(共33张PPT)
第十五章 分式
15.1 分式
15.1.1 从分数到分式
学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练
学习目标
1.了解分式的概念；
2.理解分式有（无）意义的条件、分式的值为0的条件.（重点）
3.能熟练求出分式有意义时字母的取值范围、分式的值为0时字母的值.（难点）
新课导入
复习引入
什么是单项式？
什么是多项式？
几个数或字母的积的式子是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式.如：3，-a，4y，mn等
几个单项式的和是多项式.如：5m+n，x2-y2等
整式包括什么？
包括单项式和多项式.
新课导入
复习引入
填空：下列式子中，
是单项式的有 ；
是多项式的有 ；
是整式的有 .
① ② ③ ④
⑤ ⑥ ⑦mn ⑧
①⑤⑦
②④⑧
①②④⑤⑦⑧
练一练
新知探究
思考
（1）长方形的面积为10cm2，长为7cm，则宽为 cm；
长方形的面积为S，长为a，则宽为 .
知识点1 分式的概念
长方形的面积=长×宽
宽=长方形的面积÷长
新知探究
思考
（2）把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱形容器中，则水面高度为 cm；
把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，则水面高度为 .
知识点1 分式的概念
圆柱体的体积=底面积×高
高=圆柱体的体积÷底面积
新知探究
思考
（3）明明的妈妈带了50元去买苹果.如果每千克苹果8元，那么她可以买到 kg的苹果；
明明的妈妈带了（x+y）元去买苹果.如果原来每千克苹果8元，由于物价上涨，每千克苹果涨价m元，那么她可以买到 kg的苹果.
知识点1 分式的概念
总价=单价×数量
数量=总价÷单价
新知探究
观察得到的式子：
知识点1 分式的概念
是整式的有：
这样的式子叫什么呢？
这样的式子就是分数
新知探究
知识点1 分式的概念
这三个式子有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？
相同点：
不同点：
分数的分子A与分母B都是整数，而这些式子中的A与B都是整式，并且B中都含有字母.
与分数一样，都是 （即A÷B）的形式.
分数：
新知探究
知识点1 分式的概念
分式：
分数：
分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式. 分式 中，A叫做分子，B叫做分母.
新知探究
知识点1 分式的概念
分式必须满足三个条件：①形如 的式子；②A、B都是整式；③分母B中含有字母. 三个条件缺一不可.
这是分式的一个重要标志
但是，如：虽然 的分母中含有字母，但分母不是整式，所以不是分式.
新知探究
跟踪训练
下列各式哪些是整式？哪些是分式？
整式
整式
分式
整式
分式
整式
分式
整式
分式
整式
（2）判断一个式子是否为分式，不能将其化简后再判断，只需看原式的本来“面目”是否符合分式的概念.
（3）π是无理数，而不是字母，所以当分母是π时，这个式子不是分式.
判断一个式子是否为分式的注意事项
（1）式子中含有多项时，若其中有一项分母含有字母，则该式也为分式.
新知探究
知识点2 分式有意义、无意义的条件
思考 我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0，要使分式有意义，分式中的分母应该满足什么条件？
那我们可以联想一下，当除法有意义时，除数应满足什么条件？
分式可看成是两个整式的商，它的分子是被除式，分母是除式，分数线相当于除号.
除数不能为0.
新知探究
知识点2 分式有意义、无意义的条件
分式有意义的条件：分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式 才有意义.
分式无意义的条件：分式的分母为0，即当B=0时，分式 无意义.
新知探究
知识点2 分式有意义、无意义的条件
解：（1）要使分式 有意义，则分母3x≠0，即x≠0；
例1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
（1） （2) （3） （4）
（2）要使分式 有意义，则分母x-1≠0，即x≠1；
新知探究
知识点2 分式有意义、无意义的条件
例1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
（1） （2) （3） （4）
（4）要使分式 有意义，则分母x-y≠0，即x≠y.
（3）要使分式 有意义，则分母5-3b≠0，即b≠ ；
新知探究
知识点2 分式有意义、无意义的条件
【变式】（2021 杭州上城区一模）要使分式 有意义，x的取值应该满足（ ）
A．x≠-1 B．x≠2 C．x≠-1或x≠2 D．x≠-1且x≠2
D
【解析】由题意，得（x+1）（x﹣2）≠0，解得x≠﹣1且x≠2，故选D．
我是这样做的：
= ，所以（x+1）≠0，解得x≠﹣1，故选B．
×
新知探究
知识点2 分式有意义、无意义的条件
讨论分式有无意义注意事项
（1）分式有意义的条件是分母不为零.如果分母是几个因式乘积的形式，则应使每个因式都不为零.
（2）讨论分式有无意义，一定要针对原分式讨论，不能将分式化简后再讨论.
新知探究
知识点2 分式有意义、无意义的条件
讨论分式有无意义注意事项
（3）分式是否有意义，只与分式中分母的值是否为0有关，而与分子的值是否为0无关.
（4）分式有意义的条件是指表示分母的整式的值不能为0，并不是说分母中字母的取值不能为0.
新知探究
思考 要使分式的值为零，分式应该满足什么条件？
0除以任何不等于0的数，结果仍为0.
知识点3 分式值为零的条件
分式可看成是两个整式相除.
那我们可以联想一下，在除法中，要使商为零，应满足什么条件？
新知探究
知识点3 分式值为零的条件
分式值为零的条件：
要使分式 的值为零，则A=0，且B≠0.
分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的.所以A=0，B≠0,两者缺一不可.
新知探究
A
【解析】由题意，得|x|﹣1＝0，且x﹣1≠0.
解得x＝﹣1.故选A．
知识点3 分式值为零的条件
例2 （2021 雅安）若分式 的值等于0，则x的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．±1
等于0
不等于0
新知探究
知识点3 分式值为零的条件
【变式】（2021 南京江宁区模拟）若分式 的值为0，则x等于（ ）
A．0 B．3 C．﹣3 D．±3
【解析】∵该分式的值为0，
∴x2﹣9＝0，且x﹣3≠0，解得x＝﹣3．
故选C．
C
课堂小结
从分数到分式
分式的概念
分式有意义、无意义的条件
分式值为
零的条件
有意义
无意义
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式. 分式 中，A叫做分子，B叫做分母.
当B≠0时，分式 才有意义.
当B＝0时，分式 无意义.
当A＝0，且B≠0时，分式 的值为零.
课堂训练
1.（2021 衡阳模拟）下列各式中，属于分式的是（ ）
C
A. x B. C. D.
2．（2021 桂林）若分式 的值等于0，则x的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
A
课堂训练
3.当a＝－1时，分式 的值( )
A.没有意义 B.等于零
C.等于1 D.等于－1
A
课堂训练
4.（2021 上海奉贤区三模）下列各式中，当m＜2时一定有意义的是（ ）
A
A. B. C. D.
A．当m＜2时，m﹣3＜﹣1，故分式一定有意义；
B．m＜2，当m＝1时，分式没有意义；
C．m＜2，当m＝﹣1时，分式没有意义；
D．m＜2，当m＝﹣3时，分式没有意义；
故选A．
课堂训练
x≠﹣1
5.（2021 铜仁市）要使分式 有意义，则x的取值范围是 .
6.已知，当x=5时，分式 的值等于零，则k .
=-10
课堂训练
7.当x满足什么条件时，下列分式有意义？
（1） ； （2） ； （3） ； （4） .
解：（1）当5x-3≠0时，即x≠ 时，分式有意义；
（2）当 时，即 时，分式有意义；
（3）因为不论 x 取什么值，都有x2+3＞0，所以x取任意值，分式都有意义；
（4）当(x-2)(x+4)≠0时，即 x≠2且 x≠-4时，分式有意义.
课堂训练
8.分式 的值能等于0吗？说明理由．
答：不能.理由如下：
因为当 等于0时， x+3＝0，即x=-3.
而当x=-3时，分母x2-x-12=0，分式无意义.
课堂训练
解：根据分式无意义和分式值为0的条件可得
-2+a=0，4-b=0.
解得a=2,b=4.
所以a+b=6.
9.已知当x=-2时，分式 无意义；当x=4时，分式的值为0，则a+b的值为多少？
课堂训练
10.当x为何值时，分式 的值为负数？
解：由分式的值为负数，得 x+2＞0 ,①或 x+2＜0, ②
x-3＜0 , x-3＞0.
解不等式组①，得：-2＜x＜3；
解不等式组②，得无解.
所以当-2＜x＜3时，分式 的值为负数.
课堂训练
拓展点
（1）若 的值为正数，则有 A>0 或 A<0
B>0 B<0；
（2）若 的值为负数，则有 A>0 或 A<0
B<0 B>0；
（3）若 的值为1，则A=B且B≠0；
（4）若 的值为-1，则A=-B且B≠0.(共45张PPT)
第十五章 分式
15.1 分式
15.1.2 分式的基本性质
学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练
学习目标
1.理解并掌握分式的基本性质．（重点）
2.能熟练运用分式的基本性质进行分式的约分和通分.（难点）
新课导入
复习引入
1.什么叫做分式？
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式. 分式 中，A叫做分子，B叫做分母.
新课导入
复习引入
2.分式有意义和无意义的条件是什么？
分式有意义的条件：分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式 才有意义.
分式无意义的条件：分式的分母为0，即当B=0时，分式 无意义.
新课导入
复习引入
要使分式 的值为零，则A=0，且B≠0.
3.分式值为零的条件是什么？
新知探究
下列两组分数相等吗？
相等
相等
你是怎么得到的结论？
依据是什么呢？
知识点1 分式的基本性质
新知探究
分数的基本性质：
一个分数的分子、分母乘（或除以）同一个不为0的数，分数的值不变.
一般地，对于任意一个分数 ，有 ， ，其中a，b，c是数.
如，若数c≠0，则 ， .
知识点1 分式的基本性质
新知探究
分式的基本性质：
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.
