第十五章 分式
15.1 分式
15.1.1 从分数到分式
一、教学目标
1.了解分式的概念；
2.理解分式有（无）意义的条件、分式的值为0的条件.
3.能熟练求出分式有意义时字母的取值范围、分式的值为0时字母的值.
二、教学重难点
重点：理解分式有（无）意义的条件、分式的值为0的条件.
难点：求分式有意义时字母的取值范围、分式的值为0时字母的值.
三、教学过程
【新课导入】
[复习导入]整式包括什么？
教师利用多媒体展示如下“练一练”，巩固单项式、多项式和整式的概念，学生积极举手回答：
【新知探究】
知识点1 分式的概念
[提出问题]（1）长方形的面积为10cm2，长为7cm，则宽为 cm；
长方形的面积为S，长为a，则宽为 .
（2）把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱形容器中，则水面高度为 cm；
把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，则水面高度为 .
（3）明明的妈妈带了50元去买苹果.如果每千克苹果8元，那么她可以买到 kg的苹果；
明明的妈妈带了（x+y）元去买苹果.如果原来每千克苹果8元，由于物价上涨，每千克苹果涨价m元，那么她可以买到 kg的苹果.
[学生思考]给学生1分钟的思考时间，教师引导学生可分别从“长方形的面积=长×宽”“圆柱体的体积=底面积×高”“总价=单价×数量”得到“宽=长方形的面积÷长”“高=圆柱体的体积÷底面积”“数量=总价÷单价”，从而得到如下结果：.
[提出问题]观察得到的式子，其中是整式的有 .
[学生回答]学生通过课前复习的内容，能很快找到是整式的式子，分别为.这三个式子也叫分数.
[提出问题]那么剩下的三个式子叫什么呢？这三个式子有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？
[学生思考]给学生思考时间，教师引导学生可从式子的结构，分子、分母来考虑.从而得到：相同点：
与分数一样，都是（即A÷B）的形式.不同点：分数的分子A与分母B都是整数，而这些式子中的A与B都是整式，并且B中都含有字母.
[归纳总结]分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.分式中，A叫做分子，B叫做分母.
分式必须满足三个条件：①形如的式子；②A、B都是整式；③分母B中含有字母. 三个条件缺一不可.但是，如：虽然的分母中含有字母，但分母不是整式，所以不是分式.
[课件展示]跟踪训练
下列各式哪些是整式？哪些是分式？
[课件展示]根据跟踪训练中遇到的常见点，总结如下注意事项：
知识点2 分式有意义、无意义的条件
[提出问题]我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0，要使分式有意义，分式中的分母应该满足什么条件？
[学生思考]给学生1分钟的思考时间，教师引导学生可从分式的结构入手分析：“分式可看成是两个整式的商，它的分子是被除式，分母是除式，分数线相当于除号.所以我们可以联想一下，当除法有意义时，除数应满足什么条件？”学生很容易想到：除数不能为0.
[归纳总结]分式有意义的条件：分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义.分式无意义的条件：分式的分母为0，即当B=0时，分式无意义.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题与变式：
例1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
解：（1）要使分式有意义，则分母3x≠0，即x≠0；
（2）要使分式有意义，则分母x-1≠0，即x≠1；
（3）要使分式有意义，则分母5-3b≠0，即b≠；
（4）要使分式有意义，则分母x-y≠0，即x≠y.
【变式】（2021 杭州上城区一模）要使分式有意义，x的取值应该满足（ D ）
x≠-1 B．x≠2 C．x≠-1或x≠2 D．x≠-1且x≠2
【解析】由题意，得（x+1）（x﹣2）≠0，解得x≠﹣1且x≠2，故选D．
【错误做法】=，所以（x+1）≠0，解得x≠﹣1，故选B．
[课件展示]根据例1与变式中遇到的常见点，总结如下注意事项：
知识点3 分式值为零的条件
[提出问题]要使分式的值为零，分式应该满足什么条件？
[学生思考]给学生1分钟的思考时间，教师引导学生仍除法联想到分式：在除法中，要使商为零，应满足什么条件？”学生很容易想到：0除以任何不等于0的数，结果仍为0.
[归纳总结]分式值为零的条件：要使分式的值为零，则A=0，且B≠0.
同时强调：分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的.所以A=0，B≠0,两者缺一不可.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题与变式：
例2 （2021 雅安）若分式的值等于0，则x的值为（ A ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
【解析】由题意，得|x|﹣1＝0，且x﹣1≠0，解得x＝﹣1.故选A．
【变式】（2021 南京江宁区模拟）若分式的值为0，则x等于（ C ）
A．0 B．3 C．﹣3 D．±3
【解析】∵该分式的值为0，∴x2﹣9＝0，且x﹣3≠0，解得x＝﹣3．故选C．
【课堂小结】
【课堂训练】
1．（2021 衡阳模拟）下列各式中，属于分式的是（ C ）
A．x B． C． D．
2．（2021 桂林）若分式的值等于0，则x的值是（ A ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
3.当a＝－1时，分式的值( A )
A.没有意义 B.等于零
C.等于1 D.等于－1
4．（2021 上海奉贤区三模）下列各式中，当m＜2时一定有意义的是（ A ）
A． B． C． D．
【解析】A．当m＜2时，m﹣3＜﹣1，故分式一定有意义；
B．m＜2，当m＝1时，分式没有意义；
C．m＜2，当m＝﹣1时，分式没有意义；
D．m＜2，当m＝﹣3时，分式没有意义；
故选A．
（2021 铜仁市）要使分式有意义，则x的取值范围是 x≠﹣1 ．
6.已知，当x=5时，分式的值等于零，则k =-10 .
7.当x满足什么条件时，下列分式有意义？
解：（1）当5x-3≠0时，即x≠时，分式有意义；
（2）当时，即时，分式有意义；
（3）因为不论 x 取什么值，都有x2+3＞0，所以x取任意值，分式都有意义；
（4）当(x-2)(x+4)≠0时，即 x≠2且 x≠-4时，分式有意义.
8.分式的值能等于0吗？说明理由．
答：不能.理由如下：
因为当等于0时， x+3＝0，即x=-3.
而当x=-3时，分母x2-x-12=0，分式无意义.
9.已知当x=-2时，分式无意义；当x=4时，分式的值为0，则a+b的值为多少？
解：根据分式无意义和分式值为0的条件可得
-2+a=0，4-b=0.
解得a=2,b=4.
所以a+b=6.
10.当x为何值时，分式的值为负数？
解：由分式的值为负数，得 x+2＞0 ,①或 x+2＜0, ②
x-3＜0 , x-3＞0.
解不等式组①，得：-2＜x＜3；
解不等式组②，得无解.
所以当-2＜x＜3时，分式的值为负数.
【归纳总结】
（1）若的值为正数，则有 A＞0 或 A＜0
B＞0 B＜0；
（2）若的值为负数，则有 A＞0 或 A<0
B<0 B＜0；
（3）若的值为1，则A=B且B≠0；
（4）若的值为-1，则A=-B且B≠0.
【教学反思】
本节课是分式单元起始课,主要内容是分式的概念、分式有意义和值为0的条件.本节课内容也是进一步学习分式性质、运算、解分式方程以及后续学习反比例函数的基础.分数和整式的知识是学习本节课的基础.这节课是在分数概念等的基础上来探究分式，学生较容易掌握,这样既体现了数学学科内在的逻辑关系,也是对类比这一数学思想方法和科学研究方法的渗透.批改作业时，发现有一些问题：区别分式时，仍有学生会化简之后再去判断；遇到分式值为0的题目，仍有一部分学生忘记“分母不能为0”这一条件.学生仍需多加练习.第十五章 分式
15.1 分式
15.1.2 分式的基本性质
一、教学目标
1.理解并掌握分式的基本性质．
2.能熟练运用分式的基本性质进行分式的约分和通分.
二、教学重难点
重点：分式的基本性质．
难点：运用分式的基本性质进行分式的约分和通分.
三、教学过程
【新课导入】
[复习导入]1.什么叫做分式？（一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式. 分式中，A叫做分子，B叫做分母.）
2.分式有意义和无意义的条件是什么？（分式有意义的条件：分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式 才有意义.分式无意义的条件：分式的分母为0，即当B=0时，分式无意义.）
3.分式值为零的条件是什么？（要使分式的值为零，则A=0，且B≠0.）
教师带领学生复习上节课所学的分式的相关知识.
【新知探究】
知识点1 分式的基本性质
[提出问题]下列两组分数相等吗？
（两者均相等）
你是怎么得到的结论？
[学生回答]学生根据小学学习过的分数的基本性质，能很快地说出解答过程:
[提出问题]依据是什么呢？
[学生回答]分数的基本性质.
[课件展示]教师利用多媒体展示分数的基本性质的详细概念：
分数的基本性质：
一个分数的分子、分母乘（或除以）同一个不为0的数，分数的值不变.
