专题 4.4 对数函数
1 对数函数
(1)对数函数的概念
函数 = ( > 0 , ≠ 1)叫做对数函数，其中 是自变量，定义域是(0, + ∞).
解释
函数 = 中系数为1，底数是不为1正实数的常数，真数为变量 .
(2)图像与性质
> 1 0 < < 1
图像
定义域 (0 , + ∞)
值域
过定点 (1 , 0)
奇偶性 非奇非偶
单调性 在(0 , +∞)上是增函数 在(0 , +∞)上是减函数
变化对图像 在第一象限内， 越大图象越靠低；
的影响 在第四象限内， 越大图象越靠高．
可与指数函数就函数的定义域、值域、单调性等函数性质进行比较学习.
3 对数型函数模型
形如 = · ( ，且 ≠ 0； > 0，且 ≠ 1)的函数称为对数型函数．
4 反函数
指数函数 = ( > 0,且 ≠ 1)与对数函数 = ( > 0 , ≠ 1)互为反函数.
它们的图象关于直线 = 对称，定义域与值域相反.
比如 = 2 与 = log2 互为反函数.
一、单选题
1．函数 y log2 (x
2 2x 3) 的单调递减区间是
A． ( , 3) B． (1, ) C． ( , 1) D． ( 1, )
【来源】宁夏石嘴山市平罗中学 2021-2022 学年高一上学期期末考试数学试题
【答案】A
【解析】∵x2+2x﹣3＞0，
∴x＞1 或 x＜﹣3；
又∵y＝x2+2x﹣3 在（﹣∞，﹣1]上是减函数，在[﹣1，+∞）上是增函数；
且 y＝log2x 在（0，+∞）上是增函数；
∴函数 y＝log2（x2+2x﹣3）的单调递减区间为（﹣∞，﹣3）；故选 A．
2．已知 a 5 1，b log4 32， c log0.5 5，则 a,b,c的大小关系为（ ）
A． a b c B． a c b
C．b a c D．b c a
【来源】贵州省黔西南州 2021-2022 学年高一下学期期末质量检测数学试题
【答案】C
1 1
【解析】 log0.5 5 log0.5 1 0 5 1 log4 4 log4 32， b a c .故选：C.5
3．设函数 f x lg x2 1 ，则使得 f 3x 2 f x 4 成立的 x 的取值范围为
（ ）
1 ,1 A． B． 1,
3
3 2
3 3
C． ,
D , 1 ,
2
． 2
【答案】D
【解析】方法一 :
f x lg x2 1
由 f 3x 2 f x 4 2得 lg 3x 2 1 lg x 4
2 1 ，
则 33x 2 2 1 x 4 2 1，解得 x 1或 x .
2
2
方法二 :根据题意，函数 f x lg x 1 ，其定义域为R ，
有 f x lg x2 1 f x ，即函数 f x 为偶函数，
设 t x2 1，则 y lgt ，
在区间 0, 上， t x2 1为增函数且 t 1， y lgt 在区间 1, 上为增函数，
则 f x lg x2 1 在 0, 上为增函数，
f 3x 2 f x 4 f 3x 2 f x 4 3x 2 x 4 ，
3
解得 x 1或 x ，故选：D．
2
4．已知图中曲线C1，C2，C3，C4 分别是函数 y loga x， y loga x， y log1 2 a x3 ，
y loga x的图像，则 a1，a2，a3，a4 4 的大小关系是（ ）
A． a4 a3 a2 a1 B． a3 a4 a1 a2
C． a2 a1 a3 a4 D． a3 a4 a2 a1
【答案】B
【解析】由对数的性质 loga a 1有： loga a1 1， loga a2 1， log1 2 a a3 3 1， loga a4 4 1
结合图像有：
a2 a1 a4 a3 ，故 A，C，D 错误.故选：B.