上述性质可以用式子表示为：
其中A,B,C是整式.
知识点1 分式的基本性质
思考 类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？
新知探究
知识点1 分式的基本性质
示例：
分式的
基本性质
分母乘以x
分子乘以x
分母除以b2
分子除以b2
(2)分子、分母只能同乘或同除，不能进行同加或同减；
新知探究
做一做：下列各式从左到右的变形一定正确的是 .
③
(1)分子分母同时进行；
(3)分子、分母同乘或同除同一个整式；
(4)除式是不等于零的整式.
① ；② ；③ ；④ ；⑤
运用分式的基本性质的注意事项
知识点1 分式的基本性质
×
×
×
×
√
新知探究
知识点1 分式的基本性质
例1 填空：
（1） ， ；
【解析】（1）因为 的分母xy除以x才能化为y，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需要除以x，即 .
所以，括号中应填x2.
x2
2x
例1 填空：
（2） ， .
新知探究
知识点1 分式的基本性质
【解析】（2）因为 的分母ab乘a才能化为a2b，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需乘a，即 .
所以，括号中应填a.
a
2ab-b2
新知探究
知识点1 分式的基本性质
对于依据分式的基本性质进行填空的题目，首先要观察等号两边的已知分子（或分母）发生了怎样的变化，然后确定是采用乘法运算还是除法运算，最后对分式的分母（或分子）作相同的变形即可.
新知探究
跟踪训练
下列各式从左到右的变形中，不正确的是（ ）
D
A． B． C． D．
【解析】A. ，故A正确．
B. ，故B正确．
C. ，故C正确．
故选D．
D. ， ,故D错误．
新知探究
知识点1 分式的基本性质
分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身这三处的正负号，同时改变其中两处，分式的值不变.
用式子表示：
新知探究
知识点2 分式的约分
分数的约分：把一个分数的分子、分母同时除以公因数，分数的值保持不变，这个过程叫做分数的约分.
两题的运算过程叫分数的约分
新知探究
知识点2 分式的约分
例1 （1） ， ；
÷x
÷x
约去了分子与分母的公因式x，把 化为 .
约去了分子与分母的公因式3x，把 化为 .
新知探究
知识点2 分式的约分
例1 （1） ， ；
思考 根据分数的约分，由例1（1）你能想出如何对分式进行约分吗？
约分的定义：
像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
最简分式的定义：
像这样分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式．
新知探究
知识点2 分式的约分
怎么找公因式呢？
找公因式方法:
（1）找系数的最大公约数；
（2）找分子、分母相同因式的最低次幂；
（3）两者的乘积即为公因式.
新知探究
知识点2 分式的约分
解：（1） ；
例2 约分：
（1） ； （2） ； （3） .
分子、分母都是单项式，就直接找公因式约分
新知探究
知识点2 分式的约分
例2 约分：
（1） ； （2） ； （3） .
（2） ；
（3） .
分子、分母都是多项式，先分解因式，再找公因式约分
新知探究
知识点2 分式的约分
分式的约分的一般步骤
（1）若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公因式，即分子、分母系数的最大公约数和分子、分母中的相同字母的最低次幂的乘积；
（2）若分式的分子、分母中至少有一个是多项式，应先分解因式，再确定公因式并约去.
新知探究
约分：
（1） ； （2） .
跟踪训练
（2） .
解：（1） .
新知探究
分式的约分的注意事项
（1）当分子或分母被整个约去时，分子或分母变为1，而不是0；
（2）注意发现分式的分子、分母的一些隐含的公因式，如x-5与5-x表面虽不相同，但通过提取“-”可发现含有公因式（x-5）；
（3）若分式的分子或分母的系数是负数时，可利用分式的基本性质，把负号提到分式前面.
（4）约分的结果要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果是最简分式或整式.
新知探究
知识点3 分式的通分
分数的通分：根据分数的基本性质，把几个异分母的分数分别化成与原来的分数相等的同分母的分数，叫做分数的通分.
两题的运算过程叫分式的通分
新知探究
知识点3 分式的通分
×a
×a
利用分式的基本性质，将分子与分母乘同一个适当的整式，不改变分式的值，把 和 化成分母相同的分式.
例1 （2） ， ；
×b
×b
新知探究
知识点3 分式的通分
思考 根据分数的通分，由例1（2）你能想出如何对分式进行通分吗？
通分的定义：
像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.
例1（2） ， ；
新知探究
知识点3 分式的通分
为通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫最简公分母.
最简公分母
（1）各分母是单项式
3m的因式有3，m；2m2n的因式有2，m2，n
6
m2
n
示例：
新知探究
知识点3 分式的通分
（2）各分母中有多项式
x-y的因式有x-y；2x-2y的因式有2，x-y
分母可分解因式为2（x-y）
最简公分母
2
（x-y）
新知探究
知识点3 分式的通分
确定最简公分母的一般方法
（1）若各分母是单项式，最简公分母是各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂和所有不同字母及其指数的乘积；
（2）若各分母中有多项式，一般要先分解因式，再按照分母都是单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面确定最简公分母.
新知探究
知识点3 分式的通分
例3 通分：
（1） （2）
解：（1）最简公分母是2a2b2c.
新知探究
知识点3 分式的通分
例3 通分：
（1） （2）
解：（2）最简公分母是(x-5)(x+5).
新知探究
知识点3 分式的通分
约分和通分的联系与区别
联系：约分和通分都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，二者均不改变分式的值.
区别：约分是针对一个分式而言的，把分式的分子和分母的公因式约去，将分式化为最简分式或整式；而通分是针对多个异分母的分式而言的，将分式的分子和分母乘同一个适当的整式，使这几个异分母的分式化为同分母的分式.
课堂小结
分式的基本性质
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.
内容
作用
注意事项
分式约分和通分的依据.
（1）都乘或除以（不是加或减）；
（2）同一个；（3）不为零；（4）整式
课堂小结
分式的约分与通分
约分
通分
内容
找公因式的方法
（1）找系数的最大公约数；
（2）找分子分母相同因式的最低次幂；
（3）两者的乘积即为公因式.
把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式
把一个分式的分子与分母的公因式约去
内容
确定最简公分母的方法
从系数、相同因式、不同因式三个方面确定，注意多项式要先分解因式
课堂训练
1.（2021 广州模拟）下列分式中，最简分式是（ ）
D
A． B．
C． D．
2.（2021 石家庄一模）分式 可变形为（ ）
课堂训练
B
A． B．-
C． D．
课堂训练
3.（2021 衡阳模拟）下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ）
A． ＝ B． ＝x﹣y
C． ＝ D． ＝
D
4.（2021 邢台模拟）若把x，y的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
课堂训练
A
A． B．
C． D．
课堂训练
5.填空：
（1） （2）
（3） （4）
ab+b2
÷x3
÷x3
x
×100
×100
x-500
×（m-n）
×（m-n）
（m-n）2
课堂训练
解：
6.约分：
课堂训练
7.通分：
解：（1）最简公分母是6x2yz，
(2)
课堂训练
7.通分：
(2)
解：（2）最简公分母是(x+y)2(x-y),
课堂训练
8.先化简，再求值：
（1） ，其中a=-2，b=3.
（2） ，其中m=-4，n=2.
解：（1）
当a=-2，b=3时，原式= .
课堂训练
8.先化简，再求值：
（1） ，其中a=-2，b=3.
（2） ，其中m=-4，n=2.
当m=-4，n=2时，原式=-5.
解：（2）(共27张PPT)
第十五章 分式
15.2 分式的运算
15.2.1 分式的乘除
第1课时 分式的乘除
学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练
学习目标
1.类比分数的乘除法法则，探究并掌握分式的乘法法则和除法法则.（重点）
2.能熟练运用分式的乘除法法则进行计算.（难点）
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.
新课导入
复习引入
2.（1）分式的约分：
（2）最简分式：
1.分式的基本性质：
分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.
通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母.
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.
新课导入
复习引入
3.（1）分式的通分：
（2）最简公分母：
1.约分：（1） ；（2） .
新课导入
复习引入
练一练
2.通分： .
解：最简公分母是6ab3c2.
大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的 倍.
大拖拉机的工作效率是 hm2 /天；
新知探究
知识点 分式的乘除
问题2 大拖拉机m天耕地a hm2，小拖拉机n天耕地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的多少倍？
分式的除法运算
小拖拉机的工作效率是 hm2 /天；
新知探究
你还会计算下列算式吗？
你能说出分数的乘除法法则吗？
知识点 分式的乘除
1
3
新知探究
知识点 分式的乘除
分数乘以分数的法则：分数乘以分数，用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母.（能约分化简的要约分化简）
分数除以分数的法则：分数除以分数，等于被除数乘以除数的倒数.（能约分化简的要约分化简）
新知探究
分式的乘法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
上述法则可以用式子表示为：
思考 类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？
知识点 分式的乘除
新知探究
分式的除法法则：
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
上述法则可以用式子表示为：
知识点 分式的乘除
新知探究
知识点 分式的乘除
分式的乘法示例：
分母相乘
分子相乘
约分化简为最简分式
最简分式
y2
x
2
新知探究
知识点 分式的乘除
例1 计算：
（1） ； （2） .
解：（1）
（2）
结果要化为最简分式
结果要化为最简分式
负号可以提到整个分式的前边
新知探究
知识点 分式的乘除
例2 计算：
（1） ； （2） .
解：（2）
.
可看成
负号从哪里来？
新知探究
知识点 分式的乘除
分式的乘除法注意事项
（1）分式与分式相乘:
①若分子与分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，将结果化为最简分式或整式；
②若分子、分母是多项式，则先将分子、分母分解因式，再相乘，且其结果要化简为最简分式或整式.
新知探究
知识点 分式的乘除
分式的乘除法注意事项
（2）分式和整式相乘，要把整式（看作分母为1的“分式”）与分式的分子相乘作为积的分子，分母不变；当整式是多项式时，同样要先分解因式.
