专题 5.3 诱导公式
1.诱导公式
公 一 二 三 四 五 六 七 八
式
3 3
角 2k
2 2 2 2
正 sin sin sin sin cos cos cos cos
弦
余 cos cos cos cos sin sin sin sin
弦
正 tan tan tan tan cot cot cot cot
切
余 cot cot cot cot tan tan tan tan
切
口 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
诀
知识点二：诱导公式的作用
诱导公式 作用
公式一 将角转化为 0~2π的角求值
公式二 将 0~2π的角转化为 0~π的角求值
公式三 将负角转化为正角
公式四 ~ 0~ 将 π的角转化为 的角求值
2 2
公式五 实现正弦与余弦、正切与余切的互相转化
公式六 实现正弦与余弦、正切与余切的互相转化
一、单选题
1．函数 f (x) a x 3 3（ a 0，且a 1）的图象恒过定点 A，点 A 在角 终边上，则
cos 3 π 2
（ ）
- 3 3 4 4A． B． C． D．
5 5 5 5
【来源】安徽省池州市第一中学 2021-2022 学年高一下学期 3 月月考数学试题
【答案】C
【解析】 f (x) a x 3 3（ a 0，且a 1）恒过点 A 3, 4 ，因为点 A 在角 终边上，所
3 4
以 sin
4
，则 cos
5
π sin 故选：C
2 5
cos 4π 5 7π2．若
，则 sin
（5 13 10 ）
5 12 5 12
A． B． C． D．
13 13 13 13
【答案】C
7π 7π 4π 3π
【解析】 sin sin sin cos
4π 5
10 10 5 2
.
5 13
故选：C
3．若 sin
1 2
a
, 则 cos a （ ）
6 3 3
1 1 7 7
A． B． C． D．
3 3 9 9
【来源】北京市中国人民大学附属中学 2021-2022 学年高一下学期期末数学模拟练习试
题
【答案】B
1
【解析】：因为 sin a ，
6 3
所以 cos
2 1
cos sin ，故选：B. 3 2 6 6 3
4．已知角 ,02
，且 tan2 3tan sin 4sin2 0，则 sin 2021
（ ）
A 15
1 3
． B． C． D 15．
4 4 4 4
【来源】河南省平顶山市 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】A
【解析】解：因为 tan2 3tan sin 4sin2 0，所以 tan 4sin tan sin 0，
因为
,0 ，所以 t an 0且 sin 0，所以 tan 4sin 0，即
2
sin
4sin 1，所以 cos 15，所以
cos 4 sin 1 cos
2 ，所以
4
sin 2021 sin 1010 2 15 sin sin ；
4
故选：A
5．已知 cos
3
，则 sin （ ）
3 4 6
3 3 3 3
A． B．- C． D．
5 5 4 4
【来源】海南省琼海市嘉积中学 2021-2022 学年高一上学期期末考试数学试题
【答案】C
【解析】因为
，所以 ，
3 6 2 6 3 2
sin sin cos 3所以 .故答案为：C
6 3 2 3 4
6．已知 cos k,k 1,1 , , ，则 sin （2 ）
A． 1 k 2 B． 1 k 2
C． 1 k 2 D．1 k
【来源】上海市徐汇中学 2021-2022 学年高一下学期 3 月月考数学试题
【答案】A
【解析】解：因为 cos k,k 1,1 , , ，所以2 sin 1 cos
2 1 k 2
所以 sin sin 1 k 2 ；故选：A
sin cos
5
7．已知 sin
tan
sin 2
，则 （ ）
2
3 4 3 3
A． B． C． D．
4 3 2 2
【来源】山东省名校（历城二中、章丘四中等校）2021-2022 学年高一下学期 5 月联合
考试数学试题（C 卷）
【答案】D
sin cos sin cos
5
【解析】 sin sin 2
cos sin ，可得
2
sin cos 5 cos sin ，即 4sin 6cos ，故 tan 3 .故选：D.
2
8．已知 sin
7 1 sin 5
，
12 3
（12 ）
1 1
A． B 2 2 2 2． C． D．
3 3 3 3
【来源】内蒙古通辽市开鲁县第一中学 2021-2022 学年高一下学期期中考试数学试题
【答案】C
5
【解析】由题意， sin sin
5 sin 7 1
12 12
．
12 3
故选：C.
