高中数学必修第一册人教A版（2019） 4.3.2 对数的运算 导学案（含答案）

第四章 指数函数与对数函数
4.3.2 对数的运算
1.理解对数的运算性质．(重点)
能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)
3.会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(易混点)
重点：对数的运算性质
难点：对数的运算性质的探究是教学的难点，突破这个难点的关键是抓住指数式与对数式之间的联系，启发学生进行转化。
1．对数
(1)指数式与对数式的互化及有关概念：
(2)底数a的范围是________________.
2.运算性质
条件 ,且，
性质
(nR)
3.换底公式
(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)．
问题提出：在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质．你认为可以怎样研究？
我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？
探究一：对数的运算性质
回顾指数幂的运算性质：
，，．
把指对数互化的式子具体化：
设，，
于是有．
根据对数的定义有：，，．
于是有对数的运算性质：
如果，且时，M>0，N>0，那么：
（1） ；（积的对数等于两对数的和）
（2） ；（商的对数等于两对数的差）
（3） ；（）．（幂的对数等于幂指数乘以底数的对数）
1．思考辨析
(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．(　　)
(2)loga(xy)＝logax·logay.(　　)
(3)log2(－3)2＝2log2(－3)．(　　)
例1．求下列各式的值
（1）log84＋log82；（2）log510－log52 （3）log2（47×25）
跟踪训练1 计算下列各式的值：
(1)lg －lg ＋lg ；
(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；
(3).
探究二：换底公式
问题1：前面我们学习了常用对数和自然对数，我们知道任意不等于1的正数都可以作为对数的底，能否将其它底的对数转换为以10或为底的对数？
把问题一般化，能否把以为底转化为以为底？
探究：设，则，对此等式两边取以为底的对数，得到：
，根据对数的性质，有：，所以．
即．其中，且，，且．
公式 ；称为换底公式．
用换底公式可以很方便地利用计算器进行对数的数值计算．
问题2：在4.2.1的问题1中，求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍，就是计算 2 的值。
例3.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震M之间的关系为
2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？
跟踪训练2求值：
(1)log23·log35·log516； (2)(log32＋log92)(log43＋log83)．
1．计算：log153－log62＋log155－log63＝(　　)
A．－2　　　　B．0　　　　C．1　　　　D．2
2．计算log92·log43＝(　　)
A．4 B．2 C. D.
3．设10a＝2，lg 3＝b，则log26＝(　　)
A. B. C．ab D．a＋b
4． log816＝________.
5．计算：(1)log535－2log5＋log57－log51.8；
(2)log2＋log212－log242－1.
1.对数的运算法则。
2.利用定义及指数运算证明对数的运算法则。
3.对数运算法则的应用。
4.换底公式的证明及应用。
参考答案：
二、学习过程
思考辨析 1. [答案]　(1)√　(2)×　(3)×
例1.解：（1）log84＋log82＝log88＝1.
（2）log510－log52＝log55＝1
(3) log2（47×25）= log2219 =19
跟踪训练1[解]　(1)原式＝(5lg 2－2lg 7)－·lg 2＋(2lg 7＋lg 5)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5
＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
(3)原式＝＝＝＝.
例2.[解]
问题2：换底公式可得2=，
利用计算工具，可得=，
由此可得，大约经过7年，B地景区的
游客人次就达到2001年的2倍，类似地，可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍，:…所需要的年数。
例3解:设里氏9.0级和里氏8.0级地震的能量分别为E1和E2
设里利用计算工具可得，
虽然里氏9.0级和里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出的能量却是后者的约32倍。
跟踪训练2.[解]　(1)原式＝··＝＝＝4.
(2)原式＝
＝＝·＝..
三、达标检测
1.【答案】B　[原式＝log15(3×5)－log6(2×3)＝1－1＝0.]
2.【答案】D　[log92·log43＝·＝.]
3.【答案】B　[∵10a＝2，∴lg 2＝a，
∴log26＝＝＝.]
4.【答案】　[log816＝log2324＝.]
5【答案】(1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5
＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.
(2)原式＝log2＋log212－log2－log22
＝log2＝log2＝log22＝－.