数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（八年级上册）
1.1 全等图形
教学目标
1．认识全等图形，理解全等图形的概念与特征．
2．理解全等图形的基本特征，掌握全等图形的识别方法．
3．让学生在操作、交流中经历平移、翻折、旋转等全等变换的过程，提高识图的能力．
教学重点
理解全等图形的概念与特征．
教学难点
理解全等图形的基本特征，掌握全等图形的识别方法．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
欣赏
师：观察下列各组中的图形有怎样的关系？
学生通过欣赏图片回答问题，从而较直观地认识了全等图形．
这样的情境活跃了课堂气氛，自然导入本节课的教学．
二、思考
问题1：日常生活中，你见过这样的图案吗？
问题2：这些图案有哪些共同特征？
能完全重合的图形叫做全等图形（congruent figures)．
观察下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？
全等图形的形状和大小都相同．
学生积极思考，回答问题．
通过这个环节的设计，学生容易归纳出全等图形的概念和特征，突出本节课的重点．
三、交流
找出下列图形中的全等图形．
师：你能说明全等的理由吗？
学生观察图形后容易找出全等图形．
设计这一组图形目的是为了巩固学生对全等图形概念的理解，激发学生的学习热情．
四、操作
问题1：观察图中三组全等图形，在各组图形中，第2个图形是怎样由第1个图形改变位置得到的？
问题2：请你按照同样的方法在图中分别画出第3和第4个图形．
师：要确定第3个图形，你应该首先确定哪几个点，怎样确定？
学生分组讨论后容易解决问题1，对于问题2学生先独立画图，然后展示交流，教师点评．
这一环节的设计让学生进一步理解全等图形的特征，通过画图让学生经历平移、翻折、旋转等全等变换的过程，为学习全等三角形的知识作铺垫．
五、尝试
1．找出图中的全等图形．
2．请你用不同的方法沿着网格线把正方形分割成两个全等的图形．
1．学生按要求独立思考．
2．小组合作交流．
3．通过实物展台小组展示．
1．学生按要求独立分割．
2．小组内讨论．
3．展示不同的分割方法．
设计尝试的目的是为了加深学生对全等图形的理解，培养学生多角度的思考问题的方法，突破本节课的难点，同时提高学生的识图能力．
充分发挥评价的激励作用，让所有的学生都感受到成功的快乐．
六、拓展
你能把图中的等边三角形分成两个全等的三角形吗？三个、四个、六个呢？
学生积极思考、画图．
培养学生分析问题、解决问题的能力．
七、小结
老师提出问题：
1．本课我们探讨了什么问题？
2．得到了什么结论？
3．掌握了什么方法？
基础知识：
1．全等图形的相关概念．
2．全等图形的基本特征．
基本思想方法：
通过画图让学生感受平移、翻折、旋转等全等变换的过程．
学生回答问题，小结本节课的收获．
通过小结充分发挥学生的主体作用，将新知纳入学生已有的知识体系，同时培养学生归纳、整理、表达的能力．
八、作业
1．习题1.1第1、2题．
2．设计飞鸟图．
学生独立完成．
第一项作业属于基础题，主要目的是巩固本节课所学知识．
第二项作业是设计全等图形，目的是通过动手操作加深学生对全等图形的理解，从而再次突破本节课的难点．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（八年级上册）
1.2 全等三角形
教学目标
1．知道全等三角形的有关概念，会用符号语言表示两个三角形全等，会在全等三角形中正确地找出对应顶点、对应边、对应角．
2．理解全等图形的基本特征，掌握全等图形的识别方法．
3．经历平移、翻折、旋转等全等变换的过程，了解用图形变换识别全等三角形的方法．
4．让学生在探究性学习中体验学习的快乐，在合作交流中提高分析问题、解决问题的能力．
教学重点
全等三角形的性质及其应用．
教学难点
确认全等三角形的对应元素，理解平移、翻折、旋转等全等变换的过程．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
一、图片欣赏
两个图形（见课件）有怎样的关系？
学生观察图形，回答问题，加深对全等图形的认识．
通过欣赏图片，既可以活跃课堂气氛又简单易懂，通过类比让学生体会全等三角形的相关概念．自然导入本节课的教学，并且揭示了课题．
二、新知探究
全等三角形的概念：
如上图所示， 是全等三角形，记作“ ”，读作“ ”．对应顶点有：A和D、 、 ；对应边有：AB和DE、 、 ；对应角有：∠A和∠D、 、 ．
注意：在表示两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上．
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
学生独立写出全等三角形的相关概念．
学生写出全等三角形的对应边相等，对应角相等的几何语言，教师点评．
∵△ABC ≌ △DEF （已知），
∴AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF
（全等三角形的对应边相等），
∴ ∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝
∠F（全等三角形的对应角相等）．
通过类比容易归纳出全等三角形的相关概念及性质．
让学生从中体会文字语言与数学语言的互化，培养了学生思维的深刻性和严谨性．
三、操作思考
操作要求：
1．任意剪两个全等的三角形．
2．利用这两个全等三角形组合新的图形．
3．小组内讨论交流．
4．各组代表展示．
师：你是如何剪得的？你能摆出几种新图形？你是如何得到的？
思考：怎样改变△ABC的位置，使它与△DEF重合？
两个全等三角形的位置变化了，对应边、对应角的大小有变化吗？由此你能得到什么结论？
1．首先学生独立完成剪两个全等的三角形．
2．利用这两个全等三角形组合新的图形并且小组内讨论，气氛热烈．
3．展示交流．
通过动手操作让学生在理解对应元素的同时，体会全等变换．
设计“思考”的目的是为了让学生进一步感受平移、翻折、旋转等全等变换的过程．动画展示形象直观激发学生的学习热情，突破了本节课的难点．
四、尝试交流
1．如图△ABD ≌△CDB，若AB＝4，AD＝5，BD＝6， ∠ABD＝30°，则
BC＝ ___ ，CD＝ ___ ，∠CDB＝ ___ ．
2．如图△ABC ≌ △DCB，
（1）写出图中相等的边和角．
（2）若∠A＝100°，∠DBC＝20°，求∠D和∠ABC的度数．
1．学生尝试完成1、2两题．
2．利用展台学生代表讲评．
设计尝试交流的目的是为了加深学生对全等三角形的理解，同时为后续学习作好铺垫．学生利用展台讲评有利于培养学生严谨的数学思维．
五、拓展延伸
1．如图，△ABC≌△ADE，∠C＝50°，∠D＝45°，∠CFA＝75°，求∠BAC和
∠BAE的度数．
2．如图，△ABC≌△DEF，B与E，C与F是对应顶点．通过怎样的图形变换可以使这两个三角形重合？
1．学生按要求独立完成第一题．
2．小组交流第二题．
设计拓展延伸的目的是为了进一步加深学生对全等三角形的理解，同时培养学生分析问题、解决问题的能力．
六、课堂小结
基础知识：
从观察全等图形着手，类比归纳出全等三角形的有关概念，会用几何语言表示两个三角形全等，会在全等三角形中正确地找出对应顶点、对应边、对应角．
基本思想方法：
用运动变化的观点让学生经历平移、翻折、旋转等全等变换的过程，了解用图形变换识别全等三角形的方法．
学生讨论小结本节课内容．
培养学生反思自己学习过程的意识，充分发挥学生的主体作用，从而培养归纳、整理、表达的能力．
七、课后作业
习题1.2第1、2、3题．
学生独立完成．
布置课后作业的主要目的是巩固本节课所学知识．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（八年级上册）
1.3 探索三角形全等的条件（1）
教学目标
1．经历探索三角形全等条件的过程，会利用基本事实：“边角边”判别两个三角形是否全等．
2．在探索三角形全等条件及其基本事实“边角边”运用的过程中能够进行有条理的思考并进行简单的推理．
3．经历操作、探索、合作、交流等活动，营造和谐、平等的学习氛围．
教学重点
三角形全等的“边角边”条件的探索及应用．
教学难点
三角形全等的“边角边”条件的探索．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
问题情境
（1）如图，△ABC≌△DEF，你能得出哪些结论？
（2）小明想判别△ABC与△DEF是否全等，他逐一检查三角形的三条边、三个角是不是都相等．小红提出了质疑：分别检查三条边、三个角这6个元素固然可以，但是不是可以找到一个更好的方法呢？
1．学生个别回答问题（1）．
2．学生能肯定有更好的方法判别两三角形全等，但并不知道具体方法，带着问题进入下一环节．
温故知新，明确本节课学习的方向．
讨论交流
1．当两个三角形的1对边或角相等时，它们全等吗？
2．当两个三角形的2对边或角分别相等时，它们全等吗？
3．当两个三角形有3对边或角分别相等时，它们全等吗？
1．学生可以直接回答，也可画出反例图形说明不全等．
2．学生用同样的方法说明两三角形不全等．
3．学生不能肯定是否全等，带着疑问进入下一环节．
问题从简单到复杂，渗透由简到繁来解决问题的策略和方法．同时，通过学生讨论交流，让学生体会分类思想、举反例的方法．
探索活动一
如图，每人用一张长方形纸片剪一个直角三角形，怎样剪才能使剪下的所有直角三角形都能够重合？
（1）任意剪一个直角三角形，同学们得到的三角形都能够重合吗？
（2）重新利用这张长方形剪一个直角三角形，要使得全班同学剪下的都能够重合，你有什么办法？
（3）剪下直角三角形，验证是否能够重合，并能得出什么结论？
探索活动二
如图，△ABC与△DEF、△MNP能完全重合吗？
（1）直觉猜想哪两个三角形能完全重合？
（2）再用工具测量，验证猜想是否正确．
探索活动三
按下列作法，用直尺和圆规作△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．
作法：
1．作∠MAN＝∠α．
2．在射线AM、AN上分别作线段AB＝a，AC＝b．
3．连接BC．
△ABC就是所求作的三角形．
图形：
你作的三角形与其他同学作的三角形能完全重合吗？
探索活动一：
（1）学生直接回答．
（2）学生充分讨论，自由发表看法．
（3）学生动手操作——验证——得出结论．
探索活动二：
（1）学生猜想，△ABC和△PNM能完全重合．
（2）学生用工具测量，验证猜想并得出结论．
探索活动三：
学生作图、剪纸、验证、交流并得出结论．
通过剪纸、测量、画图验证等操作、交流，体会在边角边对应相等的条件下两三角形全等．
提炼归纳
通过上面几个活动你对三角形全等所需要的条件有什么看法？试用语言叙述你的看法．
基本事实 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）．
几何语言：
∵在△ABC和△DEF中，
AB＝DE，
∠B＝∠E，
BC＝EF，
∴△ABC ≌△DEF（SAS）．
小组讨论，代表回答，小组间相互补充．
通过学生自主探索活动发现规律，提高学生的归纳概括能力，同时培养学生运用几何语言进行说理的规范性．
新知应用
例1 如图，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC.
