数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（八年级上册）
2.1 轴对称与轴对称图形
教学目标
1．在丰富的现实情境中，经历观察生活中的轴对称图案，探索轴对称及轴对称图形的共同特点等活动，进一步发展空间观点．
2．通过丰富的生活实例认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形及轴对称．
教学重点
了解轴对称图形和轴对称的概念，并能简单识别、体会轴对称在现实生活中的广泛应用和它的丰富文化价值．
教学难点
能正确地区分轴对称图形和轴对称，进一步发展空间观念．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
创设情境
教师先展示纸折的飞机、剪纸作品（蝴蝶、五角星等）、照片、实物，并用多媒体展示各种漂亮的轴对称图案等，然后让学生交流、展示各自收集的相关图片．
教师应关注以下几点：
（1）学生参与活动是否积极主动，全神贯注；
（2）学生自带的图片是否具有代表性；
（3）审美意识和情感是否在感知中有所增强；
（4）鼓励学生举出符合对称特征的物体：如风筝、知了、蜻蜓等．
学生欣赏图片，感知对称；
充分观察、讨论、交流；
尝试用自己的语言描述这些实物、图片的共同特征．
让学生欣赏图片，充分感知对称，增加学生的审美意识，激发学生的学习欲望．
通过展示学生自带的图片，让学生联系现实生活实际，主动参与数学活动，感知数学与生活密切相关．
使学生从这些图片中分别抽象出轴对称与轴对称图形的共同特征，并认识轴对称现象的广泛性．
探索活动
活动一：折纸印墨迹．
在纸的一侧滴一滴墨水后，对折，压平．
问题 1：你发现折痕两边的墨迹形状一样吗？为什么？
问题 2：两边墨迹的位置与折痕有什么关系？
问题3：联系实际，你能举出一些生活中图形成轴对称的实例吗？
学生动手、操作、观察、思考．组内同学讨论、交流．
教师引导得出轴对称及对称轴、对称点的概念，并板书概念．
学生举例，处理练习．
通过学生观察、主动思考，认识轴对称的本质特征，鼓励学生善于观察、勇于发现，培养合作意识．
通过举例、练习，进一步认识轴对称的本质．
活动二：剪图案．
把一张长方形纸片对折，从折叠处剪出一个图案，然后再打开（学生自由发挥）．
问题1：按照老师所示的方法剪纸，你得到了什么图案？它是轴对称图形吗？说出对称轴．
问题2：联系实际，你能举出一个轴对称图形的实例吗？
问题3：你能正确地完成课本P41页第1题的练习吗？
学生动手、操作、观察、思考．组内同学讨论、交流，并尝试着表述这些图形的共同特征．
教师归纳学生的表述，引导出轴对称图形及对称轴的概念，并板书概念．
学生举例，独立完成练习．
鼓励学生勇于发现，增强合作意识．培养学生的动手能力，观察能力和语言表达能力．
通过举例、练习，进一步认识轴对称图形的本质．
归纳总结：
问题 1： 根据课本图形2-1和2-4进行比较，轴对称与轴对称图形之间有什么区别吗？
问题 2： 如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称吗？如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，它是一个轴对称图形吗？
学生根据两组图比较观察、思考、讨论、交流，教师引导学生得出其区别．
教师提出问题，学生思考，讨论交流，进一步明确轴对称与轴对称图形的区别和联系．
通过比较观察、相互讨论，进一步认识轴对称与轴对称图形的本质特征．
通过思考、讨论等活动，进行辩证唯物主义教育，让学生运用辩证的观点认识事物，进一步发展学生抽象思维的能力．
课堂小结：
这节课你学到了什么？
学生自由发言，交流学习的经验和体会，并自主总结本节课的主要内容．
培养学生的归纳能力和合作交流精神，使学生的知识系统化、条理化．
课后作业：
1．课本P42习题2.1第1～4题．
2．（选做题）你能用2张正方形的纸，剪出下面的2个图案吗？
课后完成必做题，并根据自己的能力水平确定是否选做思考题．
选做题有一定的难度，学生可根据自己的能力去自主选做，这样就能实现《课程标准》中所要求的“让不同层次的学生得到不同的发展”．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（八年级上册）
2.2 轴对称的性质(1)
教学目标
1．知道线段垂直平分线的概念，知道成轴对称的两个图形全等，且成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；
2．经历探索轴对称性质的活动过程，积累数学活动经验，进一步发展空间观念和有条理的思考和表达能力．
教学重点
理解“成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段相等、对应角相等”．
教学难点
轴对称性质的运用．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
开场白
同学们，你们喜欢照镜子吗？
你知道“你与镜中的你”有什么关系吗？
随意交流，进入状态，兴致盎然.
给学生一个宽松的课堂气氛，让学生有感就发，有想就问；体会生活中处处是数学，增强学生学习数学的兴趣.
引入
一些图形也想照镜子看看自己美不美，一位数学老师就让同学们记录下圆、正方形、长方形、平行四边形照镜子的状况，你对这四位的记录有什么意见吗（投影图片）？
同学们的看法到底对不对？通过这一节课的学习我们就有答案了（对学生的回答不予评价，探索完轴对称的性质后，让学生自评或互评）．
积极思考，回答问题.
（3） （4）
由学生熟悉的情景入手，给学生一个展示才华的机会，激发学生学习数学的欲望.
（活动说明：最好用透明纸，这样更方便观察现象）．
实践探索一
1．指导学生完成下边的活动（投影要求）．
活动一：
如图所示，把一张纸折叠后，用针扎一个孔；再把纸展开，两针孔分别记为点A、点A(，折痕记为l ；连接AA(，AA(与l相交于点O．
2．探究：你有什么发现？
（1）通过活动一的操作，你小组探索的结果是什么？你们是怎样发现的？给直线l起个名字．
（2）线段的垂直平分线需满足几个条件？
你觉得线段的垂直平分线我们怎样定义？
线段的垂直平分线的特征是什么？
1．小组活动．
取一张长方形的纸片，按下面步骤做一做．
活动一：
如图所示，把一张纸折叠后，用针扎一个孔；再把纸展开，两针孔分别记为点A、点A(，折痕记为l；连接AA(，AA(与l相交于点O．
2．（1）小组交流总结：对称轴直线l垂直两点连线AA(；
OA＝OA(（即对称轴直线l平分AA(）．
由以上两点得，直线l叫做AA′的垂直平分线．
（2）小组合作进行操作、探究．小组讨论，代表回答，
形成下面的认识：
①线段的垂直平分线概念：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
②线段垂直平分线的两个特征：平分、垂直．
1．通过折纸、扎孔的操作活动过程让学生体会自主探索的乐趣，获得成功的体验．
2．通过动手操作让学生再次让学生体会轴对称图形的特征，即清晰地观察到点A、A(与对称轴直线l之间的位置关系，以及对应线段OA、OA(之间的大小关系，从而得出线段垂直平分线的概念．
3．从轴对称的特性——重合出发，给了有根有据的说明，这样有利于加强在活动中进行有条理的说理训练．
实践探索二
指导学生完成活动二（投影要求）．
仿照上面的操作，在对折后的纸上再扎一个孔，把纸展开后记这两个针孔为点B、点B(，连接AB、A(B(、BB(．你有什么新的发现？
活动二．
仿照上面的操作，完成：
在对折后的纸上再扎一个孔，把纸展开后记这两个针孔为点B、点B(，连接AB、A(B(、BB(．
小组交流得到：
（1）线段BB(被l垂直平分．
（2）线段AB与A(B(相等．
（3）连接AB、A(B(，线段AB与A(B(关于直线l对称．
通过模仿活动一的操作，引导学生直观感受要识别两条线段关于直线l对称，只要确定线段的两个端点是否关于此直线对称，为学生解决问题提供方法，其次培养学生有条理地表达．
实践探索三（投影要求）
如图，并仿照上面进行操作，扎孔、展开、标记、连线．
你又有什么发现？
引导学生观察，形成结论．
活动三．
如图，在纸上再画一点C，找出点C关于直线l对称的点C(；仿照活动二探究的结果，小组合作通过观察、讨论，形成结论．能用自己的语言有条理地得出下列结论．
1．如果两点关于直线l对称，那么得出对应点的连线与对称轴的关系；
2．如果两条线段关于直线l对称，那么得出对应线段与对称轴的关系；
3．如果两个图形关于直线l对称，那么得出成轴对称的两个图形之间的关系以及它们与对称轴的关系．
即轴对称的性质：
1．成轴对称的两个图形全等．
2．成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分．
从研究最简单的对称点开始到对称线段、对称三角形，层层递进、循序渐进的方法，不仅为学生的数学活动积累经验，感受探索的乐趣，而且体现了探究的一般规律，更清楚地揭示了轴对称的性质．研究对称的点是研究对称的图形的基础，这一思想、方法为学习找对称轴和下一步学习中心对称等内容提供了思想和方法．
返回情景导入题（投影图片）
开始同学们的回答对不对？先让学生自评，再由他评．
学生自评后，有意见的学生提出反驳．参考答案：（1）、（4）不符合成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；（2）不符合成轴对称的两个图形全等．所以（1）、（2）、（4）都画错了；（3）符合轴对称的性质，所以（3）是正确的．
巩固本节课的知识，强化轴对称的性质．
投影例题
例1 小明取一张纸，用小针在纸上扎出“4”，然后将纸放在镜子前．
（1）你能画出镜子所在直线l的位置吗？
（2）图中点A、B、C、D的在镜中的对应点分别是 ，线段AC、AB的在镜中的对应线段分别是 ，CD＝ ，
∠CAB＝ ，∠ACD＝ .
（3）连接AE、BG， AE与BG平行吗？为什么？
（4）AE与BG平行，能说明轴对称图形对称点的连线一定互相平行吗？
（5）延长线段CA、FE，连接CB、FG并延长，作直线AB、EG，你有什么发现吗？
学生独立思考、独立完成、有条理的表述．
（1）找一组对应点，画出它的垂直平分线，或对应点连线的中点所在的直线．
（2）找出对应点、对应线段、对应角．
（3）平行．因为 A和E，B和G是关于直线 l 的对称点，
所以 l⊥AE ，l⊥BG．所以 AE∥BG．
（4）不一定．如图，对称点的连线DH、CF就不互相平行，而是在同一条直线上，从而说明轴对称图形对称点的连线互相平行或在同一条直线上．
（5）轴对称图形中的对称线段所在直线的交点在对称轴上或对称线段所在直线互相平行．
利用找两个图形关于某条直线的对称轴，可以使学生更加清晰感受到对应点的连线的垂直平分线的位置，即对称轴的位置，省略了折纸这一环节，为学生提供了画轴对称的方法．
通过后3问的解决让学生对成轴对称的两个图形的性质有了更深一步的了解．
总结
轴对称在我们的生活中无处不在，通过这节课的学习，你有什么感受呢，说出来告诉大家．
讨论后共同小结、交流本节课的收获．
1．线段垂直平分线的概念．
2．轴对称的性质．
师生互动，锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己看法的能力.
课后作业
课本P44练习1、2．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（八年级上册）
2.2 轴对称的性质（2）
教学目标
1．会画已知点关于已知直线l的对称点，会画已知线段的对称线段，会画已知三角形的对称三角形．
2．让学生先从“做数学”中体会“获取知识”的快乐．
3．让学生们感受分类讨论的思想，体会方法的多样性和知识的丰富性．
教学重点
作已知图形的轴对称图形的一般步骤．
教学难点
怎样确定已知图形的关键点并根据这些点作出对称图形．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
创设情境，感悟新知
思考：如图，A、B、C 3点都在方格纸的格
点位置上．请你再找一个格点D，使图中的4点组成一个轴对称图形．
本题尽量让学生独立思考，教师不要提醒．
对于学生的每一种方法教师都要给予及时的评点，并充分鼓励．
小组讨论，学生都能找到1～2个符合条件的点，但找不全，让学生在合作中学习，发挥小组的集体力量．
创设了在图中所示的方格纸中找点，使它与图中的三点组成一个轴对称图形的探索活动．其目的是让学生运用轴对称的性质，寻找并掌握画轴对称图形的方法．这一个问题情境设计的既开放，又有趣，还具有挑战性．总结时让学生领悟分类讨论的思想，为以后的学习增加知识储备．
实践探索一
以其中的个别对应点为例，去掉网格线，你能找出点C关于直线AB的对应点么？
点A关于直线AB的对应点有吗？
（分类讨论点在线上与点在线外作对应点的方法）．
AC关于直线AB的对称图形呢？
积极思考，回答问题．
问题1 去掉网格线，你能说说如何找出点C关于直线AB的对应点么？并说明其道理．
问题2 点A关于直线AB的对应点有么？
问题3 AC关于直线AB的对称图形呢？
让学生由刚才的网格找对应点再过渡到作点关于某直线的对应点，学生很容易接受，而且能抓住作点关于某直线的对应点的关键，很好地化解了难点，同时也分类讨论了点在线上、点在线外的问题．
同时，问题3的设问也为探索二作一铺垫，过渡自然贴切．
实践探索二
你能画出线段AB关于直线l的对称图形么？
如果直线l外有线段AB，那么怎样画出线段AB关于直线l的对称线段A(B(？
要让学生不仅要会画，而且还要会说画法，能根据轴对称的定义说理，并能通过折纸来验证，从而为后面探求线段的轴对称性作铺垫．
实践探索三
画出△ABC关于直线MN的对称图形．
问题2 怎样画已知线段关于某直线对称的线段？怎样画已知三角形关于某直线对称的三角形？说说你的想法和根据，展开讨论，踊跃回答，并动手去做一做．
在操作过程中主要让学生作线段关于某直线的对称图形转化为找关键点关于该直线的对称点．
如何找关键点呢？
如果是四边形呢？多边形呢？
从研究最简单的对称点开始到对称线段、对称三角形，层层递进、循序渐进的方法，不仅为学生的数学活动积累经验，感受探索的乐趣，而且体现了探究的一般规律，更清楚地揭示了轴对称的性质．研究对称的点是研究对称的图形的基础，这一思想、方法为学习找对称轴和下一步学习中心对称等内容提供了思想和方法．由作对称点过渡到作对称的线段和对称三角形，突出了问题的层次性，通过学生在作图过程中对知识进行再构造、再整理、再建构的过程，以期收到触类旁通的效果．
实践探索四
在图中，四边形ABCD与四边形EFGH关于直线l对称．连接AC、BD．设它们相交于点P．怎样找出点P关于l的对称点Q？
提示：成轴对称的两个图形的对应点也成轴对称．
问题1 在图2-11中连接AC、BD，画出它们的交点P，你能用折纸、扎孔的方法画出点P关于直线l的对称的点Q吗？
问题2 你能用直尺和三角尺，根据“画点A关于直线l的对称的点A(”的方法画出点P关于直线l的对称的点Q．
问题3 为什么EG和FH的交点就是与点P对称的点Q？
让学生通过用不同的方法画出点P关于直线l的对称的点Q，更好地掌握画轴对称图形的方法，加深理解与领悟轴对称图形的性质，进一步发展有条理的思考，逐步把握数学的本质，以达到化繁为简，化难为易的目的，这将十分有利于激发学生学习数学的积极性．让学生通过用不同的方法画出点P关于直线l的对称点Q，更好地掌握了画轴对称图形的方法．
课堂小结，内化新知
请同学们用自己的语言再来复述一下画轴对称图形的方法．
讨论后共同小结画轴对称图形的方法．
先画对称轴，再画已知点关于对称轴的对称的点；
先画已知线段各端点的对称的点，再画出关于对称轴对称的线段；
先画已知三角形的各顶点的对称的点，再画出关于对称轴对称的三角形；
成轴对称的两个图形的对应点（如图2-11画出的点P与点Q）也成轴对称．
巩固新知识，让学生不断的强化对新知的认识．
（1）先画对称轴，再画已知点的对称点．
（2）先画已知线段各端点的对称点，再画出对称线段．
（3）先画已知三角形的各顶点的对称点，再画出对称三角形．
课后作业
课本P47习题2.2第5题．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（八年级上册）
2.3 设计轴对称图案
教学目标
1．欣赏生活中的轴对称图案，感受数学丰富的文化价值．
2．经历“操作——猜想——验证”的实践过程，积累数学活动的经验．
3．能利用轴对称的性质设计简单的轴对称图案．
教学重点
利用对称轴掌握颜色对称与图形对称．
教学难点
利用对称性质设计轴对称图形．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
一、情境创设
欣赏轴对称图案，思考这些图案是怎样形成的？你想学会制作这种图案的方法吗？
欣赏轴对称图案：
1．绿色食品标志、中国环境标志、国家免检产品标志等；
2．课本P48美丽的“盆花”图案．
从学生熟悉的图形入手,感受轴对称图形在生活中的广泛应用，体会数学就在身边，激发学生学习数学的兴趣，再通过对“盆花”的欣赏，让学生感受到设计轴对称图形并不是很难，乐意参与图案设计，从而激发学生学习的热情．
二、探索活动
1．对称的美术图案，除图形对称外，有时颜色也“对称”．如果不包括色彩因素在内，下列图形有几条对称轴？请你画出图中（1）和（2）的对称轴．
动手实践、探究、交流，分别画出下列图形的对称轴．
要点：画全．
从简单的图形入手，帮助学生理解形成对称的美术图案的两个条件：1．图形对称；2．颜色对称．
2．如果不考虑颜色的“对称”，图2-13中（1）和（2）中各有几条对称轴？考虑颜色的“对称”呢？
3．如果将图2-13（1）中左上方和右下方的小方格也涂上色，那么它有几条对称轴？
4．改变图2-13（2）哪些小方格的颜色，就能使它有4条对称轴？
学生动脑想、动手画，积极参与活动．
2.答案：4条，4条；2条，1条．
3.答案：4条． 4. 答案：涂色如图．
由对称的图形到对称的美术图案的变化过程，让学生感受对称轴的变化与色彩的位置有关．
试一试：
1．如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用二种方法分别在右图方格内填涂黑二个小正方形，使它们成为轴对称图形．
2．完成课本上练习2、3．
通过试一试进一步让学生感受轴对称的魅力．
三、数学实验
（一）制作4张如图2-14的正方形纸片，将纸片拼合．
1．图2-15中的3个图案各有几条对称轴？
2．这些图案可以看成是由一个小正方形纸片经过怎样的变换得到的？
3．你有不同于课本的拼法吗？拼出的图案是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？
（二）人们在剪纸时，常常利用轴对称设计图案．欣赏剪纸作品，探讨它是怎么得到的？例如，按照图2-16（1）进行剪切，就能得到“庆丰灯笼”的剪纸作品（如图2-16（2））．
你来试试看呢？
画出图案的对称轴，并说出它的变换方式．
展示学生拼合的图案，交流所拼图案的对称轴及图形变换方式．
讨论、交流剪纸的要点，动手操作，展示作品．
通过活动让学生发现并感受平移、翻折、旋转三种变换在设计图案中的作用，为学生设计图案提供思路和方法，同时能让学生在活动中获得成功的体验和创新的喜悦，激发学生学习的内驱力．
引导学生进行“折纸、画图、剪纸”．要求做到认真画，细心剪，为后面自己设计作品作铺垫．
四、实践操作
利用轴对称，设计并剪出一幅奖杯图案，
班内展览，评选精品．
在准备的纸上设计图案，并通过折纸——剪纸来完成这一设计．
把自己满意的作品进行班内展览，民主评选出精品．
学以致用，让学生回到生活中，体会数学来源于生活又应用于生活，同时又有意识的为学生提供了个性化学习的时间和空间．
五、全课小结
1．能按要求完成某些轴对称图案．
2．会设计简单轴对称标志．
3．轴对称具有美感，轴对称在生活中无处不在．
谈谈本节课的收获．
试对所学知识进行反思、归纳和总结．
六、课后作业
1．课本P49练习1和P50习题2.3习题1、2．
2．拓展：请用2块大小一样的三角尺（两锐角分别是60°和30°）拼出不同的轴对称图形，看看你能拼出几种．
认真完成课后作业．
题目有梯度，学生可根据自己的能力去自主完成，这样就能实现《课程标准》中所要求的“让不同层次的学生得到不同的发展”．
数学教学设计
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2.4 线段、角的轴对称性（1）
教学目标
1．探索并证明线段垂直平分线的性质定理，能利用所学知识提出问题并解决生活中的实际问题；
2．能利用基本事实有条理的进行证明，做到每一步有根有据，渗透反证法的思想；
3．经历探索线段的轴对称的过程，在“操作——探究——归纳——证明”的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性．
教学重点
利用线段的轴对称性探索线段垂直平分线的性质．
教学难点
1．利用线段垂直平分线的性质解决生活中的实际问题；
2．运用所学知识说明线段的垂直平分线外的点到线段两端的距离不相等．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
开场白
同学们，纷繁源于简单，复杂图形都是由基本图形构成的．为了更好的研究轴对称图形，今天我们就先来研究最基本的图形——线段的轴对称性．
进入状态，兴致盎然．
衔接上一节课，渗透“化繁为简”的数学研究策略．
实践探索一
在一张薄纸上画一条线段AB，操作并思考：线段是轴对称图形吗？如果是，对称轴在哪里？为什么？
积极思考，动手操作，提出猜想．
让学生动手操作，感知线段的轴对称性，猜想对称轴的位置，为后续研究作铺垫，同时激发学生的学习兴趣．
实践探索二