如，若数c≠0，则，.
一般地，对于任意一个分数，有，，其中a，b，c是数.
[提出问题]类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？
[归纳总结]分式的基本性质：
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.
上述性质可以用式子表示为：
其中A,B,C是整式.
[课件展示]教师利用多媒体展示分式的基本性质的示例过程：
[课件展示]教师利用多媒体展示如下做一做：
做一做：下列各式从左到右的变形一定正确的是 ③ .
[归纳总结]运用分式的基本性质的注意事项：
(1)分子分母同时进行； (2)分子、分母只能同乘或同除，不能进行同加或同减；(3)分子、分母同乘或同除同一个整式；(4)除式是不等于零的整式.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：
[归纳总结]对于依据分式的基本性质进行填空的题目，首先要观察等号两边的已知分子（或分母）发生了怎样的变化，然后确定是采用乘法运算还是除法运算，最后对分式的分母（或分子）作相同的变形即可.
[课件展示]跟踪训练
下列各式从左到右的变形中，不正确的是（ D ）
A．＝﹣ B．＝
C．＝﹣ D．﹣＝
【解析】A.＝，故A正确．
，故B正确．
C.，故C正确．
D.，故D错误．
故选D．
[归纳总结]分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身这三处的正负号，同时改变其中两处，分式的值不变. 用式子表示：
知识点2 分式的约分
[提出问题]什么是分数的约分？
[课件展示]教师利用多媒体展示如下两道小题，并说明两题的运算过程叫分数的约分：
之后出示分数约分的概念：把一个分数的分子、分母同时除以公因数，分数的值保持不变，这个过程叫做分数的约分.
[课件展示]教师利用多媒体如下例1(1)中两道小题的运算过程：
[提出问题]根据分数的约分，由例1（1）你能想出如何对分式进行约分吗？
[学生思考]学生类比分数的约分的定义，思考、总结分式的约分的定义，之后教师点一名学生回答，两名学生补充.
[归纳总结]约分的定义：像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
最简分式的定义：像这样分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式．
[提出问题]怎么找公因式呢？
[学生思考]给学生思考时间，教师引导学生可从分子、分母数字系数和字母来考虑.之后教师点一名学生回答，两名学生补充.
[归纳总结]找公因式方法:
（1）找系数的最大公约数；
（2）找分子、分母相同因式的最低次幂；
（3）两者的乘积即为公因式.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：
例2 约分：
（1）； （2）； （3）.
【分析】对于（1），分子、分母都是单项式，就直接找公因式约分；对于（2）(3),分子、分母都是多项式，先分解因式，再找公因式约分.
解：（1）；
；
（3）.
[课件展示]根据例2总结如下做题步骤：
分式的约分的一般步骤
（1）若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公因式，即分子、分母系数的最大公约数和分子、分母中的相同字母的最低次幂的乘积；
（2）若分式的分子、分母中至少有一个是多项式，应先分解因式，再确定公因式并约去.
[课件展示]跟踪训练
约分：（1）； （2）.
解：（1）.
（2） .
[课件展示]根据跟踪训练中遇到的常见点，总结如下注意事项：
分式的约分的注意事项
（1）当分子或分母被整个约去时，分子或分母变为1，而不是0；
（2）注意发现分式的分子、分母的一些隐含的公因式，如x-5与5-x表面虽不相同，但通过提取“-”可发现含有公因式（x-5）；
（3）若分式的分子或分母的系数是负数时，可利用分式的基本性质，把负号提到分式前面.
（4）约分的结果要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果是最简分式或整式.
知识点3 分式的通分
[提出问题]什么是分数的通分？
[课件展示]教师利用多媒体展示如下两道小题，并说明两题的运算过程叫分数的通分：
之后出示分数通分的概念：根据分数的基本性质，把几个异分母的分数分别化成与原来的分数相等的同分母的分数，叫做分数的通分.
[课件展示]教师利用多媒体如下例1(2)中两道小题的运算过程：
[提出问题]根据分数的通分，由例1（2）你能想出如何对分式进行约分吗？
[学生思考]学生类比分数的通分的定义，思考、总结分式的通分的定义，之后教师点一名学生回答，两名学生补充.
[归纳总结]通分的定义：像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.
[提出问题]为通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫最简公分母.怎么找最简公分母呢？
[课件展示]教师利用多媒体展示示例：
[归纳总结]确定最简公分母的一般方法
（1）若各分母是单项式，最简公分母是各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂和所有不同字母及其指数的乘积；
（2）若各分母中有多项式，一般要先分解因式，再按照分母都是单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面确定最简公分母.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：
例3 通分：
（1）； （2）.
【分析】对于（1），分子、分母都是单项式，就直接找公因式约分；对于（2）(3),分子、分母都是多项式，先分解因式，再找公因式约分.
解：（1）最简公分母是2a2b2c.
； .
解：（2）最简公分母是(x-5)(x+5).
；.
[提出问题]分式的约分与通分有什么联系和区别呢
[归纳总结]约分和通分的联系与区别
联系：约分和通分都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，二者均不改变分式的值.
区别：约分是针对一个分式而言的，把分式的分子和分母的公因式约去，将分式化为最简分式或整式；而通分是针对多个异分母的分式而言的，将分式的分子和分母乘同一个适当的整式，使这几个异分母的分式化为同分母的分式.
【课堂小结】
【课堂训练】
1．（2021 广州模拟）下列分式中，最简分式是（ D ）
A． B． C． D．
2．（2021 石家庄一模）分式可变形为（ B ）
A． B．﹣ C． D．
3.（2021 衡阳模拟）下列各式从左到右的变形一定正确的是（ D ）
A．＝ B．＝x﹣y
C．＝ D．＝
4．（2021 邢台模拟）若把x，y的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ A ）
A． B． C． D．
约分：
解：
7.通分：； （2）
解：（1）最简公分母是6x2yz，；.
（2）最简公分母是(x+y)2(x-y),
;.
8.先化简，再求值：
（1），其中a=-2，b=3.
（2），其中m=-4，n=2.
解：（1）
当a=-2，b=3时，原式=.
（2） 当m=-4，n=2时，原式=-5.
【教学反思】
本节课是在分数基本性质、分数约分和通分的基础上,学习分式基本性质、分式约分和通分。这一过程由学生自己学习、归纳,这样学生可以把新旧知识联系起来,学起来也不觉得困难,从而激起学生学习的积极性,同时也可以让学生体会到类比的思想。由学生自己归纳,体现了学生是学习的主人,可以培养学生的语言表达能力和总结知识的能力.整节课下来,效果还不错.同样也存在一些问题：课前应让学生进行因式分解的复习，对于该知识点，忘记的学生比较多,课堂上花费了很长时间复习；当分母是多项式且能分解因式时,往往没想以先分解因式；约分的结果有的不是最简分式或整式(公因式没找完).第十五章 分式
15.2 分式的运算
15.2.1 分式的乘除
第1课时 分式的乘除
一、教学目标
1.类比分数的乘除法法则，探究并掌握分式的乘法法则和除法法则.
2.能熟练运用分式的乘除法法则进行计算.
二、教学重难点
重点：分式的乘法法则和除法法则．
难点：运用分式的乘除法法则进行计算.
三、教学过程
【新课导入】
[复习导入]1.分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.
2.（1）分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.
（2）最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.
（1）分式的通分： 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.
（2）最简公分母：通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母.
教师带领学生复习上节课所学知识，并完成”练一练“相关试题.
【新知探究】
知识点分式的乘除
[提出问题]一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的 时，水面的高度为多少？
[学生回答]学生根据长方体的体积能说出解答过程:
长方体容积的高为，水面的高度为.这是教师提出分式的乘法这一概念：如就是分式的乘法运算.
[提出问题]大拖拉机m天耕地a hm2，小拖拉机n天耕地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的多少倍？
[学生回答]学生根据“工作效率=工作总量÷工作时间”能说出解答过程:
大拖拉机的工作效率是hm2 /天；小拖拉机的工作效率是hm2 /天；大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的倍.
这是教师提出分式的除法这一概念：如就是分式的除法运算.
[提出问题]学习今天的内容之前，我们先来看看这两道题,你还会计算下列算式吗？
[学生回答]教师点名学生回答.并总结分数的乘除法法则：
分数乘以分数的法则：分数乘以分数，用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母.（能约分化简的要约分化简）
分数除以分数的法则：分数除以分数，等于被除数乘以除数的倒数.（能约分化简的要约分化简）
[提出问题]类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？
[小组讨论]学生分小组讨论，代表发言说出小组讨论结果回答，其它组代表纠正或补充.
[归纳总结]分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.上述法则可以用式子表示为：.
分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.上述法则可以用式子表示为：.
[课件展示]教师利用多媒体展示分式的乘除法的示例过程：
[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：
例1 计算：
（1）； （2）.
解：（1）;
（2）.
