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5.3 诱导公式
第2课时 诱导公式(二)
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 诱导公式五～六
(1)公式五：sin＝cos α；cos＝sin α.
以－α替代公式五中的α，可得公式六．
(2)公式六：sin＝cos α；cos＝－sin α.
注意点：
(1)名称发生了变化，实现了正弦和余弦的相互转化．
(2)运用公式时，把α“看成”锐角．
(3)符号的变化要看把α看成锐角时所在的象限．
知识点二 诱导公式的理解、记忆与灵活应用
公式一～四归纳：α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”．
公式五～六归纳：±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．
六组诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变；前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.已知sin＝，则cos的值等于( )
A. B.－ C. D.－
答案：D
解析：cos＝cos＝－sin＝－.
题后反思：解决化简求值问题的策略：①首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．②可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化．③常见的互余关系有：－α与＋α，＋α与－α等；常见的互补关系有：＋θ与－θ，＋θ与－θ等．
2.若sin(3π＋α)＝－，则cos(－α)等于( )
A.－ B. C. D.－
答案：A
解析：∵sin(3π＋α)＝－sin α，∴sin α＝，∴cos(－α)＝cos(－α)＝－cos(－α)＝－sin α＝－.
题后反思：利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成(0，)内的三角函数值”这种方式求解．
3.若sin<0，且cos>0，则θ是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
答案：C
解析：∵sin＝cos θ<0，cos＝－sin θ>0，∴sin θ<0，∴角θ是第三象限角．
4.若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(2π－α)的值为( )
A.－ B. C.－ D.
答案：C
解析：∵sin(π＋α)＋cos＝－sin α－sin α＝－m，∴sin α＝.故cos＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－m.
5.(多选)设α是三角形的一个内角，则下列哪些值可能为负值( )
A.sin α B.cos α C.tan α D.sin
答案：BC
解析：因为α是三角形的一个内角，∴α∈(0，π)，∴sin α＞0恒成立，故A错误；当α∈时，cos α＜0，tan α＜0，∴BC正确；∈，∴sin ＝sin＝cos ＞0，故D错误．∴可能为负值的为cos α，tan α.
6.已知cos(＋φ)＝，且|φ|<，则tan φ等于( )
A.－ B. C.－ D.
答案：C
解析：由cos(＋φ)＝－sin φ＝，得sin φ＝－，又∵|φ|<，∴φ＝－，∴tan φ＝－.
7.若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )
A.cos(A＋B)＝cos C B.sin(A＋B)＝－sin C C.cos ＝sin B D.sin ＝cos
答案：D
解析：因为A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，＝，＝，∴cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，cos ＝cos＝sin ，sin ＝sin＝cos .
8.函数y＝loga(x＋4)＋4(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，且点A在角θ的终边上，则cos等于( )
A.－ B. C.－ D.
答案：C
解析：令x＋4＝1，∴x＝－3，所以函数y＝loga(x＋4)＋4的图象过定点A(－3,4)．因为点A在角θ的终边上，∴sin θ＝＝，即cos＝－sin θ＝－.
9.若θ为第二象限角，且tan(θ－π)＝－，则－的值是( )
A.4 B.－4 C. D.－
答案：B
解析：由tan(θ－π)＝－得tan θ＝－，而θ为第二象限角，则有sin θ＞0，∴－＝－＝－＝－＝＝＝－4.
10.已知sin(x＋φ)＝sin(－x＋φ)，则φ可能是( )
A.0 B. C.π D.2π
答案：B
解析：对于A，当φ＝0时，左边＝sin x，右边＝sin(－x)＝－sin x，不满足条件；
对于B，当φ＝时，左边＝sin＝cos x，右边＝sin＝cos x，满足条件；
对于C，当φ＝π时，左边＝sin(x＋π)＝－sin x，右边＝sin(－x＋π)＝sin x，不满足条件；
对于D，当φ＝2π时，左边＝sin(x＋2π)＝sin x，右边＝sin(－x＋2π)＝－sin x，不满足条件．
二、填空题
11.已知f(α)＝，化简f(α)＝ .
答案：sin α
解析：f(α)＝＝＝sin α.
12.已知tan(3π＋α)＝2，则＝ .
答案：2
解析：∵tan(3π＋α)＝2，∴tan α＝2，∴原式＝＝＝＝2.
13.已知sin＝，且－π＜α＜－，则sin＝________.
答案：－
解析：由－π＜α＜－，可得＜－α＜，∴cos＜0，∴cos＝－＝－.由sin＝sin＝cos＝－.
14.已知＝2，则cos2α－2sin αcos α－1＝________，
＝________.
答案：－3 －
解析：∵＝2，∴＝2，解得tan α＝3.
cos2α－2sin αcos α－1＝＝＝＝－.
＝＝－tan α＝－3.
15.已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，则的值为________.
