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5.3 诱导公式
第1课时 诱导公式(一)
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点 诱导公式二～四
(1)公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α.
(2)公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α.
(3)公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α.
注意点：
(1)函数名称不变．
(2)运用公式时把α“看成”锐角．
(3)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.sin 585°的值为( )
A.－ B. C.－ D.
答案：A
解析：sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－.
2.已知cos(α－π)＝－，且α是第四象限角，则sin α等于( )
A.－ B. C. D.±
答案：A
解析：∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，∴cos α＝，又α是第四象限角，∴sin α<0，则sin α＝－＝－.
题后反思：解答这类给值求值的问题，首先应把所给的值进行化简，再结合被求值的式子的特点，观 察所给值的式子与被求式的特点，找出它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，恰当 地选择诱导公式．
3.记cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于( )
A. B.－ C. D.－
答案：B
解析：∵cos(－80°)＝k，∴cos 80°＝k，∴sin 80°＝.∴tan 80°＝.∴tan 100°＝－tan 80°＝－.
4.tan(5π＋α)＝m，则的值为( )
A. B. C.－1 D.1
答案：A
解析：因为tan(5π＋α)＝tan α＝m，所以原式＝＝＝＝＝.
5.若sin(π－α)＝log8 ，且α∈，则cos(π＋α)的值为( )
A. B.－ C.± D.以上都不对
答案：B
解析：∵sin(π－α)＝sin α＝log232－2＝－，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－＝－＝－.
6.已知α为第四象限角，化简＋的结果为( )
A.－ B. C.± D.1
答案：B
解析：依题意知α为第四象限角，∴＋＝＋＝＋＝＋＝＝.
7.化简：得( )
A.sin 2＋cos 2 B.cos 2－sin 2 C.sin 2－cos 2 D.±(cos 2－sin 2)
答案：C
解析：＝＝＝|sin 2－cos 2|，∵ 2弧度在第二象限，故sin 2>0>cos 2，∴原式＝sin 2－cos 2.
8.设tan(5π＋α)＝m(α≠kπ＋，k∈Z)，则的值为( )
A. B. C.－1 D.1
答案：A
解析：∵tan(5π＋α)＝m，∴tan α＝m.原式＝＝＝＝.
9.已知cos α＝，则sin(3π＋α)·cos(2π－α)·tan(π－α)等于( )
A.± B.± C. D.
答案：D
解析：原式＝sin(π＋α)·cos(－α)·tan(π－α)＝(－sin α)·cos α·(－tan α)＝sin2α，由cos α＝，得sin2α＝1－cos2α＝.
10.若cos＝－，θ∈，则sin的值为( )
A. B.－ C.－ D.
答案：D
解析：∵θ∈，∴－θ∈，又∵cos＝－，∴sin＝，∴sin＝sin＝sin＝.
二、填空题
11.sin ＋tan －cos＝ .
答案：0
解析：原式＝sin＋tan－cos ＝sin ＋tan－cos＝sin －tan ＋cos ＝－1＋＝0.
题后反思：利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤：①“负化正”：用公式一或三来转化；②“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角；③“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；④“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．
12.已知sin＝－，且θ∈，则cos＝ .
答案：－
解析：cos＝cos＝－cos，∵θ∈，∴θ－∈，∴cos>0，即cos＝＝，∴cos＝－.
13.已知f(x)＝则f ＋f 的值为 ．
答案：－2
解析：因为f ＝sin＝sin＝sin ＝；f ＝f －1＝f －2＝sin－2＝－－2＝－.所以f ＋f ＝－2.
14.若cos(α－π)＝－，求的值为 ．
答案：±.
解析：原式＝＝＝＝－tan α.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，∴cos α＝.∴α为第一象限角或第四象限角．当α为第一象限角时，cos α＝，sin α＝＝，∴tan α＝＝，∴原式＝－.
当α为第四象限角时，cos α＝，sin α＝－＝－，∴tan α＝＝－，∴原式＝.综上，原式＝±.
15.设函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2 021)＝－1，则f(2 022)的值为 ．
答案：1
解析：∵f(2 021)＝asin(2 021π＋α)＋bcos(2 021π＋β)＝－1，
∴f(2 022)＝asin(2 022π＋α)＋bcos(2 022π＋β)＝asin[π＋(2 021π＋α)]＋bcos[π＋(2 021π＋β)]＝－[asin(2 021π＋α)＋bcos(2 021π＋β)]＝1.