如图2-17直线l是线段AB的垂直平分线，如果沿直线l翻折，你有什么发现？说说你的看法．
动手操作，验证猜想，描述发现．
在操作中感知线段的轴对称性，培养数学语言的表达能力．
实践探索三
如图，线段AB的垂直平分线l交AB于点O，点P是l上任意一点，PA与PB相等吗？为什么？通过证明，你发现了什么？用语言描述你得到的结论．
学生独立思考、积极探究．
方法不一，具体如下：
利用“SAS”证明△OAP≌△OBP后，
说明PA与PB相等；
利用线段的轴对
称性和基本事实“两点确定一条直线”，说明PA与PB相等．
问题虽然比较简单，学生都能感受到PA与PB相等，但是要让学生进行推理说明还是有困难的，要提示学生从线段的垂直平分线的定义入手，说明线段或角相等，再结合证明两条线段相等的思路，让学生寻找到演绎推理的过程，培养学生的动手能力和探索精神，为下面的证明积累经验．
总结
线段垂直平分线上的点有什么特点？
讨论后共同小结．
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
师生互动，锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己的看法．
实践探索四
试判断：线段的垂直平分线外的点到这条线段两端的距离相等吗？
引导学生展开讨论：
1．你能读懂题目吗？题中已知哪些条件？要说明怎样一个结论？
2．请你利用题中的已知条件和要说明的结论画出图形．
3．根据图形你能证明吗？试一试，让学生自己作图，讨论研究，并给出结论和证明．
教师点评，用幻灯片给出解答过程：
学生按老师的要求作图，猜想结论，探讨说理．
完成证明：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
解：线段的垂直平分线外的点，到这条线段两端的距离不会相等．
如图，在线段AB的垂直平分线l外任取一点P，连接PA、PB，设PA交l于点Q，连接QB．
根据“线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，因为点Q在AB的垂直平分线上，所以QA＝QB．
于是PA＝PQ＋QA＝PQ＋QB．
因为三角形的两边之和大于第三边，所以PQ＋QB＞PB，即PA＞PB．
本题是线段的垂直平分线性质的应用，主要是让学生经历比较线段垂直平分线上的点和线外的点与线段的两个端点的距离的关系，进一步加深对此性质的理解．另外对于文字题的证明，教师通过逐层提问、分解难点的方法，引导学生画出图形并用符号语言表示出命题，巩固证明命题的思考方法与表达形式．
指导学生活动．
练习：课本P52练习1、2．
这两题都是线段垂直平分线性质的应用．
第1题是借助网格画线段的垂直平分线有利于学生动手操作，获得成功，调动学生学习的积极性．
第2题是利用线段的垂直平分线性质解决实际生活中的问题，再次让学生感受到数学是为生活服务的．
小结
1．线段垂直平分线有哪些性质？我们是怎么证明的？
2．线段垂直平分线有哪些应用？它主要可以用来解决什么样的问题？
学生讨论、小结．
帮助学生及时归纳所学，纳入原有知识体系中．
布置作业
课本P57习题2.4，分析第1～4的解法，任选2题写出过程．
学生根据自身实际情况，选题作业．
实行作业分层，便于不同发展水平的学生自我发展．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（八年级上册）
2.4 线段、角的轴对称性（2）
教学目标
1．探索并证明线段垂直平分线的性质定理的逆定理，会用尺规作线段的垂直平分线；
2．能利用所学知识提出问题并解决实际问题；
3．经历探索线段的轴对称的过程，在“操作——探究——归纳——证明”的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性．
教学重点
利用线段的轴对称性探索线段垂直平分线的性质定理的逆定理．
教学难点
灵活运用线段垂直平分线的性质解决实际问题．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
实践探索一
在一张薄纸上画一条线段AB，你能找出与线段AB的端点A、B距离相等的点吗？这样的点有多少个？
动手操作，交流发现．
激发兴趣，点明主题．
衔接上一节课，渗透数学“逆向思维”的数学研究策略．
实践探索二
如果一个点在一条线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两端的距离相等．反过来，如果一个点到一条线段的两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上吗？
如图2-21（1），若点Q在线段AB上，且QA＝QB，则Q是线段AB的中点，则点Q在线段AB的垂直平分线上.
如图2-21（2），若点Q是线段AB外任意一点，且
QA＝QB，那么点Q在线段AB的垂直平分线上吗？为什么？
通过上述探索，你得到了什么结论？
教师利用几何画板验证线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.
1．猜想线段垂直平分线性质定理的逆定理；
2．自学课本上点Q在线段上的情形，思考点Q不在线段上时的证明；
3．学生证明逆定理．
（1）过点Q作QM AB于点M，利用HL证明三角形全等，继而得到QM垂直平分AB．
（2）过点Q作∠AQB的角平分线交AB于点M，利用SAS证明三角形全等，继而得到QM垂直平分AB．
（3）过点Q作AB边上的中线交AB于点M，利用SSS证明三角形全等，继而得到QM垂直平分AB．
4．学生讨论、归纳得到线段垂直平分线性质定理的逆定理，线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合．
教师提出问题，帮助学生合理猜想，培养学生的逆向思维能力．
从“点Q在线段AB上” 这一特殊情形的直接呈现，到“点Q是线段AB外任意一点”一般情形的研究，渗透数学中“特殊——一般”的研究方法，同时图2-21（1）也是为图2-21（2）作好铺垫，引导学生思考添加辅助线解决问题.
两个步骤兼顾了“任意性”和“完备性”，让学生感受线段垂直平分线上点的共性，几何画板的一般性图形验证，客观的得到了其是一类点的集合．
实践探索三
你能运用实践探索二得到的结论，用尺规画出任一条线段的垂直平分线吗？如果能，说说你作图的依据.
课本上用尺规作线段的垂直平分线时，为什么要画“两弧的交点”，而且“半径要大于AB”呢？
在线段AB所在直线外取一点C，连接AC，用刚学的方法画出AC的垂直平分线l1，与AB的垂直平分线l2交于点O，再连接BC，并作出它的垂直平分线．你发现了什么？得到什么结论？这又是为什么呢？
1．学生尝试操作、小组交流；
2．小组代表汇报画法，并说明作图依据；
3．自学课本，与你的画法进行对比，判
断谁的画法更好？
4．说明作法中“两弧的交点”“半径要
大于AB”的原因；
5. 进行延伸作图，观察现象，思考原因.
从实践探索二出发，引导学生利用圆规的等距性找到确定线段垂直平分线的两点，强调“两交点”及“半径”，确保作图成功．
延伸作图以及图形观察一方面“学以致用”，另一方面为例1的解决作出铺垫．
例1 已知：如图2-22，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O．求证：点O在BC的垂直平分线上.
分析：要证明点O在BC的垂直平分线上，根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，只要证OB＝OC，连接OB、OC，要证OB＝OC，只要证OB＝OA，OC＝OA，因为AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得OB＝OA，OC＝OA，所以得证．
1．学生结合实践探索三思考；
2．尝试证明；
3．验证得到结论：三角形的三边垂直平
分线相交于一点．
在实践探索三的基础上学生开始逐渐学会综合利用性质定理和逆定理．
分析为学生进行证明提供了一种思考方法．
问题解决完后及时进行小结归纳，得出三角形“外心”，为学习三角形的外接圆打好基础．
指导学生活动．
练习：课本P54练习1．
练习：（1）课本P54练习2．
（2）课本P52练习2的基础上作出公共汽车站的位置．
这两题都是线段垂直平分线性质定理及逆定理的应用．
第1题是借助网格画两边的垂直平分线即可，巩固了例1，有利于学生动手操作，获得成功，调动学生学习的积极性．
第2题是利用线段的垂直平分线性质定理及逆定理解决实际生活中的问题，再次让学生感受到数学是为生活服务的．
小结
（1）探索并证明了线段的垂直平分线的逆定理，会用直尺和圆规作线段的垂直平分线，知道了线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.
（2）会应用性质定理和逆定理证明结论的正确性和解决问题．
（3）经历了“作图——猜想——证明”的过程，发展了空间观念和演绎推理的能力．
学生讨论、小结．
帮助学生及时归纳所学，纳入原有知识体系中．
布置作业
课本P57-58习题2.4，分析第5、6题的解法，任选1题写出过程．
学生根据自身实际情况，选题作业．
实行作业分层，便于不同发展水平的学生自我发展．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（八年级上册）
2.4 线段、角的轴对称性（3）
教学目标
1．探索并掌握角平分线的性质定理和逆定理；
2．能利用所学知识提出问题并能解决生活中的实际问题；
3．能利用基本事实有条理的进行证明，做到每一步有根有据；
4．经历探索角的轴对称的过程，在“操作——探究——归纳——证明”的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性．
教学重点
利用角的轴对称性探索角平分线的性质．
教学难点
理解“点在角平分线上”的证明方法．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
开场白
同学们，上节课我们充分研究了线段的轴对称性，那么另一个基本图形“角”的轴对称性又如何呢？与线段有什么异同和联系呢？下面，我们就进入今天愉快的数学探究之旅．
进入状态，兴致盎然，跃跃欲试．
点明课题，揭示角类比线段的探究方法．
实践探索一：
在一张薄纸上画∠AOB，它是轴对称图形吗？如果是，对称轴在哪里？为什么？
积极思考，动手操作，提出猜想．
让学生动手操作，感知角的轴对称性，猜想对称轴的位置，为后续研究作铺垫，同时激发学生的学习兴趣．
实践探索二
如图2-23，直线OC是∠AOB的角平分线，如果沿直线OC翻折，你有什么发现？角平分线是线段的对称轴吗？
动手操作，验证猜想，描述发现，明确结论．
在操作中感知角的轴对称性，培养口头表达能力．
实践探索三
角平分线是否也有像线段垂直平分线一样的特殊性质呢？
如图，在∠AOB的角平分线OC任意取一点P，PD⊥OA，PE⊥OB，PD与PE相等吗？为什么？
通过证明，你发现了什么？用语言描述你得到的结论．
学生独立思考、积极探究．方法不一，具体如下：
1．利用“AAS”证明△ODP≌
△OEP后，说明PD与PE相等．
2．利用角的轴对称性和基本事
实“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，说明PD与PE相等．
问题虽然比较简单，学生都能感受到PD与PE相等，但是要让学生进行推理说明还是有困难的，要提示学生从角平分线的定义入手，说明角相等，再结合证明两个角相等的思路，让学生寻找到演绎推理的过程，培养学生的动手能力和探索精神，为下面的证明积累经验．
总结
角平分线上的点有什么特点？
讨论后共同小结：
角平分线上的点到角两边的距离相等．
师生互动，锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己看法的能力．
实践探索四
如果任意一个点在角平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等．反过来，结合上节课所学，你有什么猜想？
如图2-26，若点Q在∠AOB内部，QD⊥OA，QE⊥OB，且QD＝QE，点Q在∠AOB的角平分线上吗？为什么？
通过上述探索，你得到了什么结论？
教师利用几何画板验证．
1． 猜想角平分线性质定理的逆定理．
2．学生证明逆定理．
连接OQ，利用HL证明三角形全等，继而得到OQ平分∠AOB．
3．学生讨论、归纳得到角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
教师提示问题，帮助学生利用类比学习法合理猜想，培养学生的逆向思维能力．
逆定理的证明，通过引导学生理解“点在线上”的证法基础上，明确辅助线，培养其分析问题和演绎推理的能力．
让学生感受角平分线点的共性，几何画板的一般性图形验证，较好地进行了图形证明．
指导学生活动．
练习：课本P55练习．
延伸：在平面内确定一点M，使它到AB、AC的距离相等且MB＝MC．
这题是线段垂直平分线性质和角平分线性质的综合应用．
借助网格画线段的垂直平分线和角平分线有利于学生明确其区别，也有利于学生动手操作，获得成功，调动学生学习的积极性．
小结
1．经历了画图、折纸、猜想、归纳的活动过程，探索得到了角的轴对称性：角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线．
2．本节课我们还证明了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等；反过来，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，从中我们可以发现图形的位置关系与数量关系的内在联系，你能举例说明这种内在的联系吗？
学生讨论、小结．
帮助学生及时归纳所学，纳入原有知识体系中．
布置作业
课本P58习题2.4，分析第7、8题的思路，任选1题写出过程．
学生根据自身实际情况，选题作业．
实行作业分层，便于不同发展水平的学生自我发展．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（八年级上册）
2.4 线段、角的轴对称性（4）
教学目标
1．能利用所学知识提出问题并能解决实际问题；
2．能利用角平分线性质定理和逆定理证明相关结论，做到每一步有根有据；
3．经历探索角的轴对称应用的过程，在解决问题的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性．
教学重点
综合运用角平分线的性质定理和逆定理解决问题．
教学难点
学会证明点在角平分线上．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
开场白
同学们，上节课我们知道了“角平分线上的点到角两边距离相等”，而且“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”．这两个定理能用来解决什么问题呢？
回忆、思考．
点明课题，制造悬念，激发学生的学习热情．
例2 已知：△ABC的两内角∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点P．求证：点P在∠A的角平分线上．
分析：要证明点P在∠A的角平分线上，根据角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上，只要点P到∠A两边的距离相等，所以过点P做两边的垂线段PD、PE，证出PD＝PE，而要证PD＝PE，因为点P是∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，根据角平分线的性质，点P到∠ABC、∠ACB两边的距离都相等，所以只要做出BC边上的垂线段PF，就可得PD＝PF，PE＝PF，从而PD＝PE，所以得证．
通过解决上述问题，你发现三角形的三个内角的角平分线有什么位置关系？
1．结合图形认真审题．
2．分析、讨论证明思路．
3．口述证明思路及证明过程．
4．讨论归纳得到结论：三角形
的三个内角的角平分线相交于一点．
运用例题引导学生逐渐学会综合利用性质定理和逆定理．
采用“要证，只要证”的思考方法引导学生逐步学会“分析法”．
问题解决完后及时进行小结归纳，得出三角形“内心”，为学习三角形的内切圆打好基础．
例3 已知：如图2-28，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DFAC，垂足为E、F．求证：AD垂直平分EF．
分析：要证AD垂直平分EF，
只要证： ， ．
已知 ∠BAD＝∠CAD， DE⊥AB，DFAC，
只要证 ，
只要证 ．
……
学生利用分析法填空；
阐述证明思路；
完成证明过程．
利用分析法引导学生学会分析问题，培养学生良好的思考习惯．
开放的分析过程，提供了多样化的思考路径．
指导学生完成练习．
解完题后，说说你的发现，提出你的问题．
练习：课本P56练习．
学生发现：三角形两外角的角平分线与第三个角的角平分线所在的直线相交于一点；可能提出“三角形三个外角的角平分线所在直线是否相交于一点的问题”．
本题是角平分线性质定理和逆定理的综合应用，实际上是例2的变式应用．
学生“一折，二画，三验证”有利于学生动手操作，获得成功，调动学生学习的积极性，再次鼓励学生使用逆推的思路寻找证明方法．
布置作业
课本P58-59习题2.4，分析第9、10、11题的思路，任选2题写出过程．
学生根据自身实际情况，选题作业．
实行作业分层，便于不同发展水平的学生自我发展．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（八年级上册）
2.5 等腰三角形的轴对称性（1）
教学目标
1．理解等腰三角形的轴对称性及其相关性质．
2．能够证明等腰三角形的性质定理．
3．能够运用等腰三角形的性质定理解决相关问题．
4．经历折纸、画图、观察、推理等操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径．
教学重点
等腰三角形的轴对称性及其相关的性质．
教学难点
等腰三角形的性质证明及其应用．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
一、情境引入
1．观察图中的等腰三角形ABC，分别说出它们的腰、底边、顶角和底角．
2．把该等腰三角形沿顶角平分线对折展开，你有什么发现？
1．学生思考、回答．
2．学生动手操作、实践．
复习等腰三角形的有关概念．
通过动手操作让学生感悟到等腰三角形是轴对称图形．
二、探究活动
问题一：等腰三角形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
问题二：找出等腰三角形ABC对折后重合的线段和角．
问题三：由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的哪些性质呢？说一说你的猜想．
学生分组讨论，交流结果．
在前面动手操作、直观演示的基础上引导学生如何利用折痕这条辅助线，构造出两个全等的三角形，从而让学生经历演绎推理的过程，从而主动地发现证明思路，为今后学生进行探索活动积累数学活动经验．
三、归纳总结
等腰三角形的两底角相等．
等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合．
思考：
1．你能证明上述定理吗？
2．你有不同的证明方法吗？
课堂练习：课本P61-62第1、2题．
思考：1．你能证明上述定理吗？2．你有不同的证明方法吗？
具体如下：
1．做顶角的平分线，用“SAS”．
2．作底边上的中线，用“SSS”．
3．作底边上的高，用“HL” ．
文字语言
图形语言
符号语言
等边对等角
在△ABC中，
因为AB＝AC，
所以∠B＝∠C．
等腰三角形底边上的高线、中线及角平分线重合
在△ABC中，
因为AB＝AC，AD⊥BC，
所以∠BAD＝∠CAD，BD＝CD．
在△ABC中，
因为AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，
所以AD⊥BC，BD＝CD．
在△ABC中，
因为AB＝AC，BD＝CD，
所以∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC．
让学生通过思考“你能证明上述定理吗？”“你有不同的证明方法吗？”的问题，不仅使学生思考证明定理，更使学生学会质疑，感受到只要多观察、多思考，就可能获得更多不同解决问题的方法，从而激发起数学探究的欲望和兴趣．
四、操作尝试
按下列作法，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，高AD＝h．
学生动手作图．
作法
图形
1．作线段BC＝a．
2．作线段BC的垂直平分线MN，MN交BC于点D．
3．在MN上截取线段DA，使AD＝h．
4．连接AB、AC．△ABC就是所求作的等腰三角形．
等腰三角形的性质应用．
五、例题讲解
例1 课本P61例1．
思考：
1．图中有几个等腰三角形？
2．可以得到哪些相等的角？
课堂练习：课本P62第3题．
学生独立思考、小组交流．
引导学生把复杂的图形简单化是解决复杂问题的一种方法，再通过观察、思考，找出简单图形中的相等的角，最后的证明，培养学生分析问题和解决问题的能力．
六、课堂小结
本节课你的收获是什么？
共同小结．
师生互动，总结学习成果，体验成功．
七、课后作业
1．课本P66-67第1～5题．
2．（选做题）已知在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC．判断AO与BC的位置关系，并说明理由.