求证：△ABC≌△ADC．
环节一、分析：
（1）要证明△ABC≌△ADC，已具备了哪些条件？
（2）还缺什么条件？
（3）获得所缺条件的依据是什么？
环节二、证明：
（教师板书规范解题过程．）
环节三、变式拓展：
（1）DC＝BC吗？
（2）CA平分∠DCB吗？
（3）本例包含哪一种图形变换？
练习：课本14页第1、2题．
1．学生经历分析例题的过程，口头叙述证明过程．
参考答案
证明：在△ABC和△ ADC中，
AB＝AD（已知），
∠BAC＝∠DAC （已知），
AC＝AC（公共边），
∴△ABC ≌△ADC（SAS）．
2．学生独立完成练习，及时纠正书写中出现的问题．
1．通过问题分散难点，引导学生分清题中直接给出的条件和图中隐含的条件，以巩固“边角边”条件判断三角形全等的方法．
2．通过练习设置，使学生在运用新知识的过程中能够进行有条理的思考并进行简单的推理．
体会小结
通过本节课的学习你有什么体会？说出来告诉大家．
学生自由表述，其他学生补充．
通过学生小结，学生建构了自己的知识系统，同时锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己看法的能力.
课堂作业
略．
课后学生独立完成．
巩固新知识，让不同层次的学生发挥不同的水平．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（八年级上册）
1.3 探索三角形全等的条件（2）
教学目标
1．会利用基本事实：“边角边”判别两个三角形是否全等．
2．在基本事实“边角边”运用的过程中能够进行有条理的思考和简单的推理．
3．经历观察、探索、合作、交流等活动，营造和谐、平等的学习氛围．
教学重点
三角形全等的“边角边”条件的应用．
教学难点
三角形全等的“边角边”条件的应用．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
问题情境
（1）如图，AB＝AC，还需补充条件___________，就可根据“SAS”证明△ABE≌△ACD.
（2）“三月三，放风筝．”如图是小东同学自己动手制作的风筝，他根据AB＝CB，
∠ABD＝∠CBD，不用度量，就知道AD＝CD．请你用所学的知识给予说明．
（1）学生思考后给出所补充的条件，并根据所补充的条件，简要证明△ABE≌△ACD．
参考答案：AE＝AD．
（2）学生思考后回答．
参考答案 证明：在△ABD和△CBD中，
AB＝CB（已知），
∠ABD＝∠CBD（已知），
BD＝BD（公共边），
∴△ABD≌△CBD（SAS）．
∴AD＝CD(全等三角形的对应边相等)．
复习回顾三角形全等的条件——“SAS”，让学生学会有条理的思考，规范的推理．
合作探究
例1 如图，已知：点D、E在BC上，且BD＝CE，AD＝AE，∠1＝∠2，由此你能得出哪两个三角形全等？请给出证明．
设置三个问题：
（1）观察猜想哪两个三角形全等？
（2）要证明两个三角形全等，已具备了哪些条件？还缺什么条件？
（3）所缺的这个条件如何获得？
例2 已知：如图，AB、CD相交于点E，且E是AB、CD的中点．
求证：①△AEC≌⊿BED． ②AC∥DB．
设置三个问题：
（1）要证明△AEC ≌△BED，已具备了哪些条件？还缺什么条件？
（2）要证明AC∥DB，需什么条件？这个条件如何获得？
（3）本例包含哪一种图形变换？
例3 已知：如图，点E、F在CD上，且CE＝DF，AE＝BF，AE∥BF.
①求证：△AEC ≌△BFD．
②你还能证得其他新的结论吗？
③本例图中的△AEC可以通过_________变换得到例2所示图形．
例1 （1）学生根据图形并结合已知条件作出猜想．
（2）学生经历分析例题的过程，口头叙述证明过程．
参考答案：△ABD≌△ACE．
证明：∵∠1＋∠ADB＝180°，∠2＋∠AEC＝180°，
且∠1＝∠2（已知），
∴∠ADB＝∠AEC（等角的补角相等），
在△ABD和△ACE 中，
BD＝CE（已知），
∠ADB＝∠AEC（已证），
AD＝AE（已知），
∴△ABD ≌△ACE（SAS）．
例2 学生经历分析例题的过程，口头叙述证明过程．
参考答案
证明：①∵E是AB、CD的中点（已知），
∴AE＝BE，CE＝DE（线段中点的定义），
在△AEC和△BED 中，
AE＝BE（已证），
∠AEC＝∠BED（对顶角相等），
CE＝DE（已证），
∴△AEC≌△BED（SAS）．
②∵△AEC ≌△BED（已证），
∴∠A＝∠B(全等三角形的对应角相等)，
∴AC∥DB（内错角相等，两直线平行）．
本例中，其中一个三角形绕点E旋转180°后，能与另一个三角形重合．
例3 学生经历分析例题的过程，口头叙述证明过程．
参考答案
①∵AE∥BF（已知），
∴∠AEC＝∠BFD（两直线平行，内错角相等），
在△AEC和△BFD 中，
AE＝BF（已知），
∠AEC＝∠BFD（已证），
CE＝DF（已知），
∴△AEC≌△BFD（SAS）．
②AC＝BD，∠A＝∠B，∠AEC＝∠BFD，AC∥BD等等．
③平移．
通过问题分散难点，引导学生分清题中直接给出的条件、间接给出的条件以及图中隐含的条件，以巩固“边角边”条件判断三角形全等的方法．
课堂练习
课本P16～17页第1、2、3题．
学生独立完成练习，及时纠正书写中出现的问题．
通过练习设置，使学生在运用新知识的过程中能够进行有条理的思考并进行简单的推理．
体会小结
通过本节课的学习，你有什么体会？说出来告诉大家．
学生自由表述，其他学生补充．
通过学生小结，锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己看法的能力.
课堂作业
略．
巩固新知识，让不同层次的学生发挥不同的水平．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（八年级上册）
作 者：王琳琳（丹阳市实验学校）
1.3 探索三角形全等的条件（3）
教学目标
1．掌握三角形全等的条件“ASA”．
2．会利用“ASA”进行有条理的思考和简单的推理．
3．通过多种手段的活动过程，让学生动手操作，激发学生学习的兴趣，并能通过合作交流解决问题，体会数学在现实生活中的应用，增强学生的自信心．
教学重点
掌握三角形全等的条件“ASA”，并能利用它们判定三角形是否全等．
教学难点
探索三角形全等的条件“ASA”的过程及应用．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
引入
同学们，经过前面内容的学习，我们了解到：（1）要证明两个三角形全等，需要几个条
件？
（2）上节课我们学习了哪些条件可以构成
全等？你能用几何语言描述吗？
（3）请你们猜想，构成全等还有哪些条件
组合（请学生依次回答，并在黑板上记录下学生的猜想）？
积极回答问题，激活旧知识，积极猜想，为新知识的到来铺垫．
激活旧知识，猜想新知识，激发学生学习数学的欲望．
探索新知一
1．调皮的小明用纸板挡住了两个三角形的一部分，你能画出这两个三角形吗？每个人画出的三角形都一样吗？
2．粗心的小明不小心将一块三角形模具打碎了，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带哪块去合适？
3．请你和小明一起画：用圆规和直尺画
△ABC，使AB＝a，∠A＝∠α，∠B＝∠β．
（1）作AB＝a．
（2）在AB的同一侧分别作∠MAB＝∠α，
∠NBA＝∠β，AM、BN相交于点C．
（3）△ABC就是所求作的三角形．
以上三个问题回答完毕了，你有什么发现？
积极思考，动手操作，互相讨论，回答问题．
由生活情景入手，让学生动手操作，动脑思考．让学生从感悟数学到自己探索数学，锻炼学生思维，加强探索意识．
得出基本事实
将学生讲出的条件写在黑板上，通过不断提问和动态几何画板的展示，纠正精炼学生的语言，最终形成“ASA”的基本事实，并让学生模仿“SAS”的几何语言，写出该基本事实的几何语言．
总结前面三个问题中的感悟和所得，在老师的带领下，一步步得出“ASA”的基本事实．
通过学生的回答，培养学生的归纳能力，挖掘学生的思想深度并养成良好的语言表达能力．
巩固练习
说一说 1．图中有几对全等三角形？你能找出它们并说出理由吗？
2．如图，O是AB的中点，∠A＝∠B，
△AOC与△BOD全等吗？为什么（以填空方式回答）？
3．已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DE//AC，DF//AB．
求证：BE＝DF，DE＝CF．
积极思考，回答问题．第1、2两小题口答，第3题学生上黑板板演过程．
从观察图形找全等条件，到证明全等的填空，最后独立写出证明过程．学生的推理能力及几何语言表达能力得到了很大的发展和锻炼．
小结
这节课你学到了什么？哪些三个条件的组合是你还想去探索求证的？
回忆上课内容，对下一节课充满期待和猜想．
小结过去，展望未来，对数学始终保持一颗好奇心．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（八年级上册）
1.3 探索三角形全等的条件（4）
教学目标
1．掌握三角形全等的条件“AAS”．
2．会利用“AAS”进行有条理的思考和简单的推理．
3．学会根据题目的条件选择适当的定理进行全等的证明．
教学重点
掌握三角形全等的条件“AAS”，并能利用它们判定三角形是否全等．
教学难点
在解题时选择适当定理应用．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
引入
1．回忆上节课学习的内容，用自己的语言表达出来！
2．解决下面的问题，你有什么发现吗？
已知：如图，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DBC，
求证：AB＝DC．
1．积极回答问题，激活旧知识．
2．利用“ASA”解决问题，对证明的过程思考并提出疑问．
激活旧知识，猜想新知识，激发学生学习新知识的欲望．
探索新知一
已知：△ABC与△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF．求证：△ABC≌△DEF．
得出基本事实推论：两角及其中一角的对边分别相等的两个三角形全等．
积极思考，回答问题，对刚才的疑问用旧的知识加以推理和证明．
