二次函数学案
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文档简介
课 题
2.1 二次函数所描述的关系
课时
1
日期
教学目标
1.探索并归纳二次函数的定义.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.
重点
1.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.
2.能够表示简单变量之间的二次函数.
难点
经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.
教法
讨论探索法.
教 学 内 容 及 过 程
学生学习过程
一、由实际问题探索二次函数关系
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量?
(2)假设果园增种；棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?
(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．
（4）如果你是果园的负责人，你最关心的问题是什么?（在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？）
二、归纳二次函数的定义
一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数
1．上述概念中的a为什么不能是0？
2．对于二次函数y=ax2+bx+c中的b和c可否为0？若b和c各自为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？
3．由问题1和2，你能否总结：一个函数是否是二次函数，关键看什么？
三、例题
例1．下列函数中，哪些是二次函数？
（1）y=3(x-1)2+1 (2)y=x+1/x (3)s=3-2t2 (4) y=1/x2-x (5) v=Л r2
例2、用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m2)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？
四、练习
1、 函数y=（m＋2）x＋2x－1是二次函数，则m= ．
2、 下列函数中是二次函数的有（ ）
①y=x＋；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－2x2；④y=＋x．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3、正方形的边长是5，若边长增加x，面积增加y，求y与x之间的函数表达式．
4、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x，请你得出每天销售利润y与售价的函数表达式．
五、能力提升
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8．点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF．设DE=x，DF=y．
（1）AE用含y的代数式表示为：AE= ；
（2）求y与x之间的函数表达式，并求出x的取值范围；
（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数表达式．
课后反思：
课 题
2.2结识抛物线
课时
1
日期
教学目标
学生总结二次函数y=x2的图象的作法和性质，
会利用描点法作出y=x2的图象，
能够作出二次函数y=－x2的图象，并比较它与y=x2图象的异同
重点
利用描点法作出y=x2的图象过程中，理解掌握二次函数y=x2的性质，只要注意图象的特点，掌握本质，就可以学好本节．
难点
函数图象的画法，及由图象概括出二次函数y=x2性质，它难在由图象概括性质，结合图象记忆性质．
教法
探索——总结——运用法.
教 学 内 容 及 过 程
学生学习过程
一、知识回顾：
1．当m 时，y=（m－2）x是二次函数．
2．下列不是二次函数的是（ ）
A．y=3x2＋4 B．y=－x2 C．y= D．y=（x＋1）（x－2）
3．函数y=（m－n）x2＋mx＋n是二次函数的条件是（ ）
A．m、n为常数，且m≠0 B．m、n为常数，且m≠n
C．m、n为常数，且n≠0 D．m、n可以为任何常数
4．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件．若他将售出价定为x元，每天所赚利润为y元，请你写出y与x之间的函数表达式？
二、新知
(一)、1、作二次函数y=x的图象。 （二）、1、y=x的图象的性质：
2、作二次函数y=-x的图象。 1.形状
2.对称轴
3.顶点坐标
4. 开口方向
5. 增减性
6.最值
2、y=-x的图象的性质：
1.形状
2.对称轴
3.顶点坐标
4. 开口方向
5. 增减性
6.最值
归纳总结：y=ax的图象的性质
三、例题
例1、已知函数 是关于x 的二次函数。求：
（1）满足条件的m 的值； （2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？
例2、已知点A(1，a)在抛物线y=x2 上。求A的坐标；
例3：求出函数y=x＋2与函数y=x2的图象的交点坐标．
例4已知a＜－1，点（a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，则（ ）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
四、练习
1．函数y=x2的顶点坐标为 ．若点（a，4）在其图象上，则a的值是 ．
2．若点A（3，m）是抛物线y=－x2上一点，则m= ．
3．函数y=x2与y=－x2的图象关于 对称，也可以认为y=－x2，是函数y=x2的图象绕 旋转得到．
4．若二次函数y=ax2（a≠0），图象过点P（2，－8），则函数表达式为 ．
5．函数y=x2的图象的对称轴为 ，与对称轴的交点为 ，是函数的顶点．
6．点A（，b）是抛物线y=x2上的一点，则b= ；点A关于y轴的对称点B是 ，它在函数 上；点A关于原点的对称点C是 ，它在函数 上．
7．求直线y=x与抛物线y=x2的交点坐标．
8．若a＞1，点（－a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，判断y1、y2、y3的大小关系？
五、能力提升：如图，A、B分别为y=x2上两点，且线段AB⊥y轴，若AB=6，则直线AB的表达式为（ ）
A．y=3 B．y=6 C．y=9 D．y=36
课后反思：
课 题
2.3 刹车距离与二次函数
课时
1
日期
教学目标
经历探索二次函数和的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验
重点
和图象的作法和性质
难点
能够比较、和的图象的异同，理解与对二次函数图象的影响。
教法
类比学习法。
教 学 内 容 及 过 程
学生学习过程
一、知识回顾：
二次函数y=x2 与y=-x2的性质：
抛物线
y=x2
y=-x2
对称轴
顶点坐标
开口方向
位置
增减性
最值
二、新知
问题引入：
你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗？
刹车距离与什么因素有关？
有研究表明:汽车在某段公路上行驶时，速度为v(km/h)汽车的刹车距离s(m)可以由公式：晴天时：；雨天时：，请分别画出这两个函数的图像：
动手操作、探究：
1.在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象。
2.在同一平面内画出函数y=-3x2与y=-3x2-1的图象。
比较它们的性质，你可以得到什么结论？
归纳总结：y=ax+c的图象的性质
三、例题
已知抛物线y=（m＋1）x开口向下，求m的值．
【例2】k为何值时，y=（k＋2）x是关于x的二次函数？
四、练习
1．抛物线y=－4x2－4的开口向 ，当x= 时，y有最 值，y= ．
2．当m= 时，y=（m－1）x－3m是关于x的二次函数．
3．当m= 时，抛物线y=（m＋1）x＋9开口向下，对称轴是 ．在对称轴左侧，y随x的增大而 ；在对称轴右侧，y随x的增大而 ．
4．抛物线y=3x2与直线y=kx＋3的交点为（2，b），则k= ，b= ．
5．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为 ．
