专题 5.4 三角函数图像与性质
1.正弦函数 y sin x, x R 的性质.
(1).定义域: R .
(2).值域: sin x [ 1,1] .
(3).周期性: 周期函数，周期是 2k , (k Z且k 0) ,最小正周期为 2 .
(4).奇偶性: 奇函数，其图象关于原点对称.
(5).单调性:增区间：（ 2k , 2k ）(k Z )
2 2
3
减区间：（ 2k , 2k ）(k Z )
2 2
(6).对称性: 对称轴： x k , (k Z ) ， 对称中心： (k ,0), (k Z )
2
2.余弦函数 y cos x, x R的性质.
(1).定义域: R .
(2).值域: cos x [ 1,1]
(3).周期性: 周期函数，周期是 2k , (k Z且k 0)，最小正周期为 2 .
(4).奇偶性: 偶函数，其图象关于 y 轴对称.
(5).单调性: 减区间： (2k , 2k ), (k Z )
增区间： ( 2k ,2 2k ), (k Z )
(6).对称性: 对称轴： x k , (k Z )， 对称中心： (k ,0), (k Z )
2
3.正切函数 y tan x的图象与性质.
(1).定义域: {x | x R且x k , k Z}.
2
(2).值域: R
(3).周期性: 周期函数，周期是 k , (k Z且k 0)，最小正周期为 .
(4).奇偶性: 奇函数，其图象关于原点对称.
(5).单调性: 增函数， (k , k ) 为增区间.
2 2
k
(6).对称性: 对称中心： ( ,0), (k Z )
2
4.正弦型函数 y Asin( x ), A 0, x R 的性质.
(1).定义域: R .
(2).值域: [ A, A]
2
(3).周期性: 周期函数，周期是T .
| |
(4).奇偶性: 当 k , k Z 时为奇函数；当 k , k Z 时为偶函数.
2
(5).单调性: 当 0 时：令 2k x 2k , k Z ，求解增区间.
2 2
3
令 2k x 2k , k Z ，求解减区间.
2 2
当 0 时：注意单调区间的转化.
(6).对称性: 对称轴：令 x k , (k Z ) ，求解对称轴方程，对称轴处取最
2
值.
对称中心：令 x k , (k Z )，求解对称中心坐标.
5.余弦型函数 y Acos( x ), A 0, x R 的性质.
(1).定义域: R .
(2).值域: [ A, A]
2
(3).周期性: 周期函数，周期是T .
| |
(4).奇偶性: 当 k , k Z 时为偶函数；当 k , k Z 时为奇函数.
2
(5).单调性: 当 0 时：令 2k x 2k , k Z ，求解减区间.
令 2k x 2 2k , k Z ，求解增区间.
当 0 时：注意单调区间的转化.
(6).对称性: 对称轴：令 x k , (k Z )，求解对称轴方程，对称轴处取最值.
对称中心：令 x k , (k Z ) ，求解对称中心坐标.
2
一、单选题
1．已知函数 f (x) tan 2x，则（ ）
1
A f (x) k ,0 ． 的最小正周期为 ，对称中心为 ,k Z
2
B
1
． f (x) 的最小正周期为 ，对称中心为 k ,0
4
,k Z
1
C． f (x)
的最小正周期为 ，对称中心为 k ,0 ,k Z2 2
f (x) D
1
． 的最小正周期为 ，对称中心为 k ,0 ,k Z2 4
【来源】陕西省榆林市第十中学 2021-2022 学年高一下学期第一次月考数学试题
【答案】D
【解析】因为函数 f (x) tan 2x，
1
所以 f (x)
的最小正周期为T 2 ，对称中心为
k ,0 ,k Z ，故选：D
4
2 “ ” y cos 4x ．用 五点法 作函数 在一个周期内的图像时，第四个关键点的坐标是
6
5
A． ,0
5
B． ,1
12 12
5
C． ,1
5
12
D． ,0
12
【答案】A
【解析】
3 5 5
令 4x ，得 x .∴
该点坐标为 ,0 .故选 A6 2 12 12
3．若函数 f x sin x ( 0)在区间 ，2 内没有最值，则 的取值范围是
3
（ ）
0 1 1 7 0 1 1 2 A． ， ， B． ， ，
12 6 12 6 3 3
7 1 2
C． 0， D ，
12
．
3 3
【来源】江西省新余市 2021-2022 学年高一下学期期末考试数学试题
【答案】A
3
【解析】：函数 y sinx的单调区间为 k ，k 2 2
，k Z ，
3
由 k x k ，k Z ，
2 3 2
k k 7
得 6 x 6 ，k Z ．
函数 f x sin x ( 0) 在区间 ，2 内没有最值，
3
k
7
k
函数 f x 在区间 ，2 内单调， ，2 6 ， 6 ，k Z ，
k
6
，k Z，
k 7
6
2
k 1 k 7 k Z. k 1 k 7 k 5解得 ， 由 ，得 ．
6 2 12 6 2 12 6
1
当 k 0时，得 7 ，
6 12
5 1 1
