专题4.2 指数函数 学案（PDF版含答案）

专题 4.2 指数函数
1、指数函数的概念：一般地，函数 y a x 叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数
的定义域为 R．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1．即 a>0 且 a≠1
2、指数函数的图象和性质
01
图
像
定义域 R , 值域（0，+∞）
（1）过定点（0，1）,即 x=0 时，y=1
(2)在 R 上是减函数 (2)在 R 上是增函数
性质
（3）当 x>0 时,00 时,y>1;
当 x<0 时,y>1 当 x<0 时,0图象特征 函数性质
向 x 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为 R
函数图象都在 x 轴上方 函数的值域为 R+
共性 图象关于原点和 y 轴不对称 非奇非偶函数
函数图象都过定点（0，1） 过定点（0，1）
自左向右看，图象逐渐下降 减函数
在第一象限内的图象纵坐标都小于 1 当 x>0 时,001
图象上升趋势是越来越缓 函数值开始减小极快，
到了某一值后减小速度较慢；
自左向右看，图象逐渐上升 增函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于 1 当 x>0 时,y>1;
a>1 在第二象限内的图象纵坐标都小于 1 当 x<0 时,0图象上升趋势是越来越陡 函数值开始增长较慢，
到了某一值后增长速度极快；
注意： 指数增长模型：y=N(1+p)x 指数型函数： y=kax
3 考点：（1）ab=N, 当 b>0 时，a,N 在 1 的同侧；当 b<0 时，a,N 在 1 的 异侧。
（2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握
利用单调性比较幂的大小，同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插
进 1(=a0)进行传递或者利用（1）的知识。
（3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。
（4）分辨不同底的指数函数图象利用 a1=a，用 x=1 去截图象得到对应的底数。
一、单选题
1．若函数 y m2 m 1 mx 是指数函数，则m 等于（ ）
A． 1或 2 B． 1
C． 2 D 1． 2
【来源】4.2.2 指数函数的图象与性质
【答案】C
m2 m 1 1

【解析】由题意可得 m 0 ，解得m 2 .故选：C.