6．在同一坐标系中，图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是（ ）
A．y=x2 B．y=－x2 C．y=－2x2 D．y=－x2
7．抛物线，y=4x2，y=－2x2的图象，开口最大的是（ ）
A．y=x2 B．y=4x2 C．y=－2x2 D．无法确定
8．二次函数y=ax2与一次函数y=ax＋a在同一坐标系中的图象大致为（ ）
9．求符合下列条件的抛物线y=ax2的表达式：
（1）y=ax2经过（1，2）；
（2）y=ax2与y=x2的开口大小相等，开口方向相反；
（3）y=ax2与直线y=x＋3交于点（2，m）．
五、能力提升1、如图，直线ι经过A（3，0），B（0，3）两点，且与二次函数y=x2＋1的图象，在第一象限内相交于点C．求：
（1）△AOC的面积；
（2）二次函数图象顶点与点A、B组成的三角形的面积．
2．有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20m．水位上升3m，就达到警戒线CD，这时，水面宽度为10m．
（1）在如图2-3-9所示的坐标系中求抛物线的表达式；
（2）若洪水到来时，水位以每小时0．2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？
课后反思：
课 题
2.4 二次函数的图象（第一课时）
课时
1
日期
教学目标
1．能够作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象，并能够理解它与y=ax2的图象的关系，理解a,h和k对二次函数图像的影响。
2．能正确说出y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
重点
理解y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系，理解a、h和k对二次函数图像的影响。
难点
y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象的关系，y=a(x-h)2+k的图象性质
教法
探索研究法
教 学 内 容 及 过 程
学生学习过程
一、知识回顾：
自由落体运动是由于地球引力的作用造成的，在地球上，物体自由下落的时间t（s）和下落的距离h（m）的关系是h=4．9t 2．求：
（1）一高空下落的物体下落时间3s时下落的距离；
（2）计算物体下落10m，所需的时间．（精确到0．1s）
二、新知
提出问题，讨论交流
二次函数y=3（x－1）2和y=3（x+2）2的图象与我们已经作过的二次函数y=3x2的图象有什么关系？
（1）完成下表，并比较3x2与3（x－1）2的值，它们之间有什么关系？
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Y=3x2
Y=3(x-1)2
Y=3(x+2)2
（2）猜一猜,函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2 和y=-3x2的图象的位置和形状.
（3）猜一猜,函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象的位置和形状.
总结二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
总结二次函数y=a(x-h)2＋k的性质
１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值
抛物线
y=a(x-h)2＋k (a>0)
y=a(x-h)2＋k (a＜0)
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
三、练习
1．抛物线y= －4（x—4）2的开口向 ，顶点是 ，对称轴是 ，
当x= 时，y有最 值，y= ．它是由y= －4x2 得到的。
2．抛物线y= 4（x+4）2的开口向 ，顶点是 ，对称轴是 当x= 时，y有最 值，y= ，它是由y= 4x2 得到的。
3．抛物线y=－3x2向下平移2个单位得到函数
4．抛物线y=3x2向上平移3个单位得到函数
5．顶点是（0，- 5）二次项系数是6的抛物线是y=
6、抛物线y= ax2向上平移h(h>0)个单位得到函数 , 抛物线y= ax2向右平移k(k>0)个单位得到函数 ,
7、抛物线y= a（x-h）2对称轴是 , 顶点是 ，当a>0时,x= 时，y有最 值，是 。当a< 0时,x= 时，y有最 值，是 。
8、抛物线 有什么关系？
课后反思
课 题
2.4.二次函数y=ax2+bx+c的图象（二）
课时
1
日期
教学目标
1．经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程；
2．推导二次函数的对称轴和顶点坐标公式；
3．能利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式，解决一些问题。
重点
推导二次函数的对称轴和顶点坐标公式，并利用此解决一些问题。
难点
用配方法推导的对称轴和顶点坐标公式
教法
小组合作
教 学 内 容 及 过 程
学生学习过程
一、知识回顾：
说出y=2x2、 、y=8(x+1)2-7、y=-5x2+4 、y=3(x-6)2 、y=-5x2 y=-7(x-1)2+2、y=-2(x+4)2 、图象的开口方向、增减性、对称轴和顶点坐标，能不能画出它们的草图。
开口
增 减 性
对称轴
顶点
二、新知
问题1（1）求y=3x2-6x + 5的顶点坐标、开口方向、坐标轴
（2）求y=ax2+bx+c的顶点坐标、开口方向、坐标轴
问题2北京时间2007年6月1日零时零八分，中国在西昌卫星发射中心用“长征三号甲”运载火箭成功发射“鑫诺三号”通信卫星，这是中国“长征”系列运载火箭的第一百次飞行。中国“长征”系列运载火箭已完成一百次航天发射，其发射记录由两位数步入三位数，中国也成为继美、俄、欧之后世界上第四个主力品牌火箭执行航天发射达到百次的国家。
当一枚火箭被竖直向上发射时,它的高度 h (m) 与时间 t (s) 的关系可以用公式 h = - 5 t 2 + 150 t +10 表示,经过多长时间,火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？
三 、练习：
1、用顶点公式做P55随堂练习1：
2、P54两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=0.0225x2+0.9x+10表示,而且左右两条抛物线关手y轴对称．
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是少？
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
⑶你是怎样计算的？与同伴交流.
四、能力提升已知点A（－1，－1）在抛物线y=（k2－1）x2－2（k－2）x＋1上．
（1）求抛物线的对称轴；（2）若点B与A点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点B的直线？如果存在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由．
小结
1，二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线，
2，总结函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图象之间的关系
课后反思
课 题
2.5. 用三种方式表示二次函数
课时
1
日期
教学目标
经历三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系和各自不同点；掌握变量之间的二次函数关系，解决二次函数所表示的问题；掌握根据二次函数不同的表达方式，从不同的侧面对函数性质进行研究．
重点
能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数进行研究．函数的综合题目，往往是三种方式的综合应用，由三种不同方式，都能把握函数性质，才会正确解题．
难点
用三种方式表示二次函数的实际问题时，忽略自变量的取值范围是常见的错误．
教法
讨论式学习法。
教 学 内 容 及 过 程
学生学习过程
一、做一做：
已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2，y随x的而变化的规律是什么？你能分别用函数表达式，表格和图象表示出来吗？比较三种表示方式,你能得出什么结论?与同伴交流.