当 k 1时，得 ，又 0，故0 ，
6 12 12
1 1 7 综上得 的取值范围是 0， ， ，故选 A
12 6 12
4．已知函数 f x sin x
0
在区间 , 内单调递减，则实数 ω
6 2
的取值范围是（ ）
2A ,1
2 4 3
． B
, ． C． 1, 2 D3 ． , 23 3 2
【来源】山东省济宁市 2021-2022 学年高一下学期期末数学试题
【答案】B
2
T 2
【解析】：依题意 ，即T ，又T ，所以 ，解得0 2，2 2 2 0
x , x 7 又 ，所以 , ，所以 ， 2 6 2 6 6 6 2 6 6
2 2 6 2 4
要使函数在 , 内单调递减，所以 ，解得 ， 2 3 3 3
6 2
即
2 4
, ；故选：B 3 3
5．已知 f x sin x 0,0 是R 上的奇函数，若 f x 的图象关于直线
f x , f x 对称，且 在区间 内是单调函数，则 （ ）4 22 11 6
A 3
1 1 3
． B． C．
2 2 2
D．
2
【来源】5.4 三角函数的图像与性质
【答案】A
【解析】因为 f x sin x 0,0 是R 上的奇函数，则 ，
所以， f x sin x sin x ，
因为 f x x 的图象关于直线 对称，则 k k Z ，可得 4k 2 ，
4 4 2
当 x
,
时， x
，
22 11 22 11
f x , 11 2 11因为函数 在区间 内是单调函数，则22 11 ，解得0 ， 2
22 2
所以， k 0， 2，故 f x sin 2x ，因此， f sin
3
.故选：A.
6 3 2
y tan x π , x π , 5π6 ．函数 6 6 12
的值域为（ ）
A． 3,1 B． 1,
3
3
3 C． , 3 (1, ) D． ,1
3
【来源】安徽省合肥市第六中学、第八中学、168 中学等校 2021-2022 学年高一上学期
期末联考数学试题
【答案】A
π x π , 5π z π , π【解析】设 z x ,因为
，所以 ，6 6 12 3 4
因为正切函数 y tan z在 , 上为单调递增函数，且 tan 3，tan 1,
2 2 3 4
所以 tan z 3,1 ．
y tan π∴ 函数 x , x
π
, 5π 的值域为 3,1 ，
6 6 12
故选：A．
7．已知 tan
1
且 ,2 2 ，则
的取值范围为（ ）
tan
,0 A． B． ,0
,
4 4 4 2
0, π C． D． , 4 2 4
0,
4
【来源】陕西省渭南市韩城市 2021-2022 学年高一下学期期末数学试题
【答案】B
【解析】：因为 y tan x 在 , 上单调递增，
2 2
0, 当 时 tan 0,+ tan
1
，则 即 2
2 tan tan 1
，解得 tan 1，所以
, ， 4 2
当 ,0 时 tan ,0
1
，则 tan 即
2 tan tan
2 1，解得 1 tan 0，所
以
1 ,0 ，当 0 时 tan 0，此时 无意义，故舍去， 4 tan
,0 , 综上可得 .故选：B 4 4 2
f x sin x x , 8．已知函数 在 上单调递增，则 的值可以是（4 3 ）
A． B． C． D．
3 4 4 3
【答案】B
2k x , x , 4 2【解析】当 时，4 3 4 3
，则 ,k Z ，
2k
3 2
解得 2k
2k ,k Z ，
4 6
当 k 0时， ，结合选项可知，只有 B 选项符合.故选：B.
4 6
2
9．函数 f x 3sin 2x 的一个单调递减区间是（3 ）
7 13 7 5
A． ， B． ， C． ， D． ， 12 12 12 12 2 2 6 6
【答案】B
2k 2 7 【解析】解 2x 2k 得， k x k k Z ，
2 3 2 12 12
x 7 k 1 11 x 5 13 19 k 0时， ； 时， ； k 1时， x ，
12 12 12 12 12 12
7 ， 是 f x 的一个单调递减区间． 12 12
故选：B．
10．已知函数 f x sin x 0 在 0,2 上有且只有 4 个零点，则 取值范围
4
是（ ）
15 ,19 15 ,19 17A ． B． C． ,
21 17 21
D． ,
4 4 8 8 4 4 8 8
【来源】辽宁省沈阳市第三十一中学、丹东二中 2021-2022 学年高一下学期期中考试数
学试题
【答案】B
【解析】由题意， x 0,2 ， x , 2 ，∴ 4 2 5 ，解得4 4 4 4
15 19≤ ．故选：B．
8 8
1
11．函数 y tan x 的定义域是（2 4 ）
A ． x∣x
4k ,k Z B ． x∣x 2k ,k Z
2 2
C ． x x
3
∣ 2k ,k Z D ． x∣x k ,k Z
2 2
【来源】河南省濮阳市 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】B
1
【解析】令 x k
,k Z ，则 x 2k ,k Z ，故选：B.