m 1
2．函数 y a x 1 1，（ a 0且a 1）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是
（ ）
A． 0,1 B． 1,2 C． 2,3 D． 3,4
【来源】江西省铜鼓中学 2021-2022 学年新高一衔接班期末数学试题
【答案】B
【解析】解：令 x 1 0，解得 x 1，
所以当 x 1时， y a x 1 1 a0 1 2，
所以函数 y a x 1 1过定点 1,2 .故选：B
3 f x 2x a 2 x．若函数 x 为R 上的奇函数，则实数 a的值为（ ）
A． 1 B． 2 C．1 D．2
【来源】河北省保定市 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】A
【解析】函数 f x 2x a 2 x x 为R 上的奇函数,
故 f 0 1 a 0，得 a 1，
当 a 1时， f x 2x 2 x x 满足 f ( x) f (x) ，
f x 2x 2 x即此时 x 为奇函数，
故 a 1，故选：A
4．已知 f x 是定义在 R 上的奇函数，且 f (x 4) f (x) ，当 x (0,2) 时， f (x) 2x ，则
f 2021 （ ）
A．2 B．－2 C．0 D． 2
【来源】吉林省松原市重点高中 2021-2022 学年高一 3 月联考数学试卷
【答案】B
【解析】由题意， f x 的周期为 4，又 f x 是定义在 R 上的奇函数，
所以 f ( 2021) f (2021) f (4 505 1) f (1) 2．故选：B．
2x x2 , x 5
5．已知 f(x)= ，则 f(4)+f(-4)=（ ）
f (x 3), x 5
A．63 B．83 C．86 D．91
【来源】新疆阿勒泰地区 2021-2022 学年高一上学期期末考试数学试题
【答案】C
【解析】依题意，当 x<5 时，f(x)=f(x+3)，于是得 f(-4)= f(-1)=f(2)=f(5)，f(4)=f(7)，
当 x≥5 时，f(x)=2x-x2，则 f(5)=25-52=7，f(7)=27-72=79，
所以 f(4)+f(-4)=86.故选：C
ex sin x x3
6 ．函数 f x 的图象大致为（ ）
e2x 1
A． B
C． D
【来源】河南省豫北名校 2021-2022 学年高一下学期第一次联考数学试题
【答案】A
ex sin x x3
【解析】由题意，得 f x sin x x
3
2x ，所以e 1 ex e x
f x sin x x
3
x x f x ，所以 f x 是奇函数，其图象关于原点对称，所以排除 B，e e
D．
3 3
sin π π 1 π
π 6 6 2 6 sin 2π 2π
3
又因为 f 0， f 2π 0，所以排除 C． 6 π π π π e
2π e 2π
e6 e 6 e6 e 6
故选：A
2 2 1
7．若a 1
3
,b 1
3
,c 1
3
，则 a b c 的大小关系是（ ）
2 5 2
A．b a c B．b c a C． c a b D． c b a
【来源】云南省丽江市 2021-2022 学年高一下学期期末教学质量监测数学试题
【答案】A
2
【解析】因为 y x 3 在 (0, )
1 1
上单调递增，且 ，
2 5
2 2 x
所以 1 3 1 3 1
2 1
2
，即 a b，因为 y 在R 上单调递减，且 ，
5 2 3 3
2 1
所以 1 3 1 3 ，即 c a ，所以 c a b，即b a c故选：A
2 2
8．设函数 f x 对任意的 x R ，都有 f x f x ， f x 2 f x ，且当 x 1,0
时， f (x) 2x ，则 f 2022 （ ）
1
A 1． 1 B．1 C． 2 D． 2
【来源】宁夏吴忠中学 2021-2022 学年高一上学期期末考试数学试题
【答案】A
【解析】由 f x 2 f x 得 f x 2 2 f x 2 f x ，
所以 f x 4 f x 2 f x ，即 f x 4 f x ，
所以 f x 的周期为 4， f 2022 f 505 4 2 f 2 ，
由 f x 2 f x 得 f 2 2 f 2 20 1，
所以 f 2 1.故选：A.
9． f (x) 是定义域为R 的函数，且 f (x) x2 为奇函数， f (x) 2x 为偶函数，则 f (2) 的值
是（ ）
17 17 47 47
A． B． C． D．
8 4 8 4
【来源】内蒙古包头市 2021-2022 学年高一上学期期末考试数学试题
【答案】A
【解析】由题意， f ( x) ( x)2 f ( x) x2 x2 f (x)，即 f ( x) f (x) 2x2 ，
f ( x) 2 x f (x) 2x ，即 f (x) f ( x) 2 x 2x ，
所以 2 f (x) 2x2 2 x 2x，可得 f (x) x2 2 x 1 2x 1 ，
故 f (2) 22 2 2 1 22 1
17
.故选：A.
8
10．若 f (x) x2 2|x| ，则下列关系式一定成立的是（ ）
A． f ( ) f ( 3) f (e) B． f ( 3) f ( ) f (e)
C． f (e) f ( 3) f ( ) D． f (e) f ( ) f ( 3)
【来源】陕西省榆林市神木中学、府谷中学和绥德中学 2021-2022 学年高一下学期期末
联考数学试题
【答案】A
【解析】由 f (x) x2 2|x| 可知：
f ( x) f (x) ， f (x)为偶函数，
x2 2x2 x , x 0
又 f (x) x 2 x2 2 x
,
, x 0
知 f (x) 在 ( ,0]上单调递减，在[0, ) 上单调递增，
故 f ( ) f (3) f ( 3) f (e) ，
故选：A.
11．已知函数 f x x是定义在R 上的偶函数，当 x 0 时， f x 2 x 1，则不等式
f x 1 2的解集为（ ）
A． 0, 2 B． , 2
C． 2, D． ,0 2,
【来源】浙江省温州市环大罗山联盟 2021-2022 学年高一下学期期中联考数学试题
【答案】A
【解析】当 x 0 时， f x 2x x 1，则 f x 在 0, 上单调递增，又函数 f x 是R
上的偶函数，且 f (1) 2，
因此， f x 1 2 f x 1 f 1 x 1 1，解得0 x 2，
所以不等式 f x 1 2的解集为 0,2 .
故选：A
x
2 2ax a, x 1
12．已知函数 f x x 在R 上单调递增，则实数 a的取值范围是
2 , x 1
（ ）
A． ,1 B． 1,3
C． 3, D． ,1 3,
【来源】浙江省台州市玉环市坎门中学 2021-2022 学年高一下学期返校考试数学试题
【答案】B
x
2 2ax a, x 1
【解析】∵ f x x 在R 上单调递增，
2 , x 1
a 1
∴ 2 1 a 3
1 2a a 2
，解得 .故选：B.
2
13．函数 f (x) (
1) x x 1的单调递增区间为（ ）
2
1 1 5 1 1 1 5 , , 1A ． B． C． , D． , 2 2 2 2 2

