1．4 图形的中心对称（第1课时）教学案
一、教与学目标：
(1)、让学生理解中心对称图形和两个图形关于一点成中心对称的概念，并能掌握它们的性质和判定。
（2）、通过对中心对称性质的发现，让学生体验数学猜想、化归、图形运动等数学思想。
（3）、在对性质的探索过程中，进一步培养学生的合情推理能力。
二、教与学重点难点：
重点：中心对称图形与中心对称概念的区别与简单运用；
难点：中心对称图形与中心对称概念、性质的理解与接受，以及怎样用概念与性质来具体运用。
三、教与学方法：合作交流，展示共享
四、教与学过程：
（一）、情境导入：
师：同学们，你们看过魔术表演吗？喜不喜欢？
师：（魔术表演） 前几天我找了一位魔术大师学了个小魔术，现在给大家表演一下，我手中现在有几张扑克牌，下面请一位同学上台来，你任意抽出一张扑克牌，自己看一下，让其它同学看一下，然后把这张牌旋转180 后再插入，再把牌洗几下，展开扑克牌，我马上就能确定这位同学抽出的扑克牌。
好，再找一位同学试一下。我又马上就能确定这位同学抽出的扑克牌。
师：同学们感觉很神秘吧，你想知道其中的奥秘吗？
师：学习了这节课之后，我相信你一定会知道其中的奥密，带着这个问题，这节课我们就来学习中心对称图形。
利用媒体手段，向学生展示现实生活中的丰富多彩的图形，一方面让学生感受自然界图形的拼接和组合之美，培养学生的审美情趣；另一方面在欣赏数学之美的同时，让学生体会数学研究的对象来源于生活，很多数学研究的内容都能在生活找到模型，学会用数学眼光看待、解释生活中的某些现象。
（二）、探究新知：
1、问题导读：
请认真阅读课本第23、24页，探索以下问题：
（1）、么叫中心对称图形？什么是对称中心？
（2）、前面学习的图形中，哪些是中心对称图形？其对称中心是什么？
（3）、中心对称图形有什么性质？
合作交流一：
、利用多媒体展示图片，让学生回答这些图形有什么共同特征？（都可以由一个基本图形经过旋转而得到）
演示"风车"旋转过程，复习旋转。
共同回顾轴对称图形，某图形沿某条轴对折能重合，那么有没有什么图形绕着某点旋转也能重合呢？今天我们就来研究这个问题。
（3）能 将上图中的“风车”绕其上的一点旋转180度，使旋转前后的图形完全重合吗？正六边形呢？
个性化设计
解析：观察旋转动画，显示其旋转180度能完全重合的特殊性
3、精讲点拨一：
（1）、定义:在平面内，一个图形绕某个点旋转180o，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。把一个图形绕某一点旋转180度，如果它能够与另一个图形重合，那么我们就说这两个图形关于这个点对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点，叫做关于中心的对称点。
（2）、平行四边形是中心对称图形吗？如果是,请找出它的对称中心，并设法验证你的结论。
（3）、通过上面的实验活动，你能验证平行四边形的哪些性质？
（4）、正三角形是中心对称图形吗？怎么验证？
解析：中心对称图形很多，如边数为偶数的正多边形都是中心对称图形。
合作交流二：
多媒体展示图片
左图是一幅中心对称图形，O是对称中心，请你找出点A绕点O的旋转180度后的对应点B；
点C的对应点D在哪？
你能很快找到点E的对应点F吗？
5、精讲点拨二 ：
中心对称的性质：连接中心对称图形上每一对对称点的线段都经过对称中心，且被对称中心平分。
提出问题：如果两个图形的的对应点连线都经过某一点，并且被这点平分，那么这两个图形是否关于这一点对称？
结论：如果两个图形的的对应点连线都经过某一点，并且被这点平分，那么这两个图形关于这一点对称；反过来，照样成立。
议一议：中心对称图形与轴对称图形的区别与联系
解析：通过表格演示
（三）、学以致用：
1、巩固新知：
课后练习24页1、2题；26页习题1、2题。
2、能力提升：
如图，画出四边形ABCD关于点O成中心对称的四边形。
解析：学生通过自己亲自动手画图感受中心对称，然后由电脑演示画图过程，感受对称的美。
、达标测评：
1、（2011四川）下列图形中，是中心对称图形的是 ( )
A． B． C． D．
个性化设计
2、（2011山东枣庄）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
3、（2011福建龙岩）下列图形中是中心对称图形的是（ ）
4、已知点P（－3，1），则点P关于y轴的对称点的坐标是 ，点P关于原点O的对称点的坐标是 。
（五）、魔术揭密：
五、课堂小结：
（1）谈一谈，这节课你有哪些收获？
(2)对于本节所学内容你还有哪些疑惑？
作业布置：配套练习册第一课时。
七、教学反思：
肥城汶阳中学 董丰伟
个性化设计
A B C D
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41.5 梯形（第2课时）教学案
一、教与学目标：
1、掌握梯形的相关判定并能证明等腰梯形的判定定理。
2、逐步学会分析和综合的思考方法，发展合乎逻辑的思考能力。
3、经历对操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受证明的必要性、感
受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径。
4、感受探索活动中所体现的转化的数学思想方法。
二、教与学重点难点：
重点就是等腰梯形的判定
难点是解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）．
三、教与学方法：合作交流，展示共享
四、教与学过程：
（一）、问题导入：
命题、逆命题；定理、逆定理的定义是什么？
对顶角相等的逆命题是什么？它是原定理的逆定理吗 为什么？
（二）、探究新知：
1、问题导读：
（1）、等腰梯形的性质定理1是什么？它的条件跟结论各是什么？其逆命题是什么？是真命题吗？思考并于同学交流证明方法
（2）、等腰梯形的性质定理1是什么？它的条件跟结论各是什么？其逆命题是什么？是真命题吗？思考并于同学交流证明方法
2、合作交流：
（1）、等腰梯形的性质定理1的逆命题是真命题，形成等腰梯形判定定理1：在同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C
求证：AB=CD
（学生分别展示自己的证法，教师点拨：平移腰、延长腰、作高均可，此题可一题多解，提高学生思维的发散性）
（2）、等腰梯形的性质定理2的逆命题是真命题,形成等腰梯形判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形
已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AC=BD
求证：AB=CD
（学生展示自己的证法，教师点拨：证全等、平移对角线均可）
个性化设计
3、精讲点拨：
、判定一的证明方法很多：一是延长腰（把梯形转化为三角形），二是平移腰（化梯形为平行四边形与三角形），三是作高（化梯形为矩形跟直角三角形），化未知为已知的解题意识再次得到强化。
（2）、判定二的证明相对困难一点，因为它在证全等的过程中缺乏条件，需要再次证明：方法一是作高，通过易证两个全等的直角三角形获得一组角相等，从而为下一组全等积累条件；方法二是平移对角线，通过等边，产生了一组等角，进而构造了全等的条件。
（3）、“挑战自我”中可把大梯形分割成四个上底50厘米，下底100厘米，告示50厘米的直角梯形。
（三）、学以致用：
1、巩固新知：
课后练习1、2题。
意在进一步巩固基本概念及基本证明过程。
2、能力提升：
课本第33页习题1.5A组的5—7题。
、达标测评：
1、(2012浙江绍兴县3阶段)有一等腰梯形纸片ABCD（如图），AD∥BC，AD＝1，BC＝3，沿梯形的高DE剪下．由△DEC与四边形ABED不一定能拼接成的图形是（ ▲ ）
A．直角三角形 B．矩形 C.平行四边形 D．正方形
答案：D
2、（2011 临沂）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD．AD=2，BC=6，∠B=60°，则梯形ABCD的周长是（ ）
A、12 B、14 C、16 D、18
分析：作高，借助直角三角形的知识易得C．
3、（2012黄冈）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC ，AD=4，AB=CD=5，∠B=60°，则下底BC的长为________.
