一、选择题
1．关于一元二次方程x2－5x＋6＝0的求根问题，下列说法正确的是( )
A．只能设计一种算法
B．可以设计两种算法
C．不能设计算法
D．不能根据解题过程设计算法
解析：一元二次方程的求解过程可以用公式法和分解因式法进行，可根据不同的解题过程来设计算法，故可以设计两种算法，但两种算法输出的结果是一样的．
答案：B
2．下列各式中T的值不能用算法求解的是( )
A．T＝12＋22＋32＋42＋…＋1002
B．T＝＋＋＋＋…＋
C．T＝1＋2＋3＋4＋5＋…
D．T＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋99－100
解析：算法求解应该在有限步之内能完成．T＝1＋2＋3＋4＋5＋…是无限的，所以不能用算法求解．
答案：C
3．已知算法：
S1 输入正整数n.
S2 判断n是否是2，若n＝2，则n满足条件；若n>2，则执行S3.
S3 依次检验从2到n－1的整数能不能整除n，若不能整除n，满足条件．上述满足条件的数是( )
A．质数 B．奇数
C．偶数 D．4的倍数
解析：依题意，知该数除自身与1外没有其他约数，故它为质数．
答案：A
4．下列叙述能称为算法的个数为( )
①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤．
②顺序进行下列运算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…，99＋1＝100.
③从枣庄乘火车到徐州，从徐州乘飞机到广州．
④3x>x＋1.
⑤求所有能被3整除的正数，即3,6,9,12，….
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：根据算法的含义和特征：①②③都是算法．④⑤不是算法．其中④，3x>x＋1不是一个明确的逻辑步骤，不符合逻辑性；⑤的步骤是无穷的，与算法的有穷性矛盾．
答案：B
二、填空题
5．给出下列算法：
S1 输入x的值．
S2 当x>4时，计算y＝x＋2；否则执行下一步．
S3 计算y＝.
S4 输出y.
当输入x＝0时，输出y＝__________.
解析：∵x＝0>4不成立，∴计算y＝＝2.
答案：2
6．求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最值的一个算法如下，请将其补充完整：
第一步，计算m＝.
第二步，__________________________________________________________.
第三步，__________________________________________________________.
解析：m是最大值还是最小值由a的正负确定，依据二次函数求最值的方法，确定第二、三步的内容．
答案：如果a>0，则得到ymin＝m，否则执行第三步 得到ymax＝m
7．已知一个学生的语文成绩为89分，数学成绩为96分，外语成绩为99分，求他的总分S和平均成绩的一个算法为：
第一步：取A＝89，B＝96，C＝99；
第二步：①______________________；
第三步：②______________________；
第四步：输出计算的结果S与.
解析：应该先求和计算总分，再求平均分．
答案：①S＝A＋B＋C ②＝
8．设计一个算法求方程5x＋2y＝22的正整数解，其最后输出的结果应为______________．
解析：因为2y为偶数，所以x应为偶数，当x＝2时y＝6；x＝4时y＝1；故输出的结果应为或.
答案：或
三、解答题
9．写出求过已知三点的圆的方程的一个算法．
解：算法步骤如下．
S1 设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；
S2 将已知三点的坐标分别代入S1所设的方程，得到一个关于D，E，F的三元一次方程组；
S3 解S2所得到的三元一次方程组，得到D，E，F的值；
S4 将S3所得到的D，E，F的值代入S1中的方程，就得到所求圆的方程．
10．下面给出了一个问题的算法：
S1 输入a；
S2 若a≥4，则执行S3，否则执行S4；
S3 输出2a－1；
S4 输出a2－2a＋3.
(1)这个算法解决的问题是什么？
(2)当输入的a值多大时，输出的数值最小？
解：(1)这个算法解决的问题是求分段函数
f(a)＝的函数值问题．
(2)当a≥4时，f(a)＝2a－1≥7；
当a＜4时，f(a)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2≥2.
所以当a＝1时，f(a)取得最小值2，即当输入的a值为1时，输出的数值最小．
1．下面的结论正确的是( )
A．一个程序的算法步骤是可逆的
B．一个算法可以无止境地运算下去
C．完成一件事情的算法有且只有一种
D．设计算法要本着简单方便的原则
答案：D
2．下列四种叙述能称为算法的是( )
A．在家里一般是妈妈做饭
B．利用公式S＝πr2计算半径为3的圆的面积时，计算π×32
C．在野外做饭叫野炊
D．做饭必须要有米
答案：B
3．早上从起床到出门需要：洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个步骤，从下列选项中选出较好的一种算法．( )
A．S1洗脸刷牙；S2刷水壶；S3烧水；S4泡面；S5吃饭；S6听广播
B．S1刷水壶；S2烧水同时洗脸刷牙；S3泡面；S4吃饭；S5听广播
C．S1刷水壶；S2烧水同时洗脸刷牙；S3泡面；S4吃饭同时听广播
D．S1吃饭同时听广播；S2泡面；S3烧水同时洗脸刷牙；S4刷水壶
解析：完成这个过程用时最少的是最好的算法，因此我们可以从四个答案所给出的步骤是否合理，需要花费多少时间入手．
答案：C
4．求1×3×5×7×9×11的值的一个算法是：
S1 求1×3得到结果3；
S2 将S1所得结果3乘5，得到结果15；
S3 ____________________；
S4 将105乘9得到945；
S5 将945乘11，得到10395，即为最后结果．
解析：本算法的步骤就是将算式从左向右依次乘下去．
答案：将S2所得的结果15乘7，得到结果105
5．求方程组的解的算法．
S1 ①＋②计算得x＝2；
S2 ______________________；
S3 输出x，y的值．
解析：本算法可以用代入法，也可以用加减消元法，
∴S2可以用把x＝2代入求解，也可以用①－②求解．
答案：把x＝2代入①并解得y＝1(也可以填：①－②计算得y＝1)
6．已知点P0(x0，y0)和直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P0到直线l距离的一个算法．
解：算法如下：
S1 输入点的坐标x0，y0；
S2 输入直线方程的系数和常数A、B、C；
S3 计算z1＝Ax0＋By0＋C；
S4 计算z2＝A2＋B2；
S5 计算d＝；
S6 输出d的值．
一、选择题
1．在程序框图中，算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的( )
A．处理框内 B．判断框内
C．输入、输出框内 D．循环框内
答案：A
2．下面程序框图规则中错误的一项是( )
A．框图一般按从上到下的顺序画出，有时也从左到右
B．判断框一般有两个退出的分支，判断框用菱形表示
C．输出、输入框，起止框与处理框的画法不可以通用
D．一套完整的程序框图可以分成几列(或几行)，列与列(或行与行)之间，不必用流程线连贯
解析：由程序框图的规则，只有D选项错误，因为程序框图在一列画不完时，再画一列(或另一页)要用流程线还有连接点“○”连接．
答案：D
3．下面的程序框图描述的算法的运行结果是( )
A．－5 B．－1
C．－6 D．不确定
解析：根据程序框图中的判断框，
若x<0，则y＝3x－2，因为x＝－1时，x<0，
所以y＝3×(－1)－2＝－5.
答案：A
4．如图所示的是一个算法的程序框图，已知a1＝3，输出的结果为7，则a2的值是( )
A．9 B．10
C．11 D．12
解析：根据算法的程序框图可知此处求的是，因为输出的结果是7，所以a1＋a2＝14，又a1＝3，从而a2＝11.
答案：C
二、填空题
5．在程序框图中，“”的主要功能是指________________________________．
答案：赋值、执行计算语句、结果的传送
6．若R＝8，则程序框图如图的运算结果是________．
解析：由R＝8，则b＝＝2，a＝2×2＝4.
答案：4
7．在上题中，若运算结果是6，则R＝________.
解析：由a＝6得2b＝6，∴b＝3，由3＝得R＝18.
答案：18
8．图(2)是计算图(1)的阴影部分面积的一个程序框图，则①中应该填________．
解析：∵S＝x2－π×()2＝x2
∴M＝x2.
答案：M＝x2
三、解答题
9．画出计算L＝a＋b＋ab的值的程序框图．
解：算法框图(一) 算法框图(二)
10．用流程线将下列图形符号：
连接成一个求实数x的绝对值的程序框图．
解：
1．下列框图符号中，表示输入、输出框的是( )
答案：C
2．在程序框图中，一个算法步骤到另一个算法步骤的连接用( )
A．连接点 B．流程线
C．判断框 D．处理框
答案：B
3．关于程序框图，下列说法正确的是( )
A．程序框图是由一些平行四边形框组合而成的
B．程序框图中的每一个框只有一条进入的流程线，也只有一条退出的流程线
C．程序框图中的流程线可以双向进行
D．程序框图中，只有判断框多了一个退出点
解析：按程序框图的规则，逐一对比得正确选项．根据程序框图的规则，A选项错误，因为起、止框是曲边矩形；B选项错误，因为判断框有两条退出线，结束框无退出线，开始框无进入线；C选项错，因为流程线只能是单向的，不能双向；只有D选项正确．
答案：D
4．在程序框图中，图形符号的名称是________，符号表示的意义____________________，在程序框图中，______________是任何流程不可少的，表示程序的______________．
答案：流程线 流程进行的方向 起、止框 开始和结束
5．如图所示，程序框图的输出结果是________．
解析：s＝＋ a＝2 b＝4，∴s＝＋＝.
答案：
6．已知一个三角形的三条边的边长分别为2,3,4，利用海伦—秦九韶公式设计一个算法，求出它的面积，画出算法的程序框图．
解：算法步骤如下：
第一步，计算p＝.
第二步，计算S＝.
第三步，输出S.
程序框图如图所示．
一、选择题
1．下面程序框图的输出结果是( )
A．1 B．3
C．4 D．6
解析：a＝1，b＝a3＋a2＋2＝4，
∴输出的b值为4.
答案：C
2．(2012·长沙高一检测)如图是某算法流程图的一部分，其算法的逻辑结构为( )
A．顺序结构 B．判断结构
C．条件分支结构 D．循环结构
解析：因为含判断框，所以是条件分支结构．
答案：C
3．如图的程序框图能判断任意输入的正整数x的奇偶性，其中判断框中的条件是( )
A．m＝0 B．x＝0
C．x＝1 D．m＝1
解析：奇数被2除余1，偶数被2整除．
答案：D
4．给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x的值与输出的y的值相等，则x的可能值的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由程序框图知y＝
使x2＝x的x＝0,1符合x≤2；
使2x－3＝x的x＝3，符合2
使＝x的x＝±1不符合x>5.
答案：C
二、填空题
5．(2010·北京高考)已知函数y＝如图表示的是给定x的值，求其对应的函数值y的程序框图．①处应填写________；②处应填写____________．
解析：由框图可知只有满足①中的条件则对应的函数解析式为y＝2－x，故此处应填写x＜2，则②处应填写y＝log2x.
答案：x＜2 y＝log2 x
6．给出一个算法的程序框图如图所示，该程序框图的功能是________________．
解析：先从框图中“否”的方向看，若a>b不成立，则有a≤b，此时再判断是否有a>c.若a>c不成立，则有a≤c，此时a≤b，且a≤c，即输出的a应为三数中的最小数，从“是”的方向来看，其结果亦如此．
答案：输出a，b，c中的最小数
7．如下程序框图的功能是__________．
解析：V＝πr3是球的体积的计算公式，所以此程序框图表示的是球的体积的计算．
答案：给出半径，求球的体积
8．给出以下三个问题：
①求面积为6的正方形的周长；②求三个数a，b，c中的最大数；③求函数f(x)＝的函数值，其中不需要用条件分支结构来描述其算法的有________个．
解析：②中求a，b，c中的最大数需要判断，③中求f(x)需先对x≥0还是x<0作出判断，∴②③需用条件分支结构．而①中只需求出正方形的边长a，即可利用c＝4a求其周长，用顺序结构描述．
答案：1
三、解答题
9．计算下面梯形的面积：上底为3，下底为7，高为6，
试设计该问题的算法，并画出框图．
解：算法如下：
S1 输入P，h；
S2 h＝6，P＝3＋7；
S3 S＝P·h；
S4 输出S.
框图为：
10．观察所给程序框图，如图所示，说明它所表示的函数．
解：由框图形式可以看出这是一个条件分支结构，可根据判断条件确定算法流向，所表示的是一个分段函数．
表示的函数是y＝
1．在算法基本逻辑结构中，描述最简单的算法结构是( )
A．条件分支结构 B．循环结构
C．递归结构 D．顺序结构
解析：顺序结构是最简单的算法结构．
答案：D
2．下列算法中，含有条件分支结构的是( )
A．求两个数的积
B．求点到直线的距离
C．解一元二次不等式
D．已知梯形两底和高求面积
解析：解一元二次不等式时，要对Δ进行判断，故算法中含有条件分支结构．
答案：C
3．如图所示的程序框图，其输出的结果是( )
A．4 B．5
C．6 D．13
解析：该程序框图的执行过程是
x＝2，
y＝2×2＋1＝5，
b＝3×5－2＝13，
∴输出b的值13.
答案：D
4．如图所示的程序框图，若x＝3，则输出的结果是__________．
解析：∵3>2，∴y＝32－1＝8.
答案：8
5．如图是某一函数的求值程序框图，则满足该程序框图的函数解析式为__________(不要写成分段函数的形式)．
解析：由框图知当x>3时
f(x)＝x－2，
当x≤3时，f(x)＝4－x，
故f(x)＝|x－3|＋1.
答案：f(x)＝|x－3|＋1
6．已知函数y＝设计一个算法，输入变量x的值，输出对应的函数值，请写出算法步骤，并画出程序框图．
解：算法步骤如下
S1 输入x.
S2 当x≥1时，y＝2x－1；否则y＝x2＋2.
S3 输出y.
程序框图如图所示．
一、选择题
1．(2010·天津高考)阅读下边的程序框图，若输出s的值为－7，则判断框内可填写( )
A．i<3 B．i<4
C．i<0035 D．i<6
解析：由题意可知i＝1，s＝2→s＝1，i＝3→s＝－2，i＝5→s＝－7，i＝7，因此判断框内应为i<6?
答案：D
2．(2011·大庆模拟)如图是计算1＋3＋5＋…＋99的值的算法程序框图，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的( )
A．i≤101 B．i≤99
C．i≤97 D．i≤50
解析：在本程序框图中，仅当n≤99时，程序会循环进行．一旦n>99，会立刻结束循环，故此处应填的条件为i≤99.
答案：B
3.(2011·新课标全国卷)执行如图所示的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是( )
A．120 B．720
C．1 440 D．5 040
解析：由程序框图可得，输出的p＝1×2×3×4×5×6＝720.
答案：B
4．程序框图如图所示，其输出结果是( )
A．117 B．127
C．131 D．140
解析：循环体被执行后a的值依次为3,7,15,31,63,127.
答案：B
二、填空题
5．(2010·湖南高考)如图是求12＋22＋32＋…＋1002的值的程序框图，则正整数n＝________.
解析：阅读程序框图可知，输出结果s＝0＋12＋22＋…＋n2，故n＝100.
答案：100
6．(2011·安徽高考)
如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是______________．
解析：第一次进入循环体有T＝0＋0，第二次有T＝0＋1，第三次有T＝0＋1＋2，……，第n次有T＝0＋1＋2＋…＋n－1(n＝1,2,3，…)，令T＝>105，解得n>15，故n＝16，k＝15.
答案：15
7．执行如图所示的程序框图，若输出的S＝88，则判断框内应填入的条件是________．
解析：第一次循环：k＝1＋1＝2，S＝2×0＋2＝2；
第二次循环：k＝2＋1＝3，S＝2×2＋3＝7；
第三次循环：k＝3＋1＝4，S＝2×7＋4＝18；
第四次循环：k＝4＋1＝5，S＝2×18＋5＝41；
第五次循环：k＝5＋1＝6，S＝2×41＋6＝88，满足条件则输出S的值，而此时k＝6，故判断框内应填入的条件应是k>5.
答案：k>5
8．如图所示的程序框图中，语句“输出i”被执行的次数为________．
解析：据题意可知运行第一次后i＝4，又由框图可知每次运行后的i值构成等差数列，令4＋(n－1)×3≤100?n≤33，即运行33次后i值为100，据判断框可知还需运行一次，故运行了34次．
答案：34
三、解答题
9．给出以下10个数：5,9,80,43,95,73,28,17,60,36，要求把大于40的数找出来并输出，试画出该问题的算法程序框图．
解：程序框图如图所示：
10．将一张足够大的纸，第一次对折，第二次再对折，第三次再对折，…，如此不断地对折27次，它的厚度将会超过世界第一高峰的高度，请画出程序框图．(假设10层纸的厚度为1 mm)．
解：程序框图如图所示．
1．如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是( )
A．①是循环变量初始化，循环就要开始
B．②为循环体
C．③是判断是否继续循环的终止条件
D．①可以省略不写
解析：①是循环变量初始化，是循环正确执行的初始条件，故不可省略不写．
答案：D
2．在如图所示的程序框图中，输出S的值为( )
A．11 B．12
C．13 D．14
解析：根据循环结构可知，S＝3＋4＋5＝12.
