人教B版（2019）必修第一册 1.1.3集合的基本运算 教案

第一章 集合与常用逻辑用语
1.1.3集合的基本运算
教学目标
1.理解全集和补集的含义；
2. 会求给定子集的补集 ；
3.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；能用维恩图表达集合的补集运算，体会图形对理解抽象概念的作用.
教学重难点
教学重点：补集的运算.
教学难点：全集概念的理解和补集的运算.
教学过程
【新课导入】
如果学校里所有同学组成的集合记为S，所有男同学组成的集合记为M，所有女同学组成的集合记为F，那么：
（1）这三个集合之间有什么联系？
（2）如果x∈S且x M，你能得到什么结论？
预设的答案：（1），；（2）若x∈S且x M，则x∈F.
【探究新知】
知识点1 补集
师生活动：学生回答，集合M和集合F都是集合S的子集，而且如果x∈S且x M，则一定有x∈F.
教师总结：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用U表示.如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作，
读作“A在U中的补集”.由全集U及其子集A得到，通常称为补集运算.
集合的补集也可用维恩图形象地表示，其中全集通常用矩形区域代表，
如图所示.
因此，上述情境与问题中的集合满足
，.
【练一练】
（1 ）则
（2）则
师生活动：学生回答，学生纠错，教师点评.
预设的答案：（1）（2）
设计意图：通过练习，加深对补集的概念的理解.
【想一想】在补集的定义中一共涉及几个集合？可以从哪些角度去研究这些集合？如何证明你的结论？
（1） （2） (3)
师生活动：学生回答，学生纠错，教师点评.
教师点评：补集的运算性质：
给定全集U及其任意一个子集A，补集运算具有如下性质：
U； ； A.
注意：此时仍是U的一个子集，因此也是有意义的.
说明：补集的运算性质可以借助维恩图来直观理解：
【拓展】补集的运算性质都可以证明的，如：性质的证明如下：
证明：对于集合中的任意一个元素m, 必有mA或者. 根据全集的定义，
无论哪种情形都有mU, 所以.
反之，对于全集U中的任意一个元素x, 若xA, 则; 若, 则,
同样得到, 所以.
综上可知，.
设计意图：利用维恩图，加深对补集的运算性质的理解.
【做一做】（1) 已知U= {1, 2, 3} , A= {1} , 求;
（2) 已知U= {1, 2, 3} , = {1} , 求A;
（3) 已知A= {1} , = {2, 3} , 求U.
师生活动：学生完成.
预设的答案： (1) = {2, 3} ; (2)A={2,3};(3)U{1,2,3).
设计意图：深入理解全集、补集等概念.同时需要让学生理解全集的相对性，不同的研究对象对应不同的全集.
知识点2 交、并、补集之间的关系
【想一想】我们学习了交集、并集以及补集运算，那它们之间有什么关系呢？
如， ，，这几个集合之间有关系吗？
师生活动：引导学生画维恩图，学生讨论后回答，教师总结．
教师总结：集合运算的德摩根恒等式 , .
设计意图：进一点加深对交集、并集、补集运算的理解，加深对用维恩图可快捷处理集合问题的理解，对于基础较好的学生还可以引导他们采用描述集合相等的方法进行严格证明.
【巩固练习】
例1已知U={x∈N|x≤7}，A={x∈U|x ≤7}，B={x∈U|0<2x≤7}，求，，
，.
师生活动：学生回答，教师给出规范解题过程．
解： 不难看出
U={0，1，2，3，4，5，6，7}，A={0，1，2}，B=（1，2，3}.
因此
={3，4，5，6，7}，
={0，4，5，6，7}，
={0，3，4，5，6，7}，
={0，3，4，5，6，7}.
强调：注意U中的元素都是自然数，而且A，B都是U的子集.
设计意图：进一步理解补集的运算以及如何求补集．
例2 已知，，求，.
师生活动：学生回答，教师给出规范解题过程．
解： 在数轴上表示出A和B，如图所示.
由图可知
，．
设计意图：进一步理解补集的运算以及如何求补集．对于区间形式给出的集合的补集求解，可以借助数轴快捷求解.
例3已知全集U＝{1,3，x3＋3x2＋2x}，A＝{1，|2x－1|}，若＝{0}，求x的值．
师生活动：学生回答，教师纠错．
解：∵＝{0}，∴0∈U，但0 A.
∴x3＋3x2＋2x＝0，x(x＋1)(x＋2)＝0，
∴x＝0或－1或－2.
当x＝0时，|2x－1|＝1，A中已有元素1，不符合元素的互异性；
当x＝－1时，|2x－1|＝3,3∈U；
当x＝－2时，|2x－1|＝5，但5 U.
综上，x＝－1.
设计意图：进一步理解补集的运算和集合的特性.
练习：教科书第19页练习A 4，5题．
师生活动：学生回答，教师点评．
设计意图：通过让学生思考并回答，巩固新知，查缺补漏．
【课堂小结】
1．板书设计：
1.3集合的基本运算
补集
补集的运算性质：
例1 例2 例3
练习：教科书第19页练习A 4，5题．
作业：教科书第19页练习B 3，4题．第20页习题1-1A10题 ；习题1-1 B 2题
2．总结概括：
回顾本节课，你有什么收获？
师生活动：学生可以从以下两点分别回答：
1.补集及其运算性质；2.交集、并集与补集之间的关系.
　设计意图：从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小结．对于补集的运算，要化抽象为形象，再回归到教案上的习题来，让数学变得有趣活泼.
布置作业：
教科书第19页练习B 3，4题．第20页习题1-1A10题 ；习题1-1 B 2题
【课后拓展】
1．设U为全集，对集合X, Y, 定义运算“”， 满足 XY=
, 则对于任意集合X，Y，Z， 则X(YZ) =（ ）
A.(X∪Y)∪ B.(X∩Y)∪
C. D.
参考答案： 根据运算“”的定义可得，X(YZ) = .故选D.
设计意图：这是新情境、新思维题，有利用提升学生的抽象思维能力.
2．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}且A ，求实数a的取值范围．
参考答案：若B＝ ，则a＋1＞2a－1，∴a＜2.
此时 UB＝R，∴A UB；
若B≠ ，则a＋1≤2a－1，即a≥2，
此时 UB＝{x|x＜a＋1，或x＞2a－1}，
由于A UB，如图，
则a＋1＞5，∴a＞4，
∴实数a的取值范围为a<2或a>4.
易错点评：解决此类问题应注意以下几点：(1)空集作为特殊情况，不能忽略；(2)数形结合方法更加直观易懂，尽量使用；(3)端点值能否取到，应注意分析．