（3）分式乘除法的运算结果的符号的确定方法与分数的乘除的符号的确定方法相同，且其结果要通过约分化为最简分式或整式.
例3 如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a－1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500 kg.
（1）哪种小麦的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位
面积产量的多少倍？
新知探究
知识点 分式的乘除
1m
am
（a-1）m
新知探究
知识点 分式的乘除
∴“丰收2号”小麦的单位面积产量高.
解：（1）“丰收1号”小麦的试验田面积是(a2-1)m2，单位面积产量是 kg/m2；“丰收2号”小麦的试验田面积是(a－1)2
m2，单位面积产量是 kg/m2.
∵a＞1，∴（a－1）2＞0，a2-1＞0.
1m
am
（a-1）m
（a-1）m
由图可得（a－1）2＜a2-1.
∴ ＜ .
新知探究
知识点 分式的乘除
（2）
所以,“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的 倍.
课堂小结
分式的乘除法
分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
运算法则
式子表示
注意事项
（1）分子分母是多项式的，通常要先分解因式再按法则进行；（2）运用法则时要注意符号的变化；（3）化成最简分式或整式.
1.（2021 天津二模）计算： ＝（ ）
课堂训练
A
A．x B． C．y D．
2.（2021 济南长清区一模）化简 ÷ 是（ ）
B
A．m B．-m C． D．-
课堂训练
3．若 × ，则横线上的式子是 ( )
A． B． C． D．y
B
课堂训练
4.某数学老师在课堂上设计了一个接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是:每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算,再将计算结果传递给下一人，最后完成化简,过程如图所示.对于三个人的接力过程判断正确的是（ ）
C
A．三个人都正确 B．甲有错误
C．乙有错误 D．丙有错误
6.如果检测员在n分钟内可检查9个产品,那么他在2小时内可检查产品 个
课堂训练
5.计算（x2-xy）÷ 的结果是 .
x2
7.八年级的三位同学在一起讨论一个分式乘法题目：
甲：它是一个整式与一个分式相乘.
乙：在计算过程中， 用到了平方差公式进行因式分解.
丙：计算结果是 .
请你写出一个符合，上述条件的题目 .
课堂训练
课堂训练
8.先化简，再求值：
课堂训练
解：原式= .
当取m=1时，原式= .
不能选哪些数？
(2) ，其中m可选择一个你喜欢的值.
化简求值问题要注意字母的取值要使分数有意义！(共25张PPT)
第十五章 分式
15.2 分式的运算
15.2.1 分式的乘除
第2课时 分式的乘方及乘除混合运算
学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练
学习目标
1.进一步熟练分式的乘除法则,会进行乘、除法的混合运算.（重点）
2.了解并掌握分式的乘方法则.（重点）
3.能熟练运用分式的乘方法则进行计算，会进行含乘方的分式的乘除混合运算.（难点）
分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
新课导入
复习引入
（2）用式子表示：
1.（1）分式的乘法法则：
新课导入
复习引入
2.（1）分式的除法法则：
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
（2）用式子表示：
新课导入
复习引入
我们把这种运算叫做乘方.
n个a
3.
4.(1) (am)n＝ ；
(2) (ab)n＝ .
amn
anbn
1.计算：（1） ；
（2）（2021·长沙模拟） .
新课导入
复习引入
练一练
2.已知 ，则A= .
2x-3
新知探究
知识点1 分式的乘除混合运算
解：原式=
例1 计算：
乘除混合运算可以统一为乘法运算！
新知探究
分式乘除混合运算的一般步骤
（1）先把除法统一成乘法运算；
（2）分子、分母中能分解因式的多项式分解因式；
（3）确定分式的符号，然后约分；
（4）结果应是最简分式.
知识点1 分式的乘除混合运算
新知探究
跟踪训练
计算： .
解：
×
新知探究
思考 类比分数的乘方运算，你能计算下列各式吗？
10个
根据乘方的意义和分式的乘法法则即可求解.
知识点2 分式的乘方
新知探究
分式的乘方法则：
分式的乘方要把分子、分母分别乘方.
上述法则可以用式子表示为：
（n为正整数）.
知识点2 分式的乘方
新知探究
分式的乘方示例：
分母乘方
分子乘方
幂的乘方
积的乘方
知识点2 分式的乘方
新知探究
知识点2 分式的乘方
例1 计算：
解：
看成一个整体
新知探究
分式的乘方注意事项
（1）分数乘方一定要把分子、分母分别乘方;
（2）分式乘方时，首先确定乘方结果的符号（正数的任何次幂都为正；负数的偶次方为正，负数的奇次方为负），然后再做运算.
（3）分式乘方时，若分式的分子或分母是多项式，应把分子、分母分别看作一个整体乘方.
知识点2 分式的乘方
新知探究
知识点2 分式的乘方
例2 计算：
解：（1）原式
乘方
除法变乘法
乘法、约分
新知探究
知识点2 分式的乘方
例2 计算：
解：（2）原式
乘方
除法变乘法
乘法、约分
分解因式
看成一个整体
新知探究
含有乘方的分式乘除混合运算的步骤
（1）先算分式的乘方;
（2）除法变乘法；
（3）若分子或分母为多项式，要分解因式；
（4）进行乘法运算，约分得到结果.
（结果一定是最简分式或整式）
知识点2 分式的乘方
课堂小结
分式的乘方及乘除混合运算
法则
注意
事项
（1）分子、分母均乘方;（2）正数的任何次幂都为正；负数的偶次方为正，负数的奇次方为负；（3）把多项式看作一个整体乘方.
乘方
分式的乘方要把分子、分母分别乘方.即
（n为正整数）.
乘除混合运算（含有乘方）的步骤
（1）乘方;（2）除变乘；（3）多项式分解因式；（4）约分得最简分式或整式
课堂训练
A
1.计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．计算 的结果是 ( )
课堂训练
A
A． B． C． D．2y
【变式】计算: = .
课堂训练
3.计算： .
4.计算： .
-1
课堂训练
5.计算：（1） ；
解：（1）
（2） .
（2）
课堂训练
6.计算： .
回答：（1）观察上述计算过程，其中第一步使用的公式用字母表示为 ； （2）由第一步得到第二步所使用的运算方法是 ；
（3）以上两步中，第 步出现错误.
第一步
第二步
解：原式
a2-2ab+b2=(a-b)2，a2-b2=(a+b)(a-b)
约分
二
（2)当a=5时，其结果为 .
课堂训练
(3)请你选择一个你喜欢的数作为a的值，则a不可以取 .
解：原式
.
0，±1，-2
7.（1)化简： .
课堂训练
8.已知a=b+2018，求 的值.
解：
∵a=b+2018，∴a-b=2018，∴原式=2×2018=4036.(共26张PPT)
第十五章 分式
15.2 分式的运算
15.2.2 分式的加减
第1课时 分式的加减
学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练
学习目标
1.了解并掌握分式的加减法法则,并能熟练运用其进行计算.（重点）
2.能够进行异分母的分式加减法运算.（难点）
分式的乘方要把分子、分母分别乘方.
新课导入
复习引入
（2）用式子表示：
1.（1）分式的乘方法则：
（n为正整数）.
注意符号问题：正数的任何次幂都为 ；负数的偶次方为 ，负数的奇次方为 .
正
正
负
新课导入
复习引入
2.含有乘方的分式乘除混合运算的步骤：
（1）先算 ;
（2）除法变 法；
（3）若分子或分母为多项式，要 ；
（4）进行乘法运算，将结果约分成 或 .
乘方
乘
分解因式
最简分式
整式
计算：（1） ；
（2） .
新课导入
复习引入
练一练
乙工程队一天完成这项工程的 ，
新知探究
问题1 甲工程队完成一项工程需要n天，乙工程队要比甲队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？
甲工程队一天完成这项工程的 ，
两队共同工作一天完成这项工程的 .
分式的加法运算
知识点 分式的加减
新知探究
问题2 2009年、2010年、2011年某地的森林面积 (单位：km2) 分别是S1，S2，S3，2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？
2010年的森林面积增长率是 ，
2011年的森林面积增长率是 ，
2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了 .
分式的减法运算
知识点 分式的加减
新知探究
知识点 分式的加减
你能说出同分母分数的加减法法则吗？
同分母分数的加减法法则：
分母不变，只把分子相加减.
观察下列分数加减运算的式子，你还会计算吗？
新知探究
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.
上述法则可用式子表示为：
思考 同分母分式的加减法与同分母分数的加减法类似，它们的实质相同.你能将同分母分数的加减法法则推广，得出同分母分式的加减法法则吗？
知识点 分式的加减
新知探究
知识点 分式的加减
计算：(1) = ;
(2) = ;
(3) = .
做一做
新知探究
知识点 分式的加减
你能说出异分母分数的加减法法则吗？
异分母分数的加减法法则：
先通分，化成同分母的分数，再加减.
观察下列分数加减运算的式子，你还会计算吗？
新知探究
知识点 分式的加减
若把下列式子中的分母“2”全部换成字母“a”(a ≠0），“3”全部换成字母“b”(b ≠0），你还会计算吗？
新知探究
知识点 分式的加减
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
上述法则可用式子表示为：
思考 异分母分式的加减法与异分母分数的加减法类似，它们的实质相同.你能将异分母分数的加减法法则推广，得出异分母分式的加减法法则吗？
新知探究
知识点 分式的加减
计算：(1) = ;
(2) = .
做一做
新知探究
知识点 分式的加减
解：（1）原式
例1 计算：
（1） （2）
结果要化为
最简分式
分母不变，分子相减
合并同类项
约分
新知探究
知识点 分式的加减
例1 计算：
（1） （2）
解：（2）原式
通分，异化同
分母不变，分子相加
结果也可以写成
新知探究
知识点 分式的加减
分式的加减的一般步骤：
（1）通分：若为异分母分式，则应先转化为同分母分式；
（2）加减：写成分母不变、分子相加减的形式；
（3）合并：分子各项合并同类项；
（4）约分：分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式.