9．已知角
sin , cos 4 终边上一点 P 的坐标为 ，则角 5 5 的一个可能值为（ ）
3 4
A． B． C． D．
5 10 5 5
【来源】辽宁省大连市滨城高中联盟 2021-2022 学年高一下学期期中考试数学试题
【答案】B
【解析】 sin
π 4π
0， cos 0，因此 是第四象限角，
5 5
sin2 π cos2 4π sin2 π cos2 π 1，
5 5 5 5
因此 cos sin
π
cos(π π ) cos 3π cos( 3π ) ，
5 2 5 10 10
所以 2kπ
3π
,k Z ，只有 B 符合．
10
故选：B．
10．化简 1 2sin 4 cos 4 的结果为（ ）
A．sin 4 cos4 B． sin 4 cos4 C． cos 4 sin 4 D． sin 4 cos4
【来源】辽宁省大连市滨城高中联盟 2021-2022 学年高一下学期期中考试数学试题
【答案】C
【解析】： 1 2sin 4 cos 4 ，
1 2sin 4cos 4 ， sin 4 cos 4 2 ，
cos 4 sin 4，故选：C
sin 3 3 2021 11．若
，且 是第三象限角，则 cos （ ）
2 5 2
3 - 3 4 4A． B． C． D．
5 5 5 5
【来源】陕西省渭南市临渭区 2021-2022 学年高一下学期期末数学试题
【答案】C
【解析】 sin
3 3
cos
3
， cos ，又 是第三象限角，
2 5 5
2 4 cos 2021 4 sin 1 cos ，
sin .5 2 5
故选：C.
sin
cos
2 2 112．若 3 ，则2 sin
2 sin cos 3cos2 （ ）
sin sin
2
1 3 9 3
A． B． C． D．
10 10 10 2
【答案】C
sin cos
2 2 cos sin 1 tan 1
【解析】解：
sin sin 3
，
sin cos tan 1 2
2
解得 tan 3 ,
2 2
则 sin2 sin cos 3cos2 sin sin cos 3cos
sin2 cos2
tan2 tan 3 9 3 3 9
2 .tan 1 9 1 10
故选：C.
3 4 3
13．已知角 终边上点A 的坐标为 , ，则 cos cos 5 5 （ ） 2
7 7 6 1
A． B． C． D．
5 5 5 5
【来源】河南省南阳市新野县第一高级中学校 2021-2022 学年高一下学期 4 月月考数学
试题
【答案】D
3 4
【解析】∵角 终边上点A 的坐标为 , ，
5 5
x 3 ， y
4
， r OA 1．
5 5
sin y 4 x 3 ， cos ，
r 5 r 5
cos 3 cos cos sin 3 4 1 2 5 ．故选：D 5 5
14．已知角 ,0
，且 tan2 3tan sin 4sin2 0，则 cos 2021
2
（ ）
1
A B 15
1
． ． C D 15． ．4 4 4 4
【来源】河南省南阳市六校 2021-2022 学年高一下学期期中数学试题
【答案】A
【解析】因为 tan2 3tan sin 4sin2 0，
所以 tan 4sin tan sin 0，
因为
,0 ，所以 tan 0且 sin 0，
2
sin
所以 tan 4sin 0，即 4sin ，
cos
所以 cos
1
，
4
所以 cos 2021 cos 1010 2 1 cos cos ；
4
故选：A
sin 2cos
15．若 tan π 3，则 （ ）
sin cos
5 5 1 1
A． B． C． D．
2 2 4 4
【来源】辽宁省葫芦岛市协作校 2021-2022 学年高一下学期第一次联考数学试题
【答案】D
【解析】
由 tan π 3可得， tan 3，
sin 2cos tan 2 3 2 1
故 ，故选:D
sin cos tan 1 3 1 4
二、填空题
16 sin
1 2
．已知 ，那么 cos ______．
6 2 3
【来源】山东省临沂第四中学 2021-2022 学年高一下学期 3 月阶段性达标检测数学试题
1
【答案】 ## 0.5
2
2 2
【解析】：因为 ，所以 3
6 2 3 2 6
2 1
所以 cos cos sin . 3 2 6 6 2
1
故答案为：
2
17 1 2sin 20
sin110
． 的值为__________．
cos 20 1 cos2 160
【来源】江苏省南通市如皋中学 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】1
2
1 2sin 20
【解析】原式＝ cos 20
sin 20 cos 20 sin 20 cos 20
1
．
cos 20 sin160 sin 20 cos 20 sin 20 cos 20
故答案为：1．
cos(π ) cos(2π )
18 sinθ= 3
．若 ，求
3 cos [sin(
3π
) 1] cos(π π 3π )sin( ) sin( ) 的值_______
2 2 2
【来源】黑龙江省大庆市大庆中学 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】6
cos cos 1 1
【解析】原式= cos ( cos + 1) cos cos cos cos 1 1 cos
1 cos 1 cos
2 2
(1 ， cos )(1 cos ) 1 cos2 sin2
2 2
sin 3 2
1 6因为 ，所以 sin .