将疑问化为问题，用已学过的知识来解决新问题，懂得问题的转化与初步推理．
得出基本推论
推论：两角及其中一角的对边分别相等的两个三角形全等．简称“角角边”或“AAS”．
在△ABC与△A(B(C(中，
∠B＝∠B(（已知），
∠C＝∠C(（已知），
AB＝A(B(（已知），
∴△ABC≌△A(B(C(（AAS）．
总结前面问题中的感悟和所得，模仿上节所学“ASA”，一步步得出“ASA”的基本推论．
通过学生的回答，培养学生的归纳能力，挖掘学生的思想深度并养成良好的语言表达能力．
巩固练习
1．如图∠ACB＝∠DFE，BC＝EF，根据“ASA”，应补充一个直接条件__________根据“AAS”，那么补充的条件为______，才能使△ABC≌△DEF．
2．如图，BE＝CD，∠1＝∠2，则AB＝AC吗？为什么？
积极思考，回答问题．第1题口答，第2题学生上黑板板演过程．
从观察图形找全等条件，到证明全等的填空，最后独立写出证明过程．学生的推理能力及几何语言表达能力得到了很大的发展和锻炼．
拓展训练
3．已知：如图，△ABC≌△A(B(C(，AD和A(D(分别是△ABC和△A(B(C(中BC和B(C(边上的高．求证：AD＝A(D(．
积极思考，用旧知识解决新问题．
通过对定理的选择应用，学生的逻辑推理能力得到提升．
4．已知：如图，△ABC≌△A(B(C(，AD和A(D(分别是△ABC和△A(B(C(中∠A和∠A’的角平分线．
求证：AD＝A(D(．
积极动脑，回答问题．
对新知识加以练习巩固，学会选用适合的定理进行全等的证明．
5．已知：如图，△ABC≌△A(B(C(，AD和A(D(分别是△ABC和△A(B(C(的BC和B(C(边上的中线．
求证：AD＝A(D(．
学生独立完成之后，上讲台讲解．
学生在学习完“SAS”“ASA”“AAS”之后面临的问题是如何根据题目选择正确的方法．拓展训练的三道题恰恰提供了这样的一个平台，让学生学会怎样选择，另外，对几何语言表达的要求也再次提高．
小结
这节课你学到了什么？哪些三个条件的组合是你还想去探索求证的？
回忆上课内容，对下一节课充满期待和猜想．
小结过去，展望未来，对数学始终保持一颗好奇心．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（八年级上册）
1.3 探索三角形全等的条件（5）
教学目标
1．会应用“角边角”“角角边”定理证明两个三角形全等，进而证明线段或角相等．
2．进一步渗透综合、分析等思想方法，从而提高学生演绎推理的条理性和逻辑性．
教学重点
应用“角边角”“角角边”定理证明两个三角形全等，进而证明线段或角相等．
教学难点
“角边角”“角角边”定理的灵活应用．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
回顾与思考
三角形全等判定方法1：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”） ．
三角形全等判定方法2：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．
三角形全等判定方法3：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．
如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，
（1）根据“SAS”需添加条件________；
（2）根据“ASA”需添加条件________；
（3）根据“AAS”需添加条件________．
学生在教师的引导下回忆前面所学习的知识内容．
根据添加不同的条件，要求学生能够叙述三角形全等的条件和全等的理由，鼓励学生大胆的表述意见．
在教师的引导下，复习前面所学习的内容，帮助学生梳理本节课所需要的知识，为探究新知识作好准备．
二、分析与讨论
1．如图，∠A＝∠B，∠1＝∠2，EA＝EB，你能证明AC＝BD吗？
2．如图，点C、F在AD上，且AF＝DC，
∠B＝∠E，∠A＝∠D，你能证明AB＝DE吗？
学生讨论，教师给予提示：要证明两条线段相等，两条线段分别位于两个不同的三角形中则考虑证明两三角形全等．师生共同分析，教师把解题过程板书黑板，强调书写格式．
1．证明:∵ ∠1＝∠2 （已知），
∴ ∠1＋∠BEC＝∠2＋∠BEC，
∴ ∠AEC＝∠BED，
在△EAC和△EBD中，
∠A＝∠B （已知），
EA＝EB（已知），
∠AEC＝∠BED（已证），
∴△EAC≌△EBD（ASA），
∴AC＝BD．
2．证明:∵ AF＝DC （已知），
∴ AF－FC＝DC－FC，
∴ AC＝DF．
在△ABC和△DEF中，
∠B＝∠E（已知），
∠A＝∠D（已知），
AC＝DF（已证），
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AB＝DE．
通过分析讨论，使学生掌握运用“角边角”“角角边”定理证明三角形全等的过程，培养学生的逻辑推理能力，能熟练运用“角边角”“角角边”判断三角形全等．
教师板书，规范学生的书写格式，培养学生良好的学习习惯．
三、归纳与总结
1．为了利用“ASA”或“AAS”定理判定两个三角形全等，有时需要先把已知中的某个条件，转变为判定三角形全等的直接条件．
2．证明两条线段相等或两个角相等可以通过证明它们所在的两个三角形全等而得到．
在此处要留给学生充分的思考时间，可以通过讨论、归纳、总结，培养学生的概括能力和语言表达能力．
通过讨论、归纳，既有助于训练学生的概括归纳能力，又有助于学生在归纳概括过程中把所学的三角形判定方法条理化、系统化．
四、理解与应用
例 已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EC∥FD，EA＝FB．求证：
AB＝CD．
上面的推理过程可以用符号“(”简明地表述如下：
EA∥FB(∠A＝∠FBD
EC∥FD(∠ECA＝∠D (△EAC≌△FBD
EA＝FB
(AC＝BD(AB＋BC＝CD＋BC(AB＝CD
学生独立分析，会熟练运用“角边角”“角角边”判断三角形全等，并利用三角形全等证明两条线段或角相等．
证明：∵EA∥FB，EC∥FD(已知)
∴ ∠A＝∠FBD，∠ECA＝∠D．
在△EAC和△FBD中，
∠A＝∠FBD(已证)，
∠ECA＝∠D(已证)，
EA＝FB(已知)，
∴△EAC≌△FBD(AAS)．
∴AC＝BD，
即 AB＋BC＝CD＋BC，
∴AB＝CD．
通过学生的独立思考，培养学生观察问题和分析问题的能力，会从问题的条件出发，获得运用“角边角” “角角边”定理所需要的条件，并掌握通过三角形全等，证明两条线段或角相等的方法．
五、巩固与练习
已知：如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、
AC上，∠B＝∠C．
求证：DB＝EC ．
变式一
已知：∠1＝∠2，∠B＝∠C，AB＝AC．
求证：AD＝AE ，∠D＝∠E．
变式二
已知：∠1＝∠2，∠B＝∠C，AB＝AC，D、A、E在一条直线上．求证：AD＝AE，∠D＝∠E．
变式的应用，可以巩固学生所学的知识，灵活运用所学的方法，加深对定理的应用．先让学生独立分析，思考证明的方法，而后进行小组交流，方法展示，教师最后作评价与总结．
例题后的变式题训练，检查学生对“角边角”和“角角边”的掌握情况，并及时发现存在的问题，培养学生独立分析问题的能力，规范学生的解题过程．
通过学生练习，了解学生的学习效果并及时调整．
六、拓展与提高
1．如图，AC⊥AB，BD⊥AB，CE⊥DE，
CE＝DE．
求证：AC＋BD＝AB．
2．如图，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AC
上一点，分别过A、C作BD的垂线，垂足分
别为E、F．求证：EF＋AE＝CF．
师生共同分析后由学生自己完成解题过程，并请一名学生上黑板板演．
这两道题较难，给学有余力的同学提供机会，便于他们更好地运用全等三角形的性质和判定解决问题．
通过分层练习，使每一位学生得到不同程度的发展．
七、课堂小结
通过这节课的学习与探索，你有哪些收获？
学生自我小结，相互补充，教师点评．
?通过小结，引导学生学会反思，通过独立思考，引导学生学会自我评价．
八、课后作业
课本P22练习第1、2题．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（八年级上册）
1.3 探索三角形全等的条件（6）
教学目标
1．掌握“边边边”定理，且能灵活运用此定理判定两个三角形全等．理解三角形的稳定性和它在生产、生活中的应
用；教会学生如何利用尺规来完成“已知三边画三角形”，如何添加辅助线构造全等三角形．
2．培养学生观察、操作、分析、综合、抽象、概括和发散思维的能力；感悟转化的数学思想方法．
教学重点
探究三角形全等的方法及运用“边边边”条件证明两个三角形全等．
教学难点
“边边边”定理的应用和转化意识的形成及辅助线的添加．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
一、问题情境
小明家的衣橱上镶有两块全等的三角形玻璃装饰物，其中一块被打碎了，妈妈让小明到玻璃店配一块回来，小明该怎么办呢？
学生思考并回答，可以根据前面所学过的“SAS”“ASA”“AAS”判定来得到两个三角形全等，老师提出“能否利用三角形三边对应相等来判断两个三角形全等呢”，让学生思考并引出课题．
通过实际问题为切入点，激发学生的好奇心和探究的欲望，为探究新知识做好准备．
问题的提出使学生产生了探究的兴趣，明确探究的方向．
二、自主探究
实践探索一：
已知三条线段a、b、c，以这三条线段为边画一个三角形，并把你画好的三角形剪下，和其他同学进行比较，看剪下的三角形是否能完全重合．
通过以上的操作你发现了什么？
学生模仿画图，并将画好的三角形剪下与其他同学进行比较，得出它们是全等的，并概括出“三边分别相等的两个三角形全等”的结论．
以学生画图活动为主线展开探究活动，注重“SSS”条件的发生过程和学生的亲身体验，从实践中获取“SSS”条件，培养学生探究、发现、概括规律的能力．
实践探索二：
教师出示三角形、四边形木架，让学生动手拉动木架的两边．教师提出问题：
（1）演示实验说明了什么？