新知探究
解：原式=
=
=
=
分母是多项式先分解因式
（4） .
解：原式
看成是
跟踪训练
新知探究
分式的加减运算时的注意事项
（1）分式与整式相加减时，可把整式看作分母是1的式子，然后按异分母分式的加减法法则进行计算;
（2）异分母分式进行加减运算需要先通分，关键是确定最简公分母；
（3）分式的分子是多项式时，在进行运算时要适时添加括号，尤其注意减式的分子是多项式的情况；
（4）最终的结果应是最简分式或整式.
课堂小结
分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
法则
运算步骤
（1）通分；（2）加减；（3）合并；
（4）约分.
注意事项
2.（2021 南充）下列运算正确的是（ ）
课堂训练
D
1.（2021 天津和平区一模）计算 - 的结果是（ ）
A．1 B．3 C． D．
D
A． B．
C． D．
4.（2021 天津红桥区二模）计算 - 的结果是
（ ）
课堂训练
3．（2021 邯郸三模） ＝（ ）﹣
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．任意实数
A
D
A．1 B．m-2 C． D．
课堂训练
5.计算：(1)（2021 广州花都区三模） ＝ ；
1
(2)（2021 自贡） - = ；
(3)（2021 武汉模拟） = ．
6
6.如果 ，ab=4，那么a+b的值为 .
课堂训练
7．（2021 衢州）先化简，再求值： + ，其中x＝1．
解：原式＝ - = = ＝x+3.
当x＝1时，原式＝1+3＝4．
课堂训练
9.（2021 乐山）已知 ，求A、B的值．
解：
∵ ，
∴A+B=2,2A+B=6.解得A=4，B=-2.
课堂训练
10.在计算 时，小明把运算符号“÷”看成立“+”，得到的计算结果是m，那么你能帮他写出这道题的正确结果吗？
解：根据题意知， .
∴
∴ =m.(共24张PPT)
第十五章 分式
15.2 分式的运算
15.2.2 分式的加减
第2课时 分式的混合运算
学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练
学习目标
1.明确分式混合运算的顺序.（重点）
2.能熟练地进行分式的混合运算，会灵活地运用运算律使运算简便．（难点）
新课导入
复习引入
同分母相加减：
异分母相加减：
1.乘法：
2.除法：
4.加减法
3.乘方：
分式的运算法则
新课导入
复习引入
分式运算的注意事项
1.分式与整式作运算，可把整式看作分母是1的式子;
2.（1）分式相乘除，若分子、分母是多项式，则先将其分解因式；（2）分式乘方，要先确定其结果的符号:正数的任何次幂都为正；负数的偶次方为正，负数的奇次方为负；若分式的分子或分母是多项式，应把分子、分母分别看作一个整体乘方.（3）分式相加减时，若分子是多项式，要适时添加括号，尤其注意减式的分子是多项式的情况；
3.最终的结果应化为最简分式或整式.
新知探究
思考 我们已经学过了分式乘除、乘方的运算法则和分式加减的运算法则，那么将分式的乘除、乘方和加减运算混合在一起，应该怎么计算呢？
知识点 分式的混合运算
我想:它应该和我们以前学习过的分数的混合运算的方法和运算顺序是一样的.
新知探究
知识点 分式的混合运算
有理数的混合运算法则：
1．先算乘方，再算乘除，最后算加减；
2．同级运算，按照从左至右的顺序进行；
3．如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，然后算大括号里的.
新知探究
先算乘方
再算乘法
然后算减法
例1 计算 .
解：原式
最后约分化简
知识点 分式的混合运算
新知探究
先算括号里的
再算乘法
最后化简
解：原式
例2 计算：(1) ；
知识点 分式的混合运算
新知探究
先算括号里的
再算乘法
最后化简
例2 计算：
解：原式
知识点 分式的混合运算
新知探究
知识点 分式的混合运算
分式的混合运算的顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减，
有括号的先算括号里面的.
新知探究
知识点 分式的混合运算
解：原式
例3 计算： .
你也是这样做的吗？这样做正确吗？
可将a+b看成一个整体，然后分解因式
新知探究
知识点 分式的混合运算
解：原式
例2 计算： .
你还有其他更简便的解法吗？
可将a+b看成一个整体，然后利用乘法分配率
分式混合运算应根据式子的特点，选择灵活简便的方法计算，注意使用运算律.
新知探究
知识点 分式的混合运算
例4 （2021 烟台）先化简，再求值： ，从﹣2＜x≤2中选出合适的x的整数值代入求值．
解：原式=[ ]·
= ·
= = .
新知探究
知识点 分式的混合运算
例4 （2021 烟台）先化简，再求值： ，从﹣2＜x≤2中选出合适的x的整数值代入求值．
∵﹣2＜x≤2且（x+1）（x﹣1）≠0，2﹣x≠0，
∴x的整数值为﹣1，0，1，2且x≠±1，2，
∴x＝0，
当x＝0时，原式＝ ＝﹣1．
作为除式的分式，其分子也不能为0.
课堂小结
分式的混合运算
先算乘方，再算乘除，最后算加减，
有括号的先算括号里面的.
运算顺序
运算技巧
1.同级运算自左向右进行；
2.运算律可简化运算
2.（2021 眉山）化简（1+ ）÷ 的结果是（ ）
课堂训练
B
A．a+1 B． C． D．
1.（2021 临沂）计算（a﹣ ）÷（ ﹣b）的结果是（ ）
A．- B． C．- D．
A
4.（2021 天津红桥区二模）计算 - 的结果是
（ ）
课堂训练
3．（2021 邯郸三模） ＝（ ）﹣
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．任意实数
A
D
A．1 B．m-2 C． D．
课堂训练
3．（2021 包头）化简： ＝ .
4．（2021 南京）计算: ．
1
解：原式＝[ - + ]
＝
＝
＝ .
课堂训练
解：
方法一：原式
5.用两种方法计算： .
课堂训练
解：
方法二：原式
5.用两种方法计算： .
课堂训练
6．（2021 毕节）先化简，再求值： ÷（a﹣ ），其中a＝2，b＝1．
解：原式＝ ÷ =
＝ .
当a＝2，b＝1时，原式＝ ＝3．
课堂训练
7．（2021 鄂尔多斯）先化简 ÷（2x﹣ ），再从﹣2，0，1，2中选取一个合适的x的值代入求值．
解：原式＝ =
＝ =- .
∵x≠0，2，﹣2，∴当x＝1时，原式＝﹣ .
．
课堂训练
8．（2021 菏泽）先化简，再求值：1+ ÷ ，其中m，n满足 =- ．
解：原式＝1+ = 1-
＝ + = .
∵ =- ，∴m＝﹣ n.
∴原式＝ = ＝-6．
课堂训练
9．（2021 达州）化简求值：（1﹣ ）÷( )，其中a与2，3构成三角形的三边，且a为整数．
解：原式＝ =
又∵a﹣2≠0,a﹣4≠0,∴a≠2且a≠4,∴a＝3.
当a=3时，原式＝﹣2a+4＝﹣2×3+4＝﹣6+4＝﹣2．
＝﹣2(a﹣2)＝﹣2a+4.
∵a与2，3构成三角形的三边，∴3﹣2＜a＜3+2,即1＜a＜5.
∵a为整数，∴a＝2,3或4.(共27张PPT)
第十五章 分式
15.2 分式的运算
15.2.3 整数指数幂
第1课时 负整数指数幂
学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练
学习目标
1.探索负整数指数幂的意义，掌握整数指数幂的运算性质.（重点）
2.能熟练运用整数指数幂的运算性质进行计算.（难点）
新课导入
复习引入
同底数幂的乘法 am·an= (m，n都是正整数).
幂的乘方 (am)n= (m，n都是正整数).
积的乘方 (ab)n= (n是正整数).
同底数幂的除法 am ÷ an = (a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n).
分式的乘方
am+n
am-n
anbn
amn
（b≠0，n为正整数）.
正整数指数幂的运算性质
新课导入
复习引入
0指数幂：
当a≠0时，a0= .
1
新课导入
复习引入
计算：（1）a3·a2= ；（2）（m4）3= ；
（3）（x2y4）4= ；（4）a3÷a2= ；
（5） （6）c3÷c3= .
练一练
a5
；
m12
x8y16
a
1
新知探究
思考 am中指数m可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂am表示什么？
知识点 负整数指数幂
计算：a3 ÷a5= (a ≠0)
新知探究
知识点 负整数指数幂
我是根据分式的约分计算的：
am÷an=am-n(a≠0,m,n是正整数，m>n)
假设把该运算性质中的m>n这个条件去掉，那么a3÷a5=a3-5=a-2.
a-2与 相等吗？
新知探究
负整数指数幂：
为了使上述运算适用范围更广，同时也可以更简便地表示分式，数学中规定：
一般地，当n是正整数时， （a≠0）.
这就是说a-n（a≠0）是an 的倒数.
知识点 负整数指数幂
新知探究
知识点 负整数指数幂
am·an=am+n这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然使用.
你可以用负整数指数幂或0指数幂对于其他正整数指数幂的运算性质进行验证，看看这些性质在整数指数幂范围内是否还使用.
动手算一算吧！
新知探究
知识点 负整数指数幂
在引入负整数指数幂后，指数的取值范围就由正整数推广到全体整数，以前学过的所有正整数指数幂的运算性质也推广到整数指数幂.因此，整数指数幂的运算性质使用之前学过的正整数指数幂的公式.
新知探究
知识点 负整数指数幂
同底数幂的乘法 am·an=am+n(m，n都是整数).
幂的乘方 (am)n=amn(m，n都是整数).
积的乘方 (ab)n=anbn(n是整数).
同底数幂的除法 am÷an =am-n(a≠0，m，n都是整数).
分式的乘方
（b≠0，n为整数）.