5．已知函数 f (x) lg(x2 4x 5)在 (a, )上单调递增，则 a的取值范围是（ ）
A． (2, ) B．[2, ) C． (5, ) D．[5, )
【来源】四川省成都外国语学校 2021-2022 学年高一下学期入学考试数学试题
【答案】D
【解析】由 x2 4x 5 0 得 x 5或 x 1
所以 f x 的定义域为 , 1 (5, )
因为 y x2 4x 5在 (5, )上单调递增
所以 f (x) lg(x2 4x 5)在 (5, )上单调递增
所以 a 5故选：D
log
6 e
x e x
．函数 2f (x) 的大致图像可以为（ ）
x
A． B．
C． D．
【来源】云南省曲靖市第二中学 2021-2022 学年高一下学期期末考试数学试题
【答案】C
f (x) {x R | x 0} log2 e
x ex
【解析】依题意，函数 的定义域为 ， f x f x ，
x
即 f x 为奇函数，选项 B，D 不满足；
当 x 1时， e x e x 单调递增，即 ex e x e e 1 1，恒有 f (x) 0 ，选项 A 不满足，C
满足.故选：C
7．已知函数 f x lg x 1 ，若 f a f b (a b) ，则（ ）
A． a 1 b 1 1 B． a 1 b 1 1
C． a 1 b 1 1 D．以上选项均有可能
【来源】辽宁省县级重点高中协作体 2021-2022 学年高一下学期期末考试数学试题
【答案】C
【解析】作出函数 f x lg x 1 的图象，如图：
由题意可知， lg a 1 lg b 1 ，且由图象可知， 1 a 0 b,ab 0，
所以即 lg a 1 lg b 1 lg a 1 b 1 0，
所以 a 1 b 1 1，即 ab a b 0 ， a b ab ，
即 a 1 b 1 ab a b 1 1 2ab 1，
故选：C
8．已知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，且在区间 ,0 上单调递减.若实数 a满足
f log2 a f log 1 a 2 f 2 ，则 a的取值范围是（ ）
2
A． , 4 B． 0, 4 1 1 C． 0, D． , 4 4 4
【来源】江西省抚州市临川第一中学暨临川第一中学实验学校 2021－2022 学年高一上
学期期末数学试题
【答案】D
【解析】∵ f x 是定义域为R 上的偶函数，且在区间 ,0 上单调递减
∴函数 f x 在区间 0, 上是单调递增函数，
∴不等式 f log2 a f log 1 a 2 f 2 ，
2
可化为 2 f log2 a 2 f 2 ，即 f log2 a f 2 ，
则 f log2 a f 2 ，又函数在区间 0, 上是单调递增函数，
∴ log2 a 2，即 2 log2 a 2，
1
解得 a 4 .4 故选：D
9．已知函数 f x log3 x2 1 ， g x x2 2x a，对于任意 x1 2, ，存在
x 12
,3 有 f x1 g x2 ，则实数 a的取值范围是（3 ）
A． ,1 B． , 2
C． , 2 14D． ,
9
【来源】江西省景德镇市第一中学 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】B
1
【解析】对于任意 x1 2, ，存在 x2 ,3 有 f (x1)≥ g(x2 )等价于 3
f x1 ]min g x2 ]min .
由 x 2，＋ 2，函数 f x ＝log3 x 1 单调递增，可得[ f x ]min＝f (2) 1．
g x x2 2x a x 1 ， ,3
3
，对称轴为 x 1，
x 1时， g(x)min g(1) a 1，
1 a 1，解得 a 2 .故选：B
10．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足
m – m 5 lg E12 1 2 E ，其中星等为 mk 的星的亮度为 Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，2
天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10 10.1
【来源】第 11 讲 对数-【暑假自学课】2022 年新高一数学暑假精品课（苏教版 2019 必
修第一册）
5 E
【答案】A 1两颗星的星等与亮度满足m2 m1 lg2 E ,令
m2 1.45,m1 26.7 ,
2
lg E1 2 m2 m
2
1 ( 1.45 26.7) 10.1,
E1 1010.1
E2 5 5 E
.故选 A.
2
11．函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，且在 0, 单调递增，若 a 30.1，b 0.13 ，
c log3 0.1，则（ ）
A． f a f b f c B． f b f c f a
C． f c f a f b D． f c f b f a
【来源】四川省巴中市 2021-2022 学年高一下学期期末数学试（文）题
【答案】C
【解析】由偶函数知 f c f log3 0.1 f log3 0.1 f log3 10 ，又1 a 30.1 2，
0 b 0.13 1， log3 10 2，
log 10 30.1显然 3 0.1
3
，又在 0, 单调递增，则 f c f a f b .
故选：C.
12．已知函数 f x x2 ln x2 1 f ax f 4x2，若不等式 1 恒成立，则实数 a 的
取值范围为（ ）
A． 2,2 B． 4,4 C． , 4 4,
D． , 2 2,
【答案】B【解析】因为函数 f x 满足 f x f x ，且定义域为 R，
所以函数 f x 为偶函数，且当 x 0时，函数 f x 单调递增，
故 f ax f 4x2 1 2可以变为 f ax f 4x 1 ，即 ax 4x2 1，
当 x 0时， a R ；
4x2 1
当 x 0时，可得 a x ．
4x2 1
又 4 x
1 2 4 x 1 4 x 1
x x x ，当且仅当 时取等号，2
所以 a 4，解得 4 a 4 .故选：B．
2
x a, x 4,
13．已知函数 f x 若 f (x) 存在最小值，则实数 a 的取值范围是（ ）
log2x, x 4,
A． ( ,4] B．[ 2, )
C． ( , 2) D． ( , 2]
【来源】贵州省威宁县 2021-2022 学年高一上学期高中素质教育期末测试数学试题
【答案】D
2x a, x 4,
【解析】∵函数 f x
log2x, x 4,
∴当 x 4时， f (x) 2x a 的范围是 ( a,16 a)；当 x 4时， f (x) log2 x ， f (x)min 2，
由题意 f (x) 存在最小值，则 a 2，
解得 a 2 .
