专题 5.1 任意角与弧度制
一、角的相关概念
1.角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图
形．
2.角的表示：
如图，OA 是角 α 的始边，OB 是角 α 的终边，O 是角的顶点．角 α 可记为“角 α”或
“∠α”或简记为“α”．
3.按照角的旋转方向可将角分为如下三类：
4.相反角
如图，我们把射线 OA 绕端点 O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反
角．角 α 的相反角记为－α.
二、象限角
1.若角的顶点在原点，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，则角的终边在第几象限，就称
这个角是第几象限角．
2.若角的终边在坐标轴上，则认为这个角不属于任何一个象限．
3.象限角的判定方法
(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为 0°～360°之间的角的终边与坐标
系中过原点的射线可建立一一对应的关系．
(2)将角转化到 0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在 0°～360°范围内没有两个角终
边是相同的．
(3)nα 所在象限的判断方法
确定 nα 终边所在的象限，先求出 nα 的范围，再直接转化为终边相同的角即可．
α
(4) 所在象限的判断方法
n
α
4.已知角 α 所在象限，要确定角 所在象限，有两种方法：
n
α
①用不等式表示出角 的范围，然后对 k 的取值分情况讨论：被 n 整除；被 n 除余 1；
n
被 n 除余 2；…；被 n 除余 n－1.从而得出结论．
②作出各个象限的从原点出发的 n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成 4n 个区域．从
x 轴非负半轴起，按逆时针方向把这 4n 个区域依次循环标上 1,2,3,4.α 的终边在第几象
α α
限，则标号为几的区域，就是 的终边所落在的区域．如此， 所在的象限就可以由标号
n n
区域所在的象限直观地看出．
三、终边相同的角
1.设 α 表示任意角，所有与角 α 终边相同的角，包括 α 本身构成一个集合，这个集合可
记为{β|β 01＝ □ α＋k·360°，k∈Z}．
2.对终边相同的角的理解
(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；
(2)k∈Z，即 k 为整数，这一条件不可少；
(3)终边相同的角的表示不唯一．
四、角的单位制
1
1.用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等于周角的 .
360
2. 03长度等于半径长的圆弧所对的 □ 圆心角叫做 1 弧度的角，弧度单位用符号 rad 表示，
读作弧度，通常略去不写．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．
3.弧度数的计算
4.角度制和弧度制的比较
(1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单
位制．
1
(2)1 弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角，而 1 度的角是指圆周角的 的角，
360
大小显然不同．
(3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的
值．
(4)用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧
度”二字或“rad”通常省略不写．但两者不能混用，即在同一表达式中不能出现两种度量
方法．
五、角度与弧度的换算
1.角度制与弧度制的换算
2.一些特殊角的度数与弧度数的对应表
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
π π π π 2π 3π 5π
弧度 0 π
6 4 3 2 3 4 6
六、扇形的弧长及面积公式
1.设扇形的半径为 r，弧长为 l，α(0<α<2π)为其圆心角的弧度数，n 为圆心角的角度数，
nπr nπr2 1 1
则扇形的弧长：l＝ ＝αr，扇形的面积：S＝ ＝ lr＝ α·r2.
180 360 2 2
一、单选题
1．与 525 角的终边相同的角可表示为（ ）
A．525 k 360（ k Z） B．185 k 360（ k Z）
C．195 k 360（ k Z） D． 195 k 360（ k Z）
【来源】河南省南阳市第一中学 2021-2022 学年高一下学期第一次月考数学试题
【答案】C
【解析】解： 525 =195 2 360 ，
所以 525 角的终边与195 角的终边相同，
所以与 525 角的终边相同的角可表示为195 k 360（ k Z）.
