专题 4.5 函数应用
1．函数的零点
(1)定义：对于函数 y＝f(x)，我们把使 f(x)＝0 成立的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点．
(2)几何意义：函数 y＝f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标就是函数 y＝f(x)的零点．
(3)结论：方程 f(x)＝0 有实数根 函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点 函数 y＝f(x)有零点.
2。函数零点的判定定理
条件 结论
函数 y＝f(x)在[a，b]上
(1)图象是连续不断的曲线 y＝f(x)在(a，b)内有零点
(2)f(a)f(b)< 0
3．四种函数模型的性质
函数 y＝ax y＝logax y＝xn y＝kx＋b
性质 (a＞1) (a＞1) (n＞0) (k＞0)
在(0，＋∞)
增函数 增函数 增函数 增函数
上的增减性
增长的速度 越来越快 越来越慢 相对较快 不变
图象的变化 越来越陡 越来越平 随 n 值而不同 直线上升
4．三种增长函数模型的比较
(1)指数函数和幂函数．
一般地，对于指数函数 y＝ax(a＞1)和幂函数 y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间
(0，＋∞)上，无论 n 比 a 大多少，尽管在 x 的一定变化范围内，ax会小于 xn，但由于 ax
的增长快 xn的增长，因此总存在一个 x0，当 x＞x0时，就会有 ax>xn.
(2)对数函数和幂函数．
对于对数函数 y＝logax(a＞1)和幂函数 y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着 x 的增大，
logax 增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与 x 轴平行一样，尽管在 x 的一定变化范围
内，logax 可能会大于 xn，但由于 logax 的增长慢于 xn的增长，因此总存在一个 x0，当 x
＞x0时，就会有 logax＜xn.
(3)指数函数、对数函数和幂函数．
在区间(0，＋∞)上，尽管函数 y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和 y＝xn(n＞0)都是增函数，
但它们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着 x 的增大，y＝ax(a＞1)的增长
速度越来越快，会超过并远远大于 y＝xn(n＞0)的增长速度，而 y＝logax(a＞1)的增长速
度则会越来越慢，因此总存在一个 x0，当 x＞x0时，就会有 logax＜xn＜ax.
1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由图象可知，BD 选项中函数无零点，AC 选项中函数有零点，C 选项中函数
零点两侧函数值符号相同，A 选项中函数零点两侧函数值符号相反，故 A 选项中函数
零点可以用二分法求近似值，C 选项不能用二分法求零点.故选：A
x
2 , x 0
2．已知函数 f x ＝ x ，若函数 g(x) f (x) b, x 0 有两个零点，则实数
b 的取值
2 1 ＜
范围是( )
A．0 b 1 B．b 0
C． 2 b 0 D． 1 b 0
【答案】D
【解析】如图，作出 f(x)图像，
函数 g(x) f (x) b有两个零点，等价于 y＝f(x)与 y＝b 图像有两个交点，
则 1 b 0 ．
故选：D．
3．函数 f (x) lg x x 3的零点所在区间为（ ）
A．( 0, 1) B． (1, 2) C． (2,3) D． (3, 4)
【答案】C
【解析】：因为 y lg x 与 y x 3在定义域上单调递增，
所以 f (x) lg x x 3在定义域 0, 上单调递增，
又 f 1 lg1 1 3 2 0 ， f 2 lg 2 2 3 1 lg 2 0，
f 3 lg 3 3 3 lg3 0，
即 f 2 f 3 0 ，所以 f (x) 的零点位于 2,3 内；故选：C
4．基本再生数R0 与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染
者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始
I t ert阶段，可以用指数模型： 描述累计感染病例数 I t 随时间 t（单位：天）的变
化规律，指数增长率 r与R0 ，T近似满足R0 1 rT .有学者基于已有数据估计出R0 3.28，
T 6 .据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数是原来的 4 倍需要的时间约为
（参考数值： ln 2 0.69 ）（ ）
A．0.9 天 B．1.8 天 C．1.2 天 D．3.6 天
【答案】D
【解析】把R0 3.28，T 6代入R0 1 rT ，可得 r 0.38， I (t) e0.38t ，
当 t 0时， I (0) 1，则 e0.38t 4 ，
2ln 2
两边取对数得 0.38t 2ln 2，解得 t 3.6 D0.38 ．故选：
5．已知x ，x x1 2分别是方程 e x 2 0， ln x x 2 0的根，则 x1 x2 （ ）
A．1 B．2 C． 2 D． 2 1
【答案】B
【解析】由题意可得x1是函数 y e
x 的图象与直线 y x 2交点A 的横坐标，x2是函数
y ln x 图象与直线 y x 2交点 B 的横坐标，
因为 y ex 的图象与 y ln x 图象关于直线 y x 对称，而直线 y x 2也关于直线 y x
对称，所以线段 AB 的中点就是直线 y x 2与 y x 的交点，
y x x 1
由 ，得 ，即线段 AB 的中点为 (1,1)
y x
，
2 y 1
x1 x所以 2 1，得 x1 x2 2，故选：B2
6．若函数 f x 唯一的一个零点同时在区间 0,16 ， 0,4 ， 0,2 内，那么下列命题中
正确的是（ ）