故选：D．
14．定义在 R 上的偶函数 f (x) 满足对任意 x R ，有 f (x 2) f (x) f (1) ，且当 x [2,3]
时， f (x) x2 6x 9，若函数 y f (x) loga (x 1) 在 (0, )上至少有 3 个零点，则实
数 a的取值范围是（ ）
A． (
1
, e) B． ( ,0)
C． 0,
D．[0, )
3
【来源】福建省龙岩第一中学 2021-2022 学年高一上学期第三次月考数学试题
【答案】C
【解析】∵ f x 2 f x f 1 ，且 f x 是定义域为 R 的偶函数，
令 x 1可得 f 1 2 f 1 f 1 ，
又 f 1 f 1 ，∴ f 1 0，则有 f x 2 f x ，
∴ f x 是最小正周期为 2 的偶函数.
当 x 2,3 2时， f (x) x2 6x 9 x 3 ，开口向下，顶点为 3,0 的抛物线.
∵函数 y f (x) loga (x 1) 在 (0, )上至少有三个零点，
令 g x loga x 1 ，则 f x 的图象和 g x 的图象至少有 3 个交点.
∵ f x 0 ，当 a 1时， f x 的图象和 g x 的图象只有 1 个交点，故 0 a 1，
要使函数 y f (x) loga (x 1) 在 0, 上至少有三个零点，如图：
则有 g 2 f 2 ，可得 loga 2 1 f 2 1，
即 loga 3 1
1 1
，∴ 3 ，又 0 a 1，∴ 0 a .故选：C
a 3
二、多选题
15 f x log x2．已知函数 a 2x ，（ ）
A．该函数的定义域 x ,0 2,
B．当 a 1时，该函数的单增区间是 2,
C．当 0 a 1时，该函数的单增区间是 ,0
D．该函数的值域为 R
【来源】湖南省岳阳市第四中学 2021-2022 学年高一下学期第一次月考数学试题
【答案】ABCD
【解析】A选项， x2 2x 0，解得： x 2或 x 0 ，故函数的定义域 x ,0 2, ，
A 正确；
B 选项，当 a 1时，由于 f x logau 单调递增，故u x2 2x位于 x 轴上方的单调递增
区间即为该函数的单增区间，故该函数的单增区间是 2, ，B 正确；
C 选项，当 0 a 1时，由于 f x log 2au 单调递减，故u x 2x位于 x 轴上方的单调
递减区间即为该函数的单增区间，故该函数的单增区间是 ,0 ，C 正确；
D 选项，u x2 2x能取到 0, 的任何值，故该函数的值域为 R，D 正确.
故选：ABCD
x
2 2x 3, x 0
16．已知 f x ，则下列结论正确的是（ ）
ln x 2, x 0
A． f f 1 3
B．函数 f x 单调递增区间为 1,0 0,
C．当 4 k 3时，方程 f x k 有三个不等实根
D．当且仅当 k 3时，方程 f x k 有两个不等实根
【来源】广东省汕尾市 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】AC
2
【解析】A： f (1) 2，所以 f f 1 f 2 2 2 2 3 3，故 A 正确；
B：作出函数 f (x) 的图象，如图，由图象可知，函数 f (x) 在 ( 1,0) 和 (0, )上单调递增，
但不连续，所以不能用“ ”的符号，故 B 错误；
C：由图象可知，当 4 k 3时，函数 y f (x) 与 y k 的图象有 3个交点，方程 f (x) k
有 3 个不等的实根，故 C 正确；
D：由图象可知，当 k 3或 k 4 时，函数 y f (x) 与 y k 的图象有 2 个交点，方程
f (x) k 有 2 个不等的实根，故 D 错误；
故选：AC.
17 f x log mx2．已知函数 2 2x m 1 ，m R，则下列说法正确的是（ ）
1 5
A．若函数 f x 的定义域为 R ，则实数m 的取值范围是 , 2
B．若函数 f x 的值域为 1, ，则实数m 2
C．若函数 f x 在区间 2, 上为增函数，则实数m 的取值范围是 0,
D．若m 0，则不等式 f x 1 的解集为 x x 3
2
【来源】重庆市第八中学 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】ABC
【解析】A 选项：因为 f x 的定义域为 R ，所以mx2 2x m 1 0恒成立，则
m 0 1 5
Δ 4 4m m 1 0
，解得：m ，故正确；
2
m 0
f x 1, mx2 2x m 1 1 B 选项：因为 的值域为 ，所以 ，所以
2 m
2 m 1 1 ，
m 2
解得m 2 ，故正确；
C 选项：因为函数 f x 在区间 2, 上为增函数，由复合函数的单调性可知：
m 0
1
2 ，解得m 0，故正确；
m
4m 4 m 1 0
D 选项：当m 0时， f x log2 2x 1
x
1
，由 f x 1，可得0 2x 1 2
2
，解
1 x 3得： ，故错误；
2 2
故选：ABC.