分析：过点D作DE∥AB交BC于点E，则可得四边形ABED为平行四边形、△DEC为等边三角形，∴BE= AD=4，EC=CD=5， ∴BC=4+5=9.
本题解题关键是利用常作的辅助线化梯形为平行四边形和等边三角形来解决问题，当然还有其他方法.难度中等.
4.（2012襄阳）如图10，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC与ED相交于点F．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．
分析：（1）通过证明△DEC≌△AEB，得AB＝CD．这一问相对简单（2）这问属于条件开放探究性问题，解答时，可以“执果索因”，从题目的结论出发逆向追索，再通过综合分析推理而获得结果．运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”易发现四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形，从而有AB∥DE，然后结合菱形的性质，发现AB需与AC垂直，接着发现△ABE是等边三角形即可解决问题．
解：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEC＝∠EDA，∠BEA＝∠EAD．
又∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA．∴∠DEC＝∠AEB．
又∵EB＝EC，∴△DEC≌△AEB．∴AB＝CD．∴梯形ABCD是等腰梯形．
（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．
证明：∵AD∥BC，BE＝EC＝AD，∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．∴AB＝ED．∵AB⊥AC，∴AE＝BE＝EC．∴四边形AECD是菱形．
过A作AG⊥BE于点G，∵AE＝BE＝AB＝2，
∴△ABE是等边三角形，∠AEB＝60°．∴AG＝．
∴S菱形AECD＝ECAG＝2×＝．
五、课堂小结：
（1）谈一谈，这节课你有哪些收获？
(2)对于本节所学内容你还有哪些疑惑？
六、作业布置：课本33页B组，配套练习册本节练习。
七、教学反思：
肥城市汶阳镇初级中学 邸力军
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
E
C
D
第1题
E
图10
A
C
B
D
E
F
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41.3特殊的平行四边形（第2课时）教学案
一、教与学目标：
知识目标：
1．掌握矩形判定条件.
2．提高对矩形判定在实际生活中的应用能力.
能力目标：
1．经历探索矩形的有关判定条件的过程，在直观操作活动和简单的说理过程中发展学生的合情推理能力，主观探索习惯.
2．知道解决矩形问题的基本思想是化为三角形问题来解决，渗透转化归思想.
情感目标：
1．在操作活动过程中，加深对矩形的的认识，并以此激发学生的探索精神.
2．通过对矩形的探索学习，体会它的内在美和应用美.
二、教与学重点难点：矩形的判定的理解和掌握.
三、教与学方法：通过设置的问题引导学生思考、发现和交流．
四、教与学过程：
（一）、情境导入：、
演示平行四边形活动框架，引入课题.
问题：从上面的演示过程可以发现：平行四边形具备什么条件时，就成了矩形？（学生思考、回答.）
矩形，即长方形，是生活与生产中最常见的一种平行四边形．课本的封面、课桌的桌面、教室的门窗与黑板等，都给我们以矩形的形象。
结论：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(rectangle)．
（二）、探究新知：
1、交流与发现
运用定义可以判断一个平行四边形是不是矩形．此外，还有其他的方法吗
思考：对角线相等的平行四边形是矩形吗
已知：如图1--16，在口ABCD中，AC=BD．
求证：口ABCD是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD．
又∵AC=BD，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB．
∴∠ABC=∠DCB．
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=l800．
∴∠ABC=900．
∴口ABCD是矩形．
于是，就得到
矩形的判定定理 对角线相等的平行四边形是矩形．
温馨提示一
对于矩形的判定方法，可以引导学生思考，形成自己的猜想，然后互相交流．小莹提出的问题，实际上是“矩形的性质定理2的逆命题是否成立”的问题，对此可由学生作出回答，然后再引导证明这个猜想，得出矩形的判定定理.