2
【来源】浙江省杭州学军中学 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】C
【解析】依题意， x2 x 1 0 1 5 x 1 5 ，解得： ，即 f (x) 定义域为
2 2
[1 5 ,1 5 ]，
2 2
令u x2
1 5 1 1 1 5
x 1 ，则函数u x2 x 1 在[ , ]上单调递增，在[ , ]上单
2 2 2 2
调递减，
而函数 y (
1
)u 在 R 上单调递减，因此， f (x) [1 5 1在 , ] 1 1 5上单调递减，在2 [ , ]2 2 2 2
上单调递增，
2
所以函数 f (x) (
1) x x 1 1 1 5的单调递增区间为
2 [ , ]
.
2 2
故选：C
14．已知函数 f x 4x 2x 1 4， x 1,1 ，则函数 y f x 的值域为（ ）．
13 13
A． 3, B． 3,4 C． 3, D． , 4 4 4
【来源】江西省丰城中学 2021-2022 学年高一下学期入学考试数学试题
【答案】B 依题意，函数 f x (2x )2 2 2x 4， x 1,1 ，令2x t ，则 t 2x 在 x 1,1
1
上单调递增，即 t 22 ，
于是有 y t 2 2t 4 (t 1)2 3，当 t 1时， ymin 3，此时 x 0， f (x)min 3，
当 t 2时， ymax 4，此时 x 1， f (x)max 4 ，
所以函数 y f x 的值域为 3,4 .故选：B
15．函数 f (x) x2 x ， g(x) 4x 2x+1 m，若对 x1 [1, 2]，都存在 x2 [ 1,1]，使
f x1 g x2 成立，则 m 的取值范围是（ ）
A．m 0 B．m 1 C．m 2 D．m 3
【答案】B
【解析】若对 x1 [1, 2]，都存在 x2 [ 1,1]，使 f x1 g x2 成立，则需
f x >gmin x min ，
又 f (x) x2 x ， x [1,2]，所以 f x f 1 12 1 0min ，
x x [ 1,1] t [1令2 t ，因为 ，所以 , 2]，所以 g(x) t 2 2t m g 1 m 1，2
所以0>m 1，解得m 1，则 m 的取值范围是m 1，
故选：B.
【点睛】
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 y f x , x a,b ， y g x , x c,d
（1）若 x1 a,b ， x2 c,d ，总有 f x1 g x2 成立，故 f x g xmax 2 min ；
（2）若 x1 a,b ， x2 c,d ，有 f x1 g x2 成立，故 f x g xmax 2 max ；
（3）若 x1 a,b ， x2 c,d ，有 f x1 g x2 成立，故 f x gmin x2 min ；
（4）若 x1 a,b ， x2 c,d ，有 f x1 g x2 ，则 f x 的值域是 g x 值域的子
集 ．
二、多选题
16．已知函数 f x 3x 3 x ，则（ ）
A． f x 的值域为 R B． f x 是 R 上的增函数
C． f x 是 R 上的奇函数 D． f x 有最大值
【答案】ABC
g x 3x 0, h x 3 x x x【解析】 ，而 ,0 ，所以 f x 3 3 值域为 R，A
正确，D 错误；
因为 g x 3x x x x是递增函数，而 h x 3 是递增函数，所以 f x 3 3 是递增函数，
B 正确；
因为定义域为 R，且 f x 3 x 3x f x ，所以 f x 是 R 上的奇函数，C 正确；
故选：ABC
x
17．已知函数 f (x) 1 3 x ，则下列结论正确的有（ ）1 3
A． f (x) 的图象关于坐标原点对称 B． f (x) 的图象关于 y 轴对称
C． f (x) 的最大值为 1 D． f (x) 在定义域上单调递减
【来源】浙江省“新高考名校联盟”2021-2022 学年高一下学期 5 月检测数学试题
【答案】AD
1 3 x 3x 1
【解析】因为 f ( x) f (x) ，所以 f (x) 为奇函数，图象关于坐标原点
1 3 x 3x 1
1 1 1
对称，故 A 正确；因为 f (1)
1 3 1
f ( 1) 3， f (x)
1 3 2 1 1
， f (1) f ( 1) ，所以
2
3
不是偶函数，图象不关于 y 轴对称，故不 B 正确；
3x 1 2 2 x 2因为 f (x) x 1 x ，又3 0，所以3
x 1 1，所以0 x 2，3 1 3 1 3 1
所以 f (x) ( 1,1)，故 C 不正确；
x
因为 f (x) 3 1 2 2 1 y 3xx x ，且 为增函数，所以 f (x) 在定义域 ( , )上单3 1 3 1
调递减，故 D 正确.故选：AD
18．下列结论中，正确的是（ ）
A．函数 y 2x 1是指数函数
2
1 x 2xB ．函数 y 的单调增区间是 1,
3
C．若 am an (a 0,a 1) 则m n
D．函数 f (x) a x 2 3(a 0,a 1)的图像必过定点 (2, 2)
【来源】广东省韶关市武江区市实验中学 2021-2022 学年高一下学期第一次月考数学试
题
【答案】BD
【解析】由指数函数定义得函数 y 2x 1不是指数函数，A 错；
1 x
2 2x