故选：C
2
2．下列与角 3 的终边一定相同的角是（ ）
5π k 4 A． 3 B． k Z 3
C． 2k
2 k Z 2k 1 2 D． k Z
3 3
【来源】吉林省松原市重点高中 2021-2022 学年高一 3 月联考数学试卷
【答案】C【解析】
2 2
对于选项 C：与角 的终边相同的角为 2k k Z ，C3 满足.3
对于选项 B ：当 k 2n n Z k 4 时， 2n 4 k Z ,n Z 成立；
3 3
k 2n 1 n Z k 4 2n 1 4 2n 当 时， k Z ,n Z 不成立.
3 3 3
对于选项 D： 2k 1 2 5 2k k Z 不成立.故选: C
3 3
3．在 0°到360 范围内，与 405 终边相同的角为（ ）
A． 45 B． 45
C．135 D． 225
【答案】B
【解析】：因为 405 360 45 ，所以在 0°到360 范围内与 405 终边相同的角为 45 ；
故选：B
7
4．角 所在的象限为（ ）
6
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【来源】广西桂林市奎光学校 2021-2022 学年高一下学期热身考试数学试题
7 3 7 【答案】C ， 角 位于第三象限.故选：C.
6 2 6
5．已知角 2022 ，则角 的终边落在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【来源】河南省南阳市 2021-2022 学年高一下学期期末数学试题
【答案】C
【解析】因为 2022 222 5 360 ，而 222 是第三象限角，故角 的终边落在第三
象限.故选：C.
6．下列说法正确的是（ ）
A．终边相同的角相等 B．相等的角终边相同
C．小于90 的角是锐角 D．第一象限的角是正角
【答案】B
【解析】终边相同的角相差周角的整数倍，A 不正确；相等的角终边一定相同；所以 B
正确；小于90 的角是锐角可以是负角，C 错；第一象限的角是正角，也可以是负角，D
错误．故选：B.
7． 135 的角化为弧度制的结果为（ ）
3 3 3 3
A． B． C． D．
2 5 4 4
【来源】西藏林芝市第二高级中学 2021-2022 学年高一下学期第二学段考试（期末）数
学试题
【答案】C
【解析】 135 135
π 3
π rad．故选：C.
180 4
8．中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴.《乐府诗集》中《夏歌二十首》的第五首曰：
“叠扇放床上，企想远风来轻袖佛华妆，窈窕登高台.”如图所示，折扇可看作是从一个圆
6
面中剪下的扇形制作而成若一把折扇完全打开时圆心角为 ，扇面所在大圆的半径为
7
20cm ，所在小圆的半径为8cm ，那么这把折扇的扇面面积为（ ）
48
A． 288 B．144 C． D．以上都不对
7
【来源】陕西省西安市蓝田县 2021-2022 学年高一下学期期末数学试题
【答案】B
【解析】由题意得，
S 1 6 20 1200 大扇形的面积为 1 20 ，2 7 7
S 1 6 小扇形的面积为 2 8 8
192
，
2 7 7
S S 1200 192 所以扇面的面积为 1 2 144 .故选：B7 7
9．把 375 表示成 2kπ ， k Z 的形式，则 的值可以是（ ）
π π 5π
A． B C
5π
． ． D．
12 12 12 12
【来源】河南省安阳市滑县 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】B
π
【解析】∵ 375 15 360 ，∴ 375 2π rad 故选：B
12
10．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材
埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何 ”现有一类似问题，
不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯
口深CD 2 3，锯道 AB 2 ，则图中 A CB 与弦 AB 围成的弓形的面积为（ ）
2
A 3 B 3 C 3 D 3． ． ． ．3 2 2 3 2 3 3
【来源】海南省琼海市嘉积中学 2021-2022 学年高一下学期期末数学试题
【答案】B
r OD r CD r 2 3 AD 1【解析】解：设圆的半径为 ，则 ， AB 1，2
2