教师总结：三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．
（2）你能举出生活中利用三角形稳定性的例子吗？
学生思考并回答，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，并举例说明三角形的稳定性在日常生产、生活和工程建筑等方面的应用．
通过生活中的实例，让学生充分体验当三角形的三边确定后，三角形就唯一确定，加深对“SSS”的理解，使学生找到生活与数学之间的联系．
三、知识应用
1．下列图形中，哪两个三角形全等？
2．如图，C点是线段BF的中点，AB＝DF，AC＝DC．△ABC和△DFC全等吗？
变式1
若将上题中的△DFC向左移动（如图），若AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF，问：△ABC≌△DFE吗 ？
变式2
若继续将上题中的△DFC向左移动（如图），若AB＝DC，AC＝DB，问：△ABC≌
△DCB吗 ？
3．已知：如图, 在△ABC 中，AB＝AC,求证：∠B＝∠C．
学生独立分析，学会运用“SSS”判断三角形全等，并加强对“SSS”条件运用的熟练程度．
学生独立分析，老师板书，写出证明过程．
变式1：学生在上题的基础上很容易将条件BE＝CF转化为BC＝EF，要求学生在课堂作业纸上完成，并请一名学生上黑板板演并关注证明过程是否规范．
通过变形让学生掌握基本图形，为后面解题作铺垫．
这题需要学生通过添加辅助线解决问题，教师引导学生得出添加辅助线常用的方法．
通过例题的讲解，引导学生分析、解题，培养学生的逻辑推理能力，学会运用“SSS”条件判断三角形全等．
通过学生的独立思考，培养学生观察问题和分析问题的能力，会从问题的条件出发，获得运用“SSS”定理所需要的条件，并掌握通过添加辅助线构造全等三角形，解决相关问题的方法．
四、尝试练习
1．已知：如图，AB＝CD，AD＝CB，求证：∠B＝∠D．
2．如图，AC、BD相交于点O，且AB＝DC，AC＝DB．求证：∠A＝∠D．
学生独立分析并完成，教师点评．教师应关注不同层次的学生对知识的理解程度，有针对性地给予指导，对学生在练习中存在的问题，有针对性地讲解．
通过练习，学生的板书，及时发现存在的问题，培养独立分析的能力，会运用“SSS”条件判定三角形全等，规范学生的解题过程．
通过学生练习，了解学生学习效果并及时进行调整．
五、课堂小结
通过这节课的学习与探索，你有哪些收获？
学生自我小结，相互补充，教师点评．
?通过小结，引导学生学会反思，通过独立思考，引导学生学会自我评价．
六、课后作业
课本P24练习第1、2、3题．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（八年级上册）
1.3 探索三角形全等的条件（7）
教学目标
1．会作一个角的角平分线，能证明作法的正确性，并在经历“观察——操作——证明”的活动过程中养成善于分析、乐于探究和理性思考的良好习惯．
2．会过一点作已知直线的垂线，能证明作法的正确性，体会与“作一个角的角平分线”作法的联系，在比较中探究作法．
3．能在不同的作图题中感悟相同的知识背景，在同一问题中探求不同的作法，从而进一步把握知识本质，逐步形成抽象概括能力和发散思维．
教学重点
会“作已知角的角平分线”和“过一点作已知直线的垂线” ．
教学难点
几何图形信息转化为尺规操作．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
（一）情境创设
工人师傅常常利用角尺平分一个角．如图（1），在∠AOB的两边OA、OB上分别任取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线．
请同学们说明这样画角平分线的道理．
提取信息，利用“SSS” 说明画角平分线的道理．
呈现工人师傅常常利用角尺平分一个角的情境，为探究新知提供“脚手架”，为“探索活动一”的证明提供思路．
（二）探索活动一
1．说 请按序说出木工师傅的“操作”过程．
2．作与写 用直尺和圆规在图（2）中按序将木工师傅的“操作”过程作出来，并写出作法．
3．证 请证明你的作法是正确的．
4．用 用直尺和圆规完成以下作图：
（1）在图（3）中把∠MON四等分．
（2）在图（4）中作出平角∠AOB的平分线．
说明：过直线上一点作这条直线的垂线就是作以这点为顶点的平角的
角平分线．
积极思考，回答问题，整理成下列形式：
说：
作：
证明：在△MOC和△MOD中，
OC＝OD，
OM＝OM，
CM＝DM，
∴△MOC≌△MOD（SSS），
∴∠COM＝∠DOM，
即OM平分∠AOB．
通过学生的“说”，进一步加强学生对工人师傅操作过程的理解，引发学生的数学思考，即将相关的几何信息转化为尺规的操作方法．
“说”与“作”对应，为学生“按序”尺规作图提供更为清晰的流程，这样设计使得学生易想、易作和易写，对突破难点，养成有条理的思考十分有益．
“用”就是为了巩固新知和发现新法．
（三）探索活动二
1．观察思考．在图（2）作图的基础上，作过C、D的直线l（如图（5）），观察图中射线OM与直线l的位置关系，并说明理由．
2．问题变式．
你能用圆规和直尺过已知直线外一点作这条直线的垂线吗？（如图（6），经过直线AB外一点P作AB的垂线PQ）．
3．比较分析．
引导学生比较新旧两个问题之间的联系，寻求解决新问题的策略．
4．作图与证明．
（1）作法
步骤1 以点P为圆心，适当的长为半径作弧，使它与AB交于C、D．
步骤2 分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧交于点Q．
步骤3 作直线PQ．
∴直线PQ就是经过直线AB外一点P的AB的垂线（如图（7））．
（2）证明略．
5．归纳总结．
根据活动一中的4（2）与活动二可知：
经过一点可用直尺和与圆规作一条直线与已知直线垂直．
先独立思考，再互相讨论，踊跃回答：
1．OM⊥l，说明理由略．
2．（1）比较
（2）分析
作图的关键是在直线AB上确定C、D两点，使得PC＝PD；确定点Q，使得CQ＝DQ．
3．学生尝试作图（如图（7））并书写作法：
（1）作图；
（2）书写作法；
（3）证明．
利用已有的图形进行分析，学生对问题的研究既有亲切感又有探究的欲望，此时顺理成章的提出所研究的问题．
“类比”是发现解决问题策略的一种有效方式，学生通过比较新旧问题的有关信息，不难发现解决新问题的方法，有效地突破了难点．
让学生在活动一的基础上尝试“边作边写”，有利于培养学生的作图能力和几何素养；另外另一方面将“作图、作法、证明”融为一体，有利于培养了学生严谨的数学思维．
（四）知识运用
用直尺和圆规作一个直角三角形，使它的两条直角边分别等于a、b（如图（8））．
1．学生尝试作图；
2．交流作法；
3．总结作两条相互垂直直线的方法．
本题解决的关键是作两条相互垂直的直线，但点的位置没有确定，故根据点的位置的不同可选择不同的解题策略．
（五）拓展延伸
如图（9），已知A、B是l上的两点，P是l外的一点．
（1）按照下面画法作图（保留作图痕迹）：
①以A为圆心，AP为半径画弧；
②以B为圆心，BP为半径画弧；
③设两弧交于点Q（Q与P分别在l的两旁）；
④连结PQ．
（2）求证：PQ⊥l．
1．学生按要求独立作图与证明；
2．小组交流：与前面一种方法进行比较，说明两种方法的异同点．
相同的问题，不同的解法有利于培养学生的发散思维，激发学生学习几何图形的兴趣．
通过比较两种不同的方法，进一步加深理解基本作图的知识本质．
(六)课堂小结
知识联系网络图（教师逐一展示，引导学生回顾总结）：
根据教师对网络图的逐步展示，学生进行回顾和总结．
因为学生的学习要经历短时记忆到长时记忆过程，而网络化的总结方式有利于长时记忆的形成，有利于完善学生的认知结构，有利于加强知识之间的联系，揭示作图的知识本质．
（七）课后作业
1．已知∠AOB（如图（10）），
求作：（1）∠AOB的平分线OC．
（2）作射线OD⊥OC（两种作法）．
（3）在OC上取一点P，作出点P到∠AOB两边的垂线段，并比较这两条垂线段的大小关系（要求保留作图痕迹，不写作法和证明过程）．
2．查询资料：能利用直尺和圆规将一个角三等分吗？
1．作业1由学生独立完成；
2．作业2根据学生的实际情况完成，搜集材料后进行全班交流．
作业1是为了巩固基本作图的几种方法，问题1（2）可培养学生的发散思维，问题1（3）既巩固所学知识，又为后继学习“角平分线的性质”作铺垫；
作业2主要是拓展学生知识视野，激发探究欲望．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（八年级上册）
1.3 探索三角形全等的条件（8）
教学目标
1．利用尺规作图，掌握已知斜边、直角边画直角三角形的画图方法；
2．经历操作、实验、观察、归纳，证明斜边、直角边（HL）定理；
3．运用HL定理及其他三角形全等的判定方法进行证明和计算，发展演绎推理的能力．
教学重点
“斜边、直角边”定理的证明和应用．
教学难点
“斜边、直角边”定理的证明．
教学过程
学生活动
设计思路
一、课前热身
1．判定两个三角形全等的方法： 、 、
、___ _．
2．如图，在Rt△ABC中，直角边是 、 ， 斜边是___ _．
3．如何将一个等腰三角形变成两个全等的直角三角形？
4．如图，在Rt△ABC、Rt△DEF 中，∠B＝∠E＝90°，
（1）若∠A＝∠D，AB＝DE，
则△ABC≌△DEF（ ）．
（2）若∠A＝∠D，BC＝EF，
则△ABC≌△DEF（ ）．
（3）若AB＝DE，BC＝EF，则△ABC≌△DEF （ ）．
上面的每一小题，都只添加了两个条件，就使两个直角三角形全等，你还能添加哪两个不同的条件使这两个直角三角形全等？
进入状态，兴致盎然．
积极思考，回答问题．
尊重学生已有的知识和经验，以小问题的形式复习旧知，为学生本节课的学习做好知识准备．问题3为斜边、直角边（HL）定理的证明作好铺垫，提供方法准备．问题4有一定的开放性，为引出斜边、直角边（HL）定理埋下伏笔，让学生感到自然，一切都是那样水到渠成，问题由学生提出，由学生解决，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力．
二、展示?探究
1．讨论、展示．