A．函数 f x 在区间 0,1 内有零点
B．函数 f x 在区间 0,1 或 1,2 内有零点
C．函数 f x 在区间 2,16 上无零点
D．函数 f x 在区间 1,16 内无零点
【答案】C
【解析】由题意，函数 f x 唯一的一个零点在 0,2 内，则函数在 2, 上无零点，但
零点与1的大小未知，排除 A，B ，D 选项，故选：C
7．某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 y（毫
克）与时间 x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y 与 x 成反比例（如图），现测得药物
10 分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为 8 毫克．研究表明，当空气中每立方
米的含药量不低于 4 毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（ ）
A．11 分钟 B．12 分钟 C．15 分钟 D．20 分钟
【答案】C
【解析】当0 x 10时，设 y kx ，
将点 (10,8) 代入 y kx
4
得：10k 8，解得 k ，
5
y 4 x a则此时 ，当 x 10 时，设 y ，
5 x
将点 (10,8)
a 80
代入 y 得： a 10 8 80，则此时 y ，
x x
4
x 0 x 10 5
综上， y 80 ， (x 10)
x
4
当0 x 10时， x 4，解得 x 5，
5
当 x 10
80
时， 4，解得 x = 20，
x
则当 y 4时，5 x 20，
所以此次消毒的有效时间是 20 5 15（分钟），故选：C．
2 x 1, x 2
8．已知函数 f x 2 ，则方程 f f x 1的实数根的个数为（ ）
, x 2 x 1
A． 7 B．5 C．3 D． 2
【答案】B
【解析】令 f (x) t ，则 f (t) 1，
①当 t 2 时， 2|t | 1 1， 2|t | 2， | t | 1，即 t 1，
2
②当 t 2时， 1， t 3t 1 ，
画出函数 f (x) 的图象，如图所示，
若t 1，即 f (x) 1，无解；
若 t 1，直线 y t 1与 y f (x) 的图象有 3 个交点，即 f f x 1有 3 个不同实根；
若 t 3，直线 y t 3与 y f (x) 的图象有 2 个交点，即 f f x 1有 2 个不同实根；
综上所述，方程 f [ f (x)] 1的实数根的个数为 5 个，故选：B．
9 x．若关于 x 的方程 4 a 4 2x 4 0在 1, 2 上有实数根，则实数 a的取值范围是
（ ）
25A
25
． , 8 B． , C． 25, 8 D． 8, 2 2
【答案】A
x 1, 2 t 2x 1【解析】当 时，令 , 4
2
，则 t a 2 t 4 0，可得 2
a 4 2 t ，
t
4 1 1
设 g t t ，其中 t , 4 ，任取 t 、 t , 4 ，t 2 1 2 2
则 g
4 4 4 t t t tt t t 4 1 g t2 t1 t2 t t 1 2 1 2 1 21 2 .
t1 t2 t1t2 t1t2
1 1
当 t t 2时， t t 4，则 g t g t 0，即 g t g t ，
2 1 2 4 1 2 1 2 1 2
4 1
所以，函数 g t t 在 , 2
t 2
上为减函数；
当2 t1 t2 4 时， 4 t1t2 16，则 g t1 g t2 0，即 g t1 g t2 ，
4
所以，函数 g t t 在 2, 4 上为增函数.
t
g t g 2 4 g 1 17所以， ， g 4min ， 5，则 g t
1 17
g
2 2 max
，
2 2
g t t 4 1 17 故函数 在 , 4t 2 上的值域为
4,
2
，
所以， 4
17 25
a 4 ，解得 a 8 .故选：A.
2 2
10．已知函数 y f x 在区间 a,b 上的图像是连续不断的，则“ f a f b 0 ”是“函数
y f x 在区间 a,b 内有零点”（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由零点存在性定理，可知充分性成立；
反之，若函数 y x2 在 1,1 上满足 f 1 f 1 0 ，但其有零点 x 0，故必要性不成立；
所以“ f a f b 0 ”是“函数 y f x 在区间 a,b 内有零点”的充分不必要条件故选：A
11．若关于 x 的方程 x(|x | a) 1有三个不同的实数解，则实数 a 的可能取值（ ）
A．－5 B．－2 C．2 D．3
【答案】A
【解析】因为 x 0不是方程的解,
所以方程可变形为 | x | a
1
,
x
可考虑函数 y | x | a与 y
1
x 的图象共有三个公共点
,
如图，
当 a 0时，仅 1 个公共点，不符合；
1
当 a 0时，结合图象，由方程 x a (x 0) 有一解，可得 a 2 ，
x
所以 a 2 符合要求.故选：A
ln x
, x 0
12．已知 f x ，若方程 f (x) m(m R)有四个不同的实数根x ，
2 x 4x 5, x 1
1
x2， x3 ， x4，则 x1 x2 x3 x4 的取值范围是（ ）
A．（3，4） B．（2，4） C．[0，4） D．[3，4）
【答案】D
【解析】由方程 f (x) m(m R)有四个不同的实数根，
得函数 y f (x) 的图象与直线 y m有四个不同的交点，分别作出函数 y f (x) 的图象
与直线 y m．
由函数 f (x) 的图象可知，当两图象有四个不同的交点时，1 m 2．
设 y m与 y | ln( x) | (x 0)交点的横坐标为x1，x2，设 x1 x2，则 x1 1， 1 x2 0，
由 ln x1 ln x2 得 ln x1 ln x2 ，所以 x1 x2 1，即 x1x2 1．
设 y m与 y x2 4x 5(x 1)的交点的横坐标为 x3 ， x4，
设 x3 x4，则1 x3 2， 2 x4 3，且 x3 x4 4，
所以 x3x4 x3 4 x3 x 2
2
3 4 [3, 4) ，则 x1x2x3x4 [3, 4) ．故选：D.