由勾股定理可得OD2 AD2 OA2 ，即 2 r 2 3 1 r ，
解得 r 2，所以OA OB 2， AB 2 ，
AOB 1 3 2 所以 ，因此 S S 2 2AOB S MBB 2 2 3 .故选：B3 弓形 扇形 2 3 4 3
11．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子
在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦
的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为 米，肩宽约为 米，“弓”所在圆的半径约为 1.25 米，
4 8
则掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）
A．1.012 米 B．1.768 米 C．2.043 米 D．2.945 米
【来源】江苏省南通市如东县 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】B
5
【解析】解：由题得：弓所在的弧长为： l ；
4 4 8 8
5
8
所以其所对的圆心角 5 ；2
4
两手之间的距离 d 2Rsin 2 1.25 1.7684 ．故选：B．
12．“ 是第四象限角”是“ 是第二或第四象限角”的（ ）
2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【来源】河南省新乡市 2021-2022 学年高一上学期期末考试数学试题
【答案】A
【解析】当
3
是第四象限角时， 2k 2 2k , k Z ，则
2
3 k k ,k Z 3 ，即 是第二或第四象限角.当 为第二象限角，但
4 2 2 2 4
3 不是第四象限角，故“ 是第四象限角”是“ 是第二或第四象限角”的充分不必
2 2
要条件．故选：A
13．在Rt POB 中， PBO 90 ，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A ，若弧
AB 等分 POB的面积，且 AOB 弧度，则（ ）
A． tan B． tan 2 C． sin 2cos D． 2sin cos
【来源】上海市川沙中学 2021-2022 学年高一下学期 3 月月考数学试题
【答案】B
1 2
【解析】设扇形的半径为 r，则扇形的面积为 r .2
1
直角三角形 POB 中，PB rtan ，△POB 2的面积为 r tan .
2
2 1 r 2 1由题意得 r 2 tan ，所以 tan 2 .故选：B
2 2
14．砀山被誉为“酥梨之乡”，每逢四月，万树梨花开，游客八方来．如图 1，梨花广场
的标志性建筑就是根据梨花的形状进行设计的，建筑的五个“花瓣”中的每一个都可以近
似看作由两个对称的弓形组成，图 2 为其中的一个“花瓣”平面图，设弓形的圆弧所在圆
的半径为 R ，弦长为 2R，则一个“花瓣”的面积为（ ）
π 1 π 2
A 2． R B R2．
2 2
π 1
C R2． D 2． π 1 R
4
【来源】辽宁省沈阳市第八十三中学 2021-2022 学年高一下学期 6 月月考数学试题
【答案】B
【解析】因为弓形的圆弧所在圆的半径为 R ，弦长为 2R，
所以弓形的圆弧所对的圆心角的大小为 ，
2
S 1 R2 1所以弓形的面积 R2 ，
4 2
π 2
所以一个“花瓣”的面积为 R2 ，故选：B.
2
15．设圆O的半径为 2，点 P 为圆周上给定一点，如图，放置边长为 2的正方形 ABCD
（实线所示，正方形的顶点A 与点 P 重合，点 B 在圆周上）.现将正方形 ABCD沿圆周按
顺时针方向连续滚动，当点A 首次回到点 P 的位置时，点A 所走过的路径的长度为（ ）
A． 1 2 2 2B． 2 2 C． 4 D． 3
2
【来源】上海市嘉定区第二中学 2021-2022 学年高一下学期第一次质量检测数学试题
【答案】B
【解析】由图可知，圆O的半径为 r 2，正方形 ABCD的边长为 a 2，
以正方形的边为弦所对的圆心角为 ，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，
3
当点A 首次回到点 P 的位置时，正方形滚动了3圈，共12次，
设第 i次滚动时，点A 的路程为mi ，则m1 AB
2
，
6 3 m2 AC
，
6 3
m AD 3 ，m4 0，6 3
因此，点A 所走过的路程为3 m1 m2 m3 m4 2 2 .
故选：B.
