专题 4.3 对数
1 对数的概念
(1)概念
一般地，如果 = ( > 0 , 且 ≠ 1)，那么数 叫做以 为底 的对数，记作 = .
( 底数， 真数， 对数)
解释 对数 中对底数 的限制与指数函数 = 中对 的限制一样.
(2) 两个重要对数
常用对数以10为底的对数， 10 记为 ；
自然对数以无理数 为底的对数的对数， 记为 ．
(3) 对数式与指数式的互化
= =
对数式 指数式
如 43 = 64 log 2464 = 3；log525 = 2 5 = 25.
(4) 结论
① 负数和零没有对数
② = 1， 1 = 0.
特别地， 10 = 1， 1 = 0， = 1， 1 = 0.
解释 ∵ = > 0， ∴ log 中 > 0，如log2( 3)没意义；
由对数式与指数式的互化得 1 = = 1， 0 = 1 1 = 0.
2 对数的运算性质
如果 > 0， ≠ 1， > 0， > 0 , 有
① ( ) = + ②
=
③ = ( ∈ ) ④ log =
(每条等式均可证明)
比较 对数的运算法则与指数的运算法则的联系
指数 对数
= + ( ) = +
= =
( ) = =
特别注意： ≠ ， ( ± ) ≠ ± .
一、单选题
1．若 log
1
x 3，则 x （ ）27
1 1
A．81 B． C． D．3
81 3
【答案】D
1 1 3
【解析】解：因为 log x 3，所以 x ，即 x3 27 ，27 27
所以 x 3，故选：D.
2
2．已知 a 3 5 a 0 ，则 loga 5 （ ）
3
A．2 B．3 C D
2
． ．
2 3
【答案】D
2
【解析】因为 a 3 5 a 0 ，所以 loga 5
2
.故选：D
3
2ex 2 , x 4
3．已知函效 f (x)
2 则 f ( f (4)) （ ） log2 x 12 , x 4
A．1 B．2 C． e D． 2e
【来源】吉林省长春市十一高中 2021-2022 学年高一上学期第二学程考试数学试题
【答案】B
f (4) log (42【解析】由题意知， 2 12) log2 4 2，
f ( f (4)) f (2) 2e2 2 2 .故选：B
4 x．已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f x 4 m 2（m 为常数），
则 f ( log4 8)的值为（ ）
A．4 B． 4 C．7 D． 7
【来源】广东省广州市八校联考 2021-2022 学年高一下学期期末数学试题
【答案】D
【解析】根据题意，函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f (x) 4x m 2，
必有 f (0) 1 m 2 0，解可得: m 3，
则当 x 0 时， f (x) 4x 1，有 f log4 8 8 1 7 ，
又由函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，则 f log4 8 f log4 8 7 .故选：D
5．计算：1.10 eln 2 0.5 2 lg 25 2lg 2 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【来源】山西省长治市第四中学校 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】B
【解析】解：1.10 eln 2 0.5 2 lg 25 2lg 2
1 2 4 2lg5 2lg 2
1 2lg 5 2 1 2 1；故选：B
x 1 , x 0
6．已知函数 f x 2 ，则 f f log 1 3 （ ）
log
2
3 x, x 0
1
A． B． 1 C．1 D．3
8
【来源】云南省昆明市 2021-2022 学年高一下学期期末质量检测数学试题
【答案】C
1 log1 3
【解析】因为 log 1 3 log log 3 1
f log 3 1 22 3 2 ，所以 1 3，2 2 2
f 3 log3 3 1，则 f f log 1 3 1.故选：C．
2
7．设 a log36，b log5 20，则 log215 ( )
a b 3 a b 2 a 2b 3 2a b 3
A． a 1 b 1 B． a 1 b 1 C． a 1 b 1 D． a 1 b 1
【答案】D
【解析】 a log36 1 log3 2，b 1 2log5 2 ， log
1
23 ， log25
2
，
a 1 b 1
1 2 2a b 3
则 log215 log23 log25 a 1 b 1 a 1 b 1 .故选 D.
