑)，(白，红)，(黑，红)}．
(2)基本事件的总数是6.
(3)“至少有1个白球”包含以下3个基本事件：(白，白)，(白，黑)，(白，红)．点击此图片进入NO.1 课堂强化点击此图片进入NO.2 课下检测课件34张PPT。3.1
事件与概率3.1.3
频
率
与
概
率课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第三章
概率考点一考点二考点三N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测读教材·填要点小问题·大思维[读教材·填要点]常数常数2．概率的性质0≤P(A)≤110[小问题·大思维]
1．频率和概率有什么区别？
提示：频率是某一事件发生的可能性的大致体现，而概率是事件本身内在的规律体现．在相同条件下进行试验，在每一次试验中事件发生的概率是相同的，但频率可能不同．
2．某医生治愈病人的治愈率为10%，那么他给10个病人治
病，前面9个病人都没有治愈，第10个病人就一定能治愈吗？提示：如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是10%，指随着试验次数的增加，即被治疗的病人数的增加，大约有10%的人能够治愈．对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前9个病人没有治愈是可能的，对第10个人来说，其结果仍然是随机的，即有可能治愈，也可能没有治愈． [例1] 有人说，既然抛掷一枚硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续抛掷一枚硬币两次，一定是一次正面朝上，一次反面朝上，你认为这种想法正确吗？ [自主解答] 这种想法显然是错误的，通过具体试验验证便知．用概率的知识来理解：尽管每次抛掷硬币的结果出现正、反面朝上的概率都是0.5，但连续两次抛掷硬币的结果不一定恰好是正面朝上、反面朝上各一次，通过具体的试验可以发现有三种可能的结果：“两次正面朝上”，“两次反面朝上”，“一次正面朝上，一次反面朝上”，而且其概率分别为0.25,0.25,0.5.[悟一法]
随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率恰是其规律性在数量上的反映，认识了这种随机中的规律性，可以帮助我们预测事件发生的可能性，但对一定数量的试验来说，并不一定与概率完全相同．[通一类] [例2] 表①和表②分别表示从甲、乙两厂家随机抽取的某批乒乓球产品的质量检查情况：表①表②
(1)计算表中乒乓球优等品的频率(结果保留到小数点后三位)；
(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？
(3)若该两厂的乒乓球价格相同，你打算从哪一厂家购货？ [自主解答] (1)依据公式可算出表①中优等品的频率依次为0.900，0.920,0.970,0.940,0.954,0.951，表②中优等品的频率依次为0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903.
(2)由(1)可知，抽取的球数不同，计算得到的频率值也不同，但表①中的频率都在常数0.95的附近摆动，所以在甲厂抽取一个乒乓球检测时，质量检查为优等品的概率近似为0.95；表②中的频率都在常数0.90左右摆动，所以在乙厂抽取一个乒乓球检测时，质量检查为优等品的概率近似为0.90. (3)因为概率从数量上反映了一个事件发生可能性的大小，P甲>P乙表示甲厂生产的优等乒乓球的可能性更大，因此应选购甲厂生产的乒乓球．[悟一法]
随机事件在一次试验中是否发生，虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它发生的可能性呈现出一定的规律性，可以用事件发生的频率去“测量”，因此可以通过计算事件发生的频率去估算它的概率．
频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近于概率；概率是常数，是客观存在的数．在实际问题中，常用频率作为它的估计值．2．(2011·湖南高考)某河流上的一座水力发电站，每年六月
份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为：
140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成如下的频率分布表：
近20年六月份降雨量频率分布表(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为 [例3] 李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩. 用已有的信息可估计出王小慧下学期选修李老师的高等数学课得分的概率如下：
(1)得“90分以上”记为事件A，则P(A)≈0.067；
(2)得“60～69分”记为事件B，则P(B)≈0.140；
(3)得“60分以上”记为事件C，则P(C)≈0.067＋0.282＋0.403＋0.140＝0.892.[悟一法]
频率与概率既有联系又有区别．由于概率体现了随机事件发生的可能性，所以可用样本出现的频率来近似地估计总体中该结果出现的概率．[通一类]
3．种子公司在春耕前为了支持农业建设，采购了一批稻谷
种子，进行了种子发芽试验．在统计的2 000粒种子中有1 962粒发芽．
(1)计算“种子发芽”这个事件发生的频率；
(2)若用户需要该批稻谷种芽100 000粒，需采购该批稻谷种子多少公斤(每公斤约1 000粒)? 篮球运动员甲和乙的3分球命中率分别为70%和50%.本场比赛中甲投3分球5次，只命中一次，乙投3分球3次全部命中，现在全场比赛即将结束，但是球队还落后2分，还剩最后一次进攻机会，如果你是教练，这最后一个3分球由谁来投？
[巧思] 本题可从两方面思考，一是平时的练习中的命中率，一是临场发挥水平，所以甲和乙用谁来投都可以．并不一定非要指定谁来投，应从当时实际情况来决定． [妙解] 选择甲还是乙都有道理，因为甲平时比乙投篮命中率高，所以从平时看应选甲；乙平时投篮命中率虽不如甲高，但他在本场中表现出色，所以从临场发挥状态来看可以选乙．因此决定时，可以据当时的实际情况来作综合性的选择．点击此图片进入NO.1 课堂强化点击此图片进入NO.2 课下检测课件34张PPT。3.1
事件与概率3.1.4
概
率
的
加
法
公
式课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第三章
概率考点一考点二考点三N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测读教材·填要点小问题·大思维[读教材·填要点]互斥事件的定义及运算不可能同时发生P(A)＋P(B)至少C＝A∪B同时发生必有一个发生1－P(A)组成的[小问题·大思维]
1．互斥事件和对立事件有什么联系与区别？
提示：对立事件是针对两个事件来说的，一般地，若两个事件对立，则这两个事件是互斥事件；反之，若两个事件是互斥事件，则未必是对立事件，所以对立事件是特殊互斥事件．2．在同一试验中，设A、B是两个随机事件，“若A∩B＝?，
则称A与B是两个对立事件”，对吗？
提示：这种说法不正确．对立事件是互斥事件的特殊情况，除了满足A∩B＝?外，A∪B还必须为必然事件．从数值上看，若A、B为对立事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1. [例1] 判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”． [自主解答] (1)是互斥事件，不是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件． (3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．[悟一法]
互斥事件、对立事件的判定方法.续表[通一类]1．国际上通用的茶叶分类法，是按发酵程度把茶叶分为
不发酵茶(如：龙井、碧螺春)和发酵茶(如：茉莉花茶、铁观音、乌龙茶、普洱茶)两大类，现有6个完全相同的纸盒，里面分别装有龙井、碧螺春、茉莉花茶、铁观音、乌龙茶和普洱茶，从中任取一盒，根据以上材料，判断下列两个事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由：(1)“取出龙井”和“取出铁观音”；
(2)“取出不发酵茶”和“取出发酵茶”；
(3)“取出发酵茶”和“取出普洱茶”．
解：(1)事件“取出龙井”和事件“取出铁观音”不可能同时发生，也有可能都不发生，所以是互斥事件而不是对立事件； (2)事件“取出不发酵茶”和事件“取出发酵茶”不可能同时发生，但必有一个发生，所以既是互斥事件又是对立
事件；
(3)事件“取出发酵茶”和事件“取出普洱茶”不是互斥事件，因为“取出普洱茶”时，事件“取出发酵茶”也发生了. [例2] 某地区的年降水量在下列范围内的概率如表所示：(1)求年降水量在[100,200)(mm)范围内的概率；
(2)求年降水量在[150,300)(mm)范围内的概率． [自主解答] 记这个地区的年降水量在[100,150)(mm)、[150,200)(mm)、[200,250)(mm)、[250,300)(mm)范围内的事件分别为A、B、C、D.这四个事件是彼此互斥的，根据互斥事件的概率加法公式，有
(1)年降水量在[100,200)(mm)范围内的概率是
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.12＋0.25＝0.37.
(2)年降水量在[150,300)(mm)范围内的概率是
P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)
＝0.25＋0.16＋0.14＝0.55.[悟一法]
求互斥事件概率的步骤是:
(1)判断事件是否互斥；
(2)把所求事件利用互斥事件的和表示出来；
(3)利用互斥事件概率公式进行计算．2．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生的人数及其概
率如下表：(1)求派出医生至多2人的概率；
(2)求派出医生至少2人的概率．解：(1)记医院派出0人为事件A，派出1人为事件B，派出2人为事件C，A，B，C彼此互斥，
则P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56，即为所求．
(2)记医院派出2人为事件A1，派出3人为事件A2，派出4人为事件A3，派出5人及5人以上为事件A4，又A1，A2，A3，A4彼此互斥，
故P(A1∪A2∪A3∪A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74，即为所求.[悟一法]
1．对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．
2．当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．[通一类]
3．某公务员去北京开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去
的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4，求：
(1)他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)他不乘轮船去的概率；
(3)如果他去的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去的？解：设“乘火车去开会”为事件A，“乘轮船去开会”为事件B，“乘汽车去开会”为事件C，“乘飞机去开会”为事件D，它们彼此互斥．
(1)P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.
(2)P＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8.