二、试一试：
两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的? ？用你能分别用函数表达式,表格和图象表示这种变化吗?
三、例题
【例1】已知函数y=x2＋bx＋1的图象经过点（3，2）．
（1）求这个函数的表达式；
（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；
（3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围．
【例2】 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑动一段距离才停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过130km/h），对这种汽车进行测试，测得数据如下表：
刹车时车速（km/h）
0
10
20
30
40
50
60
70
刹车距离（m）
0
1．1
2．4
3．9
5．6
7．5
9．6
11．9
（1）以车速为x轴，刹车距离为y轴，在下面的方格图中建立坐标系，描出这些数据所表示的点，并用平滑曲线连接这些点，得到函数的大致图象；
（2）观察图象，估计该函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数表达式；
（3）该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现测得刹车距离为26．4m，问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶，请说明理由．
四、练习：
1．已知函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，如图①所示，则下列关系式中成立的是（ ）
A．0＜－＜1 B．0＜－＜2 C．1＜－＜2 D．－=1
图① 图②
2．抛物线y=ax2＋bx＋c（c≠0）如图②所示，回答：
（1）这个二次函数的表达式是 ；
（2）当x= 时，y=3；
（3）根据图象回答：当x 时，y＞0．
3．已知抛物线y=－x2＋（6－2k）x＋2k－1与y轴的交点位于（0，5）上方，则k的取值范围是 ．
4．二次函数y= ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①c＜0；②b＞0；③4a＋2b＋c＞0；④（a＋c）2＜b2．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
五、能力提升
某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．图中二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系）．
根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S（万元）与时间t（月）之间的函数表达式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
课后反思
课 题
2.6 何时获得最大利润
课时
1
日期
教学目标
体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值
重点
重点是应用二次函数解决实际问题中的最值
难点
本节难点在于能正确理解题意，找准数量关系．这就需要同学们在平时解答此类问题时，在平时生活中注意观察和积累，使自己具备丰富的生活和数学知识才会正确分析，正确解题．
教法
小组合作
教 学 内 容 及 过 程
学生学习过程
一、有关利润问题：
某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?
二、做一做：
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.
⑵利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.?
⑶增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?
三、例题：
某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg，购进价格为30元/kg，物价部门规定其销售单价不得高于70元/kg，也不得低于30元/kg．市场调查发现，单价定为70元时，日均销售60kg；单价每降低1元，日均多售出2kg．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x元，日均获利为y元．
（1）求y关于x的二次函数表达式，并注明x的取值范围．
（2）将（1）中所求出的二次函数配方成y=a（x＋）2＋的形式，写出顶点坐标，在图所示的坐标系中画出草图．观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多？是多少？
（3）若将这种化工原料全部售出比较日均获利最多和销售单价最高这两种方式，哪一种获总利较多？多多少？
四、练习：
1．关于二次函数y=ax2＋bx＋c的图象有下列命题：
①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c＞0且函数图象开口向下时，方程ax2＋bx＋c=0必有两个不等实根；③当a＜0，函数的图象最高点的纵坐标是；④当b=0时，函数的图象关于y轴对称．其中正确命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？
五、能力提升有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间．但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为30元/kg，据测算，此后1kg活蟹的市场价每天可上升1元．但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是20元/kg．
（1）设x天后1kg活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数表达式；
（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数表达式；
（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额－收购成本－费用）？最大利润是多少？
课后反思
课 题
2.7 最大面积是多少
课时
1
日期
教学目标
掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．
重点
应用二次函数解决图形有关的最值问题
难点
找到二次函数表达式是本节的难点
教法
小组合作
教 学 内 容 及 过 程
学生学习过程
一、例题及练习：
例1、如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
(1).设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?
练习
1、如图⑴，在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，四边形CFDE为矩形，其中CF、CE在两直角边上，设矩形的一边CF=xcm．当x取何值时，矩形ECFD的面积最大？最大是多少？
2、如图⑵，在Rt△ABC中，作一个长方形DEGF，其中FG边在斜边上，AC=3cm，BC=4cm，那么长方形OEGF的面积最大是多少？
3、如图⑶，已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上．G、F分别在AB、AC边上，BC=5cm，S△ABC为30cm2，AH为△ABC在BC边上的高，求△ABC的内接长方形的最大面积．
例2、某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?
练习：某建筑物窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形．制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m．当x等于多少时，窗户透过的光线最多（结果精确到0．01m）？此时，窗户的面积是多少？
五、能力提升如图3，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm，抛物线顶点到MN的距离是4dm．要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在MN上，A、D落在抛物线上，试问这样截下的矩形铁皮周长能否等于8dm？
课后反思
课 题
2.8.二次函数与一元二次方程（一）
课时
1
日期
教学目标
体会二次函数与方程之间的联系；掌握用图象法求方程的近似根；理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；理解一元二次方程的根就是二次函数y=h（h是实数）图象交点的横坐标．
重点
把握二次函数图象与x轴（或y=h）交点的个数与一元二次方程的根的关系
难点
应用一元二次方程根的判别式，及求根公式，来对二次函数及其图象进行进一步的理解
教法
小组合作
教 学 内 容 及 过 程
学生学习过程
一、知识回顾：
1. y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)，y叫做x的__________。它的图象是一条抛物线。它的对称轴是直线x=_____, 顶点坐标是（ ， ）。
2. 二次函数的解析式中的一般式是: y = ax2 + bx +c (a≠0)顶点式：y = a(x-h)2 + k交点式：y = a(x-x1)(x-x2)
3. 抛物线y = x2+2x- 4的对称轴是_______, 开口方向是______, 顶点坐标是___________.
4. 抛物线y=2(x-2)(x-3) 与x轴的交点为__________,与y轴的交点为___________.5. 已知抛物线与轴交于A(-1, 0) 和(1, 0) ，并经过点M(0,1), 则此抛物线的解析式为____________ 。
二、新知
实例讲解：
我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么
(1).h和t的关系式是什么？
(2).小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.