个性化设计
2、典例分析
如图在□ABCD中，AC，BD相交于点O，△AOB是等边三角形．求∠ACB的度数．
解∵△AOB是等边三角形，
∴OA=OB．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC.OB=OD
∴AC=BD．
∴口ABCD是矩形．
在Rt△ABC中，
∵∠BAC=600．
∴ ∠ACB=300．
（例2可以由学生自行探索解题思路，然后师生共同完成解答）
（三）、学以致用：
1.求证：有三个角是直角的四边形是矩形．(可以应用)
2.在四边形ABCD中，A C，BD交于点0．在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( )．
(A)AB=CD，AD=BC，AC=BD
(B)A0=CO，BO=DO，∠A=900
(C) ∠A=∠C，∠B+∠C=1800，AC⊥BD
(D) ∠A=∠B=900．AC=BD
3．如图，直线AB、MN为任意射线，PM平分∠AMN，MQ平分∠BMN，NP⊥MP，NQ⊥MQ．求证：四边形PMQN为矩形．
（四）、达标测评：
1．填空：
(1)有一个角是 的平行四边形是矩形；
(2)有三个角是 的四边形是矩形；
(3)对角线相等的 是矩形．
(4)（2012山西）如图，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件 ，可使它成为矩形．
2.选择：
(1)（2012泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（ ）
A．3 B．3.5 C．2.5 D．2.8
个性化设计
(2)（2012泰安）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为（ ）
A．9：4 B．3：2 C．4：3 D．16：9
3．解答：
（2012六盘水）如图，已知E是口ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△FCE．
（2）连接AC．BF，若∠AEC=2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．
五、课堂小结：
(1）谈一谈，这节课你有哪些收获？
(2)对于本节所学内容你还有哪些疑惑？
六、作业布置：配套练习P6 1----8
七、教学反思：
个性化设计
o
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11．4 图形的中心对称（第2课时）教学案
一、教与学目标：
(1)、理解中心对称的概念
（2）、掌握中心对称的性质
（3）、能画出已知图形关于已知点成中心对称的图形
（4）、能平分某些图形的面积
二、教与学重点难点：
重点：能画出已知图形关于已知点成中心对称的图形
难点：能利用中心对称的性质平分某些图形的面积
三、教与学方法：合作交流，展示共享
四、教与学过程：
（一）、知识回顾
1、在平面内， 绕着某个点旋转1800，能与 的图形重合， 叫做中心对称图形。
2、在平面内，一个图形绕某一个点旋转 ，它能够和另一个图形 ，就说这两个图形关于这个的 ，这个点叫做 ，旋转后的两个图形上能够 的点叫做关于对称中心的对称点。
3、连接两个成中心对称的图形上得对称点得线段，经过 ，且被 平分。
（二）、探究新知：
1、中心对称定义及性质
如图，已知△ABC及三角形外地一点O，连接AO,BO和CO,并分别延长至A，，B，和C，，使OA，=OA,OB，=OB,OC，=OC.；连接A，B，，B，C，,C，A，得到△A，B，C，
（1）在平面内，将△ABC绕点O旋转1800，它能与△A，B，C，重合吗？
中心对称的定义：
。这个点叫做 ，旋转后的两个图形上能够重合的点叫做 。
在图中， 和 关于点O成中心对称， 是对称中心。点A,B,C关于对称中心O的对称点分别是 。
（2）在图中，点D,E的对称点分别是D，，E，，连接DD，和EE，，你有什么发现？与同学交流。
个性化设计
（3）中心对称和中心对称图形是同一个概念吗？他们之间有联系吗？
2、合作交流：
如：如图，线段AB和CD交于点O,且OA=OB,OC=OD.△AOC和△BOD
如果吧△AOC和△BOD看成是一个图形，那么这个图形是 。
3、精讲点拨：中心对称的作图
例1、已知A点和O点，画出点A关于点O的对称点A'（图略）
解析： 连结OA，并延长到A’，使OA’=OA，则A’是所求的点
例2、已知线段AB和O点，画出线段AB关于点O的对称线段A’B’（图略）
解析：连结AO并延长到A’，使OA’＝OA，则得A的对称点A’
连结BO并延长到B’，使OB’＝OB，则得B的对称点B’
连结A’B’，则线段A’B’是所画线段
规律总结：(1)画一个点关于某点(对称中心)的对称点的画法是先连接这个点与对称中心并延长一倍即可。
(2)画一个图形关于某点的对称图形的画法是先画出图形中的几个特殊点（如多边形的顶点、线段的端点，圆的圆心等）关于某点的对称点，然后再顺次连结有关对称点即可。
（三）、学以致用：
如图，过矩形ABCD的对称中心O任意作一条直线l，它将矩形ABCD分割为两个图形，这两个图形有什么关系？ 。
个性化设计
过平行四边形的对称中心任意任意作一条直线呢？
你能得到什么结论，与同学交流。
挑战自我
图是一块钢板，你能用一条直线把它分割为面积相等的两部分吗？
（四）、达标测评：
1、如图所示，图中的四组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有 （ ）
A 1组 B 2 组 C 3组 D 4组
2、已知如图中的两个四边形关于某点对称，找出它们的对称中心
个性化设计
肥
3、如图， 在 ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为 （ ）
4、如图，画出四边形ABCD关于点O成中心对称的四边形。
五、课堂小结：
（1）谈一谈，这节课你有哪些收获？
(2)对于本节所学内容你还有哪些疑惑？
六、作业布置：配套练习册第2课时。
七、教学反思：
肥城汶阳中学 董丰伟
个性化设计
A 3 B 6 C 1 2 D 24
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41．3 特殊的平行四边形（第1课时）教学案
教与学目标：
（1）、掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．
（2）、会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．
（3）、经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识；掌握几何思维方法.并渗透运动联系、从量变到质变的观点．
（4）、探索矩形的性质并会灵活运用.
二、教与学重点难点：
重点就是理解矩形的性质．
难点是矩形的性质的灵活应用．
教与学方法：合作探究，交流展示
四、教与学过程：
（一）、情境导入：
（案例1）
1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？
（案例2）
1．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（演示拉动过程如图）
2．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义．
矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．
矩形是我们最常见的图形之一，例如桌面、教科书的封面等都有矩形形象．
利用课件展示，向学生展示现实生活中的丰富多彩的图形，加强了对于各种特殊平行四边形的认识．利用平行四边形教具演示，让学生体会从平行四边形如何运动演变为矩形，加强了直观性，提高了学习的兴趣．
（二）、探究新知：
1、问题导读：
在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．
① 随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？
② 当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？
2、合作交流：
操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质．
矩形性质1： 矩形的四个角都是直角．
矩形性质2：矩形的对角线相等．
个性化设计
如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO=AC=BD．
因此可以得到直角三角形的一个性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
3、精讲点拨：
1、典例分析:
例1、 已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠BOC=120°，AB=6cm，求矩形对角线的长．
分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求．
解：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC与BD相等且互相平分．
∴ OA=OB．又∠BOC=120°
∴∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形．
∴OA=AB=6cm
∴ 矩形的对角线长AC=BD = 2OA=2×6=12（cm）．
例2、（补充）已知：如图，矩形 ABCD，AB长8 cm，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．
分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．
略解：设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在Rt△ABD中，由勾股定理：，解得x=6． 则 AD=6cm．
（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AE×DB＝ AD×AB，解得 AE＝ 4.8cm．
2、挑战自我：小莹的说法正确．可以让学生利用课本与笔杆进行实验，引导他们利用直角三角形的性质进行思考，得出结论．事实上，由于AB的长度不变，因而在点P下滑的过程中，OP的长也不变．因此，点P的下落路线是以点O为圆心，以AB的长为半径的一段圆弧．
（三）、学以致用：
1、巩固新知：
课后练习1、2题．
2、能力提升：
课本第21页习题1.3的1—4题．
个性化设计
（四）、达标测评：
1、选择题：
（1）、下列说法错误的是（ ）
A.矩形的对角线互相平分 B.矩形的对角线相等
C.有一个角是直角的四边形是矩形
D.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
（2）、矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ）
A.2对 B.4对 C.6对 D.8对
（3）、矩形对角线的夹角为60°，对角线长为15cm，较短边长为（ ）
A.12cm B.10cm C.7.5cm D.5cm
2、填空题：
（4）、已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为 cm， cm， cm， cm．
（5）、（2012 宁夏）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA=1：2，且AC=10，则DE的长度是 .
