第十一章三角形全章导学案

11．1．1三角形的边
活动一:三角形的有关概念
1．【读中学】阅读课本P2页“思考”以上的内容．
要求：请将看到课本中的重点概念做上记号，并整理到笔记本上．
2．【导中学】
3． 【习中学】
1．做课本P4页练习1．
2．（1）△ADC的三个顶点分别是 ，
三个内角分别是 ；
（2）∠B是哪些三角形的内角； ；
（4）AE是哪些三角形的边： ；
（5）∠B是△ABC，△ABE、△ABD中 ， ， 边的对角；
（6）AC分别是△AEC，△ADC，△ABC中∠ ，∠ ，∠ 的对边．

活动二: 三角形的分类
1．【读中学】
阅读课本P2“思考”至P3的内容，请将重点内容做上记号，自己看懂例题并整理到笔记本上．
要求：请将重点内容做上记号，并整理到笔记本上．
2．【导中学】
3．【习中学】
1．下列说法：（1）三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；（2）等腰三角形可以是等边三角形；（3）等边三角形一定是等腰三角形；（4）有两边相等的三角形一定是等腰三角形．其中说法正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2． 已知三角形ABC三边a、b、c满足（a﹣b）2+|b﹣c|=0，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．不等边三角形 C．等边三角形 D．以上都不对
活动三：三角形三边关系
1． 【读中学】阅读课本P3页 探究以及例题．
要求：请将本章学习的主要内容做上记号，并整理到笔记本上．
2．【导中学】
3． 【习中学】
1．课本P4练习2
2．课本P8习题11．1，第2、6、7题
【当堂检测】
1．如图所示：
（1）图中共有 个三角形；
（2）△ABE的顶点是 ，三个内角是 ；
（3）∠B是哪些三角形的内角； ；
（4）AC是哪些三角形的边： ；
（5）∠B是△ABC，△DBC中 ， 边的对角；
（6）AC分别是△AOC，△ADC，△AEC，△ABC中∠ ，∠ ，∠ ，
∠ 的对边．

第1题 第2题
2．已知△ABC三边a，b，c，满足（a-b）（b-c）=0，则△ABC的形状是（ ）
A、等腰三角形 B、等边三角形 C、不等边三角形 D、以上都不对
3．一个三角形的三边长分别为4，7，x，求x的取值范围．
4（1）等腰三角形一边等于5，另一边等于8，求这个三角形的周长．
（2）已知，三角形三边的比是3：4：5，且最大边长与最小边长的差是4，求这个三角形的三条边的长．
5．四边形ABCD是任意四边形，AC与BD交点O．求证：AC+BD＞（AB+BC+CD+DA）．
证明：在△OAB中有OA+OB＞AB
在△OAD中有 ，
在△ODC中有 ，
在△ 中有 ，
∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB＞AB+BC+CD+DA
即： ，
即：AC+BD＞（AB+BC+CD+DA）
【拓宽延伸】
1．若a，b，c是△ABC的三边的长，化简|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c+a﹣b|．
2．两根木棒的长度分别是5cm和7cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，
如果第三根木棒的长为偶数，那么这个三角形的周长为多少？
3．如图所示，P是△ABC内一点，连接PB、PC，试比较PB+PC与AB+AC的大小．
4．原三角形如图，如图1，原三角形内部有1个点时，原三角形可被分成3个三角形；
如图2，原三角形内部有2个不同点时，原三角形可被分成5个三角形；
如图3，原三角形内部有3个不同点时，原三角形可被分成7个三角形；…以此类推，
原三角形内部有n个不同点时，原三角形可被分成 个三角形．
5．一个三角形的边长分别为x，x，24﹣2x，
（1）求x可能的取值范围；（2）如果x是整数，那么x可取哪些值？