提醒学生：（1）结果要化为最简分式；（2）分子或分母的负号可以提到整个分式的前边.
例2 计算：
（1）； （2）.
解：（1）;
（2）.
提醒学生：（1）若分子或分母为多项式，要先分解因式；（2）分式和整式相乘，可把整式看作分母为1的“分式”；（3）符号问题.
[归纳总结]分式的乘除法注意事项：
（1）分式与分式相乘:
①若分子与分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，将结果化为最简分式或整式；
②若分子、分母是多项式，则先将分子、分母分解因式，再相乘，且其结果要化简为最简分式或整式.
（2）分式和整式相乘，要把整式（看作分母为1的“分式”）与分式的分子相乘作为积的分子，分母不变；当整式是多项式时，同样要先分解因式.
（3）分式乘除法的运算结果的符号的确定方法与分数的乘除的符号的确定方法相同，且其结果要通过约分化为最简分式或整式.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：
例3 如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a－1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500 kg.
（1）哪种小麦的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
解：（1）“丰收1号”小麦的试验田面积是(a2-1)m2，单位面积产量是kg/m2；“丰收2号”小麦的试验田面积是(a－1)2 m2，单位面积产量是kg/m2. ∵a＞1，∴（a－1）2＞0，a2-1＞0.由图可得（a－1）2＜a2-1.∴＜.∴“丰收2号”小麦的单位面积产量高.
（2）所以,“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的倍.
[课件展示]跟踪训练
计算：
（1）； （2）.
解：（1）原式;
原式
【课堂小结】
【课堂训练】
1．（2021 天津二模）计算：＝（ A ）
A．x B． C．y D．
2．（2021 济南长清区一模）化简÷是（ B ）
A．m B．﹣m C． D．﹣
3．若×，则横线上的式子是 ( B )
A． B． C． D．y
4.某数学老师在课堂上设计了一个接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是:每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算,再将计算结果传递给下一人，最后完成化简,过程如图所示.对于三个人的接力过程判断正确的是( C )
A．三个人都正确 B．甲有错误 C．乙有错误 D．丙有错误
5.计算（x2-xy）÷的结果是x2.
6.检测员在n分钟内可检查9个产品,他在2小时内可检查产品个.
7.八年级的三位同学在一起讨论一个分式乘法题目：
甲：它是一个整式与一个分式相乘.
乙：在计算过程中， 用到了平方差公式进行因式分解.
丙：计算结果是.
请你写出一个符合，上述条件的题目(答案不唯一).
先化简，再求值：
（2），其中m可选择一个你喜欢的值.
解：原式==.
当取m=1时，原式==-.
思考：不能选哪些数？
[归纳总结]化简求值问题要注意字母的取值要使分数有意义！
【教学反思】
本节课从两个具有实际背景的问题出发,使学生在解决问题的过程中认识到分式的乘除法是由实际需要产生的,而且是离不开的运算,进而激发他们学习的兴趣和欲望,接着,我采用了类比的方法,让学生回忆以前学过的分数的乘除法的运算方法,提示学生分式的乘除法法则与分数的乘除法法则类似,要求他们用语言描述分式的乘除法法则。学生反应较好,能基本上完整地讲出分式的乘除法法则.但由于部分学生计算能力欠缺,或有些细节没注意到,计算上还出现问题。学生答题的规范性还差了些,在以后的教学中加强学生的答题规范性练习.第十五章 分式
15.2 分式的运算
15.2.1 分式的乘除
第2课时 分式的乘方及乘除混合运算
一、教学目标
1.进一步熟练分式的乘除法则,会进行乘、除法的混合运算.
2.了解并掌握分式的乘方法则.
3.能熟练运用分式的乘方法则进行计算，会进行含乘方的分式的乘除混合运算.
二、教学重难点
重点：分式的乘方法则．
难点：运用分式的乘方法则进行含乘方的分式乘除混合运算.
三、教学过程
【新课导入】
[复习导入]1.（1）分式的乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
用式子表示：
2.（1）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
（2）用式子表示：.
3.（我们把这种运算叫做乘方.）
4.(1) (am)n＝amn；
(2) (ab)n＝anbn.
教师带领学生复习旧知，并完成”练一练“相关试题.
【新知探究】
知识点1分式的乘除混合运算
[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：
例1 计算：
解：原式=
提醒学生：乘除混合运算可以统一为乘法运算！
[归纳总结]分式乘除混合运算的一般步骤：
（1）先把除法统一成乘法运算；
（2）分子、分母中能分解因式的多项式分解因式；
（3）确定分式的符号，然后约分；
（4）结果应是最简分式.
[课件展示]跟踪训练
计算：.
解：
提醒学生：（1）不能将“a+3”直接约去，(2)符号问题.
知识点2分式的乘方
[提出问题]你能计算出下列分数的乘方的结果吗？
[学生回答]学生举手，教师点名回答，第3小题由于乘方时数字较大，我们可直接写成的形式.最终结果为：
[提出问题]类比分数的乘方运算，你能计算下列各式吗？
[学生思考]学生独立思考，将自己的答案写在练习本上，教师巡视，帮助有困难的学生，并提示学生可根据“乘方的意义和分式的乘法法则”求解.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下解答过程，学生对照自己的解题，纠错：
[提出问题]当把第3小题中的“10”换成“n”，你还会做吗？
[小组讨论]学生分组讨论，代表在黑板上写出小组讨论结果，其他代表纠错并修改.最终的验证过程为：
[归纳总结]分式的乘方法则：分式的乘方要把分子、分母分别乘方.上述法则可以用式子表示为：（n为正整数）.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下示例解答过程：
[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：
例1 计算：
解：;
提醒学生：（1）符号问题；（2）将多项式看成整体.
[归纳总结]分式的乘方注意事项
（1）分数乘方一定要把分子、分母分别乘方;
（2）分式乘方时，首先确定乘方结果的符号（正数的任何次幂都为正；负数的偶次方为正，负数的奇次方为负），然后再做运算.
（3）分式乘方时，若分式的分子或分母是多项式，应把分子、分母分别看作一个整体乘方.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：
例2 计算：
解：（1）原式
(2)原式
引导学生观察每一步的计算，总结混合运算的步骤.
[归纳总结]含有乘方的分式乘除混合运算的步骤
（1）先算分式的乘方;
（2）除法变乘法；
（3）若分子或分母为多项式，要分解因式；
（4）进行乘法运算，约分得到结果.（结果一定是最简分式或整式）
【课堂小结】
【课堂训练】
1．计算的结果为（ A ）
A． B． C． D．
2．计算的结果是（ A ）
A． B． C． D．2y
【变式】计算：=.
3.计算：.
4.计算： -1 .
5.计算：（1）；（2）.
解：（1)
(2)
6.计算： .
回答：（1）观察上述计算过程，其中第一步使用的公式用字母表示为 a2-2ab+b2=(a-b)2，a2-b2=(a+b)(a-b) ；
（2）由第一步得到第二步所使用的运算方法是约分；
（3）以上两步中，第二步出现错误.
（4）请写出该题的正确的解答过程.
解：原式
7.（1)化简：.
解：原式.
（2)当a=5时，其结果为.
(3)请你选择一个你喜欢的数作为a的值，则a不可以取 0，±1，-2 .
8.已知a=b+2018，求的值.
解：
∵a=b+2018，∴a-b=2018，∴原式=2×2018=4036.
【教学反思】
本节课我仍采用了类比的方法,让学生回忆以前学过的分数的乘方的运算方法,提示学生分式的乘方法则与分数的乘方法法则类似,要求他们用语言描述分式的乘方法则.学生反应较好,能基本上完整地讲出分式的乘方法则.紧接着出示例题：例1，主要帮助学生理清分式乘方中的符号问题；而例2则是含乘方的分式乘除混合运算，由于乘方之前已经对分式的乘除混合运算做了详细的讲解，对于例2，大部分学生能很快给出答案，这里主要强调的是当乘方中的底数是含多项式的分式时，要将多项式看成一个整体.例讲解中,我讲得比较慢,务必讲清透.整节课进行得比较顺利，但仍有几点应在以后的教学中注意：学生约分直接做在练习本上，导致书面不干净，应在演草纸上进行；部分学生对于符号问题还是混沌的状态，应抓住符号问题多次强调，让这样的学生多做练习；部分学生主动性不强,回答问题不积极,可课下询问其原因，尽量帮助其化解困难.第十五章 分式
15.2 分式的运算
15.2.2 分式的加减
第1课时 分式的加减
一、教学目标
1.了解并掌握分式的加减法法则,并能熟练运用其进行计算.
2.能够进行异分母的分式加减法运算.
二、教学重难点
重点：分式的加减法法则．
难点：异分母的分式加减法运算.
三、教学过程
【新课导入】
[复习导入]1.（1）分式的乘方法则：分式的乘方要把分子、分母分别乘方.