答案：
解析：∵5x2－7x－6＝0的两根为x＝2(舍)或x＝－，∴sin α＝－，又∵α为第三象限角，∴cos α＝－＝－.∴tan α＝.原式＝＝tan α＝.
三、解答题
16.(1)已知角α终边经过点P(－4,3)，求的值．
(2)已知sin(θ－π)＋cos(π＋θ)＝，求sin3(＋θ)－cos3(－θ)．
解：(1) ∵角α终边经过点P(－4,3)，∴tan α＝＝－，
∴＝＝tan α＝－.
(2) ∵sin(θ－π)＋cos(π＋θ)＝－sin(π－θ)－cos(＋θ)＝sin(－θ)＋sin θ＝sin θ＋cos θ＝.
∴sin θcos θ＝[(sin θ＋cos θ)2－1]＝(－1)＝－.
∴sin3(＋θ)－cos3(－θ)＝cos3θ＋cos3(－θ)＝cos3θ＋sin3θ
＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)＝×[1－(－)]＝.
17.求证下列等式成立：
(1)＝－tan α.
(2)＝.
(3)＋＝.
证明：(1)左边＝＝
＝＝＝－＝－tan α＝右 边．
∴原等式成立．
(2)左边＝＝
＝＝＝＝.
右边＝＝.
∴左边＝右边，
∴原等式成立．
(3)左边＝＋
＝＋＝
＝＝＝右边，
∴原等式成立．
题后反思：利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：①从一边开始，使得它等于另一边一般由繁到简．②左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．③凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．
18.是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．
解：由条件，得
2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，③
又∵sin2α＋cos2α＝1，④由③④得sin2α＝，即sin α＝±，
∵α∈，∴α＝或α＝－.
当α＝时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，∴β＝，代入①可知符合．
当α＝－时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，∴β＝，代入①可知不符合．
综上所述，存在α＝，β＝满足条件．
19.已知f(α)＝.
(1)若α∈(0,2π)，且f(α)＝－，求α的值；
(2)若f(α)－f ＝，且α∈，求tan α的值．
解：(1)f(α)＝＝＝＝sin α.
∴f(α)＝sin α＝－，因为α∈(0,2π)，∴α＝，或α＝.
(2)由(1)知，f(α)＝sin α，
∴f(α)－f ＝sin α－sin＝sin α＋cos α＝，
∴sin α＝－cos α，
∴cos2α＋2＝1，即(5cos α－4)(10cos α＋6)＝0，
可得cos α＝或cos α＝－.
∵α∈，则cos α＝－，∴sin α＝－cos α＝－＝.
∴tan α＝＝×＝－.
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第2课时 诱导公式(二)
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(1)公式五：sin＝cos α；cos＝sin α.
以－α替代公式五中的α，可得公式六．
(2)公式六：sin＝cos α；cos＝－sin α.
注意点：
(1)名称发生了变化，实现了正弦和余弦的相互转化．
(2)运用公式时，把α“看成”锐角．
(3)符号的变化要看把α看成锐角时所在的象限．
知识点二 诱导公式的理解、记忆与灵活应用
公式一～四归纳：α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”．
公式五～六归纳：±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．
六组诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变；前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.已知sin＝，则cos的值等于( )
A. B.－ C. D.－
2.若sin(3π＋α)＝－，则cos(－α)等于( )
A.－ B. C. D.－
3.若sin<0，且cos>0，则θ是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
4.若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(2π－α)的值为( )
A.－ B. C.－ D.
5.(多选)设α是三角形的一个内角，则下列哪些值可能为负值( )
A.sin α B.cos α C.tan α D.sin
6.已知cos(＋φ)＝，且|φ|<，则tan φ等于( )
A.－ B. C.－ D.
7.若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )
A.cos(A＋B)＝cos C B.sin(A＋B)＝－sin C C.cos ＝sin B D.sin ＝cos
8.函数y＝loga(x＋4)＋4(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，且点A在角θ的终边上，则cos等于( )
A.－ B. C.－ D.
9.若θ为第二象限角，且tan(θ－π)＝－，则－的值是( )
A.4 B.－4 C. D.－
10.已知sin(x＋φ)＝sin(－x＋φ)，则φ可能是( )
A.0 B. C.π D.2π
二、填空题
11.已知f(α)＝，化简f(α)＝ .
12.已知tan(3π＋α)＝2，则＝ .
13.已知sin＝，且－π＜α＜－，则sin＝________.
14.已知＝2，则cos2α－2sin αcos α－1＝________，
＝________.
15.已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，则的值为________.
三、解答题
16.(1)已知角α终边经过点P(－4,3)，求的值．
(2)已知sin(θ－π)＋cos(π＋θ)＝，求sin3(＋θ)－cos3(－θ)．
17.求证下列等式成立：
(1)＝－tan α.
(2)＝.
(3)＋＝.
18.是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．
19.已知f(α)＝.
(1)若α∈(0,2π)，且f(α)＝－，求α的值；
(2)若f(α)－f ＝，且α∈，求tan α的值．
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