函数 y 中，u x
2 2x (x 1)2 1，在 ( ,1)上递增，在 (1, )上递减，
3
2
y 1
x 2x

因此函数 3
的单调增区间是 1, ，B 正确；

0 a 1时，由 am an得m n ，C 错；
函数 f (x) a x 2 3(a 0,a 1)中，由 x 2 0得 x 2， f (2) 2，即函数 f (x) 图象过
点 (2, 2)，D 正确．
故选：BD．
19 2
x 1
．已知函数 f (x) x ，则下列结论正确的是（ ）2 1
A．函数 f (x) 的定义域为 R
B．函数 f (x) 的值域为 ( 1,1)
C．函数 f (x) 的图象关于 y 轴对称
D．函数 f (x) 在 R 上为增函数
【来源】重庆市九龙坡区 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】ABD
【解析】A：因为 2x 0，所以函数 f (x) 的定义域为 R，因此本选项结论正确；
x
B f (x) 2 1 1 2： ，
2x 1 2x 1
由 2x 0 2x 1 1 0
1
x 1
2 2
2 x 0 1 x 1，所以函数 f (x)2 1 2 1 2 1
的值域为 ( 1,1) ，因此本选项结论正确；
x
C f ( x) 2 1 1 2
x
：因为 2 x
f (x)
1 1 2x ，所以函数
f (x) 是奇函数，其图象关于原点对称，
不关于 y 轴对称，因此本选项说法不正确；
2
D：因为函数 y 2x 1是增函数，因为 y 2x 1 1，所以函数 y
2x
是减函数，
1
2
因此函数 f (x) 1 x 是增函数，所以本选项结论正确，2 1
故选：ABD
20．已知 f x ， g x 都是定义在R 上的函数，其中 f x 是奇函数， g x 为偶函数，
且 f x g x 2x ，则下列说法正确的是（ ）
A． f g x 为偶函数
B． g 0 0
C f 2． x g 2 x 为定值
2x , x 0D． f x g x x
2 , x 0
【来源】浙江省金华十校 2021-2022 学年高一上学期期末联考数学试题
【答案】ACD
【解析】 f x g x 2x
令 x 为 x 得 f x g x 2 x即 f x g x 2 x
2x 2 x 2x 2 x
解得 g x ， f x
2 2
对于 A. f g x f g x ，故 f g x 为偶函数
对于 B. g 0 1，故 B 错
x x 2 2 2 2x 2 x
2
C. f 2 x 2 g x 2 1 ，故 C 对 2
2x 2 x x x x xD.当 x 0 时， f x ， f x g x 2 2 2 2 2x
2 2 2
2 x 2x x x x x
当 x 0 时， f x ， f x g x 2 2 2 2 2 x
2 2 2
x
2 , x 0f x g x x 故 D 对故选：ACD
2 , x 0
三、填空题
21 f x 1
x
．已知函数 x
3，若 f 2a 1 f a 1 ，则实数 a的取值范围是___.
2
【答案】 , 2
x
1
【解析】： y 和 y x
3在R 上都是单调递减，
2
x
f x 1 x3 在R 上单调递减，
2
由 f 2a 1 f a 1 ，可得 2a 1 a 1，解得 a 2 ，即 a , 2 ．
故答案为： , 2
22．已知函数 f x g x 1 2x为定义在 R 上的奇函数，则 g 0 g 1 g 2 ____.
【来源】3.3 函数的奇偶性
7
【答案】 ##3.5
2
【解析】因为 f x 是定义在 R 上的奇函数，所以 f x f x ，特别地，当 x 0时，
得到 f 0 0．由 f x g x 1 2x取 x 0，
所以 f 0 g 1 1，所以 g 1 1．再分别令 x 1和 x 1，得 f 1 g 0 2 1，
f 1 g 2 2，
f 1 f 1 g 0 2 1 g 2 2 f 1 f 1 0 g 0 g 2 5两式相加得 ，且 ，则 ，
2
所以 g 0 g 1 g 2 1 5 7 7 ．故答案为： .
2 2 2
23 x．已知 f x 是定义在R 上的奇函数，且 f x 4 f x ，当 x 0,2 时， f x 2
，则 f 9 ___________.
【来源】江西省上饶市重点中学协作体 2021-2022 学年高一下学期期末联考数学试题
【答案】 2
【解析】：因为 f x 4 f x ，
所以函数 f x 是以 4 为周期的周期函数，
又因 f x 是定义在R 上的奇函数，所以 f 9 f 9 f 1 2 .故答案为： 2 .
24 x x x．设不等式 4 m 4 2 1 0对于任意的 x 0,1 恒成立，则实数m 的取值范围是
_______．
1
【答案】 ,
3
4x m 4x 2x 1 0 m 4x 2x 1 4x【解析】：由 ，得 ，
m 4
x 1