2 4 2 2
12．函数 y sin( 2x)的单调减区间是（ ）
4
[k ,k 3 ],(k Z) [2k , 2k 3 A． B． ],(k Z)
8 8 8 8
[2k 3 C． , 2k
7 ],(k Z) 3 7 D．[k ,k ], (k Z)
8 8 8 8
【来源】陕西省宝鸡市渭滨区 2021-2022 学年高一下学期期末数学试题
【答案】A
【解析】 y sin
2x
sin
2x
，要求函数 y sin(
2x)的单调减区间，即求
4 4 4
函数 y sin 2x
的单调增区间.
4
令 2k 2x 2k ,k Z，
2 4 2
3
所以 k x k ,k Z .故选：A.
8 8
13．已知函数 f (x) sin(x )为偶函数，则 的取值可以为（ ）
π
A． B． π
π
C． D．0
2 3
【来源】浙江省金华第一中学 2021-2022 学年高一（2-4 班）下学期开学检测数学试题
【答案】A
【解析】因函数 f (x) sin(x )
π
为偶函数，则 kπ ,k Z，显然 k 1时，
2
π ，即 A 满足，B，C，D 都不满足.故选：A
2
14．记函数 f x sin 2 x b （ 0）的最小正周期为 ．若 T ，且
4
T
3
y f x 3 的图象关于点 , 2 中心对称，则 f （2 10 ）
3 5
A．1 B． C． D．3
2 2
【来源】辽宁省铁岭市昌图县第一高级中学 2021-2022 学年高一下学期期末数学试题
【答案】D
【解析】：函数 f (x) sin( x
) b( 0)
4 的最小正周期为T ，
T 2 2 则 ，由 T
2 2
，得 ， 2 3，
3 3
y f (x) 3 的图像关于点 , 2 中心对称， b 2，
2
且 sin(
3 ) 3 0 ，则 k ， k Z2 4 2 4 ．
2 1 k 4 5 (k )， k Z3 4 ，取 ，可得 ．2
5 5
f (x) sin( x ) 2 f sin ，则
2 sin 2 1 2 32 4 10 2 10 4 2 ．故选：D．
15．已知函数 y Asin x m A 0, 0,
的最大值为 4，最小值为 0，且
2
该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为 ，直线 x 是该函数图象的一条对
2 6
称轴，则该函数的解析式是（ ）
A． y 4sin
2x y 2sin 2x
B． 6
2
6
y 2sin x C．
2 D． y 2sin
x 2
3 3
【来源】北京市中国人民大学附属中学 2021-2022 学年高一下学期期末数学模拟练习试
题
【答案】B
【解析】因为函数 y Asin x m A 0,
0, 的最大值为 4，最小值为 0，
2
A m 4 A 2
所以
A m 0
，解得 ，
m 2
因为该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为 ，
2
T
所以 ，所以T ，
2 2
2
所以 ，得 2，所以 y 2sin 2x 2 ，
因为直线 x 是该函数图象的一条对称轴，
6
2 k , k Z k ,k Z π所以 ，得 ，因为 ，所以 ，
6 2 6 2 6
所以 y 2sin
2x 2，故选：B
6
二、多选题
f (x) tan 16．已知函数 2x
，则下列说法正确的是（3 ）
A． f (x) 在定义域内是增函数 B． y f x 6 是奇函数
C． f (x) 的最小正周期是 D． f (x) 图像的对称中心是
k ,0 4 6
,k Z
【来源】辽宁省大连市第八中学 2021-2022 学年高一下学期 4 月阶段性测试数学试题
【答案】BD
f (x) tan 2x 5 k 【解析】A 错误，∵ 的定义域是 ,
k
,k Z
3 12 2 12 2
，其在
定义域内的每一个区间上都是单调递增函数，但在整个定义域上没有单调性；
B 正确， f x
tan 2
6
x tan 2x ，易知其是奇函数；
6 3
C 错误，函数 f (x) tan 2x
的最小正周期为T ；
3 2
D 正确，令2x
k ,k Z k ，解得 x ,k Z ，所以 f (x) 图像的对称中心是
3 2 6 4
k
,0
6 4
,k Z .
故选：BD.