新知探究
解：（1） ;
(2) ;
例1 计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
（3） ；
知识点 负整数指数幂
新知探究
例1 计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
（4） .
整数指数幂的运算结果一般要用正整数指数幂来表示.
知识点 负整数指数幂
新知探究
知识点 负整数指数幂
(1) 根据整数指数幂的运算性质，
当m,n为整数时，am ÷an=am-n
又am ·a-n=am-n
即同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法.
即商的乘方可以转化为积的乘方.
因此am ÷an=am ·a-n.
(2) 特别地， ,所以 .
新知探究
知识点 负整数指数幂
整数指数幂的运算性质可以归结为：
（1）am·an=am+n(m，n都是整数)；
（2）(am)n=amn(m，n都是整数)；
（3）(ab)n=anbn(n是整数).
新知探究
1.若(a-1)-1有意义,则a的取值范围是( )
A . a≠0 B. a≠2 c. a≠-l D.a≠l
跟踪训练
【解析】∵(a-1)-1有意义,∴a-1≠0，即a≠1.故选D.
D
当指数为负数和0时，一定要保证底数不是零.
新知探究
2.计算：
(1)a2b－2·(a－2b)3； (2)(3x2y－2)2÷(x－2y)3；
(3)(3×10－5)3÷(3×10－6)2.
跟踪训练
解：(1)原式＝a2b－2·a－6b3＝a－4b
(2)原式＝9x4y－4÷x－6y3＝9x4y－4·x6y－3＝9x10y－7
(3)原式＝(27×10－15)÷(9×10－12)＝3×10－3
新知探究
跟踪训练
3.求证：
(1) (2)
证明：(1)
(2)
新知探究
跟踪训练
负整数指数幂的三个常用结论：
（1）an与a-n互为倒数；
拓展点
（2） ；
（3） .
课堂小结
整数指数幂
负整数指数幂
零指数幂
当a≠0时，a0=1.
整数指数幂
一般地，当n是正整数时， （a≠0）.
这就是说a-n（a≠0）是an 的倒数.
整数指数幂的运算性质可以归结为：
（1）am·an=am+n(m，n都是整数)；
（2）(am)n=amn(m，n都是整数)；
（3）(ab)n=anbn(n是整数).
课堂训练
1. (2021 巴中)下列各式的值最小的是( )
A.20 B.|-2| C.2-1 D.-(-2)
2. 若a=-0.32, b=3-2,c= ,则a、b、c的大小关系是( )
A.a＜b＜c B.b＜a＜c
C.a＜c＜b D.c＜a＜b
C
A
课堂训练
3.(2021 定兴县一模)计算 的结果为( )
A.2-7 B.27 C.-48 D.-4-8
4．（2021 绥化）定义一种新的运算：如果a≠0．则有a▲b＝a﹣2+ab+
|﹣b|，那么（﹣ ）▲2的值是（ ）
A．﹣3 B．5 C．﹣ D．
A
B
课堂训练
5.(2021 吉安模拟)若3n= ，则n= .
6．（2021 保定竞秀区一模）若4﹣3×4﹣1×40＝4p，则p的值为 ．
-3
-4
课堂训练
7.计算：
（1） = ;
（2） = ；
（3） = ;
（4） = .
课堂训练
8.计算：-1-2022+（2022-π）0-( ）-2+（-2）3.
解：原式= +1- +(-8)
=1+1-9-8
=-15.
课堂训练
9.计算：（1） ；
（2） .
解：（1）原式
课堂训练
9.计算：（1） ；
（2） .
解：（2）原式(共27张PPT)
第十五章 分式
15.2 分式的运算
15.2.3 整数指数幂
第2课时 用科学记数法表示小于1的正数
学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练
学习目标
1.掌握用科学记数法表示较小的数的方法.（重点）
2.理解科学记数法中的指数与小数点后面零的个数的关系.（难点）
新课导入
复习引入
负整数指数幂：
当指数为负整数或0时，一定要保证底数 .
不为 0
一般地，当n是正整数时， （a≠0）.这就是说 （a≠0）是 的倒数.
新课导入
复习引入
同底数幂的乘法 am·an= (m，n都是整数).
幂的乘方 (am)n= (m，n都是整数).
积的乘方 (ab)n= (n是整数).
同底数幂的除法 am ÷ an = (a≠0，m，n都是整数).
分式的乘方
am+n
am-n
anbn
amn
（b≠0，n为整数）.
整数指数幂的运算性质
新课导入
复习引入
0指数幂：
当a≠0时，a0= .
1
新课导入
复习引入
计算：（1）a-3·a4= ；（2）（m4）-3= ；
（3）（x-2y4）-4= ；（4）a3÷a-2= ；
（5） （6）c-3÷c-3= .
练一练
a
；
m-12
1
a5
新知探究
知识点 科学记数法
你还会把468000写成科学记数法的形式吗？
我们已经知道，一些较大的数适合用科学记数法表示.例如，光速约为3×108m/s，太阳的半径约为6.96×105km，2010年世界人口数约为6.9×109等.
468000=4.68×
a×10n
新知探究
知识点 科学记数法
我是这样想的：
等于原数的整数位数“-1”
整数位数为“6”
大于1，但小于10
105
= ；
= ;
= ;
······
新知探究
思考 0.00468能不能也用科学记数法表示呢？
想：0.00468=
10-2
10-1
10-3
4.68 ×10-3.
有了负整数指数幂后，小于1的正数也可以用科学记数法表示.
知识点 科学记数法
新知探究
用科学记数法表示小于1的正数：小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的形式，其中1≤a<10，n是正整数.
知识点 科学记数法
思考 对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一个非0数字前有8个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数是多少？如果有m个0呢？
新知探究
知识点 科学记数法
对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一个非0数字前有8个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数是-9；如果有m个0，10的指数是-m-1.
我认为10的指数应该是-8和-m.
谁对谁错
新知探究
知识点 科学记数法
指数-n中的n与原数中左起第一个非0数字前0的个数（包括小数点前的那个0）相等.
你发现了什么？
1×10-2
1×10-1
1×10-3
0.1
0.01
0.001
新知探究
知识点 科学记数法
名称 定义 确定n的方法
绝对值大于1的数的科学记数法 把一个绝对值大于1的数表示成 a×10n 的形式，其中 a 的取值范围是1≤∣a∣<10，n 为正整数. n 的值等于这个数的整数位数减1.
绝对值小于1的数的科学记数法 把一个绝对值小于1的数表示成 a×10-n 的形式，其中 a 的取值范围是1≤∣a∣<10，n 为正整数. n 的值是这个数左起第一个不为 0 的数字前面 0 的个数（包括小数点前的那个 0 ）.
新知探究
知识点 科学记数法
例1 用科学记数法表示下列各数：
（1）0.0000000397； （2）-0.0000506.
解：（1）0.0000000397=
方法一：第一个不为0的数字是3，3的前面有8个0（包括小数点前面的0），则n的值就是8.
10-8;
方法二：0.0000000397中的小数点向右移动8位才是3.97，所以n=8.
3.97×
新知探究
知识点 科学记数法
例1 用科学记数法表示下列各数：
（1）0.0000000467； （2）-0.0000506.
解：（2）-0.0000506=-5.06×
方法一：第一个不为0的数字是5，5的前面有5个0（包括小数点前面的0），则n的值就是5.
10-5.
方法二：0.0000506中的小数点向右移动5位才是5.06，所以n=5.
用科学记数法表示后，仍然带上符号“-”.
新知探究
知识点 科学记数法
用科学记数法表示小于1的数的一般步骤
（2）确定n：确定n的方法有两种：①n等于原数中左起第一个非0数前0的个数（包括小数点前的那个0）；②小数点向右移到第一个非0的数后，小数点移动了几位，n就等于几；
（3）将原数用科学记数法表示为a×10-n.
（1）确定a：a是绝对值大于或等于1且小于10的数；
新知探究
知识点 科学记数法
注意事项
（1）对于大于-1的负数也可以类似地用科学记数法表示，即绝对值小于1的数都可以用科学记数法表示成a×10-n的形式（其中1≤∣a∣<10，n是正整数）；（2）用科学记数法表示绝对值小于1的数时，10的指数是负数，一定不要忘记指数n前面的“-”号；（3）用科学记数法表示一个负数时，不要忘了前面带“-”号，用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示结果也应带有单位.
新知探究
知识点 科学记数法
例2 将下列用科学记数法表示的数还原.
（1）9×10-4= ；
（2）-3.05×10-5= ；
（3）4.62×10-6= ；
（4）2.17×10－1= .
0.0009
-0.0000305
0.00000462
【解析】n的值是“几”，则说明第一个不为0的数字前面有“几”个“0”（包含小数点前的“0”）.
0.217
新知探究
知识点 科学记数法
例3 纳米(nm)是非常小的长度单位，1nm=10-9m.把1nm3的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上.1mm3的空间可以放多少个1nm3的物体（物体之间的间隙忽略不计）？
解：1mm=10-3m，1nm=10-9m.
(10-3)3÷(10-9)3=10-9÷10-27=10-9-(-27)
=1018.
1mm3的空间可以放1018 个1nm3的物体.
1018是一个非常大的数，它是一亿（即108）的100亿（即1010）倍.
新知探究
1.（2021·通辽）冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约为0.00000012米，数据0.00000012用科学记数法表示为 .
跟踪训练
1.2×10-7
2.(2021·南京玄武区二模)纳米( nm )是非常小的长度单位，lnm=
10-9m,我国某物理研究所已研制出直径为0.5nm的碳纳米管, 用科学记数法表示0.5nm是 m.
5×10-10
3.(2021·云南模拟)一种细菌的半径是1.91×10-5米,用小数表示为
米.
0.0000191
课堂小结
用科学记数法表示小于1的正数
定义
步骤
小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的形式，其中1≤a<10，n是正整数.
（1）确定a：1≤ <10；（2）确定n：n等于原数中左起第一个非0数前0的个数（包括小数点前的那个0）；（3）写成a×10-n的形式.