a b 1 18．设2 5 m，且 1，则m （ ）a b
A． 10 B．10 C． 20 D．100
【来源】陕西省西安市雁塔区第二中学 2021-2022 学年高一下学期第二次月考数学试题
【答案】B
【解析】因为2a 5b m，
所以 a log2 m,b log5 m，
1 1
所以 logm 2 log 5 log 10 1，a b m m
又 m 0， m 10 .故选：B.
log2 x 1, x 09．若 f x g 7 是奇函数，则
g x 1 , x 0 （ ）
A．2 B． 2 C．3 D．5
【来源】河南省豫北名校 2021-2022 学年高一下学期第一次联考数学试题
【答案】B
【解析】依题意得： g 7 f 8 f 8 log2 8 1 2．故选：B
10．函数 f x log2 2x log2 4x 的最小值为（ ）
1 1 1
A．1 B． C． D．
3 2 4
【来源】河北省保定市 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】D
2
【解析】由题意得 f x log2 x 1 log2 x 2 log2 x
2 3log 3 12 x 2 log2 x ，
2 4
当 log2 x
3 1
时， f (x) 的最小值为 .故选：D
2 4
11．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为T0，则经
t
h
过一定时间 t 分钟后的温度 T 满足T 1 Ta
T T ，h 称为半衰期，其中Ta 是环境0 a
2
温度．若Ta 25 ℃，现有一杯 80℃的热水降至 75℃大约用时 1 分钟，那么水温从 75℃
降至 55℃，大约还需要（参考数据： lg3 0.48， lg5 0.70， lg11 1.04）（ ）
A．3.5 分钟 B．4.5 分钟 C．5.5 分钟 D．6.5 分钟
【来源】陕西省西安市长安区第一中学 2021-2022 学年高一下学期期末数学试题
【答案】C
【解析】：由题意，Ta 25 ℃，由一杯 80℃的热水降至 75℃大约用时 1 分钟，可得
1
h
75 25 1 80 25 ，
2
1
h
所以 1 50 10 ，
2 55 11
t t
h h
又水温从 75℃降至 55℃，所以55 25 1 1 30 3 75 25 ，即 ，
2 2 50 5
t 1 t
1 h 1 h 10
t
3
所以 2 2
，
11 5
lg 3
t log 3 5 lg3 lg5 0.48 0.7所以 10 10 5.5，
11 5 lg 1 lg11 1 1.04
11
所以水温从 75℃降至 55℃，大约还需要5.5分钟.
故选：C.
12．正数 a，b 满足 1+log2a＝2+log3b＝3+log a+b
1 1
6（ ），则 的值是a b
1 1 1
A． B． C 1． D．
12 6 3 2
【答案】A
【解析】依题意，设 1+log2a＝2+log3b＝3+log6（a+b）＝k，则 a＝2k﹣1，b＝3k﹣2，a+b
＝6k﹣3，
1 1 a b 6k 3 6 36k 6 3 1
所以 .故选：A．
a b ab 2k 1 3k 2 2 1 3 2 2k 3k 2 1 3 2 12
13．已知函数 y f x 为 R 上的偶函数，若对于 x 0 时，都有 f x 2 f x ，且当
x 0,2 时， f x log2 x 1 ，则 f 2021 f 2022 等于（ ）
A．1 B．-1 C． log2 6
3
D． log2 2
【来源】四川省自贡市 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】A
【解析】当 x 0 时， f (x 2) f (x)，则 f (x 4) f (x 2) f (x)，
所以当 x 0 时， f (x 4) f (x) ，所以 f (2021) f (2017) f (1)
又 f (x) 是偶函数， f (2) f (0)，
所 f 2021 f 2022 f (2021) f (2022) f (1) f (2)
log2 (1 1) f (0) 1 log2 (0 1) 1．故选：A．
14．随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这
对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟，其中电磁波在空间中自由
传播时能量损耗满足传输公式： L 32.44 20lgD 20lgF ，其中 D 为传输距离，单位
是 km，F 为载波频率，单位是MHz ，L 为传输损耗（亦称衰减）单位为dB．若传输距
离变为原来的 4 倍，传输损耗增加了18dB，则载波频率变为原来约（ ）倍（参考
数据： lg 2 0.3,lg3 0.5）
A．1 倍 B．2 倍 C．3 倍 D．4 倍
【来源】广东省广州市华南师范大学附属中学 2021-2022 学年高一下学期期末数学试题
【答案】B
【解析】设 L 是变化后的传输损耗，F 是变化后的载波频率， D 是变化后的传输距离，
则 L L 18，D 4D，
18 L L 20lg D 20lg F 20lg D D F 20lg F 20lg 20lg ，
D F
则 20lg
F
18 20lg D 18 F 40lg 2 6，即 lg 0.3 lg 2，从而F 2F ，
F D F
即载波频率变为原来约 2 倍.故选：B．
二、填空题
15 x．已知函数 f (x) a , g(x) loga x（ a 0且a 1），且 f (M ) N ，则 g(N )