二、多选题
13．下列说法正确的是（ ）
A．已知方程 ex 8 x的解在 k, k 1 k Z 内，则 k 1
B 2．函数 f x x 2x 3的零点是 1,0 ， 3,0
C．方程 x2 2ax a2 4 0的一个实根在区间 1,0 内，另一个实根大于 2，则实数 a
的取值范围是1 a 2 .
D．若函数 y f (x) 在区间 (a , b ) 上有零点，则一定有 f (a) f (b) 0
【答案】AC
【解析】对于 A，令 f (x) ex x 8，显然 f (x) 为增函数，
因为 f (1) e 1 8 e 7 0， f (2) e2 2 8 e2 6 0，
所以 f (x) 在 (1, 2)内有唯一零点，所以方程 ex 8 x在 (1, 2)内有唯一解，
因为方程 ex 8 x的解在 k, k 1 k Z 内，所以 k 1，故 A 正确；
对于 B，令 f (x) x2 2x 3 0 ，得 x 1或 x 3，
2
所以函数 f x x 2x 3的零点是 1和3，故 B 不正确；
f ( 1) 0 1 2a a2 4 0
对于 C，令 f (x) x2 2ax a2 4，依题意可得 f (0) 0 2，即 a 4 0 ，
f (2) 0 4 4a a
2 1 0
解得1 a 2 ，故 C 正确；
对于 D，因为 f (x) (x 1)(x 2)在 (0,3)上有两个零点，但是 f (0) f (3) 2 2 4 0，
故 D 不正确；故选：AC
14．已知函数 y f x 的图象在区间 0,1 上是一条连续不断的曲线，则下列结论正确的
是（ ）
A．若 f 0 f 1 0，则 y f x 在 0,1 内至少有一个零点
B．若 f 0 f 1 0，则 y f x 在 0,1 内没有零点
C．若 y f x 在 0,1 内没有零点，则必有 f 0 f 1 0
D．若 y f x 在 0,1 内有唯一零点， f 0 f 1 0，则 f x 在 0,1 上是单调函数
【答案】AC
【解析】因为 f (x) 在[0，1]上连续，
A ． f (0) f （1） 0，由零点存在定理可知， y f (x) 在( 0, 1)内至少有一个零点，故正
确；
B ．当 f (x) x2 x
1
1
4 时，满足
f (0) f （1） 0 ，但在( 0, 1)内有一个零点 2 ，故错误；
C ． y f (x) 在( 0, 1)内没有零点，则必有 f (0) f （1） 0等价于 f (0) f （1） 0，则
y f (x) 在( 0, 1)内有零点，由零点存在定理可知此命题是真命题，故正确；
D． y f (x) 在( 0, 1)内有唯一零点， f (0) f （1） 0，但 f (x) 在( 0, 1)上不一定是单调
1 1
2
函数，比如 f (x) x 4 4
，故错误．故选： AC ．
15．常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录和小数记录数据，把
小数记录数据记为 x，对应的五分记录数据记为 y，现有两个函数模型：
① y 5 2lg x；② y 5 lg
1
．（参考数据：100.1 1.25）根据如图标准对数视力表中x
的数据，下列结论中正确的是（ ）
A．选择函数模型①
B．选择函数模型②
C．小明去检查视力，医生告诉他视力为 5，则小明视力的小数记录数据为 0.9
D．小明去检查视力，医生告诉他视力为 4.9，则小明视力的小数记录数据为 0.8
【答案】BD
【解析】当 x 0.1
1
时，代入 y 5 2lg x得： y 5 2 3，代入 y 5 lg 得： y 5 1 4 .
x
故选择函数模型②.A 错误；B 正确.
对于 C：当 y 5时，由 y 5 lg
1
解得： x 1，则小明视力的小数记录数据为 1.0.故 C
x
错误；对于 D：当 y 4.9 时，由 y
1
5 lg 解得： x 0.8，则小明视力的小数记录数
x
据为 0.8.故 D 正确.故选：BD
16．边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都
有十分广泛的应用，函数 f x 的边际函数Mf x 定义为Mf x f x 1 f x ．某公
* 2
司每月最多生产 75 台报警系统装置，生产 x 台 x N 的收入函数R x 3000x 20x
（单位：元），其成本的数C x 500x 4000（单位：元），利润是收入与成本之差，
设利润函数为P x ，则以下说法正确的是（ ）
A．P x 取得最大值时每月产量为63台
B *．边际利润函数的表达式为MP x 2480 40x x N
C．利润函数P x 与边际利润函数MP x 不具有相同的最大值
D．边际利润函数MP x 说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少
【答案】BCD
2
【解析】对于 A 选项，P x R x C x 20x 2500x 4000，
二次函数P x 2500的图象开口向下，对称轴为直线 x 62.5，
40
因为 x N ，所以，P x 取得最大值时每月产量为63台或62 台，A 错；
对于 B 选项，
MP x P x 1 P x 20 x 1 2 2500 x 1 4000 20x
2 2500x 4000
2480 40x x N ，B 对；
对于 C 选项，P x P 62 P 63 74120max ，
因为函数MP x 2480 40x为减函数，则MP x MP 1 2440max ，C 对；
对于 D 选项，因为函数MP x 2480 40x为减函数，
说明边际利润函数MP x 说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，D
对.故选：BCD.