答案：B
3.按如图所示的程序框图运行后，所得的值为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：i为循环次数，循环3次．
答案：C
4．如图是求1～1000内所有偶数的和的一个程序框图，则空白①处应填__________；②处应填__________．
解析：第一个偶数就是初始值2，∴①处应填“s＝s＋i”，②处应是下一个偶数，∴应该填i＝i＋2.
答案：s＝s＋i i＝i＋2
5．下列程序框图输出的结果是________．
解析：s＝1×5×4＝20.
答案：20
6．画出求＋＋＋…＋值的程序框图．
解：程序框图如下：
一、选择题
1．阅读下面的程序，然后判断下列程序执行后的结果是( )
A．5 B．15
C．11 D．14
解析：y＝3]答案：D
2．如图所示的程序运行后输出的结果是( )
A．12,15 B．12,9
C．12,21 D．21,12
解析：当A＝3时，B＝3×3＝9，
A＝A＋B＝3＋9＝12，
B＝B＋A＝9＋12＝21.
答案：C
3．下列程序：
若a＝1，则输出的结果a是( )
A．5 B．6
C．15 D．120
解析：当a＝1时，程序运行的第一步结果为a＝1×2＝2；
第二步结果为a＝2×3＝6；
第三步结果为a＝6×4＝24；
第四步结果为a＝24×5＝120.
也可理解为当a＝1时，a＝1×2×3×4×5＝120.
答案：D
4．阅读下面的程序，当a＝3，b＝5时输出的a的值为( )
A. B.
C. D.
解析：赋值语句中，赋值号左边的变量随着每一步的进行而变化．
答案：D
二、填空题
5．程序：
运行的结果是________．
解析：m＝1＋1＋2＋3＝7.
答案：7
6．读程序Ⅰ、Ⅱ，若两程序输入值与执行结果均分别相同，则两程序的输入值为____________，执行结果为____________．
程序Ⅰ： 程序Ⅱ：
解析：由x＋2＝2x＋2，得x＝0.所以输入值为0，执行结果为2.
答案：0 2
7．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面上的两点，试设计一个算法程序，输入A、B两点的坐标，输出其中点的坐标，现已给出程序中的一部分，试在横线上填上适当的语句，把程序补充完整．
解析：根据中点坐标公式可知x＝，
y＝.
答案：①x＝(x1＋x2)/2 ②y＝(y1＋y2)/2
8．已知水果店的三种水果标价为香蕉2元/千克，苹果3元/千克，梨2.5元/千克．店主为了收款的方便设计了一个算法，请将下面的程序补充完整．
答案：x＋y＋z
三、解答题
9．写出下面程序运行时输出的结果．
解：执行顺序为C＝A＋B＝10－5＝5，A＝B＋C＝－5＋5＝0，B＝A＋C＝0＋5＝5，C＝C＋A＋B＝5＋0＋5＝10.故最后的结果为C＝10，B＝5，A＝0.
10．读用Scilab语句编写的程序，根据程序画出程序框图．
解：程序框图如图．
1．关于赋值语句叙述不正确的是( )
A．将一个具体的确定值赋给一个变量
B．先计算表达式的值，再将该值赋给变量
C．变量可以重复赋值
D．赋值语句是把左边变量的值赋给赋值号右边的表达式
解析：由赋值语句可判断D不正确．
答案：D
2．下列赋值语句正确的是( )
A．4＝n B．x＋y＝100
C．A＝B＝2 D．N＝N2
答案：D
3．下列语句运行的结果是( )
A．10,20,30 B．30,20,10
C．10,20,20 D．20,10,20
解析：a＝10，b＝20，c＝10＋20＝30，b＝10＋30－20＝20.
答案：A
4．程序“M＝3；M＝5－M；M”运行的结果是________．
解析：M＝3；M＝5－M；∴M＝2.
答案：2
5．(2011·福建高考)运行如图所示的程序，输出的结果是________．
解析：a＝1＋2＝3.
答案：3
6．已知f(x)＝x3－3x2＋2x＋1，写出求任意一个x的值对应的函数值f(x)的程序．
解：法一：程序如下：
法二：程序如下：
一、选择题
1．下面程序的运行结果是( )
x＝5；
if x<＝0
y＝x－3；
else
y＝x＋3；
end
print(%io(2)，y)；
pend
A．y＝8 B．y＝4
C．y＝－20 D．y＝20
解析：∵x＝5，∴y＝x＋3＝8.
答案：A
2．下面程序运行的结果是3，则输入的x的值是( )
x＝input(”x＝”)；
if x>＝0
y＝x^2＋2
else
y＝－x
end
print(%io(2)，y)；
A．1 B．－3
C．1或－3 D．±1或－3
解析：当输入的x≥0时，y＝x2＋2；
由x2＋2＝3，解得x＝±1，∴x＝1.
若x<0，则－x＝3，x＝－3，
∴x的值应为1或－3.
答案：C
3．已知程序如下：
a＝input(”a＝”)；
b＝input(”b＝”)；
c＝iput(”c＝”)；
max＝a
if b>max
max＝b；
end
if c>max
max＝c；
end
print(%io(2)，max)；
根据程序提示依次输入4,2，－5，则程序运行结果是( )
A．max＝max B．max＝2
C．max＝－5 D．max＝4
解析：该程序是求三个数中的最大值，因为4最大，故输出的结果为4.
答案：D
4．下列程序运行的结果是( )
A＝4.5；
B＝6；
if A>＝5
B＝B＋1；
else
B＝B－3；
B＝B＋2；
if B>＝4
B＝B*B；
else
B＝A＋B；
end
end
print(%io(2)，B)；
A．10.5 B．11.5
C．16 D．25
解析：∵A＝4.5，∴B＝6－3＝3，B＝25.
答案：D
二、填空题
5．(2011·江苏高考改编)根据如图所示的程序，当输入a，b分别为2,3时，最后输出的m的值为________．
if a>b
m＝a
else
m＝b
end
print(%io(2)，m)；
解析：∵a＝2，b＝3，
∴a∴m＝3.
答案：3
6．下列程序：
输出的结果为__________．
解析：由语句可知，∵3>2，∴输出3>2.
答案：3>2
7．写出下面程序的运行结果：
若输入x＝6，则p＝____________；若输入x＝18，则p＝__________.
答案：2.1 9.1
8．下面是求一个函数的函数值的程序：
x＝input(”x＝”)；
if x<＝0
y＝－x；
else
if x>0 and x<＝1
y＝0；
else
y＝x－1；
end
end
print(%io(2)，y)；
若执行此程序的结果为3，那么输入的x的值为____________．
解析：程序的功能是求分段函数y＝的值，由y＝3可得x＝－3或4.
答案：－3或4
三、解答题
9．求过两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线的斜率．写出相应的程序．
解：程序如下：
10．某商店对购货额为1 000元以上(含1 000元，下同)的实行八折优惠；500元以上1 000元以下的九折优惠；200元以上500元以下的九五折优惠；200元以下的不优惠．请编写程序，要求输入购货额，计算优惠后货款，并输出该货款．
解：设x为购货额，y为应付款，则满足以下函数关系：
y＝.
程序如下：
1．下列条件语句对应的程序框图为( )
答案：C
2．当a＝3时，如图所示的程序段输出的结果是( )
A．9 B．3
C．10 D．6
解析：根据条件语句可知，a＝3<10，
∴y=2*a=2×3=6.
答案：D
3．下列程序的功能是：判断任意输入的数x是不是正数，若是，输出它的相反数；若不是，输出它的平方值．
则横线上填入的条件应该是( )
A．x>0 B．x<0
C．x>＝0 D．x<＝0
解析：根据“若是正数，输出它的相反数”，因为下一句y＝－x，所以if后的条件应为“x>0”．
答案：A
4．下列说法：①条件语句中else必须存在；②条件语句中end可以省略；③条件语句中else的存在需根据情况而定；④条件语句中end不能省略．其中正确的说法有________．
解析：if语句最简单的格式中可以没有else，但条件语句中必须要用end结束．
答案：③④
5．将程序补完整：输入两个数，输出其中较大的数，程序如下：
解析：当“x>y”不成立时，也即“x≤y”时，y为较大的数，所以应填“print(%io(2)，y)”．
答案：print(%io(2)，y)
6．到银行办理个人异地汇款(不超过100万)时，银行收取一定的手续费，汇款额不超过100元，收取1元手续费；超过100元但不超过5 000元，按汇款额的1%收取；超过5000元，一律收取50元手续费．试用条件语句描述汇款额为x元时，银行收取手续费为y元的程序．
解：程序如下：
一、选择题
1．循环语句中的步长( )
A．可以省略
B．不能省略
C．只有步长为1时才可省略
D．以上全错
解析：在循环语句中，当步长为1时可以省略．
答案：C
2．(2011·海口模拟)当执行完while i<＝10 i＝i＋1后，i的值变为( )
A．9 B．10
C．11 D．12
答案：C
3．算法程序：
中，for i＝1：1 000的作用是( )
A．表示一个数字从1到100
B．表示从1一直加到1 000
C．表示从1开始循环到1 000
D．表示i从1开始以1为步长累加到1 000
解析：i＝1：1 000表示从1开始以1为步长累加到1 000.
答案：D
4．如果下面的程序执行后输出的结果是132，那么程序while后面的“条件”应该是
( )
A．i>11 B．i>＝11
C．i<＝11 D．i<11
解析：第一次执行循环体时，s＝12，i＝11，需要继续执行循环体；第二次执行循环体时，s＝132，i＝10，因为输出的结果是132，因此循环到此结束，所以应填入的条件为“i>＝11”．
答案：B
二、填空题
5．写出下列程序的运行结果．
i＝0；
S＝0；
while S<＝20
i＝i＋1；
S＝S＋i；
end
i
?1? ?2?
i＝1；
S＝0；
while S<＝20 S＝S＋i；
i＝i＋1；
end
I
运行结果为________；运行结果为________．
解析：(1)S＝1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，这时i＝7.
(2)S＝1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，这时i＝6.
答案：(1)7 (2)6
t＝1
i＝2
while i<＝5
t＝t*i
i＝i＋1
end
print(%io(2)，t)
6．程序的执行结果为________．
解析：按执行过程逐步分析，循环实现了t＝1×2×3×4×5＝120.
答案：120
7．阅读下面程序，然后说明该程序的算法功能．
该程序的算法功能是________．
解析：该程序为while循环，由条件“i<＝99”知i的值不能超过99，∵i的初始值为1且i＝i＋2，
∴i指的是不超过99的奇数，又“S＝S＋i^ 2”，
∴该程序是计算S＝12＋32＋52＋…＋992的值．
答案：计算12＋32＋52＋…＋992的值
S＝0；
i＝2；
while i<＝18
S＝S＋i；
i＝i＋3；
end
S
8．下面程序运行的结果是________．
解析：本程序的功能是求2＋5＋8＋11＋14＋17的值，即其值为57.
答案：57
三、解答题
9．设计一个计算1～20这20个数平均数的算法，写出程序．
解：用一个循环依次输入20个数，再用一个变量存放数的累加和，在求出20个数的总和后，除以20，就得到20个数的平均数．
程序框图如图： 依框图程序为：
s＝0
for i＝1：1：20
s＝s＋i
end
a＝s/20
a
10．用while语句写出求S＝1！＋2！＋3！＋…＋20！的程序(n！＝1×2×3×…×n)．
解：n！通过循环语句实现，而1！＋2！＋3！＋…＋20！，这是阶乘的加法，可通过增加一个累加变量完成程序．
程序如下：
T＝1
N＝1
S＝0
while N<＝20
T＝T*N
N＝N＋1
S＝S＋T
end
print(%io(2)，S)
1．下列对while语句的说法不正确的是( )
A．当计算机遇到while语句时，先判断是否满足条件，如果符合条件，就执行循环体
B．当条件不符合时，将不执行循环体直接跳出循环
C．while语句的格式为：while—表达式—循环体—end
D．while语句的特点是“后测试”，即先执行循环体，然后判断是否满足条件
解析：while语句属“前测试”语句，即先判断后执行循环体，故D错误．
答案：D
2．下列关于for循环的说法错误的是( )
A．在for循环中，循环表达式也称为循环体
B．在for循环中，步长为1，可以省略不写；若为其他值，则不可省略
C．理解for循环关键是理解为循环变量设定初值、步长、终值
D．在for循环中，“end”控制结束一次循环，开始一次新的循环
答案：C
3．for：x＝(－100)：10：190，该程序共执行循环次数为( )
A．29 B．30
C．28 D．19
解析：x＝－100时执行第一次循环；
x＝－90时执行第二次循环；
…
x＝190时执行第30次循环．
答案：B
4．计算12＋22＋…＋1002，可以用如下程序，请将程序补充完整．
解析：根据sum＝sum＋i^2可知初始值应为1，步长为1，终值为100.
答案：1：1：100
5．下面程序的功能是________．
解析：本程序中，
S＝0
for i＝2：2：100
S＝S＋1/i
end
print(%io(2)，S)
初始值2，步长2，终值100，所以功能是计算＋＋＋＋…＋.
答案：＋＋＋…＋
6．下面是一个算法的程序，按这个程序在计算机上执行，求最后运行的结果．
解：从题目可看，for语句的初始值为3，终值为9，步长为2，由S＝S＋i且S＝1知，其结果为S＝1＋3＋5＋7＋9＝25.
一、选择题
1．用更相减损之术可求得78与36的最大公约数是( )
A．24 B．18
C．12 D．6
解析：78－36＝42,42－36＝6,36－6＝30,30－6＝24,24－6＝18,18－6＝12,12－6＝6，∴6为78与36的最大公约数．
答案：D
2．(2012·大庆高一检测)使用秦九韶算法求p(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0当x＝3的值时可减少运算次数，做加法和乘法的次数最多分别是( )
A．n，n B．n，
C．n,2n＋1 D．2n＋1，
解析：根据秦九韶算法，n次多项式最多需n次乘法和n次加法．
答案：A
3．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4时的值时，v3的值为( )
A．－845 B．220
C．－57 D．34
解析：v0＝3，v1＝3×(－4)＋5＝－7，
v2＝(－7)×(－4)＋6＝34，
v3＝34×(－4)＋79＝－57.
答案：C
4．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋7在x＝0.4时的值时，需做加法和乘法的次数和是( )
A．10 B．9
C．12 D．8
解析：根据秦九韶算法以及函数解析式特点可知，需做乘法次数是6，加法次数是6，故乘法与加法的次数和是12.
答案：C
二、填空题
5．三个数175,100,75的最大公约数为________．
解析：175与100的最大公约数是25,25能整除75，所以175,100,75的最大公约数是25.
答案：25
6．用更相减损之术求81与135的最大公约数时，要进行________次减法运算．
解析：135－81＝54,81－54＝27,54－27＝27，共进行了3次减法运算．
答案：3
7．若int(x)是不超过x的最大整数(如int(4.3)＝4，int(4)＝4)，则下列程序的目的是________________．
答案：求x、y的最大公约数
8．已知一个5次多项式f(x)＝x5＋0.5x4－4x2＋5x－9，用秦九韶算法求当x＝x0时多项式的值，可把多项式写成如下的形式________．
解析：本题中，x3项不存在，可把该项看作0·x3.
答案：((((x＋0.5)x＋0)x－4)x＋5)x－9
三、解答题
9．求84,140,182的最大公约数．
解：先利用更相减损术求140与84的最大公约数：
140－84＝56；84－56＝28；56－28＝28.
(140,84)→(56,84)→(28,56)→(28,28)
所以140与84的最大公约数为28.
然后求28与182的最大公约数：
易得28与182的最大公约数为14.
所以140、84、182的最大公约数为14.
10．求f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1当x＝2时的值．
解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f(x)＝8x7＋5x6＋0·x5＋3x4＋0·x3＋0·x2＋2x＋1＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1.
按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x＝2时的值：
v0＝8；
v1＝8×2＋5＝21；
v2＝21×2＋0＝42；
v3＝42×2＋3＝87；
v4＝87×2＋0＝174；
v5＝174×2＋0＝348；
v6＝348×2＋2＝698；
v7＝698×2＋1＝1397.
∴当x＝2时，多项式的值为1397.
1．有关辗转相除法下列说法正确的是( )
A．它和更相减损之术一样是求多项式值的一种方法
B．基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m＝nq＋r，直至rC．基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m＝qn＋r(0≤rD．以上说法皆错
解析：辗转相除法是求两个整数的最大公约数的一种方法，它是用较大的数除以较小的数，直到余数是0为止．
答案：C
2．98,280的最大公约数为( )
A．7 B．14
C．16 D．8
解析：280＝98×2＋84，
98＝84×1＋14,84＝14×6，
∴98与280的最大公约数为14.
答案：B
3．用更相减损之术求294和84的最大公约数时，需要做减法的次数是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：(294,84)→(210,84)→(126,84)→(42,84)→(42,42)．
答案：B
4．秦九韶的算法中有几个一次式，若令v0＝an，我们可以得到(k＝1,2，…，n)．
我们可以利用________语句来实现．
答案：循环
5．用“秦九韶算法”计算多项式f(x)＝5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋1，当x＝2时的值的过程中，要经过________次乘法运算和________次加法运算．
解析：共经过了5次乘法5次加法．
答案：5 5
6．求三个数324,243,270的最大公约数．
解：324＝243×1＋81,243＝81×3＋0，
则324与243的最大公约数为81.