16．用半径为 2，弧长为2
的扇形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的体积等于（ ）
A． 3 B 3 2 3 ． C． D． 4
3 3
【来源】第 8 章 立体几何初步（典型 30 题专练）-2021-2022 学年高一数学考试满分全
攻略（人教 A 版 2019 必修第二册）
【答案】B
【解析】令圆锥底面半径为 r ，则 2 r 2 ，因此 r 1
圆锥的高为：h 22 12 3
1 3 圆锥的体积V 12 3
3 3
故选：B
17．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪
下的扇形制作而成，设扇形的面积为 S 1 ，圆面中剩余部分的面积为 S2 ，当 S 1与 S2 的
5 1
比值为 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为
2
（ ）
A． (3 5) B． ( 5 1) C． ( 5 1) D． ( 5 2)
【来源】陕西省西安市临潼区 2021-2022 学年高一下学期期末数学试题
【答案】A
【解析】 S 1与 S2 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，
设 S 1与 S2 所在扇形圆心角分别为 , ，
5 1
则 ，又 2 ，解得 (3 5) 故选:A
2
18．《九章算木》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面釈所
1
用的经验公式为：弧田面积= 2 (弦×矢+矢 ).弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”
指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为
3
，弦长等于 2 米的弧田.按照《九章算木》中弧田面积的经验公式竍算所得弧田面积(单
位，平方米)为
A B 3 C 9 5 3
11
． ． ． D． 3 33 3 2 2 2
【来源】辽宁省沈阳市第二中学 2021-2022 学年高一下学期 4 月月考数学试题
【答案】D
【解析】在圆心角为 ，弦长等于 2 米的弧田中，半径为 2，圆心到弦的距离为
3 3
，于
1
是，矢=2- 1 3，所以，弧田面积= 2 (弦×矢+矢 )= 2 2
2
2 3 2 11 3 3 3 ， 2
故选 D.
19．将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（ ）
A． B． C
． 6 D． 3 3 6
【来源】江西省景德镇市第一中学 2021-2022 学年高一（重点班）上学期期末数学试题
【答案】C
【解析】：分针转一周为 60 分钟，转过的角度为2
将分针拨慢是逆时针旋转
1
∴钟表拨慢分钟，则分针所转过的弧度数为 2 .
12 6
故选 C．
2
20．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 ，弧长为2 3 的扇形，则该圆锥的体积为
（ ）
A 2 2π B 2 ． ． 2 2 C． D． 2
3 3
【来源】河南省杞县高中 2021-2022 学年高一下学期 6 月月考数学试卷
【答案】A
【解析】设圆锥的母线长为 l，底面半径为 r，
则 2
2
l ，解得 l 3，
3
又 2 r 2 ，解得 r 1，
所以圆锥的高为 h l 2 r 2 2 2 ，
V 1 r 2h 2 2 所以圆锥的体积为 .故选：A.
3 3
二、填空题
21．已知某圆锥的侧面积为 5π 2 5π，该圆锥侧面的展开图是圆心角为 的扇形，则该
5
圆锥的体积为______
【来源】河北省沧衡八校联盟 2021-2022 学年高一下学期期中数学试题
2π
【答案】
3
1 2 5π
【解析】设该圆锥的母线长为 l，底面圆的半径为 r ，由 l 2 5π，得 l 5 .
2 5
1
2πr 2 5π 5 r 1 π 12
2π
因为 ，所以 ，所以该圆锥的体积为 5 1 .
5 3 3
2π
故答案为：
3
22．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中"方田"章给出了计算弧田面
1 2
积时所用的经验公式，即弧田面积 (弦 矢 矢 )，弧田（如图）由圆弧和其所对
2
弦围成，公式中“弦"指圆弧所对弦长，“矢"指圆弧顶到弦的距离（等于半径长与圆心到
2
弦的距离之差），现有圆心角为 3 ，半径为
6 米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧
田面积是_________平方米．（结果保留根号）
9
【答案】9 3
2
【解析】设弧田的圆心为O，弦为 AB ，C 为 AB 中点，连OC 交弧为D，
则OC AB，所以矢长为CD ，
AOC 在Rt△AOC 中， AO 6， ，
3
1
所以OC OA 3, AC 3 3 ，
2
所以CD OD OC 3, AB 2AC 6 3
1 AB CD CD2 1所以弧田的面积为 6 3 3 322 2 9 3
9
.