用式子表示：（n为正整数）.
注意符号问题：正数的任何次幂都为正；负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.
2.含有乘方的分式乘除混合运算的步骤：
（1）先算乘方；
（2）除法变乘法；
（3）若分子或分母为多项式，要分解因式；
（4）进行乘法运算，将结果约分成最简分式或整式.
教师带领学生复习旧知，并完成”练一练“相关试题.
【新知探究】
知识点分式的加减
[课件展示]教师利用多媒体展示如下问题：
问题1 甲工程队完成一项工程需要n天，乙工程队要比甲队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？
问题2 2009年、2010年、2011年某地的森林面积 (单位：km2) 分别是S1，S2，S3，2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？
[小组讨论]学生分组讨论，之后教师点名学生回答，其他同学纠错或补充，这里，教师通过学生的正确答案，引出分式的加法和分式的减法的概念.(甲工程队一天完成这项工程的，乙工程队一天完成这项工程的，两队共同工作一天完成这项工程的.)(2011年的森林面积增长率是，2010年的森林面积增长率是，2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了.)
[提出问题]观察下列分数加减运算的式子，你还会计算吗？
[学生回答]学生举手，教师点名回答.最终结果为：
[提出问题]观察以上两式子，我们发现，两者的分母是相同的，那么你能说出同分母分数的加减法法则吗？
[学生思考]学生独立思考，举手回答，教师纠正：同分母分数的加减法法则：分母不变，只把分子相加减.
[提出问题]若把下列式子中的分母“5”全部换成字母“a”(a ≠0），你还会计算吗？
[课件展示]教师利用多媒体展示如下过程：
[学生思考]学生独立思考，将自己的答案写在练习本上，教师巡视，帮助有困难的学生，并提示学生可类比“同分母分数的加减法法则”求解.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下解答过程，学生对照自己的解题，纠错：
[提出问题]同分母分式的加减法与同分母分数的加减法类似，它们的实质相同.你能将同分母分数的加减法法则推广，得出同分母分式的加减法法则吗？
[小组讨论]学生分组讨论，代表在黑板上写出小组讨论结果，其他代表纠错并修改.
[归纳总结]同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.上述法则可以用式子表示为：
[课件展示]教师利用多媒体展示如下”做一做”：
计算：(1) =;
=;
(3)=.
[提出问题]观察下列分数加减运算的式子，你还会计算吗？
[学生回答]学生举手，教师点名回答.最终结果为：
[提出问题]观察以上两式子，我们发现，两者的分母是不相同的，那么你能说出异分母分数的加减法法则吗？
[学生思考]学生独立思考，举手回答，教师纠正：异分母分数的加减法法则：先通分，化成同分母的分数，再加减.
[提出问题]若把下列式子中的分母“2”全部换成字母“a”(a ≠0），“3”全部换成字母“b”(b ≠0），你还会计算吗？
[课件展示]教师利用多媒体展示如下过程：
[学生思考]学生独立思考，将自己的答案写在练习本上，教师巡视，帮助有困难的学生，并提示学生可类比“异分母分数的加减法法则”求解.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下解答过程，学生对照自己的解题，纠错：
[提出问题]异分母分式的加减法与异分母分数的加减法类似，它们的实质相同.你能将异分母分数的加减法法则推广，得出异分母分式的加减法法则吗？
[小组讨论]学生分组讨论，代表在黑板上写出小组讨论结果，其他代表纠错并修改.
[归纳总结]异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
上述法则可以用式子表示为：
[课件展示]教师利用多媒体展示如下”做一做”：
计算：(1) =;
(2) =.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：
例1 计算：(1) (2)
[归纳总结]分式的加减的一般步骤：
（1）通分：若为异分母分式，则应先转化为同分母分式；
（2）加减：写成分母不变、分子相加减的形式；
（3）合并：分子各项合并同类项；
（4）约分：分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式.
[课件展示]跟踪训练
计算：(1)； (2);
（4）.
解：（1）原式
（2）原式
(3)原式====
(4)原式
提醒学生：（1）分子是多项式，应加括号；(2)y-x=-（x-y）;(3)分母是多项式先分解因式;(4)a+2看成是.
[归纳总结]分式的加减运算时的注意事项：
（1）分式与整式相加减时，可把整式看作分母是1的式子，然后按异分母分式的加减法法则进行计算;
（2）异分母分式进行加减运算需要先通分，关键是确定最简公分母；
（3）分式的分子是多项式时，在进行运算时要适时添加括号，尤其注意减式的分子是多项式的情况；
（4）最终的结果应是最简分式或整式.
【课堂小结】
【课堂训练】
1．（2021 天津和平区一模）计算﹣的结果为（ D ）
A．1 B．3 C． D．
2．（2021 南充）下列运算正确的是（ D ）
A． ＝ B．÷＝
C．+＝ D．﹣＝
3．（2021 邯郸三模）＝（ A ）﹣．
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．任意实数
4．（2021 天津红桥区二模）计算﹣的结果是（ D ）
A．1 B．m﹣2 C． D．
5.计算：(1)（2021 广州花都区三模）＝ 1 ;
(2)（2021 自贡）﹣＝ ;
(3)(2021 武汉模拟)=.
6.如果，ab=4，那么a+b的值为 6 .
7．（2021 衢州）先化简，再求值：+，其中x＝1．
解：原式＝﹣＝＝＝x+3.
当x＝1时，原式＝1+3＝4．
8.计算：（1）；（2）
解：(1)原式
====
（2）原式
9.（2021 乐山）已知，求A、B的值．
解：
∵，∴A+B=2,2A+B=6.解得A=4，B=-2.
10.在计算时，小明把运算符号“÷”看成立“+”，得到的计算结果是m，那么你能帮他写出这道题的正确结果吗？
解：根据题意知，.∴∴=m.
【教学反思】
本节课我仍采用了类比的方法,互动式复习让学生回忆以前学过的分数的加减的运算方法,提示学生分式的加减法则与分数的加减法法则类似,放手让学生去猜想，从而得到分式的加减法法则.在法则的推导过程中，我先讲了同分母分式的加减,再讲异分母分式的加减,因为同分母分式的加减法比较容易,它也是进一步学习异分母分式加减法的基础，异分母的分式加减运算与同分母分式加减运算相比要因难一些.然后通过例题讲解和大量的练习来巩固法则,同时，给足充分的时间让学生去演算,去暴露问题,让他们留下深刻的印象.关于例题及练习的设置上，也顺应着学生的认知过程,一步一步递进式地嘴部加深.课堂上，及时的对学生给予肯定和鼓励,使学生对数学产生了浓厚的兴趣.不足之处在于:(1)基础相对较差的同学还是很难掌握,应给与他们更多的关心；(2)小组讨论时过于活跃,使得在管理的过程中浪费了时间；(3)忽略了板书的清晰、条理.第十五章 分式
15.2 分式的运算
15.2.2 分式的加减
第2课时 分式的混合运算
一、教学目标
1.明确分式混合运算的顺序.
2.能熟练地进行分式的混合运算，会灵活地运用运算律使运算简便．
二、教学重难点
重点：分式混合运算的顺序.
难点：熟练地进行分式的混合运算，灵活地运用运算律使分式的混合运算简便．
三、教学过程
【新课导入】
[复习导入]分式的运算法则
1.乘法：
2.除法：
3.乘方：
同分母相加减：
4.加减法 异分母相加减：
分式运算的注意事项
1.分式与整式作运算，可把整式看作分母是1的式子;
2.（1）分式相乘除，若分子、分母是多项式，则先将其分解因式；
（2）分式乘方，要先确定其结果的符号:正数的任何次幂都为正；负数的偶次方为正，负数的奇次方为负；若分式的分子或分母是多项式，应把分子、分母分别看作一个整体乘方.
（3）分式相加减时，若分子是多项式，要适时添加括号，尤其注意减式的分子是多项式的情况；
3.最终的结果应化为最简分式或整式.
教师带领学生复习旧知，为这节课的学习做准备.
【新知探究】
知识点分式的混合运算
[提出问题]我们已经学过了分式乘除、乘方的运算法则和分式加减的运算法则，那么将分式的乘除、乘方和加减运算混合在一起，应该怎么计算呢？
[学生思考]学生独立思考，教师引导学生可类比分数的的混合运算，点名学生回答,其他学生纠正，补充.
[提出问题]我们的猜想对不对呢？做了这几道题，大家就知道了！
[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：
例1 计算.
解：原式先算乘方
再算乘法
然后算减法
最后约分化简
例2 计算：(1)；
解：原式先算括号里的
再算乘法
最后化简
解：原式
先算括号里的
再算乘法
最后化简
[归纳总结]分式的混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：
例3 计算： .