又270＝81×3＋27,81＝27×3＋0，
则324,243,270的最大公约数为27.
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．用更相减损之术求27和117的最大公约数，第一步为( )
A．117－27＝90 B．117＝27×4＋9
C．27＝3×9 D．117＝3×39
解析：用较大的数减去较小的数即117－27＝90.
答案：A
2．下列四个说法：①任何一个算法都包含顺序结构；②算法程序框图中，根据条件是否成立有不同的流向；③循环体是指按照一定条件，反复执行某一处理步骤；④对于一个算法来说，判断框中的条件是唯一的．
以上说法正确的个数有( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：在条件分支结构中，有时“条件”的适当扩大或缩小不会引起结果的变化．故④错，其他均正确．
答案：C
3．下列给出的赋值语句正确的是( )
A．3＝A B．M＝－M
C．B＝A＝A＋1 D．x＋y＝0
解析：根据赋值语句的特点，在赋值号的左侧为变量，而右侧为表达式，且赋值号仅有一个，故B项正确．
答案：B
4．下列程序运行后的结果是( )
A．2 B．3
C．1 D．4
解析：第一次赋值为b赋值给a，即a＝2，又把c赋值给b，即b＝3，又把a赋值给c，由第一次赋值知a＝2，故此时c＝2.a＝2－3＋2＝1.
答案：C
5．阅读如图的程序框图．若输入m＝4，n＝6，则输出的a，i分别等于( )
A．12,2 B．12,3
C．24,2 D．24,3
解析：第一次循环：i＝1，a＝4,6不能整除4；
第二次循环：i＝2，a＝8,6不能整除8；
第三次循环：i＝3，a＝12,6能整除12.
结束循环，输出12,3.
答案：B
6.(2011·福建高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是( )
A．3 B．11
C．38 D．123
解析：根据框图可知第一步的运算为：a＝1＜10，满足条件，可以得到a＝12＋2＝3，又因为a＝3＜10，满足条件，所以有a＝32＋2＝11，因为a＝11＞10，不满足条件，输出结果a＝11.
答案：B
7．当x＝2时，下面的程序段的运行结果是( )
A．3 B．7
C．15 D．17
解析：0×2＋1＝1,1×2＋1＝3,3×2＋1＝7,7×2＋1＝15.
答案：C
8．(2011·温州模拟)按如图所示的程序框图运算，若输入x＝6，则输出k的值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：x＝2×6＋1＝13，k＝1；x＝27，k＝2；x＝55，k＝3；x＝55×2＋1＝111>100，k＝4.
答案：B
9．下列程序执行后输出的结果是( )
n＝9
s＝0
while s<25
s＝s＋n
n＝n－2
end
print(%io(2)，n)
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：当s＝21＋3＝24时，n＝3－2＝1.
∵24<25成立，s＝24＋1＝25，
n＝1－2＝－1，此时25<25不成立，∴n＝－1.
答案：A
10．阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：当i＝1时，a＝1×2＝2，s＝0＋2＝2，i＝1＋1＝2；
由于2>11不成立，故a＝2×22＝8，s＝2＋8＝10，i＝2＋1＝3；
由于10>11不成立，
故a＝3×23＝24，s＝10＋24＝34，i＝3＋1＝4；
34>11成立，故输出i＝4.
答案：C
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．210和357的最大公约数为________．
解析：357＝210×1＋147，
210＝147×1＋63，
147＝63×2＋21，
63＝21×3，
所以，210与357的最大公约数是21.
答案：21
12．若执行如图所示的框图，输入x1＝1，x2＝2，x3＝4，x4＝8，则输出的数等于________．
解析：输出的是四个数的平均数，即输出的是＝.
答案：
13．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为，则框中应填入的条件是________．
解析：程序依次运行，有i＝2，sum＝1，
s＝0＋＝；
i＝3，sum＝2，s＝＋＝；
i＝4，sum＝3，s＝＋＝；
i＝5，sum＝4，s＝＋＝.循环结束．
故判断框内应填i≤4.
答案：i≤4
14．2010年上海世博会园区每天9∶00开园，20∶00停止入园．在下边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入________．
解析：框图表示的是每天入世博园参观的人数统计，报道的入园总人数的时间为整点，但入园的时间有整点入园和非整点入园．举例说明如11点报道的入园人数为10点钟以后到11点整入园的人数与之前入园的人数之和．
答案：S＝S＋a
三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)下面程序完成的任务是什么？在运行该程序时，如果键盘的输入是x＝－2，问输出是什么？
解：这是求多项式y＝2x3－x2＋3x－5的值的秦九韶算法的程序．输出的是y＝－31.
16．(本小题满分12分)已知程序流程图如图所示，该程序运行后，若输出的b的值为9，求判断框内的整数M的值．
解：由程序流程图有a、b的值依次为：
a
1
2
3
4
b
1
1
2
9
所以判断框内的条件是a≤3，即M＝3.
17．(本小题满分12分)画出当x＝－8，－7.2，－6.4，…，－4时，求函数y＝2x2＋3对应的函数值的程序框图．
解：
18．(本小题满分14分)高一(2)班共有40名学生，每次考试数学老师总要统计成绩在85～100分，60～85分和60分以下的各分数段的人数，请你帮助数学老师设计一个程序，解决上述问题．
解：程序框图如图所示．
程序如下：
a＝0；
b＝0；
c＝0；
i＝1；
while i<＝40
x＝input(”x＝”)；
if x>＝85
a＝a＋1；
else
if x>＝60
b＝b＋1；
else
c＝c＋1；
end
end
end
print(%io(2)，a，b，c)；
一、选择题
1．下列现象中，不是随机现象的是( )
A．东边日出西边雨 刘禹锡
B．下雪不冷化雪冷 民间俗语
C．清明时节雨纷纷 杜牧
D．梅子黄时日日晴 曾纾
解析：A，C，D是一种自然现象可能发生，也可能不发生，是随机现象．
答案：B
2．下列事件中，必然事件是( )
A．向区间(0,1)内投点，点落在(0,1)区间
B．向区间(0,1)内投点，点落在(1,2)区间
C．向区间(0,2)内投点，点落在(0,1)区间
D．向区间(0,2)内投点，点落在(－1,0)区间
解析：A是必然事件，B是不可能事件，C是随机事件，D是不可能事件．
答案：A
3．下列事件中，随机事件的个数为( )
①明天晴；
②方程x2＋2x＋5＝0有两个不相等的实根；
③明年长江武汉段的最高水位是29.8 m；
④一个三角形的大边对小角，小边对大角．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：②中，方程x2＋2x＋5＝0，Δ＝4－20＝－16＜0，可知它不可能有两个不相等的实数根，是不可能事件；④中，由于在同一个三角形中有大边对大角，小边对小角，可知④也是不可能事件；而①、③是随机事件．
答案：B
4．抛掷一颗骰子，观察骰子出现的点数，若“出现2点”这个事件发生，则下列事件发生的是( )
A．“出现奇数点” B．“出现偶数点”
C．“点数大于3” D．“点数是3的倍数”
解析：“出现2点”这个事件发生，由2为偶数，故“出现偶数点”这一事件发生．
答案：B
二、填空题
5．(2012·济宁高一检测)从6名男生，2名女生中任选3人，参加数学竞赛，则事件“至少有一个男生”是________事件．(填“必然”“不可能”“随机”)．
解析：因为只有2名女生，选出3人中肯定至少有一人是男生，因此这是必然事件．
答案：必然
6．美国NBA男子职业篮球10～11赛季中，洛杉矶湖人队、迈阿密热火队、凯尔特人队是夺冠的热门球队，则事件“这三支中的一支球队将获得冠军”是________事件．(填“必然”、“不可能”、“随机”)．
解析：赛季没有结束，只是这几支球队夺冠的可能性大一些，故该事件是随机事件．
答案：随机
7．投掷两个骰子，点数之和为8的事件所含的基本事件有________种．
解析：点数之和为8包含(2,6)，(6,2)，(3,5)，(5,3)，(4,4)5种基本事件．
答案：5
8．给出下列事件：①明天进行的某场足球赛的比分是3∶1；②下周一某地的最高气温与最低气温相差10℃；③同时掷两颗骰子，向上一面的两个点数之和不小于2；④射击1次，命中靶心；⑤当x为实数时，x2＋4x＋4<0.其中，必然事件有________，不可能事件有________，随机事件有________．
解析：根据事件发生的前提条件及生活常识知：①是随机事件，②是随机事件，③是必然事件，④是随机事件，⑤是不可能事件．
答案：③ ⑤ ①②④
三、解答题
9．下列事件是随机事件，必然事件还是不可能事件：
(1)如果a(2)一个骰子连掷三次，三次都是6点；
(3)设a>1，y＝logax(x>0)是减函数．
解：(1)当a(2)一个骰子连掷三次，每一次都有可能出现6点，但不是一定出现6点，故(2)是随机事件；
(3)当a>1时，y＝logax(x>0)一定是增函数，
故(3)是不可能事件．
10．(2011·湘潭模拟)已知关于x的一元二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b.
(1)写出以(a，b)为元素的基本事件空间，共包含多少个基本事件？
(2)指出事件“函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数”的所有基本事件．
解：(1)Ω＝{(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)}，
共包含15个基本事件．
(2)∵函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为x＝，
要使f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，
当且仅当a>0且≤1，即2b≤a.
若a＝1，则b＝－1；
若a＝2，则b＝－1,1；
当a＝3，则b＝－1,1.
即事件“函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上是增函数”的所有基本事件有：
(1，－1)，(2，－1)，(2,1)，(3，－1)，(3,1)共5个.
1．下面现象中：①掷一枚硬币，出现正面向上；②实数的绝对值不小于零；③若a>b，则bA．② B．①
C．③ D．②③
解析：①掷一枚硬币，可能出现反面向上，所以①是随机现象，②③均为必然现象．
答案：B
2．下面的事件，是不可能事件的有( )
①在标准大气压下，水加热到80℃时会沸腾；
②a，b∈R 则ab＝ba；
③一枚硬币连续掷两次，两次都出现正面向上．
A．② B．①
C．①② D．③
解析：①在标准大气压下，水只有加热到100℃时才会沸腾，所以①是不可能事件；
②是必然事件；③为随机事件．
答案：B
3．若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则事件“向上的点数和为4”包含的基本事件个数为( )
A．4 B．2
C．5 D．3
解析：第一、二次向上的点数分别为a，b，记为(a，b)，则和为4的基本事件有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3个．
答案：D
4．“三个球全部放入两个盒子中，其中必有一个盒子有一个以上的球”是________(填“必然”、“不可能”或“随机”)事件．
解析：如果两个盒子中都是一个球或一个以下，则两个盒子最多放两个球．
答案：必然
5．“从盛有3个排球、2个足球的筐子里任取一球，取得排球”的事件中，一次试验是指__________________，试验结果总数为________．
答案：从筐子中任取一球 2
6．盒中现有4只白球，5只黑球，从中任意取出一只球．
(1)“取出的球是黄球”是什么事件？
(2)“取出的球是白球”是什么事件？
(3)“取出的球是白球或是黑球”是什么事件？
解：(1)“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生，因此它是不可能事件．
(2)“取出的球是白球”可能发生也可能不发生，是随机事件．
(3)“取出的球是白球或黑球”在题设条件下必然要发生，因此这是必然事件．
一、选择题
1．下列三个命题，其中正确命题的个数是( )
(1)设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；
(2)做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的概率是；
(3)随机事件发生的频率是这个随机事件发生的概率．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：概率反映的是事件发生的可能性大小，随机事件在一次试验中可能发生，也可能不发生，故(1)(2)(3)均不正确．
答案：A
2．(2011·大庆模拟)下列说法正确的是( )
A．任何事件的概率总是在(0,1)之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
解析：频率是随机的，概率是客观存在的，随着试验次数的增加，事件发生的频率会稳定于概率．
答案：C
3．某人连续抛掷一枚均匀的硬币24000次，则下列正面向上的次数最有可能出现的是
( )
A．12 002 B．11 012
C．13 012 D．14 000
解析：因为抛掷一枚均匀的硬币，正面向上与反面向上的概率相等，所以抛掷一枚均匀的硬币24000次，正面向上的次数应接近于12000.
答案：A
4．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
10
11
8
8
6
10
18
9
11
9
则取到号码为奇数的频率是( )
A．0.53 B．0.5
C．0.47 D．0.37
解析：利用公式fn(A)＝计算出频率值，取到号码为奇数的频率是＝0.53.
答案：A
二、填空题
5．篮球运动员姚明罚球投中的概率是0.86，那么在2011年的比赛中，若姚明有机会投100个球，________(填“可能”、“不可能”或“一定”)有86个球投中．
解析：随机事件在试验中可能发生，也可能不发生．所以姚明不一定有86球投中，应填“可能”．
答案：可能
6．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20 000部汽车，时间从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率近似为________．
解析：频率f＝＝，所以一年里挡风玻璃破碎的概率近似为3%.
答案：3%
7．如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黑球(只是颜色不同)，从中任取一球，取了10次有9个白球，估计袋中数量最多的是________．
解析：取了10次有9个白球，则取出白球的频率是，估计其概率约是，那么取出黑球的概率约是，取出白球的概率大于取出黑球的概率，所以估计袋中数量最多的是白球．
答案：白球
8．某市统计近几年新生儿出生数及其中男婴数(单位：人)如下：
时间
2005年
2006年
2007年
2008年
出生婴儿数
21 840
23 070
20 094
19 982
出生男婴数
11 453
12 031
10 297
10 242
(1)试计算近几年男婴出生的频率分别为________(精确到0.001)．
(2)该市男婴出生的概率约为________．
解析：(1)2005年男婴出生的频率为≈0.524.同理可求得2006年、2007年和2008年男婴出生的频率分别为0.521,0.512,0.513.
(2)该市男婴出生的概率约为0.52.
答案：(1)0.524,0.521,0.512,0.513 (2)0.52
三、解答题
9.如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44人，
∴用频率估计相应的概率为0.44.
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，
故由调查结果得频率为：
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
(3)A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；
B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．
由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)＞P(A2)，
∴甲应选择L1；
P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P(B2)＞P(B1)，
∴乙应选择L2.
10．(2010·湖北高考)为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单位：千克)，并将所得数据分组，画出频率分布直方图(如图所示)．
(1)在下面的表格中填写相应的频率；
分组
频率
[1.00,1.05)
[1.05,1.10)
[1.10,1.15)
[1.15,1.20)
[1.20,1.25)
[1.25,1.30)
(2)估计数据落在[1.15,1.30)中的概率为多少；
(3)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数．
解：(1)根据频率分布直方图可知，频率＝组距×(频率/组距)，故可得下表：
分组
频率
[1.00,1.05)
0.05
[1.05,1.10)
0.20
[1.10,1.15)
0.28
[1.15,1.20)
0.30
[1.20,1.25)
0.15
[1.25,1.30)
0.02
(2)0.30＋0.15＋0.02＝0.47，所以数据落在[1.15,1.30)中的概率约为0.47.
(3)＝2000，所以估计该水库中鱼的总条数为2000条．
1．某人将一枚硬币连掷了10次，正面朝上出现了4次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则事件A的( )
A．概率为 B．频率为
C．频率为4 D．频率为6
解析：对某一事件来说，试验结果与试验次数的比值为频率而不是概率．
答案：B
2．“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”，下列说法不正确的是
( )
A．北京今天一定降雨，而上海一定不降雨
B．上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨
C．北京和上海都可能没降雨
D．北京降雨的可能性比上海大
解析：由题意知降雨属随机事件，并非必定发生，故A不正确．
答案：A
3．根据某省教育研究机构的统计资料，今在校中学生近视率约为37.4%，某配镜商要到一中学给学生配镜，若已知该学生总数为600人，则该眼镜商应带眼镜的数目为( )
A．374副 B．224.4副
C．不少于225副 D．不多于225副
解析：根据概率，该校近视生人数应为37.4%×600＝224.4，结合实际情况，眼镜商应带眼镜数不少于225副．
答案：C
4．下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性大小；②百分率是频率，但不是概率；③频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，则概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
其中正确的是________．
解析：概率也可以用百分率表示，故②错误．
答案：①③④
5．某人抛掷一枚硬币100次，结果正面朝上有53次，设正面朝上为事件A，则事件A出现的频数为________，事件A出现的频率为________．
解析：由题意，试验次数n＝100，事件A出现的次数nA＝53，即为频数，故事件A出现的频率
fn(A)＝＝＝0.53.
答案：53 0.53
6．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力情况，出了10道智力题，每道题10分，然后作了统计，下表是统计结果：
贫困地区：
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
16
27
52
104
256
402
得60分以上的频率
发达地区：
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
17
29
56
111
276
440
得60分以上的频率
(1)利用计算器计算这两地区参加测试的儿童得60分以上的频率(精确到0.001)；
(2)分别求这两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率；
(3)分析贫富不同为什么会带来人的智力差别．
解：(1)贫困地区；
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
16
27
52
104
256
402
得60分以上的频率
0.533
0.540
0.520
0.520
0.512
0.503
发达地区：
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
17
29
56
111
276
440
得60分以上的频率
0.567
0.580
0.560
0.555
0.552
0.550
(2)这两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率分别为0.503和0.550.