3、解答题：
（6）、已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数．
（7）、（2012 肇庆）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．（1）求证：BD=BE；
（2）若∠DBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积．
五、课堂小结：
（1）谈一谈，这节课你有哪些收获？
(2)对于本节所学内容你还有哪些疑惑？
六、作业布置：第（7）小题．
七、教学反思：
个性化设计1．2 平行四边形的判定（第1课时）教学案
教与学目标：
（1）、探索并证明平行四边形判定定理1和判定定理2.
（2）、探索平行四边形的性质定理1与判定定理1互为逆命题的关系，经历平行四边形判定条件的探索过程，发展学生的合情推理意识和表述能力．
（3）、会应用平行四边形的判定定理解决一些简单问题.
（4）、体会辅助线在证明中的作用，进一步培养学生的演绎推理能力，学会数学思考，规范推理的书写格式．
二、教与学重点难点：
重点就是理解平行四边形的判定定理1、2并能灵活应用．
难点是平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．
教与学方法：合作探究，交流展示
四、教与学过程：
（一）、情境导入：
（案例1）
课件演示图片：选择各种四边形图片展示．
2、提出问题：在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形？你是怎样判断的？
利用课件，向学生展示现实生活中各种四边形，一方面让学生感受现实中四边形不同的形状，提高学生的感性认识；另一方面让学生体会数学研究的对象来源于生活，体现了数学的工具化作用．
（二）、探究新知：
1、问题导读：
小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？
请学生通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨：
（1）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？
（2）你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？
（3）你能说出你的做法及其道理吗？
（4）能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？
（5）你还能找出其他方法吗？
2、合作交流：
探究1：将两长两短的四根木条用小钉绞合在一起，你怎样把它们拼成一个平行四边形？并观察：转动这个四边形，使它改变形状，在图形变化的过程中，它一直是平行四边形吗？
学生以小组为单位，利用课前准备好的学具动手操作、观察,完成探究活动1．然后教师演示flash动画，共同得到：
（1）只有将两两相等的木条分别作为四边形的两组对边才能得到平行四边形．
（2）通过观察、实验、猜想到：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
探究2：如果仅有一组对边平行且相等，那么，它是否是平行四边形？
个性化设计
精讲点拨：
（1）、师生总结：
平行四边形判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
平行四边形判定定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
（2）、典例分析：
例1：
如图，E,F,G,H分别是□ABCD的边AD,AB,AC,CD上的点，且AE=CG,BF=DH.求证：四边形EFGH是平行四边形
分析：本题可以利用判定定理1，这就需要证明四边形EFGH的两组对边分别相等，需要证明他们所在的两对三角形全等.证明略.
（三）、学以致用：
1、巩固新知：
课后练习1、2题.
主要是利用判定定理1、2解决平行四边形的判定问题.
2、能力提升：
课本第12页习题1.2的1—3题.
（四）、达标测评：
1、选择题：
（1）、（2012 巴中）不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行 B．一组对边平行另一组对边相等
C．一组对边平行且相等 D．两组对边分别相等
（2）、将两个全等三角形用各种不同的方法拼成四边形，平行四边形的个数是（ ）
A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个
（3）、A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD；这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法共有（ ）
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
（4）、（2012 广元）若以A（-0.5，0）、B（2，0）、C（0，1）三点为顶点要画平行四边行，则第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2、填空题：
（5）、在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=___ cm，CD= cm时，四边形ABCD为平行四边形.
（6）、以长度为5cm、4cm、7cm的三条线段中的两条为边，以另一条线段为对角线画平行四边形，可以会出形状不同的平行四边形的个数是（ )
3、解答题：
（7）、如图，E、F是四边形ABCD对角线AC上两点，AF=CE，DF∥BE，DF=BE.
个性化设计
求证：四边形ABCD是平行四边形.
（8）、如图， 已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
变式一：在□ABCD中，E，F为AC上两点，BE//DF．求证：四边形BEDF为平行四边形．
变式二：在□ABCD中，E,F分别是AC上两点，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F.求证:四边形BEDF为平行四边形.
想一想：在□ABCD中， E，F为AC上两点， BE＝DF．那么可以证明四边形BEDF是平行四边形吗？
（五）、课堂小结：
（1）谈一谈，这节课你有哪些收获？
(2)对于本节所学内容你还有哪些疑惑？
（六）、作业布置：第（8）小题.
（七）、教学反思：
个性化设计
H
G
E
C
B
F
A
D
D
C
B
A
E
F
E
F
D
C
B
A
41.5 梯形（第1课时）教学案
一、教与学目标：
(1)、经历探索梯形的有关概念、性质的过程，在简单的操作活动中发展学生的说理意识、主动探究的习惯，初步体会平移、轴对称的有关知识在研究等腰梯形性质中的运用
(2)、探索并掌握梯形的有关概念和基本性质，探索并了解等腰梯形的性质，能用它们解决简单的问题。
二、教与学重点难点：
重点就是掌握梯形的有关概念和基本性质；
难点是利用等腰梯形的性质解决相关的问题。
三、教与学方法：合作交流，展示共享
四、教与学过程：
（一）、情境导入：
给出课本第27页北梯子及篮球架的图片，也可以结合实际，在网上多搜几组图片，让学生充分体会到，梯形在生活中有很多实例。
（二）、探究新知：
1、问题导读：
（1）、观察生活中的这些图片，你发现哪些面是梯形？
（2）、你还能举出生活中梯形的例子吗？
（3）、归纳总结梯形的定义？
（4）、掌握梯形的组成元素：底、腰、高。
（5）、什么是等腰梯形和直角梯形？
（6）、等腰梯形是轴对称吗？对称轴有几条？对折后哪些地方对应相等？
（7）、等腰梯形同一厎上的两个内角相等吗？为什么？等腰梯形的两条对角线相等吗？为什么？把你的证明方法与同伴交流。
2、合作交流：