解：原式
[提出问题]你也是这样做的吗？这样做正确吗？教师引导学生观察：
，可将a+b看成一个整体，然后分解因式，从而得到最终答案：
你还有其他更简便的解法吗？
[学生思考]学生独立思考，教师引导学生可利用运算律简化运算，学生将自己的解题过程写在练习本上.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下第二种做法：
解：原式=
[归纳总结]分式混合运算应根据式子的特点，选择灵活简便的方法计算，注意使用运算律.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：
例4（2021 烟台）先化简，再求值：，从﹣2＜x≤2中选出合适的x的整数值代入求值．
解：原式＝[]
＝
＝
＝.
∵﹣2＜x≤2且（x+1）（x﹣1）≠0，2﹣x≠0，
∴x的整数值为﹣1，0，1，2且x≠±1，2，
∴x＝0，
当x＝0时，原式＝＝﹣1．
提醒学生注意：作为除式的分式，其分子也不能为0.
【课堂小结】
【课堂训练】
1．（2021 临沂）计算（a﹣）÷（﹣b）的结果是（ A ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
2．（2021 眉山）化简（1+）÷的结果是（ B ）
A．a+1 B． C． D．
3．（2021 包头）化简：＝ 1 ．
4．（2021 南京）计算：．
解：原式＝[﹣+]
＝
＝
＝．
6．（2021 毕节市）先化简，再求值：÷（a﹣），其中a＝2，b＝1．
解：原式＝÷
＝
＝.
当a＝2，b＝1时，原式＝＝3．
7．（2021 鄂尔多斯）先化简：÷（2x﹣），再从﹣2，0，1，2中选取一个合适的x的值代入求值．
解：原式=
＝
＝
＝﹣，
∵x≠0，2，﹣2，
∴当x＝1时，原式＝﹣．
8．（2021 菏泽）先化简，再求值：1+÷，其中m，n满足＝﹣．
解：原式＝1+
＝1﹣
＝﹣
＝.
∵＝﹣，∴m＝﹣n，∴原式＝＝＝﹣6．
9．（2021 达州）化简求值：（1﹣）÷()，其中a与2，3构成三角形的三边，且a为整数．
解：原式＝
＝
＝﹣2(a﹣2)
＝﹣2a+4.
∵a与2，3构成三角形的三边，∴3﹣2＜a＜3+2,即1＜a＜5.
∵a为整数，∴a＝2,3或4.
又∵a﹣2≠0,a﹣4≠0,∴a≠2且a≠4,∴a＝3.
当a=3时，原式＝﹣2a+4＝﹣2×3+4＝﹣6+4＝﹣2．
【教学反思】
本节课是以分式的乘除、乘方、加减为基础的，是这三个知识点的一个升华.所以也没有太多新的知识点，我以讲解例题为主，使学生在分析例题、解决例题的过程中，总结方法、归纳技巧.课堂上效果还可以，但通过课下批改作业，还是发现了不少问题：（1）对于法则相互混淆、张冠李戴；（3）审题不到位；（2）畏难心里.针对这三大问题，我也打算从以下三点作改正：（1）对于容易混淆的知识点，做到分散解决、重点突破、及时检查、个别辅导,切不可让问题淤积,尽可能在每次新课前帮助中下层生查缺补漏,对可能出现的普遍性错误重点讲解,以便引起学生的足够重视；（2）分式运算的审题,我觉得至少包含以下几个方面内容的思考和分析:①全题包含了哪些运算;②各运算之间的先后顺序如何 ③算式中有无应先整理的式子(如分数小数系数、多项式排列混乱、需要先因式分解等);④是否有简便方法;⑤哪些地方容易忽视和出错.将这些理念根深蒂固的植入学生脑子里.(3)提高学生的解题信心,提供适合各层次学生的练习,让中差生有一定比例的可做题,以增强他们的自信心,减轻他们的心理负担.第十五章 分式
15.2 分式的运算
15.2.3 整数指数幂
第1课时 负整数指数幂
一、教学目标
1.探索负整数指数幂的意义，掌握整数指数幂的运算性质.
2.能熟练运用整数指数幂的运算性质进行计算.
二、教学重难点
重点：整数指数幂的运算性质.
难点：运用整数指数幂的运算性质进行计算.
三、教学过程
【新课导入】
[复习导入]
0指数幂：当a≠0时，a0= 1 .
教师带领学生复习旧知，并完成“练一练”，为这节课的学习做准备.
【新知探究】
知识点负整数指数幂
[提出问题]am中指数m可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂am表示什么？我们以“a3÷a5”为例，你是怎么计算的？
[学生思考]学生独立思考，将自己的解题过程写在练习本上，教师点名学生回答,其他学生纠正，补充.学生的答案可能是：
[提出问题]我们能不能用公式“am÷an=am-n(a≠0,m,n是正整数，m＞n)”来计算呢？
[学生思考]学生很容易回答“不能”，因为该公式要求m＞n，而a3÷a5不符合.
[提出问题]假设把该运算性质中的m＞n这个条件去掉呢？大家试一试！
[学生思考]学生独立思考，将自己的解题过程写在练习本上，教师点名学生回答,其他学生纠正，补充.学生的答案可能是：a3÷a5=a3-5=a-2.
[归纳总结]a-2与相等吗？为了使上述运算适用范围更广，同时也可以更简便地表示分式，数学中规定：
负整数指数幂：一般地，当n是正整数时，（a≠0）.这就是说a-n（a≠0）是an的倒数.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下做一做：
填空：（1）2-1=； 4-1=；
（2）2-3=； 3-2=；
（-4）-2=； -4-2=.
[提出问题]引入负整数指数幂和0指数后，am·an=am+n（m，n是正整数）这条性质能否推广到m，n是任意整数的情形？以“a3·a-5、 a-3·a-5 、a0·a-5”为例.
[学生思考]学生独立思考，将自己的解题过程写在练习本上，教师点名学生回答,其他学生纠正，补充.学生的答案可能是：a3·a-5=a-2;a-3·a-5=a-8;a0·a-5=a-5.
[提出问题]教师引导学生观察结果中的指数与原式中的指数，猜测他们之间存在什么关系？
[归纳总结]am·an=am+n这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然使用.
[提出问题]你可以用负整数指数幂或0指数幂对于其他正整数指数幂的运算性质进行验证，看看这些性质在整数指数幂范围内是否还使用.
[学生思考]学生独立思考，将自己的解题过程写在练习本上，进行验证，之后教师点名学生回答,其他学生纠正，补充.最终得到正整数指数幂的运算性质在整数指数幂范围内还能使用.
[归纳总结]
[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：
例1 计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
解：（1）;
;
（3）；
（4）.
[归纳总结]整数指数幂的运算结果一般要用正整数指数幂来表示.
[课件展示]
[课件展示]跟踪训练
1.若(a-1)-1有意义,则a的取值范围是( D )
A . a≠0 B. a≠2 c. a≠-l D.a≠l
【解析】∵(a-1)-1有意义,∴a-1≠0，即a≠1.故选D.
提醒学生注意：当指数为负数和0时，一定要保证底数不是零.
2.计算：
(1)a2b－2·(a－2b)3； (2)(3x2y－2)2÷(x－2y)3；
(3)(3×10－5)3÷(3×10－6)2.
解：(1)原式＝a2b－2·a－6b3＝a－4b
（2）原式＝9x4y－4÷x－6y3＝9x4y－4·x6y－3＝9x10y－7
(3)原式＝(27×10－15)÷(9×10－12)＝3×10－3
3.求证：
(1) (2)
证明：(1) （2）
[归纳总结]负整数指数幂的三个常用结论：
（1）an与a-n互为倒数；（2）；（3）.
[归纳总结]分式混合运算应根据式子的特点，选择灵活简便的方法计算，注意使用运算律.
【课堂小结】
【课堂训练】
下列各式的值最小的是( C )
A.20B.|-2| C.2-1D.-(-2)
若a=-0.32, b=3-2,c=,则a、b、c的大小关系是( A )
A.a＜b＜cB.b＜a＜c
C.a＜c＜bD.c＜a＜b
3.计算的结果为( A )
A.2-7B.27C.-48D.-4-8
4．定义一种新的运算：如果a≠0．则有a▲b＝a﹣2+ab+|﹣b|，那么（﹣）▲2的值是（ B ）
A．﹣3 B．5 C．﹣ D．
5.若3n=，则n= -3 .
6．若4﹣3×4﹣1×40＝4p，则p的值为 ﹣4 ．
7.计算：
（1）=;
（2）=；
（3）=;
（4）=.
8.计算：-1-2022+（2022-π）0-(）-2+（-2）3.
解：原式=+1-+(-8)
=1+1-9-8=-15.
9.计算：（1） ；
（2）.