(3)经济上的贫困导致该地区生活水平落后，儿童的健康和发育会受到一定的影响；另外经济落后也会使教育事业发展落后，这都是贫富不同带来的智力差别的原因．
一、选择题
1．从1,2,3，…，9这9个数中任取两数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，对立事件是( )
A．① B．②④
C．③ D．①③
解析：从1,2,3，…，9这9个数中任取两数，按所取的数的奇偶性有3类结果：一个奇数一个偶数或两个奇数或两个偶数，则①②④不是互斥事件；③中至少有一个是奇数与两个都是偶数不可能同时发生，且必有一个发生，是对立事件．
答案：C
2．从装有数十个红球和数十个白球的罐子里任取两个球，下列情况中是互斥而不是对立的两个事件是( )
A．至少有一个红球，至少有一个白球
B．恰有一个红球，都是白球
C．至少有一个红球，都是白球
D．至多有一个红球，都是红球
答案：B
3．把语文、数学、物理、化学四本书随机地分给甲、乙、丙、丁四位同学．每人一本，则事件“甲同学分得语文书”与事件“乙同学分得语文书”是( )
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 D．以上答案都不对
解析：若甲同学分得语文书，则乙同学一定不可能分得语文书，反之也一样，故二者不可能同时发生，是互斥事件，同时，当甲未分得语文书时，乙也可能未分得语文书，所以二者不是对立事件．
答案：C
4．(2012·西安高一检测)下列三个命题：
(1)A、B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
(2)若A、B、C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；
(3)事件A、B满足P(A)＋P(B)＝1，则A、B是对立事件．
其中错误命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：(1)错，只有当A，B为互斥事件时，公式才成立；(2)错，A＋B＋C为必然事件时，才有P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；(3)错，A，B对立，一定有P(A)＋P(B)＝1，反之则不然．
答案：D
二、填空题
5．(2010·上海高考)从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张．事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P(A∪B)＝____________(结果用最简分数表示)．
解析：一副扑克中有1张红桃K,13张黑桃，事件A与事件B为互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
答案：
6．已知某台纺纱机在一小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在一小时内断头不超过2次的概率和断头超过2次的概率分别为________、________.
解析：P(不超过2次)＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.
P(超过2次)＝1－P(不超过2次)＝1－0.97＝0.03.
答案：0.97 0.03
7．一商店有奖促销活动中，有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率是0.25，则不中奖的概率是________．
解析：中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65.
答案：0.65
8．掷一枚骰子，事件A表示“点数是奇数”，事件B表示“点数是偶数”，事件C表示“点数小于4”，事件D表示“点数小于2”，以上事件中只是互斥事件(不包括对立事件)的有________对．
解析：A与B互斥且对立，B与D只互斥，A与C、D不互斥，B与C不互斥，C与D也不互斥．
答案：1
三、解答题
9．向三个相邻的军火库投掷一颗炸弹，炸中第一个军火库的概率是0.25，炸中其他两个的概率都是0.1.已知只要炸中一个，另外两个都会爆炸．求这三个军火库都被炸掉的概率．
解：设以A，B，C分别表示“炸中第一，第二，第三个军火库”的事件，则P(A)＝0.25，P(B)＝P(C)＝0.1，
设D表示事件“三个军火库都被炸掉”，则D＝A∪B∪C，其 A，B，C互斥．
所以P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.25＋0.1＋0.1＝0.45.
10．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球．从中任取一球，取到红球的概率是；取到黑球或黄球的概率是；取到黄球或绿球的概率是.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？
解：从袋中任取一球，记事件“摸到红球”，“摸到黑球”，“摸到黄球”、“摸到绿球”，分别为A，B，C，D，则A，B，C，D显然是两两互斥的．由题意，得
所以
解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
1．如果事件A、B互斥，记、分别为事件A、B的对立事件，那么( )
A．A∪B是必然事件 B.∪是必然事件
C.与一定互斥 D.与一定不互斥
解析：用集合的Venn图解决此类问题较为直观，如图所示，∪是必然事件．
答案：B
2．下列说法正确的是( )
A．事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大
B．事件A、B同时发生的概率一定比事件A、B恰有一个发生的概率小
C．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
D．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
解析：A、B明显不正确，对于C、D，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件．
答案：D
3．抽出20件产品进行检验，设事件A：“至少有三件次品”，则A的对立事件为( )
A．至多三件次品 B．至多二件次品
C．至多三件正品 D．至少三件正品
解析：至少有三件的对立面为二件或一件或没有，即至多二件．
答案：B
4．某产品分甲、乙、丙三级，若其中乙、丙两级为次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对该产品抽查一件抽到正品的概率为________．
解析：抽到正品与抽到乙、丙两级产品互为对立事件．故所求概率为P＝1－(0.03＋0.01)＝0.96.
答案：0.96
5．有一箱梨，从中任取一个，若其质量小于200 g的概率是0.15，质量不小于300 g的概率0.07，那么梨的质量在[200,300) g范围内的概率是________．
解析：由题意可知，所求概率为P＝1－0.15－0.07＝0.78.
答案：0.78
6．战士甲射击一次，问：
(1)若事件A(中靶)的概率为0.95，的概率为多少？
(2)若事件B(中靶环数大于5)的概率为0.7，那么事件C(中靶环数小于6)的概率为多少？
(3)在(1)(2)成立的条件下，事件D(中靶环数大于0且小于6)的概率是多少？
解：(1)P()＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.
(2)由题意：B与C互为对立事件，
∴P(C)＝1－P(B)＝1－0.7＝0.3.
(3)C＝D∪，∴P(C)＝P(D)＋P()，
∴P(D)＝P(C)－P()＝0.3－0.05＝0.25.
一、选择题
1．下列试验中，是古典概型的有( )
A．种下一粒种子观察它是否发芽
B．从规格直径为(250±0.6)mm的一批合格产品中任意取一件，测量其直径
C．抛掷一枚硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
解析：只有选项C具有：(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．
答案：C
2．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：该生选报的所有可能情况是{数学和计算机}，{数学和航空模型}，{计算机和航空模型}，所以基本事件数为3个．
答案：C
3．(2011·新课标全国卷)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．
记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此P(A)＝＝.
答案：A
4．(2012·大庆模拟)设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为( )
A．3 B．4
C．2和5 D．3和4
解析：基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)．共6个．
P(C2)＝，P(C3)＝＝，P(C4)＝＝，
P(C5)＝.
答案：D
二、填空题
5．(2010·江苏高考)盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是________．
解析：设3只白球为A，B，C,1只黑球为d，
则从中随机摸出两只球的情形有：
AB，AC，Ad，BC，Bd，Cd共6种，其中两只球颜色不同的有3种，故所求概率为
答案：
6．(2011·合肥模拟)从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．
解析：从四条线段中任取三条有4种取法：(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中能构成三角形的取法有3种：(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故所求的概率为.
答案：
7．(2012·慈溪高一检测)从{1,2,3,4}中随机选取一个数记为x，从{1,2,3}中随机选取一个数记为y，则x>y的概率等于________．
解析：基本事件记为(x，y)，则共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)12种，“x>y”包含基本事件(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)6种，
∴P(x>y)＝＝.
答案：
8．A、B、C、D、E五名学生按任意次序排成一排，A不在边上的概率为________．
解析：只需单考虑A的排位，A共有5个位置可选，其中不在边上的站法有3种，故所求概率为.
答案：
三、解答题
9．(2010·天津高考)有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：
编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
直径
1.51
1.49
1.49
1.51
1.49
1.51
1.47
1.46
1.53
1.47
其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品．
(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；
(2)从一等品零件中，随机抽取2个．
①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；
②求这2个零件直径相等的概率．
解：(1)由所给数据可知，一等品零件共有6个，设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)①一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6.从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共有15种．
②“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件B)的所有可能结果有：{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共有6种．所以P(B)＝＝.
10．(2011·山东高考)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
解：(1)甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示．
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：
(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)(C，F)共9种，
从中选出的两名教师性别相同的结果有：(A，D)(B，D)(C，E)(C，F)共4种，选出的两名教师性别相同的概率为P＝.
(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：
(A，B)(A，C)(A，D)(A，E)(A，F)(B，C)(B，D)(B，E)(B，F)(C，D)(C，E)(C，F)(D，E)(D，F)(E，F)共15种，
从中选出两名教师来自同一学校的结果有：
(A，B)(A，C)(B，C)(D，E)(D，F)(E，F)共6种，
选出的两名教师来自同一学校的概率为P＝＝.
1．下列试验是古典概型的是( )
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件
B．为求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件
C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止
解析：A中尽管点数之和只有有限个取值：2,3，…，12，但它们不是等可能的，A不对．对于B，尽管各个正整数被取到是“等可能的”，但正整数有无限个，故B不对．对于C，由于只有n个等可能的结果，故是古典概型．对于D，可能结果即抛掷次数可能取值是无限多，故D不对．
答案：C
2．将一枚硬币先后抛掷两次，至少出现一次正面的概率是( )
A. B.
C. D．1
解析：所有可能的基本事件为正正，正反，反正，反反四个结果．事件“至少出现一次正面”包含的情况为正正，正反，反正，故P＝.
答案：C
3．(2011·安徽高考)从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )
A. B.
C. D.
解析：假设正六边形的6个顶点分别为A、B、C、D、E、F，则从6个顶点中任取4个顶点共有15种结果，以所取4个点作为顶点的四边形是矩形有3种结果，故所求概率为.
答案：D
4．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为________．
答案：
5．先后抛掷两枚均匀的骰子，骰子朝上的面的点数分别为x，y，满足log2xy＝1的概率为________．
解析：基本事件总数为36，满足log2xy＝1即y＝2x的有(1,2)(2,4)(3,6)3个．
∴概率为＝.
答案：
6．袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．
(1)试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；
(2)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．
解：(1)一共有8种不同的结果，列举如下：
(红、红、红)、(红、红、黑)、(红、黑、红)、(红、黑、黑)、(黑、红、红)、(黑、红、黑)、(黑、黑、红)、(黑、黑、黑)．
(2)记“3次摸球所得总分为5”为事件A，
事件A包含的基本事件为：(红、红、黑)、(红、黑、红)、(黑、红、红)，事件A包含的基本事件数为3.
由(1)可知，基本事件总数为8，
所以事件A的概率为P(A)＝.
一、选择题
1．函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任取一点x0使f(x0)>0的概率为( )
A．0.5 B．0.6
C．0.7 D．0.8
解析：由x2－x－2>0得x>2或x<－1.
如图可知，记“f(x0)>0”为A，
则P(A)＝＝＝0.7.
答案：C
2．在一升水中，加入3个细菌，均匀搅拌后，用一个吸管吸取0.1升的溶液进行化验，则取出的水中含有1个细菌的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：因为1升水中含有3个细菌，所以每个细菌占有的水量为升，根据几何概型的概率计算公式知所求概率P＝＝.
答案：C
3．(2012·珠海模拟)如图，分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆．重叠部分如图中阴影区域．若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：设正方形边长为2，则阴影部分的面积S＝8×(－)＝2(π－2)，记事件A为“点落在阴影区域内”．
∴P(A)＝＝.
答案：B
4．(2012·大庆模拟)在区间(0,1)上随机取两个数u、v，求关于x的一元二次方程x2－
x＋u＝0有实根的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：u，v∈(0,1)，平面区域为如图所示的正方形OABC区域，方程有实根即v－4u≥0，区域如图，D(，1)．阴影部分面积S＝××1＝，∴有实根的概率可由几何概型得P＝＝.
答案：D
二、填空题
5．(2010·湖南高考)在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．
解析：由|x|≤1得，－1≤x≤1，
故易知所求概率为＝.
答案：
6．在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投的点落在E中的概率是________．
解析：由题意知，D为边长为4的正方形区域(如图)，而E是以O为圆心，以1为半径的圆(如图)．则P(点在E中)＝＝.
答案：
7．在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为________．
解析：如图：把圆弧三等分，则∠AOF＝∠BOE＝30°，记A为“在扇形AOB内作一射线OC，使∠AOC和∠BOC都不小于30°”，要使∠AOC和∠BOC不小于30°，
则OC就落在∠EOF内
∴P(A)＝＝.
答案：
8．点A为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为________．
解析：如图，可以先固定A，则A的区域弧长为2，∴所求概率为.
答案：
三、解答题
9．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机(每隔1小时报时一次)，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．
解：假设他在0到60分钟之间任一个时刻打开收音机是等可能的，但0到60之间有无穷个时刻，不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率．因为电台每隔1小时报时一次，他在0到60之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件，因此，可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率．
设A＝{等待的时间不多于10分钟}．我们所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内，因此由几何概型的概率公式得
P(A)＝＝，即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为.
10．在△ABC内任取一点P，求△ABP与△ABC的面积之比大于的概率．
解：设P点、C点到AB的距离分别为dP、dC，
则S△ABP＝AB·dP，S△ABC＝AB·dC，
所以＝，要使>，
只需使P点落在某条与AB平行的直线的上方，
当然P点应在△ABC之内，而这条与AB平行的直线EF与AB的距离要大于dC的.
由几何概率公式，得P＝＝()2＝.
1．关于几何概型和古典概型的区别，下列说法正确的是( )
A．几何概型中基本事件有有限个，而古典概型中基本事件有无限个
B．几何概型中基本事件有无限个，而古典概型中基本事件有有限个
C．几何概型中每个基本事件出现的可能性不相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性相等
D．几何概型中每个基本事件出现的可能性相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性不相等
解析：古典概型的特征为有限性和等可能性，而几何概型的特征为无限性和等可能性．
答案：B
2．在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：
设取出的两个数为x，y，则x＋y<，如图所示，由几何概型可知：
所求概率为1－＝.
答案：A
3．某公共汽车站每隔10分钟就有一趟车经过，小王随机赶到车站，则小王等车时间不超过4分钟的概率是________．
解析：记“小王等车时间不超过4分钟”为A，则P(A)＝＝.
答案：
4．地球上的山地、水和陆地面积的比约为3∶6∶1，那么太空的一块陨石恰好落在陆地上的概率是________．
解析：陨石随机的落在地球上的任一地方，
所求概率为＝.
答案：
5．(2011·江西高考)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．
解析：设A＝{小波周末去看电影}，B＝{小波周末去打篮球}，C＝{小波周末在家看书}，D＝{小波周末不在家看书}，如图所示，则P(D)＝1－＝.
答案：
6．设A为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点与A连结，求弦长超过半径的倍的概率．
解：如图所示，在⊙O上有一定点A，任取一点B与A连结，则弦长超过半径的倍，即为∠AOB的度数大于90°，而小于270°.
记“弦长超过半径的倍”为事件C，
则C表示的范围是∠AOB∈(90°，270°)．
则由几何概型概率的公式，得
P(C)＝＝.
一、选择题
1．将0～1之间的均匀随机数x1转化为－2～2之间的均匀随机数x，需要实施的变换为( )
A．rand( )*2 B．rand( )*4
C．rand( )*2＋2 D．rand( )*4－2
答案：D
2．与均匀随机数特点不符的是( )
A．它是0～1之间的任何一个实数
B．它是一个随机数
C．出现0～1之间任何一个实数都是等可能的
D．它是随机数的平均数
答案：D
3．如图，A，B，C，D，E，F是圆O的六个等分点，则转盘指针不落在阴影部分的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：由题意知，将圆6等分，每一部分的圆心角为＝，所以指针落在阴影部分的概率为＝，所求事件的概率为1－＝.
答案：B
4．在利用随机模拟法计算如图阴影部分(曲线y＝()x与x轴，x＝±1围成的部分)的面积时，需要经过伸缩变换得到哪两个区间上的均匀随机数( )
A．[－1,1]，[0,1] B．[－1,1]，[0,2]
C．[0,1]，[0,2] D．[0,1]，[0,1]
解析：用变换rand()*2－1产生－1～1之间的均匀随机数，x表示所投的点的横坐标；用变换rand()*2产生0～2之间的均匀随机数，y表示所投点的纵坐标．
答案：B
二、填空题
5．如图在正方形围栏内均匀散布着米粒，一小鸡在其中随意啄食，则此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率为________．
解析：P＝＝.
答案：
6．(2012·宁波模拟)在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为________．
解析：设阴影部分的面积为S′，则
＝，解得S′＝.
答案：
7．b1是[0,1]上的均匀随机数，b＝(b1－0.5)*6，则b是区间________上的均匀随机数．
解析：0≤b1≤1，则－0.5≤b1－0.5≤0.5，∴－3≤(b1－0.5)*6≤3.
答案：[－3,3]
8．如图所示，平面上一长12 cm，宽10 cm 的矩形ABCD内有一半径为1 cm 的圆O(圆心O在矩形对角线的交点处)．把一枚半径1 cm的硬币任意掷在矩形内(硬币完全落在矩形内)，则硬币不与圆O相碰的概率为________．
解析：试验可转化为以如图所示的图形内取点，事件可看成从阴影部分取点，故其概率为
＝1－.