___________.
【答案】M
【解析】因为 f (M ) N ，则 aM N ,
化为对数式，可得 loga N M ,
所以 g(N ) M ，故答案为：M .
1
1
16 3．计算： 2.25 8 12 + 9.6 0 log log 5 _________．
27 25 2 4
【来源】四川省泸州市泸县第一中学 2021-2022 学年高一下学期开学考试数学试题
3
【答案】
4
2 ( 1 )
【解析】原式
3 2 2 1 1
2
1 log5 2 log2 5
3 2 2
2 1 2 1
3 3 4
3
.
4
3
故答案为：
4
b
17．若 a 1，b 1且 lg 1 lgb，则 lg a 1 lg b 1 的值___．
a
b
【答案】 0 【解析】 a 1，b 1且 lg 1
lgb，
a
b
1 b， a b ab，
a
lg a 1 lg b 1 lg a 1 b 1 lg ab a b 1 lg1 0．
故答案为：0．
2 20
18． lg2 2 lg5 lg20 2016 0.027 3 1 3 ___．
【答案】102
2 20
【解析】 lg2 2 lg5 lg20 2016 0.027 3 1 3
2
＝ lg2 2 lg5 2lg2 lg5 1 0.3 3 3 9
lg2 lg5 2 1 1 9 1 1 100
0.09
102 ．故答案为：102.
log5 2 log7 9
19 1 (2
3)0 (0.01) 0.5
． 3 5 = ________log5 log 43 7
【来源】第 11 讲 对数-【暑假自学课】2022 年新高一数学暑假精品课（苏教版 2019 必
修第一册）
21
【答案】
2
1 2
log5 2 log7 9 3
0
0.5 2log2 5 log3 7
【解析】 1 2 0.01 1 10log log 3 4 5 1 25 7 3 log3 5 3log2 7
1 3log3 5 log 7 3 21
2
9 9 log3 5 log2 7 2 2 2
21
故答案为：
2
20 |1 lg 0.001| 1． lg2 4lg3 4 lg 6 lg 0.02 __________.
3
【来源】河南省信阳市信阳高级中学 2021-2022 学年高一下学期第一次月考数学（理科）
试题
【答案】6
21 2．如果关于 x 的方程 lg x lg3 lg5 lg x lg3 lg5 0的两根分别是 , ，则
的值是__________.
【来源】第 4 章 指数与对数综合测试-【暑假自学课】2022 年新高一数学暑假精品课
（苏教版 2019 必修第一册）
1
【答案】
15
【解析】∵ , 是关于 x 2的方程 lg x lg 3 lg5 lg x lg3 lg5 0的两根
∴ lg , lg 2是一元二次方程 x lg3 lg5 x lg3 lg5 0的两根
∴ lg lg lg3 lg5 lg15 1 1 lg ， lg lg
15 15
∴
1
.