课后完成必做题，并根据自己的能力水平确定是否选做思考题．
选做题有一定的难度，学生可根据自己的能力去自主选做．这样就能实现《课程标准》中所要求的“让不同层次的学生得到不同的发展”．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（八年级上册）
2.5 等腰三角形的轴对称性（2）
教学目标
1．掌握等腰三角形的判定定理．
2．知道等边三角形的性质以及等边三角形的判定定理．
3．经历折纸、画图、观察、推理等操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径．
4．会用“因为……所以……理由是……”或“根据……因为……所以……”等方式来进行说理，进一步发展有条理地思考和表达，提高演绎推理的能力．
教学重点
熟练地掌握等腰三角形的判定定理．
教学难点
正确熟练地运用定理解决问题及简洁地逻辑推理．
教学过程（教师活动）
学生活动
设计思路
前面我们学习了等腰三角形的轴对称性，说说你对等腰三角形的认识．
本节课我们将继续学习等腰三角形的轴对称性．
一、创设情境
如图所示△ABC是等腰三角形，AB＝AC，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C．请同学们想一想，有没有办法把原来的等腰三角形ABC重新画出来？大家试试看．
1．学生观察思考，提出猜想．
2．小组交流讨论．
一方面回忆等边对等角及其研究方法，为学生研究等角对等边提供研究的方法，另一方面通过创设情境，自然地引入课题．
二、探索发现一
请同学们分别拿出一张半透明纸，做一个实验，按以下方法进行操作：
（1）在半透明纸上画一条长为6cm的线段BC．
（2）以BC为始边，分别以点B和点C为顶点，在BC的同侧用量角器画两个相等的锐角，两角终边的交点为A．
（3）用刻度尺找出BC的中点D，连接AD，然后沿AD对折．
问题1：AB与AC有什么数量关系？
问题2：请用语言叙述你的发现．
1．根据实验要求进行操作．
2．画出图形、观察猜想．
3．小组合作交流、展示学习成果．
演示折叠过程为进一步的说理和推理提供思路．
通过动手操作、演示、观察、猜想、体验、感悟等学习活动，获得知识为今后学生进行探索活动积累数学活动经验．
三、分析证明
思考：我们利用了折叠、度量得到了上述结论，那么如何证明这些结论呢？
问题3：已知如图，在△ABC中，
∠B＝∠C．求证：AB＝AC．
引导学分析问题，综合证明．
思考：你还有不同的证明方法吗？
问题4：“等边对等角”与“等角对等边”， 它们有什么区别和联系？
思考——讨论——展示．
1．学生独立完成证明过程的基础上进行小组交流．
2．班级展示：小组代表展示学习成果．
在实验的基础上获得问题解决的思路，在合情推理的基础上让学生经历演绎推理的过程，培养学生的逻辑思维能力．
通过“你有不同的证明方法吗”的问题，让学生学会质疑，学会从不同的角度思考问题，培养学生的发散性思维，激发探究问题的欲望和兴趣，通过对问题4的思考让学生加深对性质与判定的理解．
四、探索发现二
问题5：什么是等边三角形？等边三角形与等腰三角形有什么区别和联系？
问题6：等边三角形有什么性质？
问题7：一个三角形满足什么条件就是等边三角形了？为什么？
1．学生阅读教材，进行自主学习．
2．小组讨论交流．
3．展示学习成果：等边三角形的概念、等边三角形的性质、
等边三角形的判定．
培养学生阅读教材的学习习惯和自主学习能力．
引导学生经历合情推理和演绎推理的过程，感受合情推理和演绎推理都是人们认识事物的重要途径．
五、学以致用
请同学完成课本P63－64练习第1、2、3题．
学生独立思考、小组讨论、展示交流、相互评价．
引导学生学会分析问题和解决问题，理解分析和综合之间的关系，培养学生分析问题和解决问题的能力．
巩固学习成果，加强知识的理解和方法的应用，培养分析问题、解决问题的能力．
六、归纳小结
1．这节课你有怎样的收获？还有哪些困惑呢？
2．布置作业：
课本P67习题2.5第7、8、10题．
1．学生以小组为单位归纳本节课所学习的知识、方法．
2．展示交流，相互补充，建立知识体系．
3．讨论困惑问题．
4．完成作业．
引导学生进行知识归纳整理，学会学习，培养学生发现问题、提出问题的学习能力．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（八年级上册）
2.5 等腰三角形的轴对称性（3）
教学目标
1．探索并掌握直角三角形的一个性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
2．经历“折纸、画图、观察、归纳”的活动过程，发展学生的空间观念和抽象、概括能力，不断积累数学活动的经验；
3．在交流过程中，引导学生体会推理的思考方法，进一步提高说理、分析、猜想和归纳的能力；
4. 引导学生理解合情推理和演绎推理都是获得数学结论的重要途径，进一步体会证明的必要性．
教学重点
探索并能应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”解决相关数学问题．
教学难点
引导学生用“分析法”证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” ．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
情境创设
提问：
1．等腰三角形有哪些性质？
2．怎样判定一个三角形是等腰三角形？
学生回顾：
1．等腰三角形的性质：等边对等角；等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合．
2．判定一个三角形是等腰三角形的方法：
（1）根据定义，证明三角形有两边相等；
（2）根据“等角对等边”，只要证明一个三角形有两个角相
等．
复习回顾等腰三角形的性质及判定方法，为下面解决问题作铺垫，同时也明确无论是证明线段相等还是折出等腰三角形，都只要证（寻）得相等的角即可．
应用反馈
根据你所掌握的方法独立解决下列问题：
1．已知：如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC．求证：AB＝AC．
思考：（1）上图中，如果AB＝AC，AD∥BC，那么AD平分∠EAC吗？试证明你的结论．
（2）上图中，如果AB＝AC，AD平分∠EAC，那么AD∥BC吗？
通过这一系列问题的解决，你有什么发现？
学生独立思考分析，代表发言．
解：△ABC是等腰三角形．
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C．
∵∠EAD＝∠DAC，
∴∠B＝∠C．
∴AB＝AC（等角对等边）．
学生板演．
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C （等边对等角） ．
∴∠EAD＝∠DAC．
∴AD平分∠EAC．
学生交流想法，代表发言．
归纳结论：①AB＝AC；②AD平分∠EAC；③AD∥BC三个论断中，其中任意两个成立，第三个一定也成立．
对等腰三角形的判定方法的直接应用，同时也为下面折纸活动作铺垫．
“思考”两题是第1题的变式，同时也是“等边对等角”性质的应用．
培养学生积极思考，举一反三的思维习惯，也培养学生的归纳概括能力．
活动一： 操作·探索
1．提问：你能用折纸的方法将一个直角三角形分成两个等腰三角形吗？
2．提问：△ACD与△BCD为什么是等腰三角形？请说明理由．
3．提问：观察图形，你还有哪些发现？
学生思考，操作，小组内交流．
1．学生代表发言，说明折纸的方法，指出△ACD与△BCD是等腰三角形；
2．在学生代表带领下操作，将剪出的直角三角形纸片，分别按图（2）（3）折叠，标出点D，连接CD．
3．观察图形，小组内交流自己的发现，代表发言．
有4个直角三角形全等；
BD＝CD＝AD；
……
激发学生的学习兴趣，也明确操作活动的目的，为在折纸过程中发现直角三角形的性质作铺垫．
通过折纸，让学生亲历操作——观察——发现——归纳的过程，体验“做数学”，发展空间观念，提高动手能力．
设计这个活动的目的是通过观察线段CD把直角三角形ABC分成的2个三角形，进一步获得直角三角形与斜边的关系．实质是从中引导学生不断地学会从多个角度观察、认识图形，主动地发现和获得新的数学结论，不断地积累数学活动经验．
相互讨论使学生主动参与到学习活动中来，提高学生的观察分析能力，培养学生善于思考的良好习惯，同时也培养学生合作交流精神和发散思维能力.
活动二：探索·说理
1．提问．
（1）D是斜边AB的中点吗？
（2）斜边AB上的中线CD与斜边AB有何数量关系？
2．刚才我们通过折纸活动发现“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，你能说明理由吗？
（1）你能根据题中的已知条件和要说明的结论画出图形来表示吗？
（2）思考：怎样说明CD＝AB？
分析：
在折纸活动中，你怎样找出斜边上的中线？
假设已知CD＝AB，那么我们可以得出怎样的结论？这对于你说明结论有启发吗？
3．小结．
（1）定理：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，并用符号语言表述；
（2）证明中常用的一种思考方法：即分析法从需要证明的结论出发，逆推出要使结论成立所需要的条件，再把这样的“条件”看作“结论”，一步一步逆推，直至归结为已知条件．
4．尝试练习．
（1）Rt△ABC中，如果斜边AB 为4cm，那么斜边上的中线CD＝_______cm．
（2）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，DE⊥AC，垂足为E．
①如果CD＝2.4cm，那么AB＝ cm．
②写出图中相等的线段和角．
（3）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，如果斜边AB＝5cm，那么斜边上的高CD＝ cm．
1．在刚才讨论交流的基础上，学生回答，得出结论：
“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” ．
2.（1）画出Rt△ABC，∠ACB＝90°，CD为斜边上的中线．
（2）首先独立思考，尝试证明，再小组讨论交流，代表发言，说明如何想到证明思路的？
①通过折叠，使∠BCD＝∠B，从而确定斜边AB的中点D，并发现结论，所以说理时也可以在∠ACB内作∠B＝∠BCD，在证明CD是斜边上的中线时也能证明结论；
②如果CD＝AB，那么CD＝BD＝AD，∠A＝∠ACD，
∠B＝∠BCD，那么首先需作CD使∠A＝∠ACD或∠B＝
∠BCD，再证CD为斜边AB上的中线，且CD＝BD＝AD即可；
③阅读课本．
3．学生口答，板书．
∵ 在△ABC中，∠ACB＝90°，
点D是AB的中点，
∴ CD＝ AB．
4．学生口答，并说明理由．
（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，CD＝AB＝2cm．
（2）①根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，AB＝2CD＝4.8cm．
②CD＝BD＝AD，CE＝AE，∠A＝∠ACD，
∠B＝∠BCD，∠ACB＝∠DEA＝∠DEC＝90°．
（3）因为CA＝CB，CD⊥AB，根据“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”得AD＝BD ，又因为∠ACB＝90°，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得
CD＝AB＝2.5cm．
在相互交流的过程中，培养学生的归纳概括能力．
巩固证明文字命题的一般步骤．
引导学生进行严格的证明，使学生进一步体会证明的必要性．
提供学生充分讨论和交流的机会，鼓励学生进行不同证明思路的交流和讨论．
引导学生回顾折纸过程，从而明确像折叠那样使∠BCD＝∠B，就能逐步证得结论，目的是使学生感受合情推理有助于发现证明思路和方法．
让学生了解“分析法”，逐步学会自己进行分析寻找解题思路．
展现学生的思路，并通过讨论，引导学生体会推理的思考方法，并由学生自己逐步完善证明的思路．使学生认识将探索和证明有机的结合起来和演绎推理都是人们正确的认识事物的重要途径．同时，培养学生“言之有理，落笔有据”的习惯．
回归教材，阅读课本，培养学生的阅读理解能力．
通过尝试练习，及时巩固定理的应用．
（1）已知斜边上的中线长，应用定理求出斜边长．
（2）综合应用等腰三角形“三线合一”的性质和“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．学生回答时，要求他们说明理由，及时巩固等腰三角形的性质和直角三角形的这一性质，同时也锻炼学生有条理的表达能力．
例题讲解
1．如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，如果∠A＝30°，那么BC与AB有怎样的数量关系？
试证明你的结论．
提问引导：
（1）对于BC与AB的数量关系，你有何猜想？你为什么作这样的猜想？
（2）我们猜想BC＝AB，根据我们学过的知识，什么与AB相等？这对于你证明结论有启发吗？
（3）指导学生完成证明过程（投影）．
2．已知：如图，点C为线段AB的中点， ∠AMB＝∠ANB＝90°.CM与CN是否相等？为什么？
指导学生完成证明过程，对板演点评．
1．独立思考，尝试用分析法推理证明思路．
学生口答，说明自己的思考过程．
（1）猜想：BC＝AB；
（2）联想：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，也有AB，作斜边上的中线CD，则CD＝BD，如果结论成立，则△BCD为等边三角形，∠B＝60°，由已知条件易得；
（3）书写证明过程．
解：BC＝AB．
作斜边上的中线CD，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°．
∵∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，
∴CD＝AB＝BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
∴△BCD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．
∴BC＝CD＝AB．
2．独立思考，完成证明过程，学生板演．
解：CM＝CN．
∵点C为线段AB的中点，∠AMB＝∠ANB＝90°，
∴CM＝AB，CN＝AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
∴CM＝CN．
学生猜想后追问为什么这样猜想，引导学生认识到可以通过度量或叠合等操作获得线段（或角）之间的数量关系的感性认识，以便作出合理猜想.
引导学生采用分析法推理证明思路.
师生互动，锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己看法的能力.
指导学生进一步规范证明的书写格式.
第2题也是巩固“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质的应用.
指导学生活动
完成练习：
1．课本P66练习2．
2．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、
N分别是AC、BD的中点，试说明：
（1）MD＝MB； （2）MN⊥BD．
课本练习第2题是角平分线、等腰三角形性质和判定的综合应用，学生通过“分析法”分析证明思路．
练习2是例2的变式，也有助于了解学生对“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”和等腰三角形性质的掌握情况．
课堂小结
这节课你有哪些收获？
说一说自己的收获．
1．知道直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，并会应用性质定理解决问题．
2．通过折纸等操作活动能发现结论，用分析法也可以帮助我们寻找证明思路.