答案：1－
三、解答题
9．试用随机数把五名同学排成一列．
解：S1 n＝1；
S2 用int(rand()*4)＋1产生一个[1,5]内的整数随机数x表示学生的座号；
S3 执行S2，再产生一个座号，此座号与以前产生的座号重复，则执行S2；否则n＝n＋1；
S4 如果n≤5，则重复执行S3，否则执行S5；
S5 按座号的大小排列，程序结束．
10．利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y＝log3x与x＝3及x轴围成的图形)的面积．
解：设事件A：“随机向矩形内投点，所投的点落在阴影部分”．
①利用计算器或计算机产生两组0到1区间的均匀随机数，
x1＝RAND，y1＝RAND.
②经过伸缩变换x＝x1]N1,N)，即为概率P(A)的近似值．
设阴影部分的面积为S，正方形的面积为9，由几何概率公式得P(A)＝.所以≈.
所以S≈即为阴影部分面积的近似值．
1．在区间(10,20)内的所有实数中，随机取一个实数a，则这个实数a<13的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：要使实数a<13，则要a∈(10,13)，
∴实数a<13的概率为P＝＝.
答案：C
2．将[0,1]内的均匀随机数转化为[－2,6]内的均匀随机数，需实施的变换为( )
A．rand()*8 B．rand()*8＋2
C．rand()*8－2 D．rand()*6
解析：b－a＝8，a＝－2.
答案：C
3．用函数型计算器能产生0～1之间的均匀随机数，其按键的顺序为( )
A. B.
C. D.
答案：C
4．在5名学生(3名男生，2名女生)中安排2名学生值日，其中至少有1名女生的概率是________．
解析：设3名男生编号为1,2,3；2名女生编号为4,5.安排2名学生值日，所有的基本事件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10个．至少有1名女生的基本事件数有7个，故所求概率为＝0.7.
答案：0.7
5．用计算机来模拟所设计的试验，并通过这个试验的结果来确定一些量的方法称为__________________．
答案：计算机随机模拟法或蒙特卡罗法
6．用Scilab中的rand()函数产生下面范围内的数．
(1)0～1内的随机数．(2)2～10内的随机数．(3)－8～2内的随机数．(4)－6～6内的随机数．(5)－10～10内的随机数．(6)a～b内的随机数．
解：(1)rand() (2)rand()*8＋2 (3)rand()*10－8
(4)rand()*12－6 (5)rand()*20－10 (6)rand()*(b－a)＋a.
一、选择题
1．用1,2,3,4四个数字编四位密码(不重复)，则密码恰为连号(1234或4321)的概率为
( )
A. B.
C. D.
解析：基本事件数为24，从左到右或从右到左顺序恰为1,2,3,4的基本事件数为2，所以P(A)＝＝.
答案：B
2．(2012·大庆模拟)如图的矩形，长为5，宽为2.在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗．则我们可以估计出阴影部分的面积为( )
A. B.
C. D.
解析：设阴影部分面积为S，则＝，解得S′＝.
答案：A
3．从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中，任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：任取两张，可能的结果有
A
B
C
D
E
A
(A，B)
(A，C)
(A，D)
(A，E)
B
(B，A)
(B，C)
(B，D)
(B，E)
C
(C，A)
(C，B)
(C，D)
(C，E)
D
(D，A)
(D，B)
(D，C)
(D，E)
E
(E，A)
(E，B)
(E，C)
(E，D)
共20种，任取两张字母顺序相邻的可能的结果有
(A，B)，(B，A)，(B，C)，(C，B)，(C，D)，(D，C)，(D，E)，(E，D)共8种．
故P＝＝.
答案：B
4．任取一个由50名同学组成的班级(称为一个标准班)，至少有两位同学的生日在同一天(记为事件A)的概率为0.97，据此我们知道( )
A．取定一个标准班，A一定发生
B．取定一个标准班，A发生的概率大概是0.97
C．任意取定10 000个标准班，其中9 700个班A发生
D．随着抽取的班级n不断增大，A发生的频率逐渐稳定到0.97，在它附近摆动
解析：概率只是反映事件发生的可能性大小，故只有D说法准确．
答案：D
二、填空题
5．设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球和1个黑球，乙箱有1个白球和99个黑球，今随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，根据所学知识，问这球从________箱子取出．
解析：甲箱中抽到白球的概率为，
乙箱中抽到白球的概率为，根据概率可知，从甲箱中抽到白球的可能性大．
答案：甲
6．若10个鸡蛋能孵化出8只小鸡，根据此情况，估计某小鸡孵化厂20 000个鸡蛋能孵化出________只小鸡．
解：假定每个鸡蛋能孵化出小鸡的可能性是相等的，从中任选一个，记事件A＝{鸡蛋能孵化出小鸡}，此试验为古典概型，则P(A)＝ ①.
设20 000个鸡蛋能孵化出小鸡m只，
则P(A)≈ ②，
由①②得≈，解得m≈16 000.
答案：16 000
7．某人在江边码头上乘船摆渡过江，码头仅可供一艘船靠岸上客，若在半小时内大船靠岸的概率为0.6，汽艇靠岸的概率为0.2，那么此人在半小时内能乘船过江的概率是________．
解析：P＝0.6＋0.2＝0.8.
答案：0.8
8．从1,2，…，10这十个数字中任意取出两个，假设两个数的和是偶数的概率为p，两个数的积是偶数的概率为q，给出下列说法：①p＋q＝1；②p＝q；③|p－q|≤；
④p≤.其中正确的有________．(填序号)
解析：从1,2，…，10这十个数字中任取两个，事件“两数和为偶数”与“两数积为偶数”并非对立事件．故p＋q≠1；其中p＝＝，q＝＝，∴p≠q，|p－q|＝>.
因此，①②③都不正确，只有④是正确的．
答案：④
三、解答题
9．某外语学校英语班有A1、A2两位同学，日语班有B1、B2、B3、B4四位同学，俄语班有C1、C2两位同学，共8人报名奥运会志愿者，现从中选出懂英语、日语、俄语的志愿者各1人，组成一个小组．
(1)写出一切可能的结果组成的基本事件空间并求出B4被选中的概率；
(2)求A1和C1不全被选中的概率．
解：(1)基本事件空间Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A1，B4，C1)，(A1，B4，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A2，B4，C1)，(A2，B4，C2)}共16个．
其中B4被选中的事件有4个．
所以B4被选中的事件的概率为＝.
(2)A1和C1全被选中的事件为(A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A1，B3，C1)，(A1，B4，C1)，共4个，故A1和C1全被选中的概率为P＝＝，则A1和C1不全被选中的概率为.
10．(2011·四川高考)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．
(1)分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；
(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率．
解：(1)分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件A、B，
则P(A)＝1－－＝，
P(B)＝1－－＝.
答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，.(5分)
(2)记两人所付的租车费用之和小于6元为事件C，则
P(C)＝(×)＋(×＋×)＋(×＋×＋×)＝.
答：两人所付的租车费用之和小于6元的概率是.(12分)
1．某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是
( )
A．他们一定不会淋雨
B．他们淋雨的可能性为
C．他们淋雨的可能性为
D．他们淋雨的可能性为
解析：他们淋雨是因为下雨了且帐篷没有运到，所以淋雨的概率为.
答案：D
2．一个路口的红绿灯的时间为100 s，黄灯的时间为5 s，绿灯的时间为40 s，当你到达路口时，事件A＝“看见绿灯”、事件B＝“看见黄灯”、事件C＝“看见的不是绿灯”概率大小关系为( )
A．P(A)>P(B)>P(C) B．P(A)>P(C)>P(B)
C．P(C)>P(B)>P(A) D．P(C)>P(A)>P(B)
解析：由几何概型可得，P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
答案：D
3．某产品的设计长度为20 cm，规定误差不超过0.5 cm为合格品，今对一批产品进行检测，测得结果如表所示，则这批产品的不合格率是( )
长度(cm)
19.5以下
19.5～20.5
20.5以上
件数
5
68
7
A. B.
C. D.
解析：P(不合格)＝P(20.5以上)＋P(19.5以下)
＝＝.
答案：D
4．一只转盘，均匀地标有1～12个数，转动指针，指针指向偶数的概率是________．
解析：指针指向12个中的任一个都是等可能的，而指向偶数的有6个，∴P＝＝.
答案：
5．如图为一个边长为2的正三角形以及它的内切圆，若随机向该三角形内丢一粒豆子，若已知随机模拟试验中，豆子落在三角形内切圆内的次数为90次，则随机模拟试验一共进行了大约________次．(结果保留π)
解析：设此次模型试验共进行了x次，当边长为2时，圆的半径是r＝，
∴＝，解得x＝.
答案：
6．某研究性学习小组对昼夜温差与某种子发芽数的关系进行研究．他们分别记录了四天中每天昼夜温差与每天100粒种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
时间
第一天
第二天
第三天
第四天
温差(℃)
9
10
8
11
发芽数(粒)
33
39
26
46
(1)求这四天浸泡种子的平均发芽率；
(2)若研究的一个项目是在这四天中任选2天的种子发芽数来进行，记发芽的种子数分别为m，n(m解：(1)这四天浸泡种子的发芽总数为：33＋39＋26＋46＝144，故这四天的平均发芽率为×100%＝36%.
(2)因为m易知事件A包含的基本事件为：(33,46)，(39,46)．
所以P(A)＝＝.
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列事件中，是随机事件的有( )
①函数y＝ax(a>0且a≠1)在定义域上是增函数；
②某人打开邮箱，恰好有新邮件．
③自由下落的物体作匀速直线运动．
④盒子中有6个白球，4个红球，从中任取5个球，则至少有1个白球
A．①② B．①③
C．②③ D．③④
解析：①②为随机事件，③为不可能事件，④为必然事件．
答案：A
2．在30袋牛奶中，有3袋已过了保质期，从中任取一袋，取到已过保质期的牛奶的概率为( )
A. B.
C. D.
答案：B
3．对满足AB的非空集合A、B有下列四个命题：
①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；
②若x∈A，则x∈B是不可能事件；
③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；
④若x?B，则x?A是必然事件．
其中正确命题的个数是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：∵AB，∴当x∈A时，x∈B一定发生，x?B时，x?A也是一定发生的，但当x∈B时，x∈A不一定发生，故①③④正确．
答案：B
4．下列说法正确的是( )
A．由生物学知道生男生女的概率均约为，一对夫妇生两个孩子，则一定是一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为，则摸5张券，一定有一张中奖
C．10张券中有1张奖券，10人去摸，先摸者摸到的可能性大
D．10张券中有1张奖券，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖券的概率都是
解析：由概率的意义知A、B不正确.10张券中有1张奖券，10人去摸 ，无论先后，中奖的可能性均等．
答案：D
5．(2012·大庆模拟)4张卡片上分别写有数字1、2、3、4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：任取出两张，记为a，b，则所有基本事件包括：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个，记“数字之和为奇数”为事件A，则A包含的基本事件有：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)共4个，
∴P(A)＝＝.
答案：C
6．(2011·济南高一检测)某城市2010年的空气质量状况如下表所示：
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50A. B.
C. D.
解析：记事件A为“空气质量达到良或优”，则P(A)＝P(T≤50)＋P(50答案：A
7．(2012·三山模拟)甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子(六个面均标有数字1,2,3,4,5,6)，设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x，y，则满足x>y的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：所有基本事件共36个(如图)，“x>y”包含的基本事件如图可知，共有15个，
∴所求概率为P＝＝.
答案：B
8．如图是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的图形，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则相邻两个图形颜色不相同的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：用两种颜色为图形涂色的结果，分组表示为以下情形：(红，蓝，蓝)，(红，蓝，红)，(红，红，蓝)，(红，红，红)，(蓝，蓝，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，红，蓝)，(蓝，红，红)，共8个基本事件．
相邻两个图形颜色不相同的情形为：
(红，蓝，红)，(蓝，红，蓝)，共2个基本事件，
所以所求的概率为p＝＝.
答案：C
9．(2012·湖南师大模拟)某同学到公共汽车站等车上学，可乘坐12路车或25路车，其中12路车每15分钟一趟，25路车每10分钟一趟，则这位同学等车不超过8分钟的概率为
( )
A. B.
C. D.
解析：设事件A为“等12路车不超过8分钟”，记事件B为“等25路车不超过8 分钟”，则P(A)＝，P(B)＝＝.∴等车不超过8分钟的概率为
P＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)
＝＋－×
＝.
答案：D
10．在正方形ABCD内任取一点P，则使∠APB<90°的概率是( )
A. B.
C．1－ D．1－
解析：如图所示，以AB为直径作圆，当点P落在弧上时，∠APB＝90°，所以使∠APB<90°的点落在图中的阴影部分．设正方形的边长为1，“在正方形ABCD内任取一点P，则使∠APB<90°”为事件A，则μΩ＝1，μA＝1－π×()2＝1－，
所以P(A)＝＝1－.
答案：C
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．如图，假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率分别为________．
解析：设半径为R，则图(1)中的概率
P1＝＝.图(2)中的概率为P2＝.
答案：，
12．在100张卡片上分别写上1至100这100个数字，从中任取一张，则所得卡片上的数字为5的倍数的概率是________．
解析：是5的倍数的数有20个，∴P＝＝.
答案：
13．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不中靶的概率是________．
解析：射手命中圆面Ⅰ为事件A，命中圆环Ⅱ为事件B，命中圆环Ⅲ为事件C，不中靶为事件D，则A、B、C互斥，故射手中靶的概率为
P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.
因为中靶和不中靶是对立事件，故不中靶的概率为
P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10.
答案：0.10
14．口袋中装有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出1个球，摸出白球的概率是0.23，则摸出黑球的概率是________．
解析：∵摸出白球的概率是0.23，∴口袋中白球的个数为0.23×100＝23个，∴袋中黑球共100－45－23＝32个．∴从袋中摸出1个球，摸出黑球的概率为＝0.32.
答案：0.32
三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)对一批U盘进行抽检，结果如下表：
抽取件数a
50
100
200
300
400
500
次品件数b
3
4
5
5
8
9
次品频率
(1)计算表中各个次品频率；
(2)从这批U盘中任抽一个是次品的概率是多少？
(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，则销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？
解：(1)表中各数分别为0.06,0.04,0.025,0.017,0.02,0.018；
(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，
所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率是0.02；
(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2 000，因为x是正整数，
所以x≥2 041，即至少需进货2 041个U盘．
16．(本小题满分12分)已知棱长为2的正方体的内切球O.若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为多少？
解：球的直径就是正方体的棱长2，
∴球O的体积为V球＝π，
正方体的体积为V＝23＝8.
由于在正方体内任取一点时，点的位置是等可能的，在正方体内每个位置上，由几何概型公式，这点不在球O内(事件A)的概率为P(A)＝＝＝1－.
∴所求概率为1－.
17．(本小题满分12分)(2011·北京高考)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．
甲组 乙组
(1)如果X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
(2)如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．(注：方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中为x1，x2，…，xn的平均数)
解：(1)当X＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10，
所以平均数为：＝＝；
方差为：s2＝×[(8－)2＋(8－)2＋(9－)2＋(10－)2]＝.
(2)记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；
乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个：
(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，
(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，
(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，
(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)，
用C表示“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：(A1，B4)，(A2，B4)，(A3，B2)，(A4，B2)．故所求概率为P(C)＝＝.
18．(本小题满分14分)设有关x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.
(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
解：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．
当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.
(1)基本事件共12个：
(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A中包含9个基本事件，所以事件A发生的概率为P(A)＝＝；
(2)试验的全部结果所构成的区域为：
{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}．
构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，
所以所求的概率为＝＝.
一、选择题
1．某校有40个班，每班50人，每班选派3人参加“学代会”，在这个问题中样本容量是( )
A．40 B．50
C．120 D．150
解析：40×3＝120人．
答案：C
2．(2012·威海模拟)某总体容量为M，其中带有标记的有N个，现用简单随机抽样方法从中抽出一个容量为m的样本，则抽取的m个个体中带有标记的个数估计为( )
A. B.
C. D．N
解析：由＝得x＝.
答案：A
3．用简单随机抽样方法从含有6个个体的总体中，抽取一个容量为2的样本，某一个体a“第一次被抽到”的可能性、“第二次被抽到”的可能性分别是( )
A.， B.，
C.， D.，
解析：由抽样方法知每个个体被抽到的机会均等，与哪一次被抽到无关．
答案：A
4．假设要考查某企业生产的袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表法抽取样本时，先将500袋牛奶按000,001，…，499进行编号，使用下面随机数表中各个5位数组的后3位，选定7行第5组数开始，取出047作为抽取的代号，继续向右读，随后检验的5袋牛奶的号码是(下面提取了某随机数表第7行至第9行)( )
84 421 75 331 57 245 50 688 77 047 44 767 21 763
35 025 83 921 20 676 63 016 47 859 16 955 56 719
98 105 07 185 12 867 35 807 44 395 23 879 33 211
A．245,331,421,025,016 B．025,016,105,185,395
C．395,016,245,331,185 D．447,176,335,025,212
解析：依据随机数表法的步骤依次抽取即可．
答案：B
二、填空题
5．要检查一个工厂产品的合格率，从1 000件产品中抽出50件进行检查，检查者在其中随意取了50件，这种抽样方法可称为____________抽样．
答案：简单随机
6．某工厂共有n名工人，为了调查工人的健康情况，从中随机抽取20名工人作为调查对象，若每位工人被抽到的可能性为，则n＝________.