2
9 3 9故答案为： .
2
23．中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图（2），在半圆O（半径为 20cm）中作出两个
扇形OAB 和OCD，用扇环形 ABDC （图中阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环形
S 5 1
ABDC 的面积为 S 11，扇形OAB 的面积为 S2 ，当 时，扇形的现状较为美观，S2 2
则此时扇形OCD的半径为__________cm
【答案】10( 5 1)
【解析】设 AOB ,，半圆 O 的半径为 r，扇形 OCD 的半径为 r1，
1 r 2 1 2
S1 5 1
r
，所以 2 2
1 5 1 r 2 r
2 5 1
1 ，即
1
S 2 2
，
2 r 2 2 r 2
2
r 21 3 5 6 2 5 ( 5 1 r 5 1所以 )2 ，所以 1 ，又 r 20cm,，所以
r 2 2 4 2 r 2
r1 10( 5 1)cm ，
故答案为：10( 5 1) .
24．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如图所示，月
牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成.两岸连接点间距离为60 3 米.其中外岸
为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为 60 米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游
客步行的路程为_______米.
【答案】 (40 30 3)
【解析】如图，是月牙湖的示意图，O是QT 的中点，
连结PO，可得PO QT ，由条件可知QT 60 3 3，PQ 60 所以 sin QPO ，所
2
以 QPO
， QPT
2
，
3 3
2
所以月牙泉的周长 l 60 30 3
3 40 30 3 .
故答案为： 40 30 3
25．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，
机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，
在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．已知等边三角形
的边长为 1，则勒洛三角形的面积是_______．
【来源】陕西省西安市莲湖区 2021-2022 学年高一下学期期末数学试题
π 3
【答案】
2
π
【解析】由题意得，勒洛三角形的面积为：三个圆心角和半径均分别为 和 1 的扇形面
3
积之和减去两个边长为 1 的等边三角形的面积，
3 1 π即 12 2 1 12 sin π π 3 ．
2 3 2 3 2
π 3
故答案为： ．
2
26．若扇形的周长为定值 l，则当该扇形的圆心角 0 2 ______时，扇形的面
积取得最大值，最大值为______.
【来源】江苏省无锡市天一中学 2021-2022 学年高一强化班上学期期末数学试题
1
2 l 2【答案】
16
【解析】设扇形的半径为 r ，则扇形的弧长为 r
故 r 2r l
1 2 1
扇形的面积 S r r(l 2r)
1
lr r 2
2 2 2
r l 1 l 2由二次函数的性质，当 时，面积取得最大值为
4 16
1 1 2
此时 r l ， 2故答案为：2， l
2 16专题 5.1 任意角与弧度制
一、角的相关概念
1.角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图
形．
2.角的表示：
如图，OA 是角 α 的始边，OB 是角 α 的终边，O 是角的顶点．角 α 可记为“角 α”或
“∠α”或简记为“α”．
3.按照角的旋转方向可将角分为如下三类：
4.相反角
如图，我们把射线 OA 绕端点 O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反
角．角 α 的相反角记为－α.