及时对所学进行反思和小结，便于知识内化．
课件24张PPT。【情境引入】2.1 轴对称与轴对称图形 图片欣赏2.1 轴对称与轴对称图形 【情境引入】2.1 轴对称与轴对称图形 【情境引入】【探究活动1】做一做 将一张纸片先滴上一滴墨水，然后对折压平，再重新打开，观察两滴墨水之间的关系．2.1 轴对称与轴对称图形 【探究活动1】一滴墨水2.1 轴对称与轴对称图形 【探究活动1】折纸压平2.1 轴对称与轴对称图形 【探究活动1】重新展开2.1 轴对称与轴对称图形 【探究活动1】 问题1：你发现折痕两边的墨迹形状一样吗？
为什么？问题 2：两边墨迹的位置与折痕有什么关系？2.1 轴对称与轴对称图形 【探究活动1】2.1 轴对称与轴对称图形 轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形______，那么就称这两个图形成轴对称．这条直线就叫做________. 两个图形中的对应点叫做对称点.重合对称轴【探究活动1】2.1 轴对称与轴对称图形 三角形ABC和三角形DEF关于直线MN对称，直线MN是对称轴，点A与点D、点B与点E、点C与点F都是对称点．【探究活动1】MNDFECAB2.1 轴对称与轴对称图形 联系实际，你能举出一些生活中图形成
轴对称的实例吗？【探究活动1】2.1 轴对称与轴对称图形 【探究活动2】 把一张纸对折，然后从折叠处剪出一个图形，想一想，展开后会是一个什么样的图形？你给同学们展示一下！有什么特点？2.1 轴对称与轴对称图形 观察下面图形,它们有什么共同特点?【探究活动2】2.1 轴对称与轴对称图形 把一个图形沿一条直线折叠，如果直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫_____________轴对称图形 ．【探究活动2】2.1 轴对称与轴对称图形 【探究活动2】 联系实际，你能举出一个轴对称图形的实例吗？ 你能正确地完成课本P41页第1题的练习吗？ 2.1 轴对称与轴对称图形 【归纳总结】 问题1： 根据课本图形2-1和2-4进行比较，轴对称与轴对称图形之间有什么区别吗？2.1 轴对称与轴对称图形 【归纳总结】 问题2： 如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称吗？如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，它是一个轴对称图形吗？ 2.1 轴对称与轴对称图形 【归纳总结】 轴对称与轴对称图形有什么区别与联系？2.1 轴对称与轴对称图形 【归纳总结】区别：联系：轴对称是指两个图形能沿对称轴折叠后重合，而轴对称图形是指一个图形的两部分沿对称轴折叠后能完全重合．都有对称轴、对称点和两部分完全重合的特性．2.1 轴对称与轴对称图形 图形对称点位置
对称轴条数两个图形之间的对称关系
一个图形自身的对称特征在两个图形上 在同一个图形上一条至少一条（1）都沿某直线翻折后能够互相重合．
（2）它们可以互相转化；如果把轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两个部分，那么两个部分就是关于这条对称轴成轴对称．
2.1 轴对称与轴对称图形 【课堂小结】本节课你的收获是什么？ 2.1 轴对称与轴对称图形 【课后作业 】1.课本P42习题2.1第1～4题．2. 你能用2张正方形的纸，剪出下面的2个图案吗？如何把它们剪出来呢？2.1 轴对称与轴对称图形 谢 谢!2.1 轴对称与轴对称图形 课件15张PPT。情境导入：同学们记录的图形照镜子，你有什么评价？（3）（4）2.2 轴对称的性质(1) A 如图所示，把一张纸折叠后，用针扎一个孔；再把纸展开，两针孔分别记为点A、点A′，折痕记为l ；连接AA′，AA′与l相交于点O ． 你有什么发现 （小组交流）？●ll活动一：●A′O●2.2 轴对称的性质(1)所以 线段OA、OA′重合，因为 ∠1＝∠2 且 ∠1＋∠2＝180°，即 O是AA′的中点．所以 ∠1＝∠2＝90°．所以 l 垂直且平分AA′．因为 把纸沿折痕 l 折叠时，点A、A′重合，2.2 轴对称的性质(1) 垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(midpoint perpendicular).l 如图，直线 l 交线段AB于点O, ∠1＝90°，AO＝BO，直线l是线段AB的垂直平分线．2.2 轴对称的性质(1) 仿照上面的操作，在对折后的纸上再扎一个孔，把纸展开后记这两个针孔为点B、点B′，连接AB、A′B′、BB′．你有什么新的发现？l活动二：2.2 轴对称的性质(1)如图，并仿照上面进行操作，扎孔、展开、标记、连线．△ABC 与△A′B′C′有什么关系？你能得出什么结论？活动三：2.2 轴对称的性质(1)1．成轴对称的两个图形全等． 2．成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分．轴对称的性质：说一说轴对称的性质AA2.2 轴对称的性质(1) 例1 小明取一张纸，用小针在纸上扎出“4”，然后将纸放在镜子前．(1)图中两个“4”有什么关系？ （1）你能画出镜子所在直线l的位置吗？方法（1）方法（2）2.2 轴对称的性质(1) （2）图中点A、B、C、D的对称点分别是 ，线段AC、AB的对应线段分别是 ，CD= ， ∠CAB= ，∠ACD= .E、G、F、HEF、EGFH∠FEG∠EFH2.2 轴对称的性质(1)（3）连接AE、BG， AE与BG平行吗？为什么？ 因为 A和E，B和G是关于直线 l 的对称点，所以 l⊥AE ，l⊥BG．所以 AE ∥BG． 解：（3）平行．2.2 轴对称的性质(1)（4） AE与BG平行，能说明轴对称图形对称点的连线一定互相平行吗？ 解：（4） 不一定． 如图，对称点的连线DH、CF就不互相平行，而是在同一条直线上， 从而说明轴对称图形对称点的连线互相平行或在同一条直线上．2.2 轴对称的性质(1)（5）延长线段CA、FE，连接CB、FG并延长，作直线AB、EG，你有什么发现吗？ 轴对称图形中的对称线段所在直线的交点在对称轴上或对称线段所在直线互相平行．2.2 轴对称的性质(1)回顾与思考： 通过本节课的学习，你有什么收获？
还有哪些疑惑？2.2 轴对称的性质(1)小结（1）成轴对称的两个图形全等． （2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线．1．轴对称的性质： 2．轴对称图形对称点的连线互相平行或在同一条直线上． 3．轴对称图形中的对称线段所在直线的交点在对称轴上或对称线段所在直线互相平行．2.2 轴对称的性质(1)谢 谢!课件10张PPT。思考： 如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，请你再找一个格点D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形．AC2.2 轴对称的性质(2) 去掉网格线，你能找出点C关于直线AB的对应点么？┏思考 AC 点A关于直线AB的对应点有么？B┏ 你能画出线段AC关于直线AB的对称图形么？2.2 轴对称的性质(2) 如果直线l外有线段AB，那么怎样画出线段AB关于直线l的对称线段A′B′？●●AA′lOB●●B′2.2 轴对称的性质(2)lABA′B′ 如果直线l外有线段AB，那么怎样画出线段AB关于直线l的对称线段A′B′？2.2 轴对称的性质(2)lABA′B′ 如果直线l外有线段AB，那么怎样画出线段AB关于直线l的对称线段A′B′？2.2 轴对称的性质(2) 画出△ABC关于直线MN的对称图形．AA′CBB′C′NM●●●2.2 轴对称的性质(2) 在图中，四边形ABCD与四边形EFGH
关于直线l对称．连接AC、BD．设它们相交
于点P．怎样找出点P关于l的对称点Q？成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称．2.2 轴对称的性质(2) 通过本节课的学习，你有什么收获？
还有哪些疑惑？2.2 轴对称的性质(2)作 业课堂作业：
第47页习题2.2第5题． 家庭作业：
补充习题．谢 谢!课件14张PPT。2.3 设计轴对称图案【情境引入】【情境引入】2.3 设计轴对称图案1．不考虑颜色分别画出下列图形的对称轴．（1）（2）【探索活动】2.3 设计轴对称图案2．如果不考虑颜色的“对称”，图2-13中（1）
和（2）中各有几条对称轴． 如果考虑颜色的“对称”，图2-13中（1）和（2）中各有几条对称轴． 【探索活动】2.3 设计轴对称图案【探索活动】2.3 设计轴对称图案3．图（1）中左上方和右下方的小方格涂上色，它就有4条对称轴；
4.改变图2-13（2）哪些小方格的颜色，就能使它有4条对称轴？ 【探索活动】2.3 设计轴对称图案2．这些图案可以看成是由一个小正方形纸片经过怎样的变换得到的？ 【数学实验室】1．用这四张纸片拼合，能得到不同的图案．下图中的三个图案各有几条对称轴？2.3 设计轴对称图案【数学实验室】3．你拼出的图案是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？2.3 设计轴对称图案4．人们在剪纸时，常常利用轴对称设计图案．【数学实验室】2.3 设计轴对称图案你能得到“庆丰灯笼”的剪纸作品吗？试试看．【数学实验室】2.3 设计轴对称图案 利用轴对称，设计并剪出一幅奖杯图案．班内展览，选出精品．【实践操作】2.3 设计轴对称图案谈谈本节课你有哪些收获？【全课小结】2.3 设计轴对称图案【课后作业】1．课本P49第1题和P50习题1、2 ．
2．延伸：请用2块大小一样的三角尺（两锐角分别是60°和30°）拼出不同的轴对称图形，看看你能拼出几种．2.3 设计轴对称图案谢 谢!2.3 设计轴对称图案课件10张PPT。2.4 线段、角的对称性（1） 在一张薄纸上画一条线段AB，操作并思考：
线段是轴对称图形吗？ 做一做线段是轴对称图形，它的对称轴在哪里？为什么? 想一想线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 2.4 线段、角的对称性（1）想一想1．如图，在线段AB的垂直平分线l上任意找一点P，连接PA、PB，PA与PB相等吗？证明你的结论． 2．像这样的点P还有吗？为什么？ 定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 2.4 线段、角的对称性（1） 因为点P是线段AB的垂直平分线上的点，所以PA＝PB ．定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 2.4 线段、角的对称性（1） 线段垂直平分线外的点到这条线段两端的距离相等吗？为什么？请你画出图形，试着说明.想一想 解：不相等.
如图，在线段AB的垂直平分线l外任取一点P，连接PA、PB，设PA交l于点Q，连接QB．
根据“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，因为点Q在AB的垂直平分线上，所以QA＝QB．
于是PA＝PQ＋QA＝PQ＋QB．
因为三角形的两边之和大于第三边，
所以PQ＋QB＞PB，即PA＞PB． 2.4 线段、角的对称性（1）做一做1．利用网格线画线段PQ的垂直平分线． 2.4 线段、角的对称性（1）做一做2．如图，要在公路旁设一个公交车的停车站，停车站应设在什么地方，才能使A、B两村到车站的距离相等？公路A村B村P2.4 线段、角的对称性（1）说说你本节课你有什么收获？2.4 线段、角的对称性（1） P57习题2.4，分析第1～4题的解法，任选2题写出过程. 作业2.4 线段、角的对称性（1）谢 谢!课件9张PPT。2.4 线段、角的对称性（2） 在一张薄纸上画一条线段AB．
你能找出与线段AB的端点A、B距离相等的点吗？
这样的点有多少个？ 做一做 一个点到一条线段的两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上吗？想一想M2.4 线段、角的对称性（2）因为QA＝QB ，
所以点Q是线段AB的垂直平分线上的点．定理 到线段两端的距离相等的点在线段垂直
平分线上．2.4 线段、角的对称性（2） 你能用尺规画出任一条已知线段的垂直
平分线吗？如果能，说说你作图的依据．试一试画法2.4 线段、角的对称性（2） 在直线AB外任取一点C，用刚学的方法
作出线段BC、AC的垂直平分线，你发现了什么？试一试2.4 线段、角的对称性（2）例1 已知：如图2-22，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1，l2相交于点O．求证：点O在BC的垂直平分线上．2.4 线段、角的对称性（2）说说你本节课你有什么收获？2.4 线段、角的对称性（2） P57-58习题2.4，分析第5、6题的解法，任选1题写出过程． 作业2.4 线段、角的对称性（2）谢 谢!课件7张PPT。2.4 线段、角的对称性（3） 在一张薄纸上画 ∠AOB，操作并思考：
它是轴对称图形吗？ 为什么？做一做角是轴对称图形，它的对称轴在哪里？为什么？想一想角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 2.4 线段、角的对称性（3）想一想 如图，在∠AOB的角平分线OC任意取一点P，PD⊥OA，PE⊥OB，PD与PE相等吗？为什么？定理 角平分线上的点到角两边的距离相等． 2.4 线段、角的对称性（3） 角内部一点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的角平分线上吗？想一想 如图，若点Q在∠AOB内部， QD⊥OA，QE⊥OB，且QD＝QE，点Q在∠AOB的角平分线上吗？为什么？通过上述研究，你得到了什么结论？2.4 线段、角的对称性（3）说说你本节课你有什么收获？2.4 线段、角的对称性（3） P58习题2.4，分析第7、8题的思路，任选1题写出过程. 作业：2.4 线段、角的对称性（3）谢 谢!课件5张PPT。2.4 线段、角的对称性（4）例2 已知：如图，△ABC的两内角∠B、∠C 的角平分线相交于点P．求证：点P在∠A的角平分线上．例3 已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E、F．求证：AD垂直平分EF．2.4 线段、角的对称性（4）说说你本节课你有什么收获？2.4 线段、角的对称性（4） P58-59习题2.4，分析第9、10、11题的思路，任选2题写出过程．作业：2.4 线段、角的对称性（4）谢 谢!课件17张PPT。【情境引入】 1. 观察图中的等腰三角形ABC，分别说出它们的腰、底边、顶角和底角.2.5 等腰三角形的轴对称性（1）【情境引入】 2. 把该等腰三角形沿顶角平分线折叠，你有什么发现？2.5 等腰三角形的轴对称性（1）【探究活动】问题一：等腰三角形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？问题二：找出等腰三角形ABC对折后重合的线段和角. 问题三：由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的哪些性质呢？说一说你的猜想.2.5 等腰三角形的轴对称性（1）【探究活动】学生分组讨论，交流结果． 问题一：等腰三角形是轴对称图形.
等腰三角形的顶角平分线（底边上的高、中线）所在直线是它的对称轴.2.5 等腰三角形的轴对称性（1）【探究活动】学生分组讨论，交流结果. 问题二：2.5 等腰三角形的轴对称性（1）【探究活动】学生分组讨论，交流结果. 问题三：等腰三角形是轴对称图形. 等腰三角形的顶角平分线（底边上的高、中线）所在直线是它的对称轴. 等腰三角形的两个底角相等. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.2.5 等腰三角形的轴对称性（1）【归纳总结】我们有如下定理：
等腰三角形的两底角相等.
等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.思考：如何证明这个定理？ 2.5 等腰三角形的轴对称性（1）如何构造两个全等的三角形?【定理证明】思考：如何证明这个定理？ 作顶角的平分线，用“SAS”证明.2.5 等腰三角形的轴对称性（1）则有∠1＝∠2，D12在△ABD和△ACD中，证明：作顶角的平分线AD，AB＝AC， ∠1＝∠2， AD＝AD（公共边）， ∴ △ABD≌ △ACD （SAS）， ∴ ∠B＝∠C （全等三角形对应角相等）． 【定理证明】2.5 等腰三角形的轴对称性（1）【定理证明】思考：你还可用什么方法证明上述定理？ 也可作底边上的高，用“HL”证明.作底边上的中线，用“SSS”证明.2.5 等腰三角形的轴对称性（1）练一练：1.在△ABC中，AB＝AC．⑴ 如果∠B＝70°,那么∠C＝___，∠A＝____．⑵ 如果∠A＝70°,那么∠B＝____，∠C＝ ___．⑶ 如果有一个角等于120°,
那么∠A＝___ °，∠B＝___ °，∠C ＝___ °．⑷ 如果有一个角等于50°,那么另两个角等于多少度？2.5 等腰三角形的轴对称性（1）【操作尝试】 按下列作法，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC＝a,高AD＝h.2.5 等腰三角形的轴对称性（1）【例题讲解 】例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝BD，
求证: ∠ADB＝∠BAC．