解析：由于简单随机抽样为机会均等抽样．
由＝得n＝100.
答案：100
7．下列抽样方法不属于简单随机抽样的是________．
①在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2 709的三等奖
②某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格
③某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人3组调查学校机构改革的意见
④用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验
解析：对于①②来说，抽取样本时的间隔一致，并不属于简单随机抽样；对于③来说，由于总体中的个体有明显的层次差异，也不属于简单随机抽样；④中抽签法属简单随机抽样．
答案：①②③
8．从100个零件中，抽取一个容量为20的样本来检验零件的合格率，用抽签法抽取样本可分为以下几个步骤：
①给总体中的所有个体编号；②将号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀；③从总体中将与抽到的签的编号相一致的个体取出；④从容器中每次取出一个号签，并记录其编号，逐个不放回地抽取20次；⑤将1～100这100个号码
写在形状、大小相同的号签上(号签可以用小球、卡片、纸条等制作)．
这些步骤的先后顺序为______________．
答案：①⑤②④③
三、解答题
9．高二(1)班共有40名学生，现要从中抽取5名学生参加一个座谈会，试写出利用抽签法抽取这个样本的步骤．
解：步骤如下：
第一步：给40名同学编号，号码依次为01,02,03，…，40.
第二步：将40名同学的编号分别写在一张小纸条上，并揉成小球，制成号签．
第三步：将得到的号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀．
第四步：从容器中逐个抽取5个号签，并记录上面的编号，如11,06,36,25,02.
第五步：对应上面5个编号的同学就是参加座谈会的同学．
10．欲从某单位45名职工中随机抽取10名职工参加一项社区服务活动，试用随机数表法确定这10名职工．请写出抽样过程．现将随机数表部分摘录如下：
16
22
77
94
39
49
54
43
54
82
17
37
93
23
78
87
35
20
96
43
84
42
17
53
31
57
24
55
06
88
77
04
74
47
67
21
76
33
50
25
63
01
63
78
59
16
95
55
67
19
98
10
50
71
75
12
86
73
58
07
解：先将这45名职工依次编号为：01,02,03，…，44,45.
选择一个位置进行读数，比如从所给数表第一行第一列的数字开始向右读，首先取16，然后是22；77,94大于45，继续读数得到39；49,54大于45；继续可以得到43，然后同样跳过大于45及与前面重复的数字可以得到17,37,23,35,20,42.
最后确定编号为16,17,20,22,23,35,37,39,42,43的职工作为参加社会服务的人选．
1．为了调查参加运动会的500名运动员的体重情况，从中抽取了50名运动员的体重．就这个问题来说，下列说法正确的是( )
A．500名运动员是总体
B．每个运动员是个体
C．抽取的50名运动员是样本
D．样本容量是50
解析：500名运动员的体重是总体，每个运动员的体重是个体，所抽取的50名运动员的体重是样本，样本容量是50，故选D.
答案：D
2．对简单随机抽样来说，某一个个体被抽取的可能性( )
A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性要大些
B．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等
C．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性大些
D．与第几次抽样无关，每次都是等可能抽取，但各次抽到的可能性不一样
解析：简单随机抽样是等可能抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的可能性相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的可能性也相等，从而保证了抽样的公平性．
答案：B
3．从总数为N的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则N为( )
A．150 B．200
C．100 D．120
解析：由＝25%，得N＝120.
答案：D
4．下列抽样实验中，用抽签法最方便的是________．
①从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验
②从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
③从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
④从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验
解析：抽签法适于样本总体较小，样本容量较小，且总体中样本差异不太明显的抽样试验，从①②③④来看，②最符合．
答案：②
5．福利彩票的中奖号码是由1～36个号码中选出7个号码来按规则确定中奖情况，这种从36个中选出7个号码的抽样方法是____________．
解析：因为总体容量和样本容量都不大，所以可以使用简单随机抽样：抽签法或随机数表法．
答案：简单随机抽样
6．某车间工人加工一种轴100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取10件轴在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？
解：(抽签法)将100件轴编号为001,002，…，100，并做好大小、形状相同的100个号签，分别写上这100个数，将这些号签放在一起，进行均匀搅拌，接着逐个不放回地抽取10个号签，然后测量这10个号签对应的轴的直径．
一、选择题
1．下列抽样问题中最适合用系统抽样法抽样的是( )
A．从全班48名学生中随机抽取8人参加一项活动
B．一个城市有210家百货商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本
C．从参加模拟考试的1 200名高中生中随机抽取100人分析试题作答情况
D．从参加模拟考试的1 200名高中生中随机抽取10人了解某些情况
解析：根据系统抽样的特点，C最适合．D中样本容量太小；B中个体不均衡；A中总体容量和样本容量都太小．
答案：C
2．为调查某产品的销售情况，销售部门从下属的92家连锁店中用系统抽样的方法抽取了30家调查，那么剔除的个体数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：∵92＝30×3＋2，故应先剔除2家．
答案：A
3．总体容量为524，若用系统抽样法抽样，当抽样间隔为多少时不需要剔除个体( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：在四个选项中，524仅能被4整除，故抽样间隔为4时不需要剔除个体．
答案：B
4．从2 008名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2 008人中剔除8人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2 008人中，每人入选的可能性( )
A．不全相等 B．均不相等
C．都相等，且为 D．都相等，且为
解析：本题考查了系统抽样，每名学生都是相同的机率：＝.
答案：C
二、填空题
5．某学校有学生4 022人．为调查学生对钓鱼岛的了解状况，现用系统抽样的方法抽取一个容量为30的样本，则分段间隔是__________．
解析：由于不是整数，所以从4 022名学生中随机剔除2名，则分段间隔是＝134.
答案：134
6．一个礼堂有30排座位，会后为听取意见留下了座号为21的所有30名听众进行座谈，这里运用的抽样方法是______________．
答案：系统抽样
7．(2011·郑州高一检测)某厂将从64名员工中用系统抽样的方法抽取4名参加2011年职工劳技大赛，将这64名员工编号为1～64，若已知8号、24号、56号在样本中，那么样本中最后一个员工的号码是________．
解析：因为分段间隔为16，故最后一个员工的号码为40.
答案：40
8．一个总体中有100个个体，随机编号为00、01、02、…、99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1、2、3、…、10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽取的号码是________．
解析：当m＝6、k＝7时，第k组抽取的号码的个位数字为3，所以(7－1)×10＋3＝63.
答案：63
三、解答题
9．从2004名同学中，抽取一个容量为20的样本，试叙述系统抽样的步骤．
解：(1)采用随机的方式给这2004名同学编号0 001,0 002,0 003,0 004，…，2 004.
(2)利用简单随机抽样剔除4个个体，并将剩余同学重新编号(分别为0 001,0 002，…，2 000)．
(3)分段．由于20∶2 000＝1∶100，故将总体分为20个部分，其中每一部分100个个体．
(4)例如第1部分的个体的编号为0 001,0 002，…，0 100.然后在第1部分随机抽取1个号码，比如0 066号．
(5)从第0 066号起，每隔100个抽取1个号码，这样得到容量为20的样本：
0 066,0 166,0 266,0 366,0 466,0 566,0 666,0 766，0 866，0 966,1 066,1 166,1 266,1 366,1 466,1 566，1 666，1 766,1 866,1 966.
10．某装订厂平均每小时大约装订图书362册，要求检验员每小时抽取40册图书，检验其质量情况．请你设计一个抽样方案．
解：第一步：将这些图书分成40组，由于的商是9，余数是2，所以每个小组有9册图书，还剩两册图书，这时抽样间隔就是9；
第二步：先用简单随机抽样的方法从这些书中抽取2册，不进行检验；
第三步，将剩下的书进行编号，编号分别为0,1,2，…，359.
第四步：从第一组(编号为0,1，…，8)书中用简单随机抽样的方法抽取1册书，比如说，其编号为K.
第五步：将编号分别为K，K＋9，K＋18，K＋27，…，K＋39×9的图书抽出，这样总共就抽取了40个样本．
1．一个年级有12个班，每个班同学按1～50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为14的同学参加交流活动，这里用的抽样方法是( )
A．简单随机抽样 B．抽签法
C．随机数表法 D．系统抽样
解析：根据抽样特点可知，用的是系统抽样．
答案：D
2．从N个编号中要抽取n个号码，若采用系统抽样方法抽取，则分段间隔应为( )
A. B．n
C．[] D．[]＋1
解析：若为整数，则为间隔；若不为整数，要进行取整．
答案：C
3．从已编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是( )
A．5,10,15,20,25 B．3,13,23,33,43
C．1,2,3,4,5 D．2,4,6,16,32
解析：若用系统抽样，间隔应为＝10.
答案：B
4．在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用系统抽样法从中抽取容量为20的样本，则每个个体被抽取的可能性为________．
解析：采用系统抽样．编号时可先编一级品，再编二级品，最后编三级品，每6个抽一个，每个被抽到的机会均等，都是＝.
答案：
5．为了了解1 208名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k为________，共分作________段．
解析：[]＝40，故分段间隔k为40，共分作30段．
答案：40 30
6．某单位在岗职工共有624人，为了调查工人用于上班途中的时间，该单位工会决定抽取10%的工人进行调查，请问如何采用系统抽样法完成这一抽样？
解：采用系统抽样获取样本的操作过程如下：
(1)将624名职工用随机方式编号；
(2)从总体中剔除4人(剔除方法可用随机数法)，将剩下的620名职工重新编号(分别是000,001,002，…，619)，并分成62段；
(3)在第一段000,001，…，009这十个编号中，用简单随机抽样抽取一个号码(如002)作为起始号码；
(4)将编号为002,012,022，…，612的个体抽出，即可组成样本．
一、选择题
1．要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次为( )
A．①随机抽样法，②系统抽样法
B．①分层抽样法，②简单随机抽样法
C．①系统抽样法，②分层抽样法
D．①②都用分层抽样法
解析：①中的总体及样本容量偏大，且个体差异很大，所以适合采用分层抽样法；②中样本容量及总体容量都很小，所以采用简单随机抽样抽签法．
答案：B
2．(2010·重庆高考)某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为( )
A．7 B．15
C．25 D．35
解析：设样本容量为n，则依题意有×n＝7，n＝15，选B.
答案：B
3．(2010·四川高考)一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )
A．12,24,15,9 B．9,12,12,7
C．8,15,12,5 D．8,16,10,6
解析：抽样比为＝，因此，从各层依次抽取的人数为160×＝8,320×＝16,200×＝10,120×＝6.
答案：D
4．(2012·珠海模拟)某高中在校学生2 000人，高一级与高二级人数相同并都比高三级多1人．为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如下表：
高一级
高二级
高三级
跑步
a
b
c
登山
x
y
z
其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高二级参与跑步的学生中应抽取
( )
A．36人 B．60人
C．24人 D．30人
解析：参与登山人数为×2000＝800人，参与跑步人数为1200人，∵a∶b∶c＝2∶3∶5且a＋b＋c＝1200，∴a＝240，b＝360，c＝600.
∴＝，∴b′＝36人．
答案：A
二、填空题
5．某校有老师200人，男学生1 200人，女学生1 000人，现用分层抽样法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n＝__________.
解析：由＝得n＝192.
答案：192
6．某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，采用系统抽样方法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________，若采用分层抽样的方法，则40岁以下年龄的职工应抽取________人．
解析：若采用系统抽样，则间隔为＝5.
当第5组抽出号码为22时，第8组抽出的号码应是22＋3×5＝37.
若采用分层抽样，40岁以下年龄的职工应抽取x人，则40×50%＝20.
答案：37 20
7．(2011·山东高考)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________．
解析：应在丙专业抽取的学生人数是
×40＝16.
答案：16
8．某校高一年级有x个学生，高二年级有y个学生，高三年级有z个学生，采用分层抽样抽一个容量为60的样本，高一年级被抽取35人，高二年级被抽取15人，高三年级共有学生300人，则此学校共有学生______人．
解析：高三年级被抽取了60－35－15＝10(人)，设此学校共有学生N人，则＝，解得N＝1 800.
答案：1 800
三、解答题
9．某网站欲调查网民对当前网页的满意程度，在登录的所有网民中，收回有效帖子共50 000份，其中持各种态度的份数如下表所示：
很满意
满意
一般
不满意
10 800
12 400
15 600
11 200
为了了解网民的具体想法和意见，以便决定如何更改才能使网页更完美，打算从中抽选500份，为使样本更具有代表性，每类中各应抽出多少份？
解：首先确定抽取比例，然后再根据各层份数确定各层要抽到的份数．
∵＝，∴＝108，＝124，＝156，＝112.
故四种态度应分别抽取108、124、156、112份进行调查．
10．某学校高中各班级人数如表所示：
班
年级
1班
2班
3班
高一
45
48
52
高二
46
54
50
高三
45
55
55
学校计划召开学生代表座谈会，请根据上述数据设计一个样本容量为总体容量的抽样方案．
解：(1)确定高一、高二、高三分别被抽取的个体数，高一、高二、高三的学生总数分别为：
45＋48＋52＝145；
46＋54＋50＝150；
45＋55＋55＝155.
由于总体容量与样本容量的比为20∶1，所以，样本中包含的各部分个体数应为：
145÷20≈7,150÷20≈8,155÷20≈8.
(2)将高一的被抽个体数分配到高一1班、2班、3班．
因为高一1班、2班、3班的人数比为45∶48∶52.
所以，高一1班、2班、3班的抽取的人数分别为：
7÷145×45≈2；
7÷145×48≈2；
7÷145×52≈3.
(3)将高二的被抽个体数分配到高二1班、2班、3班，因为高二1班、2班、3班的人数比为46∶54∶50，所以高二1班、2班、3班的被抽个体数分别为：
8÷150×46≈2；8÷150×54≈3；8÷150×50≈3.
(4)用同样的方法将高三的被抽个体数分配到高三1班、2班、3班，结果分别为2人，3人，3人．
(5)再用合适的方法在各班抽取个体．
1．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是( )
A．简单随机抽样法 B．抽签法
C．随机数表法 D．分层抽样法
解析：因为男生和女生的健康情况不一样，所以宜采用分层抽样，且有＝＝.故该抽样方法为分层抽样．
答案：D
2．甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生．为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生( )
A．30人，30人，30人 B．30人，45人，15人
C．20人，30人，10人 D．30人，50人，10人
解析：样本容量与总体容量的比为＝，
∴甲校抽取3600×＝30(人)，
乙校抽取5400×＝45(人)，
丙校抽取1800×＝15(人)．
答案：B
3．在100个零件中，有一级品20个、二级品30个、三级品50个，从中抽取20个作为样本．(1)采用简单随机抽样法，将零件编号为0,1，…，99，抽签取出20个；(2)采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后从每组中随机抽取1个；(3)采用分层抽样法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．则下列说法正确的是( )
A．不论采用哪一种抽样方法，这100个零件中每一个被抽取的机率都是
B．(1)(2)两种抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的机率为，(3)并非如此
C．(1)(3)两种抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的机率为，(2)并非如此
D．采用不同的抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的机率是各不相同的
解析：(1)(2)(3)都属随机抽样，每个个体被抽到的概率均相等，且都为＝.
答案：A
4．现有甲、乙两种产品共120件，现按一定的比例用分层抽样的方法共抽取10件进行产品质量调查，如果所抽取的甲产品的数量是乙产品的2倍还多1件，那么甲、乙产品的总件数分别为________、________.
解析：设抽取乙产品x件，则抽取甲产品(2x＋1)件，
由x＋(2x＋1)＝10，得x＝3.∴2x＋1＝7.
∴共有甲产品120×＝84(件)，
乙产品120×＝36(件)．
答案：84件 36件
5．一个田径队，有男运动员56人，女运动员42人，比赛后，立即用分层抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为28的样本进行尿样兴奋检查，其中男运动员应抽________人．
解析：总体容量为98，抽取比例为＝，
∴男运动员应抽×56＝16人．
答案：16
6．某县有30个乡镇，其中山区有12个，丘陵地区有6个，平原地区有12个，要用分层抽样的方法从中抽取5个乡镇进行调查，试写出抽样过程．
解：(1)将样本分成三层．
(2)确定各类地区各自的抽样个数．
∵样本容量与总体的个数的比为5∶30＝1∶6，
∴山区抽＝2个乡镇，
丘陵地区抽＝1个乡镇，
平原地区抽＝2个乡镇．
(3)用简单随机抽样(如抽签法)抽出作为样本的各乡镇．
(4)将各层所得样本汇合在一起便得所需样本．
一、选择题
1．关于调查问卷问题的设计，下列说法错误的是( )
A．调查问卷可以根据调查的目的设计问卷的方式
B．调查问卷可以根据调查目的不必要求被调查者给出自己的身份信息
C．调查问卷的问题可以设计成单项选择题或多项选择题的形式
D．调查问卷不能设计成问答题或者填空题的形式
答案：B
2．(2012·临沂高三检测)某县有三所高中，A校共有学生4 000人，B校共有学生2 000人，C校共有3 000人，现欲抽样分析某次考试的情况，若抽取900份试卷进行分析，则从A校抽取的试卷份数应为( )
A．450 B．400
C．300 D．200
解析：设从A校抽取的试卷份数为x，则
＝?x＝400.