2．（2021 石家庄一模）0.00007用科学记数法表示为a×10n，则
（ ）
A．a＝7，n＝﹣5 B．a＝7，n＝5
C．a＝0.7，n＝﹣4 D．a＝0.7，n＝4
课堂训练
1.（2021 鄂尔多斯）世卫组织宣布冠状病毒最大直径约为0.00000012m，“0.00000012”用科学记数法可表示为（ ）
A．1.2×10﹣7 B．0.12×10﹣6 C．12×10﹣8 D．1.2×10﹣6
A
A
4．（2021 衡水模拟）我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了 米，用科学记数法表示 为（ ）
A．2×10﹣5 B．2×10﹣6 C．5×10﹣5 D．5×10﹣6
3．（2021 宁波模拟）若 用科学记数法表示为1.8×10﹣10，则n的值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
课堂训练
A
D
课堂训练
5．（2021 聊城）已知一个水分子的直径约为3.85×10﹣9米，某花粉的直径约为5×10﹣4米，用科学记数法表示一个水分子的直径是这种花粉直径的（ ）
A．0.77×10﹣5倍 B．77×10﹣4倍
C．7.7×10﹣6倍 D．7.7×10﹣5倍
【解析】根据题意，得（3.85×10﹣9）÷（5×10﹣4）＝（3.85÷5）×（10﹣9÷10﹣4）＝0.77×10﹣5＝7.7×10﹣6，故选C．
C
课堂训练
6.用小数表示下列各数.
（1）6×10-6= ；
（2）3.14×10-3= ；
（3）1.8×10-8= ；
（4）5.07×10－1= .
0.000006
0.00314
0.000000018
0.507
课堂训练
7.比较大小：
（1）4.01×10－4_______4.01×10－3；
（2）2.01×10－4________8.01×10－4.
＜
＜
课堂训练
（2）
注意科学记数法表示的数是一个整体，要用括号括起来.
8.用科学记数法表示的数的计算：
（1） ； （2） .
解：（1）
最终结果要用科学记数法表示.(共40张PPT)
第十五章 分式
15.3 分式方程
第1课时 分式方程及其解法
学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练
学习目标
1.了解分式方程的概念；掌握解分式方程的基本思路和解法；掌握分式方程验根的方法.（重点）
2.理解分式方程可能无解的原因.（难点）
新课导入
复习引入
方程的概念：
两者都是整式方程.
一元一次方程：
二元一次方程：
指含有未知数的等式.
指只含有一个未知数，未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式.
指含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.
方程里面所有的未知数都出现在分子上，分母只是常数而没有未知数.
新课导入
复习引入
解方程:
练一练
解：去分母，得3(x+2)-2(2x-3)=12.
去括号，得3x+6-4x+6=12.
移项、合并同类项，得-x=0.
系数化为1，得x=0.
新知探究
知识点1 分式方程的定义
思考1 一辆汽车从甲地开往乙地需要5小时，返回时每小时少行驶15千米，多用了1小时，求甲、乙两地间的距离是多少千米？
设甲、乙两地间的距离是x千米，则你列得的方程为 .
新知探究
知识点1 分式方程的定义
思考2 一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江流顺流航行90 km所用的时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，则江水的流速为多少？
设江水的流速为多少vkm/h，则你列得的方程为 .
新知探究
知识点1 分式方程的定义
观察得到的两个方程，两者有什么区别？
分母中不含未知数
分母中含有未知数
是我们学习过的一元一次方程.
这样的方程叫分式方程.
新知探究
知识点1 分式方程的定义
分式方程的定义：
分母中含未知数的方程叫做分式方程.
新知探究
（1）分式方程必须满足的条件：①是方程；②含有分母；③分母中含有未知数.三者缺一不可.
判断一个式子是否为分式方程的注意事项
（2）分母中含有字母的方程不一定是分式方程，如关于x的方程
分母中虽然含有字母m，但m不是未知数，所以该方程是整式方程.
新知探究
思考 如何解分式方程 ？
知识点2 分式方程的解法
3x+6-4x+6=12
-x=0
3(x+2)-2(2x-3)=12
x=0
去分母
去括号
移项、合并同类项
系数化为1
新知探究
知识点2 分式方程的解法
问题 方法
如何把它转化为整式方程呢？
怎样去分母？
在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？
把方程的两边乘各分母的最简公分母
去分母
(30+v)(30-v)
解分式方程最关键的问题.
新知探究
知识点2 分式方程的解法
解：方程两边乘(30+v)(30-v)，得
90(30-v)=60(30+v).
解得 v=6.
检验：将v=6代入原分式方程中，左边= =右边，
因此v=6是原分式方程的解.
新知探究
解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”， 即方程两边乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.
知识点2 分式方程的解法
新知探究
知识点2 分式方程的解法
解：方程两边乘(x+5)(x-5)，得
x+5=10.
解得 x=5.
下面我们再讨论一个分式方程： .
将x=5代入原分式方程检验，发现这时分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此，x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程 的解.实际上，这个分式方程无解.
x=5是原分式方程的解吗？
新知探究
知识点2 分式方程的解法
思考 上面两个分式方程中，为什么 去分母后所得整式方程的解就是①的解，而 去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？
新知探究
知识点2 分式方程的解法
方程的两边乘
(30+v)(30-v)
90(30-v)=60(30+v)
v=6
解得
代入
(30+v)(30-v)=(30+6)(30-6)≠0.
这就是说，去分母时，方程两边乘了同一个不为0的式子,因此所得整式方程的解与该分式方程的解相同.
新知探究
知识点2 分式方程的解法
方程的两边乘
(x-5)(x+5)
x+5=10
x=5
解得
代入
(x-5)(x+5)=(5-5)(5+5)＝0.
这就是说，去分母时，方程两边乘了同一个等于0的式子,这时所得整式方程的解使该分式方程出现分母为0的现象，因此这样的解不是该分式方程的解.
新知探究
知识点2 分式方程的解法
一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：
分式方程的检验方法：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
解分式方程必不可少的步骤.
新知探究
知识点2 分式方程的解法
例1 解方程
解：方程两边乘x(x-3),得
2x=3x-9.
解得
x=9.
检验：当x=9时，x(x-3)≠0.
所以，原分式方程的解为x=9.
新知探究
知识点2 分式方程的解法
例2 解方程
解：方程两边乘(x-1)(x+2),得
x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.
解得
x=1.
检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0,因此x=1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
将分式方程转化为整式方程，若整式方程的解使分式方程的最简公分母为0，则这个解叫做原分式方程的增根.
拓展点
x=1是该分式方程的增根.
常数项“1”也要乘以最简公分母.
新知探究
知识点2 分式方程的解法
分式方程
整式方程
x=a
x=a是分式
方程的解
x=a不是分式
方程的解
最简公分母不为0
最简公分母为0
检验
解整式方程
去分母
目标
简记为：一去二解三检验.
解分式方程的一般步骤
新知探究
分解因式
约分
方程两边乘（a+2)(a-2),得 6(a-2)-（a+3)（a+2)+a2=0.
解得 a=18.
检验：当a=18时，（a+2)(a-2)≠0.
所以，原分式方程的解为a=18.
例3 解关于a的方程：
知识点2 分式方程的解法
解：方程可变形为
整理，得
不要忘记括号
新知探究
知识点2 分式方程的解法
（1）①当分式方程中含有可分解因式的多项式时,先将其进行因式分解,可方便确定最简公分母；②分母因式分解后,观察分式的分子和分母，能约分的要先约分,可方便计算;
（2）解分式方程的关键是去分母，在去分母时，分式方程两边的每一项都要乘最简公分母，注意不要漏乘不含分母的项；
解分式方程的注意事项
新知探究
知识点2 分式方程的解法
（3）如果分式的分子是多项式，那么去分母时，一定要先将分子加上括号；
（4）因为解分式方程可能会产生不适合原方程的解，所以检验是解分式方程的必要步骤.
解分式方程的注意事项
新知探究
知识点3 含有字母的分式方程的解法
例4 解关于x的分式方程：
【分析】原方程是关于x的分式方程，则x表示未知数，a、b表示已知数，将字母a、b看作是常数，按照解一般分式方程的步骤即可.
该分式方程中除了含有表示未知数x的字母外，还含有表示已知数的字母a、b，这样的方程叫做含有字母的分式方程.
新知探究
例4 解关于x的分式方程：
解：方程两边乘abx,得
bx-a2b=ax-ab2.
方程两边除以a-b,得
x=-ab.
检验：当x=-ab时，abx=-a2b2≠0,因此x=-ab是原分式方程的解.
整理,得
（a-b）x=-ab（a-b）.
因为a≠b，所以a-b≠0.
知识点3 含有字母的分式方程的解法
新知探究
含有用字母表示的已知数的分式方程的解法与含数字系数的分式方程的解法一样,也是去分母、解整式方程、检验这三个步骤，只是字母所表示的数未确定，所以要注意:(1)去分母时两边同时乘以最简公分母，需验证最简公分母是否等于0;(2)在系数化为1时，要注意分类讨论，系数是不是0.
含有字母的分式方程的解法及注意事项
知识点3 含有字母的分式方程的解法
新知探究
例5 （2021 雅安）若关于x的分式方程2﹣ ＝ 的解是正数，则k的取值范围是 ．
求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.
【解析】方程两边乘x-2，得2（x﹣2）-（1﹣k）=﹣1.解得x= .
∵分式方程的解为正数，且x≠2，∴ ,且 .
解得k＜4且k≠0.故答案为k＜4且k≠0．
k＜4且k≠0
知识点3 含有字母的分式方程的解法
新知探究
例6 若分式方程 ＝ 无解，求实数a的值.
分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．
①分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数；②分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．
无解与增根的区别
知识点3 含有字母的分式方程的解法
新知探究
例6 若分式方程 ＝ 无解，求实数a的值.