17．设函数 y f (x) 的定义域为R ，且满足 f (x) f (2 x)， f ( x) f (x 2)，当
x ( 1,1]时， f (x) x2 1，则下列说法正确的是（ ）
A． f (2022) 1 B．当 x 4,6 时， f (x) 的取值范围为 1,0
C． y f (x 3) 为奇函数 D．方程 f (x) lg(x 1)仅有 5 个不同实数解
【答案】BCD
【解析】依题意，当 1 x 0时，0 f x 1，当0 x 1时，0≤f x ≤1，函数 y f (x)
的定义域为R ，有 f (x) f (2 x)，
又 f ( x) f (x 2)，即 f (x) f ( x 2)，因此有 f (2 x) f ( x 2) ，即
f (x 4) f (x)，
于是有 f (x 8) f (x 4) f (x)，从而得函数 f (x) 的周期T 8，
对于 A， f 2022 f 252 8 6 f 6 f 2 f 0 1，A 不正确；
对于 B，当 4 x 5时，0 x 4 1，有0 f (x 4) 1，则 f (x) f (x 4) [ 1,0]，
当5 x 6时， 4 2 x 3，0 (2 x) 4 1，有0 f [(2 x) 4] 1，
f (x) f (2 x) f [(2 x) 4] [ 1,0]，当 x 4,6 时， f (x) 的取值范围为 1,0 ，B
正确；
对于 C， f (x 3) f [(x 3) 4] f (x 1) f [2 (x 1)] f ( x 3) ，函数
y f (x 3) 为奇函数，C 正确；
对于 D，在同一坐标平面内作出函数 y f (x) 、 y lg(x 1) 的部分图象，如图：
方程 f (x) lg(x 1)的实根，即是函数 y f (x) 与 y lg(x 1) 的图象交点的横坐标，
观察图象知，函数 y f (x) 与 y lg(x 1) 的图象有 5 个交点，因此方程 f (x) lg(x 1)
仅有 5 个不同实数解，D 正确.
故选：BCD
三、填空题
1 1
18 x x．若方程 ( ) ( ) 1 a 0有正数解，则实数 a的取值范围是_______.
4 2
【答案】 3 a 0
1
【解析】设 t ( )x ，由 x 0，得0 t 1，
2
(1)x 1因为方程 ( )x 1 a 0有正数解，
4 2
所以方程 t 2 t 1 a 0在 0,1 上有实根．
因为 a (t 1)2 1，当0 t 1时，1 t 1 2，
所以1 (t 1)2 4 ，所以 4 (t 1)2 1，所以 3 (t 1)2 1 0，
所以 3 a 0 .故答案为： 3 a 0 .
19．2021 年 10 月 16 日 0 时 23 分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号 F 遥十三运载
火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空.约 582 秒后，载人飞船与火箭成功分离，进入预
定轨道，发射取得圆满成功.此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用.火箭质
量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件下，燃料质量不同的火箭的最
大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比.已知某火箭的箭体质量为 mkg，当燃料
质量为 mkg 时，该火箭的最大速度为 2ln2km/s，当燃料质量为m e 1 kg
时，该火箭最大速度为 2km/s.若该火箭最大速度达到第一宇宙速度 7.9km/s，则燃料质
量是箭体质量的_______________倍.（参考数据： e7.9 52）
【答案】51
【解析】设燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比的比
例系数为 k，则 2 2ln 2 k ln (m m(e 1) ln(m m) ，解得 k 2，
设当该火箭最大速度达到第一宇宙速度 7.9km/s 时，燃料质量是箭体质量的 a 倍，
则7.9 2 2 ln(am m) ln m m(e 1) 7.9 2 2ln a 1 2 ln(a 1) 1
e
2ln(a 1) 7.9，得 (a 1)2 e7.9 a 1 e7.9 52，
a 51则燃料质量是箭体质量的 51 倍故答案为：51.
20．已知关于 x 的方程 ax2 x 2 0的两个实根一个小于 0 ，另一个大于1，则实数 a的
取值范围是_____．
【答案】 3,0
2
【解析】显然 a 0，关于 x 的方程 ax2 x 2 0对应的二次函数 f x ax x 2
当 a 0 2时，二次函数 f x ax x 2的图象开口向上，
因为 ax2 x 2 0的两个实根一个小于 0 ，另一个大于1等价于二次函 f x ax2 x 2
的图象与 x 轴的两个零点一个小于 0，另一个大于1，
f 0 0 2 0
所以 a
f 1 0
，即 a 3 0，解得 ；
②当 a 0时，二次函数 f x ax2 x 2的图象开口向下，
2
因为 ax2 x 2 0的两个实根一个小于 0 ，另一个大于1等价于二次函 f x ax x 2
的图象与 x 轴的两个零点一个小于 0，另一个大于1，
f 0 0 2 0
所以 f 1 0 ，即 a 3 0，解得 3 a 0．；综上所述，实数
a的范围是
3,0 ．
故答案为： 3,0 ．
21．已知 f x 为 R 上的偶函数，当 x 0时， f x log2 x，对于结论
（1）当 x 0 时， f x log2 x ；
（2）方程 f f x 0 根的个数可以为 4,5,7 ；
（3
）若函数 y f ax
2 1 1 x 在区间 1,2
上恒为正，则实数 a的范围是 , 2
；
2
2
（4）若 f 0 2 ，关于 x 的方程 f x f x 2 0 有5个不同的实根.