议一议：
在同一坐标系中画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象并回答下列问题：
(1).每个图象与x轴有几个交点？
(2).一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
例题：
【例1】已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为 ．
【例2】抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于点A（－3，0），对称轴为x=－1，顶点C到x轴的距离为2，求此抛物线表达式．
【例3】有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三点为顶点的三角形面积为3．
请写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式 ．
三、练习：
1．求下列二次函数的图象与x轴交点坐标，并作草图验证．
（1）y=x2－2x；（2）y=x2－2x－3．
2．你能利用a、b、c之间的某种关系判断二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴何时有两个交点、一个交点，何时没有交点？
能力提升．如图1所示，函数y=ax2－bx＋c的图象过（－1，0），则的值是（ ）
A．－3 B．3 C． D．－
课后反思
课 题
2.8.二次函数与一元二次方程（二）
课时
1
日期
教学目标
1．经历一元二次方程ax2+bx+c=0的根的近似值的探索得到的过程；
2．经历一元二次方程ax2+bx+c=h的根的近似值的探索得到的过程。
重点
把握二次函数图象与x轴（或y=h）交点的个数与一元二次方程的根的关系
难点
应用一元二次方程根的判别式，及求根公式，来对二次函数及其图象进行进一步的理解
教法
小组合作
教 学 内 容 及 过 程
学生学习过程
一、回顾
1. 抛物线y=ax2＋bx＋c经过点（0，0）与（12，0），最高点纵坐标是3，求这条抛物线的表达式___________________ .
2．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c经过 象限．3. 在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满足y=－x2＋10x．（1）经过_____时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是_____？（2）经过_____秒，炮弹落在地上爆炸？
4.一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c的图象抛物线与直线________交点的________坐标。
5.一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c的图象抛物线与直线_________交点的_________坐标 .
二、新知
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？
练习利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根
三、练习：
1．抛物线y=a（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为 ．
2．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x轴交点的距离等于4，它在y轴上的截距是－6，则它的表达式为 ．
3．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c经过 象限．
4．抛物线y=x2－2x＋3的顶点坐标是 ．
5．若抛物线y=2x2－（m＋3）x－m＋7的对称轴是x=1，则m= ．
6．抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m= ．
7．已知抛物线y=ax2＋bx＋c的系数有a－b＋c=0，则这条抛物线经过点 ．
8．二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围 ．
9．抛物线y=x2－2x＋a2的顶点在直线y=2上，则a的值是 ．
10．抛物线y=3x2＋5x与两坐标轴交点的个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．无
12．已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图2所示，则下列关系正确的是（ ）
A．0＜－＜1 B．0＜－＜2 C．1＜－＜2 D．－=1
14．已知二次函数y=x2－2kx＋k2＋k－2．
（1）当实数k为何值时，图象经过原点？
（2）当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？
能力提升．已知抛物线y=mx2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．
（1）求m的取值范围；
（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；
（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图．
课后反思
第二章回顾与思考
一、填空题：
⑴．抛物线的对称轴是 .这条抛物线的开口向 .
⑵.用配方法将二次函数化成的形式是 .
⑶．已知二次函数的图象的顶点的横坐标是1，则b= .
⑷. 二次函数的图象的顶点坐标是 ，在对称轴的右侧y随x的增大而
⑸．已知抛物线的顶点坐标是（-2，3），则= .
⑹．若抛物线的顶点在x轴上，则c= .
⑺. 已知二次函数的最小值是1,那么m的值是 .
⑻. 若抛物线经过原点，则m= .
⑼. 已知二次函数的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于y轴的负半轴，则m的取值范围是 .
⑽. 若抛物线的顶点在y轴上, 则 m的值是
二、选择题：
若直线y=ax+b不经过一、三象限，则抛物线（ ）.
(A)开口向上，对称轴是y轴;
(B) 开口向下，对称轴是y轴;
(C)开口向上, 对称轴是直线x=1;
(D) 开口向下，对称轴是直线x=-1;
⑵. 抛物线的顶点坐标是( ).
(A)(-1,-3); (B)(1,3); (C)(-1,8); (D)(1,-8);
⑶. 若二次函数的图象的开口向下，顶点在第一象限，抛物线交于y轴的正半轴; 则点在（ ）.
第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限;
⑷. 对于抛物线,下列结论正确的是（ ）.
对称轴是直线x=3,有最大值为1;
对称轴是直线x=3,有最小值为-1;
对称轴是直线x=-3,有最大值为1;
对称轴是直线x=-3,有最小值为-1;
⑸．已知直线y=x+m与抛物线相交于两点，则实数m的取值范围是( ).
m﹥; (B)m﹤; (C)m﹥; (D) m﹤.
⑹.若一条抛物线的顶点在第二象限，交于y轴的正半轴，与x轴有两个交点，则下列结论正确的是（ ）.
(A)a﹥0,bc﹥0; (B)a﹤0,bc﹤0; (C) a﹤0, bc﹥0; (D) a﹥0, bc﹤0
⑺. 抛物线不经过（ ）.
第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限
⑻. 已知抛物线的顶点坐标是(2,1), 且抛物线的图象经过(3,0)点, 则这条抛物线的解析式是（ ）.
(A) , (B),
(C) ,(D) ,
⑼.在同一直角坐标系中，抛物线与直线y=2x-6的交点个数是( ).
(A)0个; (B)1个; (C)2个; (D)3个.
⑽．已知反比例函数的图象如右图所示，则二次函数的图象大致为（ ）
三、解答下列各题：
已知二次函数的图象经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，求这个二次函数的解析式.
⑵. 已知抛物线,①求抛物线与y轴的交点坐标;②求抛物线与x轴的两个交点间的距离.
⑶.已知抛物线(a≠0) 经过(0,1)和(2,-3) 两点.①如果抛物线开口向下，对称轴在y轴的左侧，求a的取值范围;②若对称轴为x=-1. 求抛物线的解析式.
⑷.围猪圈三间（它的平面图为大小相等的三个长方形），一面利用旧墙，其它各墙（包括中间隔墙）都是木料，已知现有木料可围24米长的墙，试求每间猪圈的长与宽各是多少时总面积最大，并求最大面积.
⑸．某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．
⑹．已知抛物线的顶点A在直线y=-4x-1上，设抛物线与 x轴交于B,C两点.①求抛物线的顶点坐标;②求△ABC的外接圆的面积（用准确值表示）.
⑺．如图，在一块三角形区域ABC中，∠C=90°，边AC=8，BC=6，现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上。
⑴求△ABC中AB边上的高h;
⑵设DG=x,当x取何值时，水池DEFG的面积最大？
⑶实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树。
2.1 二次函数所描述的关系
课时
1
日期
教学目标
1.探索并归纳二次函数的定义.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.