（1）、生活中有许多梯形的例子，比如铁塔、墩桩等，它们就是只有一组对边平行，而另一组对边不平行的四边形就叫做梯形。平行的两边叫做梯形的底，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间、与底垂直的线段叫梯形的高。
（2）、
一般梯形
梯形 直角梯形：一腰垂直于底的梯形
特殊梯形
等腰梯形：两腰相等的梯形
（3）、等腰梯形是轴对称图形，对称轴只有一条，对折后通过重合可以得到等腰梯形两腰相等、同一底上的两个内角相等。当然，梯形的对角线也相等。
个性化设计
3、精讲点拨：
、性质一的证明很简单：一是平移一腰（将梯形转化为平行四边形跟三角形的组合），利用同位角及等边对等角证明；二是作两条高线（将梯形转化为矩形及直角三角形），借助全等证明。（其实两种方法均是采用化未知为已知的思想）。
（2）、性质二的证明可根据等腰梯形的性质定理1及SAS来证明。
（3）、“挑战自我”中的有几个直角三角形应是本节中的难点。学生在短时间内往往不能说出其原因，教师可以引导：如果一个三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。（这个定理要求在教师们讲解矩形的性质推论时要补充逆定理），这个问题解决了，其它就不是问题了。
（三）、学以致用：
1、巩固新知：
课后练习1、2题。
意在进一步巩固基本概念及基本证明过程。
2、能力提升：
课本第33页习题1.5A组的2—4题。
、达标测评：
1、（2012临沂）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC．BD相交于点O，下列结论不一定正确的是（ ）
A．AC=BD B．OB=OC C．∠BCD=∠BDC D．∠ABD=∠ACD
考点：等腰梯形的性质。
解答：解：A．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，故本选项正确；
B．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，∠ABC=∠DCB，
在△ABC和△DCB中，
∵，
∴△ABC≌△DCB（SAS），∴∠ACB=∠DBC，∴OB=OC，故本选项正确；
C．∵无法判定BC=BD，∴∠BCD与∠BDC不一定相等，故本选项错误；D．∵∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，∴∠ABD=∠ACD．故本选项正确．
故选C．
2、（2012 广州）如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于点E，且EC=3，则梯形ABCD的周长是（ ）
A．26 B．25 C．21 D．20
分析：由BC∥AD，DE∥AB，即可得四边形ABED是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，即可求得BE的长，继而求得BC的长，由等腰梯形ABCD，可求得AB的长，继而求得梯形ABCD的周长
3、（2012中考）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90 ，AB＝7cm，BC＝3cm，AD＝4cm，则CD＝ ２ cm．
分析：作DE∥BC于E点，得到四边形CDEB是平行四边形，根据∠A+∠B=90°，得到三角形ADE是直角三角形，利用勾股定理求得AE的长后即可求得线段CD的长．
4. ( 2012巴中)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,BD⊥DC,点E是BC 的中点且DE∥AB,则∠BCD的度数是____________
分析：∵AD∥BC,DE∥AB,∴四边形ABED是平行四边形∴AB=DE,在等腰梯形ABCD中,AB=DC,∴DE=DC
∵BD⊥DC,∴∠BDC=900,又点E是BC 的中点
∴DE=EC=DC,即△DEC是等边三角形，故∠BCD=600
（本题考查的知识点有平行四边形的判定、等边三角形的判定等腰梯形及直角三角形的性质，是比较综合的题目）
5.（2012内江）如图8，四边形ABCD是梯形，BD＝AC且BD⊥AC，若AB＝2，CD＝4，则S梯形ABCD＝ 9 .
分析：在等腰梯形问题中，如果有对角线互相垂直条件，将其中一条对角线进行平移产生辅助线是常用解题思路．事实上，对角线互相垂直的等腰梯形的高等于其上、下底和的一半．解决此题，还可以证明△AOB和△COD
是等腰直角三角形，在求得AC、BC长后，利用S梯形ABCD＝△ACD＋△ACB＝AC·BD解答．
五、课堂小结：
（1）谈一谈，这节课你有哪些收获？
(2)对于本节所学内容你还有哪些疑惑？
六、作业布置：配套练习册本节练习。
七、教学反思：
肥城市汶阳镇初级中学 邸力军
A
B
C
D
E
A
B
D
C
E
F
O
A
B
D
C
图8
PAGE
41.6 中位线定理 教学案
一、教与学目标：
1、掌握三角形中位线的定义和定理，能用综合法证明三角形中位线定理。
2、掌握梯形中位线的概念和梯形中位线定理
3、能够应用中位线概念及定理进行有关的论证和计算，进一步提高学生的计算能力和分析能力
4、体会证明过程中所运用的归纳、概括及转化等数学思想，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力
二、教与学重点难点：
重点就是三角形、梯形中位线定理
难点是两个中位线定理的证明及应用．
三、教与学方法：合作交流，展示共享
四、教与学过程：
（一）、问题导入：
什么叫三角形的中线？一个三角形有几条中线？
如图，△ABC中，D是AB的中点，E是AC的中点，你能证明△ADE∽△ABC吗？那么DE是不是△ABC的中线？
若不是中线，那么它是三角形的什么线呢？它有什么性质？
这节课我们就来研究以上问题
（二）、探究新知：
1、问题导读：
（1）、什么叫三角形中位线？一个三角形有几条中位线？它与三角形中线有什么区别？
（2）、在上图中，请你测量一下∠ADE= 度，∠B= 度，DE= 厘米，BC= 厘米。由此可以猜想三角形的中位线DE与第三边BC有怎样的关系？你能证明这个猜想吗？
（3）、三角形的中位线有什么性质？
（4）连接任意四边形的各边中点，得到的四边形是什么图形，为什么？
（5）、什么叫梯形中位线？一个梯形有几条中位线？
（5）、画一个梯形，并画出它的中位线，猜测中位线与梯形两底的位置、数量有何关系？只有猜测是不行的，你能用已学的知识来证明它吗？
（7）、梯形的中位线有什么性质？
2、合作交流：
（1）、三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。一个三角形有三条中位线。区别：中线的两个端点一个是顶点，另一个是对边的中点。中位线的两个端点都是边的中点。
（2）、定理的证明：延长中位线一倍，通过全等，构造平行四边形，进而得到所要证明的位置及数量关系。
（3）、连接任意四边形的各边中点，得到的四边形是平行四边形。证明方法：通过图中出现的多个中点，创造三角形中位线环境（如图连接
个性化修改
对角线），通过中位线的性质完成平行四边形的判定条件。
（4）梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.证明方法分析：把EF转化为三角形中位线，然后利用三角形中位线定理即可证得.
3、精讲点拨：
、三角形中位线定理的证明，在处理这个问题上，要把重点放在让学生体会思考证明思路上，尤其是辅助线的做法上，为什么要这样做辅助线，这样做辅助线以后，构造了什么样的图形，形成了什么样的隐含条件，这些条件在定理的证明过程中起到了什么作用，以及在证明过程中各个条件之间的转换。把这些问题交给学生自己思考，交流，提高了学生自主学习的能力。
（2）、梯形中位线定理的证明说明：延长BC到E，使 ，或连结AN并延长AN到E，使 ，这两种方法都需证三点共线（A、N、E或B、C、E）较麻烦，所以可连结AN并延长，交BC线于点E，这样只需证 即可得 ，从而证出定理结论.