即 4x 2x 1 1 1 1 ，
2x 4x
x 1 1 0,1 ， x

,1

2 2
，

1 2 1 1 1
2
3 7
则 1 2x 2x x

2 2 4
,3 ，
4
1 1 , 4 1 1

3 7
1
，则m ，即m
, 1 1
1 3 ．故答案为：3
,
2x 4x
3
四、解答题
25 x x．已知定义在 1,1 上的奇函数 f x ．在 x 1,0 时， f x 2 2 ．
(1)试求 f x 的表达式；
(2) x x若对于 x 0,1 上的每一个值，不等式 t 2 f x 4 1恒成立，求实数 t 的取值范
围．
2x 2 x x 1,0

【答案】(1) f x 0 x 0 (2) t 0
x x
2 2 x 0,1
【解析】(1)： f x 是定义在 1,1 上的奇函数， f 0 0，
因为在 x 1,0 时， f x 2x 2 x ，
设 x 0,1 ，则 x 1,0 ，
则 f x f x 2x 2 x ，
2x 2 x x 1,0
故 f x 0 x 0 .
2x 2
x x 0,1
(2) t 2x f x 4x：由题意， 1可化为 t 2x 2x 2 x 4x 1
4x 1
化简可得 t x ， 4 1
g x 4
x 1 2
令 x 1 x ， x 0,1 ，4 1 4 1
x 0,1 y 2因为 y 4 1在定义域 上单调递增， 在 2,5 上单调递减，
x
所以 g x 在 0,1 上单调递减，
g x g 0 1 2
40
0，故 t 0．
1
26 x．已知函数 f x 3 m 1 3 x m R 是定义域为 R 的奇函数.
x m
(1) 若集合 A x | f x 0 ，B x | 0 ，求 A B；
x m


(2)设 g x 32x 3 2x 2af x ，且 g x 在 1, 上的最小值为-7，求实数 a的值.
【来源】湖南省天壹名校联盟 2021-2022 学年高一下学期 3 月大联考数学试题
【答案】(1) A B x | 0 x 2
(2) a 3
【解析】(1)解：因为 f x 是定义域为 R 的奇函数，
所以 f 0 0，可得m 2 ，当m 2 时， f x 3x 3 x ，所以 f x 3 x 3x ，
f x f x ，所以 f x 3x 3 x 为奇函数，所以m 2 ；
f x 0 3x 1 0 3
2x 1
由 ，得 x ，即 x 0，3 3
因为3x 0，所以32x 1 0，所以 x 0 ，即 A x | x 0 ；
x m
由 0，且m 2 ，得 x 2 x 2 0，即 2 x 2，
x m
所以B x | 2 x 2 ，所以 A B x | 0 x 2 ；
(2) g x 32x 3 2x 2a 3x 3 x因为 ，
3x 3 x 2 2a 3x 3 x 2，令 t 3x 3 x 8，因为 x 1，所以 t ，3
所以 g x t t 2 2at 2 t a 2 2 a2 t 8