2.5 等腰三角形的轴对称性（1）练一练 2．如图的房屋人字梁架中，AB＝AC ，AD⊥BC， ∠BAC＝110°，求∠B、∠C 、∠BAD、∠CAD的度数．2.5 等腰三角形的轴对称性（1）【课堂小结】本节课你的收获是什么？ 2.5 等腰三角形的轴对称性（1）【课后作业 】1．课本P66-67第1～5题．2．（选做题）已知在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC．判断AO与BC的位置关系，并说明理由.2.5 等腰三角形的轴对称性（1）谢 谢!2.5 等腰三角形的轴对称性（1）课件9张PPT。1．等边对等角．2．顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高三线合一．2.5 等腰三角形的轴对称性（2）问题：如右图所示△ABC是等腰三角形，AB＝AC，倘若一不留心，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C．同学们想一想，有没有办法把原来的等腰三角形ABC重新画出来？大家试试看．方法一：用角的相等来画.方法二：用过一边中点作垂线的方法来画.情境引入2.5 等腰三角形的轴对称性（2）手 推 门探索发现一 请同学们分别拿出一张半透明纸，做一个实验，
按以下方法进行操作：
1．在半透明纸上画一条长为6cm的线段BC．
2．以BC为始边，分别以点B和点C为顶点，用量角器画两个相等的锐角，两角终边的交点为A．3．用刻度尺找出BC的中点D，连接AD，然后沿AD对折．问题1：AB与AC是否重合？
问题2：本实验的条件与结论
如何用文字语言加以叙述？
BCAD.2.5 等腰三角形的轴对称性（2）在△BAT和△CAT中，
∠1＝∠2(角平分线定义)，
∠B＝∠C(已知)，
AT＝AT(公共边) ，
∴△BAT≌△CAT(AAS)，
∴AB＝AC(全等三角形对应边相等)．已知：在△ABC中，∠B＝∠C 求证：AB＝AC．证明：（1）作∠A的平分线交BC于T．ABCT（2）过A点作AD⊥BC，垂足为D．ABCD∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC，
在△ADB和△ADC中，
∠ADB＝∠ADC，
∠B＝∠C，
AD＝AD，
∴△ADB≌△ADC，
∴AB＝AC．思考：通过这题的证明你发现了什么结论？122.5 等腰三角形的轴对称性（2）如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角
所对的边也相等 ( 简称“等角对等边”)．发现∵∠B＝∠C
∴AB＝AC (等角对等边)规范2.5 等腰三角形的轴对称性（2）请思考：
“等边对等角”与“等角对等边”
是否一样？它们的主要区别在哪里？ （它们的条件与结论正好调换了过来， 这也叫互逆命题）．2.5 等腰三角形的轴对称性（2）探索发现二思考3：一个三角形满足什么条件就是等边三角形？为什么？思考1：什么是等边三角形？它与等腰三角形有什么区别与联系？思考2：等边三角形的性质有哪些？请同学们说一说．2.5 等腰三角形的轴对称性（2）回头一看，我想说……学会分享通过本节课的学习：
（1）你有哪些收获？
（2）你还有什么疑惑？
2.5 等腰三角形的轴对称性（2）谢 谢!课件15张PPT。
问题：
1．等腰三角形有哪些性质？2.5 等腰三角形的轴对称性（3）2．怎样判定一个三角形是等腰三角形？1.已知：如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分
∠EAC，AD∥BC．
求证：AB＝AC．2.5 等腰三角形的轴对称性（3）如图，如果AB＝AC，AD∥BC，那么AD平
分∠EAC吗？试证明你的结论．思考：2.5 等腰三角形的轴对称性（3）如图，如果AB＝AC，AD平分∠EAC，
那么AD∥BC吗？思考：2.5 等腰三角形的轴对称性（3）你能用折纸的方法将一个直角三角形分成两个等腰三角形吗？活动一 操作?观察2.5 等腰三角形的轴对称性（3）1．任意剪出一张直角三角形纸片（如图1）．2．剪得的纸片是否能折成图2的形状？3．△ACD与△BCD为什么是等腰三角形？请说明理由．活动一 操作?观察图1图2图3你还有其他发现吗？2.5 等腰三角形的轴对称性（3） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
点D是AB的中点，
∴CD＝ AB ．活动二 探索?说理2.5 等腰三角形的轴对称性（3）
（1）Rt△ABC中，如果斜边AB 为4cm，那么斜边上的中线CD＝______cm．练习：（2）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
DE⊥AC ，垂足为E．
①如果CD＝2.4cm，那么AB＝ cm．
②写出图中相等的线段和角．
24.8CD=BD=AD，∠ACB=∠DEA=∠DEC=90°． CE=AE，∠A=∠ACD，∠B=∠BCD，2.5 等腰三角形的轴对称性（3）练习：（3）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，如果斜边AB＝5cm，那么斜边上的高CD＝ cm．2.52.5 等腰三角形的轴对称性（3）1．如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，如果
∠A＝30°，那么BC与AB有怎样的数量关系？
试证明你的结论． 例题：解：BC＝ AB．．2.5 等腰三角形的轴对称性（3）证明：作斜边上的中线CD，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°．
∵∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，
∴∴△BCD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．
∴ ．
（直角三角形斜边
上的中线等于斜边的一半）．2.5 等腰三角形的轴对称性（3）2．已知：如图，点C为线段AB的中点,
∠AMB＝∠ANB＝90°．CM与CN是否相等？为什么？例题：．2.5 等腰三角形的轴对称性（3）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，
M、N分别是AC、BD的中点，试说明：
（1）MD＝MB；（2）MN⊥BD．
巩固练习：2.5 等腰三角形的轴对称性（3）本节课你有哪些收获？交流：2.5 等腰三角形的轴对称性（3）谢 谢!美妙的对称
闹钟、飞机、电扇、屋架等的功能、属性完全不同，但是它们的形状却有一个共同特性——对称．
在闹钟、屋架、飞机等的外形图中，可以找到一条线，线两边的图形是完全一样的．也就是说，当这条线的一边绕这条线旋转180°后，能与另一边完全重合．在数学上把具有这种性质的图形叫作轴对称图形，这条线叫作对称轴．电扇的扇叶不是轴对称图形，不管怎么画线，都无法找到这条直线．但电扇的一个扇叶，如果绕这电扇中心旋转180°后，会与另一个扇叶原来所在位置完全重合．这种图形数学上称为中心对称图形，这个中心点称为对称中心．显然闹钟也是一个中心对称图形．所有轴对称和中心对称图形，统称为对称图形．
人们把闹钟、飞机、电扇制造成对称形状，不仅为了美观，而且还有一定的科学道理：闹钟的对称保证了走时的均匀性，飞机的对称使飞机能在空中保持平衡．
对称也是艺术家们创造艺术作品的重要准则．像中国古代的近体诗中的对仗，民间常用的对联等，都有一种内在的对称关系．如果说建筑也是一种艺术的话，那么建筑艺术中对称的应用就更广泛了．中国北京整个城市的布局也是以故宫、天安门、人民英雄纪念碑、前门为中轴线（对称轴）两边对称的．
对称还是自然界的一种生物现象，不少植物、动物都有自己的对称形式．比如人体就是以鼻尖、肚脐眼的连线为对称轴的对称形体，眼、耳、鼻、手、脚、乳房都是对称生长的．眼睛的对称使人观看物体能够更加准确；双耳的对称能使所听到的声音具有较强的立体感，确定声源的位置；双手、双脚的对称能保持人体的平衡．
对称是数学研究的重要内容，但数学中的对称概念不仅限于图形的对称，也把数对（3，4）与（－3，4）称为平面上关于y轴对称；把数对（3，4）与
（－3，－4）称为平面上关于坐标原点对称；又如把多项式x2＋y2、x3＋3x2y＋3xy2＋y3称为关于x、y对称的多项式．另外还有对称方程、对称行列式、对称矩阵等概念．
从自然美到科学美
——谈谈对称方法
大自然是一个真正的美的设计师．它是一个天才的雕塑家，一个天才的画家，它创造的一切，都是那么的和谐，那么的美丽．
大自然是用什么原则创造出如此美丽的生命世界的呢？万物为什么那么的
匀称和谐呢？
大自然创造生命的一个原则就是对称．它用对称的方法创造了千百万种不同的生命．
对称有多种形式，轴对称是一种对称，中心对称是一种对称，镜面对称也是一种对称．自然界的种种对称现象映照在人们的头脑中，产生了对称的潜意识，科学的对称原理，形成了人们的对称观念，又被人们进一步用来认识世界、改造世界，成为一种心灵的智慧．
早在古代，对称方法就已体现在艺术美的创造中，许多世界著名的建筑、绘画、雕塑，无不显露出对称的痕迹．同样，我国古代的建筑中，那一左一右飞檐翘首的龙头、威风凛凛的石狮，还有寺院山门两侧的松柏或银杏，也都彼此对称、相映成趣．
对称的美学原则，还被应用在对联、骈文、律诗等文学体裁中，文天祥的名句“山河破碎风飘絮，身世浮沉雨打萍，惶恐滩头说惶恐，零丁洋里叹零丁”，对仗工整，意境深远，给人以强烈的感染力和深刻的思想内涵．如今，工程师们在技术设计中，也经常运用对称方法．南浦、杨浦这两座著名的斜拉桥，左右、前后都是对称的．对称使大桥的受力均匀，更加牢固、结实．对称也使大桥更加气势恢宏，雄伟壮丽．被誉为“上海之鸟”的浦东国际机场的设计模型，是一只硕大无比展开双翅的海鸥．它的两翼呈对称状，看上去舒展优美，它象征着浦东将展翅高飞，飞向更高、更广阔的天地，创造新的、宏伟的业绩．
传统风水与建筑美学——对称美
无论是阴宅还是阳宅，传统风水对周围环境的要求讲究“左青龙、右白虎”，这一风水模式就是美学对称均衡原则的最好体现．此外，各种建筑本身也处处体现出一种对称美．
清代帝陵很注重对称美，以主陵孝陵为中心的神道，成为整个陵区布局的中轴线，其他各陵均以孝陵为中心向两侧排布．每一座帝陵都有一条与地球经线平行的中轴线，南北延伸相对称．中轴线的北端依次有隆恩殿、方城等主要建筑，一律坐北朝南；中轴线的顶端是横行的山脉，组成丁字形；中轴线的两旁都是成对的建筑，如望柱、壬午，彼此呼应．比如清东陵整个陵区的山川景物，皆由从昌瑞山到金星山的神道（中轴线）所左右，大小数十座建筑物沿神道排列配合有序，蔚为壮观．
紫禁城的古建筑群更是注重对称原则．通过紫禁城的核心位置，贯穿着一条中轴线：从外城永定门开始，经过内城正阳门，然后进入宫廷广场的大明门（清朝改为大清门，辛亥革命后又改为中华门），穿过广场，便是皇城上的承天门（即现在的天安门）．承天门内有端门，端门以内迎面而来的才是紫禁城正面的午门，又叫五凤楼．在这条中轴线的东西两侧，对称排列着内外两城最重要的建筑群，东面是天坛，西面是山川坛（后改称“先农坛”），以及太庙和社稷坛（即如今的“劳动人民文化宫”和“中山公园”）．进入午门之后，所有建筑物都采用了更加严格的对称排列形式．其中，只有代表皇权统治中心的前朝三大殿──太和殿、中和殿和保和殿，及内廷后三宫──乾清宫、交泰殿和坤宁宫，才端端正正地布置在正中央，且每座大殿上的蟠龙宝座，都座落在中轴线上．
解放后，作为人民首都的北京城，打破了旧的格局，新扩建的天安门广场，已成为人民首都政治生活的心脏，而旧日雄居全城之中的紫禁城，则已退居到“后院”的位置．但是，新建的人民英雄纪念碑、毛主席纪念堂，仍然保持在南北向的中轴线上．
我国许多孤城的建筑，都有自己严格的中轴线．在中轴线上，左右对称，城内街道东西、南北，呈棋盘格子状．
对称，是自然美的形象表征，譬如各种动物（人体、鸟兽、蝴蝶、蜜蜂等）皆呈左右相对．古今中外，许多古城、皇宫、民宅、陵墓，也多是左右对称的．空间位置的这种对称性设计，是对大自然的有机模仿，在这种模仿中人类得到感官的愉悦和情操的陶冶，进而产生有益于人的身心健康的审美感受．
对称美与物理学
一、生活中的对称与不对称
人类在长期的保存个体、繁衍种族这种极为低下的生产水平和生活水平的斗争中不断发展；随着生产水平和生活水平不断提高，逐渐发展起对美和美感的追求，并逐渐开始去思考美和探索美，对称性就是人类对美的思考和探索之一．
人们在自己的实践中相继发现了一些能引起自己欢快愉悦感受的因素，把它们称作具有对称性，即具有对称性的形体是美的．例如花朵，一朵有5个花瓣的花绕它的轴旋转一周，有5个位置看上去是完全一样的，它给人以匀称的感受；一个圆形则旋转任意的角度保持形状不变，它具有更大的旋转对称性．又例如人体或一些动物的形体一边与另一边完全相同，可以折叠重合，它具有左右对称性，给人以匀称和均衡的感觉．再例如竹节或串珠，平行移动一定的间隔，图形完全重复，它具有平移对称性，给人以连贯、流畅的感受．久而久之，这些对称性的感受逐渐成为一项美学准则，广泛应用于建筑、造型艺术、绘画以及工艺美术的装饰之中．你可以从许多中外著名的建筑、艺术珍品中看到，天坛的建筑、天安门的建筑、颐和园长廊的建筑以及各种花瓶、古人饮酒的爵和各种花边等等是旋转对称、左右对称和平移对称的典型例子．这些对称美给人以匀称、均衡、连贯、流畅的感受，因而体现着一种娴静、稳重、庄严，但却也显得有些平淡、单调、缺乏生机和妙趣横生，这是因为对称性并没有包揽美的全部．人们发现，美除了对称之外，还需要蜿蜒曲折、错落有致、此起彼伏，美是对称与不对称结合的表现．你看那起伏于山峦间蜿蜒曲折层层叠起的长城峰火台构成的美景不是给人以宏伟、博大、气势磅礴而又峰回路转、巧夺天工的美的感觉吗！
美更是现代人的追求，美吸引着各行各业的人去创造美好的人生，享受美好的生活．
二、物理学中的形体对称性
物理学的研究中也注意到形体上的对称性．形体上的对称性常常使得我们可以不必精确地去求解就可以获得一些知识，使问题得以简化，甚至使得某些颇难解的问题迎刃而解．例如一个无阻力的单摆摆动起来，其左右是对称的，不必求解就可以知道，向左边摆动的高度与右边摆动的高度一定是相等的，从中间平衡位置向左摆到最高点的时间一定等于从中间平衡位置向右摆到最高点的时间，平衡位置两边等高位置处摆球的速度和加速度的大小必定是相等的，等等．再例如一张无限大平面方格子的导体网络，方格子每一边的电阻是r，在这张方格子网络的中间相邻格点连出两条导线，问这两条导线之间的等效电阻是多少？这个问题看上去似乎很难求解，它涉及到无穷多个回路和无穷多个节点，要用直流电路中普遍的基尔霍夫方程组将得到无穷多个方程，难以求解．然而这一无穷的方格子网络具有形体上的对称性，利用对称性分析，求解变得相当简单．设想用一根导线连接到一个格点，通以电流I，电流从网络的边缘流出，由于从该格点向四边流过的电流具有对称性，因此流过与该已知点连接的每一边的电流必定是．再设想电流I从网络的边缘流入，再从网络中心的一个格点上连接的一条导线上流出，根据同样的对称性分析，流过与该格点连接的每一边的电流也必定是．我们要求解的情形正是这两种情形的叠加，电流I从连接到一个格点的导线流入，从连到相邻格点的导线流出，而在网络边缘，两种情形流出和流入的电流相互抵消，结果在连接导线的两相邻格点之间的那条边上通过的电流是上述两种情形的叠加，即为，这条边的电阻是r，这意味剩下的电流通过其他边，它相应的电阻应是r，换句话说，从相邻格点来看，这一无穷方格子网络的等效电阻是两个阻值为r的并联，其等效电阻为．由此可以看出，对称性分析在物理学中非常有用，一旦明确了具有对称性，问题常常变得简单可解．
在物理学中，还利用形体上的对称性来研究晶体的分类等物理问题，并取得了丰硕的成果．
三、物理规律的对称性
对称性的概念是否能进一步拓宽呢？在这里，我们需要把对称性概念更加精确化．我们把事物由一种情况变化到另一种情况叫做变换（操作）．如果一个变换使事物的情况没有变化，或者说事物的情况在此变换下保持不变，我们就说这个事物对于这一变换是对称的，这个变换称为事物的对称变换．在前面举的形体对称性的例子中，旋转就是一种变换操作，一个有5个相同花瓣的花朵（如香港特区区旗上的紫荆花）绕垂直花面的轴旋转或整数倍角度，完全是一样的，没有什么变化，我们就说它具有旋转对称性．一个圆形则旋转任意角度保持形状不变，它具有更大的旋转对称性．相反地，一个圆形边缘上有一个点或有些残缺，这个点或残缺就能区分旋转前后的情况，我们就说它不具有旋转对称性或旋转对称性是破缺的．从左到右或从右到左的变换称为镜向变换，人体和动物形体具有镜向变换不变性，而竹节或串珠则具有空间平移不变性．某一对称性，即某一变换下的不变性，粗浅而形象地看，就是换一角度或换一场合来观察事物保持不变．在旋转对称性中，就是换一方向来观察；在镜向对称性中，是换到镜子里来观察；在空间平移对称性中，则是平移一位置来观察．
在上面谈到对称性的时候，提到的“事物”不一定限指一个具体物件的形体，物理学家更注意到物理规律的对称性，就拿牛顿定律来说吧，粗浅而形象地说，从不同的方向看，物体的运动都遵从牛顿定律，牛顿定律具有旋转对称性；镜子里和镜子外物体的运动都遵从牛顿定律，牛顿定律具有镜向对称性（或空间反射对称性）；在不同的时间，昨天、今天或明天，物体的运动也都遵从牛顿定律，牛顿定律具有时间平移对称性，等等，其他已知的物理定律也都具有类似的情况．
物理定律的这些对称性是偶然的吗，是无关紧要的吗，还是它意味着同物理定律本身有着某种更深刻更紧密的联系？这个问题在本世纪以前似乎没有注意到，本世纪开拓了许多新的物理研究领域，在探索其中的物理定律的研究中，这个问题变得突出得重要了．
四、爱因斯坦把对称性推上主角
1905年，爱因斯坦发表了一篇具有划时代意义的论文，建立了狭义相对论，论文的题目是《论动体的电动力学》．论文中，爱因斯坦提出相对性原理和光速不变原理，在此基础上导出洛伦兹变换，得到一系列不同于牛顿力学的重要结论．不久，爱因斯坦又得出了质能关系．这些不同于牛顿力学的重要结论改变了人们的时空观，统一了力学和电磁学，解决了许多重要的物理问题，并且还带给人类释放核能的方法．这样的巨大的实用价值以及这一系列的具体结论无疑是十分重要的，人们常常仅仅是注重狭义相对论的这些具体结论，而忽略了爱因斯坦在思考问题和研究问题上对人类做出的巨大贡献，这就是他提示了物理规律上的一种新的对称性，并且认识到对称性是制约物理规律的利器，从而把对称性推到物理基础研究的主角地位．
这一新的对称性就是物理定律的洛伦兹变换不变性，即物理定律必须具有洛伦兹变换下的不变性，也就是说从不同惯性系来看物理定律的形式保持不变．从内容上说，它无非就是相对性原理内容的重复表述，似乎一点也不起眼，然而从探索物理基本定律的高度来看，洛伦兹不变性实在是对物理定律的形式所加的一条强有力的限制，物理定律的形式必须受到洛伦兹变换不变性的制约．爱因斯坦审查了电磁学的麦克斯韦方程组，它确实是洛伦兹不变性的；而牛顿定律不是洛伦兹不变性的，它必须改造以符合洛伦兹不变性的要求，对它的改造则获得相对论的力学定律．
