苏教版（2019）必修第一册3.3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 课件（共38张PPT）

(共38张PPT)
第3章
3.3
从函数观点看一元二次方程
和一元二次不等式
学习目标
1.会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.
2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
3.借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象
新知学习
一、二次函数的零点
一般地，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根就是二次函数y＝ax2+ bx+c（a≠0）当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的零点.
【概念理解】
（1）函数的零点是一个实数，而不是一个点.例如，函数f（x）＝x+1的零点是-1，而不是（-1，0）.
（2）并不是所有的函数都有零点，如f（x）＝1，f（x）＝x2+1就没有零点.
（3）将概念推广到一般情况：如果函数y＝f（x）在实数a处的函数值等于零，即f（a）＝0，则称a为函数
f（x）的零点.
示例　函数y＝x2-3x+2的零点是1和2，求方程x2-3x+2＝0的根即可.
二、二次函数零点与一元二次方程的根之间的关系
当a>0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0的根、二次函数y＝ax2+bx+c的图象、二次函数y＝ax2+bx+c的零点之间的关系如下表：
判别式Δ＝b2-4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
一元二次方程 ax2+bx+c＝0的根 没有实数根
二次函数 y＝ax2+bx+c的图象
二次函数 y＝ax2+bx+c的零点 无零点
示例　 二次函数y＝x2+（a-1）x+1（a>0）只有一个零点，则方程ax2-8x-a＝0的根为　　　　.



三、一元二次不等式与二次函数的关系
一元二次不等式及相应的二次函数y＝ax2+bx+c（a>0）的图象、一元二次方程的根之间的关系如下表：
判别式Δ＝b2-4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2+bx+ c（a>0）的图象
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a>0）的根 有两个相异的实数根x1，x2（x1ax2+bx+c<0（a>0）的解集 （x1，x2） ? ?
ax2+bx+c>0（a>0）的解集 （-∞，x1）∪（x2，+∞） R
【说明】
（1）函数的角度：一元二次不等式ax2+bx+c>0表示二次函数y＝ax2+bx+c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2+ bx+c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围.
（2）方程的角度：一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根.
【提示】利用二次函数图象的直观形象，可以快速地得到它所必须满足的条件，具体做法是先作出符合根的分布的二次函数图象，由图象可得到f（x）在区间端点的函数值和判别式的符号，以及对称轴的位置等情况，从而找到所需满足的条件.但应注意的是，由图象所得出的条件必须能推出符合题意的根的分布.
示例　若不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2【分析】根据不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2【解析】因为不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2所以a<0，且-2和1是一元二次方程ax2-x-c＝0的两个实根，
所以函数y＝ax2-x-c的图象开口向下，函数y＝ax2-x-c的两个零点为-2和1，
结合图象可知，选项B正确，故选B.
A　　　　　 　 B C　　　　 　 D
B
四、一元二次不等式及解法　
1.一元二次不等式
（1）定义：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，称为一元二次不等式.
（2）形式：一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（其中a，b，c均为常数，a≠0）.