（3）、连接任意四边形的各边中点一定会得平行四边形。但如果所连中点的四边形对角线比较特殊：对角线相等（得菱形）；对角线垂直（得矩形）；对角线垂直且相等（得正方形），证明方法可结合特殊四边形的判定定理。
（三）、学以致用：
1、巩固新知：
课后练习36页、38页1、2题。
意在进一步巩固基本概念并能正确应用。
2、能力提升：
课本第39页习题1.6A组
、达标测评：
1、（2011 湘西州）如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，若中位线EF=2cm，则BC边的长是（ ）
A、1cm B、2cm C、3cm D、4cm
分析：由E、F分别是AB、AC的中点，可得EF是△ABC的中位线，直接利用三角形中位线定理即可求BC，选D。
2、（2011 泰州）如图，直角三角形纸片ABC的∠C为90°，将三角形纸片沿着图示的中位线DE剪开，然后把剪开的两部分重新拼接成不重叠的图形，下列选项中不能拼出的图形是（ ）
A、平行四边形 B、矩形 C、等腰梯形 D、直角梯形
分析：将剪开的△ADE绕E点顺时针旋转180°，使EA与EB重合，得到矩形，也就是平行四边形，将剪开的△ADE绕D点逆时针旋转180°，使DA与DC重合，得
到等腰梯形，故不能得到直角梯形．选D
3、（2011山东省潍坊）如图，△ABC中．BC=2．DE是它的中位线．下面三个结论：（1）DE=1；(2)△ADE∽△ABC；(3)△ADE的面积与△ABC的面积之比为l：4．其中正确的有( )．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
分析：本题需先根据相似三角形的判定和性质以及三角形的中位线的性质逐个分析，即可得出正确答案。选D。
4、等腰梯形的腰长为5cm，它的周长是22cm，则它的中位线长为 6 cm．
分析：根据等腰梯形的腰长和周长求出AD+BC，根据梯形的中位线定理即可求出答案
5、在梯形ABCD中，AD∥BC，中位线长为5，高为6，则它的面积是 30 ．
分析：利用梯形的中位线的定义求得两底和，在利用梯形的面积计算方法计算即可．
4.（2012 贺州）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3CD，对角线AC、BD交于点O，中位线EF与AC、BD分别交于M、N两点，则图中阴影部分的面积是梯形ABCD面积的（ ）
A、 B、 C、 D、
分析：首先根据梯形的中位线定理，得到EF∥CD∥AB，再根据平行线等分线段定理，得到M，N分别是AD，BC的中点；然后根据三角形的中位线定理得到CD=2EM=2NF，最后根据梯形面积求法以及三角形面积公式求出，即可求得阴影部分的面积与梯形ABCD面积的面积比．
解答：解：过点D作DQ⊥AB，交EF于一点W，
∵EF是梯形的中位线，∴EF∥CD∥AB，DW=WQ，∴AM=CM，BN=DN．
∴EM=CD，NF=CD．∴EM=NF，∵AB=3CD，设CD=x，∴AB=3x，EF=2x，
∴MN=EF﹣（EM+FN）=x，
∴S△AME+S△BFN=×EM×WQ+×FN×WQ=（EM+FN）QW=x QW，
S梯形ABFE=（EF+AB）×WQ=QW，S△DOC+S△OMN=CD×DW=xQW，
S梯形FECD=（EF+CD）×DW=xQW，∴梯形ABCD面积=xQW+xQW=4xQW，
图中阴影部分的面积=x QW+xQW=xQW，
∴图中阴影部分的面积是梯形ABCD面积的：=．
故选：C．
五、课堂小结：
（1）谈一谈，这节课你有哪些收获？
(2)对于本节所学内容你还有哪些疑惑？
六、作业布置：课本39页A组。
七、教学反思：
肥城市汶阳镇初级中学 邸力军
PAGE
41．2 平行四边形的判定（第2课时）教学案
教与学目标：
（1）、探索并证明平行四边形判定定理3.
（2）、经历平行四边形判定条件的探索过程，发展学生的合情推理意识和表述能力．
（3）、会应用平行四边形的判定定理和性质定理解决一些简单问题.
（4）、体会辅助线在证明中的作用，进一步培养学生的演绎推理能力，学会数学思考，规范推理的书写格式．
二、教与学重点难点：
重点就是理解平行四边形的判定定理3并能灵活应用．
难点是平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．
教与学方法：合作探究，交流展示
四、教与学过程：
（一）、情境导入：
（案例1）1．用定义法证明一个四边形是平行四边形时，要什么条件？
2．用所学的判定方法一判定一个四边形的平行四边形的条件是什么？
3．平行四边形的对角线互相平分的逆命题如何表达？是否是真命题？
利用问题引导，让学生回顾判定平行四边形的条件，有利于学生唤醒所学知识．通过平行四边形的对角线互相平分的逆命题表达，使学生认识到了新旧知识之间的联系，有利于新知识的发生与发展，也有利于提高他们的探究意识与能力．
（二）、探究新知：
1、问题导读：
如图，将两根细木条AC、BD的中点重叠，用小钉绞合在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形ABCD.并观察：转动两根木条，四边形ABCD一直是平行四边形吗？
2、合作交流：
小组合作：转动四边形，改变它的形状的过程中，能否观察得到在此过程中它始终是一个平行四边形；师生共同探索得出：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
思考：这个方法的前提是什么？结论又是什么？
已知：如图：在四边形ABCD中，AC、BD相交于O，OA=OC，OB=OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
个性化设计
分析：证明这个四边形是平行四边形的方法有：（1）两组对边分别相等；（2）平行四边形的定义：两组对边分别平行。（学生口述证明过程）
小结：由刚才证明可得，只要有对角线互相平分，可判定这个四边形是平行四边形.
几何语言表达：∵OA=OC， OB=OD ∴四边形ABCD是平行四边形.
3、精讲点拨：
(1)、典例分析：
例2、如图，在□ABCD中，E,F是对角线BD上的两点，且BE=DF.
求证：四边形AECF为平行四边形.
分析：此题可以通过研究发现，既可以利用定义，也可以判定定理1，2，3来证明.并且若连接AC，利用判定定理3来证明更为简捷.证明略.
(2)、挑战自我”中，小明的命题是一个假命题.事实上，等腰梯形符合命题的条件，但不是平行四边形.可以启发学生画出等腰梯形，观察分析即可.
(3)、总结平行四边形的几种判断方法.
（三）、学以致用：
1、巩固新知：
课后练习1、2题.
第1题实质上又得到了平行四边形的一种判断方法，可以当作定理来用.
2、能力提升：
课本第12页习题1.2的4题，B组1-2题.