重点
1.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.
2.能够表示简单变量之间的二次函数.
难点
经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.
教法
讨论探索法.
教 学 内 容 及 过 程
学生学习过程
一、由实际问题探索二次函数关系
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量?
(2)假设果园增种；棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?
(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．
（4）如果你是果园的负责人，你最关心的问题是什么?（在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？）
二、归纳二次函数的定义
一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数
1．上述概念中的a为什么不能是0？
2．对于二次函数y=ax2+bx+c中的b和c可否为0？若b和c各自为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？
3．由问题1和2，你能否总结：一个函数是否是二次函数，关键看什么？
三、例题
例1．下列函数中，哪些是二次函数？
（1）y=3(x-1)2+1 (2)y=x+1/x (3)s=3-2t2 (4) y=1/x2-x (5) v=Л r2
例2、用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m2)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？
四、练习
1、 函数y=（m＋2）x＋2x－1是二次函数，则m= ．
2、 下列函数中是二次函数的有（ ）
①y=x＋；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－2x2；④y=＋x．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3、正方形的边长是5，若边长增加x，面积增加y，求y与x之间的函数表达式．
4、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x，请你得出每天销售利润y与售价的函数表达式．
五、能力提升
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8．点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF．设DE=x，DF=y．
（1）AE用含y的代数式表示为：AE= ；
（2）求y与x之间的函数表达式，并求出x的取值范围；
（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数表达式．
课后反思：
课 题
2.2结识抛物线
课时
1
日期
教学目标
学生总结二次函数y=x2的图象的作法和性质，
会利用描点法作出y=x2的图象，
能够作出二次函数y=－x2的图象，并比较它与y=x2图象的异同
重点
利用描点法作出y=x2的图象过程中，理解掌握二次函数y=x2的性质，只要注意图象的特点，掌握本质，就可以学好本节．
难点
函数图象的画法，及由图象概括出二次函数y=x2性质，它难在由图象概括性质，结合图象记忆性质．
教法
探索——总结——运用法.
教 学 内 容 及 过 程
学生学习过程
一、知识回顾：
1．当m 时，y=（m－2）x是二次函数．
2．下列不是二次函数的是（ ）
A．y=3x2＋4 B．y=－x2 C．y= D．y=（x＋1）（x－2）
3．函数y=（m－n）x2＋mx＋n是二次函数的条件是（ ）
A．m、n为常数，且m≠0 B．m、n为常数，且m≠n
C．m、n为常数，且n≠0 D．m、n可以为任何常数
4．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件．若他将售出价定为x元，每天所赚利润为y元，请你写出y与x之间的函数表达式？
二、新知
(一)、1、作二次函数y=x的图象。 （二）、1、y=x的图象的性质：
2、作二次函数y=-x的图象。 1.形状
2.对称轴
3.顶点坐标
4. 开口方向
5. 增减性
6.最值
2、y=-x的图象的性质：
1.形状
2.对称轴
3.顶点坐标
4. 开口方向
5. 增减性
6.最值
归纳总结：y=ax的图象的性质
三、例题
例1、已知函数 是关于x 的二次函数。求：
（1）满足条件的m 的值； （2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？
例2、已知点A(1，a)在抛物线y=x2 上。求A的坐标；
例3：求出函数y=x＋2与函数y=x2的图象的交点坐标．
例4已知a＜－1，点（a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，则（ ）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
四、练习
1．函数y=x2的顶点坐标为 ．若点（a，4）在其图象上，则a的值是 ．
2．若点A（3，m）是抛物线y=－x2上一点，则m= ．
3．函数y=x2与y=－x2的图象关于 对称，也可以认为y=－x2，是函数y=x2的图象绕 旋转得到．
4．若二次函数y=ax2（a≠0），图象过点P（2，－8），则函数表达式为 ．
5．函数y=x2的图象的对称轴为 ，与对称轴的交点为 ，是函数的顶点．
6．点A（，b）是抛物线y=x2上的一点，则b= ；点A关于y轴的对称点B是 ，它在函数 上；点A关于原点的对称点C是 ，它在函数 上．
7．求直线y=x与抛物线y=x2的交点坐标．
8．若a＞1，点（－a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，判断y1、y2、y3的大小关系？
五、能力提升：如图，A、B分别为y=x2上两点，且线段AB⊥y轴，若AB=6，则直线AB的表达式为（ ）
A．y=3 B．y=6 C．y=9 D．y=36
课后反思：
课 题
2.3 刹车距离与二次函数
课时
1
日期
教学目标
经历探索二次函数和的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验
重点
和图象的作法和性质
难点
能够比较、和的图象的异同，理解与对二次函数图象的影响。
教法
类比学习法。
教 学 内 容 及 过 程
学生学习过程
一、知识回顾：
二次函数y=x2 与y=-x2的性质：
抛物线
y=x2
y=-x2
对称轴
顶点坐标
开口方向
位置
增减性
最值
二、新知
问题引入：
你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗？
刹车距离与什么因素有关？
有研究表明:汽车在某段公路上行驶时，速度为v(km/h)汽车的刹车距离s(m)可以由公式：晴天时：；雨天时：，请分别画出这两个函数的图像：
动手操作、探究：
1.在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象。
2.在同一平面内画出函数y=-3x2与y=-3x2-1的图象。
比较它们的性质，你可以得到什么结论？
归纳总结：y=ax+c的图象的性质
三、例题
已知抛物线y=（m＋1）x开口向下，求m的值．
【例2】k为何值时，y=（k＋2）x是关于x的二次函数？
四、练习
1．抛物线y=－4x2－4的开口向 ，当x= 时，y有最 值，y= ．
2．当m= 时，y=（m－1）x－3m是关于x的二次函数．
3．当m= 时，抛物线y=（m＋1）x＋9开口向下，对称轴是 ．在对称轴左侧，y随x的增大而 ；在对称轴右侧，y随x的增大而 ．
4．抛物线y=3x2与直线y=kx＋3的交点为（2，b），则k= ，b= ．
5．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为 ．
6．在同一坐标系中，图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是（ ）
A．y=x2 B．y=－x2 C．y=－2x2 D．y=－x2