答案：B
3．下列问题符合调查问卷要求的是( )
A．你所购买的名牌产品，您认为该产品的知名度
B．你认为数学学习
C．你们班有几位大个子同学？________
D．你对我们厂生产的电视机
解析：根据调查问卷的设计，只有B符合要求．
答案：B
4．(2012·杭州模拟)某地2010年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：
行业名称
计算机
机械
营销
物流
贸易
应聘人数
215 830
200 250
154 676
74 570
65 280
行业名称
计算机
营销
机械
建筑
化工
招聘人数
124 620
102 935
89 115
76 516
70 436
若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是( )
A．计算机行业好于化工行业
B．建筑行业好于物流行业
C．机械行业最紧张
D．营销行业比贸易行业紧张
解析：从排名前5位分析，化工行业不一定比计算机差．贸易、物流应该更紧张．贸易比营销紧张，故应选B.
答案：B
二、填空题
5．某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
产品类别
A
B
C
产品数量(件)
①
1 300
③
样本容量
②
130
④
由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，请你根据以上信息补全表格中的数据，则①__________，②________，③__________，④________.
解析：由分层抽样可知，每一层中的每一个个体被抽到的概率都相等，即为＝，设C类产品的样本容量为x，则A类产品的样本容量为10＋x，又总样本容量为3 000×＝300，∴x＋(10＋x)＋130＝300.解得x＝80，因此，C类产品数量为10x＝800，A类产品样本容量为10＋x＝90，A类产品的数量为10×90＝900.
答案：900 90 800 80
6．在一次竞选中，规定一个人获胜的条件是：(1)在竞选中得票最多；(2)得票数不低于总票数的一半．如果在计票时，周鹏得票数据丢失，试根据统计数据回答问题：
候选人
赵明
钱红
孙华
李丽
周鹏
得票数
300
100
30
60
x
请问如果周鹏获胜，那么周鹏的得票数x至少是________．
解析：根据条件，如果周鹏获胜，周鹏的得票数x不低于总票数的一半，即≥?x≥490，且x∈N即周鹏得票数至少为490票．
答案：490
三、解答题
7．为了调查最近上映的某部影片受欢迎程度，请设计一份调查问卷，调查对象是某晚上去电影院看这部影片的人．
解：问卷设计如下：
性别________ 年龄________(填“老”“中”“青”“少”)
职业________(填“行政”“教育”“卫生”“个体”“务农”“其他”)
学历________(填“本科以上”“大专”“中专”“初中以下”)
1．影片的艺术设计________(填“很好”“较好”“一般”“差”)
2．影片的音乐(歌曲)安排________(填“恰当”“不恰当”)
3．影片的视觉效果________(填“很好”“较好”“一般”“差”)
4．影片的故事情节________(填“精彩”“一般”“较差”“很差”)
5．您对影片的总体评价________(填“好”“一般”“差”)
8．假设可从书中作品的质量、印刷质量、封面设计质量三方面衡量一本书质量的高低．下面为调查某本书的质量所设计的问卷合理吗？如不合理，请说明原因，并做相应的修改．
您认为这本书的质量如何？
○较差 ○一般 ○较高
解：问卷设计得不合理．因为对问题叙述不详细．如受调查者认为书中作品质量较高，而书的印刷质量不高，就不好作答．可以改为：
较差 一般 较高
您认为书中作品的质量如何？ ○ ○ ○
您认为书的印刷质量如何？ ○ ○ ○
您认为书的封面设计质量如何？ ○ ○ ○
9．某商场打算在开业一周年之际对顾客进行问卷调查(内容包括：职员的服务态度，商品的质量，商品的价格，商品的种类，售后服务，商场的环境等)，以了解顾客的要求，进一步提高服务质量，促进商场的发展．请代拟一份调查问卷．
解：调查问卷设计如下：
姓名____________ 工作单位____________
住址____________ 联系电话____________
为了了解您的要求，进一步提高我们的服务质量，请回答以下问题．
1．您认为我们职员的服务态度( )
A．很好 B．较好 C．一般 D．较差 E．很差
2．您认为我们商场的商品质量( )
A．很好 B．较好 C．一般 D．较差 E．很差
3．您认为我们商场的商品种类( )
A．很全 B．一般 C．不全
4．您认为我们商场的商品价格和其他商场的同类商品相比( )
A．较高 B．差不多 C．较低
5．您在我们商场所买商品的售后服务( )
A．很好 B．较好 C．一般 D．较差
6．您认为我们商场的环境( )
A．很好 B．较好 C．一般 D．较差
7．您在我们商场所买的商品中质量最好的是哪类商品__________．
1．下列数据适合用试验的方法得到的有( )
A．2012年的全国人口总数
B．某学校抽烟的学生在总人数中所占的比例
C．某班男生的平均身高
D．顾客对某种产品的满意程序
答案：C
2．下列问题中符合调查问卷设计要求的是( )
A．你们单位有几个大胡子？
B．您对我们厂生产的电视机满意吗？
C．您的体重是多少千克？
D．很多顾客都认为该产品的质量很好，您不这么认为吗？
答案：B
3．下列调查中属于抽样调查的是( )
①每隔5年进行一次人口普查；
②某商品的质量优劣；
③某报社对某个事件进行舆论调查；
④高考考生的身体检查．
A．②③ B．①④
C．③④ D．①②
解析：①④为普查，②③为抽样调查．
答案：A
4．调查问卷可以通过________、________、派专人调查、____________等方式得到答案．
答案：邮寄 打电话 网络调查
5．某饮料厂出厂一批罐装饮料，检验员为了检验产品的质量应采用________方法检验．
解析：这是大批量的破坏性的检验，不可能进行普查，应当采取抽样调查的方法进行检验，对随机抽取的部分产品进行检验，得到的检验结果，就可以看作是这批饮料的质量情况．因为同一批产品，从中随机抽取一部分代表全体产品的质量，所以是合理的．
答案：抽样的
6．同济药品研究院新研制出一种抗生素，为了调查其疗效，请你思考如何进行抽样调查？
解：为了克服人为因素的干扰，不宜采用问卷回收的方式调查，可在符合随机性原则的前提下，对一些临床病人进行跟踪调查，有的还应该用安慰剂做对比试验，只有在考察各种因素后，得到的数据才比较可靠．
一、选择题
1．(2011·重庆高考)从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下(单位：克)： 125 120 122 105 130 114 116 95 120 134
则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为( )
A．0.2 B．0.3
C．0.4 D．0.5
解析：依题意得，样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为＝0.4.
答案：C
2．如图所示的茎叶图中，茎2的叶数有( )
十位 个位
0
8
1
0 9
2
1 3 5
3
0 2 4 6 8
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由茎叶图知，茎2的叶数有1、3、5共3个．
答案：D
3．(2011·湖北高考)有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为( )
A．18 B．36
C．54 D．72
解析：易得样本数据在区间[10,12)内的频率为0.18，则样本数据在区间[10,12)内的频数为36.
答案：B
4．为了解电视对生活的影响，一个社会调查机构就平均每天看电视的时间对某地居民调查了10 000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人做进一步调查，则在[2.5,3)(小时)时间段内应抽出的人数是( )
A．25 B．30
C．50 D．75
解析：抽出的100人中平均每天看电视的时间在[2.5,3)(小时)时间内的频率是0.5×0.5＝0.25，所以这10 000人中平均每天看电视的时间在[2.5,3)(小时)时间内的人数是10 000×0.25＝2 500，抽样比是＝，则在[2.5,3)(小时)时间段内应抽出的人数
是2 500×＝25.
答案：A
二、填空题
5．(2011·三山模拟)统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格人数是________；优秀率为________．
解析：不及格的人数为(0.005＋0.015)×10×1000＝200人，
∴及格人数为1 000－200＝800人，
优秀率为2×0.01×10＝20%.
答案：800 20%
6．甲、乙两个班级各随机选出15名同学进行测验，成绩的茎叶图如图．
甲 乙
6
4
8
5
7
9 4 1
6
2 5 9
8 7 6 4 2 1
7
2 5 7 8 9
7 4 4
8
1 4 4 7 9
6
9
2
则甲、乙两班的最高成绩各是________，从图中看，________班的平均成绩较高．
解析：根据茎叶图中数据的排列规律，分析数据，可得答案．
答案：96,92 乙
7．(2012·蚌埠模拟)从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)：
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5 g～501.5 g之间的概率约为________．
解析：在497.5 g～501.5 g之间的数据有5个，所以概率为＝.
答案：
8．(2010·北京高考)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．
解析：根据频率之和等于1，可知(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.035)×10＝1，
解得a＝0.030；
身高在[120,150]内的频率为0.6，人数为60人，
抽取比例是，而身高在[140,150]内的学生人数是10，故应该抽取10×＝3人．
答案：0.030 3
三、解答题
9．(2011·大庆模拟)某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30 min抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：
甲：102,101,99,98,103,98,99；
乙：110,115,90,85,75,115,110.
(1)将这两组数据用茎叶图表示；
(2)将两组数据比较，说明哪个车间产品较稳定．
解：(1)由已知数据可得，选择7,8,9,10,11为茎，个位数为叶，则甲、乙两车间产品重量如图所示．
甲 乙
7
5
8
5
9 9 8 8
9
0
3 2 1
10
11
0 0 5 5
(2)由茎叶图中可以看出甲的叶较长，且很集中，所以甲比乙更加稳定．
10．为了了解高一学生的数学学习情况，某校抽取部分学生进行测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.
(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2)若分数在110以上(含110分)为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？
(3)在这次测试中，学生得分成绩的中位数落在哪个小组内？请说明理由．
解：(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了
数据落在各小组内的频率大小，
因此第二小组的频率为
＝0.08.
又频率＝，
所以，样本容量＝＝＝150，
即第二小组的频率为0.08，样本容量是150.
(2)分数落在[110,150]内的频率
×100%＝88%，
所以估计该学校全体高一学生的达标率是88%.
(3)由已知可得各小组的频数依次为
×150＝6，
×150＝12，
×150＝51，
×150＝45，
×150＝27，
×150＝9，
即各小组的频数依次为6,12,51,45,27,9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114.所以跳绳次数的中位数落在第四小组内．
1．关于频率分布直方图中小长方形的高的说法，正确的是( )
A．表示该组上的个体在样本中出现的频率
B．表示取某数的频率
C．表示该组上的个体数与组距的比值
D．表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值
解析：频率分布直方图中小长方形的高是，
面积表示频率．
答案：D
2．没有信息的损失，所有的原始数据都可以从图中得到的统计图是( )
A．总体密度曲线 B．茎叶图
C．频率分布折线图 D．频率分布直方图
答案：B
3．(2011·四川高考)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9
[23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12
[35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3
根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占( )
A. B.
C. D.
解析：由题意知，样本的容量为66，而落在[31.5,43.5)内的样本数为12＋7＋3＝22，故所求的概率为＝.
答案：B
4．如图是容量为100的样本的部分频率分布直方图，试根据图形中的数据填空．
(1)样本数据在范围[6,10)内的频率为________；
(2)样本数据落在范围[10,14)内的频数为________．
解析：(1)样本数据落在范围[6,10)内的频率为
0．08×4＝0.32.
(2)样本数据落在范围[10,14)内的频数为
0．09×4×100＝36.
答案：(1)0.32 (2)36
5．将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于________．
解析：设第一组至第六组的样本数据的频数为2x,3x,4x,6x,4x，x，则2x＋3x＋4x＝27，得x＝3，故n＝2x＋3x＋4x＋6x＋4x＋x＝20x＝60.
答案：60
6．为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为100的样本，数据的分组数如下：[10.75,10.85)3；[10.85,10.95)9；[10.95,11.05)13；[11.05,11.15)16；[11.15,11.25)26；[11.25,11.35)20；[11.35,11.45)7；[11.45,11.55)4；[11.55,11.65)2.
(1)列出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图以及频率分布折线图；
(3)根据上述图表，估计数据落在[10.95,11.35)范围内的可能性是多大？
解：(1)列出频率分布表如下：
分组
频数
频率
[10.75,10.85)
3
0.03
[10.85,10.95)
9
0.09
[10.95,11.05)
13
0.13
[11.05,11.15)
16
0.16
[11.15,11.25)
26
0.26
[11.25,11.35)
20
0.20
[11.35,11.45)
7
0.07
[11.45,11.55)
4
0.04
[11.55,11.65)
2
0.02
合计
100
1.00
(2)画频率分布直方图与频率分布折线图，如图所示．
(3)由上述图表可知数据落在[10.95,11.35)范围内的频率为0.13＋0.16＋0.26＋0.20＝0.75＝75%.
即数据落在[10.95,11.35)范围内的可能性是75%.
一、选择题
1．已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是
( )
A．平均数>中位数>众数
B．平均数<中位数<众数
C．中位数<众数<平均数
D．众数＝中位数＝平均数
解析：众数、中位数、平均数都是50.
答案：D
2．(2012·潍坊高一检测)某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登错了，甲实得80分，却记了50分，乙得70分却记了100分，更正后平均分和方差分别是( )
A．70,75 B．70,50
C．75,1.04 D．65,2.35
解析：因甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变，设更正后的方差为s2，则由题意可得：s2＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…＋(x48－70)2]，
而更正前有：75＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…＋(x48－70)2]，
化简整理得s2＝50.
答案：B
7
8
9
9
4 4 6 4 7
3
3.(2012·湛江检测)某校举行2010年元旦汇演，7位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为( )
A．83 B．84
C．85 D．86
解析：去掉最高分93及最低分79，则剩余数字的平均数为80＋＝85.
答案：C
4．(2011·江西高考)为了普及环保知识，增强环保意识，
某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平均值为，则( )
A．me＝mo＝ B．me＝mo<
C．me解析：由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均数，即me＝5.5,5出现的次数最多，故mo＝5，
＝≈5.97.于是得mo答案：D
二、填空题
5．若k1，k2，…，k8的方差为2，则2(k1－3)，2(k2－3)，…，2(k8－3)的方差为________．
解析：设k1，k2，…，k8的平均数为，则
[(k1－)2＋(k2－)2＋…＋(k8－)2]＝2，
而2(k1－3)，2(k2－3)，…，2(k8－3)的平均数为2(－3)，
则其方差为s2＝[4(k1－)2＋4(k2－)2＋…＋4(k8－)2]＝4×2＝8.
答案：8
6．(2010·天津高考)甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为__________和__________.
甲
乙
9
8
1
9
7
1
0
1
3
2
0
2
1
4
2
4
1
1
5
3
0
2
0
解析：由茎叶图可知甲的平均数为
＝24，
乙的平均数为
＝23.
答案：24 23
7．(2012·杭州模拟)在某一次唱歌比赛中，七位评委为一选手打出的分数如下：90,89,90,95,93,94,93，若去掉一个最高分和一个最低分，则所剩数据的方差为________．
解析：去掉最高分95，去掉最低分89，剩余数字为90,90,93,93,94，∴＝(90＋90＋93＋93＋94)＝92，∴s2＝(4＋4＋1＋1＋4)＝.
答案：
8．(2011·长沙模拟)甲，乙两人在相同条件下练习射击，每人打5发子弹，命中环数如下
甲
6
8
9
9
8
乙
10
7
9
7
7
如果选择甲、乙二人中的一个去参加比赛，你应选择__________．
解析：甲＝(6＋8＋9＋9＋8)＝8，乙＝(10＋7＋9＋7＋7)＝8，且s＝(4＋0＋1＋1＋0)＝，s＝(4＋1＋1＋1＋1)＝，∴甲＝乙且s答案：甲
三、解答题
9．某厂对甲、乙两位优秀工人进行了为期100天的技术考核，从而升任技术较好者为主管，考核结果如图所示，问应确定谁任主管？
解：甲＝＝0.6(件)，
乙＝＝0.5(件)．
由于工人乙平均每天出次品0.5件，低于甲，故按题意要求应确定乙升任主管．
10．下面茎叶图中间表示十位或百位数字，两边表示个位数字，回答下面问题：
甲
乙
8 5 4
7
0
6 4
8
5 7
3
9
1 1 2 6 7
6 6 4 3
10
0 1
(1)写出甲、乙两组数据以及两组数据的中位数；
(2)通过茎叶图分析两组数据的稳定性，并且求其方差加以验证．
解：(1)甲组：75,74,78,86,84,93,103,104,106,106；
乙组：70,87,85,91,97,96,92,91,101,100.