（四）、达标测评：
1、选择题：
（1）、下列条件中，能够判断一个四边形是平行四边形的是（ ）
A.一组对角相等 B.对角线相等
C.一组对角相等 D.对角线相等
（2）、下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（ ）．
A.对角线互相垂直 B.对角线相等
C.对角线互相垂直且相等 D.对角线互相平分
（3）、已知下列四个命题：①一组对边平行且相等的四边形；②两组对角分别相等的四边形；③对角线相等的四边形；④对角线互相平分的四边形.其中能判定平行四边形的命题的个数为（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
（4）、以不共线三点为三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形的个数是（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
（5）、四边形ABCD的四个角∠A∶∠B∶∠C∶∠D满足下列哪一条件时，四边形ABCD是平行四边形？（ ）
A.1∶2∶2∶1 B.2∶1∶1∶1 C.1∶2∶3∶4 D.2∶1∶2∶1
（6）、若□ABCD的周长为40cm，ΔABC的周长为27cm，则AC的长是（ ）
A.13cm B.3cm C.7cm D.11.5cm
2、填空题：
个性化设计
（7）、在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=__ cm，DO= cm时，四边形ABCD为平行四边形．
（8）、（2012 佳木斯）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、
AD上，请添加一个条件 ，使四边形AECF是平行四边形（只填一个即可）．
3、解答题：
（9）、如图所示，□AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
（10）、（2012 沈阳）已知，如图，在□ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE=CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．
（1）求证：△AEM≌△CFN；
（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．
、
五、课堂小结：
（1）谈一谈，这节课你有哪些收获？
(2)对于本节所学内容你还有哪些疑惑？
六、作业布置：第（9）、（10）小题．
七、教学反思：
个性化设计
C
D
O
B
A
C
D
O
B
A
C
D
A
B
O
E
F
41.3特殊的平行四边形（第4课时）教学案
一、教与学目标：
知识目标：
1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。
2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。
能力目标：
1．正确运用正方形的性质解题。
2．通过四边形的从属关系渗透集合思想。
情感目标：
通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点
二、教与学重点难点：
重点：正方形的性质.
重点：正方形性质的应用
三、教与学方法：平行四边形，矩形，菱形，正方形之间的共性，特性及从属关系（可以通过画图，简单的集合关系图，举反例等来说明）。
四、教与学过程：
（一）复习提问
1.让学生叙述平行四边形、矩形、菱形的定义和它们的特殊性质。
2.说明平行四边形，矩形，菱形的内在联系。
（二）引入新课
矩形和菱形都是特殊的平行四边形，那么更加特殊的平行四边形是什么图形？它又有什么特殊性质呢？这一堂课就来学习这种特殊的图形——正方形.
（二）、探究新知：
你能从一张矩形纸片上剪出一个正方形吗
如图，正方形是一种特殊的矩形，在人们的生活与生产中应用很广．你能举出一些正方形的实例吗
一组邻边相等的矩形叫做正方形(square)．
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间有什么关系
在图的适当位置上分别填入这四种图形的名称．
1、观察与思考
观察图，思考下面的问题：
(1)正方形有几条对称轴
(2)正方形的边、角、对角线各具有什么性质
(3)具备什么条件的菱形是正方形
(4)怎样判定一个平行四边形是正方形 怎样判定一个四边形是正方形
温馨提示：
a、可以利用问题(1)(2)引导学生探索正方形的性质：正方形有四条对称轴；
个性化设计
正方形的对边平行、四边相等；正方形的四个角都是直角；正方形的对角线相等、互相垂直平分等．
B、问题(3)(4)是正方形的判定。教学中应让学生说出有一个角是直角的菱形是正方形；既是矩形又是菱形的四边形是正方形.
2、典例分析
例3如图，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O．
(1)求∠ACB的度数；
(2)图中有哪些全等的直角三角形 把它们分别写出来．
解(1)∵正方形ABCD是矩形，
∴∠BCD=900．
∵正方形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BCD．从而∠ACB=450．
(2)Rt△ABC≌Rt△BCD≌Rt△CDA≌Rt△DAB；
（三）、学以致用：
1、巩固新知：
（1）．证明：有一个角是直角的菱形是正方形．
（2）．如图，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．四边形EFGH是正方形吗 为什么
（四）、达标测评：
1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )．
A．四个角都是直角
B．对角线互相平分 ‘
C．对角线相等
D．对角线平分每一组对角
2.（天津）如图．将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为( )
(A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60°
3．若正方形的一条对角线长为，则它的边长是 ．
4．如图，正方形ABCD中，△BMC为等边三角形，
则∠AMB=
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5.（2012 长沙）如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．
求证：△BDG∽△DEG；
6．如图，正方形ABCD，点P为对角线上的一点，且四边形BFPG矩形，
求证：DP=GF．
7.（2012 珠海）如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′（此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上），A′B′交AD于点E，连接AA′、CE．
求证：△ADA′≌△CDE；
五、课堂小结：
(1）谈一谈，这节课你有哪些收获？
(2)对于本节所学内容你还有哪些疑惑？
六、作业布置：配套练习P8 1----8
七、教学反思：
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A
D
C
B
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11．3特殊的平行四边形（第3课时）教学案
一、教与学目标：
知识目标：
1.菱形的定义.2.菱形的性质.3.菱形的判定.
能力目标：
1.经历探索菱形的性质和判定条件的过程，在操作活动和观察、分析过程中进一步了解和体会说理的基本方法.
2.了解菱形的现实应用和常用判定条件.
情感目标：
在操作活动过程中，培养学生的观察能力，并提高学生的学习兴趣；在学习过程中，来体会菱形的图形美和内在美.
二、教与学重点难点：
重点:菱形的性质及判定方法.
难点:菱形性质和直角三角形的知识的综合应用.