7．抛物线，y=4x2，y=－2x2的图象，开口最大的是（ ）
A．y=x2 B．y=4x2 C．y=－2x2 D．无法确定
8．二次函数y=ax2与一次函数y=ax＋a在同一坐标系中的图象大致为（ ）
9．求符合下列条件的抛物线y=ax2的表达式：
（1）y=ax2经过（1，2）；
（2）y=ax2与y=x2的开口大小相等，开口方向相反；
（3）y=ax2与直线y=x＋3交于点（2，m）．
五、能力提升1、如图，直线ι经过A（3，0），B（0，3）两点，且与二次函数y=x2＋1的图象，在第一象限内相交于点C．求：
（1）△AOC的面积；
（2）二次函数图象顶点与点A、B组成的三角形的面积．
2．有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20m．水位上升3m，就达到警戒线CD，这时，水面宽度为10m．
（1）在如图2-3-9所示的坐标系中求抛物线的表达式；
（2）若洪水到来时，水位以每小时0．2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？
课后反思：
课 题
2.4 二次函数的图象（第一课时）
课时
1
日期
教学目标
1．能够作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象，并能够理解它与y=ax2的图象的关系，理解a,h和k对二次函数图像的影响。
2．能正确说出y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
重点
理解y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系，理解a、h和k对二次函数图像的影响。
难点
y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象的关系，y=a(x-h)2+k的图象性质
教法
探索研究法
教 学 内 容 及 过 程
学生学习过程
一、知识回顾：
自由落体运动是由于地球引力的作用造成的，在地球上，物体自由下落的时间t（s）和下落的距离h（m）的关系是h=4．9t 2．求：
（1）一高空下落的物体下落时间3s时下落的距离；
（2）计算物体下落10m，所需的时间．（精确到0．1s）
二、新知
提出问题，讨论交流
二次函数y=3（x－1）2和y=3（x+2）2的图象与我们已经作过的二次函数y=3x2的图象有什么关系？
（1）完成下表，并比较3x2与3（x－1）2的值，它们之间有什么关系？
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Y=3x2
Y=3(x-1)2
Y=3(x+2)2
（2）猜一猜,函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2 和y=-3x2的图象的位置和形状.
（3）猜一猜,函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象的位置和形状.
总结二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
总结二次函数y=a(x-h)2＋k的性质
１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值
抛物线
y=a(x-h)2＋k (a>0)
y=a(x-h)2＋k (a＜0)
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
三、练习
1．抛物线y= －4（x—4）2的开口向 ，顶点是 ，对称轴是 ，
当x= 时，y有最 值，y= ．它是由y= －4x2 得到的。
2．抛物线y= 4（x+4）2的开口向 ，顶点是 ，对称轴是 当x= 时，y有最 值，y= ，它是由y= 4x2 得到的。
3．抛物线y=－3x2向下平移2个单位得到函数
4．抛物线y=3x2向上平移3个单位得到函数
5．顶点是（0，- 5）二次项系数是6的抛物线是y=
6、抛物线y= ax2向上平移h(h>0)个单位得到函数 , 抛物线y= ax2向右平移k(k>0)个单位得到函数 ,
7、抛物线y= a（x-h）2对称轴是 , 顶点是 ，当a>0时,x= 时，y有最 值，是 。当a< 0时,x= 时，y有最 值，是 。
8、抛物线 有什么关系？
课后反思
课 题
2.4.二次函数y=ax2+bx+c的图象（二）
课时
1
日期
教学目标
1．经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程；
2．推导二次函数的对称轴和顶点坐标公式；
3．能利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式，解决一些问题。
重点
推导二次函数的对称轴和顶点坐标公式，并利用此解决一些问题。
难点
用配方法推导的对称轴和顶点坐标公式
教法
小组合作
教 学 内 容 及 过 程
学生学习过程
一、知识回顾：
说出y=2x2、 、y=8(x+1)2-7、y=-5x2+4 、y=3(x-6)2 、y=-5x2 y=-7(x-1)2+2、y=-2(x+4)2 、图象的开口方向、增减性、对称轴和顶点坐标，能不能画出它们的草图。
开口
增 减 性
对称轴
顶点
二、新知
问题1（1）求y=3x2-6x + 5的顶点坐标、开口方向、坐标轴
（2）求y=ax2+bx+c的顶点坐标、开口方向、坐标轴
问题2北京时间2007年6月1日零时零八分，中国在西昌卫星发射中心用“长征三号甲”运载火箭成功发射“鑫诺三号”通信卫星，这是中国“长征”系列运载火箭的第一百次飞行。中国“长征”系列运载火箭已完成一百次航天发射，其发射记录由两位数步入三位数，中国也成为继美、俄、欧之后世界上第四个主力品牌火箭执行航天发射达到百次的国家。
当一枚火箭被竖直向上发射时,它的高度 h (m) 与时间 t (s) 的关系可以用公式 h = - 5 t 2 + 150 t +10 表示,经过多长时间,火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？
三 、练习：
1、用顶点公式做P55随堂练习1：
2、P54两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=0.0225x2+0.9x+10表示,而且左右两条抛物线关手y轴对称．
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是少？
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
⑶你是怎样计算的？与同伴交流.
四、能力提升已知点A（－1，－1）在抛物线y=（k2－1）x2－2（k－2）x＋1上．
（1）求抛物线的对称轴；（2）若点B与A点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点B的直线？如果存在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由．
小结
1，二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线，
2，总结函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图象之间的关系
课后反思
课 题
2.5. 用三种方式表示二次函数
课时
1
日期
教学目标
经历三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系和各自不同点；掌握变量之间的二次函数关系，解决二次函数所表示的问题；掌握根据二次函数不同的表达方式，从不同的侧面对函数性质进行研究．
重点
能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数进行研究．函数的综合题目，往往是三种方式的综合应用，由三种不同方式，都能把握函数性质，才会正确解题．
难点
用三种方式表示二次函数的实际问题时，忽略自变量的取值范围是常见的错误．
教法
讨论式学习法。
教 学 内 容 及 过 程
学生学习过程
一、做一做：
已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2，y随x的而变化的规律是什么？你能分别用函数表达式，表格和图象表示出来吗？比较三种表示方式,你能得出什么结论?与同伴交流.