由茎叶图可知甲组数据的中位数是：＝89.5，
乙组数的中位数是：＝91.5；
(2)由茎叶图可以看出甲数较分散，乙数比较集中．
甲＝90＋(－15－16－12－4－6＋3＋13＋14＋16＋16)＝90.9≈91，
乙＝90＋(－20－3－5＋1＋7＋6＋2＋1＋11＋10)＝91，
s＝[(－16)2＋(－17)2＋(－13)2＋(－5)2＋(－7)2＋22＋122＋132＋152＋152]＝155.5，
s＝[(－21)2＋(－4)2＋(－6)2＋02＋62＋52＋12＋02＋102＋92]＝73.6.
由于s>s，因此乙组数据波动较小，比较稳定．
1．描述总体离散程度或稳定性的特征数是总体方差，以下统计量能估计总体稳定性的是( )
A．样本平均值 B．样本方差
C．样本最大值 D．样本最小值
解析：样本方差可用来估计总体方差，总体方差越小，总体越稳定．
答案：B
2．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是( )
A．85分，85分，85分 B．87分，85分，86分
C．87分，85分，85分 D．87分，85分，90分
解析：85分出现4次，是出现次数最多的数，所以众数是85；平均数为＝(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75)＝87.
把各数从小到大排列为75,80,85,85,85,85,90,90,95,100，∴中位数是85.
答案：C
3．(2011·江苏高考)某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s2＝____.
解析：5个数据的平均数＝＝7，所以s2＝×[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝3.2.
答案：3.2
4．已知一个样本1,3,2,5，x，它的平均数是3，则标准差为________．
解析：∵1＋3＋2＋5＋x＝15，∴x＝4.
∴s＝
＝.
答案：
5．甲、乙两位同学某学科的连续五次考试成绩用茎叶图表示，如图所示，则平均分数较高的是________，成绩较稳定的是________.
甲
乙
9 8
6
3 8 9 9
2 1 0
7
1
解析：从茎叶图可以看出平均分数较高的是甲，而成绩稳定的应该是甲．
答案：甲 甲
6．甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm2)：
品种
第一年
第二年
第三年
第四年
第五年
甲
9.8
9.9
10.1
10
10.2
乙
9.4
10.3
10.8
9.7
9.8
试根据这组数据估计哪一种小麦品种的产量比较稳定．
解：甲品种的样本平均数为10，
样本方差s＝[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]÷5＝0.02；
乙品种的样本平均数也为10，
样本方差s＝[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]÷5＝0.244.
所以s＜s.
所以由这组数据可以估计出甲种小麦的产量比较稳定．
一、选择题
1．(2010·湖南高考)某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( )
A.＝－10x＋200 B.＝10x＋200
C.＝－10x－200 D.＝10x－200
解析：由图象知选项B、D为正相关，选项C不符合实际意义，故选A.
答案：A
2．工人工资y(元)与劳动生产率x(千元)的相关关系的回归直线方程为＝50＋80x，下列判断正确的是( )
A．劳动生产率为1 000元时，工人工资为80元
B．劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元
C．劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高130元
D．当月工资为250元时，劳动生产率为2 000元
解析：回归直线斜率为80，所以x每增加1，y平均增加80，即劳动生产率提高1 000元时，工人工资平均提高80元．
答案：B
3．(2012·济宁高一检测)对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图如图(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图如图(2)．由这两个散点图可以判断( )
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
解析：由图(1)可知，变量x与y负相关；由图(2)可知，变量u与v正相关．
答案：C
4．(2012·山东高考)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元
解析：样本中心点是(3.5,42)，则＝－＝42－9.4×3.5＝9.1，
所以回归直线方程是＝9.4x＋9.1，把x＝6代入得＝65.5.
答案：B
二、填空题
5．命题：①路程与时间、速度的关系是相关关系；②同一物体的加速度与作用力是函数关系；③产品的成本与产量之间的关系是函数关系；④圆的周长与面积的关系是相关关系；⑤广告费用与销售量之间的关系是相关关系．
其中正确的命题序号是________．
解析：①④中关系为函数关系，③中两变量不是函数关系，由F＝ma知②正确，⑤中广告费用与销售量不是确定的关系，为相关关系．
答案：②⑤
6．(2010·广东高考)某市居民2005～2009年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表所示：
年份
2005
2006
2007
2008
2009
收入x
11.5
12.1
13
13.3
15
支出Y
6.8
8.8
9.8
10
12
根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是__________，家庭年平均收入与年平均支出有________线性相关关系．
解析：把2005～2009年家庭年平均收入按从小到大顺序排列为11.5,12.1,13,13.3,15，因此中位数为13(万元)，由统计资料可以看出，当年平均收入增多时，年平均支出也增多，但并非确定关系．因此两者之间具有正线性相关关系．
答案：13 正
7．(2011·广东高考)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：
时间x
1
2
3
4
5
命中率y
0.4
0.5
0.6
0.6
0.4
小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．
解析：平均命中率＝×(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4)＝0.5；而＝3，(xi－)(yi－)＝(－2)×(－0.1)＋(－1)×0＋0×0.1＋1×0.1＋2×(－0.1)＝0.1，(xi－)2＝(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22＝10，于是＝＝－＝0.47，∴＝0.01x＋0.47，令x＝6，得＝0.53.
答案：0.5 0.53
8．2010年4月份，广东部分地区手足口病流行，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制．下表是某同学记载的2010年4月1日到2010年4月12日每天广州市手足口病治愈出院者数据，根据这些数据绘制散点图如图.
日期
1
2
3
4
5
6
人数
100
109
115
118
121
134
日期
7
8
9
10
11
12
人数
141
152
168
175
186
203
下列说法：
①根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系；②根据此散点图，可以判断日期与人数具有一次函数关系；③后三天治愈出院的人数占这12天治愈出院人数的30%多；④后三天治愈出院的人数均超过这12天内北京市治愈出院人数的20%.
其中正确的个数是________．
解析：由散点图可以明显地看出日期与人数具有线性相关关系，故①正确，②错误；这12天治愈的人数为100＋109＋…＋203＝1722(人)，而后三天治愈的人数为175＋186＋203＝564(人)，后三天治愈出院的人数占这12天治愈出院人数的30%多，故③也正确．由于表中只提供了广州市的相关数据，而未提供对应地北京市的相关数据，故④的说法根据不足，为不正确．
答案：2
三、解答题
9．(2011·济南模拟)已知变量x与y有下列对应数据.
x
1
2
3
4
y
2
3
求y对x的回归直线方程．
解：＝＝，＝＝
＝12＋22＋32＋42＝30
i yi＝1×＋2×＋3×2＋4×3＝
∴b＝＝＝.
a＝－b＝－×＝－.
∴＝x－.
10．高二(2)班学生每周用于数学学习的时间x(单位：h)与数学成绩y(单位：分)之间有如下数据：
x
24
15
23
19
16
11
20
16
17
13
y
92
79
97
89
64
47
83
68
71
59
且y与x之间具有线性相关关系，某同学每周用于数学学习的时间为18 h，试预测该生数学成绩．
解：因为学习时间与学习成绩间具有相关关系，可以列出下表，并用科学计算器进行计算.
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
24
15
23
19
16
11
20
16
17
13
yi
92
79
97
89
64
47
83
68
71
59
xiyi
2 208
1 185
2 231
1 691
1 024
517
1 660
1 088
1 207
767
＝17.4 ＝74.9
＝3 182 i yi＝13 578
于是可得：
b＝＝≈3.53，
a＝－b＝74.9－3.53×17.4≈13.5.
因此可求得回归直线方程＝3.53x＋13.5.
当x＝18时，＝3.53×18＋13.5＝77.04≈77.
故该同学预计可得77分左右．
1．下列两变量中具有相关关系的是( )
A．正方体的体积与边长
B．匀速行驶的车辆的行驶距离与时间
C．人的体重与饭量
D．人的身高与视力
解析：A、B中两变量具有函数关系，又身高与视力没有关系，体重和饭量具有相关关系．
答案：C
2．线性回归方程＝bx＋a必过( )
A．(0,0) B．(0，)
C．(，0) D．(，)
解析：回归直线方程一定过样本的中心(，)．
答案：D
3．两个相关变量满足如下表：
x
10
15
20
25
30
y
1 003
1 005
1 010
1 011
1 014
两变量的回归直线方程为( )
A.＝0.56x＋997.4 B.＝0.63x－231.2
C.＝50.2x＋501.4 D.＝60.4x＋400.7
解析：利用公式可得≈0.56，
又＝－＝997.4.
答案：A
4．对于回归方程＝4.75x＋257，当x＝28时，y的估计值是________．
解析：＝4.75×28＋257＝390.
答案：390
5．(2011·辽宁高考)调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
解析：以x＋1代x，得＝0.254(x＋1)＋0.321，与＝0.254x＋0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元．
答案：0.254
6．某玩具店经营某种玩具在某周内获纯利y(元)与该周每天销售这种玩具件数x之间有如下表的一组数据：
x
3
4
5
6
7
8
9
y
66
69
73
81
89
90
91
已知＝280，＝45 309，i yi＝3 487.
(1)求，；
(2)求纯利y与每天销售件数x之间的回归直线方程．
解：(1)＝(3＋4＋5＋…＋9)＝6，
＝(66＋69＋…＋91)≈79.86.
(2)设回归直线方程为＝bx＋a，
∴b＝＝≈4.75，
a＝－b＝79.86－4.75×6＝51.36.
故所求的回归直线方程为＝4.75x＋51.36.
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在下列各图中，两个变量不具有任何关系的是( )
A．①② B．①③
C．②④ D．④
解析：①具有函数关系；②③具有相关关系；④无关系．
答案：D
2．对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2，有以下结论：
①这组数据的众数是3.
②这组数据的众数与中位数的数值不等．
③这组数据的中位数与平均数的数值相等．
④这组数据的平均数与众数的数值相等．
其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：由中位数、众数、平均数的概念知①是正确的，②③④是错误的．
答案：A
3．下表是x与y之间的一组数据，则y关于x的回归直线必过点( )
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
A．(2,2) B．(1.5,2)
C．(1,2) D．(1.5,4)
解析：必过点(，)，＝1.5，＝4.
答案：D
4．在一次射击训练中，一小组的成绩如下表：
环数：7 8 9
人数：2 __ 3
已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数是( )
A．5 B．6
C．4 D．7
解析：设成绩为8环的人数是x人，则
7×2＋8x＋9×3＝8.1(2＋x＋3)．
解得x＝5.
答案：A
5．(2012·三山模拟)如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则在这几场比赛中甲得分的中位数与乙得分的众数分别是( )
甲
乙
5 3
1
8 6 3
2
4 5
9 7 4
3
2 2 3 7 8
1
4
5 7
A．3,2 B．8,2
C．23,23 D．28,32
解析：从茎叶图可以看出，甲得分的中位数为28，乙得分的众数为32.
答案：D
6．已知样本容量为30，在样本频率分布直方图中，各小长方形的高的比从左到右依次为2∶4∶3∶1，则第2组的频率和频数分别是( )
A．0.4,12 B．0.6,16
C．0.4,16 D．0.6,12
解析：因为各小长方形的高的比从左到右依次为2∶4∶3∶1，所以第2组的频率为0.4，频数为30×0.4＝12.
答案：A
7．根据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高y(单位：cm)对年龄x(单位：岁)的回归直线方程y＝73.93＋7.19x，用此方程预测儿子10岁时的身高，有关叙述正确的是( )
A．身高一定为145.83 cm B．身高大于145.83 cm
C．身高小于145.83 cm D．身高在145.83 cm左右
解析：用回归直线方程预测的不是准确值，而是估计值．当x＝10时，y＝145.83，只能说身高在145.83 cm左右．
答案：D
8．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为
( )
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
A. B.
C．3 D.
解析：该组数的平均数为
＝(5×20＋4×10＋3×30＋2×30＋1×10)＝3.
∴方差s2＝[20×(5－3)2＋10×(4－3)2＋30×(3－3)2＋30×(2－3)2＋10×(1－3)2]
＝(80＋10＋30＋40)＝×160＝.
∴标准差s＝＝.
答案：B
9.(2011·陕西高考)设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论正确的是( )
A．直线l过点(，)
B．x和y的相关系数为直线l的斜率
C．x和y的相关系数在0到1之间
D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同
解析：回归直线过样本中心点(，)．
答案：A
10．(2010·湖北高考)将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( )
A．26,16,8 B．25,17,8
C．26,16,9 D．24,17,9
解析：依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)．
令3＋12(k－1)≤300得k≤，
因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；
令300<3＋12(k－1)≤495得因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17.
结合各选项知．
答案：B
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．某校共有师生1 600人，其中教师有100人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取的学生数为________．
解析：抽样比是＝，该校有学生1 600－100＝1 500(人)，则抽取的学生数为1 500×＝75.
答案：75
12．(2010·江苏高考)某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)．所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，有________根棉花纤维的长度小于20 mm.
解析：由题意知，棉花纤维的长度小于20 mm的频率为(0.01＋0.01＋0.04)×5＝0.3，
故抽测的100根中，棉花纤维的长度小于20 mm的有0.3×100＝30(根)．
答案：30
13．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下(单位：克)：125,124,121,123,127.
则该样本标准差s＝________(克)(用数字作答)．
解析：因为样本平均数＝(125＋124＋121＋123＋127)＝124，则样本方差s2＝(12＋02＋32＋12＋32)＝4，所以样本标准差s＝2.
答案：2
14．(2011·浙江高考)某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．
解析：由题意知，在该次数学考试中成绩小于60分的频率为(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，故这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是3 000×0.2＝600.
答案：600
甲
乙
8
0
5 6
1
2 4 9
5 4 0
2
1
8
3
6 7
1
4
2 2 5
8 5
5
4
7 6 4
6
1
3 2 0
7
1
三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
茎叶图
15.(本小题满分12分)(2011·莱州高一期末)为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选取了14天，统计上午8∶00～10∶00间各自的点击量，得如图所示的茎叶图，根据茎叶图：
(1)甲、乙两个网站点击量的极差分别是多少？
(2)甲网站点击量在[10,40]间的频率是多少？
(3)甲、乙两个网站哪个更受欢迎？并说明理由．
解：(1)甲网站的极差为73－8＝65；乙网站的极差为71－5＝66.
(2)甲网站点击量在[10,40]间的频率为＝≈0.286.
(3)甲网站的点击量集中在茎叶图的下方，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方，从数据的分布情况来看，甲网站更受欢迎．
16．(本小题满分12分)从高一学生中抽取50名参加调研考试，成绩的分组及各组的频数如下(单位：分)：
[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100)，8
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计成绩在[70,80)分的学生所占总体的百分比；
(4)估计成绩在[70,100)分的学生所占总体的百分比．
解：(1)频率分布表如下：
成绩分组
频数
频率
[40,50)
2
0.04
[50,60)
3
0.06
[60,70)
10
0.2
[70,80)
15
0.3
[80,90)
12
0.24
[90,100)
8
0.16
合计
50
1.00
(2)绘制频率分布直方图如下：
(3)由频率分布表可知成绩在[70,80)分的学生所占总体的百分比是30%.
(4)由频率分布表可估计成绩在[70,100)分的学生所占总体的百分比是0.3＋0.24＋0.16＝0.7＝70%.
17．(本小题满分12分)在7块并排、形状大小相同的实验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验，得数据列表(单位：kg)：
施化肥量x
15
20
25
30
35
40
45
水稻产量y
330
345
365
405
445
450
455
(1)画出散点图；
(2)求水稻产量y对施化肥量x的回归直线方程；
(3)当施化肥50 kg时，对水稻的产量予以估计．
解：(1)画出散点图如图：
由图可见两者之间是线性相关的．
(2)借助计算器列表：
i
1
2
3
4
5
6
7
xi
15
20
25
30
35
40
45
yi
330
345
365
405
445
450
455
xiyi
4 950
6 900
9 125
12 150
15 575
18 000
20 475
＝30，≈399.3，
＝7 000，i yi＝87 175
计算得：b＝≈4.75，
a＝399.3－4.75×30≈257.
即得回归直线方程为＝257＋4.75x.
(3)施化肥50 kg时，可以估计水稻产量约为495 kg.
18．(本小题满分14分)某工厂有工人1 000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人)．现用分层抽样方法(按A类，B类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)．
(1)A类工人中和B类工人中各抽查多少名工人？
(2)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2.
表1：
生产能
力分组
[100,110)
[110,120)
[120,130)
[130,140)
[140,150)
人数
4
8
x
5
3
表2：
生产能力分组
[110,120)
[120,130)
[130,140)
[140,150)
人数
6
y
36
18
(ⅰ)先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图，就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？(不用计算，可通过观察直方图直接回答结论)
(ⅱ)分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数．(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
解：(1)A类工人中和B类工人中分别抽查25名工人和75名工人．
(2)(ⅰ)由4＋8＋x＋5＋3＝25，得x＝5，
由6＋y＋36＋18＝75，得y＝15.
频率分布直方图如下：
从直方图可以判断，B类工人个体间的差异程度更小．
(ⅱ)A＝×105＋×115＋×125＋×135＋×145＝123，
B＝×115＋×125＋×135＋×145＝133.8，
＝×123＋×133.8＝131.1.
A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123,133.8和131.1.