以后，爱因斯坦认识到狭义相对论还存在某些不足，它不过是必然发展过程的第一步，一方面狭义相对论否定了一个特别优越的参考系（绝对静止的惯性系），但是它却肯定了一类特别优越的参考系，那就是惯性系，它比非惯性要更优越，其中的物理规律的形式特别简捷，这表明狭义相对论在运动的相对性上还不够彻底；另一方面狭义相对论在整个物理学中排除了超距作用，而牛顿引力定律的表述是超距作用的，作为力学重要研究课题的引力问题还不能在狭义相对论中予以处理，因此需要发展一种把引力问题纳入且能回答是否存在特别优越参考系的更为广泛的相对论．
爱因斯坦在建立狭义相对论中领悟了对称性的威力后，他就去寻找一种新的对称性来发展他的广义相对论．他终于从伽利略时代已经知道一切物体的重力加速度均相同的物理事实中凝炼出这一新的对称性．爱因斯坦设想一个观察者在密封的升降机里做实验，一种情形是升降机静止在地面（地球看作是惯性系）上，其中存在地球的引力场，任何物体的重力加速度均相等为g；另一种情形是升降机远离一切物体，即处于没有引力场的地方，相对于某个惯性系以加速度g上升，它是一种非惯性系．在这两种情形下，观察者测得物体下落的加速度都是g，他观察到的力学现象都相同，他无法断定他所在的参考系究竟是引力场的惯性系，还是并无引力的非惯性系．这表明引力场作用的效果可以等效地用加速参考系来描述，爱因斯坦把它称为等效原理．根据等效原理，非惯性系与引力场等价，非惯性系与惯性系没有原则性的区别．它们都可以同样好地用来描述物体的运动，没有哪一个比另一个更优越，由此爱因斯坦把相对性原理进一步推广，一切参考系都是等价的，物理定律应该具有广义的时空坐标变换的不变性，而洛伦兹不变性只是它的一个特例．爱因斯坦在等效原理和广义协变原理的基础上建立起广义相对论．爱因斯坦的对称性制约物理定律的思想可以说是二十世纪物理基础研究方法上的一大飞跃，他为物理学基础树立了一个光辉的典范．二十世纪以前，在力学方面从古希腊时期开始，人们研究物体的运动、行星的运动、杠杆、滑轮，逐渐获得一些具体的结论，在同错误的斗争中获得的力学知识日益增多，经过漫长的历史发展，到十七世纪八十年代才由牛顿总结出力学的基本定律；在电磁学方面，也是从古希腊时期开始，人们发现摩擦起电、磁石吸铁，以后研究静电感应、莱登瓶放电、电流的磁效应等等，积累了许多关于电荷相互作用、电流产生磁、磁产生电方面的知识，经过漫长的历史发展，到十九世纪六十年代才由麦克斯韦总结出电磁场的基本方程组．二十世纪以前的物理基础研究路线可以概括为从一些具体事物入手研究它们的具体规律，经过漫长的历史发展，积累到一定程度才由某个伟大的物理学家，总结前人研究成果得到该领域的物理基本定律，这些物理基本定律的广泛应用更加丰富了人们的认识，也包括对物理基本定律的认识．爱因斯坦的研究方法与此有着根本的不同，它不是从琐碎的具体问题入手，而是一开始就从研究物理定律应有的对称性入手，找出这些对称性来，然后根据对称性确定物理定律的形式，这是二十世纪以来物理基础研究的路线．这一现代物理基础研究的路线充分体现了物理学中崇尚理性的威力，它不是从众多具体而琐碎的事物中一点一滴地积累材料，然后再整理出事物的基本定律，而是一开始就从整体上寻找制约事物基本定律的普遍原则，从中得出事物的基本定律，这就大大地缩短了探索事物基本定律的历程，物理基础研究的高速发展与此不无关系．
五、对称性与最小作用原理
物理学中有一些规律属于基本定律，它们具有支配全局的性质，掌握它们显然是极端重要的．例如力学中的牛顿定律是质点、质点组机械运动（非相对论）的基本定律，电磁学的麦克斯韦方程组是电磁场分布、变化的基本定律，物理学中还有另外一种基本定律的表述形式，这就是最小作用原理（变分原理），它可表述为系统的各种相邻的经历中，真实经历使作用量取极值．可以看出最小作用原理的表述形式与牛顿定律、麦克斯韦方程组的表述形式极不相同．牛顿定律告诉我们，质点此时此刻的加速度由它此时此刻所受的力和它的质量的比值决定；麦克斯韦方程组告诉我们，此时此刻的电场分布由此时此刻的电荷分布以及此时此刻的磁场的变化决定，此时此刻的磁场分布由此时此刻的电流分布以及此时此刻的电场的变化决定，它们以微分方程式的形式出现，指明所研究系统（质点或场）的状态在其真实经历中是如何随时间变化的，而最小作用原理则告诉我们，系统的各种可能的经历中，真实的经历总是使作用量取极值．牛顿定律和麦克斯韦方程组把注意力集中在每一时刻系统所处的状态，而最小作用原理则是总观系统的各种可能的经历，并用作用量取极值挑选出真实的经历来，可以看出牛顿定律和麦克斯韦方程组比较具体细致，而最小作用原理则比较抽象含蓄．正是最小作用原理比较抽象含蓄，它概括的面更广泛，不仅适用于机械运动（非相对论）场合，可以导出牛顿定律；而且也适合于电磁场场合，可以导出麦克斯韦方程组；甚至它还可以适合其他场合，导出物理学其他领域的基本定律，可见最小作用原理才是综合整个物理学的真正的基本定律．
根据最小作用原理导出各个领域的具体基本定律的方法就是先找出系统不同经历的作用量来，然后从中选择出相对邻近的经历作用量取极值的经历，它就是真实的经历，其中隐含了系统变化的基本定律．在这点，要找出有同经历的作用量，对称性分析起着决定性的作用，对称性制约物理定律的形式得到最好的体现．如果一个研究领域内的全部对称性已经清楚，则作用量可以完全被确定，从而也就可以得出这个领域的基本定律．例如在非相对论力学范围内，根据空间各向同性、空间平移不变性、时间平移不变性和伽利略变换不变性，可以找出作用量等于系统的动能减去势能对经历的累加，由此可导出牛顿定律．由于存在最小作用原理，对称性在物理基础研究中显示出其重要地位．物理学家通过对称性分析找出不同经历的作用量，从而确定具体领域的基本定律．物理学家们研究一个新的领域，常常是试探地分析其中的对称性，在描述这个世界的作用量公式中增加一些描述新领域的项，从而得到该领域的新的基本定律．
六、对称性与守恒定律
对称性制约作用量的形式，然而物理学家并不可能先验地知道我们这个世界所涉及到的全部对称性，而已经确实知道的对称性又不足以完全确定作用量的形式．尽管作用量可能具有的形式已经大大受到限制，但它们仍然可以具有许许多多种可能的形式，物理学家们不得不采用试探性的方法，根据物理上的可能性依次考察每一个作用量的候选者，这种试探性的方法艰巨而繁难，而且很难说是有成效的．1916年诺特（A·E·Noether）提出一个著名定理，给探寻作用量的形式带来了曙光．
诺特定理是说，作用量的每一种对称性都对应一个守恒定律，有一个守恒量．对称和守恒这两个概念是紧密地联系在一起的．
在经典力学中，我们所熟悉的这种对应关系是：时间平移对称性（时间平移不变性）对应于能量守恒；空间旋转对称性（空间各向同性）对应于角动量守恒．我们可以用浅显的例子加以说明．先看时间平移对称性和能量守恒，时间平移对称性要求物理定律不随时间变化，即昨天、今天和明天的物理定律都应该是相同的．如果物理定律随时间变化，例如重力法则随时间变化，那还想利用重力随时间的可变性，就可以在重力变弱时把水提升到蓄水池中去，所需做的功较少；在重力变强时把蓄水池中的水泄放出来，利用水力发电，释放出较多的能量，这是一架不折不扣的能创造出能量的第一类永动机，这是与能量守恒定律相违背的，这就清楚地说明时间平移对称性与能量守恒之间的联系；再看空间平移对称性与动量守恒．考虑两个质点组成的系统，它们的相互作用热能为U，U是这两个质点位置r1、r2的函数，U（r1、r2），由于物理定律具有空间平移对称性，质点的绝对位置是一个不可观测量，质点间的相互作用势能只能依赖质点间的相对位置，即U（r1－r2）．将质点1和质点2移动相同的小量，相互作用热能U不变，则相互作用力做功的总和为零．由于位移相同，因此相互作用力之和为零，即两个质点之间的作用力与反作用力大小相等，方向相反，且在一条直线上，这正是牛顿第三定律．而我们知道，在力学范围内牛顿第三定律与动量守恒是互为因果的，可见空间平移对称性与能量守恒之间的联系．至于空间各向同性与角动量守恒，考虑两个质点组成的系统，固定质点1，将质点2以质点1为中心移动一小段弧长S，如果相互作用力存在切向力分量，则相互作用热能改变为U＝f切S．空间各向同性意味着两个质点相互作用势能只与它们之间的距离有关，与两者联线在空间的取向无关，所以移动操作不改变相互作用热能，从而U＝0，于是相互用力切向分量f切＝0，或者说两质点的相互作用力沿两者的联线，这与“角动量守恒”是等价的，从而空间各向同性与角动量守恒是联系在一起的．
诺特定理引导物理学家们去寻找新领域中的守恒定律和守恒量，由此确定其中的对称性，从而获得作用量的形式和基本定律；反过来，如果知道了使一个给定的作用量保持不变的对称变换，从而也就可以知道相应的守恒定律和守恒量，这样使得物理学的基础研究有法可循而变得富有成效．
二十世纪三十年代以后，由于加速机器技术和探测技术的发展，利用粒子的碰撞和粒子相互作用的衰变，实验物理学家相继发现了许多新粒子，这些粒子中只有极少数的几个是理论上预言的，绝大多数的粒子是突出其来的，它们在性质上和相互关系上表现出极大的差别，极大地丰富了人们对于粒子世界的认识，形成了庞大的粒子物理领域，而对于如此庞大的粒子家庭，亟须把它们整理出次序来．物理学家们分析实验资料，找出许多守恒量和守恒定律，这些为认识粒子世界的对称性和探索其中的基本定律准备了条件．
七、对称性的凯旋
到二十世纪中叶，粒子世界呈现出非常复杂的局面，粒子数目众多，而且实验上发现和确证的粒子还在不断地增加，粒子之间的相互作用有电磁作用、引力作用、强作用、弱作用四种，它们的区别很大，电磁作用和引力作用是长程力，强作用和弱作用是短程力，它们的强度差别非常大，强作用最强，电磁作用次之，弱作用更次，引力作用最弱，在粒子物理中引力作用可以不考虑．对于电磁作用，已经建立起量子电动力学，它是物理学中最成功的理论．在这个理论中，力的传递者是电磁场，场的量子是光子，电磁作用是通过交换光子而传递的，光子的静质量为零，与电磁作用的长程性联系在一起．关于弱作用，在弱作用宇称不守恒基础上发展了弱作用的中间玻色子理论，认为弱作用是交换中间玻色子W±而传递的，中间玻色子的质量很大，与电磁作用中的光子不同，它是与弱作用的短程性联系在一起．
人们研究发现，这四种相互作用所遵从的守恒定律不同，强作用具有的守恒量最多，电磁作用次之，弱作用更次，这表明它们具有的对称性是不同的．对称性概念似乎不是严格的，因此有人怀疑对称性概念是否普遍有效．1954年，杨振宁和米尔斯以一种并非像历史上的情况那样受到实验观察的启示，而是以统一的美学原则为基础，提出各种作用都可以适用的新的对称性，称为阿贝尔群规范对称，它是一种精确的定域规范变换对称性，它要求存在一个场，称为规范场．对于电磁作用，这一规范场就是电磁场，相应的量子（称为规范玻色子）就是无静质量的光子．规范场可以是多自由度的，对每个自由度有相应的规范场．这样，这种精确对称性的存在就意味着存在许多组特性完全相同的、质量均为零的粒子．然而在现实世界里，除了电磁作用的光子之外，人们没有见到其他质量为零的规范玻色子．因此，杨一米尔斯理论尽管很优美，但它似乎毫无用处．对称是美的，完美的对称只有唯一的一种相互作用，世界也就变得单调而乏味．1964年希格斯找到了使规范粒子获得质量的途径，他得出，描述规范场与其他场相互作用的方程式具有杨一米尔斯对称性，但其解描述真实世界表现出不对称性，这种对称性方程的不对称解称为“自发破缺的对称性”，对称性自发破缺使规范粒子获得质量．1967年温柏格了萨拉姆各自独立地抓住对称性自发破缺的思想，在格拉肖电弱统一模型的基础上构思了统一电磁作用和弱作用的规范场理论，其基本思想是电磁作用和弱作用本来属于具有一种对称性的统一的相互作用，这种相互作用通过交换四种规范粒子来传递，它们的质量均为零，在能量较低的范围，对称性自发破缺了，其中一种规范粒子仍然是无质量的，它就是传递电磁作用的光子，另外三种都获得较大的质量，质量大约是质子的100倍，它们是传递弱作用的W±和Z0粒子．1983年电弱统一理论预言的结果被实验证实，格拉肖、温伯格了萨拉姆的电弱统一理论获得极大的成功．
电弱统一理论是对称性在物理基础研究中的一次伟大胜利，它鼓舞物理学家们进而研究包括强作用的大统一理论，以及把四种相互作用都统一起来的超对称大统一理论．对称性概念将近一步发展，并将进一步扩大其胜利成果．
对称是上帝的笔迹吗
这听上去像是一个笑话，可绝对是严肃的．1927年，物理学家拉尔夫·德·拉尔克洛尼希和帕斯居埃尔·约旦在《自然》杂志上报道了一项对于丹麦母牛的调查．该调查表明，在咀嚼过程中，一半母牛向右转动下颌骨，而另一半则向左转动下颌骨．科学家们认为这种均衡证明了自然界中存在的一种神奇规律，它就是思想家、艺术家和自然学家很早以来就研究的课题：对称．
若我们现在想寻找对称，根本无需去观察母牛的咀嚼动作．日常生活中，对称无所不在．例如伞形花序的对称，马赛克镶嵌图案的对称，巴赫乐曲的对称，甚至我们自己在镜子中的影像也是对称的．事实上，对称这个概念（以及它所描述的现象）存在于各个领域——在艺术中，在音乐中，在物理学中，在文字游戏、哲学论文、化学方程式、心理学模式以及现代的交际系统中．匈牙利一对物理学家夫妇痴迷地认为，对称的无所不在表明它在我们的思想中占据了特殊地位：“对称能帮助人们重新把世界当成一个整体来认识”．
对称这个词是从希腊文直译过来的．百科全书中，它被解释为“一个整体中不同部分的和谐放置”，而在数学家鲁道夫·维勒看来，它是“各部分的一致性，是整体的体现”．对于没有几何学或美学常识的人而言，对称仅仅指一种翻倍，一种人们可以通过重复或者反射的方式得到的翻倍．
轴对称或镜像对称是我们最为熟悉的对称形式，这或许是因为从外表看来，我们自身也是以身体中线为轴的轴对称结构，该结构也是大多数动物所具有的．为什么自然界把我们塑造成这样呢？其首要原因在于这种结构最适合运动：左右匀称的躯体不论在跑步、游泳还是飞行方面都能做得更好．
当然，对称的形式远远多于人们的想象，它们可能非常复杂，以至于会引起视觉上的错觉．对于未经训练的眼睛而言，容易辨认的对称形式还有旋转对称（例如风车）、球状对称（例如鸡蛋）和重复对称．重复对称主要是人创造的，在马赛克的镶嵌图案里，在纺织品的花样和彩色图案上，都可找到重复对称．旋转和球状对称则在自然界中频繁出现，比如，大多数植物的花儿都是旋转对称的，也有些植物拥有完美的球状对称，如蒲公英的种子．
很早以来，我们把对称看成美、真以及和谐的象征，有时甚至把它看作上帝在宇宙中的笔迹．智慧的所罗门王曾这样形容造物主：“你把所有的一切都按照数量、质量和规模来安排”．在古希腊罗马文化的早期，建筑师、雕塑家和画家就已经开始模仿上帝的笔迹，甚至是我们所认为的人体部位的美也与对称有关．1540年，意大利人安格诺罗·菲尔索拉用数学等式来定义最美的女人的脸：鼻子的长度等于嘴唇的宽度，耳朵的面积等于张开的嘴的面积，额头的高度等于眼睛到鼻尖的距离等等．当然，与他同时代的人中没人能完全满足上面的条件，除了想象中的库尔兹安纳·塞弗利（她20岁死的时候，未上棺盖的棺材在运送途中，经过佛罗伦萨时，那里的市民们得以最后一次观看她脸部完美的对称）．
在物理学领域，长期以来，物理学家们所信守的准则是：与一个“丑陋的” 数学理论相比，一个优美的数学理论更有可能是真的．奇怪的是，对自然规律中对称的追寻不但没有使人类误入歧途，反而对宇宙的秘密有了最基本的认识．“作用力等于反作用力”在机械学中占统治地位；在数轴上，与正数相对的是负数，它们如同孪生兄弟一般；在粒子的世界里，物理学家们的信条也是正确的．正是由于确信对称的存在，英国物理学家保罗·狄拉克于1928年提出存在反物质的假设，并且这个假设在日后被证明是正确的：1932年，人们在宇宙射线中首次发现了反物质粒子的存在．科学家们认为，反物质和物质是在宇宙原始爆炸之后同时产生的，就像我们要在沙滩上堆一座城堡，就必须在别的地方挖一个洞．虽然反物质这个概念今天已成为基本常识，但另一个同样基于对称理论的反物质理论还有待证实．该理论是由法国物理学家约安·柴荣发展起来的，它认为，在黑洞的后面存在一个我们这个世界的镜像世界．在那个神秘莫测的世界里，基本粒子在时间上可自由运动，而在空间上则受到限制．在我们的世界里，一切都往熵增加方向运动，而在黑洞后面的那个世界里，一切都按照规则发展和变化．与我们世界相比，那是一个相反的世界，就像是镜子后面的爱丽丝仙境．
17世纪的神秘主义者和物理学家帕斯卡第一个对对称的地位提出质疑．他问到，是我们把对称主观规定成宇宙里的规律呢，还是它本身就是世界的基本属性？虽然帕斯卡曾描绘过规模最大的对称形式，但他认为去探究对称的对立面，也就是不对称，更有意义．
为什么人类那么热衷于追求对称呢？有一点是肯定的：就连婴儿对对称都有特殊感觉．奥斯汀大学的心理学家朱蒂特·朗罗伊斯曾给一些三个月到半岁婴儿放映过一部系列片．片中的主角，一个脸型对称，另一个则不对称．所有观看影片的婴儿无一例外地花更长时间盯着那张“漂亮”的对称脸蛋．更有意思的是，这种对对称的感觉不仅在人的行为中体现出来，在蝎子、苍蝇、燕子、孔雀、驼鹿等动物身上也得到了证实．
剑桥大学的动物学家罗福斯·约翰斯通采用了新的眼光来看待对称这个老问题．他研究的是人工神经系统，他通过计算机模拟进化过程，并跟踪研究原始视觉器官最初的发展．结果表明，即使是人工的“原始眼睛”也更愿意接受对称的形式．约翰斯通总结：“对称简化了被认识的过程”．
由此看来，我们的感官对和谐与对称的原始偏好可能是一种帮助，让我们得以在一个不确定的环境里存活下来．英国诗人威廉·布莱尔曾自问：“是哪位神替老虎挑选了让人望而生畏的斑纹？”
对称是混乱世界里的一个路标，但过多的对称会让人厌倦．很久以来，绝大多数人已不再生活在原始森林里，而是生活在一个越来越人工化的世界里．这个世界不再杂乱无章，而是井井有条：林荫大道、屋前的花园、卧室里的布置，还有桥上的栏杆等等，视线所及，无不是对称的影子．在这样一个世界里必然会滋长对混乱的兴趣，会产生对小缺陷的喜好，比如喜欢辛迪·克劳馥嘴唇上的痣．
卢梭认为“对称是自然和多样化的敌人”，并通过支持打破古典主义的模式，倡导浪漫主义运动．显然，艺术家们很早就意识到过多的对称形式所隐含的危机．众所周知，雅典卫城中的巴台农神庙被视为对称的典范，然而，若我们更仔细地观察该建筑物，就会发现建筑师在很多地方为它安排了不对称的形式．比如，柱子不是直立的，而是向里有些倾斜．
1956年，哥伦比亚大学美籍华裔女物理学家吴健雄所做的一项实验动摇了物理学家们所坚信的对称无所不在的信念，这对物理学家们来说无疑是一种震撼，实验证明了不对称的存在．诺贝尔物理学奖获得者沃尔夫冈·泡利曾这样表述他对该项实验结果的异议：“我不相信上帝是个左撇子”．这项实验导致了对称的世界观在自然科学界的急剧削弱，由此为新的研究和认识提供了空间．
