苏教版（2019）必修第一册5.3 函数的单调性 课件（共38张PPT）

(共38张PPT)
第5章
5.3
函数的单调性
学习目标
1.理解函数的单调性、最值及其几何意义，能判断或证明一些简单函数的单调性.
2.掌握二次函数在闭区间上的最值问题.
3.学会应用函数的图象理解和研究函数的单调性.
核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算
新知学习


2.单调性与单调区间
如果函数y＝f（x）在区间I上是增函数或减函数，那么称函数y＝f（x）在区间I上具有单调性.
增区间和减区间统称为单调区间.
【解读】
（1）函数的单调性是函数在一个单调区间上的“整体”性质，具有任意性，不能用特殊值代替.
（2）有些函数在整个定义域内是单调的；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，在部分区间上是减函数；有些函数是非单调函数（常数函数）.
（3）函数的单调性只能在定义域内讨论，因此求单调区间必须先求定义域.
（4）如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开.
示例 （1）下列说法正确的是（　）
A.定义在（a，b）上的函数f（x），若存在x1，x2∈（a，b），且x1B.定义在（a，b）上的函数f（x），若有无穷多对x1，x2∈（a，b），使得x1C.若f（x）在区间I1上单调递增，在区间I2上也单调递增，那么f（x）在I1∪I2上也一定单调递增
D.若f（x）在区间I上单调递增且f（x1）（2）如图是定义在区间［-5，5］上的函数y＝f（x）的图象，函数y＝f（x）的单调增区间
为　　 　 　.
（3）函数f（x）＝|x-2|x的单调减区间是　　 　　.
D
［-2，1），［3，5］
［1，2］

二、函数的最大（小）值
1.函数的最大（小）值
设y＝f（x）的定义域为A.
如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f（x）≤ f（x0），那么称f（x0）为y＝f（x）的最大值，
记为ymax＝f（x0）；
如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f（x）≥f（x0），那么称f（x0）为y＝f（x）的最小值，
记为ymin＝f（x0）.
【解读】（1）最大（小）值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝x2（x∈R）的最小值是0，有f（0）＝0.
（2）最大（小）值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f（x）≤f（x0） （f（x）≥f（x0））成立，也就是说，函数y＝f（x）的图象不能位于直线y＝ f（x0）的上（下）方.
（3）最大（小）值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数使等号成立，也就是说y＝f（x）的图象与直线y＝ f（x0）至少有一个交点.


D
B
2.二次函数在闭区间上的最值初探
二次函数在闭区间上一定有最大值和最小值，通常借助于二次函数在该区间上的简图，根据二次函数在该区间上的单调性，求出其最大值和最小值.
【解】（1）当a<0时，由图可知，f（x）在区间［0，2］上单调递增，
所以f（x）min＝f（0）＝-1，f（x）max＝f（2）＝3-4a.
示例　求f（x）＝x2-2ax-1在区间［0，2］上的最大值f（x）max和最小值f（x）min.
（2）当0≤a≤1时，由图可知，对称轴在区间［0，1］内，
f（x）在［0，a］上单调递减，在［a，2］上单调递增，
所以f（x）min＝f（a）＝-1-a2，f（x）max＝f（2）＝3-4a.
（3）当1f（x）在［0，a］上单调递减，在［a，2］上单调递增，
所以f（x）min＝f（a）＝-1-a2，f（x）max＝f（0）＝-1.
（4）当a>2时，由图可知，f（x）在［0，2］上单调递减，
所以f（x）min＝f（2）＝3-4a，f（x）max＝f（0）＝-1.


f（x） g（x） f（x）+g（x） f（x）-g（x）
增 增 增 不能确定单调性
增 减 不能确定单调性 增
减 减 减 不能确定单调性
减 增 不能确定单调性 减
（6）当f（x），g（x）都是增（减）函数时，
若两者都恒大于零，则f（x）g（x）也是增（减）函数；
若两者都恒小于零，则f（x）g（x）是减（增）函数.
（5）在f（x），g（x）的公共单调区间上，有如下结论：



［1，+∞）

典例剖析


【方法总结】
利用定义证明函数单调性的步骤
（1）取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1（2）作差变形：作差f（x1）-f（x2），并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子.
（3）定号：确定f（x1）-f（x2）的符号.
（4）结论：根据f（x1）-f（x2）的符号及定义判断单调性.


【方法总结】
利用函数单调性的定义，按照“取值——作差（商）——变形——定号——结论”的步骤探究函数的单调性并求出其单调区间，这是一种常用的方法，需要熟练掌握，在解题过程中一定要注意所给函数的定义域，如果题目中没有给出，那么要先求出函数的定义域.
例 3 函数y＝f（x）对于任意x，y∈R，有f（x+y）＝f（x）+f（y）-1，当x>0时，f（x）>1，且
f（3）＝4，则（　）
A. f（x）在R上是减函数，且f（1）＝3　 B. f（x）在R上是增函数，且f（1）＝3
C. f（x）在R上是减函数，且f（1）＝2　 D.f（x）在R上是增函数，且f（1）＝2

D

例 4 画出函数y＝-x2+2|x|+1的图象并写出函数的单调区间.

【方法总结】先化简函数解析式，然后画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态确定函数的单调区间.注意：当单调性相同的区间多于一个时，用“和”字或“逗号”连接，不能用“∪”连接.


y＝（u-1）2
x∈（-∞，0），减 u∈（-∞，0），减 x∈（-∞，0），增
x∈（0，1］，减 u∈［1，+∞），增 x∈（0，1］，减
x∈［1，+∞），减 u∈（0，1］，减 x∈［1，+∞），增
【方法总结】
求复合函数的单调区间
首先搞清楚复合的内外两层函数，并求出定义域，再考虑内外两层函数的单调性，利用相应区间上“同增异减”的法则，写出定义域内的单调区间.


【方法总结】
运用函数单调性求最值是求函数最值的常用方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法.先求出函数的定义域，然后判断函数的单调性，再利用单调性求出最值.

例7 用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值.设f（x）＝min{x+2，10-x}（x≥0），则f（x）的最大值为　　　　.
6
【方法总结】
利用图象求函数最值的步骤
（1）画出函数y＝f（x）的图象；
（2）观察图象，找出图象的最高点和最低点；
（3）写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值.


BCD

三、函数单调性的应用
例9 设函数f（x）＝x2+（x-1）|x-a|+3（a∈R）.
（1）当a＝0时，求函数的单调递减区间.（2）若函数f （x）在R上单调递增，求a的取值范围.
【方法总结】
利用函数单调性求参数取值范围的两种思路
1.已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.
2.借助常见函数（如一次函数、反比例函数、二次函数等）的单调性求解.
【解析】 函数f（x）的图象开口向上，对称轴为直线x＝-1，
函数在（-∞，-1）上单调递减，在（-1，+∞）上单调递增.
由于x1根据函数图象的性质可知f（x1）例10 已知函数f（x）＝ax2+2ax+4（0A. f（x1）f（x2）
C. f（x1）＝f（x2） D. f（x1）与f（x2）大小关系不确定
A
【方法总结】
利用单调性比较大小的方法或解不等式的方法
（1）利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值大小的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.
（2）相关结论.
①正向结论：若y＝f（x）在给定区间上是增函数，则当x1x2时，
f（x1）>f（x2）.
②逆向结论：若y＝f（x）在给定区间上是增函数，则当f（x1）
f（x2）时，x1>x2.
当y＝f（x）在给定区间上是减函数时，也有相应的结论.

例11 已知f（x）是定义在区间［-1，1］上的增函数，且f（x-2）
随堂小测
B
CD
C


A






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