三、教与学方法：自主探究 合作交流
四、教与学过程：
（一）、情境导入：、
在三幅图片中，你能看到平行四边形的形象吗 每个平行四边形的邻边具有怎样的特征
菱形定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(rhombus)
（二）、探究新知：
1、交流与发现一
菱形具有平行四边形的所有性质．此外，菱形还具有哪些特殊性质呢
(1)菱形是轴对称图形吗 如果是，它有几条对称轴 取一张菱形纸片折一折，试一试．
(2)根据菱形的轴对称性，你发现菱形的边具有什么性质 菱形的对角线具有
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哪些性质
(3)你能运用菱形的定义及平行四边形的性质，证明你得到的命题是真命题吗 与同学交流．
菱形的性质定理1菱形的四条边都相等．
菱形的性质定理2菱形的两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角．
温馨提示一：
对于菱形性质的探索，要类比矩形性质的探索过程．先从菱形与平行四边形的从属关系入手，认识菱形具有平行四边形的一切性质，然后通过菱形的轴对称性，认识菱形的边和对角线的性质．
2、交流与发现二
你能说出“菱形的两条对角线互相垂直”的逆命题吗 你能证明这个命题是真命题吗
已知：如图在□ABCD中，AC，BD相交于点0，AC⊥BD．
求证：□ABCD是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴A0=C0．
∵AC⊥BD．
∴BD是线段AC的垂直平分线．
∴ AD=CD(线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)
∴□ABCD是菱形、(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)．
想一想:你还有其他的证明方法吗
于是得到：
菱形的判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形
温馨提示二
要明确：菱形的定义是判定一个四边形是菱形的最基本的方法，其他判定方法都是以定义为基础推导出来的．然后，引导学生对性质定理的逆命题进行探索．性质1的逆命题可以通过证明确定为判定定理1；性质定理2的逆命题与矩形的情形类似，可以引导学生举出反例否定其正确性，再通过增加平行四边形的条件得到判定定理2．
小结：
菱形的判定方法：
(1)一组邻边相等的平行四边形；
(2)四边相等的四边形；
(3)对角线互相垂直的平行四边形；
（三）、学以致用：
1、巩固新知：
（1）．在菱形ABCD中，∠A=600，对角线BD的长为7cm．求菱形的周长．
（2）．如图，在□ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF交AD于F，交BC于E．求证：四边形AECF是菱形．
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2、能力提升：
如图，将宽度为lcm的两张纸条交叉重叠在一起，重叠的部分组成了四边形ABCD．
(1)四边形ABCD是菱形吗 为什么
(2)如果么ABC=300，你会求四边形么BCD的面积吗
（四）、达标测评：
1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )．
A．对角相等 B．对边相等
C．对角线互相垂直 D．对边平行
2．能够判定一个四边形是菱形的条件是( )
A．对角线相等且互相平分
B．对角线互相平分且垂直
C．对角线互相平分
D．对角线相等
3.（2012成都）如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ）
A．AB∥DC B．AC=BD
C．AC⊥BD D．OA=OC
4.（2012 苏州）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长（ ）
A 4 B 6 C 8 D 10
4．已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是
5．菱形的面积为24cm2，一条对角线长为6cm，则另一条对角线长为 ，边长为
6．如图，AD是△ABC的角平分线．DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F四边形AEDF是菱形吗 说明你的理由．
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7.（2012 聊城）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
求证：四边形OCED是菱形．
五、课堂小结：
(1）谈一谈，这节课你有哪些收获？
(2)对于本节所学内容你还有哪些疑惑？
六、作业布置：配套练习P7 1----8
七、教学反思：
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11﹒1 平行四边形及其性质（第2课时）教学案
一、教与学目标：
1、能正确说出平行四边形的对角线互相平分的性质；知道平行四边形的面积的计算方法。
2、会用平行四边形的对角线互相平分的性质进行有关的论证和计算。
3、经历探索平行四边形性质的过程，发现学生的合情推理的意识，提高应用能力。
二、教与学重点难点：
重点：利用平行四边形的特征与性质，解决简单的推理与计算问题。
难点：发展学生的合情推理能力。
三、教与学方法：自主探究 合作交流
四、教与学过程：
（一）、复习回顾：
1、平行四边形的特征：对边 ，对角 。
2、如图，在平行四边形ABCD中，AE垂直于BC，E是垂足。如果∠B=53°，那么∠D与∠DAE分别等于多少度 为什么
让学生回忆平行四边形的特征，复习回顾上节学过的平行四边形的有关知识。
（二）、探究新知：
1、问题导读：
有一块平行四边形形状的米糕，小亮亮和小晶晶要一人吃一半，你能帮他们平分这块米糕吗？
2、合作探究：
根据上面的问题，画出右边的图形：
（1）平行四边形的两条对角线有什么特征？
（2）你能证明你发现的结论吗？
【探究】活动一：学生利用学具（两个平行四边形纸片，其中一张是透明的），通过旋转180度，两张纸片重合，发现OA=OC,OB=OD。
即平行四边形的对角线互相平分。
活动二：学生独立思考后自主交流，明确证明线段相等的方法，利用三角形全等，图中有两对，选中其中一对即可。这样就将四边形问题转化为三角形问题。
通过探索，引导学生得出结论：OA=OC，OB=OD。同时又引导学生说出平行四边形的特征：平行四边形的对角线互相平分。
(培养学生用自己的语言叙述性质。)
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采用动手操作感知，辅以三角形全等知识的应用，发现验证了所要学习的内容，并用规范的数学语言将它们表达出来。
3、例题讲解：
例1、如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O。指出图中相等的线段。
(引导学生得出结论：AO=OC，OD=OB，AB=CD，AD=BC。本题目的是让学生初步掌握平行四边形对角线互相平分以及对边相等的应用。)
例2、如图，在平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB＝6，那么对角线AC与BD的和是多少
解 ：在平行四边形ABCD中，已知AB＝6，AO+BO+AB＝15，
∴ AO+BO＝15-6＝9．
又∵ AO＝OC， BO＝OD(平行四边形对角线互相平分)，
∴ AC+BD＝2AO+2BO＝2(AO+BO)＝２×９＝18．
(本题应让学生回答，老师板演。注意条理性，进一步培养学生数学说理的习惯与能力。)
（三）、学以致用：
1、巩固新知：
课后练习1、2题。
意在进一步巩固平行四边形性质的应用。
2、能力提升：
1．判断对错
（1）在平行四边形ABCD中，AC交BD于O，则AO=OB=OC=OD ( )
（2）平行四边形的两组对边分别平行且相等 （ )
（3）平行四边形是轴对称图形（ ）
2、如图在ABCD中，BC＝10cm，AC=8cm，BD＝14cm,△AOD的周长是多少？为什么？ △ABC与△DBC的周长哪个长？
3、ABCD的对角线AC、BD交于点O，若AB＝4，△AOB的周长是16，则对角线BC与BD的和等于多少？
（四）、达标测评：
1、判断题
（1）在ABCD中，AC交BD于O，则AO=OB=OC=OD。 （ ）
（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等。（ ）
（3）平行四边形的两组对边分别平行且相等。 （ ）
2、□ABCD中，对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，则边AB长的取值范围是______。
3、平行四边形周长是40cm，则每条对角线长不能超过______cm。
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4、在□ABCD中，AC与BD交于O，若OA＝3x，AC＝4x＋12，则OC的长为______。
5、公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB＝15cm，AD＝12cm，AC⊥BC，求小路BC，CD，OC的长，并算出绿地的面积。
6、已知：如图，在□ABCD中，从顶点D向AB作垂线，垂足为E，且E是AB的中点，已知□ABCD的周长为8.6cm，△ABD的周长为6cm，求AB、BC的长．
( http: / / www. / )
五、课堂小结：
（1）谈一谈，这节课你有哪些收获？
（2）对于本节所学内容你还有哪些疑惑？
六、作业布置：配套练习册。
七、教学反思：
肥城市汶阳镇初级中学 刘守燕
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