二、试一试：
两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的? ？用你能分别用函数表达式,表格和图象表示这种变化吗?
三、例题
【例1】已知函数y=x2＋bx＋1的图象经过点（3，2）．
（1）求这个函数的表达式；
（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；
（3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围．
【例2】 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑动一段距离才停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过130km/h），对这种汽车进行测试，测得数据如下表：
刹车时车速（km/h）
0
10
20
30
40
50
60
70
刹车距离（m）
0
1．1
2．4
3．9
5．6
7．5
9．6
11．9
（1）以车速为x轴，刹车距离为y轴，在下面的方格图中建立坐标系，描出这些数据所表示的点，并用平滑曲线连接这些点，得到函数的大致图象；
（2）观察图象，估计该函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数表达式；
（3）该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现测得刹车距离为26．4m，问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶，请说明理由．
四、练习：
1．已知函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，如图①所示，则下列关系式中成立的是（ ）
A．0＜－＜1 B．0＜－＜2 C．1＜－＜2 D．－=1
图① 图②
2．抛物线y=ax2＋bx＋c（c≠0）如图②所示，回答：
（1）这个二次函数的表达式是 ；
（2）当x= 时，y=3；
（3）根据图象回答：当x 时，y＞0．
3．已知抛物线y=－x2＋（6－2k）x＋2k－1与y轴的交点位于（0，5）上方，则k的取值范围是 ．
4．二次函数y= ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①c＜0；②b＞0；③4a＋2b＋c＞0；④（a＋c）2＜b2．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
五、能力提升
某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．图中二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系）．
根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S（万元）与时间t（月）之间的函数表达式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
课后反思
课 题
2.6 何时获得最大利润
课时
1
日期
教学目标
体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值
重点
重点是应用二次函数解决实际问题中的最值
难点
本节难点在于能正确理解题意，找准数量关系．这就需要同学们在平时解答此类问题时，在平时生活中注意观察和积累，使自己具备丰富的生活和数学知识才会正确分析，正确解题．
教法
小组合作
教 学 内 容 及 过 程
学生学习过程
一、有关利润问题：
某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?
二、做一做：
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.
⑵利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.?
⑶增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?
三、例题：
某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg，购进价格为30元/kg，物价部门规定其销售单价不得高于70元/kg，也不得低于30元/kg．市场调查发现，单价定为70元时，日均销售60kg；单价每降低1元，日均多售出2kg．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x元，日均获利为y元．
（1）求y关于x的二次函数表达式，并注明x的取值范围．
（2）将（1）中所求出的二次函数配方成y=a（x＋）2＋的形式，写出顶点坐标，在图所示的坐标系中画出草图．观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多？是多少？
（3）若将这种化工原料全部售出比较日均获利最多和销售单价最高这两种方式，哪一种获总利较多？多多少？
四、练习：
1．关于二次函数y=ax2＋bx＋c的图象有下列命题：
①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c＞0且函数图象开口向下时，方程ax2＋bx＋c=0必有两个不等实根；③当a＜0，函数的图象最高点的纵坐标是；④当b=0时，函数的图象关于y轴对称．其中正确命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？
五、能力提升有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间．但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为30元/kg，据测算，此后1kg活蟹的市场价每天可上升1元．但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是20元/kg．
（1）设x天后1kg活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数表达式；
（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数表达式；
（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额－收购成本－费用）？最大利润是多少？
课后反思
课 题
2.7 最大面积是多少
课时
1
日期
教学目标
掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．
重点
应用二次函数解决图形有关的最值问题
难点
找到二次函数表达式是本节的难点
教法
小组合作
教 学 内 容 及 过 程
学生学习过程
一、例题及练习：
例1、如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
(1).设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?
练习
1、如图⑴，在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，四边形CFDE为矩形，其中CF、CE在两直角边上，设矩形的一边CF=xcm．当x取何值时，矩形ECFD的面积最大？最大是多少？
2、如图⑵，在Rt△ABC中，作一个长方形DEGF，其中FG边在斜边上，AC=3cm，BC=4cm，那么长方形OEGF的面积最大是多少？
3、如图⑶，已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上．G、F分别在AB、AC边上，BC=5cm，S△ABC为30cm2，AH为△ABC在BC边上的高，求△ABC的内接长方形的最大面积．
例2、某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?
练习：某建筑物窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形．制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m．当x等于多少时，窗户透过的光线最多（结果精确到0．01m）？此时，窗户的面积是多少？
五、能力提升如图3，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm，抛物线顶点到MN的距离是4dm．要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在MN上，A、D落在抛物线上，试问这样截下的矩形铁皮周长能否等于8dm？
课后反思
课 题
2.8.二次函数与一元二次方程（一）
课时
1
日期
教学目标
体会二次函数与方程之间的联系；掌握用图象法求方程的近似根；理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；理解一元二次方程的根就是二次函数y=h（h是实数）图象交点的横坐标．
重点
把握二次函数图象与x轴（或y=h）交点的个数与一元二次方程的根的关系
难点
应用一元二次方程根的判别式，及求根公式，来对二次函数及其图象进行进一步的理解
教法
小组合作
教 学 内 容 及 过 程
学生学习过程
一、知识回顾：
1. y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)，y叫做x的__________。它的图象是一条抛物线。它的对称轴是直线x=_____, 顶点坐标是（ ， ）。
2. 二次函数的解析式中的一般式是: y = ax2 + bx +c (a≠0)顶点式：y = a(x-h)2 + k交点式：y = a(x-x1)(x-x2)
3. 抛物线y = x2+2x- 4的对称轴是_______, 开口方向是______, 顶点坐标是___________.
4. 抛物线y=2(x-2)(x-3) 与x轴的交点为__________,与y轴的交点为___________.5. 已知抛物线与轴交于A(-1, 0) 和(1, 0) ，并经过点M(0,1), 则此抛物线的解析式为____________ 。
二、新知
实例讲解：
我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么
(1).h和t的关系式是什么？
(2).小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.