18．已知函数 f x ln x ln 2 x ，则下列四个命题中正确命题的个数是（ ）
A．在 0,1 上单调递减 B． 1,2 上单调递减
C． y f x 的图象关于直线 x 1对称 D． y f x 的值域为 0,
【来源】江西省宜春市铜鼓中学 2021-2022 学年高一下学期开学考数学试题
【答案】BC
x 0
【解析】对于函数 f x ln x ln 2 x ，有 ，解得0 x 22 x 0 ，
所以，函数 f x 的定义域为 0,2 ，且 f x ln 2x x2 .
对于 AB 选项，内层函数u 2x x2 在 0,1 上单调递增，在 1,2 上单调递减，
由于外层函数 y ln u 为增函数，故函数 f x 在 0,1 上单调递增，在 1,2 上单调递减，
A 错 B 对；
对于 C 选项， f 2 x ln 2 x ln 2 2 x ln 2 x ln x f x ，
所以，函数 y f x 的图象关于直线 x 1对称，C 对；
2
对于D选项，当0 x 2时， 2x x2 x 1 1 0,1 ，故 f x ln 2x x2 ,0 ，
D 错.故选：BC.
19．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个
鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定
义：圆 O 的圆心在原点，若函数的图像将圆 O 的周长和面积同时等分成两部分，则这
个函数称为圆 O 的一个“太极函数”，则（ ）
A．对于圆 O，其“太极函数”有 1 个
x2 x x 0
B．函数 f x
x
2 x x 0 是圆 O 的一个“太极函数”
C 3．函数 f x x 3x不是圆 O 的“太极函数”
D．函数 f x ln x2 1 x 是圆 O 的一个“太极函数”
【来源】山东省东营市广饶县第一中学 2021-2022 学年高一下学期开学考试数学试题
【答案】BD
【解析】：对于 A 选项，圆 O，其“太极函数”不止 1 个，故错误；
x2 x x 0
对于 B 2选项，由于函数 f x 2 ，当 x 0 时， f x x x f
x
x x x 0
，
x22 x x 0
当 x 0 时， f x x x f x ，故 f x
x
2 x x 0 为奇函数，故根据对称
2
性可知函数 f x
x x x 0
2
x x x 0
为圆 O 的一个“太极函数”，故正确；
3
对于 C 选项，函数定义域为R ， f x x 3x f x ，也是奇函数，故为圆 O 的
一个“太极函数”，故错误；
对于 D 选项， 函数定义域为R ，
f x ln x2 1 1 x ln ln x2 1 x f x ，故为奇函数，故函
x2 1 x
数 f x ln x2 1 x 是圆 O 的一个“太极函数”，故正确.
故选：BD
三、填空题
20．函数 f (x) 4 loga (x 1) ( a 0且a 1)的图象恒过定点_________
【来源】山西省长治市第四中学校 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】 2,4
【解析】解：因为函数 f (x) 4 loga (x 1) ( a 0且a 1)，
令 x 1 1，解得 x 2，所以 f 2 4 loga 1 4，即函数 f x 恒过点 2,4 ；
故答案为： 2,4
21 f x ln x2．函数 5x 6 的定义域是__________．
【来源】云南省昆明市 2021-2022 学年高一下学期期末质量检测数学试题
【答案】 2,3
2
【解析】对于函数 f x ln x 5x 6 ，由 x2 5x 6 0 ，即 x2 5x 6 0，解得
2 x 3 .因此，函数 f x 的定义域为 2,3 .故答案为： 2,3 .
22 2．函数 f x lg 2mx 3x 4 的值域为R ，则实数m 的取值范围为______．
【来源】中原名校 2021-2022 学年高一上学期 12 月第三次大联考数学试题
9
【答案】 0, 32
2
【解析】解：由题可知，函数 f x lg 2mx 3x 4 的值域为R ，
令u 2mx2 3x 4，由题意可知 0, 为函数u 3x 4的值域的子集.
①当m 0时，u 3x 4，此时 f x lg 3x 4 ，
函数u 3x 4的值域为R ，合乎题意；
②当m 0 时，若 0, 为函数u 2mx2 3x 4的值域的子集，
m 0 9
则 Δ ，解得
0 m .