解：（1）原式
（2）原式
【教学反思】
本节课是在学习过的正整数指数幂和零指数幂的基础上展开的,特别是正整数指数幂,我们已经学习了5条运算性质:同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法、商的乘方,其中对同底数幂的除法,要求被除式的指数要大于除式的指数.我们抓住这个条件,展开探索,从约分和同底数幂的除法两个角度"殊途同归”说明了定义负整数指数幂的合理性,这样,就在运算的需要之下,实现了指数的扩充.然后引导学生利用负指数幂以及零指数幂通过验证的方式,针对以前5条性质进行再探讨.这节课课堂气氛活跃，学生都能积极投入到探索中去，不足之处在于学生容易把原有的5条性质混淆,今后的学习中还需进一步强调，学生课下还需多加练习.第十五章 分式
15.2 分式的运算
15.2.3 整数指数幂
第2课时 用科学记数法表示小于1的正数
一、教学目标
1.掌握用科学记数法表示较小的数的方法.
2.理解科学记数法中的指数与小数点后面零的个数的关系.
二、教学重难点
重点：用科学记数法表示较小的数的方法.
难点：科学记数法中的指数与小数点后面零的个数的关系.
三、教学过程
【新课导入】
[复习导入]负整数指数幂：一般地，当n是正整数时， （a≠0）.这就是说（a≠0）是 的倒数.
当指数为负整数或0时，一定要保证底数 不为 0 .
0指数幂：当a≠0时，a0= 1 .
教师带领学生复习旧知，并完成“练一练”，为这节课的学习做准备.
【新知探究】
知识点 科学记数法
[提出问题]我们已经知道，一些较大的数适合用科学记数法表示.例如，光速约为3×108m/s，太阳的半径约为6.96×105km，2010年世界人口数约为6.9×109等.你还会把468000写成科学记数法的形式吗？
[学生思考]学生独立思考，将自己的解题过程写在练习本上，教师点名学生回答,其他学生纠正，补充.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下解题过程：
学生对照自己的解题过程，纠正答案.
[提出问题]0.00468能不能也用科学记数法表示呢？我们先来解答一下这个问题：
= ；
= ；
= ；
······
学生能很快解答出答案：10-1、10-2、10-3.
想：0.00468=
[学生回答]学生根据=10-3很容易得到4.68 ×10-3.
所以有了负整数指数幂后，小于1的正数也可以用科学记数法表示.
[归纳总结]用科学记数法表示小于1的正数：小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的形式，其中1≤a＜10，n是正整数.
[提出问题]对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一个非0数字前有8个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数是多少？如果有m个0呢？
[小组讨论]学生小组间互相讨论，教师点名每组学生代表回答.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下两位学生的答案：
生甲：对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一个非0数字前有8个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数是-9；如果有m个0，10的指数是-m-1.
生乙：我认为10的指数应该是-8和-m.
[提出问题]谁对谁错呢？我们来研究一下！
[课件展示]教师利用多媒体展示如下探究过程：
[提出问题]你发现了什么？
[学生思考]学生独立思考，之后教师点名学生回答.
[归纳总结]指数-n中的n与原数中左起第一个非0数字前0的个数（包括小数点前的那个0）相等.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下用科学记数法表示“绝对值大于1的数”和“绝对值小于1的数”的区别：
[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：
例1 用科学记数法表示下列各数：
（1）0.0000000397； （2）-0.0000506.
解：（1）0.0000000397=3.97×10-8;
确定n的方法：方法一：第一个不为0的数字是3，3的前面有8个0（包括小数点前面的0），则n的值就是8.方法二：0.0000000397中的小数点向右移动8位才是3.97，所以n=8.
解：（2）-0.0000506=-5.06×10-5.
确定n的方法：方法一：第一个不为0的数字是5，5的前面有5个0（包括小数点前面的0），则n的值就是5. 方法二：0.0000506中的小数点向右移动5位才是5.06，所以n=5.
提醒学生：对于负数，用科学记数法表示后，仍然带上符号“-”.
[归纳总结]用科学记数法表示小于1的数的一般步骤：
（1）确定a：a是绝对值大于或等于1且小于10的数；
（2）确定n：确定n的方法有两种：①n等于原数中左起第一个非0数前0的个数（包括小数点前的那个0）；②小数点向右移到第一个非0的数后，小数点移动了几位，n就等于几；
（3）将原数用科学记数法表示为a×10-n.
注意事项：（1）对于大于-1的负数也可以类似地用科学记数法表示，即绝对值小于1的数都可以用科学记数法表示成a×10-n的形式（其中1≤∣a∣<10，n是正整数）；（2）用科学记数法表示绝对值小于1的数时，10的指数是负数，一定不要忘记指数n前面的“-”号；（3）用科学记数法表示一个负数时，不要忘了前面带“-”号，用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示结果也应带有单位.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：
例2 将下列用科学记数法表示的数还原.
（1）9×10-4= 0.0009 ；
（2）-3.05×10-5= -0.0000305 ；
（3）4.62×10-6= 0.00000462 ；
（4）2.17×10－1= 0.217 .
【解析】n的值是“几”，则说明第一个不为0的数字前面有“几”个“0”.
例3 纳米(nm)是非常小的长度单位，1nm=10-9m.把1nm3的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上.1mm3的空间可以放多少个1nm3的物体（物体之间的间隙忽略不计）？
解：1mm=10-3m，1nm=10-9m.
(10-3)3÷(10-9)3=10-9÷10-27=10-9-(-27)=1018.
1mm3的空间可以放1018 个1nm3的物体.
[课件展示]跟踪训练
1.（2021·通辽）冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约为0.00000012米，数据0.00000012用科学记数法表示为 1.2×10-7 .
2.(2021·南京玄武区二模)纳米( nm )是非常小的长度单位，lnm=10-9m,我国某物理研究所已研制出直径为0.5nm的碳纳米管, 用科学记数法表示0.5nm是 5×10-10 m.
3.(2021·云南模拟)一种细菌的半径是1.91×10-5米,用小数表示为 0.0000191 米.
【课堂小结】
【课堂训练】
1．（2021 鄂尔多斯）世卫组织宣布冠状病毒最大直径约为0.00000012m，“0.00000012”用科学记数法可表示为（ A ）
A．1.2×10﹣7 B．0.12×10﹣6 C．12×10﹣8 D．1.2×10﹣6
2．（2021 石家庄一模）0.00007用科学记数法表示为a×10n，则（ A ）
A．a＝7，n＝﹣5 B．a＝7，n＝5 C．a＝0.7，n＝﹣4 D．a＝0.7，n＝4
3．（2021 宁波模拟）若用科学记数法表示为1.8×10﹣10，则n的值是（ A ）
A．9 B．10 C．11 D．12
4．（2021 衡水模拟）我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了米，用科学记数法表示为（ D ）
A．2×10﹣5 B．2×10﹣6 C．5×10﹣5 D．5×10﹣6
5．（2021 聊城）已知一个水分子的直径约为3.85×10﹣9米，某花粉的直径约为5×10﹣4米，用科学记数法表示一个水分子的直径是这种花粉直径的（ C ）
A．0.77×10﹣5倍 B．77×10﹣4倍
C．7.7×10﹣6倍 D．7.7×10﹣5倍
【解析】根据题意，得（3.85×10﹣9）÷（5×10﹣4）＝（3.85÷5）×（10﹣9÷10﹣4）＝0.77×10﹣5＝7.7×10﹣6，故选C．
6.用小数表示下列各数.
（1）6×10-6= 0.000006 ；
（2）3.14×10-3= 0.00314 ；
（3）1.8×10-8= 0.000000018 ；
（4）5.07×10－1= 0.507 .
7.比较大小：
（1）4.01×10－4 ＜ 4.01×10－3；
（2）2.01×10－4 ＜ 8.01×10－4.
8.用科学记数法表示的数的计算：
（1）； （2）.
解：（1） （2）
提醒学生：注意科学记数法表示的数是一个整体，要用括号括起来.最终结果要用科学记数法表示.
【教学反思】
本节课在第1课时已掌握负整数指数幂及在全体整数范围内的整数指数幂的运算掌握的基础上,在七年级已学过用科学记数法表示绝对值大于10的较大的数的基础上,继续学习用科学记数法表示绝对值小于1的较小的数.内容很简单,目标也很明确.因为是基础考点，学生掌握的都比较好，个别学生在确定n值的问题上，还有欠缺，应课下再对其加强辅导.第十五章 分式
15.3 分式方程
第1课时 分式方程及其解法
一、教学目标
1.了解分式方程的概念，掌握解分式方程的基本思路.
掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法.
3.理解分式方程无解的原因，掌握分式方程验根的方法.
二、教学重难点
重点：解分式方程的基本思路和解法.
难点：理解分式方程无解的原因.
三、教学过程
【新课导入】
[复习导入]方程的概念：指含有未知数的等式.
一元一次方程：指只含有一个未知数，未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式.
二元一次方程：指含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.
一元一次方程和二元一次方程都是整式方程.
整式方程是指方程里面所有的未知数都出现在分子上，分母只是常数而没有未知数.
教师带领学生复习旧知，并完成“练一练”，为这节课的学习做准备.