解：方程两边乘(x-2)2，得x﹣2＝ax﹣3.整理，得（a﹣1）x＝1.
∵分式方程无解，
∴(1)最简公分母为0，即x＝2，把x＝2代入（a﹣1）x＝1,得2（a﹣1）＝1，解得a＝ ;
(2)整式方程（a﹣1）x＝1无解，即a﹣1＝0，解得a＝1．
故实数a的值为1或 .
知识点3 含有字母的分式方程的解法
课堂小结
分式方程及其解法
定义
解分式方程的步骤
分母中含未知数的方程叫做分式方程.
一去：去分母，将分式方程转化为整式方程；二解：解整式方程；三检验：将结果代入最简公分母看是否为零.
注意
事项
（1）能分解因式（约分）的要先分解因式（约分）；（1）去分母时不要漏乘不含分母的项；（2）若分子是多项式，去分母时，要将分子加上括号；（3）不要忘记检验.
课堂训练
1.下列关于x的方程，是分式方程的是（ ）
B
A． B．
C． D．
2．(2021·成都金牛区模拟)方程 去分母后的结果正确的是( )
A.2-1-x=1 B.2-1+x=1
C.2-l+x=2x D.2-1-x=2x
C
课堂训练
D
B
3．（2021 广州）方程 ＝ 的解为（ ）
A．x＝﹣6 B．x＝﹣2
C．x＝2 D．x＝6
4．（2021 怀化）定义a b＝2a+ ，则方程3 x＝4 2的解为（ ）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
课堂训练
x＝1
x＝3
5．(1)（2021 海南）分式方程 ＝0的解是 ；
(2)（2021 常德）分式方程 + ＝ 的解为
．
6．（2021 达州）若分式方程 ﹣4＝ 的解为整数，则整数a＝ ．
课堂训练
±1
【解析】方程两边乘（x+1）（x﹣1），得
（2x﹣a）（x+1）﹣4（x+1）（x﹣1）＝（x﹣1）（﹣2x+a）.
整理,得ax＝2.∵a为整数，∴解得x= .
∵x为整数，且x≠±1，∴a＝±1．故答案为±1．
课堂训练
7.解下列方程：（1）（2021 广西） = +1；
解：方程两边乘3（x+1），得
3x＝x+3x+3.
解得x＝﹣3.
检验：当x＝﹣3时，3（x+1）≠0.
所以，原分式方程的解为x＝﹣3．
课堂训练
（2）（2021 连云港） - ＝1；
解：方程两边乘（x+1）（x﹣1），得
（x+1）2﹣4＝（x+1）（x﹣1）.
整理,得 2x﹣2＝0.
解得 x＝1．
检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
因此x＝1不是原分式方程的解．
所以原分式方程无解．
课堂训练
（3） .
解：原分式方程可化为 .
方程两边同乘(2x+1)(2x-1)，得x+1=3(2x-1)-2(2x+1) .
解得 x=6.
检验：当x=6时，(2x+1)(2x-1)≠0，
所以,原分式方程的解是x=6.
课堂训练
8.已知关于x的分式方程 的解与方程 的解相同，求a的值.
解：解分式方程 ，得x=2.经检验，x=2是原方程的解.
因为关于x的分式方程 的解与方程 的解相同.
所以将x=2代入 ，可得 .
解得a=-3.
经检验，a=-3是方程 的解，所以a=-3.
课堂训练
9.若关于x的分式方程 有解，求k的取值范围.
解：方程两边乘x(x-1)，得6x=x+3-k(x-1).整理，得(5+k)x=3+k.
因为原分式方程有解，所以①整式方程(5+k)x=3+k有解，即5+k≠0；
②x(x-1)≠0，即x≠0，x≠1.
解得整式方程(5+k)x=3+k，得 .
所以5+k≠0， ， .解得k≠-3且k≠-5.
所以k的取值范围是k≠-3且k≠-5.(共31张PPT)
第十五章 分式
15.3 分式方程
第1课时 分式方程及其解法
学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练
学习目标
1.会列分式方程解决实际问题.（重点）
2.能根据题意找出正确的等量关系，列出分式方程并求解，会根据实际意义验证结果是否合理.（难点）
新课导入
复习引入
1.分式方程的定义：
2.解分式方程的一般步骤：
4.分式方程无解有两种情况：
分母中含未知数的方程叫做分式方程.
一去二解三检验.
①使最简公分母为0的数；
②分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．
3.分式方程验根的方法：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
2．（2021 黄石）分式方程 + ＝3的解是 ．
新课导入
复习引入
练一练
x=3
x=4
1．（2021 醴陵市模拟）分式方程 的解是 ．
3．已知x＝1是分式方程 的解，则a的值为 ．
-3
新知探究
知识点 列分式方程解决实际问题
例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？
工程问题：工作总量=工作效率×工作时间
两队半个月完
成总工程的 .
乙队半个月完成总
工程的 .
甲队半个月完成总
工程的 .
新知探究
知识点 列分式方程解决实际问题
例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？
设乙队单独施工1个月
能完成总工程的 .
甲队单独施工1个月完成总工程的
分析：
新知探究
例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？
知识点 列分式方程解决实际问题
甲队单独完成的工作总量+两队合作完成的工作总量=“1”
等量关系：
+
新知探究
解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的 ，记总工程量为1，根据工程的实际进度，得
方程两边乘6x，得2x+x+3=6x.解得x=1.
检验：当x=1时，6x≠0.
所以，原分式方程的解为x=1.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的 ，可知乙队的施工速度快.
知识点 列分式方程解决实际问题
新知探究
知识点 列分式方程解决实际问题
工作时间（月） 工作效率 工作总量（1）
甲队
乙队
分析：
你列出的方程是这样吗？这道题的等量关系还可以怎么找？
设乙队单独施工1个月能完成总工程的 .
甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量=“1”
新知探究
等量关系：
知识点 列分式方程解决实际问题
列得分式方程：
新知探究
知识点 列分式方程解决实际问题
例2 某次列车平均提速v km/h，用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？
分析：题目中的v、s均表示已知数据，设提速前列车的平均速度为x km/h，那么提速前行驶s km所用的时间为 h，提速后列车的平均速度为 km/h，提速后列车运行(s+50) km所用时间为 h.
(x+v)
行程问题：路程=速度×时间
新知探究
知识点 列分式方程解决实际问题
例2 某次列车平均提速v km/h，用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？
提速前行驶s km所用时间=提速后行驶(s+50)km所用时间
等量关系：
新知探究
知识点 列分式方程解决实际问题
解：设提速前这次列车的平均速度为x km/h，则提速前它行驶s km所用时间为 h，提速后列车平均速度为(x+v) km/h，提速后它行驶(s+50) km所用时间为 h.
根据行驶时间的等量关系，得
方程两边乘x(x+v)，得s(x+v)=x(s+50). 解得 .
检验：由v，s都是正数，得 时，x(x+v)≠0.
所以，原分式方程的解为 .
答：提速前列车的平均速度为 km/h.
新知探究
列分式方程解决实际问题的一般步骤
1.审：审清题意，分清题中的已知量、未知量；
2.找：找出题中的相等关系，
3.设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性；
4.列：根据题中的相等关系，正确列出分式方程；
5.解：解所列分式方程；
知识点 列分式方程解决实际问题
新知探究
列分式方程解决实际问题的一般步骤
6.验：既要检验所得的解是否为所列分式方程的解，又要检验所得的解是否符合实际问题的要求；
7.答：写出答案.
知识点 列分式方程解决实际问题
新知探究
知识点 列分式方程解决实际问题
列分式方程解决实际问题的重点
（1）审题时，先寻找题目中的关键词，然后借助列表、画图等方法准确找出相等关系.当题目中包含多个相等关系时，要选择一个能够体现全部（或大部分）题意的等量关系列方程.
新知探究
知识点 列分式方程解决实际问题
列分式方程解决实际问题的重点
（2）设未知数时，一般题中问什么就设什么，即设直接未知数；若设直接未知数难以列方程，则可设另一个相关量为未知数，即设间接未知数；有时设一个未知数无法表示等量关系，可设多个未知数，即设辅助未知数.
新知探究
知识点 列分式方程解决实际问题
实际应用题中常见的基本数量关系
（1）行程问题：路程=速度×时间；
（2）工程问题：工作总量=工作效率×工作时间；
（3）利润问题：利润=售价-进价；
利润率=(利润/进价)×100%；
打折销售价=定价×折数.
课堂小结
列分式方程解决实际问题
步骤
一审；二找；三设；四列；五解；六验；七答
常见问题
（1）行程问题
（2）工程问题
（3）利润问题
课堂训练
1.（2021 绥化）根据市场需求，某药厂要加速生产一批药品，现在平均每天生产药品比原计划平均每天多生产500箱，现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同，那么原计划平均每天生产多少箱药品？设原计划平均每天可生产x箱药品，则下面所列方程正确的是（ ）
D
A． B．
C． D．
课堂训练
2.（2021 香坊区三模）“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设原来参加游览的同学共x人，则所列方程为（ ）
D
A． B．
C． D．
课堂训练
3．（2021 大连模拟）小明从家乘车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25km，路线二的全程是30km，走路线二的平均车速是走路线一的平均车速的1.6倍，因此到达体育场比走路线一少用10min．若设走路线一的平均车速为xkm/h，根据题意，可列方程为（ ）
A
A． B．
C． D．
课堂训练
4．（2021 深圳模拟）某出租车公司为降低成本，推出了“油改气”措施，如图，y1，y2分别表示燃油汽车和燃气汽车行驶路程s（单位：千米）与所需费用y（单位：元）的关系，已知燃气汽车每千米所需的费用比燃油汽车每千米所需费用少0.5元，设燃气汽车每千米所需费用为x元，则可列方程为（ ）
D
A． B．
C． D．
课堂训练
5.（2021 东营）某地积极响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则所列方程为 ．
﹣ ＝30
课堂训练
6．（2021 徐州）某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？
解：设该商品打折前每件x元，则打折后每件0.8x元.