，
3
8 t 8a ,a 当 时， 在 上为减函数，在 a, 上为增函数，3 3
所以 t a 2 a2，即 g x 2 a2min min ，
所以 2 a2 7，解得 a 3，或 a 3（舍去）；
8 8 82 16a
当 a
8
时， t 在 , 上为增函数，所以 t ，3 3 min 3 9 3
g x 82 16a 82 16a 145 8即 min ，所以 7，解得 a （舍去），9 3 9 3 48 3
所以 a 3 .
27．已知定义在 2,2 上的奇函数 f x ，当 x 2,0 时，函数解析式为
f x 9x a 3x 1 a R ．
(1)求 a 的值，并求出 f x 在 2,2 上的解析式；
(2)若对任意的 x 0,2 ，总有 f x t 2 2t ，求实数 t 的取值范围．
【来源】河南省林州市第一中学 2021-2022 学年高一下学期开学检测数学试题
9x 3x , 2 x 0
【答案】(1)-3， f x 3 x x ； 9 ,0 x 2
(2) 0,2 .
【解析】(1)根据题意， f x 是定义在 2,2 上的奇函数，则有 f 0 0，
当 x 2,0 时 f x 9x a 3x 1，则 f 0 1 1 a 0，解得： a 3，
3
当 x 2,0 时， f x 9x 3x ，
设 x 0,2 x x，则 x 2,0 ，则 f x 9 3 ，又 f x 为奇函数，
f x f x 3 x 9 x所以 ，
9x 3x , 2 x 0综上， f x x x ，
3 9 ,0 x 2
(2) 1 x 0,2 f x 3 x 9 x 1
2
1
由（ ）， 时， x 3 3x
，

m 1 1
2
设 ，则 m 1 1 1，则原函数可化为： m m m2 m ，
3x 9 2 4
1 8由 9

81，
1 0知： f x 0在 0,2 上恒成立，

要使 f x t 2 2t 在 x 0,2 上恒成立，只需 t 2 2t 0 ，解得：0 t 2，
所以 t 的取值范围为 0,2 ．
x
28 1 2．已知函数 f x x .2 1
(1)求 f 2 f 2 的值；
(2)求函数 f x 的值域；
2 4a
(3)若 g x f x x 2a ，且对任意的x1、 x2 R ，都有 g x1 g x2 3，求2 1
实数 a的取值范围.
【来源】广东省深圳市光明区 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】(1) 0 ；(2) 1,1 ；(3)1 3 a 3 1 .
1
2
f 2 f 2 1 2 1 2
2 1 1 4 3 3
【解析】(1)： 2
4 0 .
2 1 22 1 1 1 4 1 5 5
4

(2) 2
x 1 2
解： f x 2 1 .
2x 1 2x 1
x 2 2 2 0 ，则 2x 1 1 ，则0 2x
2 ，所以， 1 1 1，
1 2x 1
函数 f x 的值域为 1,1 .
2 4a 2 2 2
(3)解： g x f x x 2a f x 2a x 1 f x 2af x ，2 1 2 1
令 t f x 2，则 g x h t t 2at ， t 1,1 ，函数 h t 的对称轴为直线 t a .
①当 a 1时，函数 h t 在 1,1 上单调递减， g x1 g x2 h 1 h 1 3，
1 2a 1 2a 3，解得 a 3 ，此时 a的取值不存在；
4
②当 a 1时，函数 h t 在 1,1 上单调递增， g x1 g x2 h 1 h 1 3，
1 2a 1 2a 3，解得 a 3 ，此时 a的取值不存在；
4
③当 1 a 1时，函数 h t 在 1, a 上单调递减，在 a,1 上单调递增，
g x1 g x2 h 1 h a ，且 g x1 g x2 h 1 h a ，
h 1 h a 1 2a a2 3
所以， ，解得 2 1 3 a 3 1
，此时1 3 a 3 1 .
h 1 h a 1 2a a 3
综上，实数 a的取值范围为1 3 a 3 1 .
29 f x a x k 2 a x．设函数 （ a 0且a 1）是定义域为R 的奇函数．
(1)求实数 k 的值；
3
(2) 2x 2x若 f 1 ， g x a a 2mf x ，且当 x 1, 时， g x 02 恒成立，求实
数 m 的取值范围．
【来源】河南省洛阳市 2021-2022 学年高一下学期期末数学文科试题
17
【答案】(1) 1(2) m
12
【解析】
(1) x x函数 f x a k 2 a （ a 0且a 1）是定义域为R 的奇函数,则
f 0 a0 k 2 a0 1 k 2 0，
所以 k 1，
又 k 1 x x时， f x a a ，对任意的 x R ，都有
f x a x a x a x a x f x 成立，满足题意，
所以 k 1；
(2) x由（1）知， f x a a x ，且 f 1 3 2 ，
所以， f 1 1 3 a ，
a 2
1
所以， a 2或 a （舍），
2
g x 22x 2 2x 2m 2x 2 2 x 2x 2 x 2m 2x 2 x 2
x x
令 t 2 2 x 1 ，则 t 3 ，
2
由当 x 1, 时， g x 0 3恒成立，得 t 2 2mt 2 0在 t 时恒成立，2
3
则 2m
2 3 2
t 在时 t 恒成立，又 y t 在 ,