在宏观世界里，最神秘莫测（也是不对称的）的一种现象就是物质远比反物质要多．“虽然我们用粒子加速器能产生物质和反物质，但除了在实验室里，我们在世界上既看不到什么反行星，也看不到什么反银河．”英国宇宙学教授约翰·保罗说．为什么自然显然更喜欢物质，而不是它的镜像对称形式反物质呢？也许是粒子和反粒子分裂率的不同慢慢导致了物质的过剩．这意味着在世界之初是有反物质的，就像人类生命之初也有过对对称形式的破坏：球型的对称卵细胞被一个精子钻破后人类得以繁殖．
分子神秘的“偏向性”也表明生活中更多的是不对称，而不是对称．所谓分子神秘的“偏向性”是科学家用来描述至今为止不可解释的一个现象：很多有机分子的结构是不对称的．这种不对称表现在分子对偏振光的不同反应：“左撇子”分子在偏振面上向左旋转，而“右撇子”分子则向右旋转．比如，自然的糖分子绝大多数是“左旋的”，而大部分氨基酸是“右旋的”．此外，我们的身体也适应了食物的“偏向性”，它根本就不会接受一块“左右颠倒了的”面包，这也是聪明的爱丽丝担心镜子后面那个仙境里的“镜像牛奶”味道可能会不好的原因．
假如不对称对生活是这么重要，那么对称的存在又有什么意义呢？究竟哪一个才是上帝的“笔迹”呢？或者不对称是对称的“镜像对称”形式，这样在更高层次上对称就得以保存下来？也许波斯地毯上的花案早就为我们给出了某种暗示：在几近完美的图案里总会有些小缺陷，这样，人们的情感就不会深陷其中而不能自拔了．
对称性的美学价值
对称性普遍存在于宇宙之中，在日常生活中处处都可见到对称，洁白的雪花，彩色的蝴蝶，绚丽的花瓣，雄伟的建筑，精美的工艺品无不呈现出妙趣天成的对称性．
随着人类社会的进步，科学技术的发展，对称性的研究已普及到各个学科领域中，对称性已成为物质世界的基本属性之一，因而对称性已是科学研究的对象之一．
从哲学高度进行思考，对称性就是自然界的物质和过程之间的一种关系，这种关系包括它们在现象上的相同，形态上的对应，性质上的一致，结构上的重复，规律性的不变．从认识论角度来说，对称就是建立在一定假设基础上的不以人的认识条件和方式而变化的人类认识的不变性．认识和假设的对称状态被打破就建立新的对称，自然界的各种事物都是对称与非对称的辩证统一．对称中包含着非对称，非对称是对称的破缺．对称破缺都可以转化，人脑左右半球是镜像对称，但激素含量，功能又是不对称的，左右半球互相配合，功能互补才能充分发挥脑功能，人类精神的互补，东西方文明的互补，东西方思维的互补这已是客观的发展趋势．
人类的认识过程就是一个“对称性和对称破缺不断交替形成的产生的过程”，沿着“对称性——对称破缺——新的对称性……”的方式不断进行下去．对称与对称破缺是物质世界进化和人类认识不断深化的表现，自组织过程就是一个由对称到对称破缺达到新的对称的过程．对称性，对称破缺是普遍存在的．
对称性的美学价值是一个神秘而有趣的问题．人们对于对称性美的体验，来自对于人体、动物、植物、山川、河流等外形美的观感上，自然美的外观表现是自然美的形式美，自然美的内在规律是自然美的内容美，科学美学就是研究美的内容与形式美的辩证统一关系．自然界的美是无穷无尽的宝藏，它向有审美观的人献出源源不断的绝好的赠品，用科学的观点去鉴赏赠品，就可以发挥对象的审美价值，这里不妨举“黄金分割”的例子，“黄金分割”是古希腊哲学家创导的，法国哲学、美学家在1855年发表《美学研究》一书中进一步对黄金分割问题进行理论阐述，发现人的肚脐正是人体垂直高度的黄金分割点，人的膝盖骨又是大脑和小腿的一个黄金分割点，黄金分割是人和动植物形态的一个结构原则．
在中国的文化精神和国粹文化中，对称美具有独特的地位，中国的建筑、绘画、诗歌、楹联、图章、书法等，都闪耀着对称美的光辉．中国方块字的形、音、结构、神韵都具有对称美．有人提出字的“字心”在左上角与右下角连线自下起的0.618处，这是中国字特有的美，特有的对称美．对称性美是客观存在的，对称性美又是发展变化的，对称性美的探索又是无止尽的，这正是对称性的美学价值．
从科学守恒到数学不变量——一种数学文化的视角
大千世界在不断地变化着．世间万物经历着历史的变化，承受着地域的变化，既有质的变化，更有量的变化，变化是绝对的．但是，看到变化，更要把握变化，人们需要找出事物变化中保持不变的规律．无论是社会科学还是自然科学，都会寻求某种不变性，在科学上称之为守恒，在数学上就是不变量．
中国在不断发展进步，一切事物都在与时俱进．但是，在巨大的社会变革中，有些是不变的．例如，中华民族的文化传统，民族精神，热爱祖国，崇尚和平，寻求大同，宣扬美德等等，都是不变的．在改革开放的今天，在与时俱进的变化中，从实质上保持这些传统的精华，是一种文化的守恒．
文学中也有守恒：对仗．试看王维的名句：“明月松间照，清泉石上流”， 具有自然意境之美，也有文字对仗工整之美．诗句中的对仗，正是把“明月”变换到“清泉”，其中不变的是语词的性质．形容词“明”对形容词“清”，名词“月”对“泉”．同时不变的还有：二者都是自然景物．这种保持着意境、语词的某种不变性，正是“守恒”．文学通过这样的“守恒”，体现着人类的睿智和均衡之美．
在物理上，有能量守恒定律．在保守力场里，一个运动着的物体，它的动能和位能的总和是一个不变的常量．动能多了，位能就少了，反之也是这样．守恒定律是力学真理，有了它，人们对运动着的客观事物有了更深的认识．
总之，守恒是客观规律，发现守恒是科学的胜利，认识守恒是美的享受．
那么，数学又是怎样和守恒连在一起的呢？
从小学起，我们就在和守恒打交道．数字相加和相乘的交换律就是一种守恒定律．两个数交换了，次序变化了，但是它们的“和”与“积”不变：a＋b＝b＋a、a·b＝b·a．再如分数，＝＝＝…，这些分数的形式各不相同，面貌变了，但是它们表示的大小数值没有变，都是0.5，这当然也是守恒．利用分数表示的守恒规则，可以通分，进行分数的加减乘除．
在几何上，大家熟知图形的“全等”，它是指把一个图形通过“运动”（指移动、旋转、折叠）之后，可以和另一个图形“重合”．两个全等的图形经过运动之后，它们的长度、角度、面积等等都不变．这就是说，全等图形的长度、角度、面积是守恒的．至于相似，也是一种守恒．不过它只有角度不变，完全守恒，而长度和面积变了，不能有“相等性”的守恒了．但是，还可以用“长度之比”是一个常数（相似比）来说明它的守恒特征．
对称是美丽的．所谓对称，指相对又相称，这在人类早期文明中就有体现，《易经》中的太极图，何等对称！
对称，又是生活中常用的概念．服装设计、室内装潢、音乐旋律都有对称的踪迹．数学上，轴对称是沿对称轴翻折以后图形的形状不变，旋转对称就是以旋转中心转动以后图形的形状不变．
这种“变化”之下的不变性质对称，本来只是几何学研究的对象，后来数学家又把它拓广到代数．比如二次式X 2＋Y 2，现在把X变换为Y，Y变换为X，原来的式子就成了Y 2＋X 2，结果仍旧等于X 2＋Y 2，没有变化．由于这个代数式经过变换之后，形式上完全和先前一样，所以把它称为对称的二次式．韦达定理中的两根和、两根之积可都是对称的代数式．高次方程也有韦达定理，仍然是高度对称的．
最后，要说到方程．解方程的过程，就是将等式不断变形，使得方程的根保持不变．例如，一元一次方程，就是通过合并同类项，移项，两边同乘一个数，同除一个不为零的数等方法，把方程变形为ax＝b的形状．在这个过程中，x的值没有改变，这种变形是守恒的：保持等式不变，从而x的值不变，最后得到．
大家熟知的求解一元二次方程，也是通过配方、因式分解的方法将方程变形，保持等式不变，x的值不变，最后得到了求根公式．还须注意到，分式方程的变形，如果处理不当，就会失根，那就是不守恒了．
当代物理学和守恒连在一起，对称是在某种群作用下的不变性．诺贝尔物理学奖获得者杨振宁回忆他的大学生活时说，对他后来的工作有决定性影响的一个领域叫做对称原理．杨振宁和李政道获得诺贝尔奖的工作——“宇称不守恒”的发现，是一种特殊的“不对称”．守恒是合理的，不守恒反而成了新发现．另外一个被称为“杨振宁-米尔斯规范场”的著名成果，更是研究“规范对称”的直接结果．杨振宁在《对称和物理学》一文的最后这样写道：“在理解物理世界的过程中，21世纪会目睹对称概念的新方面吗？我的回答是，十分可能．”
对称图形是美的，对称观念是美的，对称理论更是美的．大自然的结构是用对称语言写成的．研究各种对称中的不变量，是数学物理研究的中心课题．
从某种意义上说，现代数学就是研究各种不变量的科学．20世纪最重大的数学成就之一——阿蒂亚-辛格(Atiyah-Singer)指标定理，就是描述某些算子的指标不变量．影响遍及整个数学的陈省身示性类（Chern class），正是刻画许多流形特征的不变量．一些代数不变量、几何不变量、拓扑不变量的发现，往往是一门学科的开端．
数学思想的建立离不开人类文化的进步．在本原的思想上，例如守恒，许多学科之间都彼此相通．发现守恒，永远是美丽的．数学的不变量，正是数学文化和社会一般文化彼此互动的结果．
让数学课发出美的光辉
我国数学家徐利治认为：“数学教学的目的之一是使学生获得对数学的审美能力，即能增进学生对数学美的主观感受能力．”数学是人类文明的结晶，数学的结构、图形、布局和形式无不体现数学中美的因素．在笔者给刚入学的学生讲到数学美的时候，绝大多数学生都不能把数学与美联系在一起，这在一定程度上说明我们数学美育教学的欠缺．因此，数学教师在教学中充分挖掘数学教学的美育功能，不仅可以使学生得到美的享受，还可以获取知识，开发智力，促进“德”“智”的协调发展．笔者认为在数学教学中实施美育应体现以下几个方面．
揭示数学美的内涵
人们常说“成功的教学给人以一种美的享受”．数学的教学过程不仅仅是学生个体的认识过程和发展过程，而且是在教师指导下的一种特殊审美过程．因此数学教师在教学中，应当把数学美的内容通过教学过程的设计向学生揭示出来，从而使学生认识到数学的内容是美的．事实上，数学中有大量的美学内容，比如：函数y＝f（x）这一简单的表达式把两个变量x和y的关系通过对应规则f并且用等号连接在一起，深刻地表现了数学的符号美和简单美；圆锥曲线图形的对称、杨辉三角的对称等反映了数学的对称美；方程的曲线和曲线的方程的关系静中有动，动中有静，深刻地反映了数学的静态美与动态美……在数学教学中，教师要把数学中的这些美学本质挖掘出来，揭示出来，通过数学教学，可以激发学生对数学美的体验，培养学生爱好数学、认识数学美的兴趣．
追求数学美的本质
数学不但体现了科学美，也体现了艺术美，教师在数学教学中要不断地学习，加强美学修养，在教学中追求艺术美的本质．数学教学中的艺术美体现在以下几个方面：一是结构美，数学教学内容的组织应该有严谨、合理的结构，教学环节之间应详略得当，重点突出，应体现对双基、能力和非智力品质的培养．教学内容的顺序、方式都要符合学生的认知规律等等．二是形式美，数学的教学内容虽然有很大的相同性，但教学方法的形式却是千变万化．教师在教学中可以根据教材的内容和学生的特点而采用不同的方法，比如数学实验、数学模型、数学CAI课件的制作等等．教学方法和手段的多样化，构成了数学教学方法的形式美．三是机智美，在数学教学中，会发生一些意想不到的意外情况，教师的随机应变，因势力导，巧妙地化解矛盾，体现一位教师的机智的课堂调控能力，这样会赢得学生的好评，使教学魅力平添，美不胜收．
掌握数学美的规律
在数学教学中，通过对数学美的内容、本质、思想的渗透，使学生掌握数学的规律．一是增强学生认识数学美的兴趣．通过数学的历史故事、数学解题方式等使学生认识到数学美的兴趣，使抽象、高深的数学知识得以形象化、趣味化，使学生从心理上愿意接近它、接受它，直到最终热爱它．二是培养学生的数学美感．从表面上看，数学符号是单调的，数学公式是枯燥的，数学内容是无味的，但正是这些内容构成了数学大厦的美丽与壮观，同时也蕴含了一种哲学的美，一种朴素的美，一种理性的美．数学教师可以通过讲解、剖析、演示、图形、图像、多媒体、幻灯片等形式，使数学的内容活起来，动起来，从而赋予数学内容以美的生命、美的内涵，使学生从数学的显性美提高对数学隐性美的认识，从感性认识上升到理性认识，进而形成数学美感．三是使学生养成用数学美的思想解决问题的习惯．我们知道，一名学生掌握的数学知识的多少并不是第一位的，最重要的是学生是否掌握了数学的精神．数学的精神是学习数学、发展数学和应用数学的根源所在，而这种数学精神的培养过程就是数学美的创造过程，数学美的创造是数学美的升华．因此，在数学教学中要经常采用“实践——认识——再实践”的认识规律去审美，去欣赏美，去发现美，形成对数学美的规律性认识，再用这些规律去猜想、去探索、去发现、去分析解决数学问题，从而达到数学审美的最高境界——应用数学美和创造数学美．
哪些问题适用轴对称变换来解
根据问题的某些特征，运用轴对称思想去添加辅助线，把已知图形的部分或全部补为对称形，再利用轴对称性质，常能较易地从图形各元素的对应关系发现其间的内在联系，找到解题的思路．
具有如下特征的几何题，常可用轴对称变换去解决．
一、图形含有角平分线，以角平分线为对称轴，利用轴对称变换作辅助线．
例1 三角形边长分别为6、8及10，其中最大的锐角平分线把原三角形分成两个三角形. 求这两个三角形中较大的三角形面积．
解：如图1，以较大锐角的角平分线AD为轴，对较大△ABD作轴对称变换，点B的对称点E必落在AC的延长线上．
连结DE，由轴对称图形性质，知△ABD≌△AED，得AE＝AB＝10，因此CE＝AE－AC＝4．
由已知可知∠DCE＝90°，即△DEC是直角三角形．设DC＝x，则DE＝DB＝8－x．由勾股定理得（8－x）2＝x2＋42，解得x＝3，即DC＝3．
， ，
．
二、图形含有垂线（或高线），以垂线（或高）为对称轴，利用轴对称变换作辅助线.
例2 如图2，已知AH⊥BC于H，∠C＝35°，且AB＋BH＝HC，求∠B的度数．
解：由于AH⊥BC，以AH为轴作对称变换，点B的对称点D必落在HC上．
连结AD，由轴对称图形性质，知△ABH≌△ADH，得AB＝AD，BH＝DH，∠ABD＝∠ADB．
已知AB＋BH＝HC，
∴AD＋DH＝DH＋DC，即AD＝DC．
∴∠C＝∠DAC．
∴∠ADB＝∠DAC＋∠C＝2∠C.
∴∠B＝∠ADB＝2×35°＝70°．
另外，证明与特殊图形（等腰三角形、正方形等）有关的线段和、差问题，也可用轴对称变换作辅助线．
例3 已知AB是等腰直角△ABC的斜边，AD是∠A的平分线．求证：
AC＋CD＝AB．
这道题具有多个特征，可用上述任一法作辅助线来证．如图3，以AD为对称轴，点C（或B）的对称点必落在AB（或AC的延长线）上；以AC（或BC）为对称轴，点B（或A）的对称点必落在BC（AC）的延长线上，等等．
趣味对策问题一例
你有没有平心静气地想过，大量的游戏实际上都是数学趣题？在游戏中如何使自己成为赢家，由此产生了现代数学的最新分支之一——对策论．国际象棋和跳棋以及其他棋类比赛都是典型的大家熟悉的数学对策的例子，但是由于它们有太多的不同走法，迄今为止还没有人对它们作出全面的分析．因此，人们无从知道如果两位对手都玩的有道理，游戏是否是和局？或先手或后手总有确定方法获胜？如果有人知道，那么棋类比赛就不会变得那么令人感兴趣了．不过一些简单的例子，人们通过推理则不难得出答案．请看下面的例子：取多于2个的筹码（可以是硬币、卡片、棋子、石头等）把它们摆成一个圆圈．下图是用10枚卡片摆成的开局．两位游戏者轮流从中取走一枚或两枚卡片，但如果取两枚筹码，这两卡片必须相邻，即它们中间既无其他筹码，也无取走筹码后留下的空档．谁取走最后一枚卡片谁胜．如果双方都玩的合理，谁肯定能获胜？他应该采取什么样的策略？
在解本题之前，人们关心的问题是如果让你选择，你选先手，还是后手？为了获得正确答案，我们不妨首先考虑最简单的情形，只有三枚卡片，这时无论先手取一枚还是两枚卡片，后手只须对应地取两枚或一枚卡片，则不难看出后手一定获胜．因此，后手无疑是最佳选择．
可以证明上面猜测是正确的．后手如果采用下述的两个步骤，他就总能获得这个游戏的胜利：
1．当先手取走一枚或两枚卡片之后，圆圈的某一个位置将出现单独的空档．于是，后手从圆圈中与这个空档相对的一侧取走一枚或两枚片，使得余下的卡片被分成两个空档成数目相等的两群．
2．从这以后无论先手从哪一群中取走一枚或两枚卡片，后手总是对称地从另一群中取走相同数量的卡片．
如果实践一下下面给出的游戏过程的例子，就可以明白这种策略．这里的数字是图中每枚卡片的编号．
先手 后手
1、2 6、7
8 3
10 5
4 9（胜）
用这种策略对付你的朋友，你很快地发现，无论用多少个筹码摆成圆圈，只要你选择后手，就一定立于不败之地．不过对于奇数个筹码的情况，在第一步，后手的策略应稍微作一下变化，当先手取走一枚或两枚筹码后，后手应从圆圈中与这个空档相对一侧取走两枚或一枚筹码，于是余下的筹码仍可被两个空档分成数目相等的两群，这时获胜的仍是后手．
探究活动
两个全等的三角板，可以拼出各种不同的图形，如图已画出其中一个三角形，请你分别补出另一个与其全等的三角形，使每个图形分成不同的轴对称图形（所画三角形可与原三角形有重叠部分）．
解：
中心对称图形
练习题之创新题
两个人轮流在一张桌面（长方形或正方形或圆形）上摆放硬币．规则是每人每次摆一个，硬币不能互相重叠，也不能有一部分在桌面边缘之外，摆好之后不许移动．这样经过多次摆放，直到谁最先摆下硬币谁就认输．按照这个规则你用什么方法才能取胜呢？
答案：
你要争取先放，并把第1枚硬币放在桌面的对称中心上，以后你应该根据对方所放硬币的位置，在它关于中心对称的位置上放下一枚同样大小硬币．这样，由于对称性，只要对方能放得下一枚硬币，你就保证能在其对称位置上放下一枚同样大小的硬币，因此，失败绝对轮不到你．
对称
带镜子的实验使我们能够接触绝妙的数学现象——对称．在古代“对称”一词的含义是“和谐”“美观”．事实上，译自希腊语的这个词，原义是“在一些物品的布置时出现的般配与和谐”．
看一下枫叶、雪花、蝴蝶，它们都是对称的组合．如果沿着图1的每个图形上所画的直线放一面镜子，那么在镜子所反映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）．因此把这种对称叫做镜面对称（或者轴对称，如果这里所谈的是平面图形）．沿着放镜子的直线，称为对称轴．如果对称图形沿着对称轴对折，那么它的两部分重合．
图1
在图2中，选出对称的图形，并且找出所有的对称轴．
人们在建筑学中利用对称已经很久了．古老的神殿、中世纪城堡的尖塔因对称而显示和谐与完美（图3）．
尽可能多地在周围环境中和街上找出对称的物体和建筑物．
图2 图3