(3)∵P＝0.5，∴他可能乘①火车或轮船，②汽车或飞机．点击此图片进入NO.1 课堂强化点击此图片进入NO.2 课下检测课件33张PPT。3.2
古典概型课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第三章
概率考点一考点二考点三N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测读教材·填要点小问题·大思维[读教材·填要点]1．古典概型的概念
如果某类概率模型具有以下两个共同特征： 3．概率的一般加法公式(选学)
(1)事件A与B的交(或积):
由事件A和B 所构成的事件D，称为事件A与B的交(或积)，记作 (或 )．
(2)设A，B是Ω的两个事件，则有:
P(A∪B)＝ ，这就是概率的一般加法公式．同时发生D＝A∩BD＝ABP(A)＋P(B)－P(A∩B)[小问题·大思维]
1．基本事件具有哪些特点？
提示：(1)任何两个基本事件都是互斥的．一次试验中，只可能出现一种结果，即产生一个基本事件．
(2)任何事件都可以表示成基本事件的和．相对基本事件，由两个以上基本事件组成的随机事件称为复杂事件．2．在古典概型中，每一个基本事件发生的概率是多少？ [例1] 判断下列概率模型是否为古典概型：
(1)袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件，是否为古典概型？
(2)将一粒豆子随机撒在一张桌子的桌面上，将豆子所落的位置看作一个基本事件，是否为古典概型？ [自主解答] (1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．
(2)豆子落在桌面上的位置有无数个，即有无数个基本事件，所以以豆子所落的位置为基本事件的概率模型不是古典概型．[悟一法]
判断一个概率模型是否为古典概型，关键是判断这个概率模型是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，注意并不是所有的试验都是古典概型．[通一类]1．判断下列两个试验是否为古典概型，并说明原因．
(1)在数轴上任取一点，求该点坐标小于1的概率；
(2)从1,2,3,4四个数字中任取两个数，求两数之一是2的
概率．
解：(1)在数轴上任取一点，此点可以在数轴上的任一位置，且在每个位置的可能性是相同的，具备等可能性．但试验结果有无限多个，不满足古典概型的条件(1)，即不满足试验结果的有限性．因此不属于古典概型．(2)此问题是古典概型，因为此试验的所有基本事件共6个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，且每个事件的出现是等可能的，因此属于古典概型． [例2] 做投掷2颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第2颗骰子出现的点数．写出下列基本事件．
(1)试验的基本事件；
(2)事件“出现点数之和大于8”；
(3)事件“出现点数相等”． [自主解答] (1)这个试验的基本事件共有36个，如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．
(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．
(3)“出现点数相等”包含以下6个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)．[悟一法]
求基本事件个数常用列举法、列表法、树状图法来解决，并且注意以下几个方面
①用列举法时要注意不重不漏；
②用列表法时注意顺序问题；
③树状图法若是有顺序问题时，只做一个树状图然后乘以元素个数．2．[例题多维思考] 在本例中，试写出下列事件“|x－
y|≤1”的基本事件．
解：“|x－y|≤1”包含以下16个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，(5,6)，(6,5)． [例3] (2011·宁乡模拟)袋子中有质地、大小完全相同的4个球，编号分别为1,2,3,4.甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，若两个编号的和为奇数算甲赢，否则算乙赢．记基本事件为(x，y)，其中x、y分别为甲、乙摸到的球的编号．
(1)列举出所有的基本事件，并求甲赢且编号的和为5的事件发生的概率；
(2)比较甲胜的概率与乙胜的概率，并说明这种游戏规则是否公平．[悟一法] 求古典概型应该按下面四个步骤进行：
第一步：仔细阅读题目，弄清题目的背景，深刻理解题意；
第二步：判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
第三步：分别求出在一次试验中基本事件的总数n和事件A中所包含的基本事件数m；[通一类]
3．(2011·梅州模拟)甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中
任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{1,2,3,4}，若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为__________(分式表示)． 口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一球，试计算第二个人摸到白球的概率． [解] 法一：只考虑球的颜色，4个人按顺序依次从袋中摸出一球的所有可能结果可用树状图表示如图所示． 法三：用A表示事件“第二个人摸到白球”．记2个白球编号分别为1,2；2个黑球编号分别为3,4.于是4个人按顺序依次摸球，从袋中摸出一球的所有可能结果用树状图直观地表示出来(如图所示)．点击此图片进入NO.1 课堂强化点击此图片进入NO.2 课下检测课件30张PPT。3.3
随机数的含义与应用3.3.1
几
何
概
型课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第三章
概率考点一考点二考点三N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测读教材·填要点小问题·大思维[读教材·填要点] 1．几何概型的定义
如果把事件A理解为区域Ω的某一子区域A(如图所示)，A的概率只与子区域A的 ( 、 或 )成正比，而与A的 和 无关，满足以上条件的试验称为几何概型．几何度量长度面积体积位置形状[小问题·大思维]
1．几何概型有何特点？
提示：几何概型的特点是无限性和等可能性．
2．几何概型的概率是否与构成事件的区域形状有关？
提示：几何概型的概率与构成事件的区域形状无关，而
只与它的长度(面积或体积)有关．3．如何用几何概型解释随机事件的概率可以是0或1?
提示：如果随机事件所在区域是一个单点，由单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0(即P(A)＝0)，但它不是不可能事件；如果随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1(即P(A)＝1)，但它不是必然事件． [例1] 取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1 m的概率有多大？
[自主解答] 如图所示，记A＝{剪得两段绳子长都不小于1 m}，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生．[悟一法]
用几何概型求概率的步骤:
①判断是否是几何概率．
②计算基本事件空间与事件A所含的基本事件对应 的区域的几何度量(长度、面积或体积)．
③利用概率公式计算．[通一类]1．[例题多维思考] 若改为求剪得两段中一段大于2.5米，
另一段小于0.5米的概率有多大． [例2] 在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M.
求AM 当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，常以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可以用线段代替．2．设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A
连接，求弦长超过半径的概率． [例3] 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6∶30～7∶30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7∶00～8∶00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少 [自主解答] 如图，设送报人到达的
时间为x，父亲离开家的时间为y.
(x，y)可以看成平面中的点．
试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|6.5≤x≤7.5,7≤y≤8}，这是一个正方形区域，面积为SΩ＝1×1＝1. [悟一法][通一类]答案：C
设有一个正方形网格，其中每个小正方形的边长都等于6 cm，现用直径等于2 cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线有公共点的概率． [错因] “硬币落下后与格线有公共点”并不是只与上下两条格线有公共点，还有左右两条格线被漏掉了．此几何概型是面积之比而不是长度之比．点击此图片进入NO.1 课堂强化点击此图片进入NO.2 课下检测课件32张PPT。3.3
随机数的含义与应用3.3.2
随机数的含义与应用课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第三章
概率考点一考点二N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测读教材·填要点小问题·大思维[读教材·填要点] 1．随机数
随机数就是 产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的 一样．
2．产生随机数的方法
(1)用函数型计算器产生随机数的方法:
每次按 键都会产生0～1之间的随机数，而且出现0～1内任何一个数的可能性是 ．在一定范围内随机机会SHIFT、RAN#相同的 (2)用计算机软件产生随机数(这里介绍的是Scilab中产生随机数的方法):
①Scilab中用 函数来产生0～1的均匀随机数．每调用一次rand()函数，就产生一个随机数．
②如果要产生a～b之间的随机数，可以使用变换
得到．rand( )rand()*(b－a)＋a 3．计算机随机模拟法或蒙特卡罗方法
(1)建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量有关．
(2)设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这
些量．
按这样的思路建立起来的方法称为计算机随机模拟法或蒙特卡罗方法．[小问题·大思维]
1．利用随机模拟法获得的事件发生的可能性与频率有什么
区别？
提示：利用随机模拟法获得的事件发生的可能性的大小数据也是一种频率，只能是随机事件发生的概率的一种近似估计，但是，由于随机数产生的等可能性，这种频率比较接近概率．并且，有些试验没法直接进行(如下雨)，故这种模拟试验法在科学研究中具有十分有益的作用．2．整数随机数与均匀随机数的联系与区别是怎样的？
提示：二者都是随机产生的随机数，在一定的区域长度上出现的机率是均等的．但是整数随机数是离散的单个整数值，相邻两个整数随机数的步长为1，而均匀随机数是个小数或整数，是连续的小数值，相邻两个均匀随机数的步长是人为设定的． [例1] 同时抛掷两颗骰子，用随机模拟法估计都是1点的概率．
[自主解答] 设事件A表示“掷两颗骰子都得到1点”．
S1 用计数器n记录做了多少次试验，用计数器m记录其中有多少次随机数x和y都出现1(即同时出现1点)，首先置n＝0，m＝0. S2 用变换int(rand()*5)＋1产生1～6之间的整数随机数x表示掷一颗骰子出现的点数；用变换int(rand()*5)＋1产生1～6之间的整数随机数y表示掷另一颗骰子出现的点数，用1表示1点，用2表示2点，用3表示3点，…，用6表示6点．
S3 判断是否同时出现1点，即是否满足x＝1且y＝1，如果是，则计数器m的值加1，即m＝m＋1，如果不是，m的值保持不变．[悟一法]
用整数随机模拟试验时，首先要确定随机数的范围，利用哪个数字代表哪个试验结果：
(1)试验的基本结果等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件；
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及范围．[通一类]1．[例题多维思考] 本例中条件改为“抛掷一颗骰子”结果
如何？
解：设事件A“掷骰子得到一点”．