3 3
cos(π ) cos(2π )
6
所以 cos [sin(3π ) 1] cos(π )sin(π ) sin(3π ) .
2 2 2
故答案为：6.
y x sin 3 19．若角 的终边落在直线 上，则 cos
_____．
2 2
【答案】 2 或 2
【解析】因为角 的终边落在直线 y x 上，所以角 为第一或第三象限角，
sin 3 cos
cos sin 2 2 ，
当角 为第一象限角时， cos sin 2 ， cos sin 2 2 2 ；
2 2 2
当角 为第三象限角时， cos sin 2 ， cos sin 2 2 2 ．
2 2 2
故答案为： 2 或 2 .
π 320
5π π
．已知 cos ，则 cos6 4
sin 6 3
______．
【来源】安徽省宿州市十三所重点中学 2021-2022 学年高一下学期期中联考数学试题
3
【答案】 ##1.5
2
cos π 3【解析】因为 ，
6 4
所以 cos
5π π
sin
6 3
cos 5π π 6
sin
3
cos sin
6 2 6
cos cos
6 6
2cos 2 3 3
，
6 4 2
3
故答案为：
2
三、解答题
sinf cos 2
21．已知 sin . 2
cos
8
(1)化简 f ( )，并求 f 3
的值；
(2)若 f 3，求 2sin2 3sin cos 的值．
【来源】江苏省常州市华罗庚中学 2021-2022 学年高一下学期 3 月月考数学试题
8
【答案】(1) f tan ， f 3
3
9
(2)
10
【解析】(1)
sin cos 2 sin cos( )f
sin( )cos sin
( cos )2 2
sin cos
cos ( cos ) tan
f 8 则 tan
8
3 3
tan 2 3
tan 3 3.
(2)由（1）知， tan 3．
则2sin2 3sin cos
2sin2 3sin cos
sin2 cos2
2sin2 3sin cos
cos
2
sin2 cos2
cos2
2 tan2 3tan 2 32 3 3 9
.
tan2 1 32 1 10
22．（1）若
π 1
是第二象限角，且 cos ，求 tan 的值；
2 3
sin 3π cos 2π sin 3π
2
（ ）已知 f 2
，化简 f ，在（1）的条件下，
cos π sin π
求 f 的值.
【来源】辽宁省沈阳市第一二〇中学 2021-2022 学年高一下学期第一次月考数学试题
1 2 2 2【答案】（ ） （2）
4 3
cos π【解析】（1）
1
sin ， sin
1
， 是第二象限角，
2 3 3
cos 1 sin2 2 2 tan sin 2 ，则 .
3 cos 4
sin 3π cos 2π sin 3π
（2 ） 2 sin cos cos f cos
cos π sin π cos sin
，由（1）知： cos 2 2 ，则 f cos 2 2 .
3 3
sin x sin x 3
23 2 ．已知函数 f x ．
cos 3 x tan x
f 35 (1)求 ；
3
f 1 f 3 (2)若
cos 2sin 2
，求 10sin 的值．3 2 2cos sin
【来源】辽宁省鞍山市第一中学 2021-2022 学年高一下学期期中考试数学试题
1
【答案】(1) (2) 2
2
【解析】(1)
sin x sin x 3
f x 2 sin x cos x cos x ，
cos 3 x tan x cos x tan x
f 35 cos 35 cos 1
．
3 3 3 2
(2)由 f 1 f 3 得 cos
1
sin ， tan 3，
3 2 3
cos 2sin 10sin2 1 2 tan 10 tan
2
所以 7 9 2 ．
2cos sin 2 tan 1 tan2
cos 2
sin 2
24 ．已知 3．
3sin( ) sin 3
2
(1)求 tan( )的值；
(2)求 sin cos cos2 的值．
【来源】山东省潍坊市安丘、高密、诸城 2021-2022 学年高一下学期 5 月份期中检测数
学试题
1 6
【答案】(1) 2 (2) 5
【解析】
cos sin 2
2 3 sin cos (1)由 ，可得 3，
3sin( ) sin 3 3sin cos
2
所以8sin 4cos ，解得 tan
1
，
2
1
所以 tan( ) tan ．
2
(2)由（1）知 tan
1
，
2
sin cos cos2 sin cos cos
2 tan 1 6
所以
sin2 cos2
．
tan2 1 5专题 5.3 诱导公式
1.诱导公式
公 一 二 三 四 五 六 七 八
式
3 3
角 2k
2 2 2 2
正 sin sin sin sin cos cos cos cos
弦
