高中数学必修第一册人教A版（2019） 4.3.2 对数的运算 导学案（含答案）

【新教材】4.3.2 对数的运算（人教A版）
1、通过具体实例引入，推导对数的运算性质；
2、熟练掌握对数的运算性质，学会化简，计算.
1.数学抽象：对数的运算性质；
2.逻辑推理：换底公式的推导；
3.数学运算：对数运算性质的应用；
4.数学建模：在熟悉的实际情景中，模仿学过的数学建模过程解决问题.
重点：对数的运算性质，换底公式，对数恒等式及其应用；
难点：正确使用对数的运算性质和换底公式．
预习导入
阅读课本111-113页，填写。
1．对数的运算性质
若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝___________________，
(2)loga＝___________________，
(3)logaMn＝___________________(n∈R)．
[点睛]　对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时， 等式才成立．例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．
2．换底公式
若c>0且c≠1，则logab＝(a>0，且a≠1，b>0)．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)积、商的对数可以化为对数的和、差． (　　)
(2)loga(xy＝logax·logay. (　　)
(3)log2(－5)2＝2log2(－5)． (　　)
(4)由换底公式可得logab＝. (　　)
2．计算log84＋log82等于(　　)
A．log86　　　 B．8　　　 C．6　 　　 D．.1
3．计算log510－log52等于(　　)
A．log58　　　 B．lg 5　　 　 C．1　　　 D．.2
4．log48＝________.
题型一 对数运算性质的应用
例1 计算下列各式的值:
(1)log2+log224-log284;
(2)lg 52+lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2.
跟踪训练一
1.计算下列各式的值
(1)log3+lg 25+lg 4++(-9.8)0.
(2)2log32-log3+log38-.
题型二 换底公式的应用
例2 计算下列各式的值:
(1);　(2).
跟踪训练二
1.化简:
(1)log23·log36·log68;
(2)(log23+log43)(log32+log274).
题型三 对数的综合应用
例3 (1)若3x=4y=36,求的值;
(2)已知3x=4y=6z,求证:.
跟踪训练三
1.已知3a=7b=M,且=2,求M的值
1.＝(　　)
A.　　 B．2　 　 　　C.　 　　　D.
2．2log510＋log50.25＝(　　)
A．0　　　　 B．1　 　　　C．2　　　 　 D．.4
3．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是(　　)
A．a－2　　　　　　　　　　 B．3a－(1＋a)2
C．5a－2 D．－a2＋3a－1
4．计算log225·log32·log59的结果为(　　)
A．3　　　　 B．4　 　　　C．5　　　　 D．.6
5．已知a2＝(a＞0)，则loga＝________.
6．lg ＋lg的值是________．
7．若logab·log3a＝4，则b的值为________．
8．求下列各式的值：
(1)2log525＋3log264；
(2)lg(＋)；
(3)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2.
答案
小试牛刀
1．(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．D
3. C
4.
自主探究
例1 【答案】(1)- (2)3
【解析】(1)(方法一)原式=log2=log2=-.
(方法二)原式=log2+log2(23×3)-log2(22×3×7)
=log27-log2(25×3)+3+log23-1-log23-log27
=-×5-log23+2+log23=-+2=-.
(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(1+lg 2)+(lg 2)2
=2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2)
=2+lg 5+lg 2=2+1=3.
跟踪训练一
1.【答案】(1) 5 (2) -7
【解析】(1)log3+lg 25+lg 4++(-9.8)0
=log3+lg 52+lg 22++1
=+2lg 5+2lg 2+=3+2(lg 5+lg 2)
例2 【答案】(1) (2)
【解析】(1)原式=.
(2)原式=
=.
跟踪训练二
1.【答案】(1) 3 (2)
【解析】(1)原式=log23·=log28=3.
(2)原式=
=log23×log32
=log23×.
例3 【答案】(1) 1 (2)
【解析】(1)∵3x=4y=36,∴x=log336,y=log436,
∴=2log363=log369,
=log364.
∴=log369+log364=log3636=1.
(2)设3x=4y=6z=m,则x=log3m,y=log4m,z=log6m.
所以=logm3,=logm4,=logm6.
故=logm3+logm4=logm3+logm=logm3+logm2
=logm(3×2)=logm6=.
跟踪训练三
1.【答案】3
【解析】因为3a=7b=M,所以a=log3M,b=log7M,
所以=2logM3+logM7=logM9+logM7=logM63=2,
所以M2=63,因为M>0,所以M==3.
当堂检测
1-4．BCAD
4．2
5．1
81
7．【答案】（1） 22；（2） ；（3）1.
【解析】(1)∵2log525＝2log552＝4log55＝4，
3log264＝3log226＝18log22＝18，
∴2log525＋3log264＝4＋18＝22.
(2)原式＝lg(＋)2
＝lg(3＋＋3－＋2)
＝lg 10＝.
(3)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2
＝(lg 5)2－(lg 2)2＋2lg 2
＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2
＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2
＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.