2 上单调递增，t 2 t
17 17
所以， 2m ，所以，m .
6 12专题 4.2 指数函数
1、指数函数的概念：一般地，函数 y a x 叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数
的定义域为 R．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1．即 a>0 且 a≠1
2、指数函数的图象和性质
01
图
像
定义域 R , 值域（0，+∞）
（1）过定点（0，1）,即 x=0 时，y=1
(2)在 R 上是减函数 (2)在 R 上是增函数
性质
（3）当 x>0 时,00 时,y>1;
当 x<0 时,y>1 当 x<0 时,0图象特征 函数性质
向 x 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为 R
函数图象都在 x 轴上方 函数的值域为 R+
共性 图象关于原点和 y 轴不对称 非奇非偶函数
函数图象都过定点（0，1） 过定点（0，1）
自左向右看，图象逐渐下降 减函数
在第一象限内的图象纵坐标都小于 1 当 x>0 时,001
图象上升趋势是越来越缓 函数值开始减小极快，
到了某一值后减小速度较慢；
自左向右看，图象逐渐上升 增函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于 1 当 x>0 时,y>1;
a>1 在第二象限内的图象纵坐标都小于 1 当 x<0 时,0图象上升趋势是越来越陡 函数值开始增长较慢，
到了某一值后增长速度极快；
注意： 指数增长模型：y=N(1+p)x 指数型函数： y=kax
3 考点：（1）ab=N, 当 b>0 时，a,N 在 1 的同侧；当 b<0 时，a,N 在 1 的 异侧。
（2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握
利用单调性比较幂的大小，同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插
进 1(=a0)进行传递或者利用（1）的知识。
（3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。
（4）分辨不同底的指数函数图象利用 a1=a，用 x=1 去截图象得到对应的底数。
一、单选题
1．若函数 y m2 m 1 mx 是指数函数，则m 等于（ ）
A． 1或 2 B． 1
C． 2 D 1． 2
2．函数 y a x 1 1，（ a 0且a 1）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是
（ ）
A． 0,1 B． 1, 2 C． 2,3 D． 3, 4
3 x x．若函数 f x 2 a 2 x 为R 上的奇函数，则实数 a的值为（ ）
A． 1 B． 2 C．1 D．2
4．已知 f x 是定义在 R 上的奇函数，且 f (x 4) f (x) ，当 x (0,2) 时， f (x) 2x ，则
f 2021 （ ）
A．2 B．－2 C．0 D． 2
2x x2 , x 5
5．已知 f(x)= ，则 f(4)+f(-4)=（ ）
f (x 3), x 5
A．63 B．83 C．86 D．91
ex sin x x3
6．函数 f x 的图象大致为（ ）
e2x 1
A． B
C． D
2 2 1
7 1 3 3 3．若a ,b
1 1
2 5
,c ，则 a b c 的大小关系是（ ）
2
A．b a c B．b c a C． c a b D． c b a
8．设函数 f x 对任意的 x R ，都有 f x f x ， f x 2 f x ，且当 x 1,0
时， f (x) 2x ，则 f 2022 （ ）
1
A 1． 1 B．1 C． 2 D． 2
9． f (x) 是定义域为R 的函数，且 f (x) x2 为奇函数， f (x) 2x 为偶函数，则 f (2) 的值
是（ ）
17 17 47 47
A． B． C． D．
8 4 8 4
10．若 f (x) x2 2|x| ，则下列关系式一定成立的是（ ）
A． f ( ) f ( 3) f (e) B． f ( 3) f ( ) f (e)
C． f (e) f ( 3) f ( ) D． f (e) f ( ) f ( 3)
11．已知函数 f x 是定义在R 上的偶函数，当 x 0 时， f x 2x x 1，则不等式
f x 1 2的解集为（ ）
A． 0, 2 B． , 2
C． 2, D． ,0 2,
x
2 2ax a, x 1
12．已知函数 f x x 在R 上单调递增，则实数 a的取值范围是
2 , x 1
（ ）
A． ,1 B． 1,3
C． 3, D． ,1 3,
1 2
13．函数 f (x) ( ) x x 1的单调递增区间为（ ）
2