【新知探究】
知识点1 分式方程的定义
[提出问题]一辆汽车从甲地开往乙地需要5小时，返回时每小时少行驶15千米，多用了1小时，求甲、乙两地间的距离是多少千米？
一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江流顺流航行90 km所用的时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，则江水的流速为多少？
[学生思考]学生独立思考，之后教师点名学生回答,得到如下两个方程：
设甲、乙两地间的距离是x千米，则你列得的方程为.
设江水的流速为多少vkm/h，则你列得的方程为.
[提出问题]观察得到的两个方程，两者有什么区别？教师可引导学生观察分母的不同.
[小组讨论]学生小组间互相讨论，教师点名每组学生代表回答.最终总结得到：方程是我们学习过的一元一次方程；方程是是分式方程.
[归纳总结]分式方程的定义：分母中含未知数的方程叫做分式方程.
[课件展示]跟踪训练
下列各式哪些是整式方程？哪些是分式方程？
是整式方程的有： ；
是分式方程的有： .
提醒学生：不含未知数，不是方程；不是等式，不是方程.中，π不是未知数.
[归纳总结]判断一个式子是否为分式方程的注意事项：（1）分式方程必须满足的条件：①是方程；②含有分母；③分母中含有未知数.三者缺一不可.（2）分母中含有字母的方程不一定是分式方程，如关于x的方程分母中虽然含有字母m，但m不是未知数，所以该方程是整式方程.
知识点2 分式方程的解法
[提出问题]如何解分式方程？我们先来看一下刚才的解题过程：
通过这道题，你有什么灵感了吗？
[小组讨论]学生小组间互相讨论，同时教师引导学生可将未知的问题转化为已知的问题求解，由于学习过整式方程的解法，所以我们可以将分式方程转化为整式方程来解答.仿照刚才复习的解一元一次方程的过程，学生通过思考如下三个问题，逐步找到解分式方程的思路：
[课件展示]教师利用多媒体展示如下解题过程：
解：方程两边乘(30+v)(30-v)，得90(30-v)=60(30+v).
解得 v=6.
检验：将v=6代入原分式方程中，左边==右边，
因此v=6是原分式方程的解.
[归纳总结]解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”， 即方程两边乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.
[提出问题]下面我们再讨论一个分式方程：.请你试着解一解吧！
[学生思考]学生独立思考，将自己的解题过程写在练习本上，之后教师点名学生，其他学生订正，补充.学生发现，把x=5代入原分式方程检验，发现这时分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.
[教师总结]x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程的解.实际上，这个分式方程无解.
[提出问题]上面两个分式方程中，为什么去分母后所得整式方程的解就是①的解，而去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？
[小组讨论]学生小组间互相讨论，教师点名每组学生代表回答.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下思考过程：
[归纳总结]一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
这是解分式方程必不可少的步骤.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：
例1 解方程
解：方程两边乘x(x-3),得2x=3x-9.
解得 x=9.
检验：当x=9时，x(x-3)≠0.
所以，原分式方程的解为x=9.
例2 解方程
解：方程两边乘(x-1)(x+2),得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.
解得x=1.
检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0,因此x=1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
提醒学生：常数项“1”也要乘以最简公分母.
拓展点：将分式方程转化为整式方程，若整式方程的解使分式方程的最简公分母为0，则这个解叫做原分式方程的增根.x=1是该分式方程的增根.
[归纳总结]
简记为：一去二解三检验.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：
例3 解关于a的方程：
解：方程可变形为
整理，得
方程两边乘（a+2)(a-2),得 6(a-2)-（a+3)（a+2)+a2=0.
解得 a=18.
检验：当a=18时，（a+2)(a-2)≠0.
所以，原分式方程的解为a=18.
提醒学生注意：分解因式和约分.当分子是多项式时，加括号.
[归纳总结]解分式方程的注意事项:
（1）①当分式方程中含有可分解因式的多项式时,先将其进行因式分解,可方便确定最简公分母；②分母因式分解后,观察分式的分子和分母，能约分的要先约分,可方便计算;
（2）解分式方程的关键是去分母，在去分母时，分式方程两边的每一项都要乘最简公分母，注意不要漏乘不含分母的项；
（3）如果分式的分子是多项式，那么去分母时，一定要先将分子加上括号；
（4）因为解分式方程可能会产生不适合原方程的解，所以检验是解分式方程的必要步骤.
知识点3 含有字母的分式方程的解法
[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：
例4 解关于x的分式方程：
[提出问题]该分式方程中除了含有表示未知数x的字母外，还含有表示已知数的字母a、b，这样的方程叫做含有字母的分式方程.原方程是关于x的分式方程，则x表示未知数，a、b表示已知数，将字母a、b看作是常数，按照解一般分式方程的步骤即可. 你会解答吗？试一试吧！
[学生思考]学生独立思考，将自己的解题过程写在练习本上.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下解题过程：
解：方程两边乘abx,得bx-a2b=ax-ab2.
整理,得（a-b）x=-ab（a-b）.
因为a≠b，所以a-b≠0.
方程两边除以a-b,得x=-ab.
检验：当x=-ab时，abx=-a2b2≠0,因此x=-ab是原分式方程的解.
[归纳总结]含有字母的分式方程的解法及注意事项：
含有用字母表示的已知数的分式方程的解法与含数字系数的分式方程的解法一样,也是去分母、解整式方程、检验这三个步骤，只是字母所表示的数未确定，所以要注意:(1)去分母时两边同时乘以最简公分母，需验证最简公分母是否等于0;(2)在系数化为1时，要注意分类讨论，系数是不是0.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：
例5 （2021 雅安）若关于x的分式方程2﹣＝的解是正数，则k的取值范围是 k＜4且k≠0 ．
【解析】方程两边乘x-2，得2（x﹣2）﹣（1﹣k）＝﹣1.解得x＝.
∵分式方程的解为正数，且x≠2，
∴，且.解得k＜4且k≠0.故答案为k＜4且k≠0．
[归纳总结]求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：
例6 若分式方程＝无解，求实数a的值.
[归纳总结]无解与增根的区别
分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．
分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．
[课件展示]教师利用多媒体展示如下解题过程：
解：方程两边乘(x-2)2，得x﹣2＝ax﹣3.整理，得（a﹣1）x＝1.∵分式方程＝无解，∴(1)最简公分母为0，即x＝2，把x＝2代入（a﹣1）x＝1,得2（a﹣1）＝1，解得a＝；(2)整式方程（a﹣1）x＝1无解，即a﹣1＝0，解得a＝1．故实数a的值为1或．
【课堂小结】
【课堂训练】
1.下列关于x的方程，是分式方程的是（ B ）
A． B．
C． D．
2．(2021·成都金牛区模拟)方程去分母后的结果正确的是( C )
A.2-1-x=1 B.2-1+x=1
C.2-l+x=2x D.2-1-x=2x
3．（2021 广州）方程＝的解为（ D ）
A．x＝﹣6 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝6
4．（2021 怀化）定义a b＝2a+，则方程3 x＝4 2的解为（ B ）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
【解析】根据题中的新定义，得3 x＝2×3+，4 2＝2×4+，∵3 x＝4 2，∴2×3+＝2×4+.解得x＝.经检验，x＝是分式方程的根．故选B．
5．(1)（2021 海南）分式方程＝0的解是 x＝1 ．
(2)（2021 常德）分式方程+＝的解为 x＝3 ．
6．（2021 达州）若分式方程﹣4＝的解为整数，则整数a＝ ±1 ．
【解析】方程两边乘（x+1）（x﹣1），得（2x﹣a）（x+1）﹣4（x+1）（x﹣1）＝（x﹣1）（﹣2x+a）.
整理,得ax＝2.∵a为整数，∴解得x=.
∵x为整数，且x≠±1，∴a＝±1．故答案为±1．
解下列方程：（1）（2021 广西）＝+1；
（2）（2021 连云港）﹣＝1；
（3）.
解：（1）方程两边乘3（x+1），得
3x＝x+3x+3.
解得x＝﹣3.
检验：当x＝﹣3时，3（x+1）≠0.
所以，原分式方程的解为x＝﹣3．
（2）方程两边乘（x+1）（x﹣1），得
（x+1）2﹣4＝（x+1）（x﹣1）.
整理,得2x﹣2＝0.
解得x＝1．
检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
因此x＝1不是原分式方程的解．
所以原分式方程无解．
原分式方程可化为.
,
方程两边乘(2x+1)(2x-1)，得x+1=3(2x-1)-2(2x+1).
解得x=6.
检验：当x=6时，(2x+1)(2x-1)≠0，
所以,原分式方程的解是x=6.
已知关于x的分式方程的解与方程的解相同，求a的值.
解：解分式方程，得x=2.经检验，x=2是原方程的解.
因为关于x的分式方程的解与方程的解相同.
所以将x=2代入，可得.
解得a=-3.