三、解答题
16.证明：＝(－1)ncos α，n∈Z.
证明：当n为偶数时，令n＝2k，k∈Z，
左边＝＝＝＝cos α.
右边＝(－1)2kcos α＝cos α，
∴左边＝右边．
当n为奇数时，令n＝2k－1，k∈Z，
左边＝＝＝＝＝－cos α.
右边＝(－1)2k－1cos α＝－cos α，
∴左边＝右边．
综上所述，＝(－1)ncos α，n∈Z成立．
题后反思：解答此类题目的关键在于正确应用诱导公式化简，如果被化简式子中的角是kπ±α(k∈Z)的形式，往往对参数k进行讨论．常见的一些关于参数k的结论有sin(kπ＋α)＝(－1)ksin α(k∈Z)；cos(kπ＋α)＝(－1)kcos α(k∈Z)；sin(kπ－α)＝(－1)k＋1sin α(k∈Z)；cos(kπ－α)＝(－1)kcos α(k∈Z)等．
17. 化简：(1)；(2) ；
(3)；(4).
解：(1)原式＝＝＝＝1.
(2)原式＝＝＝＝－1.
(3)原式＝＝＝－＝－tan α.
(4)原式＝＝＝
＝＝－1.
题后反思：三角函数式化简的常用方法：①利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数；②切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数；③注意“1”的代换：1＝sin2α＋cos2α＝tan .
18.已知f(α)＝.求：(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝，求f(α)的值；(3)若α＝－，求f(α)的值．
解：(1)f(α)＝－＝－cos α.
(2)∵sin(α－π)＝－sin α＝，∴sin α＝－.又α是第三象限角，∴cos α＝－，∴f(α)＝.
(3)∵－＝－6×2π＋，∴f ＝－cos＝－cos ＝－cos ＝－.
19. (1)在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
(2)已知＝3＋2，求：[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·的值．
解：(1)由条件得sin A＝sin B，cos A＝cos B，平方相加得2cos2A＝1，cos A＝±，
又∵A∈(0，π)，∴A＝或π.
当A＝π时，cos B＝－<0，∴B∈，
∴A，B均为钝角，不合题意，舍去．
∴A＝，cos B＝，∴B＝，∴C＝π.
(2)由＝3＋2，得(4＋2)tan θ＝2＋2，
所以tan θ＝＝，
故[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·
＝(cos2θ＋sin θcos θ＋2sin2θ)·
＝1＋tan θ＋2tan2θ＝1＋＋2×2＝2＋.
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第1课时 诱导公式(一)
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知识点 诱导公式二～四
(1)公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α.
(2)公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α.
(3)公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α.
注意点：
(1)函数名称不变．
(2)运用公式时把α“看成”锐角．
(3)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.sin 585°的值为( )
A.－ B. C.－ D.
2.已知cos(α－π)＝－，且α是第四象限角，则sin α等于( )
A.－ B. C. D.±
3.记cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于( )
A. B.－ C. D.－
4.tan(5π＋α)＝m，则的值为( )
A. B. C.－1 D.1
5.若sin(π－α)＝log8 ，且α∈，则cos(π＋α)的值为( )
A. B.－ C.± D.以上都不对
6.已知α为第四象限角，化简＋的结果为( )
A.－ B. C.± D.1
7.化简：得( )
A.sin 2＋cos 2 B.cos 2－sin 2 C.sin 2－cos 2 D.±(cos 2－sin 2)
8.设tan(5π＋α)＝m(α≠kπ＋，k∈Z)，则的值为( )
A. B. C.－1 D.1
9.已知cos α＝，则sin(3π＋α)·cos(2π－α)·tan(π－α)等于( )
A.± B.± C. D.
10.若cos＝－，θ∈，则sin的值为( )
A. B.－ C.－ D.
二、填空题
11.sin ＋tan －cos＝ .
12.已知sin＝－，且θ∈，则cos＝ .
13.已知f(x)＝则f ＋f 的值为 ．
14.若cos(α－π)＝－，求的值为 ．
15.设函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2 021)＝－1，则f(2 022)的值为 ．
三、解答题
16.证明：＝(－1)ncos α，n∈Z.
17. 化简：(1)；(2) ；
(3)；(4).
18.已知f(α)＝.求：(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝，求f(α)的值；(3)若α＝－，求f(α)的值．
19. (1)在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
(2)已知＝3＋2，求:[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·的值．
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