S1 用计数器n记录做了多少次试验，用计数器m记录其中有多少次随机数x出现1(即出现1点)．首先n＝0，m＝0；
S2 用变换rand()*5＋1产生1～6之间的整数随机数x表示掷骰子出现的点数：用1表示1点，用2表示2点，用3表示3点，…，用6表示6点； [例2] 如图所示，在墙上挂着一块边长
为16 cm的正方形木板，上面画了小、
中、大三个同心圆，半径分别为2 cm、
4 cm、6 cm，某人站在3 m之外向此木板投镖．设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问：
(1)投中大圆内的概率是多少？
(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？
(3)投中大圆之外的概率是多少？ [自主解答] 法一：(用几何概型的概率公式求概率)
整个正方形木板的面积，即基本事件所占的区域总面积μΩ＝16×16＝256(cm2)．
记“投中大圆内”为事件A，“投中小圆与中圆形成的圆环”为事件B，“投中大圆之外”为事件C，则
事件A所占区域面积为μA＝π×62＝36π(cm2)；
事件B所占区域面积为μB＝π×42－π×22＝16π－4π＝12π(cm2)；
事件C所占区域面积为μC＝μΩ－μA＝(256－36π)(cm2)． 法二：(用随机模拟法求概率)
要表示平面图形内的点必须有横、纵两个坐标，我们可以产生两组随机数来表示点的坐标确定点的位置．
设事件A＝{投中大圆内}，B＝{投中小圆与中圆形成的圆环}，C＝{投中大圆之外}．
S1 用计数器n记录投镖次数，用计数器m1记录投中大圆内的次数，用计数器m2记录投中小圆与中圆形成的圆环的次数，用计数器m3记录投中大圆之外的次数．首先置n＝0，m1＝0，m2＝0，m3＝0； S2 用变换rand()*16－8产生两个－8～8之间的随机数x和y，用它们来表示所投镖的横坐标和纵坐标；
S3 判断(x，y)所落在的位置：如果落在大圆中，即满足x2＋y2<36，则计数器m1的值加1，即m1＝m1＋1.否则，m3的值加1，即m3＝m3＋1.如果落在小圆与中圆形成的圆环中，即满足4 用随机模拟法估算几何概型的概率，先确定随机数的组数，其次由对应区域的长度确定随机数的范围，同时还要正确处理变量间的关系．2．在长为24 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为
边作正方形．用随机模拟法估算该正方形的面积介于25 cm2与64 cm2之间的概率．
解：设事件A＝“正方形的面积介于25 cm2与64 cm2之间”．
S1 利用计算器或计算机产生一组0～1之间的均匀随机数rand()． 利用随机模拟的方法近似计算图中
阴影部分(y＝2－2x－x2与x轴围成的图形)
的面积．
[巧思] 图中阴影部分不规则，可在这不规则图形外套上一个规则图形，则不规则图形的面积近似等于规则图形的面积乘以概率．概率可以通过模拟的方法得到，从而可得到不规则图形的近似值． [妙解] S1 利用计算机产生两组0～1之间的均匀随机数．
S2 经过平移和伸缩变换a＝rand()*4－3，b＝rand()*3，得到一组－3～1和0～3之间的均匀随机数．
S3 统计试验总次数N和落在阴影部分的点数N1(满足条件b<2－2a－a2的点(a，b)的个数)．点击此图片进入NO.1 课堂强化点击此图片进入NO.2 课下检测课件32张PPT。3.4
概率的应用课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第三章
概率N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测读教材·填要点小问题·大思维考点一考点二考点三[读教材·填要点]1．古典概型的特点
(1)有限性：只有 个不同的基本事件．
(2)等可能性：基本事件发生的可能性 ．
2．几何概型的特点
(1)无限性：基本事件有 个．
(2)等可能性：基本事件发生的可能性 ．有限相等无限均等 3．概率的应用
所谓概率的应用，就是把实际问题转化为与概率有关的问题，并用概率来分析问题和解决问题，课本上介绍的四个问题，涉及概率的四个方面的应用，分别是程序设计、密码技术、社会调查、整体估计．[小问题·大思维]
1．解决实际生活中概型问题的关键是什么？
提示：解决概率实际问题的关键是把实际问题转化为古典概型或几何概型，再用两种概型解决．
2．几何概型的适用情况有哪些？
提示：几何概型用来计算事件发生的概率适用于有无限多个试验结果的情况，每种结果的出现也要求必须是等可能的．而且事件发生在一个有明确范围的区域中，其概率与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例． [例1] 某中学高一年级有12个班，要从中选2个班代表学校参加某项活动，由于某种原因①班必须参加，另外②～?班中选一个班，有人提议用如下方法：掷两个骰子得到点数和的概率来选班，你认为这种方法公平吗？ [自主解答] 不公平．下表为点数之和的表格．[悟一法]
古典概型在现实生活中应用时，首先把实际问题转化为古典概型．由概型公式求出事件的概率．通过概率的大小反馈回答实际问题．[悟一法]
1．随意安排甲、乙、丙3人在3天节日中值班，每人值
班1天．
(1)这3人的值班顺序共有多少种不同的安排方法？
(2)甲排在乙之前的概率是多少？
(3)乙不在第一天值班的概率是多少？
解：(1)这3人的值班顺序共有：(甲、乙、丙)，(甲、丙、乙)，(乙、甲、丙)，(乙、丙、甲)，(丙、甲、乙)，(丙、乙、甲)6种不同的安排方法． [例2] 如图所示，一张圆形桌面被分成了
M、N、P、Q四个区域，∠AOB＝30°，
∠BOC＝45°，∠COD＝60°.将一粒小石
子随机扔到桌面上，假设小石子不落在线上，
求下列事件的概率：
(1)小石子落在区域M内的概率；
(2)小石子落在区域M或区域N内的概率；
(3)小石子落在区域Q内的概率．[悟一法]2．甲、乙两艘船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼
夜的任意时刻到达，如果甲、乙两艘船停靠泊位的时间分别是2小时与4小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率． [例3] 深夜，某市某路段发生一起出租车交通事故．该市有两家出租车公司，红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中红色出租车公司和蓝色出租车公司的出租车分别占整个城市出租车的15%和85%.据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色的，并对现场目击证人的辨别能力做了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大嫌疑．你觉得警察这样的认定公平吗？ [自主解答] 设该市的出租车有1 000辆，那么依题意可得如下信息：[悟一法]
涉及调查应用类的问题，要把着力点放在拨开数据中的表面迷雾，利用事实说话，即选择合适的概率模型予以取证验证．[通一类]
3．某地政府准备对当地的农村产业结构进行调整，为
此政府进行了一次民意调查.100个人接受了调查，他们被要求在“赞成调整”、“反对调整”、“对这次调查不发表看法”中任选一项，调查结果如下表：随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是多少？ 在某条人流量较大的街道上，有一中年人吆喝着：
“送钱喽！”只见他手拿一只黑色小布袋，袋中有且只有3个黄色和3个白色的乒乓球(大小、质地完全相同)，旁边立着一块黑板，上面写着： 摸球方法：
(1)若摸球一次，摸得同一颜色的球3个，摊主送给摸球者5元钱；
(2)若摸球一次，摸得非同一颜色的球3个，摸球者给摊主1元钱．
如果一天中有100人次摸球，试从概率角度估算一下这个摊主一个月(按30天计算)能赚多少钱．
[巧思] 概率论是研究随机现象规律的科学，本题可以分别计算出两种事件的概率，通过概率的知识给“该摊主一个月能赚多少钱”一个合理的解释． [妙解] 假定把“摸球一次，摸得同一颜色的球3个”记为事件A，“摸球一次，摸得非同一颜色的球3个”记为事件B，那么事件B与事件A为对立事件．故基本事件有：,(黄1，黄2，白1)，(黄1，黄2，白2)，(黄1，黄2，白3)，(黄1，黄2，黄3)，(黄2，白1，白2)，(黄2，白1，白3)，(黄2，白2，白3)，(黄2，黄3，白1)，(黄2，黄3，白2)，(黄2，黄3，白3)，(黄3，白1，白2)，(黄3，白1，白3)，(黄3，白2，白3)，(白1，白2，白3)，(黄1，黄3，白1)，(黄1，黄3，白2)，(黄1，黄3，白3)，(黄1，白1，白2)，(黄1，白2，白3)，(黄1，白1，白3)共20个．点击此图片进入NO.1 课堂强化点击此图片进入NO.2 课下检测课件43张PPT。
章
末
复
习
方
案
与
全
优
评
估
要点整合再现高频考点例析阶段质量检测考点一考点二考点三考点四第三章
概率 1．随机事件的概率
(1)在一定条件S下，一定能发生的事件是必然事件；一定不能发生的事件叫不可能事件；可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件．
(2)随机事件在一次试验中是否发生是不确定的，但在大量的重复试验中，随机事件的发生是有规律的，概率就是要寻找这种规律性． (3)频率与概率的关系与区别:
频率是概率的近似值．随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．频率本身是随机的，两次做同样的试验，往往会得到不同的结果；而概率是一个确定的数，与每次试验无关．
(4)互斥事件与对立事件:
在一次试验中，不能同时发生的事件称为互斥事件，若A与B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件．若A与B对立，则P(A∪B)＝1. [例1] 某射击运动员进行双向飞碟射击训练，各次训练的成绩记录如下：(1)将各次记录击中飞碟的频率填入表中；
(2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少？ [借题发挥] 随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率．1．某火车票代办点上季度78天的日销售额数据如下：答案：B
[例2] 黄种人群中各种血型的人所占比例如下： 已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明是B型血，若小明因病需要输血，问：
(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？ [解] (1)对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的，由已知，有：
P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.
因为B、O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件B′＋D′，根据互斥事件的加法公式，
有P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64. (2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输血给B型血的人”为事件A′＋C′，
且P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
所以：任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36. [借题发挥] 互斥事件和对立事件是针对两个事件而言的，它们既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生．
所以，两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥． 若事件A1，A2，A3，…，An彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
应用互斥事件的概率的加法公式解题时，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．对于较复杂事件的概率，可以转化为求对立事件的概率．2．在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范
围内的概率如下：在同一时期内，河流这一处的年最高水位在[14,18)(m)内的概率为 ( )
A．0.08 B．0.16
C．0.12 D．0.24解析：水位在[14,16)和在[16,18)内，这两个事件是互斥的，∴水位在[14,18)内的概率等于0.16＋0.08＝0.24.答案：D
[例3] (2012·龙岩模拟)小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y.