17．已知 f x 为 R 上的奇函数，且当 x 0时， f x lg x，记
g x sin x f x cos x，下列结论正确的是（ ）
A． g x 为奇函数
B．若 g x 的一个零点为 x0 ，且 x0 0 ，则 lg x0 tan x0 0
C． g x , 在区间 的零点个数为 32 个
D．若 g x 大于 1 的零点从小到大依次为 x1, x2 , ，则7 x1 x2 3
【来源】江西省上饶中学 2021-2022 学年高一下学期第一次月考数学试题
【答案】ABD
【解析】因为 g x sin x f x cos x sin x f x cos x g x ，
所以函数 g x 为奇函数，故 A 正确；假设 cos x 0，即 x k ， k Z 时，
2
sin x f x cos x sin k
cos k 0，
2
所以当 x k ， k Z 时， g x 0 ，
2
当 x
k ， k Z 时， sin x f x cos x 0 tan x f x ，
2
当 x0 0 ， x0 0，则 f x0 f x0 lg x0 ，由于 g x 的一个零点为 x0 ，则
tan x0 f x0 lg x0 lg x0 tan x0 0，故 B 正确；
如图：
当 x 0时，令 y1 tan x， y2 lg x，则 g x 大于 0 的零点为 y1 tan x， y2 lg x，的
交点，由图可知，函数 g x 在区间 0, 的零点有 2 个，由于函数 g x 为奇函数，则
函数 g x 在区间 ,0 的零点有 1 个，并且 g 0 sin 0 f 0 cos 0 02 ，所以函数在
, 区间 2 的零点个数为
4 个，故 C 错误；
3 3 9
由图可知， g x 大于 1 的零点， x1 ， x2 2 ，所以 x1 x2 3 ，4 2 4
9
而 7，故推出7 x1 x2 3 ，故 D 正确.4
故选：ABD.
18．已知函数 f x tan x 5 0, ，点2 ,03 和 ,0 是其相邻的两个 6
, 2 对称中心，且在区间 内单调递减，则 （3 3 ）
A． B． 6 C． D． 3 3 6
【来源】陕西省榆林市第十中学 2021-2022 学年高一下学期期中数学试题
【答案】AD
T
【解析】由正切函数图象的性质可知相邻两个对称中心的距离为 ，得
2
T 2d 2 5 .
6 3
则由T
1得 1 ，即得 1 .
2
由
，且存在单调减区间 , ，则可得 1，2 3 3
∴ f x tan x tan x .
k k
由 ,k Z 得 ,k Z
，因 ，可得 或 ，
3 2 3 2 2 3 6
f x tan x 当 时，
3
，
3
由 k x
k ,k Z ，得 k x k
5
,k Z ，
2 3 2 6 6
f x 则函数 的单调减区间为 k ,k
5
,k Z ，
6 6
令 k 0 ，由 ,
2 5
, ，得函数 f x
, 2 在 上单调递减，
3 3 6 6 3 3
所以
满足题意；
3
当
时， f x tan x
6
，
6
由 k
x k ,k Z ，得 k
2
x k ,k Z ，
2 6 2 3 3
则函数 f x k 2 的单调减区间为 ,k
,k Z ，
3 3
令 k 1 ，由 ,
2 4
, ，得函数 f x
, 2 在 上单调递减，
3 3 3 3 3 3
所以 满足题意；
6
综上可得：
或 满足题意.故选：AD.
3 6
19．设函数 f x sin x
0 ，若 f x 在 0, 上有且仅有 3 条对称轴，则
6
（ ）
A． f x 在 0, 上有且仅有 2 个最大值点
B． f x 在 0, 上有且仅有 2 个零点
C．
7 10
的取值范围是
,
3 3
D． f x 在 0,
10 上单调递增
【来源】江西省上饶市六校 2021-2022 学年高一下学期期末联考数学试题
【答案】ACD
【解析】∵ x 0, ， 0，
∴ 0 x ，∴ x
，
6 6 6
令 t
x ，∴ t ，
6 6 6
画出 y sin t 图象进行分析：
对于 A 选项：由图象可知： f x 在 0, 上有且仅有x1， x3 对应的这 2 个最大值点，
故 A 选项正确；
5 7 17
对于 B 选项：当 3 ，即 时， f x 在 0, 有且仅有 2 个零点；
2 6 3 6
当3
7 17 10
，即 ≤ 时， f x 在 0, 有且仅有 3 个零点，故 B 选项不
6 2 6 3
正确；
对于 C 选项：∵ f x 在 0, 有且仅有 3 条对称轴，
5 7 7 10∴ ，∴ ，
2 6 2 3 3
7 ,10∴ 的取值范围是 3 3 ，故 C 选项正确；
对于 D
选项：∵ x 0, ， 0，∴ 0 x ，∴ x
10
，
10 6 6 10 6
7 10 2 由 C 选项可知， ，∴ ，
3 3 5 10 6 2
即 f x 在 0,10 上单调递增，故 D 选项正确.
故选：ACD.