说法正确的序号是___．
【答案】（1）（2）（4）
【解析】令 x 0 ，则 x 0 ， f ( x) log2( x)，又函数为偶函数，
f (x) f ( x) log2 ( x)，故（1）正确；
令 t f (x) ，则 f (t) 0， f x 为 R 上的偶函数，
①若 f (0) 0 ,可得 t 0或 1 或 1，由 f (x) 1可得 x 2或 2 ;
f (x) 1 1时,可得 x ,当 f (x) 0 时， x 0,1, 1，
2
f [ f (x)] 0 的根的个数共 7 个；
②若 f (0) 0 ,且 f (0) 1或 f (0) 1 ,则 t 1或 1 ,所以由①知函数 f [ f (x)] 0的根的个
数可为 5 个;
③若 f (0) 0，且 f (0) 1且 f (0) 1,比如 f (0) 2 ,则 t 1或 1 , 所以由①知函数
f f x 0 的根的个数为 4 个，故（2）正确;
若函数 y f ax
2 1 x 1,2 log (ax2 x 1在区间 上恒为正，即 ) 0 在 1,2 恒成立，
2 2 2
可得 ax2 x
1
0在 1,2 1 1恒成立，即 a 2 恒成立，2 x 2x
1 1 1 (1 1)2 1 1 1 2 ，又 1，x 2x 2 x 2 2 x
1 1 3 3
x 1时， 2 取得最大值 ，则 a ，故（3）错误；x 2x 2 2
由 f
2
x f x 2 0 解得 f (x) 2 或 f (x) 1，当 f (x) 2 时， x 4，0，
当 f (x) 1 x
1
时， ，综上方程有 5 个根，故（4）正确.
2
故答案为：（1）（2）（4）
四、解答题
22．已知函数 f (x) log3 9x 1 kx是偶函数.
(1)当 x 0 ，函数 y f (x) x a存在零点，求实数 a的取值范围；
(2) x设函数 h(x) log3 m 3 2m ，若函数 f (x) 与 h(x) 的图象只有一个公共点，求实数m
的取值范围.
【答案】(1)
,0 1 5 (2) 1,
2
【解析】(1)解： f (x)是偶函数， f ( x) f (x)，
即 log3 (9
x 1) kx log3 (9
x 1) kx 对任意 x R 恒成立，
x
2kx log3 (9
x 1) log3 (9
x 1) log 9 13 x log3 3
2x 2x，
9 1
k 1 f (x) log 9x．即 3 1 x，
因为函数 y f (x) x a有零点，即方程 log3 (9x 1) 2x a 有实数根．
令 g(x) log (9x3 1) 2x，则函数 y g(x) 与直线 y a 有交点，
g(x) log (9x3 1) 2x log3 (9
x 1) log 9x3
x 1 1
log 9 1 13 x log3 (1 x )，又1 x 1， g(x) log3 (1 x ) 09 ，9 9 9
a 0，所以 a 0，即 a的取值范围是 ,0 ．
x
(2)：因为 f (x) log x3 9 1 x log 9x 1 log x 9 1 x x3 3 3 log3 3x log3 3 3 ，
又函数 f (x) 与 h(x) 的图象只有一个公共点，
x x x
则关于 x 的方程 log3 (m 3 2m) log3 3 3 只有一个解，
所以m 3x 2m 3x 3 x ，
令 t 3x (t 0)，得 (m 1)t2 2mt 1 0，
1
①当m 1 0 ，即m 1时，此方程的解为 t ，不满足题意，
2
2m
②当 m 1 0 ，即 m 1时，此时 4m2 4(m 1) 4 m2 m 1 0，又 t1 t2 0，m 1
t t 11 2 0，m 1
所以此方程有一正一负根，故满足题意，
③当m 1 0，即m 1时，由方程 (m 1)t2 2mt 1 0只有一正根，则需
4m2 4(m 1) ( 1) 0
2m ，
0
2(m 1)
m 1 5解得 ，
2
1 5
综合①②③
得，实数m 的取值范围为： 2
1, ．
23．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产
品 x (百台)，其总成本为G x 万元，其中固定成本为 2万元，并且每生产100台的生产
成本为1万元(总成本 固定成本 生产成本)，销售收入R x 满足
2
0.4x 4.2x 0.8 0 x 5R x ，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：
10.2 (x 5)
(1)要使工厂有盈利，产品数量 x 应控制在什么范围？
(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品售价为多少？
0.4x2 3.2x 2.8, (0 x 5)
【答案】(1) f (x)
8.2 x, (x 5)
(2)当工厂生产 400万台产品时，盈利最多， 240 元 /台
【解析】(1)依题意，G x x 2，设利润函数为 f x ，则
2
0.4x 3.2x 2.8， 0 x 5f x R x G x
8.2 x，(x 5)
要使工厂有盈利，即解不等式 f x 0，当0 x 5时，
解不等式 0.4x2 3.2x 2.8 0 ．即 x2 8x 7 0．
1 x 7， 1 x 5．
当 x 5时，解不等式8.2 x 0 ，得 x 8.2．
5 x 8.2．
综上，要使工厂盈利， x 应满足1 x 8.2，
即产品应控制在大于100台，小于820台的范围内．
(2) 0 x 5 2时， f x 0.4(x 4) 3.6，
故当 x 4时， f x 有最大值3.6．
而当 x 5时， f x 8.2 5 3.2所以，当工厂生产 400万台产品时，盈利最多．
R 4
又 x 4
时， 240 (元 /台)，故此时每台产品售价为 240 (元 /台)．
4
x
24 x．已知函数 f x log4 4 1 与 g x log 4 a 4 2x a .2 3
(1)判断 f x 的奇偶性；
(2)若函数F x f x g x 有且只有一个零点，求实数 a 的取值范围.