(1)在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点共有几个？试求点(x，y)落在直线x＋y＝9上的概率；
(2)规定：若x＋y≥10则小王赢，若x＋y≤4则小李赢，其他情况不分输赢．试问这个游戏规则公平吗？请说明理由．4．有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数
k，k＋1，其中k＝0,1,2，…，19.从这20张卡片中任取一张，记事件：该卡片上两个数的各位数字之和(例如，若取到标有9、10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为9＋1＋0＝10)不小于14为A，则P(A)＝________.5．某校举行运动会，高二·一班有男乒乓球运动员4名、女
乒乓球运动员3名，现要选一男一女两名运动员组成混合双打组合代表本班参赛，试列出全部可能的结果，若某女乒乓球运动员为国家一级运动员，则她参赛的概率是多少？解：由于男生从4人中任意选取，女生从3人中任意选取，为了得到试验的全部结果，我们设男生为A，B，C，D，女生为1,2,3，我们可以用一个“有序数对”来表示随机选取的结果．如(A,1)表示“从男生中选取的是男生A，从女生中选取的是女生1”，可用列举法列出所有可能的结果，如下表所示，设“该国家一级运动员参赛”为事件E.6．甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，
其中选择题6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一题．
(1)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
解：甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是10×9＝90种．即基本事件总数是90. [例4] 两个对讲机持有者莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲机接收范围为25 km，在下午3∶00时莉莉正在基地正东距离基地30 km以内的某处向基地行驶．而霍伊在下午3∶00时正在基地正北距基地40 km以内的某地向基地行驶，试问他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？ [借题发挥] 几何概型的概率公式适用于有无限多个试验结果的情况，且每种结果的出现是等可能的．试验的结果发生在一个确定的区域内，由于在确定范围内的等可能性，所以其概率等于该事件构成的子区域占总区域的比例．依这种比例求解，类似古典概型的思路，即事件A的概率由“构成事件A的基本事件所占的图形面积(长度、体积)”与“试验的全部结果所占的总面积(长度、体积)”之比来表示． 答案：B
8．在集合{(x，y)|0≤x≤5且0≤y≤4}内任取1
个元素，在如图
所示的阴影部分的面积的概率是多少？
点击此图片进入阶段质量检测课件38张PPT。2.1
随机抽样 2.1.1
简
单
随
机
抽
样课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第二章
统计考点一考点二考点三N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测读教材·填要点小问题·大思维[读教材·填要点]
1．总体、个体、样本和样本容量某一数值指标每一个元素若干个体 2．随机抽样
在抽样时要保证 个体都可能被抽到，每一个个体被抽到的机会是 的，满足这种条件的抽样是随机抽样．每一个均等 3．简单随机抽样
(1)从元素个数为N的总体中不放回的抽取容量为n的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有 的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽到的样本叫做简单随机样本．
(2)常用的简单随机抽样有两种，即 和
． 相同抽签法随机数表法[小问题·大思维]
1．为了不影响教学，学校准备从高中1 200名学生中抽取
100名学生作为调查对象，对所有学生的身高情况作一次调查．在该问题中的总体、个体、样本和样本容量分别指什么？
提示：总体：学校高中1 200名学生的身高．
个体：每一名学生的身高．
样本：从中抽取的100名学生的身高．
样本容量：1002．为什么要抽取样本？
提示：(1)在更多情况下，很难做到对所有考察的对象作全面的观测，有时根本无法进行．
(2)有些试验是有破坏性的．
(3)有时因总体包含的数量很大，逐一测试会浪费很多的时间、人力、物力，得不偿失．3．有同学认为：“随机数表只有一张，并且读数时只能
按照从左向右的顺序读取，否则产生的随机样本就不同了，对总体的估计就不准确了”，你认为正确吗？
提示：不正确．随机数表的产生是随机的，读数的顺序也是随机的，不同的样本对总体的估计相差不大．
4．怎样做到抽取样本的公平性？
提示：不放回抽样，搅拌均匀． [例1] 下列抽取样本的方法是简单随机抽样吗？为什么？
(1)从无限多个个体中抽取50个个体作为样本．
(2)箱子里共有100个零件，今从中选取10个零件进行检验，在抽样操作时，从中任意地拿出一个零件进行质量检验后再把它放回箱子里．
(3)从50个个体中一次性抽取5个个体作为样本． [自主解答] (1)不是简单随机抽样，因为被抽取的样本的总体的个数是无限的而不是有限的．
(2)不是简单随机抽样，因为它是有放回地抽样．
(3)不是简单随机抽样，因为它是一次性抽取，
而不是“逐个”抽取．[悟一法]
判断简单随机抽样必须满足以下特点:[通一类]
1．下列问题中，最适合用简单随机抽样方法进行抽样的
是 ( )
A．科学会堂有32排座位，每排有40个座位，有一次
报告会坐满了听众，报告会结束以后留下32名听众听取意见
B．从10台冰箱中抽取3台进行质量检查C．某学校有在编人员160人．其中行政人员16人，教师112
人，后勤人员32人．教育部门为了了解学校机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本
D．某乡农田有山地8 000亩，丘陵12 000亩，平地24 000
亩，洼地4 000亩．现抽取农田480亩估计全乡农田的平均产量解析：A的总体容量较大，用简单随机抽样比较麻烦；B的总体容量较小，用简单随机抽样比较方便；C由于学校各类人员对这一问题的看法可能存在很大差异，所以不宜采用简单随机抽样；D的总体容量较大，且各类田地的产量差别较大，也不宜采用简单随机抽样．答案：B
[例2] 某市为了支援西部教育事业，现从报名的某高校30名志愿者中选取6名组成志愿小组，请用抽签法设计抽样
方案．
[自主解答] 抽样步骤如下：
(1)将报名的某高校30名志愿者进行编号，号码是1,2,3，…，30.
(2)将1～30这30个编号写到大小、形状都相同的号签上． (3)将写好的号签放入一个不透明的容器中，并搅拌均匀．
(4)从容器中每次抽取一个号签(抽取后不放回)，连续抽取6次，并记录下上面的编号．所得的号码对应的6名报名者就是要抽取的组成志愿小组的志愿者．[悟一法]
(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便，二是号签是否容易被搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法，若总体容量非常大，那就费时、费力又不方便，万一搅拌不均匀有失公平性，从而产生坏样本(代表性差的样本)的可能性增加． (2)用抽签法从容量为N的总体中抽取一个容量为n的样本的步骤为：
①给总体中的所有个体编号(号码可以从1到N)；
②将1～N这N个号码写在形状、大小相同的号签上(号签可以用小球、卡片、纸条等制作)；
③将号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀；
④从容器中每次抽取一个号签，并记录其编号，连续抽取n次；
⑤从总体中将与抽到的签的编号相一致的个体取出．2．第九届Channel [V]全球华语榜中榜在上海举行颁奖典
礼，邀请20名港台、内地艺人演出，其中从30名内地艺人中随机选出10人，从18名香港艺人中随机挑选6人，从10名台湾艺人中随机挑选4人，试用抽签法确定选中的艺人，并确定他们的表演顺序．解：第一步先确定艺人：(1)将30名内地艺人从01到30编号，然后用相同的纸条做成30个号签，在每个号签上写上这些编号，然后放入一个小筒中摇匀，从中抽出10个号签，则相应编号的艺人参加演出；
(2)运用相同的办法分别从10名台湾艺人中抽取4人，从18名香港艺人中抽取6人．
第二步确定演出顺序：确定了演出人员后，再用相同的纸条做成20个号签，上面写上1到20这20个数字，代表演出的顺序，让每个演员抽一张，各人抽到的号签上的数字就是这位演员的演出顺序，再汇总即可. [例3] 为了检验某种产品的质量，决定从40件产品中抽取10件进行检验．请利用随机数表法进行抽样，并写出过程．
[自主解答] 第一步：先将40件产品编号，号码为00,01,02，…，38,39.
第二步：教材章末附录中给出的随机数表是5个数一组，使用各组5位数的前2位，从各组数中任选一个前2位小于或等于39的数作为起始号码．例如，从第2行第3组数开始，取出27作为抽取的产品的第一个代号． 第三步：从选定的27开始向右读下去，得到第二个号码26，第三个是27，与第1个相同，跳过不取，第三、四个84、78都大于39，跳过去继续向右读，得到39，已到了一行的末尾，转到下一行从左向右继续读下去，依次得到20,21,34,12,28,22,13，至此10个样本号码已经取满，于是所要抽取的样本号码是27,26,39,20,21,34,12,28,22,13.[悟一法]
随机数表法抽样的步骤：
①将总体中的个体编号．这里的所谓编号，实际上是编数字号码．例如将100个个体编号成00,01,02，…，99，而不是编号成1,2，…，99,100，以便于运用随机数表．
②选定开始的数字．为了保证所选定数字的随机性，应在面对随机数表之前就指出开始数字的纵横位置． ③从选定的数开始按一定的方向读下去，若得到的号码在编号中，则取出；若得到的号码不在编号中或前面已经取出，则跳过，如此继续下去，直到取满为止．
④根据选定的号码抽取样本．[通一类]
3．从30个足球中抽取10个进行质量检测，说明利用随机数
表法抽取这个样本的步骤．
解：步骤如下：
第一步，首先，将30个足球编号：00,01,02，…，29.