二、象限角
1.若角的顶点在原点，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，则角的终边在第几象限，就称
这个角是第几象限角．
2.若角的终边在坐标轴上，则认为这个角不属于任何一个象限．
3.象限角的判定方法
(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为 0°～360°之间的角的终边与坐标
系中过原点的射线可建立一一对应的关系．
(2)将角转化到 0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在 0°～360°范围内没有两个角终
边是相同的．
(3)nα 所在象限的判断方法
确定 nα 终边所在的象限，先求出 nα 的范围，再直接转化为终边相同的角即可．
α
(4) 所在象限的判断方法
n
α
4.已知角 α 所在象限，要确定角 所在象限，有两种方法：
n
α
①用不等式表示出角 的范围，然后对 k 的取值分情况讨论：被 n 整除；被 n 除余 1；
n
被 n 除余 2；…；被 n 除余 n－1.从而得出结论．
②作出各个象限的从原点出发的 n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成 4n 个区域．从
x 轴非负半轴起，按逆时针方向把这 4n 个区域依次循环标上 1,2,3,4.α 的终边在第几象
α α
限，则标号为几的区域，就是 的终边所落在的区域．如此， 所在的象限就可以由标号
n n
区域所在的象限直观地看出．
三、终边相同的角
1.设 α 表示任意角，所有与角 α 终边相同的角，包括 α 本身构成一个集合，这个集合可
记为{β|β 01＝ □ α＋k·360°，k∈Z}．
2.对终边相同的角的理解
(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；
(2)k∈Z，即 k 为整数，这一条件不可少；
(3)终边相同的角的表示不唯一．
四、角的单位制
1
1.用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等于周角的 .
360
2. 03长度等于半径长的圆弧所对的 □ 圆心角叫做 1 弧度的角，弧度单位用符号 rad 表示，
读作弧度，通常略去不写．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．
3.弧度数的计算
4.角度制和弧度制的比较
(1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单
位制．
1
(2)1 弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角，而 1 度的角是指圆周角的 的角，
360
大小显然不同．
(3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的
值．
(4)用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧
度”二字或“rad”通常省略不写．但两者不能混用，即在同一表达式中不能出现两种度量
方法．
五、角度与弧度的换算
1.角度制与弧度制的换算
2.一些特殊角的度数与弧度数的对应表
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
π π π π 2π 3π 5π
弧度 0 π
6 4 3 2 3 4 6
六、扇形的弧长及面积公式
1.设扇形的半径为 r，弧长为 l，α(0<α<2π)为其圆心角的弧度数，n 为圆心角的角度数，
nπr nπr2 1 1
则扇形的弧长：l＝ ＝αr，扇形的面积：S＝ ＝ lr＝ α·r2.
180 360 2 2
一、单选题
1．与 525 角的终边相同的角可表示为（ ）
A．525 k 360（ k Z） B．185 k 360（ k Z）
C．195 k 360（ k Z） D． 195 k 360（ k Z）
2
2．下列与角 3 的终边一定相同的角是（ ）
A 5π
4
． B． k k Z3 3
C． 2k
2
k Z D． 2k 1 2 k Z
3 3
3．在 0°到360 范围内，与 405 终边相同的角为（ ）
A． 45 B． 45
C．135 D． 225
7
4．角 所在的象限为（ ）
6
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．已知角 2022 ，则角 的终边落在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．下列说法正确的是（ ）
A．终边相同的角相等 B．相等的角终边相同
C．小于90 的角是锐角 D．第一象限的角是正角
7． 135 的角化为弧度制的结果为（ ）
3 3 3 3
A． B． C． D．
2 5 4 4
8．中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴.《乐府诗集》中《夏歌二十首》的第五首曰：
“叠扇放床上，企想远风来轻袖佛华妆，窈窕登高台.”如图所示，折扇可看作是从一个圆
6
面中剪下的扇形制作而成若一把折扇完全打开时圆心角为 ，扇面所在大圆的半径为
7
20cm ，所在小圆的半径为8cm ，那么这把折扇的扇面面积为（ ）
48
A． 288 B．144 C． D．以上都不对
7
9．把 375 表示成 2kπ ， k Z 的形式，则 的值可以是（ ）
π π 5π
A B C 5π． ． ． D．
12 12 12 12
10．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材
埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何 ”现有一类似问题，
不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯
口深CD 2 3，锯道 AB 2 ，则图中 A CB 与弦 AB 围成的弓形的面积为（ ）
3 2 A B 3 C 3 3． ． ． D．3 2 2 3 2 3 3
11．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子