20．已知函数 f (x) sin x 4
( 0) ，则下列命题正确的是（ ）
A．若 f (x) 在[0, )
39 43
上有 10 个零点，则 ,
4 4
B．若 f (x) 在[0, )
39 43
上有 11 条对称轴，则 ,
4 4
21
C．若 f (x) 2＝ 在[0, )
上有 12 个解，则 ,12
2 2
3 5
D．若 f (x)
, 在 3 2 上单调递减，则
,
4 2
【来源】云南省保山市 2021-2022 学年高一下学期期末质量监测数学试题
【答案】ACD
【解析】
【分析】：因为 x 0, ，所以 x , ，4 4 4
对于 A，因为 f (x) 在[0, )上有 10 个零点，
10 11 39 43所以 ，解得 ，故 A 正确；
4 4 4
对于 B，若 f (x) 在[0, )上有 11 条对称轴，
21 23 41 45所以 ，解得 ，故 B 错误；
2 4 2 4 4
2
对于 C，若 f (x) ＝ 在[0, ) 12 f 2上有 个解，又 ，2 4 2
43
所以
49 21
，解得 12，故 C 正确；
4 4 4 2
x , x , 对于 D，因为 ，所以3 2 4
，
3 4 2 4
若 f (x)
, 在 3 2 上单调递减，
2k 3 6k 3 4 2 4
则 ，解得 ,k Z
3 2k 5
，
4k
2 4 2 2
3 5
又因 0，所以 ，故 D 正确.
4 2
故选：ACD.
f x 2 cos 21．函数 2x 1，对于任意的 a 0,1 ，方程 f x a 1 0 x m
4
仅有一个实数根，则 m 的取值可以为（ ）
5 3 3
A． B． C． D．
8 8 8 4
【来源】辽宁省沈阳市第一中学 2021-2022 学年高一下学期第三次阶段数学试题
【答案】AC
2
【解析】由 f x a 1 0 x m 可得： cos 2x 4 a . 2
因为 a 0,1 2，所以 a 0, 22 2 .
x 0,m 因为 ，所以 2x , 2m
.
4 4 4
因为对于任意的 a 0,1 ，方程 f x a 1 0 x m 仅有一个实数根，
2m 所以 ，解得： m .
2 4 2 8 8
, 5 对照四个选项，只有 A、C 在 .故选：AC 8 8
22 ．已知函数 f (x) tan x ，则下列关于 f (x) 的判断正确的是（3 ）
A
, ．在区间 6 上单调递增
B．最小正周期是
C ．图象关于直线 x 成轴对称 D．图象关于点 ,06
成中心对称
6
【来源】黑龙江省哈尔滨市第一六二中学校 2021-2022 学年高一上学期期末数学试题
【答案】ABD
x 4 【解析】对于选项 A， , 6 时，
x , ，此时 f (x) tan x 为增函
3 2 3 3
数；对于选项 B， f (x) tan x 的最小正周期为T ；
3
对于选项 C，因为 f (0) 3, f (
) 3 ， f (0) f (
) ，所以图象不是关于直线 x
3 3 6
k k
成轴对称；对于选项 D，令 x ， k Z ，得 x ，令 k 1得 x ，所以
3 2 2 3 6
图象关于点 ,06 成中心对称.故选：ABD.
三、解答题
23．已知 f (x) sin x, g(x) cos x
(1)函数 y f ( x) （ 0）在区间 0, 上恰有三条对称轴，求 的取值范围．
(2)函数 h(x) 2g 2 (x) af (x) 6,a为常数，
①当a 9时，求函数 h (x)的零点；
②当 x [
, ]，恒有 h(x) 0，求实数 a的取值范围．
6 2
【来源】宁夏银川唐徕回民中学 2021-2022 学年高一下学期期中考试数学试题
5 7【答案】(1)
2 2
5
(2)① x 2k ，k Z或 x 2k ，k Z；② 6，9
6 6
【解析】(1)解：当0 x 时，0 x ，
由函数 y f ( x) （ 0）在区间 0, 上恰有三条对称轴，
5
所以
7
，
2 2
5 7解得 ；
2 2
(2)解：①当a 9时，令 h(x) 0得 2cos2 x 9sin x 6 0，
因为 cos2 x 1 sin2 x ，所以 2sin2 x 9sin x 4 0，
即 2sinx 1 sinx 4 0，
1
因为 1 sinx 1，所以 sinx ，
2
5
因为 x R ，所以 x 2k ，k Z或 x 2k ，k Z；
6 6
t 1②令 t sinx ，则 1
，
2 ，
函数 h x g t 2t 2 at 4 a，对称轴 t ，
4
a 1 1
当 即 a 2， g t g 0
4 2 min
，得 a 92 ，
所以 2 a 9，
1 a a
当 1即 4 a 2，令 g t g 02 4 min ，得4 4 2 a 4 2 ，
所以 4 a 2，
a
当 1即 a 4，令 g t g 1 0min ，得 a 6 ，4
所以 6 a 4，
综上：为实数 a的取值范围为 6，9 ．
24．已知函数 f x cos x
( 0) ，图象上任意两条相邻对称轴间的距离为
3
．
2
(1)求函数的单调区间和对称中心．
(2)若关于 x 的方程 2sin2 x mcos x 4 0在 x 0， 上有实数解，求实数m 的取值范
2
围．
【答案】(1)答案见解析(2) , 4
f x cos 【解析】(1)函数 x
( 0) ，图象上任意两条相邻对称轴间的距离为
3
．
2
1 2 周期 T ，即T ，那么 ，可得 2．2 2
f (x) cos 2x
3
，
令 2k
2
2x 2k ， k Z，解得 k x k ， k Z，
3 3 6
2
可得函数的单调递增区间 k ,k
， k Z，
3 6
令 2k 2x
2k ， k Z，解得 k - x k
+ ， k Z，
3 6 3
∴可得函数的单调递减区间 k ,k ,k Z， 6 3
k
令 2x k x
k
，解得
，可得对称中心为 ,0
,k Z；
3 2 2 12 2 12
(2)
方程 2sin2 x mcos x 4 0在 x 0， 上有实数解，即2 2cos
2 x mcos x 2 0在
x 0
， 上有实数解，
2
令 t cos x x
， 0，2 上，
t (0,1) ，
1
则 2t 2 mt 2 0在 0，1 上有解，m 2 t ，
t
f t 2 t 1 易得 在 0，1 上单调递增，且 t 0时， f t ，所以
t
m f 1 4，
所以m 范围为 , 4 .