第二步，给出的随机数表是5个数一组，使用各个5位数组的前2位．例如选第10行第3组数开始，取出19作为抽取的10个足球的第1个的代号． 第三步，继续向右读，得到第二个号码13，数组的前2位数不大于29且不与前面取出的数重复，就把它取出，否则就跳过去不取，取到一行末尾时转到下一行从左到右继续读数．如此下去直到得出00～29之间的10个二位数. 一个学生在一次竞赛中要回答的8道题是这样产生的：从15道物理题中随机抽3道；从20道化学题中随机抽3道；从12道生物题中随机抽2道．使用合适的方法确定这个学生所要回答的三门学科的题的序号(物理题的编号为1～15，化学题的编号为16～35，生物题的编号为36～47)．
[巧思] 本题相当于从三个总体中抽样本．可以分别使用简单随机抽样——抽签法．将所抽取的个体合在一起组成样本；也可以用随机数表法，在读数时控制每一类中所抽取的个数． [妙解] 法一：抽签法
第一步：将试题的编号1～47分别写在一张纸条上，将纸条揉成团制成号签，并将物理、化学、生物题的号签分别放在三个不透明的袋子中搅匀；
第二步：从装有物理题的袋子中逐个抽取3个号签，从装有化学题的袋子中逐个抽取3个号签，从装有生物题的袋子中逐个抽取2个号签，并记录所得号签上的编号，这便是所要回答的问题的序号．法二：随机数表法
S1 将物理题的编号对应地改成01,02，…，15，其余两门学科的题的编号不变．
S2 给出的随机数表(教材附录的随机数表)是5个数一组，使用各个5位数组的后2位，从各组数中任选一个后2位小于或等于47且大于0的数作为起始号码．例如从第7行的第1组数开始，取出08作为抽取的第1道题的代号． S3 继续向右读，把每组后2位符合要求的数取出，已取出的数跳过，到行末时转到下一行从左向右继续读数，从01～15中选3个号码，从16～35中选3个号码，从36～47中选2个号码，依次可得到16,47,21,40,24,13,06.
S4 对应以上编号找出所要回答的问题的序号，物理题的序号为：6,8,13；化学题的序号为16,21,24；生物题的序号为：40,47.点击此图片进入NO.1 课堂强化点击此图片进入NO.2 课下检测课件35张PPT。2.1
随机抽样 2.1.2
系
统
抽
样课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第二章
统计考点一考点二考点三N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测读教材·填要点小问题·大思维[读教材·填要点] 1．系统抽样的概念
将总体分成 的若干部分，然后按照 的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样．
在系统抽样中，由于抽样的间隔相等，因此系统抽样也叫做 抽样．预先制定均衡等距 2．系统抽样的步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，步骤为：
(1)先将总体的N个个体编号，有时可直接利用个体自 身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等； (l＋k)(l＋2k)[小问题·大思维]2．抽样时，系统抽样的适用范围是什么？
提示：系统抽样适合于总体容量较大且个体之间差异不大的总体．
3．人们打桥牌时，将洗好的扑克牌(52张)随机确定一张
为起始牌，这时，开始按次序搬牌，对任何一家来说，都是从52张总体中抽取一个容量为13的样本．想一想这种抽样方法是否为简单随机抽样？提示：简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取，而这里只是随机地确定了起始张，这时其他各张虽然是逐张地被抽取，其实各张在谁手里已确定，所以，这不是简单随机抽样，根据其等距起牌的特点应将其定位在系统抽样． [例1] 下列抽样中不是系统抽样的是 ( )
A．从标有1～15号的15个小球中任选3个作为样本，按从小号到大号排序，随机确定起点i，以后为i＋5，i＋10(超过15则从i再数起)号入样
B．工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品检验 C．为搞市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止
D．电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈
[自主解答] C不是系统抽样，由于事先不知道总体，没法对总体均衡分成若干部分．
[答案] C [悟一法]
(1)系统抽样适用于个体数目较多且均衡的总体．
(2)在整个抽样过程中，每个个体被抽取的可能性相等．
(3)系统抽样以简单随机抽样为基础，在总体均分后的第一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样．[通一类]
1．下列抽样试验中，最适宜用系统抽样的是 ( )
A．从某厂生产的15件产品中随机抽取5件入样
B．从某厂生产的1 000件产品中随机抽取10件入样
C．从某厂生产的1 000件产品中随机抽取100件入样
D．某市的4个区共有2 000名学生，这4个区的学生人
数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样解析：A总体容量很小，适宜抽签法．B样本容量很小，适宜用随机数表法．C满足总体容量大，个体无明显差异，样本容量较多的特点．
答案：C [例2] 一个体育代表队有200名运动员，其中两名是种子选手．现从中抽取13人参加某项运动．若种子选手必须参加，请用系统抽样法给出抽样过程． [自主解答] 第一步：除去2名种子选手还剩198人，将这198名运动员用随机方式编号，编号为001,002，…，198；
第二步，将编号按顺序每18个一段，分成11段；
第三步：在第一段001,002，…，018这18个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如010)作为起始号码；
第四步：将编号为010,028,046，…，190的个体抽出，组成除种子选手外的代表队员． [悟一法][通一类]
2．[例题多维思考]在本例中，若种子选手并非必须参加， 请用系统抽样法给出抽样过程． 第二步；将编号按顺序每15个一段，分成13段；
第三步：在第一段001,002，…，015这15个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如005)作为起始号码；
第四步：将编号005依次加上间隔15，把005,020,035，…，185的个体抽出，组成代表队员. [例3] 某工厂有工人1 021人，其中高级工程师20人，现抽取普通工人40人，高级工程师4人组成代表队参加某项活动，怎样抽样？
[自主解答] 普通工人1 001人抽取40人，适宜用系统抽样法；高级工程师20人抽取4人，适宜用抽签法．
(1)将1 001名职工用随机方式编号． (4)将编号为0 003,0 028,0 053，…，0 978的个体抽出．
(5)将20名高级工程师用随机方式编号，编号为01,02，…，20.
(6)将这20个号码分别写在一个小纸条上，揉成小球，制成号签．
(7)将得到的号签放入一个容器中，充分搅拌．
(8)从容器中逐个抽取4个号签，并记录上面的编号．
(9)从总体中将与抽号签的编号相一致的个体取出．以上两类方法得到的个体便是代表队成员．[悟一法]
(1)当问题比较复杂时，可以考虑在一个问题中交叉使用多种方法，面对实际问题，准确合理地选择抽样方法，对初学者来说是至关重要的．
(2)选择抽样方法的规律:
①当总体容量较小，样本容量也较小时，制签简单，号签容易搅匀，可采用抽签法．
②当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数法．
③当总体容量较大，样本容量也较大时，适合用系统抽
样法．[通一类]确定第一样本户：编码的后两位数为02的户为第一样本户；
确定第二样本户：2＋40＝42,42号为第二样本户；
…
(1)该村委采用了何种抽样方法？
(2)抽样过程中存在哪些问题，并修改；
(3)哪个环节用的是简单随机抽样？ 某校高中二年级有253名学生，为了了解他们的视力情况，准备按1∶5的比例抽取一个样本，试用系统抽样方法进行抽取，并写出过程．
[巧思] 因253不能被5整除，若按1∶5比例抽取样本．先随机剔除掉3个个体，再采取系统抽样． [妙解] S1 先把这253名学生编号001,002，…，253；
S2 用随机数表法任取出3个号，从总体中剔除与这三个号对应的学生；
S3 把余下的250名学生重新编号1,2,3，…，250；
S4 分段：取分段间隔k＝5，将总体均分成50段，每段含5名学生；
S5 从第一段即1～5号中随机抽取一个号作为起始号，如l：
S6 以后各段中依次取出l＋5，l＋10，…，l＋245这49个号．这样就按1∶5的比例抽取了一个样本容量为50的样本．点击此图片进入NO.1 课堂强化点击此图片进入NO.2 课下检测课件36张PPT。2.1
随机抽样 2.1.3
分
层
抽
样课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第二章
统计考点一考点二考点三N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测读教材·填要点小问题·大思维[读教材·填要点] 1．分层抽样的概念
将总体中各个个体按某种特征分成若干个 的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中 进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样的方法叫做分层抽样．
2．分层抽样的适用条件
分层抽样尽量利用事先所掌握的各种信息，并充分考虑保持样本结构与总体结构的一致性，这对提高样本的代表性非常重要．当总体是由 的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．互不重叠 所占比例差异明显[小问题·大思维]1．分层抽样将总体分成互不重叠的几部分的用意是什么？
提示：在总体中，由于个体之间存在着明显的差异，为了抽取的样本更合理、更有代表性，所以将总体分成互不重叠的几部分，而后独立地抽取一定数量的个体．2．某县为了解中小学生平时零花钱问题，为了节省人力、
物力、财力，只在位于县城的几所中小学按小学、初中，高中在校人数分层抽取了一部分学生了解情况，你认为这样科学吗？说明理由．
提示：这种抽样不科学，因为影响学生零花钱的不只有学生的年龄，同时城镇学生和农村学生零花钱也会有区别，所以这样分层不合理．3．分层抽样与简单随机抽样、系统抽样有什么区别与联系？
提示： [例1] 某中学有老年教师20人，中年教师65人，青年教师95人．为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是 ( )
A．抽签法 B．系统抽样
C．分层抽样 D．随机数法
[自主解答] 因为该中学的所有教师中，老年教师、中年教师和青年教师的身体状况会有明显的差异，所以要用分层抽样． [答案] C[悟一法]
判断抽样方法是不是分层抽样，主要是依据分层抽样的特点:
(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．
(2)更充分地反映了总体的情况．
(3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等． [通一类]
1．已知一班有学员54人，二班有学员42人，现在要用分
层抽样方法从两个班级中抽出一部分人参加4×4方阵进行军训表演，则从一班和二班抽取的人数分别是 ( )
A．9,7 B．15,1
C．8,8 D．12,4答案：A[悟一法] 利用分层抽样抽取样本的操作步骤为:
①将总体按一定标准进行分层；
②计算各层的个体数与总体的个体数的比；
③按各层的个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量；
④在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样)；
⑤最后将每一层抽取的样本汇总合成样本． [通一类]
2．(2011·湖北高考)某市有大型超市200家、中型超市400
家、小型超市1400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市________家．
答案：20
[例3] 为了考察某校的教学水平，对这个学校高三年级的部分学生的本学年考试成绩进行考察，为了全面地反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查(已知该校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同)：①从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20人，考察他们的学习成绩；②每个班都抽取1人，共计20人，考察这20个学生的成绩；③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从其中共抽取100名学生进行考察．(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人)根据上面的叙述，
试回答下列问题：
(1)上面三种抽样方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽样方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？
(2)上面三种抽样方式中各自采用何种方法？
(3)试分别写出上面三种抽样方式各自抽取样本的步骤． [自主解答] (1)上面三种抽取方式中，其总体都是高三全体学生本学年的考试成绩，个体都是高三年级每个学生本学年的考试成绩．其中第一种与第二种抽取方式中的样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20；第三种抽取方式中的样本为所抽取的100名学生本学年的考试成绩，样本容量为100.