对于两个直角三角形来说除直角相等外，每个三角形的边与角还有五个元素：两个锐角和三条边，判定两个直角三角形全等，还需要几个条件？可以是哪些条件？
直角三角形是特殊的三角形，判定两个三角形全等，有没有特殊的方法？你有怎样的猜想？
思考、交流、讨论，提出自己的猜想．
由学生熟悉的情景（课前热身问题4）入手，给学生一个展示才华的机会，培养学生归纳总结的能力，引出斜边、直角边分别相等证明三角形全等，学习任务由学生自己发现，为证明自己的猜想，学生一定会全力以赴，这增强了学生学习数学的兴趣．通过三角形全等的条件探究直角三角形全等的条件，体现出学生学习新知识是在原有的知识基础上自我建构、自我生成的过程．
2．探索活动一．
（1）交流、操作．
用直尺和圆规作Rt△ABC，使∠C＝90°，CB＝a，AB＝c．
（2）思考、交流．
①△ABC就是所求作的三角形吗？
②你作的直角三角形和其他同学所作的三角形能完全重合吗？
③交流之后，你发现了什么？
④想一想，在画图时是根据什么条件？它们重合的条件是什么？
（3）讨论、证明．
在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，
AB＝A′B′，AC＝A′C′．
如何证明△ABC≌△A′B′C′．
你有何经验？用前面的判定两个三角形全等的基本事实，还缺少什么条件？怎样构造？
（4）归纳、整理．
请你用文字语言归纳你证明的结论？
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．
用几何语言表述你的结论．
1．用直尺和圆规作Rt△ABC．
2．思考、交流．
3．讨论、证明．
4．归纳、整理．
通过尺规作图，培养学生的动手能力，训练技能；通过思考，学生相互讨论交流使学生主动参与到学习活动中来，培养学生合作交流精神和发散思维能力，同时拓展学生的知识面，培养学生读题、识图能力，提高学生观察与分析能力．
通过讨论、证明培养学生解决问题的策略，学生自己发现的问题自己解决，有助于学生对自身知识的建构．
通过归纳、整理培养归纳与概括的能力，注重对学生文字语言、图形语言、几何语言的互换能力的培养．
3．探索活动二．
（1）如图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，能否判定△ACB≌△BDA？若不能，请增加一个条件使得△ACB≌△BDA，把它们分别写出来，并注明你所用的判定定理．
（2）反思、交流．
判定两个直角三角形全等有哪些方法？本次解题你有何收获？
（3）开放、拓展．
如上图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，若AC、BD相交于点O，AC＝BD，你能发现哪些结论？并给出证明．
1．独立思考，认真解答．
2．小组讨论，代表回答．
创造性地使用教材将例题转化为开放性问题，培养学生思维的灵活性，探究性教学，营造民主和谐的课堂气氛，学生成为课堂的主人．
4．探索活动三．
已知：如图，在△ABC和△DEF中，AP、DQ分别是高，并且AB＝DE，AP＝DQ，∠BAC＝∠EDF，图中有全等三角形吗？若有，请写出所有的全等三角形并写出判断过程；若没有，请说明理由．
变式1 若把∠BAC＝∠EDF，改为BC＝EF ，△ABC与△DEF全等吗？请说明思路．
变式2 若把∠BAC＝∠EDF，改为AC＝DF，△ABC与△DEF全等吗？请说明思路．
变式3 请你把原题中的∠BAC＝∠EDF改为另一个适当条件，使△ABC与△DEF仍能全等．试证明．
变式4 如果将原题中的如图二字去掉，对结果是否有影响？
1．独立思考，认真解答．
2．小组讨论，代表回答．
3．变式思考，合作交流．
这是直角三角形全等的综合应用，使学生通过练习，逐步形成应用定理进行推理的基本技能．
利用4个变式进行一题多变、一题多解，培养学生的发散思维能力，增强学生的创新意识和创新能力．
三、检测·反馈
1．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是高，则
______≌______．依据是______，BD＝______，∠BAD＝______．
（第1题） （第2题） （第3题）
2．如图，∠C＝∠D＝90°，请你再添加一个条件，使△ABD≌△BAC，并在添加的条件后的（ ）内写出判定全等的依据．
（1） _______（ ）
（2） （ ）
（3） （ ）
（4） （ ）
3．如图，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：CF＝DF．
独立处理，检测、反馈．
通过三个小问题的检测，让学生自查自纠，对自己本节课的学习做一个合理的评价，掌握知识，积累经验，形成能力．
四、体会·交流
这节课你有什么收获，还有什么疑惑？与你的同伴进行交流．
写好个人成长数学日记．
讨论后共同小结．
生生互动，锻炼学生的口头表达能力，进一步完善学生的认知结构，加强知识之间的联系，培养学生反思质疑的习惯．
五、课后作业
略．
课件12张PPT。1.1 全等图形一、欣赏1.1 全等图形问题1：日常生活中，你见过这样的图案吗？问题2：这些图案有哪些共同特征？能完全重合的图形叫做全等图形（congruent figures).
二、思考1.1 全等图形观察下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？全等图形的形状和大小都相同．1.1 全等图形三、交流找出下列图形中的全等图形.你能说明全等的理由吗？ 1.1 全等图形四、操作 观察图中三组全等图形，在各组图形中，第2个图形是怎样由第1个图形改变位置得到的？ 请你按照同样的方法在图中分别画出第3和第4个图形.1.1 全等图形五、尝试1.找出图中的全等图形.全等三角形还有其他全等形吗？全等平行四边形全等等腰梯形1.1 全等图形 2．请你用不同的方法沿着网格线把正方形分割成两个全等的图形．1.1 全等图形 你能把图中的等边三角形分成两个全等的三角形吗？三个、四个、六个呢？六、拓展1.1 全等图形七、小结基础知识：基本思想方法： 通过画图让学生感受平移、翻折、旋转等全等变换的过程.1．全等图形的相关概念．
2．全等图形的基本特征． 1.1 全等图形八、作业2．设计飞鸟图．1．习题1.1第1、2题．1.1 全等图形谢 谢!课件18张PPT。这两个图形有怎样的关系？1.2 全等三角形图片欣赏这两个图形有怎样的关系？1.2 全等三角形这两个图形有怎样的关系？1.2 全等三角形这两个图形有怎样的关系？1.2 全等三角形这两个图形有怎样的关系？1.2 全等三角形以上各组中的图形
都能完全重合，每一组图形都是全等形.1.2 全等三角形两个完全重合的三角形叫做全等三角形． 记作： △ABC≌△DEF．新知探究1.2 全等三角形对应顶点对应边对应角 表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上． 如：△BCA≌△EFD． 1.2 全等三角形∴ ∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C ＝∠F
（全等三角形的对应角相等）．
∵△ABC ≌ △DEF （已知），
∴AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF
（全等三角形的对应边相等），1.2 全等三角形3．小组内讨论交流．
4．各组代表展示．操作思考要求：1．任意剪两个全等的三角形．2．利用这两个全等三角形组合新的图形．1.2 全等三角形思考：怎样改变△ABC的位置，使它与△DEF重合？ 两个全等三角形的位置变化了，对应边、对应角的大小有变化吗？由此你能得到什么结论？FF1.2 全等三角形1．如图△ABD ≌ △CDB，
若AB＝4，AD＝5，BD＝6， ∠ABD＝30°，则BC＝_____，CD＝_____，∠CDB＝_____．
尝试交流1.2 全等三角形2．如图△ABC ≌ △DCB，（1）写出图中相等的边和角．（2）若∠A＝100°，∠DBC＝20°，
求∠D和∠ABC的度数．1.2 全等三角形拓展延伸1.如图，△ABC≌△ADE，∠C＝50°，∠D＝45°,
∠CFA＝75°，求∠BAC和∠BAE的度数. 1.2 全等三角形2．如图，△ABC≌△DEF，B与E，C与F是对应顶点．通过怎样的图形变换可以使这两个三角形重合？
1.2 全等三角形课堂小结基础知识： 从观察全等图形着手，类比归纳出全等三角形的有关概念，会用几何语言表示两个三角形全等，会在全等三角形中正确地找出对应顶点、对应边、对应角． 用运动变化的观点让学生经历平移、翻折、旋转等全等变换的过程，了解用图形变换识别全等三角形的方法． 基本思想方法：1.2 全等三角形课后作业 习题1.2第1、2、3题．1.2 全等三角形谢 谢!课件12张PPT。问题情境：（1）如图，△ABC≌△DEF,你能得出哪些结论？
1.3 探索三角形全等的条件(1)（2）小明想判别△ABC与△DEF是否全等，他逐一检查三角形的三条边、三个角是不是都相等．小红提出了质疑：分别检查三条边、三个角这6个元素固然可以，但是不是可以找到一个更好的方法呢？ 问题情境：1.3 探索三角形全等的条件(1)讨论交流：1．当两个三角形的1对边或角相等时，它们全等吗？2．当两个三角形的2对边或角分别相等时，它们全
等吗？3．当两个三角形的3对边或角分别相等时，它们全
等吗？1.3 探索三角形全等的条件(1)探索活动：（一）如图，每人用一张长方形纸片剪一个直角三角形，怎样剪才能使剪下的所有直角三角形都能够重合？
1.3 探索三角形全等的条件(1)（二）如图，△ABC与△DEF、 △MNP能完全重合吗？1.3 探索三角形全等的条件(1)探索活动：（三）按下列作法，用直尺和圆规作△ABC，使
∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．
作法：
1．作∠MAN ＝∠α．
2．在射线AM、AN上分别
作线段AB＝a，AC＝b ．
3．连接BC，
△ABC就是所求作的三角形．图形：ab1.3 探索三角形全等的条件(1)探索活动：提炼归纳：基本事实：
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成
“边角边”或“SAS”） ．1.3 探索三角形全等的条件(1)新知应用：例1 如图，AB =AD，∠BAC =∠DAC.