15
1
故答案为：
15
22．已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x 2) 2 f (x) ，且当 x [0, 2]时，
f (x) 2x 2 ，若对任 x ( ,m]都有 f (x) 6，则 m 的取值范围是_________．
【来源】河南省信阳市信阳高级中学 2021-2022 学年高一下学期第一次月考数学（理科）
试题
【答案】 ( ， 4 log
7
2 ]2 ．
【解析】：因为 f (x) 满足 f (x 2) 2 f (x) ，即 f (x)
1
f (x 2)；
2
又由 f (x 2) 2 f (x) ，可得 f (x) 2 f (x 2)，
画出当 x [0， 2]时， f (x) | 2x 2 |的图象，
将 f (x) 在[0， 2]的图象向右平移 2k(k N*) 个单位（横坐标不变，纵坐标变为原来的 2
倍），再向左平移 2k(k N*)
1
个单位（横坐标不变，纵坐标变为原来的 2 倍），
由此得到函数 f (x) 的图象如图：
当 x [4，6]时， x 4 [0， 2]， f (x 4) | 2x 4 2 | ，
又 f (x 4)
1
f (x 2) 1 f (x) ，所以 f (x) 4 | 2x 4 2 | (4 x 6)2 4 ，
令 f (x) 6
7
，由图像可得5 x 6，则 4(2x 4 2) 6，解得 x 4 log2 2 ，
m 4 log 7所以当 2 时，满足对任意的 x ( ，m]，都有 f (x) 62 ，
故m 的范围为 ( ， 4 log 72 ]2 ．
故答案为： ( ， 4 log
7
2 ]2 ．
23．已知函数 f (x) 2x 1，函数 g(x)满足 g(x 1) g(x)．当 x [0,1) 时， g(x) f (x) ，
则 g log2 20 ________．
【来源】浙江省“新高考名校联盟”2021-2022 学年高一下学期 5 月检测数学试题
1
【答案】 ## 0.25
4
【解析】：因为函数 g(x)满足 g(x 1) g(x)，又 4 log2 16 log2 20 log2 32 5，
则0 log2 20 4 1，
又 x [0,1) 时 g(x) f (x) 2x 1
g log 20 g log 20 4 2log2 20 4 1 2log2 20 24 1所以 2 2 1 20 16 1 ；4
1
故答案为：
4
24．19 世纪，美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以 1 开头的数出
现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出
1
的大量数据中，以 1 开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期望值
9
的 3 倍，并提出本福特定律，即在大量 b 进制随机数据中，以 n 开头的数出现的概率为
Pb n log
n 1
b ，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数
n
学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．根据本福特定律，
n
若 P10 i 2 ，则 n 的最大值为______．
i 1 3
【来源】河南省许昌市 2021-2022 学年高一下学期期末数学理科试题
【答案】3
n 1 i 1
【解析】由Pb n logb 可得，P10 i log10 lg i 1 lg i ，
n i
n
所以 P10 i lg n 1 ，
i 1
n
又 P10 i 2 ，
i 1 3
2
所以， lg n 1 ，即 n 1 3 100
3
所以， n 1,2,3
则 n 的最大值为3 .
故答案为：3 .专题 4.3 对数
1 对数的概念
(1)概念
一般地，如果 = ( > 0 , 且 ≠ 1)，那么数 叫做以 为底 的对数，记作 = .
( 底数， 真数， 对数)
解释 对数 中对底数 的限制与指数函数 = 中对 的限制一样.
(2) 两个重要对数
常用对数以10为底的对数， 10 记为 ；
自然对数以无理数 为底的对数的对数， 记为 ．
(3) 对数式与指数式的互化
= =
对数式 指数式
如 43 = 64 log 2464 = 3；log525 = 2 5 = 25.
(4) 结论
① 负数和零没有对数
② = 1， 1 = 0.
特别地， 10 = 1， 1 = 0， = 1， 1 = 0.
解释 ∵ = > 0， ∴ log 中 > 0，如log2( 3)没意义；
由对数式与指数式的互化得 1 = = 1， 0 = 1 1 = 0.
2 对数的运算性质
如果 > 0， ≠ 1， > 0， > 0 , 有
① ( ) = + ②
=
③ = ( ∈ ) ④ log =
(每条等式均可证明)
比较 对数的运算法则与指数的运算法则的联系
指数 对数
= + ( ) = +
= =
( ) = =
特别注意： ≠ ， ( ± ) ≠ ± .