(2)上面三种抽取方式中，第一种方式采用的是简单随机抽样法；第二种方式采用的是系统抽样法和简单随机抽样法；第三种方式采用的是分层抽样法和简单随机抽样法． (3)第一种抽样方式的步骤如下：
①在这20个班中用抽签法任意抽取一个班．
②从这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取20名学生，考察其考试成绩．
第二种抽样方式的步骤如下：
①在第一个班中，用简单随机抽样法任意抽取某个学号，如学号为a.
②在其余的19个班中，选取学号为a的学生，共20人． ③按层次分别抽取．在优秀生中用简单随机抽样法抽取15人；在良好生中用简单随机抽样法抽取60人；在普通生中用简单随机抽样法抽取25人．[悟一法]
三种抽样方法的比较[通一类]
3．某学校有职工500人，其中一线业务教师300人，管理人
员100人，后勤服务人员100人，为了了解职工每天的平均工作收入，要从中抽取一个容量为50的样本，按下述三种方法：
方法1：将500人从1至500编号，然后用白纸做成写有1至500号的签放入箱内拌匀，从中抽出50个签，与签号相应的50人被选出；方法2：将500人从1至500编号，按编号顺序分成50组，每组10人，号码分别为1～10、11～20、…、490～500，先从第1组中用抽签法抽出k(1≤k≤10)号，其余组的(k＋10n)号(n＝1,2，…，49)亦被抽到，如此抽到50人；
方法3：按50∶500＝1∶10的比例，从一线业务教师中抽取30人，从管理人员中抽取10人，从后勤人员中抽取10人．用随机数表法从各类人员中抽取所需的人数，他们合在一起恰好是50人．
针对上面的问题，你觉得哪一种抽样方法最为合理？试说明你的理由．解：第三种抽样方法最为合理．
第一种抽样为简单随机抽样，因为总体容量和样本容量都很大，所以比较麻烦．
第二种抽样为系统抽样．因为500人中，个体差异比较明显．如果采用系统抽样，可能会在某一类中集中，而其他类中可能人数较少，这样得到的样本就不能真实反映其收入的平均情况．
第三种抽样为分层抽样，是最为合理的，把三种职工分为三部分，每部分中按比例抽取层样本，最后凑得样本． 某校共有教师302名，其中老年教师30名，中年教师150名，青年教师122名．为调查他们对新课程改革的看法，从中抽取一个60人的样本．请写出抽样过程．点击此图片进入NO.1 课堂强化点击此图片进入NO.2 课下检测课件30张PPT。2.1
随机抽样 2.1.4
数
据
的
收
集课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第二章
统计考点一考点二N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测读教材·填要点小问题·大思维[读教材·填要点]数据收集的常用方式做试验查阅资料设计调查问卷[小问题·大思维]选取调查对象应注意什么问题？
提示：调查对象要按随机的原则选取，要保证总体中每一个被调查对象被选取的机会均等，不能出现倾向性误差，要使样本的选取具有代表性． [例1] 请设计一个测量全班同学身高的试验．
[自主解答] 试验的操作步骤设计如下：
(1)准备身高测量仪(为了多次测量求平均值，可以准备多架身高测量仪，比如用3架测量仪)；
(2)安排负责仪器的人，一般每架仪器两人，一人测量一人记录； (3)组织学生排队依次测量．用每架测量仪各测量一次，将所得数据填入下表；
(4)整理数据，用求平均值的方法算出每位同学的身高.[悟一法]
设计试验时，①需将试验用的仪器及人员安排要考虑全面．②将试验的步骤考虑精细，以保证试验的顺利进行．[通一类]
1．某大学要得到全体一年级新生的身高，最恰当的数据收
集方法是 ( )
A．做试验 B．查阅资料
C．设计调查问卷 D．三者都不合适
解析：大学生一年级新生入学时都需查体，身高是其中一项，查阅相应体检资料即可得身高数据．答案：B [例2] 请为某出版社出版的系列图书设计一份了解顾客对该系列产品满意程度的调查问卷．
[自主解答] 调查问卷设计如下：
姓名________电话________职业________
电子邮件________________________________________
邮政地址________邮政编码________
所购图书名称____________________________________
购买书店________________________________________
________月________日购买请回答以下问题：
1．您认为本图书的文章质量( )(只能选其一)
A．很好 B．好 C．一般 D．差 E．很差
2．您认为本图书的封面设计( )(只能选其一)
A．很好 B．好 C．一般 D．差 E．很差
3．您认为本图书的印刷质量( )(只能选其一)
A．很好 B．好 C．一般 D．差 E．很差
4．您认为本图书的价格( )(只能选其一)
A．合适 B．偏高 C．偏低5．您决定购买本图书的原因是 ( )
A．文章质量好且价格低廉
B．价格无所谓，能读到好文章就行
C．该书的作者知名度高
D．图书封面设计新颖
E．图书印刷质量高6．您是通过何种渠道了解到本产品的 ( )
A．报纸广告(哪家报纸________)
B．朋友介绍
C．书店宣传(书店名称________)
D．在书店偶然发现
E．其他媒体报道
7．您认为该系列图书的优势在于 ( )
A．价格优势 B．文章质量优势
C．作者知名度优势 D．宣传优势8．您这是第________次购买该系列图书？( )
9．您(是/否)还会购买该系列的产品．( )
10．其他感受__________________________________
_______________________________________________[悟一法] 调查问卷一般由一组有目的、有系统、有顺序的题目组成．问题由调查人员根据调查的目的、项目进行设计．
在设计调查问卷时，应注意以下问题:
(1)问题要具体，有针对性，使受调查者能够容易作答；
(2)语言简单、准确，含义清楚，避免出现有歧义或意思含混的句子；
(3)题目不能出现引导受调查者答题倾向的语句，例如调查问题是“大家都认为国家足球队肯定能小组出线，您的意见呢？”这种问法可能导致答卷者选择小组出线的答案．[通一类]
2．请设计一份中学生消费状况的调查问卷．
解：(1)你的零用钱来源是( )
A．父母 B．亲戚 C．自力更生 D．其他
(2)每月你的零花钱数量是( )
A．20元以下 B．20～50元
C．50～100元 D．100～300元
E．300元以上(3)你的零花钱主要使用方向是( )
A．用于衣食住行等方面 B．用于购买学习用品
C．用于休闲、娱乐方面 D．其他
(4)剩余的零花钱你一般如何处理？( )
A．存入银行 B．交给父母 C．花完为止
(5)你的消费方式是( )
A．事先做好消费计划再花钱
B．能省则省
C．毫不在乎，想买就买
D．其他(6)当你想买某样东西时，却发现钱不够，那么你会( )
A．向父母要钱 B．自己存钱
C．向别人借钱 D．暂时放弃
E．其他
(7)你认为中学生有必要买手机吗？( )
A．有必要 B．暂时不要
C．非常有必要 D．其他(8)当你的朋友过生日时，你会送礼物吗？( )
A．必须要送，不然没面子
B．自己制作，有意义
C．没关系，量力而行，大家都这么熟了
D．其他
(9)在购买商品过程中，你是否考虑过“货比三家”？( )
A．是 B．否 C．其他
(10)你在购物时会还价吗？( )
A．还价 B．不知或不会还价 C．从不还价 中央电视台希望在春节晚会播出后一周内获得当年春节晚会的收视率，下面是两名同学为电视台设计的调查方案．
同学甲：我把这张《春节晚会收视率调查表》放在互联网上，只要上网登录该网址的人就可以看到此表，他们填表的信息可以很快地反馈到我的电脑中，这样，我就可以很快统计出收视率了． 同学乙：我在电话号码本上随机地选出一定数量的电话号码，然后逐个给他们打电话，问一下他们是否收看了中央电视台春节联欢晚会，我不出家门就可以统计出中央电视台春节联欢晚会的收视率．
请问两位同学的调查方案中，哪位同学的统计可靠？ [错解] 甲同学
[错因] 在实践中，产生随机样本的困难较大，它受到调查对象、对象的分布、时间、空间、调查问题和过程等诸多因素的制约，随机性的保证是其中最关键的．学生甲的方案考虑的人群是上网且登录某网址的人群，那些不能上网的人群或不能登录此网址的人群就被排除在外了，所以抽样代表性差；学生乙的方案考虑的人群是那些有电话的人群，也有一定的片面性，所以代表性也不强． 因为联欢晚会的收视群体构成复杂，春节前后人口流动情况严重，总体分布不稳定，信息联络方式不唯一等，所以上面两种方案都不能保证抽样的随机性．
[正解] 都不可靠点击此图片进入NO.1 课堂强化点击此图片进入NO.2 课下检测课件45张PPT。2.2
用样本估计总体 2.2.1
用样本的频率分布估计总体的分布课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第二章
统计N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测读教材·填要点小问题·大思维考点一考点二考点三[读教材·填要点]1．关于频率分布的基本概念最大值与最小值个数频数频数样本容量样本的频率分布频率与组距的比值相应各组的频率中点不断增大不断缩小 3．茎叶图
茎是指 的一列数，叶就是从 的旁边生长出来的数．茎叶图通常用来记录两位数的数据，把两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎叶图可用来分析单组数据，也可以对两组数据进行比较．茎叶图不仅能够保留原始数据，而且能够展示数据的分布情况．中间茎4．几种频率分布图(表)的优缺点对比[小问题·大思维]1．将数据的样本进行分组的目的是什么？
提示：从样本中的一个个数字中很难直接看出样本所包含的信息，通过分组，并计算其频率，目的是通过描述样本数据分布的特征估计总体的分布情况．
2．组数与组距是怎样确定的？
提示：一般地，样本容量为100时，分成8～12组，且样本容量越大，分的组数越多．同时还要照顾到样本数据的特点和极差的大小．3．在什么情况下，可以用茎叶图表示样本数据的统计图？
提示：当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，而当样本数据较多时，枝叶就会很长，茎叶图就显得不太方便． [例1] 为了了解一大片经济林的生长情况，随机测量其中的100株的底部周长(单位：cm)，得到如下数据：
135 98 102 110 99 121 110 96
100 103 125 97 117 113 110 92
102 109 104 112 105 124 87 131
97 102 123 104 104 128 109 123
111 103 105 92 114 108 104 102
129 126 97 100 115 111 106 117104 109 111 89 110 121 80 120
121 104 108 118 129 99 90 99
121 123 107 111 91 100 99 101
116 97 102 108 101 95 107 101
102 108 117 99 118 106 119 97
126 108 123 119 98 121 101 113
102 103 104 108(1)列出频率分布表；
(2)绘制频率分布直方图、频率分布折线图；
(3)估计该片经济林中底部周长小于100 cm的树木约占多少，周长不小于120 cm的树木约占多少． [自主解答] (1)从数据中可以看出，这组数据的最大值为135，最小值为80，故极差为55，可将其分为11组，组距为5.列频率分布表如下：(2)画频率分布直方图、频率分布折线图如图所示． (3)从频率分布表可以看出，该样本中小于100的频率为0.01＋0.02＋0.04＋0.14＝0.21，不小于120的频率为0.11＋0.06＋0.02＝0.19，故可估计该片经济林中底部周长小于100 cm的树木约占21%，周长不小于120 cm的树木约占19%.[悟一法][通一类]
1．已知一个样本：
30,29,26,24,25,27,26,22,24,25,26,28,25,21,23,25,27,29,25,28.