【答案】(1)偶函数(2) a a 1或a 3
【解析】(1)∵ f x log 4x4 1 x 的定义域为 R，2
f x f x log 4x 1 log 4 x4 4 1 x log x4 4 x 0
∴ f x f x ，∴ f x 为偶函数.
(2 函数F x f x g x 只有一个零点
即 log
4 2
x 1 x log
4 a 2
x 4 a
2 3
即方程 2x
1
x a 2
x 4 a 0有且只有一个实根.
2 3
t 2x 0 a 1 t 2 4令 ，则方程 at 1 0有且只有一个正根.3
3
①当 a 1时， t ，不合题意；
4
②当a 1时，若方程有两相等正根，则 4a 2 4 3 a 1 3 0，且
4a
0
2 3 a 1 ，解得 a 3；满足题意 t 2
x 0
1
③若方程有一个正根和一个负根，则 0，即 a 1时，满足题意
a 1 t 2
x 0 .
∴实数 a 的取值范围为 a a 1或a 3 .
25．已知函数 f x 2x - 2- x ．
(1)判断函数 f (x)的单调性，并用定义给出证明；
(2) 2解不等式： f (x) ；
2
4
(3)若关于 x 的方程 f (x) m 2x 21 x m 只有一个实根，求实数 m 的取值范围．
3
1
【答案】(1)f (x)在 R 上单调递增；证明见解析；(2) ( , ) ；(3){－3} （1，+∞）.
2
【解析】(1)f (x)在 R 上单调递增；
任取 x1，x2∈R，且 x1f x - f x (2x1 - 2- x1 )- (2x2 - 2- x21 2 )
( 2x 11 - 2x2 )(1 x x ) ∵ x x ∴ 0 2x11 2 2x2 ，2 1 2 2
∴ f x1 - f x2 0 ．即 f x1 f x2 ．∴函数 f (x)在 R 上单调递增．
(2)∵ f (1) 2 ，∵ f (x) 2 ，∴ f (x) f (
1)，
2 2 2 2
又∵函数 f (x)在 R 上单调递增，
x 1 ( , 1∴ ，∴不等式的解集为 ) ．
2 2
(3)由 f (x)
4
m 2x 21 x m 可得，
3
(m-1) 2x 2- x 4 - - m 0，
3
即（m
4
-1） 22x m 2x -1 0，此方程有且只有一个实数解．
3
令 t 2x ，则 t >0，问题转化为：
(m 1)t 2 4方程 - mt-1 0 有且只有一个正数根．
3
3
①当 m=1 时， t ，不合题意，
4
②当 m≠1 时，
3
（i）若△=0，则 m=－3 或 ，
4
1
若 m =－3，则 t ，符合题意；
2
3
若m 4 ，则 t = －2，不合题意，
3
（ii）若△>0，则 m<－3 或m ，
4
1
由题意，方程有一个正根和一个负根，即 0，解得 m>1．
m 1
综上，实数 m 的取值范围是{－3} （1，+∞）．
26．设 y f x 是定义在R 上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数 x y 都
有 f xy f x f y ；②当 x 1时， f x 0 ；③ f 3 1 .
(1)求 f 1 , f 1 的值；
9
(2)判断函数 y f x 的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
(3)如果存在正数 k ，使不等式 f kx f 2 x 2有解，求正数 k 的取值范围.
1
【答案】(1) f 1 0 ， f 2；(2) f x 在R 上是单调递减的函数，证明见解析；
9
1
(3) ,
9
.
【解析】(1)根据题意，令 y 1，有 f x f x f 1 对任意 x 都成立，所以 f 1 0 .
f 3 1, f 3 1 f 3 f 1 f 1 因为 可得 1，
3 3 3
f 1 1 1 1 f
2 f 2；
9 3 3 3
(2) f x 在R 上是单调递减的函数，理由如下：
对任意的 x1, x2
x
0, ,0 x1 x
2
2 ，有： 1x ，1
f x1 f x2 f x1 f x
x
1
2 f x f x x f 2 0，
x
1 1
1 x1
所以 f x 在R 上是单调递减的函数.
(3) f kx f 2 x f 2kx kx2 2 f 1 ，
9
由于 f x 在R 上是单调递减，
只需要 kx 0,2 x 0,2kx
1
kx2 有解，即
9 9kx
2 18kx 1 0 ，
1
又因为 k 是正数，只需要Δ 324k 2 36k 0，即 k 或 k 0（舍）9
1
当 k 时，因为二次函数 g x 9kx2 18kx 1的对称轴是 x 1，一定有 g 0 1，
9
g 1 1 9k 0，所以在 0,1 内 f kx f 2 x 2必定有解.