9 32m 0 32
9
综上所述，实数m 的取值范围是 0, 32 ．
故答案为： 0,
9
．
32
23．设函数 f x log x20.5 2x 3 ，则 f x 的单调递增区间为_________．
【来源】河北省唐县第一中学 2021-2022 学年高一下学期 5 月月考数学试题
【答案】 , 1
2
【解析】记u x x 2x 3，
因为 y log0.5 u 为减函数，所以当 y f (x) 单调递增时， y u(x)单调递减，
由u x x2 2x 3 0得 x 3或 x –1，
又当 x 1时， y u(x)单调递减.
故 x –1．
故答案为： – , 1 .
24 x2．若不等式 loga (x 1)+4x 4在 x 1, 2 上恒成立，则实数 a 的取值范围为____.
【来源】甘肃省张掖市 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】 1,2
2
【解析】： x loga (x 1) 4x 4
2
变形为： x 4x 4 loga (x 1)，即
x 2 2 loga (x 1)在 x 1,2 上恒成立．
2
令 f x loga (x 1) ， g x x 2
若 0 a 1，此时 f x loga (x 1) 在 x 1, 2 上单调递减，
f x loga (x 1) log (1 1) 0 x 1, 2 2a ，而当 时， g x x 2 0，显然不合题意；
当 a 1时，画出两个函数的图象，
要想满足 x 2 2 loga (x 1)在 x 1, 2 上恒成立，只需 f 1 g 1 ，即
loga 2 1 loga a ，解得：1 a 2．
综上：实数 a 的取值范围是 1,2 .故答案为： 1, 2
x
25．已知 f x 2 a 为奇函数， g x ln x2 b ，若对 x1 x2 R ， f x1 g x2 恒2x 1
成立，则 b 的取值范围为___________.
【来源】河南省信阳市信阳高级中学 2021-2022 学年高一下学期第一次月考数学（文科）
试题
【答案】 , e
1 a
【解析】 f x 的定义域为R ， f x 为奇函数，所以 f 0 0 a 1，
2
x
f x 2 1 2
x 1 2
所以 x x 1
2
x ，2 1 2 1 2 1
2x 1 1 2 2 2 1,
2x
0,1 , x 0,2 , x 2,0 ，1 x 1,1 ， 1 2 1 2 1 2 1
所以 f x 的值域为 1,1 .对于函数 g x ， g x 的定义域为 R ，所以 x2 b 0恒成立，
所以b x2 恒成立，所以b 0，此时 x2 b 2 b， ln x b ln b ，
所以 g x 的值域为 ln b , ，由于对 x1 x2 R ， f x1 g x2 恒成立，
所以 ln b 1 ln e, b e,b e，所以b 的取值范围是 , e . 故答案为： , e
四、解答题
x x
26 e e．已知函数 f x .
ex e x
(1)判断函数 f x 的奇偶性，并进行证明；
(2)若实数 a满足 2 f log2 a f log 1 a f 1 0，求实数 a的取值范围.
2
【来源】云南省德宏州 2021-2022 学年高一上学期期末统一监测数学试题
【答案】(1) f x 为奇函数，证明见解析(2) 0,2
【解析】(1) f x 为奇函数，证明如下：
x x
f x 定义域为R ， f x e e
ex e x
f x ，
f x 为定义在R 上的奇函数.
ex e x e
x 1 x e2x f x e 1 2(2)
ex x
1 2x 1 2x ， e ex e 1 e 1
ex
又 y e2x 1在R 上单调递增， f x 在R 上单调递增；
由（1）知： f x f x ，
log 1 a log2 a ， f log 1 a f log2 a f log2 a ，
2 2
2 f log2 a f log 1 a f 1 f log2 a f 1 0，即 f log2 a f 1 f 1 ，
2
log2 a 1，解得：0 a 2 ，即实数 a的取值范围为 0,2 .
x x
27．已知函数 f (x) log2 log2 2
．
4
(1)求函数 f（x）的值域；
(2)若 f (x1) f (x2 ) m ，且 x2 4x1 0 ，求实数 m 的取值范围．
【来源】云南省保山市 2021-2022 学年高一下学期期末质量监测数学试题
1
【答案】(1) ,
1
(2) ( , 2)
4 4
【解析】(1)因为 f (x) 定义域为 x (0, ) ，
则 f (x) (log2 x 1)(log2 x 2) log2 x
2 3log2 x 2
设 log2 x t R，
g(t) t 2 3t 2 (t 3)2 1 1令 ，
2 4 4
1
所以 f (x)
值域为 ,
4
(2)设 log2 x1 t1 ， log2 x2 t2因为 x2 4x1 0 所以 log2 x2 log2 4x1
即 log2 x2 log2 x1 2，即 t2 t1 2，所以 t2 t1 2
则 g(t) t 2 3t 2 m的两根为 t1, t2
整理得 t 2 3t 2 m 0
1
因为 ( 3)2 4 1 (2 m) 0解得m 再由韦达定理可得:
4
t1 t2 2
t ·t m 2则 t2 t1 (t t )
2
1 2 4t
2
1
t2 2 4(m 2) 12 4m 2
1 2
1
解得m 2综上，m ( , 2)
4
28．已知函数 y f x 是 R 上的偶函数，且当 x 0时， f x log 1 1 x x .