?(1)列出样本的频率分布表．
(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图．列出频率分布表如下：(2)作出频率分布直方图如图：取各小长方形上的中点并用线段连接就构成了频率分布折线图，如图． [例2] 某班欲从甲、乙两名同学中选出一名参加数学奥林匹克竞赛，他们自高中以来每次数学考试成绩情况如下：
甲的得分：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107.
乙的得分：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101,97,102.
作出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人成绩进行比较． [自主解答] 由已知数据可得：选择6,7,8,9,10,11作为茎，个位数字为叶，则甲乙两名同学数学成绩的茎叶图如图所示．从茎叶图中可以看出乙同学得分情况大致对称，中位数是98，分数多集中在90多分．甲同学得分也大致对称，中位数是88，分数多集中在80多分，因此乙同学成绩较好，发挥比较稳定．[悟一法] 茎叶图的制作步骤如下:
(1)将所有两位数的十位数字作为“茎”，茎按从小到大同列排列，茎相同者共用一个茎，再画上竖线作为分界线；
(2)在分界线的另一侧对应“茎”处，记录下“叶”——个位数字，一般共茎的叶按从小到大(或从大到小)的顺序同行列出．[通一类]
2．[例题多给思考]在某阶段的数学考试(满分150分)中，甲、
乙两班的成绩如下：
甲：120 118 135 134 140 146 108 110 98 88 142 126 118 112 95 103 148 92 121 132
乙：138 124 147 96 108 117 125 137 119 108 132 121 97 104 114 135 127 124 135 107
试用茎叶图分析，谁的成绩更稳定？解：茎叶图如图所示，(以十位、百位为茎，个位为叶)
甲班 乙班 从茎叶图可以看出：尽管甲班有4名同学超过140分，但成绩较乙班分散一些，所以乙班的成绩较集中，较稳定. [例3] 世界卫生组织指出青少
年的身体健康状况是一个应该引起
大家足够重视的问题，某校为了了
解小学生的体能情况，抽取了一个
年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试．将所得数据整理后，画出频率分布直方图，如图所示，已知图中从左至右前三个小组的频率分别为0.1,0.3,0.4，第一个小组的频数为5.?
[研一题] (1)求第四小组的频率；
(2)求参加这次测试的学生人数是多少？
(3)若在75次以上(含75次)为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率是多少？ [悟一法]
1．频率分布直方图的性质:
(1)因为小矩形的面积＝组距×频率/组距＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小．
(2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.
(3)频数/相应的频率＝样本容量．
2．频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性．3．在学校开展的综合实践活动中，
某班进行了小制作评比，作品上交
时间为6月1日到30日，评委会把同
学们上交作品的件数按5天一组分组
统计，绘制了如图所示的频率分布直方图．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，请回答下列问题：[通一类](1)本次活动共有多少件作品参加评比？
(2)哪组上交的作品数量最多？有多少件？
(3)经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率较高？ 中小学生的视力状况受到全社会
的广泛关注，某市有关部门从全市6万
名高一新生中随机抽取了400名学生，
对他们的视力状况进行一次调查统计，
将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图，从左至右五个小组的频率之比依次是5∶7∶12∶10∶6.则全市高一新生视力在[3.95，4.25]范围内的学生约有多少人？点击此图片进入NO.1 课堂强化点击此图片进入NO.2 课下检测课件46张PPT。2.2
用样本估计总体 2.2.2
用样本的数字特征估计总体的数字特征课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第二章
统计N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测读教材·填要点小问题·大思维考点一考点二考点三[读教材·填要点]1．众数、中位数、平均数最多中间中间平均数近似x1＋x2＋…＋xn取齐平均水平1．在频率分布直方图中，如何求众数、中位数、平均数？
提示：(1)众数是最高的矩形的底边的中点．
(2)中位数左边和右边的直方图面积应相等，由此来估计中位数的值．
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，它等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．[小问题·大思维]2．一组数据的中位数是否会有两个或多个？
提示：不会．在一组数据中，中位数一定存在且是惟一的．
3．平均数与标准差在估计总体时有什么差异？
提示：(1)平均数提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使人作出对总体的片面判断，样本中的最大值和最小值对平均数的影响较大，所以平均数有时难以概括样本数据的实际状态． (2)当样本的平均数相等或相差无几的时候，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征，而样本数据的离散程度，就由标准差来衡量．
(3)标准差反映了各个样本数据聚集于样本平均数周围的程度．标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数的周围越集中；反之，表明各个样本在平均数的周围越分散． [例1] 已知一组数据：125 121 123 125 127 129 125 128 130 129 126 124 125 127 126 122 124 125 126 128
(1)填写下面的频率分布表：(2)作出频率分布直方图；
(3)根据直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数．[自主解答] (1)(2)[悟一法] 利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致．但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数．
一般地，在频率分布直方图中，中间段数据最多的，即矩形最高的，其区间的中点值为众数的近似值；根据左右两边频率相等均为0.5，可在中间画一虚线，虚线对应的横坐标为中位数的估计值；每一区间段的中间值与对应频率乘积之和为平均数的近似值．[通一类]
1．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下的频
率分布直方图．由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求：
(1)这50名学生成绩的众数与中位数．
(2)这50名学生的平均成绩．解：(1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直方图中高度最高的小长方形框的中间值的横坐标即为所求，所以众数应为75.
由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求．∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3
∴前三个小矩形面积的和为0.3.
而第四个小矩形面积为
0．03×10＝0.3,0.3＋0.3>0.5，
∴中位数应位于第四个小矩形内．
设其底边为x，高为0.03，
∴令0.03x＝0.2得x≈6.7，
故中位数应为70＋6.7＝76.7.(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积即可．
∴平均成绩为45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.021×10)＋95×(0.019×10)≈76.5. [例2] 据报道，某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下： (1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；
(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法． (3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平． 3．求中位数，首先把各数据按从小到大进行排列，处于最中间的数或中间两个数的平均数就是该组数据的中位数．一组数据的中位数只有一个，它可能是该组数据中的数，也可能不是，它不会受到极端值的影响．[通一类]
2．某公司销售部有销售人员15人，销售部为了制定某种
商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：(1)求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数；
(2)假设销售部负责人把月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较为合理的销售定额．?
[研一题][自主解答] (1)如图所示，茎表示成绩的整数环数，叶表示小数点后的数字[悟一法]
1．平均数描述了数据的平均水平，定量地反映了数据的集中趋势所处的水平．用样本的平均数估计总体的平均数时，样本的平均数只是总体的平均数的近似值．因为抽取的样本不同，计算所得的样本平均数一般不相同．由于平均数与样本的每一个数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息．但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低． 2．样本方差和标准差是样本中各数据到平均数的一种平均距离．反映的是总体中数据的离散程度．样本的方差大，则其标准差就大，说明样本数据的差异和波动性大；样本容量越大，样本的方差、标准差就越接近总体的方差、标准差，则样本数据的特征就能更好的反映总体数据的差异和波动性大小．[通一类]
3．对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测
试，测得他们最大速度(m/s)数据如下：
甲：27,38,30,37,35,31；
乙：33,29,38,34,28,36.