1
综上可知， k 的取值范围是 , .
9 专题 4.5 函数应用
1．函数的零点
(1)定义：对于函数 y＝f(x)，我们把使 f(x)＝0 成立的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点．
(2)几何意义：函数 y＝f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标就是函数 y＝f(x)的零点．
(3)结论：方程 f(x)＝0 有实数根 函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点 函数 y＝f(x)有零点.
2。函数零点的判定定理
条件 结论
函数 y＝f(x)在[a，b]上
(1)图象是连续不断的曲线 y＝f(x)在(a，b)内有零点
(2)f(a)f(b)< 0
3．四种函数模型的性质
函数 y＝ax y＝logax y＝xn y＝kx＋b
性质 (a＞1) (a＞1) (n＞0) (k＞0)
在(0，＋∞)
增函数 增函数 增函数 增函数
上的增减性
增长的速度 越来越快 越来越慢 相对较快 不变
图象的变化 越来越陡 越来越平 随 n 值而不同 直线上升
4．三种增长函数模型的比较
(1)指数函数和幂函数．
一般地，对于指数函数 y＝ax(a＞1)和幂函数 y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间
(0，＋∞)上，无论 n 比 a 大多少，尽管在 x 的一定变化范围内，ax会小于 xn，但由于 ax
的增长快 xn的增长，因此总存在一个 x0，当 x＞x0时，就会有 ax>xn.
(2)对数函数和幂函数．
对于对数函数 y＝logax(a＞1)和幂函数 y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着 x 的增大，
logax 增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与 x 轴平行一样，尽管在 x 的一定变化范围
内，logax 可能会大于 xn，但由于 logax 的增长慢于 xn的增长，因此总存在一个 x0，当 x
＞x0时，就会有 logax＜xn.
(3)指数函数、对数函数和幂函数．
在区间(0，＋∞)上，尽管函数 y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和 y＝xn(n＞0)都是增函数，
但它们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着 x 的增大，y＝ax(a＞1)的增长
速度越来越快，会超过并远远大于 y＝xn(n＞0)的增长速度，而 y＝logax(a＞1)的增长速
度则会越来越慢，因此总存在一个 x0，当 x＞x0时，就会有 logax＜xn＜ax.
1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（ ）
A． B．
C． D．
x2 , x 0
2．已知函数 f x ＝ x ，若函数 g(x) f (x) b, x 0 有两个零点，则实数b 的取值 2 1 ＜
范围是( )
A．0 b 1 B．b 0
C． 2 b 0 D． 1 b 0
3．函数 f (x) lg x x 3的零点所在区间为（ ）
A．( 0, 1) B． (1, 2) C． (2,3) D． (3, 4)
4．基本再生数R0 与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染
者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始
rt
阶段，可以用指数模型： I t e 描述累计感染病例数 I t 随时间 t（单位：天）的变
化规律，指数增长率 r与R0 ，T近似满足R0 1 rT .有学者基于已有数据估计出R0 3.28，
T 6 .据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数是原来的 4 倍需要的时间约为
（参考数值： ln 2 0.69 ）（ ）
A．0.9 天 B．1.8 天 C．1.2 天 D．3.6 天
5．已知x1，x2分别是方程 ex x 2 0， ln x x 2 0的根，则 x1 x2 （ ）
A．1 B．2 C． 2 D． 2 1
6．若函数 f x 唯一的一个零点同时在区间 0,16 ， 0,4 ， 0,2 内，那么下列命题中
正确的是（ ）
A．函数 f x 在区间 0,1 内有零点
B．函数 f x 在区间 0,1 或 1,2 内有零点
C．函数 f x 在区间 2,16 上无零点
D．函数 f x 在区间 1,16 内无零点
7．某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 y（毫
克）与时间 x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y 与 x 成反比例（如图），现测得药物
10 分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为 8 毫克．研究表明，当空气中每立方
米的含药量不低于 4 毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（ ）
A．11 分钟 B．12 分钟 C．15 分钟 D．20 分钟
2 x 1, x 2
8．已知函数 f x 2 ，则方程 f f x 1的实数根的个数为（ ）
, x 2 x 1
A． 7 B．5 C．3 D． 2
9 x．若关于 x 的方程 4 a 4 2x 4 0在 1, 2 上有实数根，则实数 a的取值范围是
（ ）
25 25
A ． , 8
B ． ,
C． 25, 8 D． 8,
2 2
10．已知函数 y f x 在区间 a,b 上的图像是连续不断的，则“ f a f b 0 ”是“函数
y f x 在区间 a,b 内有零点”（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
11．若关于 x 的方程 x(|x | a) 1有三个不同的实数解，则实数 a 的可能取值（ ）
A．－5 B．－2 C．2 D．3
ln x , x 0
12．已知 f x ，若方程 f (x) m(m R)有四个不同的实数根x1，2
x 4x 5, x 1
x2， x3 ， x4，则 x1 x2 x3 x4 的取值范围是（ ）
A．（3，4） B．（2，4） C．[0，4） D．[3，4）
二、多选题
13．下列说法正确的是（ ）
A．已知方程 ex 8 x的解在 k, k 1 k Z 内，则 k 1
B．函数 f x x2 2x 3的零点是 1,0 ， 3,0
C．方程 x2 2ax a2 4 0的一个实根在区间 1,0 内，另一个实根大于 2，则实数 a
的取值范围是1 a 2 .