25．已知函数 f (x) sin(2x
2π
) .
3
(1)请用五点法做出 f (x) 一个周期内的图像；
(2)若函数 g(x) f (x) m在区间[0,
π ]上有两个零点，请写出m 的取值范围，无需说明
2
理由.
【来源】北京市石景山区 2021-2022 学年高一下学期期末数学试题
【答案】(1)答案见解析
3
(2) 1,
2
【解析】（1）列表
2x 2π π 3π 0 π 2π
3 2 2
π π
x
5π 2π
3 12 6 12 3
sin 2π 2x 0 1 0 1 0
3
m 1, 3
（2） 的取值范围是
2
.
26．已知函数 f x 3sin x ， （ ， ）函数关于 x 对称.
2 2 4
(1)求 的值及f x 的解析式；
(2)用五点法在下列直角坐标系中画出 f x 7 在
，
4 4
上的图象；
(3)写出 f x 的单调增区间及最小值，并写出取最小值时自变量 x 的取值集合．
【答案】(1) , f x 3sin x (2)详见解析4 4
2k 3 (3) 单调递增区间是 , 2k ， k Z ，最小值为 3，取得最小值的 x 的集合 4 4
x x
5
2k , k Z
4
.
【解析】(1)因为函数关于直线 x 对称，所以 k ,k Z ，
4 4 2
k ,k Z ，因为
4
, ，所以 ，
2 2 4
所以 f x 3sin x 4
(2)首先根据“五点法”，列表如下：
3
x 5 7 4 4 4 4 4
x 3 0
4
2
2
2
y 0 3 0 3 0
(3)令 2k x 2k ，
2 4 2
3
解得： 2k x 2k ， k Z ，
4 4
3
所以函数的单调递增区间是 2k , 2k ， k Z ， 4 4
3 x 3 5 最小值为 令 2k ，得 x 2k ， k Z
4 2 4
x x x 5 函数取得最小值的 的集合 2k ,k Z .
4
27．已知函数 f x sin x 1 6 . 2
(1)求函数 f x 的单调递增区间；
(2)求函数 f x 在区间 0, 2 上的所有零点之和.
【来源】陕西省西安市蓝田县 2021-2022 学年高一下学期期末数学试题
2
【答案】(1)
2k ,
2k k Z 8 (2) 3 3 3
【解析】（1）解：由 2k x 2k ,k Z，解得
2 6 2
2 2k x 2k , k Z . 函数 f x 的单调递增区间为
3 3
2
2k , 2k
k Z . 3 3
1 1
（2）解：由 f x sin x
0 sin x x ，得 ，则 2k k Z 或
6 2 6 2 6 6
x 5 2k k Z . x 2k k Z 2 或 x 2k k Z .又 x 0,2 ， x 0
6 6 3
x 2 或 或 x 2 .即函数 f x 在区间 0,2 2 上的所有零点为 0 ， ，2
3 3
2
，故零点之和为 0 2
8
3 3 .专题 5.4 三角函数图像与性质
1.正弦函数 y sin x, x R 的性质.
(1).定义域: R .
(2).值域: sin x [ 1,1] .
(3).周期性: 周期函数，周期是 2k , (k Z且k 0) ,最小正周期为 2 .
(4).奇偶性: 奇函数，其图象关于原点对称.
(5).单调性:增区间：（ 2k , 2k ）(k Z )
2 2
3
减区间：（ 2k , 2k ）(k Z )
2 2
(6).对称性: 对称轴： x k , (k Z ) ， 对称中心： (k ,0), (k Z )
2
2.余弦函数 y cos x, x R的性质.