2
(1)求 f 1 的值；
(2)求函数 y f x 的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）；
(3)若 f lga 2 0，求实数 a的取值范围.
【来源】云南省寻甸一中、昆明西联学校阳宗海学校 2021-2022 学年高一上学期期末联
考数学试题
【答案】(1) 2 (2)答案见解析(3) 0,
1
10,
10
【解析】(1)因为 y f x 是 R 上的偶函数，所以 f 1 f 1 log 1 2 1 2 .
2
(2)当 x 0时，则 x 0，则 f x log 1 1 x x f x ，
2
故当 x 0时， f x log 1 1 x x ，
2
log 1 (1 x) x, x 0
f (x) 2故 ，
log 1 (1 x) x, x 0
2
故 f x 的单调递增区间为 ,0 ，单调递减区间为 0, .
(3)若 f lga 2 0，即 f lga 2 f 1 ，即 f lga f 1
因为 f x 在 0, 单调递减，所以 lg a 1，
故 lga 1或 lga 1
1 1
，解得：0 a 或 a 10，即 a 0,
10, .10 10
1 ax
29．已知函数 f (x) log2 的图象关于原点对称，其中 a为常数．x 1
(1)求 a的值；
(2)当 x [2, 4]时， f (x) log2 (x k) 恒成立，求实数 k 的取值范围．
【答案】(1) a 1 (2) k 1
f (x) log 1 ax 1 ax【解析】(1)函数 2 的图象关于原点对称，则函数 f (x) log 为奇函x 1 2 x 1
数，有 f ( x) f (x) ，
即 log
1 ax
2 log
1 ax
2 ，解得 a 1，当 a 1时，不满足题意，所以 a 1；x 1 x 1
(2)由 f (x) log2 (x k) ，得 log
1 x log (x k) x 12 2 ，即 k x，x 1 x 1
g(x) x 1 2令 x 1 x，易知 g(x)在 x [2, 4]上单调递减，
x 1 x 1
则 g(x)的最大值为 g(2) 1.又因为当 x 2,4 时， f (x) log2 (x k) 恒成立，
k x 1即 x在 x 2,4 恒成立，所以 k 1.
x 1
30．已知函数 f (x) log 1 (x
2 mx m).
2
(1)若 m＝1，求函数 f（x）的定义域;
(2)若函数 f（x）在区间 ( ,1 3)上是增函数，求实数 m 的取值范围．
1 5 1 5
【答案】(1) ( , ) ( , ) (2) 2 2 3, 2 2 2
【解析】(1)若 m＝1，则 f (x) log
2
1 (x x 1)
2
要使函数有意义，需 x2 x 1 0 x∈ ( ,1 5 ) 1 5 ，解得 ( , )
2 2
∴若 m 1 1 5 1 5＝ ，函数 f（x）的定义域为 ( , ) ( , )．
2 2
(2)若函数 f x 在区间 ,1 3 上是增函数，
则 y x2 mx m在区间 ,1 3 上是减函数且 x2 mx m 0在区间 ,1 3 上
m 2
恒成立，∴ ≥1 3 ，且 1 3 m 1 3 m 0，即m 2 2 3且m 2 .2
m 2 2 3, 2
31．已知函数 f x log2 x a (a 0），当点 M（x，y）在函数 g（x）的图象上运动时，
对应的点M (3x, 2y)在 f（x）的图象上运动，则称 g（x）是 f（x）的相关函数．
(1)解关于 x 的不等式 f x 1；
(2)若对任意的 x 0,1 ，f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，求 a 的取值范围；
(3)设函数F x f x g x ， x 0,1 ，当 a 1时，求|F（x）|的最大值．
【来源】湖北省恩施州高中教育联盟 2021-2022 学年高一下学期期中数学试题
3
【答案】(1){x∣ a x 2 a} (2)（0，1](3) log23 2
x a 0
【解析】(1)解：依题意得 ，
log2 x a 1
x a 0
则 x a 2，
所以 a x 2 a ，
所以原不等式的解集为{x∣ a x 2 a}．
1
(2)由题意得 2y log2 3x a ，所以 y log2 3x a ，2
1
所以 f（x）的相关函数为 g x log 3x a ．
2 2
依题意，对任意的 x 0,1 ，f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，
即当 x 0,1 时， f x g x log2 x a
1
log2 3x a 0 恒成立①．2
x a 0
由 ，对任意的 x 0,1 总成立， a 0，结合题设条件有 a 0
3x
，
a 0
2
在此条件下，①等价于当 x 0,1 时， log2 x a 即 x a 2 3x a 2 2，即 x 2a 3 x a a 0 ．
h x x2设 2a 3 x a2 a ，
要使当 x 0,1 时， h x 0恒成立，
h 0 0 a2 a 0
只需
h 1 0
，即 2 成立，