11．1．2三角形的高、中线、角平分线
11．2．3三角形的稳定性
活动一:三角形的高
1．【读中学】阅读课本P4页三角形高的定义的部分，将本章学习的主要内容做上记号，
并整理到笔记本上．
2．【导中学】
3． 【习中学】
1．作出下列三角形三边上的高：
(1) (2) (3)
（1）上面第1图中，AD是△ABC的边BC上的高，则∠ADC=∠ = °．
（2）归纳：①三角形的三条高线所在的直线相交于 点；②锐角三角形的三条高相交于三角形的 ；③钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形的 ；④直角三角形的三条高相交三角形的 ．
2．课本P9页 习题11．1 第8题
活动二: 三角形的中线
1．【读中学】阅读课本P4，中线与三角形重心的部分，将主要内容做上记号，并整理到笔记本上．
2．【导中学】
3．【习中学】
1．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，
求△ABD与△ACD的周长之差为 cm．

2．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，S△ABC=4cm2，求S△ABE．
活动三：三角形的角平分线
1．【读中学】阅读课本P5页三角形角平分线的定义，将学习的主要内容做上记号，并整理到笔记本上．
2．【导中学】
3．【习中学】
做课本P8页“习题11．1”第9题
活动四：三角形的稳定性
1．【读中学】阅读课本P6-7页三角形的稳定性的内容，将主要内容做上记号，并整理到笔记本上．
2．【导中学】
3． 【习中学】
1．课本P7页“练习”．
2．课本P9页“习题11．1”，习题11．1，第10题．
3．课本P5页练习1、2．
4．课本P8页第3、4题．
【当堂检测】
1．如图所示，下列说法正确的是（　　）
　
A．
图甲，由AB，BC，DE三条线段组成的图形是三角形
　
B．
图乙，已知∠BAD=∠CAD，则射线AD是△ABC的角平分线
　
C．
图丙，已知点D为BC边上的中点，则射线AD是△ABC的中线
　
D．
图丁，已知△ABC中，AD⊥BC于D，则线段AD是△ABC的高线
2．如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，则①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线；③DE是△ADC的中线；④ED是△EBC的角平分线的结论中正确的有（　 　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

第4题 第5题
3．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条中线，若△ABC的周长是 cm．则AE+CD+BF= cm．
4．下列图形中具有稳定性是 ；（只填图形序号）
　
5．△ABC的边BC上的高为AF，AC边上的高为BG，中线为AC，已知AF=6，BC=10,BG=5．
(1)求△ABC的面积； (2)求AC的长；(3)说明△ABC和△ACD的面积的关系．

6．在等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分为15和6两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长．

【拓展延伸】
1．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．（1）在△BED中作BD边上的高，垂足为F；
（2）若△ABC的面积为40，BD=5，则△BDE中BD边上的高为多少？（3）过点E作EG∥BC，连接EC、DG且相交于点O，若S△ABC=a，S△COD=b，求S△GOC．（用含a、b的代数式表示）．
　
2．探索在如图（1）（2）（3）中，△ABC的面积为a．
(1)如图（1），延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1=__________(用含a的代数式表示)；

（1） （2） （3）
(2)如图（2），延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2=________(用含a的代数式表示)，并写出理由；
(3)在图（3）的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF(如图（3）)．若阴影部分的面积为S3,则S3=__________(用含a的代数式表示)．