议一议：
在同一坐标系中画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象并回答下列问题：
(1).每个图象与x轴有几个交点？
(2).一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
例题：
【例1】已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为 ．
【例2】抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于点A（－3，0），对称轴为x=－1，顶点C到x轴的距离为2，求此抛物线表达式．
【例3】有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三点为顶点的三角形面积为3．
请写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式 ．
三、练习：
1．求下列二次函数的图象与x轴交点坐标，并作草图验证．
（1）y=x2－2x；（2）y=x2－2x－3．
2．你能利用a、b、c之间的某种关系判断二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴何时有两个交点、一个交点，何时没有交点？
能力提升．如图1所示，函数y=ax2－bx＋c的图象过（－1，0），则的值是（ ）
A．－3 B．3 C． D．－
课后反思
课 题
2.8.二次函数与一元二次方程（二）
课时
1
日期
教学目标
1．经历一元二次方程ax2+bx+c=0的根的近似值的探索得到的过程；
2．经历一元二次方程ax2+bx+c=h的根的近似值的探索得到的过程。
重点
把握二次函数图象与x轴（或y=h）交点的个数与一元二次方程的根的关系
难点
应用一元二次方程根的判别式，及求根公式，来对二次函数及其图象进行进一步的理解
教法
小组合作
教 学 内 容 及 过 程
学生学习过程
一、回顾
1. 抛物线y=ax2＋bx＋c经过点（0，0）与（12，0），最高点纵坐标是3，求这条抛物线的表达式___________________ .
2．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c经过 象限．3. 在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满足y=－x2＋10x．（1）经过_____时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是_____？（2）经过_____秒，炮弹落在地上爆炸？
4.一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c的图象抛物线与直线________交点的________坐标。
5.一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c的图象抛物线与直线_________交点的_________坐标 .
二、新知
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？
练习利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根
三、练习：
1．抛物线y=a（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为 ．
2．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x轴交点的距离等于4，它在y轴上的截距是－6，则它的表达式为 ．
3．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c经过 象限．
4．抛物线y=x2－2x＋3的顶点坐标是 ．
5．若抛物线y=2x2－（m＋3）x－m＋7的对称轴是x=1，则m= ．
6．抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m= ．
7．已知抛物线y=ax2＋bx＋c的系数有a－b＋c=0，则这条抛物线经过点 ．
8．二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围 ．
9．抛物线y=x2－2x＋a2的顶点在直线y=2上，则a的值是 ．
10．抛物线y=3x2＋5x与两坐标轴交点的个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．无
12．已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图2所示，则下列关系正确的是（ ）
A．0＜－＜1 B．0＜－＜2 C．1＜－＜2 D．－=1
14．已知二次函数y=x2－2kx＋k2＋k－2．
（1）当实数k为何值时，图象经过原点？
（2）当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？
能力提升．已知抛物线y=mx2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．
（1）求m的取值范围；
（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；
（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图．
课后反思
第二章回顾与思考
一、填空题：
⑴．抛物线的对称轴是 .这条抛物线的开口向 .
⑵.用配方法将二次函数化成的形式是 .
⑶．已知二次函数的图象的顶点的横坐标是1，则b= .
⑷. 二次函数的图象的顶点坐标是 ，在对称轴的右侧y随x的增大而
⑸．已知抛物线的顶点坐标是（-2，3），则= .
⑹．若抛物线的顶点在x轴上，则c= .
⑺. 已知二次函数的最小值是1,那么m的值是 .
⑻. 若抛物线经过原点，则m= .
⑼. 已知二次函数的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于y轴的负半轴，则m的取值范围是 .
⑽. 若抛物线的顶点在y轴上, 则 m的值是
二、选择题：
若直线y=ax+b不经过一、三象限，则抛物线（ ）.
(A)开口向上，对称轴是y轴;
(B) 开口向下，对称轴是y轴;
(C)开口向上, 对称轴是直线x=1;
(D) 开口向下，对称轴是直线x=-1;
⑵. 抛物线的顶点坐标是( ).
(A)(-1,-3); (B)(1,3); (C)(-1,8); (D)(1,-8);
⑶. 若二次函数的图象的开口向下，顶点在第一象限，抛物线交于y轴的正半轴; 则点在（ ）.
第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限;
⑷. 对于抛物线,下列结论正确的是（ ）.
对称轴是直线x=3,有最大值为1;
对称轴是直线x=3,有最小值为-1;
对称轴是直线x=-3,有最大值为1;
对称轴是直线x=-3,有最小值为-1;
⑸．已知直线y=x+m与抛物线相交于两点，则实数m的取值范围是( ).
m﹥; (B)m﹤; (C)m﹥; (D) m﹤.
⑹.若一条抛物线的顶点在第二象限，交于y轴的正半轴，与x轴有两个交点，则下列结论正确的是（ ）.
(A)a﹥0,bc﹥0; (B)a﹤0,bc﹤0; (C) a﹤0, bc﹥0; (D) a﹥0, bc﹤0
⑺. 抛物线不经过（ ）.
第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限
⑻. 已知抛物线的顶点坐标是(2,1), 且抛物线的图象经过(3,0)点, 则这条抛物线的解析式是（ ）.
(A) , (B),
(C) ,(D) ,
⑼.在同一直角坐标系中，抛物线与直线y=2x-6的交点个数是( ).
(A)0个; (B)1个; (C)2个; (D)3个.
⑽．已知反比例函数的图象如右图所示，则二次函数的图象大致为（ ）
三、解答下列各题：
已知二次函数的图象经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，求这个二次函数的解析式.
⑵. 已知抛物线,①求抛物线与y轴的交点坐标;②求抛物线与x轴的两个交点间的距离.
⑶.已知抛物线(a≠0) 经过(0,1)和(2,-3) 两点.①如果抛物线开口向下，对称轴在y轴的左侧，求a的取值范围;②若对称轴为x=-1. 求抛物线的解析式.
⑷.围猪圈三间（它的平面图为大小相等的三个长方形），一面利用旧墙，其它各墙（包括中间隔墙）都是木料，已知现有木料可围24米长的墙，试求每间猪圈的长与宽各是多少时总面积最大，并求最大面积.
⑸．某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．
⑹．已知抛物线的顶点A在直线y=-4x-1上，设抛物线与 x轴交于B,C两点.①求抛物线的顶点坐标;②求△ABC的外接圆的面积（用准确值表示）.
⑺．如图，在一块三角形区域ABC中，∠C=90°，边AC=8，BC=6，现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上。
⑴求△ABC中AB边上的高h;
⑵设DG=x,当x取何值时，水池DEFG的面积最大？
⑶实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树。