求证：△ABC ≌ △ADC．1.3 探索三角形全等的条件(1)如图，AB ＝AD，∠BAC ＝∠DAC.变式拓展：（1）DC ＝BC吗？（2）CA平分∠DCB吗？（3）本例包含哪一种图形变换？1.3 探索三角形全等的条件(1)通过本节课的学习，你有什么体会？ 体会小结：1.3 探索三角形全等的条件(1)课堂作业：
1.3 探索三角形全等的条件(1)略．谢 谢!课件8张PPT。1.3 探索三角形全等的条件(2)（1）如图，AB＝AC，还需补充条件____，就可根据“SAS ”证明△ABE≌△ACD.
问题情境：（2）“三月三，放风筝．”如图是小东同学自己动手制作的风筝，他根据AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，不用度量，就知道AD＝CD．请你用所学的知识给予说明．
1.3 探索三角形全等的条件(2)问题情境：合作探究：例1 如图，已知：点D、E在BC上，且BD＝CE，AD＝AE，∠1＝∠2，由此你能得出哪两个三角形全等？请给出证明．
1.3 探索三角形全等的条件(2)例2 已知：如图，AB、CD相交于点E，且
E是AB、CD 的中点．
求证：①△AEC ≌△BED ． ②AC∥DB．合作探究：1.3 探索三角形全等的条件(2)例3 已知：如图，点E、F在CD上，且CE ＝DF，AE ＝BF, AE ∥BF.
①求证：△AEC ≌△BFD ．
②你还能证得其他新的结论吗？合作探究：1.3 探索三角形全等的条件(2)通过本节课的学习你有什么体会？ 体会小结：1.3 探索三角形全等的条件(2)课堂作业： 略．谢 谢!课件10张PPT。
2．判断三角形全等至少要有几个条件？答：至少要有三个条件．在△ABC与△ DEF中，
AB＝DE（已知），
∠B＝∠E（已知），
BC＝EF（已知），
∴△ABC≌△DEF（SAS）．回首往事1.3 探索三角形全等的条件（3） 1．上节课你学会了哪种证明三角形全等的方法？两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
（边角边或“SAS”）．①②立足现在?调皮的小明用纸板挡住了两个三角形的一部分，你能画出这两个三角形吗？每个人画出的三角形都全等吗？1.3 探索三角形全等的条件（3）粗心的小明不小心将一块三角形模具打碎了，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带哪块去合适？1.3 探索三角形全等的条件（3）请你和小明一起画：请用圆规和直尺画
△ABC，使AB＝a，∠A＝∠α，∠B＝∠β．（1）作AB＝a．（2）在AB的同一侧分别作∠MAB＝∠α ， ∠NBA＝∠β ，AM、BN相交于点C．（4）△ABC就是所求作的三角形．βαa（3）分别连接AB、AC．1.3 探索三角形全等的条件（3）你有什么发现？1.3 探索三角形全等的条件（3）说一说1.3 探索三角形全等的条件（3）1.图中有几对全等三角形？你能找出它们
并说出理由吗？∴（已知），（已证），（对顶角相等），证明：∵O是AB的中点（ ），
∴AO＝BO（ ），∠A＝∠B≌已知中点的定义 △AOC△BOD在△AOC与△BOD中，∠ AOC与∠ BODAO＝BO（ASA）．1.3 探索三角形全等的条件（3）2.如图,O是AB的中点，∠A=∠B，
△AOC与△BOD全等吗？为什么？ 3.已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DE//AC，DF//AB．
求证：BE＝DF，DE＝CF．做一做1.3 探索三角形全等的条件（3）这节课你学到了什么？展望未来1.3 探索三角形全等的条件（3）谢 谢!课件10张PPT。1．回忆上节课学习的内容，用自己的语言表达出
来！2．解决下面的问题，你有什么发现吗？
已知：如图，∠ A＝∠D，∠ACB＝∠DBC．
求证：AB＝DC.1.3 探索三角形全等的条件（4） 已知：△ABC与△DEF中，∠A＝∠D， ∠B＝∠E，BC＝EF. 求证：△ABC≌△DEF．1.3 探索三角形全等的条件（4）你有什么发现？1.3 探索三角形全等的条件（4）推论：两角及其中一角的对边分别相等的两个三角形全等．简称“角角边”或“AAS”．1.3 探索三角形全等的条件（4）在△ABC与△A?B?C?中，
∠B＝∠B? （已知），
∠C＝∠C? （已知），
AB＝A?B? （已知），
∴ △ABC≌ △A?B?C?（AAS）．1 ．如图∠ACB＝∠DFE，BC＝EF，根据“ASA”,
应补充一个直接条件___________，根据“AAS”，那么
补充的条件为____________，才能使△ABC≌△DEF． ∠A＝∠D说一说∠B＝∠E1.3 探索三角形全等的条件（4）2．如图，BE＝CD，∠1＝∠2，则AB＝AC吗？为什么？3．已知：如图，△ABC≌△ A?B?C? ，AD和A?D?分别是△ABC和△ A?B?C?中BC和B ? C ?边上的高． 求证：AD＝A?D? ．做一做1.3 探索三角形全等的条件（4）做一做4．已知：如图，△ABC≌△ A?B?C? ，AD和A?D?分别是△ABC和△A?B?C?中∠A和∠A ?的角平分线． 求证：AD＝A?D?．1.3 探索三角形全等的条件（4）5．已知：如图，△ABC≌△A?B?C?，AD和A?D?分别是△ABC和△A?B?C?的BC和B?C?边上的中线． 求证：AD＝A?D?．
1.3 探索三角形全等的条件（4）做一做这节课你学到了什么？1.3 探索三角形全等的条件（4）谢 谢!课件16张PPT。 三角形全等判定方法1用符号语言表达为：在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）． 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”) .FEDCBA一、回顾与思考1.3 探索三角形全等的条件（5） 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）.FEDCBA 三角形全等判定方法2在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）．用符号语言表达为：一、回顾与思考1.3 探索三角形全等的条件（5） 三角形全等判定方法3 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”）.用符号语言表达为：在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF（AAS）．1.3 探索三角形全等的条件（5）一、回顾与思考 如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，
(1)根据“SAS”需添加条件 ；
(2)根据“ASA”需添加条件 ；
(3)根据“AAS”需添加条件 ．AB＝AC∠BDA＝∠CDA∠B＝∠C1.3 探索三角形全等的条件（5）一、回顾与思考1．如图,∠A＝∠B，∠1＝∠2，EA＝EB，你能证明AC＝BD吗?二、分析与讨论1.3 探索三角形全等的条件（5）2．如图,点C、F在AD上,且AF＝DC,∠B＝∠E,∠A＝∠D，你能证明AB＝DE吗?二、分析与讨论1.3 探索三角形全等的条件（5）1．为了利用“ASA”或 “AAS”定理判定两个三角形全等，有时需要先把已知中的某个条件，转变为判定三角形全等的直接条件.三、归纳与总结2．证明两条线段相等或两个角相等可以通过证明它们所在的两个三角形全等而得到.1.3 探索三角形全等的条件（5）四、理解与应用例 已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EC∥FD，EA＝FB.求证：AB＝CD．1.3 探索三角形全等的条件（5）上面的推理过程可以用符号“?”简明地表述如下：四、理解与应用1.3 探索三角形全等的条件（5）EA∥FB?∠A＝∠FBD
EC∥FD?∠ECA＝∠D?△EAC≌△FBD ? △EAC≌△FBD
EA＝FB
?AC＝BD?AB＋BC＝CD＋BC?AB＝CD五、巩固与练习 已知：如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，
∠B＝∠C.
求证：DB＝EC .1.3 探索三角形全等的条件（5）变式一 已知：∠1＝∠2，∠B＝∠C，AB＝AC.
求证：AD＝AE ，∠D＝∠E.五、巩固与练习1.3 探索三角形全等的条件（5）变式二 已知：∠1＝∠2，∠B＝∠C，AB ＝AC，
D、A、E在一条直线上.
求证：AD ＝AE，∠D ＝∠E.五、巩固与练习1.3 探索三角形全等的条件（5）1．如图，AC⊥AB，BD⊥AB，CE⊥DE，
CE ＝ DE .
求证：AC＋BD ＝ AB.六、拓展与提高1.3 探索三角形全等的条件（5）2．如图，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AC上一点，分别过A、C作BD的垂线，垂足分别为E、F.
求证：EF＋AE＝CF.六、拓展与提高1.3 探索三角形全等的条件（5）七、课堂小结 通过这节课的学习与探索，你有哪些收获？1.3 探索三角形全等的条件（5）谢 谢!课件12张PPT。一、问题情境 小明家的衣橱上镶有两块全等的三角形玻璃装饰物，其中一块被打碎了，妈妈让小明到玻璃店配一块回来，请你说说小明该怎么办？1.3 探索三角形全等的条件（6）用直尺和圆规作△ABC，使AB＝c，AC＝b,BC＝a.2．分别以点A、B为圆心，
b、a的长为半径画弧，
两弧相交于点C .3．连结AC、BC.abcABC△ABC就是所求作的三角形. 你作的三角形与其他同学作的三角形能完全重合吗？二、自主探究1.3 探索三角形全等的条件（6） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．在△ABC和△DEF中，∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）． 二、自主探究1.3 探索三角形全等的条件（6） 如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．二、自主探究1.3 探索三角形全等的条件（6）①②③④⑤⑥1.下列图形中，哪两个三角形全等？三、知识应用1.3 探索三角形全等的条件（6）变式1：若将上题中右边的三角形向左平移（如图），
若AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF.