根据以上数据，试判断他们谁更优秀． 在某次数学测试中，选取了10名学生的成绩进行统计(满分150分)，统计结果如下(单位：分)：
118,119,120,122,117,125,117,120,125,117.
(1)问这10名学生的平均成绩是多少？
(2)试估计该班学生的平均成绩． 点击此图片进入NO.1 课堂强化点击此图片进入NO.2 课下检测课件44张PPT。2.3
变量的相关性课前预习·巧设计名师课堂·一点通创新演练·大冲关第二章
统计N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测读教材·填要点小问题·大思维考点一考点二考点三[读教材·填要点]1．两个变量的相互关系确定性随机性2．两个变量的线性相关相关左下角右上角由小变大，左上角右下角大变小一条直线线性相关1．任给一组数据，我们都可以由最小二乘法得出回归直
线方程吗？
提示：用最小二乘法求回归直线的方程的前提是先判断所给数据具有线性相关关系(可利用散点图判断)．否则求出的回归直线方程是无意义的．[小问题·大思维]2．如何确定两个变量x和y的相关关系？
提示：(1)散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断；
(2)表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断；
(3)经验法：借助积累的经验进行分析判断． [例1] 对某种鸡胚胎的生长进行研究，测得5～20日龄鸡的胚胎的质量如下： (1)请作出这些数据的散点图；
(2)关于这两个变量的关系，你能得出什么结论？
[自主解答] (1)以鸡胚胎的日龄为x轴，以胚重为y轴，作出散点图，如图所示． (2)从图象观察，许多点不在同一直线附近，但可以看出随着时间的增加，胚重增长得越来越快，所以具有正相关关系．[悟一法] 1．两个变量x和Y相关关系的确定方法:
(1)散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断；
(2)表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断；
(3)经验法：借助积累的经验进行分析判断．
2．判断两个变量x和Y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．[通一类]
1．以下是在某地搜集到的不同楼盘新房屋的销售价格
y(单位：万元)和房屋面积x(单位：m2)的数据： (1)画出数据对应的散点图；
(2)判断新房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系？如果有相关关系，是正相关还是负相关？解：(1)数据对应的散点图如图所示．(2)通过以上数据对应的散点图可以判断，新房屋的销售价格和房屋的面积之间具有相关关系，且是正相关.[例2] 某5名学生的数学成绩和化学成绩如下表：(1)画出散点图；
(2)如果x，y线性相关，
①求y对x的回归方程；
②求x对y的回归方程．[自主解答] (1)散点图如下：(2)数据整理如下：[通一类]
2．某化工厂的原料中两种有效成分A和B的含量如下表
所示：用x表示A的含量，y表示B的含量(计算精确度保留小数点后4位)．
(1)作出散点图；
(2)y与x是否线性相关？若线性相关，求出线性回归方程．解：(1)散点图如图所示：[研一题] [例3] (2011·安徽高考)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线方程．为此对数据预处理如下：[悟一法]
解决回归直线方程及其应用问题时，其一般思路如下:
(1)将表中的各对数据在平面直角坐标系中描点，得到散点图；
(2)按线性相关关系探求规律；(3)按求回归直线方程的步骤和公式写出回归直线方程；
(4)利用回归直线方程分析．[通一类]
3．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程
中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：解：(1)散点图，如图所示．
有人统计了同一个省的6个城市某一年的人均国民生产总值(即人均GDP)和这一年各城市患白血病的儿童数量，如下表： [错因] 在第(1)问中，是否具有线性相关关系，要看大部分点、主流点是否分布在一条直线附近，个别点是不影响“大局”的，所以可断定这两个变量具有线性相关关系．在第(2)问中，381.25只是一个估计值，由它不能断言这个城市患白血病的儿童一定超过380人．如果这个城市的污染很严重，有可能人数远远超过380，若这个城市的环境保护的很好，则人数就有可能远远低于380.点击此图片进入NO.1 课堂强化点击此图片进入NO.2 课下检测课件42张PPT。
章
末
复
习
方
案
与
全
优
评
估
要点整合再现高频考点例析阶段质量检测考点一考点二考点三第二章
统计考点四 (2)应用三种抽样方法时的使用原则：
①当总体容量较小，样本容量也较小时，制签简单，号签容易搅匀，可采用抽签法；
②当总体容量较大，样本容量较小时可用随机数表法；
③当总体容量较大，样本容量也比较大且个体均衡时可用系统抽样法；
④当总体容量较大且由明显差异的几部分构成时，采用分层抽样法． 2．用样本估计总体
(1)利用样本的频率分布表和频率分布直方图对总体情况作出估计，有时也利用频率分布折线图和茎叶图对总体
估计．
①用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定的一组数据进行列表、作图处理，作频率分布表与频率分布直方图时要注意其方法步骤．
②茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有信息都可以从图中得到，二是便于记录和表示，但数据较多时不方便． (2)样本的数字特征可分为两大类：一类是反映样本数据集中趋势的，包括众数、中位数和平均数；另一类是反映样本波动大小的，包括方差及标准差．我们常通过样本的数字特征估计总体的数字特征． (3)在用样本的数字特征估计总体的数字特征时应注意：
①任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变．特殊情况下，平均数可能受某几个极端值的影响，而偏离一般情况．
②标准差的平方是方差，标准差的单位与样本数据的单位一致．
③用样本的平均数和标准差估计总体的平均数和标准差时，样本的平均数和标准差只是总体的平均数和标准差的
近似． 3．两个变量之间的相互关系
(1)除了函数关系这种确定性的关系外，还有大量存在因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系——相关关系． (2)分析两个变量的相关关系时，我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘法求出回归直线方程．把样本数据表示的点在直角坐标系中作出，构成的图叫散点图，从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系．如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，直线方程叫做回归直线方程． [例1] 某工厂有1 003名工人，从中抽取20人参加体检，试采用系统抽样方法给出抽样过程．
[解] 系统抽样：
因为1 003＝20×50＋3，为了保证“等距”分段，
应先剔除3人．
第一步：将1 003个人用随机方式编号； 第二步：从总体中剔除3个人(剔除方法可用随机数表法)，将剩下的1 000个人用随机方式编号，编号分别为0 001,
0 002，…，1 000，并分成20段；
第三步：在第1段0 001,0 002，…，0 050这50个编号中用简单随机抽样抽出1个号(如0 003)作为起始号码；
第四步：将编号为0 003,0 053,0 103，…，0 953的个体抽出，组成样本．
[借题发挥] 理解并掌握三种抽样方法的联系和区别，弄清三种抽样方法的实施步骤，确保所抽样本的公平性与合
理性．1．(2011·上海模拟)某社区对居民进行上海世博会知晓情况
的分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、1 600人、1 400人．若在老年人中的抽样人数是70，则在中年人中的抽样人数应该是______．答案：80
2．某单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，
35～49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人，为了解这个单位职工与身体状况有关的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本．请给出抽样过程． [例2] 某班54名学生在某次综合素质测试中总分成绩(满分710分)为： (1)写出样本频率分布表；
(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图；
(3)如果规定580分过重点大学线，则不过重点大学线的百分比约是多少？(2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示： [借题发挥] 用样本频率分布估计总体频率分布，主要是改变样本数据的排列形式．如频率分布表、频率分布直方图，频率分布折线图和茎叶图，这样可以直观地看出样本中数据的集中程度．3．(2012·长春高一检测)如图是CBA篮球联赛中，甲
乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，则平均得分高的运动员是________．
甲 乙解析：从茎叶图上可得甲的得分为：8,10,15,16,22,23,25,26,27,32，所以可得平均值为20.4；乙的得分为8,12,14,17,18,19,21,27,28,29，所以可得平均值为19.3，所以平均得分高的运动员是甲．答案：甲
4．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单
位：分)：
甲组 76 90 84 86 84 87 86 82 85 83
乙组 82 84 85 89 79 80 91 89 79 74
用茎叶图表示两个小组的成绩，判断哪个小组的成绩更整齐一些？解：茎叶图如下：甲组成绩大致对称，中位数是84.5，乙组成绩中位数是83，因此甲组的成绩更整齐一些. [例3] 甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次，每次射靶成绩(单位：环)如图所示．(1)填写下表：(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析：
①从平均数和方差结合分析偏离程度；
②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些；
③从平均数和命中9环以上的次数相结合看谁的成绩好些；
④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力． [借题发挥] 用样本来估计总体，仅凭频率分布表及频率分布直方图来直观呈现还不具体，还需要用数据说话，即用样本的数字特征估计总体数字特征．众数反映的是出现次数最多的数；中位数是各数据按由小到大排列后，中间的数或中间两数的平均数；平均数反映了样本中各数据的平均程度，而方差和标准差则反映了样本中数据的离散程度．5．甲，乙两中学生在一年里学科平均分相等，但他们的方
差不相等，正确评价他们的学习情况是 ( )
A．因为他们的平均分相等，所以学习水平一样
B．成绩虽然一样，方差较大的，说明潜力大，学习态
度踏实
C．表面上看这两个学生平均成绩一样，但方差小的学
习成绩稳定
D．平均分相等，方差不等，说明学习水平不一样，方
差较小的同学，学习成绩不稳定，忽高忽低解析：平均数反映样本数据的平均水平，而方差反映的是样本数据的波动性大小，即稳定程度．
答案：C [例4] 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：(1)画出散点图；
(2)求加工时间y关于零件数x的回归直线方程；
(3)当加工120个零件时，对所花费时间予以估计．[解] (1)画出散点图如图． [借题发挥] (1)利用散点图判断两个变量之间是否具有线性相关性，体现了数形结合思想的应用，而用回归直线方程进行估计又体现了函数与方程思想的应用．
(2)回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性．答案：A
点击此图片进入阶段质量检测