在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦
的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为 米，肩宽约为 米，“弓”所在圆的半径约为 1.25 米，
4 8
则掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）
A．1.012 米 B．1.768 米 C．2.043 米 D．2.945 米
12．“ 是第四象限角”是“ 是第二或第四象限角”的（ ）
2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
13．在Rt POB 中， PBO 90 ，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A ，若弧
AB 等分 POB的面积，且 AOB 弧度，则（ ）
A． tan B． tan 2 C． sin 2cos D． 2sin cos
14．砀山被誉为“酥梨之乡”，每逢四月，万树梨花开，游客八方来．如图 1，梨花广场
的标志性建筑就是根据梨花的形状进行设计的，建筑的五个“花瓣”中的每一个都可以近
似看作由两个对称的弓形组成，图 2 为其中的一个“花瓣”平面图，设弓形的圆弧所在圆
的半径为 R ，弦长为 2R，则一个“花瓣”的面积为（ ）
π 1 R2 π 2A 2． B． R
2 2
π 1
C 2． R D π 1 R2．
4
15．设圆O的半径为 2，点 P 为圆周上给定一点，如图，放置边长为 2的正方形 ABCD
（实线所示，正方形的顶点A 与点 P 重合，点 B 在圆周上）.现将正方形 ABCD沿圆周按
顺时针方向连续滚动，当点A 首次回到点 P 的位置时，点A 所走过的路径的长度为（ ）
2 A． 1 2 2 B． 2 2 C． 4 D． 3 2
16．用半径为 2，弧长为2 的扇形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的体积等于
（ ）
A． 3 B 3． C 2 3 ． D． 4
3 3
17．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪
下的扇形制作而成，设扇形的面积为 S 1 ，圆面中剩余部分的面积为 S2 ，当 S 1与 S2 的
5 1
比值为 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为
2
（ ）
A． (3 5) B． ( 5 1) C． ( 5 1) D． ( 5 2)
18．《九章算木》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面釈所
用的经验公式为：弧田面积= 12 (弦×矢+矢 ).弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”
指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为 ，弦长等
3
于 2 米的弧田.按照《九章算木》中弧田面积的经验公式竍算所得弧田面积(单位，平方
米)为
A B 3 C 9 5 3
11
． ． ．
3 3
D． 3 3
2 2 2
19．将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（ ）
A． B． C
． D．
3 3 6 6
2
20．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 ，弧长为2 3 的扇形，则该圆锥的体积为
（ ）
A 2 2π． B 2 ． 2 2 C． D． 2
3 3
二、填空题
21 2 5π．已知某圆锥的侧面积为 5π，该圆锥侧面的展开图是圆心角为 的扇形，则该
5
圆锥的体积为______
22．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中"方田"章给出了计算弧田面
1 2
积时所用的经验公式，即弧田面积 (弦 矢 矢 )，弧田（如图）由圆弧和其所对
2
弦围成，公式中“弦"指圆弧所对弦长，“矢"指圆弧顶到弦的距离（等于半径长与圆心到
2
弦的距离之差），现有圆心角为 3 ，半径为
6 米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧
田面积是_________平方米．（结果保留根号）
23．中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图（2），在半圆O（半径为 20cm）中作出两个
扇形OAB 和OCD，用扇环形 ABDC （图中阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环形
S 5 1
ABDC 的面积为 S 11，扇形OAB 的面积为 S2 ，当 时，扇形的现状较为美观，S2 2
则此时扇形OCD的半径为__________cm
24．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如图所示，月
牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成.两岸连接点间距离为60 3 米.其中外岸
为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为 60 米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游
客步行的路程为_______米.
25．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，
机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，
在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．已知等边三角形
的边长为 1，则勒洛三角形的面积是_______．
26．若扇形的周长为定值 l，则当该扇形的圆心角 0 2 ______时，扇形的面
积取得最大值，最大值为______.