问：△ABC和△DFE全等吗？ 2．如图，C点是线段BF的中点，AB＝DF，
AC＝DC.△ABC和△DFC全等吗？ CE三、知识应用1.3 探索三角形全等的条件（6）变式2：若将上题中的三角形继续向左平移（如图），
若AB＝DC，AC＝DB，
问：△ABC≌△DCB 吗？CE三、知识应用1.3 探索三角形全等的条件（6）2．如图，C点是线段BF的中点，AB＝DF，
AC＝DC.△ABC和△DFC全等吗？ 3.已知：如图, 在△ABC 中，AB＝AC，
求证：∠B＝∠C. 三、知识应用1.3 探索三角形全等的条件（6）1.已知：如图，AB＝CD，AD＝CB，
求证：∠B＝∠D. 四、尝试练习1.3 探索三角形全等的条件（6）2．如图，AC、BD相交于点O，且AB＝DC，
AC＝BD．求证：∠A＝∠D．四、尝试练习1.3 探索三角形全等的条件（6）五、课堂小结 通过这节课的学习与探索，你有哪些收获？1.3 探索三角形全等的条件（6）谢 谢!课件10张PPT。1.3 探索三角形全等的条件（7）一、情境创设 工人师傅常常利用角尺平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别任取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线．问题请同学们说明这样画角平分线的道理． 1.3 探索三角形全等的条件（7）二、探索活动11．说 请按序说出木工师傅的 “操作”过程．取：OC=OD移：CM=DM画射线OM以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D．作射线OMCDM∴射线OM就是所求作的图形.2．作与写 用直尺和圆规在图中按序将木工师傅的“操作”过程作出来，并写出作法．1.3 探索三角形全等的条件（7）3．证 请对你的作法进行证明．证明：在△MOC和△MOD中， ∴△MOC≌△MOD（SSS）,
∴∠COM＝∠DOM，
即OM平分∠AOB． 结论：过直线上一点作这条直线的垂线就是作以这点为顶点的平角的角平分线．1.3 探索三角形全等的条件（7）三、探索活动23．比较直线l直线AB点OPQ⊥直线AB点POM⊥直线l分析：作图的关键是在直线AB上确定C、D两点，使得PC＝PD；确定点Q，使得CQ＝DQ．1.3 探索三角形全等的条件（7）4．作法．步骤3 作直线PQ．步骤1 以点P为圆心，适当的长为半径作弧，使它与直线AB交于C、D．CDQ·P∴直线PQ就是经过直线AB外一点P的AB的垂线．AB5．归纳总结．
经过一点可用直尺和圆规作一条直线与已知直线垂直． 1.3 探索三角形全等的条件（7）四、知识运用 用直尺和圆规作一个直角三角形，使它的两条直角边分别等于a、b．1.3 探索三角形全等的条件（7）五、拓展延伸如图，已知A、B是l上的两点，P是l外的一点.
（1）按照下面画法作图（保留作图痕迹）：
①以A为圆心，AP为半径画弧；
②以B为圆心，BP为半径画弧；
③设两弧交于点Q（Q与P分别在l的两旁）；
④连结PQ.
（2）求证：PQ⊥l. 1.3 探索三角形全等的条件（7）六、课堂小结作已知角的角平分线过直线上的一点作已知直线的垂线过直线外的一点作已知直线的垂线特例变式方法1：活动二方法2：拓展延伸过平面上一点作已知直线的垂线作图依据：SSS活动一活动
二知识应用：一题多解1.3 探索三角形全等的条件（7）七、课后作业1．已知：∠AOB（如图）
求作：（1）∠AOB的平分线OC；
（2）作射线OD⊥OC（两种作法）；
（3）在OC上取一点P，作出点P到∠AOB两边的垂线段，并比较这两条垂线段的大小关系（要求保留作图痕迹，不写作法和证明过程） .
2．查询资料：能利用直尺和圆规将一个角三等分吗？ 谢 谢!课件12张PPT。1.3 探索三角形全等的条件（8）学习准备：1．判定两个三角形全等的方法： 、 、 、____.2．如下图在Rt△ABC中， ∠B＝90°，则直角边是 、 ， 斜边是____.4．如图，在Rt△ABC与Rt△DEF 中，∠B＝∠E＝90°， （1）若 ∠A＝∠D，AB＝DE，
则△ABC≌△DEF （ ）．（2）若∠A＝∠D，BC＝EF，
则△ABC≌△DEF （ ）．（3）若AB＝DE，BC＝EF，则△ABC≌△DEF （ ）． 上面的每一小题，都只添加了两个条件，就使两个直角三角形全等，你还能添加哪两个不同的条件使这两个直角三角形全等？3．如何将一个等腰三角形变成两个全等的直角三角形？展示·探究1.讨论、展示（1）判定两个直角三角形全等，还需要几个条件？ 可以是哪些条件？ （2）直角三角形是特殊的三角形，判定两个三角形全等，有没有特殊的方法？你有怎样的猜想？1.3 探索三角形全等的条件（8）展示·探究（1）操作（尺规作图）．2. 探索活动一 （2）思考、交流用直尺和圆规作Rt△ABC，使∠C＝90°，CB＝a，AB＝c.①△ABC就是所求作的三角形吗？②你作的直角三角形和其他同学所作的三角形能完全重合吗？ ③交流之后，你发现了什么？④想一想，在画图时是根据什么条件？它们重合的条件是什么？ 1.3 探索三角形全等的条件（8）（3）讨论、证明展示·探究2. 探索活动一 在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，
AB＝A′B′，AC＝A′C′
如何证明△ABC≌△A′B′C′？你有何经验？用前面的判定两个三角形全等的基本事实，还缺少什么条件？ 怎样构造？ 1.3 探索三角形全等的条件（8）展示·探究2. 探索活动一 （4）归纳、整理请你用文字语言归纳你证明的结论？用几何语言表述你的结论斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简写为：“斜边、直角边”或“HL”．1.3 探索三角形全等的条件（8）展示·探究3. 探索活动二（1）如图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，能否判定△ACB≌△BDA？若不能，请增加一个条件使得△ACB≌△BDA，把它们分别写出来，并注明你所用的判定方法.（2）反思、交流 判定两个直角三角形全等有哪些方法？本次解题你有何收获？（3）开放、拓展
如上图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，若AC、BD相交于点O，AC＝BD，你能发现哪些结论？并给出证明.1.3 探索三角形全等的条件（8）展示·探究4.探索活动三 已知：如图，在△ABC和△DEF中，AP、DQ分别是 三角形的高，并且AB＝DE，AP＝DQ，∠BAC＝∠EDF，图中有全等三角形吗？若有，请写出所有的全等三角形并写出判断过程；若没有，请说明理由. 思考：能否改变题中的某个条件，上面的结论仍然成立？小组交流一下！1.3 探索三角形全等的条件（8）展示·探究4.探索活动三变式1：若把∠BAC＝∠EDF，改为BC＝EF，△ABC与△DEF全等吗？请说明思路．变式2：若把∠BAC＝∠EDF，改为AC＝DF，△ABC与△DEF全等吗？请说明思路．变式3：请你把原题中的∠BAC＝∠EDF改为另一个适当条件，使△ABC与△DEF仍能全等．试证明．变式4：如果将原题中的如图二字去掉，对结果是否有影响？1.3 探索三角形全等的条件（8）检测·反馈1．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是高，则______≌______，依据是______.
BD＝______，∠BAD＝______.2．如图，∠C ＝∠D＝90°，请你再添加一个条件，使△ABD ≌ △BAC，并在添加的条件后的（ ）内写出判定全等的依据．
（1） （ ）
（2） （ ）
（3） （ ）
（4） （ ）1.3 探索三角形全等的条件（8）检测·反馈3．如图，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：CF＝DF．提示：连接AC、AD．1.3 探索三角形全等的条件（8）体会·交流1．“HL”定理是：有________相等的两个_____三角形全等．
2．在应用“HL”定理时，必须先得出两个_____三角形，然后证明___________对应相等． 这节课你有什么收获，还有什么疑惑？与你的同伴进行交流.