余 cos cos cos cos sin sin sin sin
弦
正 tan tan tan tan cot cot cot cot
切
余 cot cot cot cot tan tan tan tan
切
口 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
诀
知识点二：诱导公式的作用
诱导公式 作用
公式一 将角转化为 0~2π的角求值
公式二 将 0~2π的角转化为 0~π的角求值
公式三 将负角转化为正角
公式四 ~ 0~ 将 π的角转化为 的角求值
2 2
公式五 实现正弦与余弦、正切与余切的互相转化
公式六 实现正弦与余弦、正切与余切的互相转化
一、单选题
1．函数 f (x) a x 3 3（ a 0，且a 1）的图象恒过定点 A，点 A 在角 终边上，则
cos 3 π
2
（ ）
A．-
3 3 4 4
B． C． D．
5 5 5 5
cos 4π 52 sin
7π
．若 ，则
（5 13 10 ）
5 12 5 12
A． B． C． D．
13 13 13 13
sin a 1 , 2 3．若 则 cos a （6 3 3 ）
1 1 7 7
A． B． C． D．
3 3 9 9
4．已知角 ,0 ，且 22 tan 3tan sin 4sin
2 0，则 sin 2021
（ ）
15 1 3A． B． C． D 15．
4 4 4
4
cos 3 5．已知
，则 sin 3 4 6
（ ）
3 - 3 3 3A． B． C． D．
5 5 4 4
6．已知 cos k,k 1,1 , ,
，则 sin （2 ）
A． 1 k 2 B． 1 k 2
C． 1 k 2 D．1 k
sin cos
5
7．已知 tan sin sin 2
，则 （ ）
2
3 4 3 3
A． B． C． D．
4 3 2 2
sin 7 8
1 5
．已知 ， sin （12 3 12 ）
1
A B 2 2
1
C D 2 2． ． ． ．
3 3 3 3
4 9 ．已知角 终边上一点 P 的坐标为 sin ,cos5 5 ，则角
的一个可能值为（ ）
3 4
A． B． C． D．
5 10 5 5
10．化简 1 2sin 4 cos 4 的结果为（ ）
A．sin 4 cos4 B． sin 4 cos4 C． cos 4 sin 4 D． sin 4 cos4
sin 3 3 2021 11．若 ，且
是第三象限角，则 cos （ ）
2 5 2
3 3 4 4
A． B．- C． D．
5 5 5 5
sin cos
2 2 112．若 3 ，则 sin
2 sin cos 3cos2 （ ）
sin sin 2
2
1 3 9 3
A． B． C． D．
10 10 10 2
13．已知角终边上
3
点A 的坐标为 ,
4
，则 cos
3
cos
（5 5 2 ）
7 7 6 1
A． B． C． D．
5 5 5 5
14．已知角 ,02
，且 tan2 3tan sin 4sin2 0，则 cos 2021
（ ）
1
A B 15
1
C D 15． ． ． ．4 4 4 4
15．若 tan π 3 sin 2cos ，则 （ ）
sin cos
5 5 1 1
A． B． C． D．
2 2 4 4
二、填空题
16 sin
1 cos 2 ．已知 ，那么
______．
6 2 3
1 2sin 20 sin110 17． 的值为__________．
cos 20 1 cos2 160
cos(π ) cos(2π )
18 sinθ= 3
．若 ，求
3 cos [sin(
3π
) 1] cos(π )sin(π 3π ) sin( ) 的值_______
2 2 2
19．若角 的终边落在直线 y x
3
上，则 sin cos
_____．
2 2
π
20 cos
3
．已知 ，则 cos
5π
sin
π
______．
6 4 6 3
三、解答题
f sin cos 2
21．已知 sin
cos
.
2
(1)化简 f ( ) f
8
，并求 的值；
3
(2)若 f 3，求 2sin2 3sin cos 的值．
22．（1）若
π 1
是第二象限角，且 cos ，求 tan 的值；
2 3
sin 3π cos 2π 3π sin
（2）已知 f 2
，化简 f ，在（1）的条件下，
cos π sin π
求 f 的值.
sin x sin x
3
23 2 ．已知函数 f x ．
cos 3 x tan x
f 35 (1)求 ；
3
1 3 cos 2sin
(2)若 f f ，求 10sin2 的值．3 2 2cos sin
cos sin
2
24
2
．已知 3
3sin( ) sin 3
．
2
(1)求 tan( )的值；
(2)求 sin cos cos2 的值．