根据题意，得 +2＝ .
解得 x＝50.
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意．
答：该商品打折前每件50元．
课堂训练
7．（2021 眉山）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．
（1）足球和篮球的单价各是多少元？
课堂训练
解：（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是（2x﹣30）元.
依题意，得 ＝2× .
解得x＝60.
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意.
∴2x﹣30＝90．
答：足球的单价是60元，篮球的单价是90元．
课堂训练
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？
解：设学校可以购买m个篮球，则可以购买（200﹣m）个足球.
依题意，得 90m+60(200﹣m)≤15500.
解得m≤ ．
又∵m为正整数，∴m可以取的最大值为116．
答：学校最多可以购买116个篮球．
课堂训练
8．（2021 泰安）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．
（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？
课堂训练
解：设该厂当前参加生产的工人有x人，则原来有工人（x+10）人.由题意，得 .
解得 x＝30.
经检验,x＝30是原分式方程的解，且符合题意．
答：当前参加生产的工人有30人.
课堂训练
（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？
解：每人每小时完成的数量为16÷8÷40＝0.05（万剂）.
设还需要生产y天才能完成任务.由题意，得
4×15+（30+10）×10×0.05y＝760.解得y＝35.
35+4＝39（天）.
答：该厂共需要39天才能完成任务．(共34张PPT)
第十五章 分式 小结与复习
人教版 数学 八年级 上册
要点梳理
一、分式
1.分式的概念：
一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有字母，那么称 为分式.其中A叫做分式的分子，B为分式的分母.
2.分式有意义的条件：
对于分式 ： 当 时分式有意义；
B_≠_0
当 B=_0 时无意义.
3.分式值为零的条件：
时，分式
的值为零.
当_A_=_0_且 B_≠_0
4.分式的基本性质：
0）.
A A C , A
A C
（ C
B B C B
B C
5.分式的约分：
约分的定义
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去， 叫做分式的约分．
最简分式的定义
分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式
注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所 得的结果成为最简分式或整式.
约分的基本步骤
若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相 同字母的最低次幂；
若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分 子﹑分母所有的公因式．
6.分式的通分：
分式的通分的定义
根据分式的基本性质，使分子、分母同乘适当的整式（即最简公分 母），把分母不相同的分式变成分母相同的分式，这种变形叫分式 的通分.
最简公分母
为通分先要确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂 的积作公分母，叫做最简公分母.
b c b d bd a d a c ac
二、分式的运算
1.分式的乘除法则：
.
n
a
an
b
bn
( )
b c bc a d ad
2.分式的乘方法则：
3.分式的加减法则：
同分母分式的加减法则：
a b a b .
c c c
异分母分式的加减法则：
a c ad bc ad bc .
b d bd bd bd
4.分式的混合运算：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面
的.
计算结果要化为最简分式或整式．
三、分式方程
分式方程的定义
分母中含未知数的方程叫做分式方程.
分式方程的解法
在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程. (2)解这个整式方程.
(3)把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0， 则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去.
分式方程的应用
列分式方程解应用题的一般步骤
审:清题意，并设未知数；
找:相等关系； (3)列:出方程；
解:这个分式方程；
验:根（包括两方面 : 是否是分式方程的根； 是否符合题 意）；
写:答案.
考点一 分式的有关概念
例1 如果分式
的值为0，那么x的值为 .
2
x 1
x 1
【解析】根据分式值为0的条件：分子为0而分母不为0，列出关于x的方 程，求出x的值，并检验当x的取值时分式的分母的对应值是否为零.由题 意可得：x2-1=0, 解得x=±1.当x=-1时，x+1=0;当x=1时，x+1 ≠0.
【答案】1
考点讲练
分式有意义的条件是分母不为0，分式无意义的条件是分母的值为0； 分式的值为0的条件是：分子为0而分母不为0.
归纳总结
针对训练
2.如果分式
的值为零，则a的值为
.
a 2
a 2
2
1.若分式
无意义，则a的值
.
1
x 3
-3
考点二 分式的性质及有关计算
例2 如果把分式
的3倍，则分式的值（ B
中的x和y的值都扩大为原来
）
x
x y
1
3
1
6
A.扩大为原来的3倍
B.不变
C.缩小为原来的
D.缩小为原来的
针对训练
3.下列变形正确的是( C )
a
a 2
b 2
A .
b
a 2
B .
a
a 2
a b
b
C . 2 x x 2
x 1 1 x
9 xy
D .
2
9 y
6 x 2 y 2 x
例3 已知x=
,y=
，求
的值.
1 2
1 2
1 1
(
2x
)
x y x y
x2 2xy y2
【解析】本题中给出字母的具体取值，因此要先化简分式再代入求值.
代入得
2
把x= 1 2 ,y= 1
解：原式=
2x (x y)2 x y
(x y)(x y) 2x x y ,
原式=
2
2 2 .
1 2 (1 2 ) 2
1 2 1 2
对于一个分式，如果给出其中字母的取值，我们可以先将分式进行化 简，再把字母取值代入，即可求出分式的值.但对于某些分式的求值 问题，却没有直接给出字母的取值，而只是给出字母满足的条件，这 样的问题较复杂，需要根据具体情况选择适当的方法.
归纳总结
例4
解析：本题若先求出a的值，再代入求值，显 然现在解不出a的值，如果将 的分子、 分母颠倒过来，即求 的值， 再利用公式变形求值就简单多了．
归纳总结
利用x和1/x互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知代数式 的关系，可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程 简洁．
x4
5.已知x2-5x+1=0,求出x4 1 的值.
1 1
解：因为x2-5x+1=0, 得 x 5 x 0, 即 x x 5.
所以
1 1
) 2
x 4
x 4 x 2
( x 2
2
[ ( x 1 ) 2
2 ] 2 2
2
x
( 2 5 2 ) 2
5 2 7 .
针对训练
考点三 分式方程的解法
例5 解下列分式方程：
【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检 验即可确定出分式方程的解．
解：（1）去分母得x+1+x﹣1=0，解得x=0， 经检验x=0是分式方程的解；
（2）去分母得x﹣4=2x+2﹣3，解得x=﹣3， 经检验x=﹣3是分式方程的解．
1 1
3
(1)
0 ; ( 2 ) x 4 2 .
x 1 x 1 x 1 x 1
解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整 式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
归纳总结
1 6
.
x 2
x 2
1
x 2 4
6 . 解 方 程 ：
解：最简公分母为（x+2）（x﹣2）， 去分母得（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）=16，
整理得﹣4x+8=16，解得x=﹣2，
经检验x=﹣2是增根，故原分式方程无解．
针对训练
考点四 分式方程的应用
例6 从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路 程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．
(1)求普通列车的行驶路程；
解析：(1)根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是 高铁的行驶路程的1.3倍，两数相乘即可；
解：(1)根据题意得400×1.3＝520(千米)． 答：普通列车的行驶路程是520千米；
(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5 倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高 铁的平均速度．
解析：设普通列车的平均速度是x千米/时，根据高铁所需时间比 乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即 可．
解：设普通列车的平均速度是x千米/时，则高铁的平均速度 是2.5x千米/时，根据题意得
解得x＝120，经检验x＝120是原方程的解，则高铁的平均速 度是120×2.5＝300(千米/时)．
答：高铁的平均速度是300千米/时．
针对训练
7.某施工队挖掘一条长90米的隧道，开工后每天比原计划多挖1米， 结果提前3天完成任务，原计划每天挖多少米？若设原计划每天
90
3
x x 1
3
90 90
90
3
x x 1
90
x 1 x
90
3
x 1 x
A. 90
B.
C. 90
D.
挖x米，则依题意列出正确的方程为（ D ）
8. 某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该
款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的 5 倍，购进数量比第一次
4
少了30支.求第一次每支铅笔的进价是多少元？
解：设第一次每支铅笔进价为x元，根据题意列方程，得
6 0 0
4
x
5 x
6 0 0 3 0 .
解得 x=4.
经检验，故x=4原分式方程的解.
答：第一次每支铅笔的进价为4元.
考点五 本章数学思想和解题方法
主元法
例7.已知：
的值.
2a b 3
a 2b 14
a2 b2
，求 a2 b2
【解析】由已知可以变形为用b来表示a的形式，可 得 a 4 b ，代入约分即可求值.
5
解：∵
， ∴
.
2a b 3
a 2b 14
a 4 b
5
9
5
∴ ( 4 b ) 2 b 2
5 4 1 .
( 4 b ) 2 b 2
已知字母之间的关系式，求分式的值时，可以先用含有一个字母的代数 式来表示另一个字母，然后把这个关系式代入到分式中即可求出分式的
值.这种方法即是主元法，此方法是在众多未知元之中选取某一元为主元， 其余视为辅元.那么这些辅元可以用含有主元的代数式表示，这样起到了 减元之目的，或者将题中的几个未知数中，正确选择某一字母为主元，
剩余的字母视为辅元，达到了化繁入简之目的，甚至将某些数字视为主 元，字母变为辅元，起到化难为易的作用.
归纳总结
解：由
，
3
x 2 ，得 x 2 y
y
y 3
x2 y2 xy y2
x2 2xy y2 2x2 2xy
(x y)(x y) 2x(x y) (x y)2 y(x y)
2x .
3
4 y
y 3
把x 2 y 代入可得原式= 3 4 .
9.已知
，求
的值.
x 2
y 3
x2 y2 xy y2
x2 2xy y2 2x2 2xy
本题还可以由已知条 件设x=2m,y=3m.
针对训练
分
式
分
式
分式的定义及有意义的条件等
分 式 方 程
分式方程的 应 用
步 骤
一审二设三列四解五检六写， 尤其不要忘了验根
类 型
行程问题、工程问题、销售 问题等
分式的运算及化简求值
分式方程的定义
分式方程的解法
课堂小结
谢谢观看
Thank You