写好个人成长数学日记.1.3 探索三角形全等的条件（8）谢 谢!几何公理法简介
欧几里得是古希腊最伟大的一位几何学家．他是柏拉图派的学生，曾在埃及的亚历山大城教过数学，并且是希腊的亚历山大学派的创始人．
欧几里得在他的千古不朽的名著《几何原本》（以后简称为《原本》）中，不仅非常详尽地搜集了当时人们所知道的一切几何学方面的资料，而且还把这些非常分散的知识用逻辑推理的方法，编排成为一个系统的理论体系．他把几何学依照亚里斯多德所说的严密科学理论的要求建筑在几个最初的假设（定义、公设、公理）上，由这些假设利用逻辑推理导出后面的一切定理．不仅如此，欧几里得还示范式地规定了几何证明的方法，主要是分析法、综合法和归谬法．因此，欧几里得的《原本》不但在完善和充实上大大地超过了在它以前的所有几何学著作，并且在以后的两千余年间依然没有一部几何著作可以和它比美．虽然十九世纪二十年代，俄国伟大的数学家尼·伊·罗巴切夫斯基（1792～1856年）有了新的发现，使几何学发生了革命，但直到现在，中学几何教科书中的叙述方法，仍与《原本》没有多大的实质性的差别．
欧几里得《原本》的基本结构是定义、公设和公理的系统．《原本》共有十三卷，其中1、2、3、4、6、11、12、13卷属于几何本身，其余则讲比例（用几何方式来叙述）和算术（属代数学的内容）．第一卷，包括三角形全等的条件、三角形的边角关系、平行线的理论以及三角形、多边形面积相等的理论．第二卷，叙述了如何把多边形变成等积的正方形．第三卷，叙述了圆的性质．第四卷，讨论了圆的内接和外切多边形．第六卷，论述了相似多边形．在最后三卷中，叙述了立体几何的理论．
《原本》的每卷里，首先给要建立相互关系的一些重要概念下了定义．例如在第一卷里，首先列举了23个定义．为便于以后分析研究，在这里我们摘引最先的八个．
定义：
点是没有部分的．
线是有长度而没有宽度的．
线的界限是点．
直线是这样的线，它上面的点是一样放置着的．
面是只有长度和宽度的．
面的界限是线．
平面是这样的面，它上面的直线是一样放置着的．
平面上的角度是平面上的两条相交直线相互的倾斜度．
在定义以后，欧几里得引进了公设和公理．
公设：
从任一点到另一点可以引直线．
每条直线都可以无限延长．
以任意点作中心可以用任意半径作圆周．
所有的直角都相等．
平面上两直线被第三条直线所截，若截线一侧的两内角之和小于二直角，
则两直线必相交于截线的这一侧．
公理：
等于同一量的量彼此相等．
等量加等量得到等量．
等量减等量得到等量．
不等量加等量得到不等量．
等量的两倍相等．
等量的一半相等．
能合同的量相等．
全体大于部分．
在公理后面，欧几里得按逻辑关系叙述了几何定理，把它们按一定的顺序，排成使得每个定理可以根据前面的命题、公设和定理来证明．他整理几何所用的方法是正确的，编著的《原本》是伟大的，但由于历史的局限性，欧几里得不可能把作为几何根基的基础整理得完美无缺．因此在《原本》的逻辑系统中显示出许多漏洞来．
首先在概念方面，欧几里得要给他的书里所遇到的所有概念来下定义，实际上这是不可能的．例如“点”“线”“面”就是不能下定义的原始概念．所以，在欧几里得的《原本》里，除了一些有价值的定义外，也有一些定义并没有起定义的作用．例如定义4，直线是关于它上面的点都一样放置着的线，这句话可随便解释．可以解释为直线在它的所有点处都有同一方向，但是这样以来，就必须建立“方向”这个概念；也可以解释为，任何直线都可以合同，但是这样以来就必须建立“合同”（或“叠合”“运动”）这个概念．其他如定义1，“点是没有部分的”，这个定义本身并没有什么精确的几何内容，所以在《原本》中连欧几里得本人都不能应用这样的定义．
关于《原本》中列举的公设和公理，若严格按逻辑要求来证明以后的所有定理，这些公设与公理是不够的．例如，虽然欧几里得用到了连续性，但在他的公理系统中却没有连续公理．《原本》中第一卷第一个命题是这样的：在一定直线（应为线段）上作一等边三角形．
设AB是已知的一定直线，要作立在定直线AB上的等边三角形．
以A为中心，AB为距离画一圆，且以B为中心，BA为距离画一圆．连结这两圆的交点C与两点A和B，由于点A是圆BCD的中心，AC＝AB；由于点B是圆ACE的中心，BC＝BA，所以CA＝BC＝AB．因此，三角形ABC是等边三角形，并且是立在定直线AB上的，这就是所求的．
在这段论证中，欧几里得是以直观为依据的，他引用了“如果两个圆中的每一个都通过另一个的内点，则两圆心相交于某一点”这样的事实，然而他却没有以公理的形式加以规定．其他如“在直线上两点之间的点”“在直线的同一侧的点”“在多边形内的点”等，欧几里得在公设和公理中，从没有对这些概念下定义，都是依靠直观感觉．然而，在几何学的严谨结构里，每一命题，不论是多么显然，如果它不被公理所包含的话，就应该证明．此外，欧几里得的某些公理是不够肯定和确切的，例如公理8就是这样．
根据上面所说，《原本》公理体系的最大的缺点是没能够包含几何学无可非议的逻辑根据．古代的学者们已经注意到了欧几里得《原本》的缺点，阿基米德（公元前287～212年）就曾扩大了《原本》中的公设，增加了长度、面积和体积的测度理论．欧几里得只是确定了长度间、面积间、体积间的比值，而阿基米德引进了度量几何的五个公设，其中第五个公设在现代几何中我们还经常地应用．这个公设是这样写的：“两条不等的线段，两个不等的面或两个不等的体，其中较小的一个量增加适当的倍数后，可以变成大于较大的一个量”．现在这个公理是这样陈述的：“任何两线段a和b，如果a＜b，则必存在正整数n，使得na＞b成立”．这个公理是度量几何的理论根据，以后我们还会谈到它．
欧几里得《原本》虽然有它的缺点，但它却有着巨大的历史意义．《原本》是几何学方面最早的经典著作，它是在公理法的基础上，逻辑地创造几何学的先例，为后代数学家指明了研究几何的正确的方向．特别是现代数学里占统治地位的公理法，其来源就是欧几里得的《原本》．
欧几里得以后的古代数学家，为改进欧几里得公理体系进行了两千多年的努力．他们一方面消除《原本》中逻辑上的缺点，使《原本》的公理体系变得更完全、更正确，另一方面则是试图证明欧几里得的第五公设．
图形全等的评价的几点建议
一、应及时了解并尊重学生的个体差异，满足学生多样化的需要
学生的个体差异表现为认知方式与思维策略的不同，以及认知水平和学习能力的差异．教师要及时了解并尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要．
教学中要鼓励与提倡解决问题策略的多样化，尊重学生在解决问题过程中所表现出的不同水平．问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等要尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题的策略，并引导学生在与他人的交流中选择合适的策略，丰富数学活动的经验，提高思维水平．例如，在探索三角形全等的条件中，教科书的设计思路是就一个条件、两个条件、三个条件分别讨论几种可能的情况及每种情况下的结论．教学时，可以不完全按照这个思路，而是提出课题后，允许学生采取各自解决问题的方案，再全班进行交流．又如，在设计图案的过程中，教师应鼓励学生充分发挥自己的想象，按照自己的设计原则制作出既符合要求又具有个性的图案．
二、应结合具体情境，关注评价学生对知识技能的理解和应用的能力
对知识技能的评价应重视学生的理解和在新情境中的应用．例如，可以考察学生能否识别现实生活中大量存在的三角形；能否借助具体情境理解有关三角形的几何事实；能否利用三角形的有关事实，解释现实世界中的一些现象或解决一些实际问题；能否根据需要进行恰当的操作，并用自己的语言说明操作过程和理由．
考察学生对知识技能的理解时，除通常所用的提问、笔试、作业分析等方式外，也可以采取动手操作和语言表达相结合的方法．如当考察学生对三角形中特殊线段（高、角平分线、中线）的理解时，不应让学生死记硬背这些概念，而可以让学生自己拿一个三角形纸片，画出或折出有关线段，再用自己的语言对所作的线段和制作的过程进行刻画．
本章对图形性质的探索，将直观操作和简单推理相结合．因此评价时，也要关注学生“说理”的过程和水平．
1．鼓励学生用多种方式探索图形的性质，并说明自己的理由（说理）．
2．鼓励学生运用自己的语言说明理由，在书写格式上没有统一要求，既可以用自然语言，也可以结合在图中标示进行说明，或者利用箭头等形式表示自己的思路，或者是其他的方法，只要能说清楚即可．
3．说理一般要求为一步或两步，注意控制推理的难度，重在培养学生的推理意识和基本推理能力．
三、注重学生对观察、操作、探索等过程的评价，包括学生在活动中积极参与的程度与解决问题能力的评价
对活动过程的考察应当成为评价的首要方面．对它们的评价可以从以下两个方面进行：一是学生在具体活动中的参与程度以及与同伴之间交流的情况；二是学生在探索图形性质、有条理的进行思考和表达思考过程、提出独特想法等方面的表现．
本章有较多的让学生进行探索活动的内容，包括图案设计、折纸（折三角形的高线、中线和角平分线）、尺规作图、探索三角形全等条件等．因此，应关注学生在这些活动中的表现情况．例如，在探索三角形全等的条件时，我们首先要看学生是否能在教师的引导下，积极主动地按所给条件画出三角形，并与他人交流各自的结果，能否得到正确的结论，能否在条件由少到多的过程中探索出三角形全等的条件．对学生观察、操作、探索等过程的评价，包括学生在活动中积极参与的程度与解决问题能力的评价是本章教学中的亮点．
考察学生对知识技能的理解时，除通常所用的提问、笔试、作业分析等方式外，也可以采取动手操作和语言表达相结合的方法．如当考察学生对三角形中特殊线段（高、角平分线、中线）的理解时，不应让学生死记硬背这些概念，而可以让学生自己拿一个三角形纸片，画出或折出有关线段，再用自己的语言对所作的线段和制作的过程进行刻画．
本章对图形性质的探索，将直观操作和简单推理相结合．因此评价时，也要关注学生“说理”的过程和水平．例如，学生在利用尺规画出三角形后，教师要关注评价学生是否有意识地考虑作图步骤的合理性；能否想到运用三角形全等来说明作图的合理性；说明的过程是否正确、有条理等．值得注意的是，在评价学生的“说理”过程和水平时，不应要求形式化的推理格式，应鼓励学生运用自己的方式说明理由，只要清楚、正确即可．同时，要注意控制难度，应与教科书中的要求一致．
直觉与脑半球
现代脑生理学研究的结果表明，人脑左半球主要具有言语的、分析的、逻辑的、算术的、抽象思维的功能；右半球主要具有非言语的、综合的、直观的、音乐的、几何图形识别的形象思维的功能．前者是串行的、继时的信息处理，是收敛性的因果式的思考方式；后者是并行的、空间的信息处理，是发散性的非因果式的思考方式．左、右半球在功能上不对称，但处理复杂问题需要两半球的协同活动，由于直觉思维既具有抽象的性质，又具有形象的特征，因而直觉思维的生理基础是左、右两半球的交互联结．
代数方程是大脑左半球的结构原型，几何曲线是大脑右半球的特有产物，笛卡儿创立解析几何的灵感正是左右脑半球的辉煌结合．
数学学习中偏重逻辑训练，实际上主要训练和加强了左半球的功能，而右半球没有得到充分的发挥，这不利于直觉思维的发展，不利于创造能力的培养．逻辑之于数学就好比文法之于写诗，只靠文法写出的诗会缺乏活的灵魂——诗意．
三角形的3条边和3个角称为三角形的基本元素．判别命题“有5个基本元素相等的三角形必为全等三角形”的真假．
直觉——真命题．
评析：若5个相等元素中包括3条边，当然为真命题．若5个相等元素中只有2条边，将有两种可能：或者两组等边为对应边，由SAS或ASA都可得出真命题；但当两组等边不为对应边时，可为相似而不全等，比如三边为8、12、18与12、18、27的两个三角形就有5个元素相等，但不全等．
在这个反例的构造中，其实有直觉对其作了“相似而不全等”的预感，而具体找反例三角形则更有逻辑思维的成分．