提示：不是，一元二次不等式一定为整式不等式.
提示：不可以，若a＝0，就不是一元二次不等式了.
2.（x-a）（x-b）>0或（x-a）（x-b）<0型不等式的解集
不等式 解集
ab
（x-a）·（x-b）>0 {x|xb} {x|x≠a} {x|xa}
（x-a）·（x-b）<0 {x|a3.求解一元二次不等式的过程
以ax2+bx+c>0（a>0）为例.
【解题必备】求解一元二次不等式的常见方法
（1）图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：
①将不等式化为标准形式：ax2+ bx+c>0（a>0）或ax2+bx+c<0（a>0）；
②求方程ax2+bx+c＝0（a>0）的根，并画出对应函数y＝ax2+bx+c图象的简图；
③由图象得出不等式的解集.
（2）代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解.
当m0，则x>n或x若（x-m）（x-n）<0，则m有口诀如下：大于取两边，小于取中间.
示例　下面所给关于x的几个不等式：①3x+4<0；②x2+mx-1>0；③ax2+4x -7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有（　）
A.1个　　 B.2个 C.3个 D.4个
B
【解析】不等式①3x+4<0是一元一次不等式；
②x2+mx-1>0是一元二次不等式；
③ax2+4x-7>0，当a＝0时，是一元一次不等式，当a≠0时，是一元二次不等式；
④x2<0是一元二次不等式.
所以一定为一元二次不等式的有②④这2个.
示例　解不等式-x2+2x-3>0.
【点拨】将-x2+2x-3>0转化为x2-2x+3<0的过程注意符号的变化，这是解本题的关键之处.
【解】 不等式可化为x2-2x+3<0.
因为Δ<0，方程x2-2x+3＝0无实数解，
而函数y＝x2-2x+3的图象开口向上，所以原不等式的解集是?.
五、简单的分式不等式与高次不等式的解法
1.分式不等式
（1）分式不等式的概念
分母中含有未知数的不等式称为分式不等式.
（2）分式不等式的解法
对于比较简单的分式不等式，可直接等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组.当分式不等式中含有等号，等价转化为整式不等式时，其分母不为零最容易被忽略，这一点一定要注意.


【分析】将分式不等式等价转化为整式不等式求解.

2.高次不等式
（1）最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式.
（2）高次不等式的解法
解简单高次不等式常用数轴标根法（或称“区间法”、“穿根法”）.
如果分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般使用数轴标根法（亦称“穿针引线法”）求解，具体步骤如下：
【注意】
（1）不等式若带“＝”，点画为实心，解集边界处应有等号（闭区间）；
（2）在画数轴时，一般应标上表示0的点，在画线时，一定要考虑是否穿过它.
【点拨】
穿针引线法的发现归功于从简单到复杂、从具体到一般的观察，发现问题，提出问题，进而解决问题.这就是逻辑推理素养中的归纳.


典例剖析
一、求解一元二次不等式
1.求解不含参数的一元二次不等式
例 1 解下列不等式：
（1）-3x2+6x≤2；（2）4x2+4x+1>0；（3）-x2+6x-10>0.


【类题通法】解不含参数的一元二次不等式的方法
方法1：若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为两个一次因式乘积的形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集.
方法2：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得.
方法3：若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法.



【方法总结】含参一元二次不等式的解法



2.求解简单的高次不等式
例 4 不等式（x+2）（x+1）2（x-1）3（x-2）≤0的解集为　　 　　.
【分析】根据“数轴穿根法”求解即可.
【解析】根据题意，作出如图所示的图形，
由图可知，不等式的解集为（-∞，-2］∪{-1}∪［1，2］.
（-∞，-2］∪{-1}∪［1，2］

D

例 6 设函数f（x）＝mx2-mx-1（m≠0），若对于x∈［1，3］.
（1）f（x）<-m+5恒成立，求m的取值范围.
（2）f（x）<5-m无解，求m的取值范围.


四、二次函数零点的分布
例 7 对任意x∈（1，2］，函数f（x）＝x2-2ax+4有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是　　　　.


五、一元二次不等式的实际应用问题
例 8 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为 1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x（0（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？

【方法总结】解一元二次不等式应用题的步骤
1. 二次函数y＝ax2+bx+c的零点为2，3.则a∶b∶c＝（　）
A. 1∶（-5）∶6 B. 1∶2∶3 C. 3∶2∶1 D. （-5）∶6∶1
2. 若不等式f（x）＝ax2-x-c>0的解集为（-2，1），则函数y＝f（x）的大致图象为（　）
B
随堂小测
A
A　　　　　　　　　 B C　　　　　　　　　 D
　　　　
　　　　

ABD
B
12到16
（0，1）
AB
8. 解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax（a∈R）.

9. 是否存在这样的实数a，使函数y＝x2+（3a-2）x+a-1在区间［-1，3］上有且只有一个零点.若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由.

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