(1).定义域: R .
(2).值域: cos x [ 1,1]
(3).周期性: 周期函数，周期是 2k , (k Z且k 0)，最小正周期为 2 .
(4).奇偶性: 偶函数，其图象关于 y 轴对称.
(5).单调性: 减区间： (2k , 2k ), (k Z )
增区间： ( 2k ,2 2k ), (k Z )
(6).对称性: 对称轴： x k , (k Z )， 对称中心： (k ,0), (k Z )
2
3.正切函数 y tan x的图象与性质.
(1).定义域: {x | x R且x k , k Z}.
2
(2).值域: R
(3).周期性: 周期函数，周期是 k , (k Z且k 0)，最小正周期为 .
(4).奇偶性: 奇函数，其图象关于原点对称.
(5).单调性: 增函数， (k , k ) 为增区间.
2 2
k
(6).对称性: 对称中心： ( ,0), (k Z )
2
4.正弦型函数 y Asin( x ), A 0, x R 的性质.
(1).定义域: R .
(2).值域: [ A, A]
2
(3).周期性: 周期函数，周期是T .
| |
(4).奇偶性: 当 k , k Z 时为奇函数；当 k , k Z 时为偶函数.
2
(5).单调性: 当 0 时：令 2k x 2k , k Z ，求解增区间.
2 2
3
令 2k x 2k , k Z ，求解减区间.
2 2
当 0 时：注意单调区间的转化.
(6).对称性: 对称轴：令 x k , (k Z ) ，求解对称轴方程，对称轴处取最
2
值.
对称中心：令 x k , (k Z )，求解对称中心坐标.
5.余弦型函数 y Acos( x ), A 0, x R 的性质.
(1).定义域: R .
(2).值域: [ A, A]
2
(3).周期性: 周期函数，周期是T .
| |
(4).奇偶性: 当 k , k Z 时为偶函数；当 k , k Z 时为奇函数.
2
(5).单调性: 当 0 时：令 2k x 2k , k Z ，求解减区间.
令 2k x 2 2k , k Z ，求解增区间.
当 0 时：注意单调区间的转化.
(6).对称性: 对称轴：令 x k , (k Z )，求解对称轴方程，对称轴处取最值.
对称中心：令 x k , (k Z ) ，求解对称中心坐标.
2
一、单选题
1．已知函数 f (x) tan 2x，则（ ）
1
A． f (x)
的最小正周期为 ，对称中心为 k ,02
,k Z
B
1
． f (x) 的最小正周期为 ，对称中心为 k ,04
,k Z
1
C f (x) ． 的最小正周期为 ，对称中心为 k ,0 ,k Z2 2
D
1
． f (x) 的最小正周期为 ，对称中心为 k ,0 ,k Z
2 4
2 ．用“五点法”作函数 y cos 4x
在一个周期内的图像时，第四个关键点的坐标是
6
5 ,0 5 A ． B． ,112 12
5
C ,1 D
5
． ． ,0
12 12
3．若函数 f x sin x
( 0)在区间 ，2 内没有最值，则 的取值范围是
3
（ ）
A． 0
1
， 1 7 ， B． 0
1
， 1 2 ，
12 6 12 6 3 3
0 7 1 2 C． ，
12
D．
，
3 3
f x sin x 4．已知函数 0 在区间 , 内单调递减，则实数 ω 的取值范 6 2
围是（ ）
2 ,1 2 , 4 3 A． B． 3 3 3
C． 1, 2 D． , 2 2
5．已知 f x sin x 0,0 是R 上的奇函数，若 f x 的图象关于直线
x 对称，且 f x , 在区间 内是单调函数，则 f4 22 11 6
（ ）
1
A 3 B C 1 3． ． ．
2 2 2
D．
2
y tan x π π 5π6．函数
6
, x , 的值域为（6 12 ）
A． 3 3,1 B． 1, 3
3 C． , 3 (1, ) D． ,13
1
7 ．已知 tan 且 ,2 2 ，则
的取值范围为（ ）
tan
A． ,0
B． ,0
,
4 4 4 2
0, π , 0, C． D．
4 2 4 4
8．已知函数 f x sin x 在 x , 上单调递增，则 的值可以是（4 3 ）
A． B． C． D．
3 4 4 3
f x 3sin 2 9．函数 2x 的一个单调递减区间是（3 ）
7 13 7 5
A． ， B12 12 ．
， C． ， D． ， 12 12 2 2 6 6
f x sin x 10．已知函数
0 在 0,2 上有且只有 4 个零点，则 取值范围
4
是（ ）
15 ,19 15 ,19 17 , 21 17 , 21 A． B． 4 4
C． D．
8 8 4 4 8 8
1
11．函数 y tan x
的定义域是（2 4 ）
A ． x∣x 4k ,k Z
B
． x x
∣ 2k ,k Z
2 2
C x x
3
2k ,k Z D x x