a a 2 0
解得0 a 1，即 a 的取值范围是（0，1]．
(3)由（2）可得当 a 1时，在区间（0，1）上， f x g x ，
即 | F x |
1
g x f x log 3x 1
2 2 x 1 2 ．
t 3x 1
2
设 2 (t 0) 1 x 1 x 1 ，则 ．t 3x 1
令3x 1 u 1 u 4 x u 1，则 ，
3
u 2
2
所以1
3
1
，
u
4
4
t 9 u
4
因为u 4（当且仅当u 2时，等号成立），
u
1 8 1
可得 ，当 x 时，等号成立，
t 9 3
满足 x 0,1 9，则 t 的最大值为 ，
8
1 9 3
所以|F（x）|的最大值是 log2 log2 8 2
3 ．
2专题 4.4 对数函数
1 对数函数
(1)对数函数的概念
函数 = ( > 0 , ≠ 1)叫做对数函数，其中 是自变量，定义域是(0, + ∞).
解释
函数 = 中系数为1，底数是不为1正实数的常数，真数为变量 .
(2)图像与性质
> 1 0 < < 1
图像
定义域 (0 , + ∞)
值域
过定点 (1 , 0)
奇偶性 非奇非偶
单调性 在(0 , +∞)上是增函数 在(0 , +∞)上是减函数
变化对图像 在第一象限内， 越大图象越靠低；
的影响 在第四象限内， 越大图象越靠高．
可与指数函数就函数的定义域、值域、单调性等函数性质进行比较学习.
3 对数型函数模型
形如 = · ( ，且 ≠ 0； > 0，且 ≠ 1)的函数称为对数型函数．
4 反函数
指数函数 = ( > 0,且 ≠ 1)与对数函数 = ( > 0 , ≠ 1)互为反函数.
它们的图象关于直线 = 对称，定义域与值域相反.
比如 = 2 与 = log2 互为反函数.
一、单选题
1．函数 y log2 (x
2 2x 3) 的单调递减区间是
A． ( , 3) B． (1, ) C． ( , 1) D． ( 1, )
2．已知 a 5 1，b log4 32， c log0.5 5，则 a,b,c的大小关系为（ ）
A． a b c B． a c b
C．b a c D．b c a
3．设函数 f x lg x2 1 ，则使得 f 3x 2 f x 4 成立的 x 的取值范围为
（ ）
1 3
A． ,1 B． 1,
3 2
3 3
C ． , D． , 1 ,
2 2
4．已知图中曲线C1，C2，C3，C4 分别是函数 y loga x， y loga x， y loga x1 2 3 ，
y loga x的图像，则 a1，a2，a ，a4 3 4 的大小关系是（ ）
A． a4 a3 a2 a1 B． a3 a4 a1 a2
C． a2 a1 a3 a4 D． a3 a4 a2 a1
5．已知函数 f (x) lg(x2 4x 5)在 (a, )上单调递增，则 a的取值范围是（ ）
A． (2, ) B．[2, ) C． (5, ) D．[5, )
log ex e x6 ．函数 2f (x) 的大致图像可以为（ ）
x
A． B．
C． D．
7．已知函数 f x lg x 1 ，若 f a f b (a b) ，则（ ）
A． a 1 b 1 1 B． a 1 b 1 1
C． a 1 b 1 1 D．以上选项均有可能
8．已知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，且在区间 ,0 上单调递减.若实数 a满足
f log2 a f log 1 a 2 f 2 ，则 a的取值范围是（ ）
2
, 4 0, 4 0, 1 1A． B． C． D． , 4
4 4
9．已知函数 f x log3 x2 1 ， g x x2 2x a，对于任意 x1 2, ，存在
x 1 ,3 2 有 f x1 g x2 ，则实数 a的取值范围是（3 ）
A． ,1 B． , 2
14
C． , 2 D ． ,
9
10．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足
m 5 E2 – m1 lg 12 E ，其中星等为 mk 的星的亮度为 Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，2
天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10 10.1
11．函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，且在 0, 单调递增，若 a 30.1，b 0.13 ，
c log3 0.1，则（ ）
A． f a f b f c B． f b f c f a
C． f c f a f b D． f c f b f a
12．已知函数 f x x2 ln x2 1 ，若不等式 f ax f 4x2 1 恒成立，则实数 a 的
取值范围为（ ）
A． 2,2 B． 4,4 C． , 4 4,
D． , 2 2,
2x a, x 4,
13．已知函数 f x 若 f (x) 存在最小值，则实数 a 的取值范围是（ ）
log2x, x 4,