A． ,
1 1 5
B ,
1 1 ,1 5C D
1
． ． ．
2

2 2
2 2
,
2
14 x x 1．已知函数 f x 4 2 4， x 1,1 ，则函数 y f x 的值域为（ ）．
3, 13 13 A． B． 3,4 C． 3, D． , 4 4 4
15．函数 f (x) x2 x ， g(x) 4x 2x+1 m，若对 x1 [1, 2]，都存在 x2 [ 1,1]，使
f x1 g x2 成立，则 m 的取值范围是（ ）
A．m 0 B．m 1 C．m 2 D．m 3
二、多选题
16．已知函数 f x 3x 3 x ，则（ ）
A． f x 的值域为 R B． f x 是 R 上的增函数
C． f x 是 R 上的奇函数 D． f x 有最大值
17 f (x) 1 3
x
．已知函数 x ，则下列结论正确的有（ ）1 3
A． f (x) 的图象关于坐标原点对称 B． f (x) 的图象关于 y 轴对称
C． f (x) 的最大值为 1 D． f (x) 在定义域上单调递减
18．下列结论中，正确的是（ ）
A．函数 y 2x 1是指数函数
2
B y 1
x 2x

．函数 3
的单调增区间是 1,

C．若 am an (a 0,a 1) 则m n
D．函数 f (x) a x 2 3(a 0,a 1)的图像必过定点 (2, 2)
x
19．已知函数 f (x) 2 1 x ，则下列结论正确的是（ ）2 1
A．函数 f (x) 的定义域为 R
B．函数 f (x) 的值域为 ( 1,1)
C．函数 f (x) 的图象关于 y 轴对称
D．函数 f (x) 在 R 上为增函数
20．已知 f x ， g x 都是定义在R 上的函数，其中 f x 是奇函数， g x 为偶函数，
f x g x 2x且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． f g x 为偶函数
B． g 0 0
C f 2 x g 2． x 为定值
2
x , x 0
D． f x g x 2 x , x 0
三、填空题
x
21．已知函数 f x 1 x3，若 f 2a 1 f a 1 ，则实数 a的取值范围是___.
2
22．已知函数 f x g x 1 2x为定义在 R 上的奇函数，则 g 0 g 1 g 2 ____.
23．已知 f x x是定义在R 上的奇函数，且 f x 4 f x ，当 x 0,2 时， f x 2 ，
则 f 9 ___________.
24 4x x．设不等式 m 4 2x 1 0对于任意的 x 0,1 恒成立，则实数m 的取值范围是
_______．
四、解答题
25 x x．已知定义在 1,1 上的奇函数 f x ．在 x 1,0 时， f x 2 2 ．
(1)试求 f x 的表达式；
(2)若对于 x 0,1 x上的每一个值，不等式 t 2 f x 4x 1恒成立，求实数 t 的取值范
围．
26 x x．已知函数 f x 3 m 1 3 m R 是定义域为 R 的奇函数.
(1) A x | f x x m 0 B x | 0 若集合 ， ，求 A B；
x m
(2) g x 32x 3 2x设 2af x ，且 g x 在 1, 上的最小值为-7，求实数 a的值.
27．已知定义在 2,2 上的奇函数 f x ，当 x 2,0 时，函数解析式为
f x 9x a 3x 1 a R ．
(1)求 a 的值，并求出 f x 在 2,2 上的解析式；
(2) x 0,2 f x t 2若对任意的 ，总有 2t ，求实数 t 的取值范围．
x
28 1 2．已知函数 f x
2x
.
1
(1)求 f 2 f 2 的值；
(2)求函数 f x 的值域；
(3)若 g x 2 f x
4a
x 2a ，且对任意的x1、 x2 R ，都有 g x g x 3，求2 1 1 2
实数 a的取值范围.
29 x x．设函数 f x a k 2 a （ a 0且a 1）是定义域为R 的奇函数．
(1)求实数 k 的值；
3
(2)若 f 1 ， g x a2x a 2x 2mf x ，且当 x 1, 2 时， g x 0恒成立，求实
数 m 的取值范围．