． ∣ ． ∣ k ,k Z
2
2
12．函数 y sin( 2x)的单调减区间是（ ）
4
A．[k
,k 3 ],(k Z) [2k , 2k 3 B． ],(k Z)
8 8 8 8
3
C．[2k , 2k
7
],(k Z) [k 3 7 D． ,k ], (k Z)
8 8 8 8
13．已知函数 f (x) sin(x )为偶函数，则 的取值可以为（ ）
π
A． B． π
π
C． D．0
2 3
2
14．记函数 f x sin x b （ 0）的最小正周期为T ．若 T ，且
4 3
y f x 3 的图象关于点 , 2 中心对称，则 f （2 10 ）
3 5
A．1 B． C． D．3
2 2
15．已知函数 y Asin x m A 0,
0, 的最大值为 4，最小值为 0，且
2
该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为 ，直线 x 是该函数图象的一条对
2 6
称轴，则该函数的解析式是（ ）
y 4sin 2x A． B． y 2sin 2x 6
2
6
C． y 2sin x 2 D． y 2sin3
x
3
2
二、多选题
f (x) tan 2x 16．已知函数 ，则下列说法正确的是（3 ）
A． f (x) 在定义域内是增函数 B． y f x 是奇函数
6
C． f (x) 的最小正周期是 D． f (x) 图像的对称中心是
k
,0 ,k Z
4 6
17．已知 f x 为 R 上的奇函数，且当 x 0时， f x lg x，记
g x sin x f x cos x，下列结论正确的是（ ）
A． g x 为奇函数
B．若 g x 的一个零点为 x0 ，且 x0 0 ，则 lg x0 tan x0 0
C． g x 在区间 , 2 的零点个数为 3 个
D．若 g x 大于 1 的零点从小到大依次为 x1, x2 , ，则7 x1 x2 3
18 ．已知函数 f x tan x 0,
，点 ,0
5
和 ,0
是其相邻的两个
2 3 6
2
对称中心，且在区间 , 内单调递减，则 （3 3 ）
A B
． ． 6 C． D． 3 3 6
19．设函数 f x sin x
0 ，若 f x 在 0, 上有且仅有 3 条对称轴，则
6
（ ）
A． f x 在 0, 上有且仅有 2 个最大值点
B． f x 在 0, 上有且仅有 2 个零点
7 ,10 C． 的取值范围是 3 3
D． f x 在 0,
10 上单调递增
20．已知函数 f (x) sin x ( 0) ，则下列命题正确的是（4 ）
A．若 f (x) 在[0, )
39 43
上有 10 个零点，则 ,
4 4
[0, ) 39 , 43 B．若 f (x) 在 上有 11 条对称轴，则
4 4
21
C．若 f (x) 2
＝ 在[0, )上有 12 个解，则 ,12
2 2
3 5
D．若 f (x)
在 , ,
3 2
上单调递减，则
4 2
21．函数 f x 2 cos 2x
1，对于任意的 a 0,1 ，方程 f x a 1 0 x m
4
仅有一个实数根，则 m 的取值可以为（ ）
5 3 3
A． B． C． D．
8 8 8 4
22．已知函数 f (x) tan
x ，则下列关于 f (x) 的判断正确的是（3 ）
A
．在区间 ,
上单调递增 B6 ．最小正周期是
C ．图象关于直线 x 成轴对称 D．图象关于点 ,0 成中心对称6 6
三、解答题
23．已知 f (x) sin x, g(x) cos x
(1)函数 y f ( x) （ 0）在区间 0, 上恰有三条对称轴，求 的取值范围．
(2)函数 h(x) 2g 2 (x) af (x) 6,a为常数，
①当a 9时，求函数 h (x)的零点；
②当 x [
, ]，恒有 h(x) 0，求实数 a的取值范围．
6 2
24．已知函数 f x cos x ( 0) ，图象上任意两条相邻对称轴间的距离为
3
．
2
(1)求函数的单调区间和对称中心．
(2)若关于 x 的方程 2sin2 x mcos x 4 0在 x 0，2 上有实数解，求实数
m 的取值范
围．
f (x) sin(2x 2π25．已知函数 ) .
3
(1)请用五点法做出 f (x) 一个周期内的图像；
(2)若函数 g(x) f (x) m [0,
π
在区间 ]上有两个零点，请写出m 的取值范围，无需说明
2
理由.
26．已知函数 f x 3sin x ， （ ， ）函数关于 x 对称.
2 2 4
(1)求 的值及f x 的解析式；
7
(2)用五点法在下列直角坐标系中画出 f x 在 ， 上的图象； 4 4
(3)写出 f x 的单调增区间及最小值，并写出取最小值时自变量 x 的取值集合．
27．已知函数 f x sin x
1
6
.
2
(1)求函数 f x 的单调递增区间；
(2)求函数 f x 在区间 0, 2 上的所有零点之和.