一、单选题
1
1．若 log x 3，则 x （ ）27
1 1
A．81 B． C． D．3
81 3
2
2．已知 a 3 5 a 0 ，则 loga 5 （ ）
3
A．2 B
2
．3 C． D．
2 3
2e
x 2 , x 4
3．已知函效 f (x) 2 则 f ( f (4)) （ ） log2 x 12 , x 4
A．1 B．2 C． e D． 2e
4 x．已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f x 4 m 2（m 为常数），
则 f ( log4 8)的值为（ ）
A．4 B． 4 C．7 D． 7
5．计算：1.10 eln 2 0.5 2 lg 25 2lg 2 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
1 x
, x 0
6．已知函数 f x 2 ，则 f f log 1 3 （ ）
log x, x 0 2 3
1
A． B． 1 C．1 D．3
8
7．设 a log36，b log5 20，则 log215 ( )
a b 3 a b 2 a 2b 3 2a b 3
A． a 1 b 1 B． a 1 b 1 C． a 1 b 1 D． a 1 b 1
8．设2a 5b
1 1
m，且 1，则m （ ）a b
A． 10 B．10 C． 20 D．100
log2 x 1, x 09．若 f x g 7 g x 1 , x 0 是奇函数，则 （ ）
A．2 B． 2 C．3 D．5
10．函数 f x log2 2x log2 4x 的最小值为（ ）
1 1 1
A．1 B． C． D．
3 2 4
11．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为T0，则经
t
h
过一定时间 t 分钟后的温度 T 满足T T 1 a T0 Ta ，h 称为半衰期，其中Ta 是环境
2
温度．若Ta 25 ℃，现有一杯 80℃的热水降至 75℃大约用时 1 分钟，那么水温从 75℃
降至 55℃，大约还需要（参考数据： lg3 0.48， lg5 0.70， lg11 1.04）（ ）
A．3.5 分钟 B．4.5 分钟 C．5.5 分钟 D．6.5 分钟
12 a b 1+log a 2+log b 3+log a+b 1 1．正数 ， 满足 2 ＝ 3 ＝ 6（ ），则 的值是a b
1 1 1
A B 1． ． C． D．
12 6 3 2
13．已知函数 y f x 为 R 上的偶函数，若对于 x 0 时，都有 f x 2 f x ，且当
x 0,2 时， f x log2 x 1 ，则 f 2021 f 2022 等于（ ）
A．1 B．-1 C． log2 6 D． log
3
2 2
14．随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这
对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟，其中电磁波在空间中自由
传播时能量损耗满足传输公式： L 32.44 20lgD 20lgF ，其中 D 为传输距离，单位
是 km，F 为载波频率，单位是MHz ，L 为传输损耗（亦称衰减）单位为dB．若传输距
离变为原来的 4 倍，传输损耗增加了18dB，则载波频率变为原来约（ ）倍（参考
数据： lg 2 0.3,lg3 0.5）
A．1 倍 B．2 倍 C．3 倍 D．4 倍
二、填空题
15．已知函数 f (x) a x , g(x) loga x（ a 0且a 1），且 f (M ) N ，则 g(N )
___________.
1
1
16．计算： 2.25 + 9.6 0 8
3 1
2 27
log log 5 _________．25 4
2
b
17．若 a 1，b 1且 lg 1 lgb，则 lg a 1 lg b 1 的值___．
a
2 20
18． lg2 2 lg5 lg20 2016 0.027 3 1 ___．
3
log5 2 log7 9
19 1 (2
3)0 (0.01) 0.5
． 3 5 = ________log5 log7 43
20． |1 lg 0.001| lg2 1 4lg3 4 lg 6 lg 0.02 __________.
3
21 2．如果关于 x 的方程 lg x lg3 lg5 lg x lg3 lg5 0的两根分别是 , ，则
的值是__________.
22．已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x 2) 2 f (x) ，且当 x [0, 2]时，
f (x) 2x 2 ，若对任 x ( ,m]都有 f (x) 6，则 m 的取值范围是_________．
23．已知函数 f (x) 2x 1，函数 g(x)满足 g(x 1) g(x)．当 x [0,1) 时， g(x) f (x) ，
则 g log2 20 ________．
24．19 世纪，美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以 1 开头的数出
现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出
1
的大量数据中，以 1 开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期望值 的 3 倍，并提
9
出本福特定律，即在大量 b 进制随机数据中，以 n 开头的数出现的概率为
P n log n 1 b b ，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数
n
学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．根据本福特定律，
n
若 P 210 i ，则 n 的最大值为______．
i 1 3