11．2．1三角形的内角
活动一：三角形内角和定理的证明
1．【读中学】 阅读课本P11到P12例1上面的，体会三角形内角和定理的证明思想，思考是否还有其他方法证明三角形内角和定理。
2．【导中学】
3． 【习中学】
1．如图1，在三角形ABC中，∠B，∠BAC和∠C是它的三个内角．在学习了平行线的性质以后，我们可以用几何推理的方法去证明“三角形的内角的和等于180°”．请在以下给出的证明过程中填空或填写理由．
　　　　　　　　　
证明：如图2，延长BA，过点A作AE∥BC．
∵AE∥BC（已作）
∴∠1=∠ ，（ ）
又∵AE∥BC（已作）
∴∠2=∠ ，（ ）
∵∠1+∠2+∠BAC=180° （平角定义）
∴∠B+∠C+∠BAC=180° （ ），即，三角形的内角的和等于180°．
2．课本P16，习题11．2，第1题
活动二: 三角形内角和定理的几何应用
1．【读中学】阅读课本P12页“例1”，按要求做标记、整理笔记．
2．【导中学】
3．【习中学】
1．课本P13页练习1．
2．课本P16-17页“习题11．2”第3题、第9题．
活动三: 三角形内角和定理在实际问题中的应用
1．【读中学】
阅读课本P12页“例2”，例2，按要求做标记、整理笔记页
2．【导中学】
3．【习中学】
1．课本P13练页习2
活动四：直角三角形的性质与判定
1．【读中学】
阅读课本P13-14中直角三角形的性质和判定，按要求做标记、整理笔记．
2．【导中学】
3．【习中学】
1．课本P14页练习1，练习2
2．课本P16页“习题11．2”第4题，第10题．
【当堂检测】
1．课本P17页“习题11．2”第7题
2．课本P28-29页“复习题11”第6、7、8、11、12题
【拓宽延伸】
如图，△ABC中，BP、CP分别是∠ABC与∠ACB的平分线，BP、CP交△ABC内一点P．
（1）当∠A=50°时，求∠P的度数；
（2）当∠1=∠ABC，∠2=∠ACB时，你能说明∠P=90°+∠A成立吗？
（3）当∠1=∠ABC；∠2=∠ACB时，猜猜看：∠P与∠A又是什么关系？请说明理由；
（4）当∠1=∠ABC，∠2=∠ACB时，再猜猜，∠P与∠A又是什么关系？请直接写出∠P与∠A的关系式是： ．

11．2．2三角形的外角
活动一:三角形的外角的定义
1．【读中学】
阅读课本P14到P15例4上面，请将重点内容做上记号，并整理到笔记本上
2．【导中学】
3．【习中学】
1．如图所示，过点C作CF∥AB，且△ABC的一边BC延长到D，得到∠ACD，∠ACD为△ABC的一
个外角，请问：
（1）∠ACD与∠ACB有什么关系；
（2）∠ACD与∠A、∠B有什么数量关系与大小关系？
解：（1）∠ACD与∠ACB的关系是互补，即∠ACD+∠ACB=；
（2）由题目已知有∠ACD=∠A+∠B
因为CF∥AB
所以∠1= ；（ ）
∠2= ；（ ）
因为∠1+∠2=∠ACD；
所以∠ACD= + ；（ ）
结论：三角形的一个外角等于 的两个内角之和，且三角形的一个外角 与它不相邻的任何一个内角；
2．做课本P15页练习．
活动二: 三角形外角的应用
1． 读中学】阅读课本P15，例4，按要求做标记、整理笔记．
2．【导中学】
3．【习中学】
1．做课本P17页，第5题、第6题，第8题、第11题．
【当堂检测】
1．如图，x=______．
2．如图，于，，,那么= ，= ；

第1题 第2题
3．△ABC的三个内角度数之比是2：3：4，求它们对应的外角度数之比为____ __．
4．已知如图，∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°，则求∠DFE的度数为____ __．

第4题 第5题
5．如图所示，AE∥BD，∠1=95°，∠2=28°，求∠C的度数为____ __．
6．如图，D是△ABC的BC边上一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．

7．已知：如图，△ABC中，∠A=70°，∠ABC=48°，BD⊥AC于D，CE是∠ACB的平分线，
BD与CE交于点F，求∠CBD、∠EFD的度数．
　【拓展延伸】
1．如图，AC、BD相交于O，BE、CE分别平分∠ABD、∠ACD，且相交于点E．
求证：．
　
2．如图，在△ABC中，∠A=α．∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD
的平分线相交于点A2，得∠A2； …；∠A2013BC与∠A2013CD的平分线相交于点A2013，得∠A2013，
则∠A2013= ．