经检验，a=-3是方程的解，所以a=-3.
9.若关于x的分式方程有解，求k的取值范围.
解：方程两边乘x(x-1)，得6x=x+3-k(x-1).整理，得(5+k)x=3+k.
因为原分式方程有解，所以①整式方程(5+k)x=3+k有解，即5+k≠0；
②x(x-1)≠0，即x≠0，x≠1.
解得整式方程(5+k)x=3+k，得.
所以5+k≠0，，.解得k≠-3且k≠-5.
所以k的取值范围是k≠-3且k≠-5.
【教学反思】
本节课的重点是探究分式方程的解法,我首先举一道一元一次方程复习其解法,然后通过解一道分式方程,启发引导学生参照一元一次方程的解法,由学生自己探索、归纳分式方程的解法.在经历知识的发现过程中,培养了学生探究、归纳的能力.运用类比教学法具有优点,也有不足:1.通过复习一元一次方程的解法,学生在探究、归纳分式方程解法的同时进行类比,让学生在解分式方程时有法可循,而不会觉得无从下手；2.把分式方程的解法与一元一次方程的解法进行相比较,让学生既可以温习旧知识,又可以加深对新知识的记忆；3.通过对一元一次方程和分式方程解法的类比,更能突显分式方程解法中验根的重要性。4.在课堂上,由于复习旧知识、归纳分式方程解法和讲解例题占用时间比较多,留给学生做练习的时间较少.课下作业反馈，学生对分式方程无解还是理解不透彻，还需强调.第十五章 分式
15.3 分式方程
第2课时 列分式方程解决实际问题
一、教学目标
1.会列分式方程解决实际问题.
2.能根据题意找出正确的等量关系，列出分式方程并求解，会根据实际意义验证结果是否合理.
二、教学重难点
重点：能通过列分式方程解决实际问题.
难点：找出实际问题中的数量关系，并列出方程.
三、教学过程
【新课导入】
[复习导入]1.分式方程的定义：分母中含未知数的方程叫做分式方程.
2.解分式方程的一般步骤：一去二解三检验.
3.分式方程验根的方法：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
4.分式方程无解有两种情况：①使最简公分母为0的数；②分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．
教师带领学生复习旧知，并完成“练一练”，为这节课的学习做准备.
【新知探究】
知识点列分式方程解决实际问题
[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：
例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？
[学生思考]学生独立思考，将自己的解题过程写在练习本上，教师巡视，并提醒学生该题属于工程问题，会用到“工作总量=工作效率×工作时间”，之后教师点名学生回答.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下分析及解题过程：
解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的，记总工程量为1，根据工程的实际进度，得
方程两边乘6x，得2x+x+3=6x.解得x=1.
检验：当x=1时，6x≠0.
所以，原分式方程的解为x=1.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的，可知乙队的施工速度快.
[提出问题]你列出的方程是这样吗？这道题的等量关系还可以怎么找？
[学生回答]学生举手，教师点名回答.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下分析及解题过程：
分析：设乙队单独施工1个月能完成总工程的.
[教师总结]一道题里可能有很多不同的等量关系，根据不同的等量关系列出的方程不同.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：
例2 某次列车平均提速v km/h，用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？
[学生思考]学生独立思考，将自己的解题过程写在练习本上，教师巡视，并提醒学生该题属于行程问题，会用到“路程=速度×时间”，之后教师点名学生回答.
[课件展示]教师利用多媒体展示如下分析及解题过程：
分析：题目中的v、s均表示已知数据，设提速前列车的平均速度为x km/h，那么提速前行驶s km所用的时间为h，提速后列车的平均速度为 (x+v) km/h，提速后列车运行(s+50) km所用时间为 h.
解：设提速前这次列车的平均速度为x km/h，则提速前它行驶s km所用时间为h，提速后列车平均速度为(x+v) km/h，提速后它行驶(s+50) km所用时间为h.
根据行驶时间的等量关系，得
方程两边乘x(x+v)，得s(x+v)=x(s+50).
解得.
检验：由v，s都是正数，得时，x(x+v)≠0.
所以，原分式方程的解为.
答：提速前列车的平均速度为km/h.
[归纳总结]列分式方程解决实际问题的一般步骤
1.审：审清题意，分清题中的已知量、未知量；
2.找：找出题中的相等关系，
3.设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性；
4.列：根据题中的相等关系，正确列出分式方程；
5.解：解所列分式方程；
6.验：既要检验所得的解是否为所列分式方程的解，又要检验所得的解是否符合实际问题的要求；
7.答：写出答案.
列分式方程解决实际问题的重点
（1）审题时，先寻找题目中的关键词，然后借助列表、画图等方法准确找出相等关系.当题目中包含多个相等关系时，要选择一个能够体现全部（或大部分）题意的等量关系列方程.
（2）设未知数时，一般题中问什么就设什么，即设直接未知数；若设直接未知数难以列方程，则可设另一个相关量为未知数，即设间接未知数；有时设一个未知数无法表示等量关系，可设多个未知数，即设辅助未知数.
实际应用题中常见的基本数量关系
（1）行程问题：路程=速度×时间；
（2）工程问题：工作总量=工作效率×工作时间；
（3）利润问题：利润=售价-进价；
利润率=(利润/进价)×100%；
打折销售价=定价×折数.
【课堂小结】
【课堂训练】
1．根据市场需求，某药厂要加速生产一批药品，现在平均每天生产药品比原计划平均每天多生产500箱，现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同，那么原计划平均每天生产多少箱药品？设原计划平均每天可生产x箱药品，则下面所列方程正确的是（ D ）
A． B．
C． D．
2． “五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设原来参加游览的同学共x人，则所列方程为（ D ）
A． B．
C． D．
3．小明从家乘车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25km，路线二的全程是30km，走路线二的平均车速是走路线一的平均车速的1.6倍，因此到达体育场比走路线一少用10min．若设走路线一的平均车速为xkm/h，根据题意，可列方程为（ A ）
A． B．
C． D．
4．某出租车公司为降低成本，推出了“油改气”措施，如图，y1，y2分别表示燃油汽车和燃气汽车行驶路程s（单位：千米）与所需费用y（单位：元）的关系，已知燃气汽车每千米所需的费用比燃油汽车每千米所需费用少0.5元，设燃气汽车每千米所需费用为x元，则可列方程为（ D ）
A． B．
C． D．
5.某地积极响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则所列方程为 ﹣＝30 ．
6．某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？
解：设该商品打折前每件x元，则打折后每件0.8x元.
根据题意，得+2＝.
解得x＝50.
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意．
答：该商品打折前每件50元．
7．为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．
（1）足球和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？
解：（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是（2x﹣30）元.
依题意，得＝2×.
解得x＝60.
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意.
∴2x﹣30＝90．
答：足球的单价是60元，篮球的单价是90元．
（2）设学校可以购买m个篮球，则可以购买（200﹣m）个足球.
依题意，得90m+60(200﹣m)≤15500.
解得m≤．
又∵m为正整数，
∴m可以取的最大值为116．
答：学校最多可以购买116个篮球．
8．接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．
（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？
（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？
解：（1）设该厂当前参加生产的工人有x人，则原来有工人（x+10）人.由题意，得
.
解得x＝30.
经检验,x＝30是原分式方程的解，且符合题意．
答：当前参加生产的工人有30人.
（2）每人每小时完成的数量为16÷8÷40＝0.05（万剂）.
设还需要生产y天才能完成任务.由题意，得
4×15+（30+10）×10×0.05y＝760.
解得y＝35.
35+4＝39（天）.
答：该厂共需要39天才能完成任务．
【教学反思】
本节课我们学习的是分式方程应用题,教学重点是要学生们建立分式方程应用题的思维模型,会根据题中的条件找出等量关系,同时列出分式方程,并解答.我采取了老师引导,学生思考、展示相结合的方法进行教学,首先从审、找、设、列、解、验、答几个步骤对两道例题进行了详细的讲解和板演，让学生们对解分式方程应用题的步骤和思路有一个清晰而深刻的认识,同时也对书写的过程有准确的概念.通过引导学生列表分析、找重点语句、探寻等量关系等，使学生充分地动口、动脑，参与教学全过程,也使学生有章可循,并取得了很好的效果.通过本节课的教学，也暴露了一些不足之处:（1）学生们对于检验的过程总是容易丢失,说明还是对检验这个必要的步骤理解的不是很深刻,所以会出现易遗忘的现象,也暴露了我在教学时强调的力度还是不够,以后应着重强调.（2）对于等量关系的寻找,还有很多学生有困难,尤其是对题中条件比较多,或是等量关系比较隐含的应用题,在寻找等量关系的时候感到无从下手,或者出现了顾此失彼的现象。这也说明了教师在讲授应用题时应将重点放在怎样帮学生寻找等量关系,怎样从繁琐的条件中拨开云雾,理清思路,这是应用题教学的重中之重.