A． ( ,4] B．[ 2, )
C． ( , 2) D． ( , 2]
14．定义在 R 上的偶函数 f (x) 满足对任意 x R ，有 f (x 2) f (x) f (1) ，且当 x [2,3]
时， f (x) x2 6x 9，若函数 y f (x) loga (x 1) 在 (0, )上至少有 3 个零点，则实
数 a的取值范围是（ ）
A． ( , e) B． ( ,0)
C． 0,
1
D．[0, )
3
二、多选题
15．已知函数 f x loga x2 2x ，（ ）
A．该函数的定义域 x ,0 2,
B．当 a 1时，该函数的单增区间是 2,
C．当 0 a 1时，该函数的单增区间是 ,0
D．该函数的值域为 R
x
2 2x 3, x 0
16．已知 f x ，则下列结论正确的是（ ）
ln x 2, x 0
A． f f 1 3
B．函数 f x 单调递增区间为 1,0 0,
C．当 4 k 3时，方程 f x k 有三个不等实根
D．当且仅当 k 3时，方程 f x k 有两个不等实根
17 2．已知函数 f x log2 mx 2x m 1 ，m R，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数 f x
1 5
的定义域为 R ，则实数m 的取值范围是 ,
2
B．若函数 f x 的值域为 1, ，则实数m 2
C．若函数 f x 在区间 2, 上为增函数，则实数m 的取值范围是 0,
3
D．若m 0
，则不等式 f x 1的解集为 x x
2
18．已知函数 f x ln x ln 2 x ，则下列四个命题中正确命题的个数是（ ）
A．在 0,1 上单调递减 B． 1,2 上单调递减
C． y f x 的图象关于直线 x 1对称 D． y f x 的值域为 0,
19．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个
鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定
义：圆 O 的圆心在原点，若函数的图像将圆 O 的周长和面积同时等分成两部分，则这
个函数称为圆 O 的一个“太极函数”，则（ ）
A．对于圆 O，其“太极函数”有 1 个
x
2 x x 0
B．函数 f x
2 是圆 O 的一个“太极函数”
x x x 0
C．函数 f x x3 3x不是圆 O 的“太极函数”
D．函数 f x ln x2 1 x 是圆 O 的一个“太极函数”
三、填空题
20．函数 f (x) 4 loga (x 1) ( a 0且a 1)的图象恒过定点_________
21．函数 f x ln x2 5x 6 的定义域是__________．
23 2．设函数 f x log0.5 x 2x 3 ，则 f x 的单调递增区间为_________．
24 2．若不等式 x loga (x 1)+4x 4在 x 1, 2 上恒成立，则实数 a 的取值范围为____.
x
25．已知 f x 2 a x 为奇函数， g x ln x2 b ，若对 x1 x2 R ， f x1 g x2 恒2 1
成立，则 b 的取值范围为___________.
四、解答题
x x
26．已知函数 f x e e .
ex e x
(1)判断函数 f x 的奇偶性，并进行证明；
(2)若实数 a满足 2 f log2 a f log 1 a f 1 0，求实数 a的取值范围.
2
x x
27．已知函数 f (x) log2 log2 2
．
4
(1)求函数 f（x）的值域；
(2)若 f (x1) f (x2 ) m ，且 x2 4x1 0 ，求实数 m 的取值范围．
28．已知函数 y f x 是 R 上的偶函数，且当 x 0时， f x log 1 1 x x .
2
(1)求 f 1 的值；
(2)求函数 y f x 的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）；
(3)若 f lga 2 0，求实数 a的取值范围.
f (x) log 1 ax29．已知函数 2 的图象关于原点对称，其中 a为常数．x 1
(1)求 a的值；
(2)当 x [2, 4]时， f (x) log2 (x k) 恒成立，求实数 k 的取值范围．
30．已知函数 f (x) log 1 (x
2 mx m).
2
(1)若 m＝1，求函数 f（x）的定义域;
(2)若函数 f（x）在区间 ( ,1 3)上是增函数，求实数 m 的取值范围．
31．已知函数 f x log2 x a (a 0），当点 M（x，y）在函数 g（x）的图象上运动时，
对应的点M (3x, 2y)在 f（x）的图象上运动，则称 g（x）是 f（x）的相关函数．
(1)解关于 x 的不等式 f x 1；
(2)若对任意的 x 0,1 ，f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，求 a 的取值范围；
(3)设函数F x f x g x ， x 0,1 ，当 a 1时，求|F（x）|的最大值．