比较两种图形：墨水迹和透花餐巾纸或者“雪花”．墨水迹是这样获得的：在纸上滴上几滴墨水，把纸张对折成两重，随后打开．折叠线就是墨水迹的对称轴．墨水迹有一条（垂直的）对称轴（图4）．用类似的方式得到“雪花”，只是把一张纸折叠几次，将这几层厚的纸剪去一些小块，随后将它打开，就得到“雪花”．它有几条折叠线，就有几条对称轴．在图5中的“雪花”里有4条对称轴．许多几何图形里可能有一条或多条对称轴，但也可能一条也没有．
通过“折纸”的想象，确定图6中的各个图形有哪些对称轴．
如果图形的对称轴多于两条，那么这些对称轴的位置是怎样的？
图6
图6所画出的图形中哪一个是“最对称”的？哪一个是最“不对称”的？
确定画在图7中的图形有什么共同点？
图8所表示的图形中，哪一个是不对称的？
1．已知图形有两根对称轴，两者之间夹角是多少？
回忆用两个平面镜的实验．用两块玻璃组成的万花筒我们能够得到对称图形．借助镜面反射，画在纸上的曲线可以构成一个个对称图形．
图8
例如，如果两面镜子彼此成600立着，那么曲线反射6次并且所得图形有3条对称轴（图9）．
把彼此成900的两面镜子画成直线形状，随后在一个直角区域任意画一条曲线．要求不使用真正的镜子，画出曲线通过镜子反射所得到的对称曲线．
图10
在上面习题中，要求按视觉完成作图．那么怎样正确画出图形在镜中的像？
我们想象，在图10中，l是一面镜子（或者对称轴），我们作折线ABC的像．
（1）从顶点A和B作直线 l的垂线．
（2）把垂线延长到“镜后”同样距离（等于相应线段的长）．
（3）连结所得的点．折线A1B1C就是ABC 的像（点C保持不动，它位于对称轴上）．
设两面镜子彼此平行且反射面相对放置．在它们之间的纸上画着某一条线，画出该线在每一面镜子中的像．
两面镜子彼此垂直．在它们之间画了一条曲线，从一面镜子画到另一面镜子．曲线在镜子中反射多少次？所得图形有多少条对称轴？作一次实验．
画出图11中所画的镜子对已知线段作反射时所得的图形，所得图形中每一个有多少条对称轴？
图11
2．相交成 150的两条直线是某一个多边形的对称轴．这个多边形可能有的顶点数最少是几个？
除了轴对称外还存在中心对称．它的特征是具有对称中心——点O，它具有特定的性质．可以说，点O为对称中心，如果环绕点O旋转1800时图形自己变为自己（图12）．
但是这种定义只适用于平面图形．那么对空间图形（物体）是怎样的呢？须知中心对称的概念也可以推广到三维空间．
给出对空间物体也适用的中心对称的定义．
举一些有对称中心但没有对称轴的平面图形的例子．相反，举一些有对称轴但没有对称中心的例子．
如果一个图形既有对称轴又有对称中心，那么这种图形的对称轴的数目可能是多少？
要验证图形是否中心对称，可以用通常的针和透明纸．把透明纸叠放在我们的图上．在预定的中心上用针钉住，并依原图在透明纸上描出一样的图形，然后将透明纸绕针转动 1800．
如果透明纸的图形和原图的轮廓线重合，那么它是中心对称的（图13）．
数学学科的“研究性学习”与教育技术
在新一轮课程改革中，中小学“研究性学习”与研究型课程已被列入教学计划，首次成为基础教育课程体系的构成部分．数学是中小学的一门基础学科，是中小学教育改革的龙头学科，数学学科“研究性学习”是一个探索中的新课题．本文对教育技术支持下的数学学科研究性学习作初步探讨．
一、数学学科的“研究性学习”
“研究性学习”是指学生在教师的指导下，从社会、自然和生活中选择课题进行研究，在研究过程中主动地获取知识、应用知识、解决问题的学习活动．研究型课程是支持这种学习方式的相应的课程载体．
我国在义务教育阶段，将“研究型课程”称为“探究型课程”．通常采用在教师指导下，以学生个体或小组为单位，通过设立课题、提出问题、收集材料、处理信息、实验比较、解决问题的方式开展学习活动．教学活动时间一般为几节课或几天，目前也有在一节课内进行研究性课程教学活动的尝试．
数学是中小学的一门基础课程，在数学学科中开展“研究性学习”是提高学生数学素质的一条途径．中小学数学学科“研究性学习”的培养目标不是让学生产生对社会与世界有重大影响的创造发明，而是培养学生具有对自身发展有价值的创造意识和创新精神．在数学教学中进行“研究性学习”应当是学生不断地积累经验、改变经验、重组经验，不断地更新自我、充实自我的过程．
中小学数学学科的“研究性学习”涉及到其他学科知识，包括人文知识与信息学知识等，但以数学为主线．学生在“研究性学习”过程中，面对收集到的大量的数据及其他信息，必须及时加以处理，为了较快地完成各个工作步骤，需要频繁地使用信息技术手段．因此，在数学学科的“研究性学习”中有机地将数学学科教育与信息技术教育整合，恰当地运用媒体技术，可以极大地提高学习效率．
二、教育技术
1994年美国教育传播与技术协会（AECT）界定“教育技术是对学习过程和学习资源进行设计、开发、使用、管理和评价的理论和实践”，国内通常将教育技术称为现代教育技术．教育技术由多个部分组成，包括课程内容、教学设计、学习理论、媒体技术等．媒体技术指教学媒体的使用、开发、设计与制作技术．媒体技术理论是教育技术理论框架中较接近实践的重要内容，但并不是教育技术理论的唯一内容．媒体技术是数学教学过程中必不可少的重要部分．近年来，网络技术与多媒体教育技术飞速发展，为数学教学模式的创新发挥了极大的作用．
在传统数学教学过程中，教学内容以线性方式呈现，不符合大脑思维特点；教学手段简单，学习方法陈旧，通常是黑板加粉笔，教师讲学生听．中小学数学教学从“知识传授”模式转变到以学生为中心的“研究性学习”模式，是一个重大的改革与进步．如果不引进现代教育技术，那么先进的教学模式和方法将难以真正实现．
三、数学学科的“研究性学习”与教育技术
中小学数学学科的“研究性学习”一般都以“课题为中心”或“问题为中心”的模式进行教学活动．运用任何一种模式进行教学，都离不开教育技术．
1．充分发挥网络作用，支持课题研究．
“以课题为中心”的研究性学习的学习周期较长．学生首先要在教师指导下从已有数学知识及熟悉的社会生活中选择研究课题，例如：多面体欧拉定理的发现；购房贷款决策问题；日常生活中的余弦定理；数学与环境保护；谈谈“养老金”问题；超市价格策略；网络通讯费的统计方法等．选择研究课题后，必须明确主题及工作对象，然后制订研究的项目计划，实施课题计划，得出研究结果，进行评价与反思．学生在整个学习过程中，用自己的思想与方法去解决问题，并从中学到知识与技能．
在数学研究过程中，为了帮助学生了解那些不太熟悉的课题背景，利用网络信息优势，注意发挥网络的数学资源作用，能更好地调动学生的学习积极性，发挥学生的自主作用，达到研究性学习的教学目标．
校园网或Internet都是十分重要的教学媒体．由于网络具有开放性与互动性，使得教学活动既可在现实世界，也可在虚拟世界里与学生互动．网络拥有的大量信息成为新的“知识来源”．网络背景下的研究型课程的实施，也使得研究型课程更具有了时代特色和科技特色．研究型课程中的网络应用，主要集中于网络资源的开发和信息资料的查询、收集、整理．网络背景下研究型课程的实施，特别是学生在课题研究过程中的合作、交流、相互指导，不仅是对学生学习方式、学习习惯的培养，更是对指导教师教学理念、教学模式、教学方法改革的促进．在基于网络的研究性学习过程中，还可以掌握一些与数学学科有关的网站地址对于教师的指导工作大有好处．
2．在“以问题为中心”的研究性学习中采用教育技术探索“问题”．
“以问题为中心”的研究性学习是一种关注体验的学习，一般是以“探究”的方式，先给学生提一个问题，启发学生联系与此问题相关的旧知识，进而再提出一系列相关的问题，学生围绕问题进行研究，解决问题，并对结论作出评价．“问题”是整个研究学习过程的驱动力．有时也要求学生清楚地定义问题，提出假设，阐述解决问题的方案．在学习过程中，还会出现问题没有答案的情况．
研究性学习是一种探索式学习，只有将探索式学习与传统的接受式学习结合，才能使学生获得较完整的数学知识及对世界的体验，否则研究性学习将成无源之水，无本之木．在“问题为中心的学习”中，对数学知识的讲解、演示是引导学生思维与探索问题解决途径的必不可少的一个环节．采用多媒体课件能将枯燥的数学推理与计算改由动画、图片、音乐来表述，充分吸引学生的注意力，使学生提高对信息的吸收率．同时，也创造了一个愉悦的数学学习环境．在学习过程中，采用教育技术能更快地使学生进入“问题”的探索环境，较快地找到解决问题的途径，提高教学效率．
例如，在小学“几何初步知识”教学中，探索解决圆面积的计算方法是个成功的范例．教学时教师先演示由Flash编制的课件，动态地显示三角形、长方形、平行四边形的各种图形拼接方法，并提出与图形属性有关的问题，让学生自由拼割各种图形，然后展示一个圆形，将其平均分成十六个扇形，再将这些扇形拼成一个近似的“平行四边形”，请学生计算“平行四边形”的面积．因为学生已经学习了平行四边形面积计算方法，自然很快就得出结果．教师继续操作课件，演示出圆的三十二、六十四、一百二十八等分的拼接状态，并适时引导学生思考圆与“平行四边形”的关系，让学生自由讨论，顺利地导出圆面积计算公式．学生在看“电影”的过程中，体验有限向无限发展的趋势，探索到解决问题的方向．
再如，在中学数学的“二次函数性质”探索学习过程中，利用Authorware多媒体软件编辑平台制作函数图像的课件，效果也十分出色．学生自主操作课件，对各种不同系数状态下一元二次方程的图像进行观察、比较、归纳，最后经小组讨论得出函数性质的初步结论，并将结论进一步扩展，联系日常生活生产的实例加以应用，从而使数学素质得以提升．
3．依靠教育技术建立数学实验室．
数学是一门科学，含有观察、实验、发现、猜想等实践部分，尝试、假说、度量和分类是数学家常用的技巧．由于教育技术的发展使传统观念上的数学学习已向理论与实验相结合方向迈进，产生了数学实验室的概念，并引发了“做数学”的理念．在数学实验室里，除了传统的数学工具如数学模型、测量工具、计算器以外，还配置了多媒体计算机、网络、数学课件及支持学习的系统软件等教育技术媒体．数学实验室能提供适当的情境，让学生能够学习读数学、写数学、说数学．在数学实验室中进行研究性学习是数学教学改革上的飞跃．
目前，能够提供数学实验的教育软件比较少，但是“几何画板”及“立体几何画板”这两个数学实验软件能提供较好的实验环境．
“几何画板”是Windows环境下的一个动态的数学工具软件．它提供了画点、画线（线段、射线、直线）、画圆（正圆）的工具，以及旋转、平移、缩放、反射等图形变换功能，可以对图形对象进行求坐标、算距离等测量与计算，研究诸如运动与变换这样的非欧几何问题，能够绘制各种平面图形、动画和运动、立体透视图形，构造动态数学模型和数据图表，并能在几何图形中插入图片与声音等多媒体信息．几何画板又不同于其他绘图工具，能动态的保持给定的几何关系，便于学生自行动手在变化的图形中发现恒定不变的几何规律，从而打破了千百年来数学学习就是一支笔一张纸的纯理论局面，成为提倡数学实验，培养学生创新能力的有效工具．
例如，在传统的数学教学中，“直角三角形”概念从小学一直讲到中学，通常是教师画直角三角形，学生看，然后记忆其特点．性质也好，判定也好，一概如此，在几何画板上就不是这样了，“什么叫直角三角形？”教师示范后，学生自己画，大的、小的、旋转角度的，各种变式图形都会出现，只是其中必有一个角是直角．动态操作给学生比较、探索和抽象思维创造了一个活动空间和条件．
中文版的“立体几何画板”在表现三维几何问题时更有独到之处．
据资料反映，1995年两个美国初中二年级学生David Goldeheim和Dan Litchfiled应用“几何画板”发现了又一个任意等分线段的方法；我国东北育才学校的学生应用“几何画板”发现了广义蝴蝶定理．这些事例足以说明教育技术在数学研究性学习中至关重要的作用．
布鲁纳曾说过：“任何知识都能够以合适的方式教给任何年龄的学生．”面向21世纪，在充分考虑社会、科学进步和学科发展的基础上，建立一个“以学习者为中心”的课程体系，让学生充分利用现有的教育技术，从生活基础中熟悉的事实现象出发，观察、探索，发现规律，是教育工作者所面临的重要任务．
剪纸欣赏
一、优秀的剪纸产于何地
我国各地均有剪纸习俗，风格迥异，做工良莠不齐，题材各有不同，剪纸材料千差万别．按制作方法分类，主要有剪纸和刻纸；按表现形式分类，主要有单色和点彩．
剪刀剪纸，历史悠久，但由于加工数量的限制，而且细微难刻画，逐渐被刻纸取代．刻纸的优势在于，以此可以加工多张，刀法变化多端，具有丰富的表现力，作为剪纸艺术的分支，已经在我国处于主导地位．单色剪纸和点彩剪纸，尽管各有千秋，但是，真正的优秀剪纸，应属单色，因为单色剪纸，突出了“剪”的艺术主题，来不得半点虚假．而点彩剪纸，俗称“三分剪，七分染” ．所用品色很短时间内就会形成污染并脱色，脱色的剪纸毫无欣赏价值．
真正优秀的剪纸，当属江苏的扬州和天津的杨柳青的单色剪纸，两地的剪纸，以造型优美、纸张考究、刀功犀利而著称，就其渊源，扬州和杨柳青，皆为举世闻名的书画艺术之乡，两地的剪纸艺术在深厚文化底蕴烘托下，自然卓越不群．
二、历史悠久的杨柳青剪纸
杨柳青剪纸向其他美术品类借鉴表现形式丰富自己．比如这些年兴起的国画形式的剪纸有中堂、条幅、横批、通案、扇面等；内容有花鸟、草虫、人物、山水、脸谱等，还有美术家参与创作的剪纸．其类似年画又不失剪纸趣味，使人感到熟悉而又新颖．特别是在传统年画的风俗日渐衰落之际，剪纸艺人便将百姓喜闻乐见的杨柳青年画图样刻成剪纸，如门神、缸鱼、婴戏娃娃等．传统年画往往不被一些新家庭接受，刻成精美的剪纸后，这种艺术形式不仅能被青年人接受，而且深受喜爱．杨柳青人绣花的“花样子”都是来自于剪纸图案．这些花样子有门帘、窗帘、墙布（墙围子）、枕套等，还有用于服饰，儿童戴的花兜兜，俗语称“供花”，也有人在祝寿的寿面、寿桃上用福寿等剪纸覆盖，俗称“饭花”等．几十年前，杨柳青高家花样子远近闻名，人称“高花样子”．
三、剪纸的艺术鉴赏??
?? 每一种艺术都有自己独特的艺术风格，由于剪纸材料（纸）和所用的工具（剪刀和刻刀）决定了剪纸具有它自己的艺术风格．剪纸艺术是一门“易学”但却“难精”的民间技艺，作者大多出于乡村妇女和民间艺人之手，由于他（她）们以现实生活中的见闻事物作题材，对物象观察，全凭纯朴的感情与直觉的印象为基础，因此形成剪纸艺术浑厚、单纯、简洁，明快的特殊风格，反映了农民那种朴实无华的精神．归纳前人的经验大概有以下几个方面：
1．线线相连与线线相断．
剪纸作品由于是在纸上剪出或刻出的，因此必须采取镂空的办法，由于镂空，就形成了阳纹的剪纸必须线线相连，阴纹的剪纸必须线线相断，如果把一部分的线条剪断了，就会使整张剪纸支离破碎，形不成画面．由此就产生了千刻不落，万剪不断的结构．这是剪纸艺术的一个重要特点．剪纸很讲究线条，因为剪纸的画面就是由线条构成的．根据实践经验把剪纸的线条归纳为五个字：“圆、尖、方、缺、线”．要求达到“圆如秋月、尖如麦芒、方如青砖、缺如锯齿、线如胡须”，可以说线条是剪纸造型的基础．
2．构图造型图案化．
?? 在构图上，剪纸不同于其他绘画，它较难表现三度空间、场景和形象的层层重叠，对于物象之间的比例和透视关系也往往有所突破．它主要依据形象在内容上的联系，较多使用组合的手法，由于在造型上的夸张变形，又可使用图案形式美的一些规律，作对称、均齐、平衡、组合、连续等处理．它可以把太阳、月亮、星星，飞鸟、云彩，同地面上的建筑物、人群、动物同时安排在一个画面上，常见的有“层层垒高”或并用“隔物换景”的形式．
3．形象夸张、简洁、优美，富有节奏感．
? 由于受到工具和材料局限，要求剪纸在处理形象时，既要抓住物象特征，又得做到线条连接自然．因此，就不能采取自然主义的写实手法．要求抓住形象的主要部分，大胆舍去次要部分，使主体一目了然．形体要突出，形成朴实、大方的优美感，物象姿态要夸张，动作要大，姿势要优美，就像舞台上的亮相动作一样，富有节奏感．
4．色彩单纯、明快．
剪纸的色彩要求在简中求繁，少作同类色、类似色、邻近色的配置，要求在对比色中求协调．同时还要注意用色的比例．如用一个为主的颜色形成主调时，其他颜色在对比度上可以程度不同地减弱．有时碰到各种颜色并置起来，稍有生硬的感觉时，则把它们分别套入黑色．金色剪成的主稿里，即可获得协调、明快的感觉．
5．刀法要“稳、准、巧”．
民间剪纸的许多特点和风格都是由于刀法上的一定技巧而产生的，如张永寿创作的“百菊图”，许多地方都是运用刀法的技巧．例如刻一种“罗汉须”的菊花，由于它初开时是直瓣，盛开时就卷曲，形成螺丝圈，剪这种菊花，要一瓣一瓣从里往外圈剪，剪成后花瓣卷曲自如，才能组成一朵形象殊异、风味别致的菊花．
如果刻一种叫“鹭鸶羽”的菊花，由于它开花时一瓣套着一瓣，一瓣勾着一瓣，剪这种菊，要运用“掏剪法”，剪起的地方要片片相连，瓣瓣相随，花瓣之间的粗细、大小才能参差有致，变化不同，剪成的花才能像鹭鸶的羽毛一样丰满而美丽．
当同时刻制数量比较多的剪纸时，在刀法的运用上，要切不要划，切出来的剪纸比划出来的剪纸要显得厚实．用刀时必须要像手拿钢锯一样，上、下来回切动，用力要刚劲、均匀，否则，刀在手里就会失去灵活性．注意不要左右来回摆动，握刀上下必须垂直，刻出的剪纸才会准确．在剪纸时，下刀和起刀必须做到准，特别是在刀与刀们连接的地方，说下就下，说起就起，否则，线条就容易被刀刻断或者刻不断而把剪纸撕坏．
这里的“巧”主要是指运用巧刀刻出的“锯齿”和“月牙儿”．这是剪纸刀法中很重要的两种刀法．这两种刀法运用得恰当，就能形成剪纸艺术独具的“刀味纸感”．
下面具体谈一下这两种刀法的运用．
?? “锯齿”是作者在制作过程中，由于纸和刀的切割移动而自然产生的，它利用锯齿的长短、疏密、曲直、刚柔、钝锐的变比，结合不同物象的特征，表现它的质感、量感、结构等．
刻植物时，柔和的锯齿纹可以表现它的花果，坚硬的锯齿纹可以表现树的叶子和茎的针刺、毛绒．
??? 刻动物时，细密的锯齿纹可以表现软软的绒毛，刚健的锯齿纹可以表现硬实的鬃毛，圆实半弧形的锯齿纹可以表现禽鸟、鱼虫的羽毛和鳞．
??? 刻人物时，用跳动的锯齿纹可以表现活动的眉毛、胡子、头发，用修长丰润的锯齿纹可以表现小孩丰满的肌肤．
?? “月牙儿”也是剪刻时自然产生的各种弧形装饰，它以阴刻为主，主要表现人物的衣纹，或破坏大块黑的面积，根据不同物象的特征、形状，可长可短，可宽可窄，可曲可直，能变化出各种不同的类型．
? “锯齿”和“月牙儿”这两种形式也往往在同一张剪纸画面中交错运用，使得层次更加分明和富有变化．
从南北朝时期的“对马团花”和“对猴团花”剪纸技法中的锯齿和月牙儿的萌芽出现，经过于百年的历史演变，一直延续至今，已成为一种装饰图案的规律被人们所喜爱和运用．
民间剪纸的刀法形式除“锯齿”和“月牙儿”之外，还有诸如花朵、涡纹、云纹和水纹等．