D．若函数 y f (x) 在区间 (a , b ) 上有零点，则一定有 f (a) f (b) 0
14．已知函数 y f x 的图象在区间 0,1 上是一条连续不断的曲线，则下列结论正确的
是（ ）
A．若 f 0 f 1 0，则 y f x 在 0,1 内至少有一个零点
B．若 f 0 f 1 0，则 y f x 在 0,1 内没有零点
C．若 y f x 在 0,1 内没有零点，则必有 f 0 f 1 0
D．若 y f x 在 0,1 内有唯一零点， f 0 f 1 0，则 f x 在 0,1 上是单调函数
15．常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录和小数记录数据，把
小数记录数据记为 x，对应的五分记录数据记为 y，现有两个函数模型：
① y 5 2lg x
1
；② y 5 lg ．（参考数据：100.1x 1.25
）根据如图标准对数视力表中
的数据，下列结论中正确的是（ ）
A．选择函数模型①
B．选择函数模型②
C．小明去检查视力，医生告诉他视力为 5，则小明视力的小数记录数据为 0.9
D．小明去检查视力，医生告诉他视力为 4.9，则小明视力的小数记录数据为 0.8
16．边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都
有十分广泛的应用，函数 f x 的边际函数Mf x 定义为Mf x f x 1 f x ．某公
* 2
司每月最多生产 75 台报警系统装置，生产 x 台 x N 的收入函数R x 3000x 20x
（单位：元），其成本的数C x 500x 4000（单位：元），利润是收入与成本之差，
设利润函数为P x ，则以下说法正确的是（ ）
A．P x 取得最大值时每月产量为63台
B．边际利润函数的表达式为MP x 2480 40x x N*
C．利润函数P x 与边际利润函数MP x 不具有相同的最大值
D．边际利润函数MP x 说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少
17．设函数 y f (x) 的定义域为R ，且满足 f (x) f (2 x)， f ( x) f (x 2)，当
x ( 1,1]时， f (x) x2 1，则下列说法正确的是（ ）
A． f (2022) 1 B．当 x 4,6 时， f (x) 的取值范围为 1,0
C． y f (x 3) 为奇函数 D．方程 f (x) lg(x 1)仅有 5 个不同实数解
三、填空题
1 1
18 x x．若方程 ( ) ( ) 1 a 0有正数解，则实数 a的取值范围是_______.
4 2
19．2021 年 10 月 16 日 0 时 23 分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号 F 遥十三运载
火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空.约 582 秒后，载人飞船与火箭成功分离，进入预
定轨道，发射取得圆满成功.此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用.火箭质
量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件下，燃料质量不同的火箭的最
大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比.已知某火箭的箭体质量为 mkg，当燃料
质量为 mkg 时，该火箭的最大速度为 2ln2km/s，当燃料质量为m e 1 kg 时，该火箭最
大速度为 2km/s.若该火箭最大速度达到第一宇宙速度 7.9km/s，则燃料质量是箭体质量
的_______________倍.（参考数据： e7.9 52）
20．已知关于 x 的方程 ax2 x 2 0的两个实根一个小于 0 ，另一个大于1，则实数 a的
取值范围是_____．
21．已知 f x 为 R 上的偶函数，当 x 0时， f x log2 x，对于结论
（1）当 x 0 时， f x log2 x ；
（2）方程 f f x 0 根的个数可以为 4,5,7 ；
1
3 y f ax2 x （ ）若函数 在区间 1,2
1
上恒为正，则实数 a的范围是 , 2 2
；
（4）若 f 0 2 2，关于 x 的方程 f x f x 2 0 有5个不同的实根.
说法正确的序号是___．
四、解答题
22．已知函数 f (x) log3 9x 1 kx是偶函数.
(1)当 x 0 ，函数 y f (x) x a存在零点，求实数 a的取值范围；
(2)设函数 h(x) log x3 m 3 2m ，若函数 f (x) 与 h(x) 的图象只有一个公共点，求实数m
的取值范围.
23．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产
品 x (百台)，其总成本为G x 万元，其中固定成本为 2万元，并且每生产100台的生产
成本为1万元(总成本 固定成本 生产成本)，销售收入R x 满足
0.4x
2 4.2x 0.8 0 x 5R x ，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：
10.2 (x 5)
(1)要使工厂有盈利，产品数量 x 应控制在什么范围？
(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品售价为多少？
24．已知函数 f x log x x4 4 1 与 g x log 4 a 4 2x a .2 3
(1)判断 f x 的奇偶性；
(2)若函数F x f x g x 有且只有一个零点，求实数 a 的取值范围.
25．已知函数 f x 2x - 2- x ．
(1)判断函数 f (x)的单调性，并用定义给出证明；
(2) 2解不等式： f (x) ；
2
f (x) m 2x 21 x 4(3)若关于 x 的方程 m 只有一个实根，求实数 m 的取值范围．
3
26．设 y f x 是定义在R 上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数 x y 都
有 f xy f x f y ；②当 x 1时， f x 0 ；③ f 3 1 .
(1)求 f 1 1, f 的值；
9
(2)判断函数 y f x 的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
(3)如果存在正数 k ，使不等式 f kx f 2 x 2有解，求正数 k 的取值范围.
