圆锥的侧面积和全面积达纲训练[上学期]

【圆锥的侧面积和全面积同步达纲练习】
（120分 100分钟）
一、基础题（每题3分，共54分）
1．一圆锥的侧面展开图的圆心角为120°，该圆锥的侧面积与全面积之比值为（ ）
A． B． C． D．
2．若圆锥经过轴的剖面是正三角形，则它的侧面积与底面积之比为（ ）
A．3：2 B．3：1 C．2：1 D．5：3
3．如图3-8-4，将半径为2的圆形纸片沿半径OA、OB将其截成1：3两部分，用所得的扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为（ ）
A． B．1 C．1或3 D．或
4．如图3-8-5，将三角形绕直线ι旋转一周，可以得到图3-8-6所示的立体图形的是（ ）
5．在△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=3cm．若△ABC绕直线AC旋转一周得到一个几何体，则此几何体的侧面积是（ ）
A．6πcm2 B．12πcm2 C．18πcm2 D．24πcm2
6．将一个半径为8cm，面积为32πcm2的扇形铁皮围成一个圆锥形容器（不计接缝），那么这个圆锥形容器的高为（ ）
A．4 B．4 C．4 D．2
7．已知圆锥的母线长是10cm，侧面展开图的面积是60πcm2，则这个圆锥的底面半径是 cm．
8．已知圆锥的底面半径是2cm，母线长是5cm，则它的侧面积是 ．
9．圆锥的轴截面是一个等边三角形，则这个圆锥的底面积、侧面积、全面积的比是 ．
10．一个扇形，半径为30cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为 ．
11．一个扇形，半径为30cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的全面积为 ．
12．一个圆锥形的烟囱帽的侧面积为2000πcm2，母线长为50cm，那么这个烟囱帽的底面直径为（ ）
A．80cm B．100cm C．40cm D．5cm
13．圆锥的高为3cm，底面半径为4cm，求它的侧面积和侧面展开图的圆心角．
14．以斜边长为a的等腰直角三角形的斜边为轴，旋转一周，求所得图形的表面积．
15．已知两个圆锥的锥角相等，底面面积的比为9：25，其中底面较小的圆锥的底面半径为6cm，求另一个圆锥的底面积的大小．
16．轴截面是顶角为120°的等腰三角形的圆锥侧面积和底面积的比是多少？
17．如图3-8-7，已知圆锥的母线SB=6，底面半径r=2，求圆锥的侧面展开图扇形的圆心角α．
18．一个圆锥的底面半径为10cm，母线长20cm，求：
（1）圆锥的全面积；
（2）圆锥的高；
（3）轴与一条母线所夹的角；
（4）侧面展开图扇形的圆心角．
二、学科内综合题（每题7分，共21分）
19．一个扇形如图3-8-8，半径为30cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，求圆锥底面半径和锥角．
20．一个圆锥的轴截面是等边三角形，它的高是2cm．
（1）求圆锥的侧面积和全面积；
（2）画出圆锥的侧面展开图．
21．若△ABC为等腰直角三角形，其中∠ABC=90°，AB=BC=5cm，求将等腰直角三角形绕直线AC旋转一周所得到图形的面积．
三、应用题（每题6分，共18分）
22．用一块圆心角为300°的扇形铁皮做一个圆锥形烟囱帽，圆锥的底面直径为1m，求这个扇形铁皮的半径．
23．如图3-8-9，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面周长为36m，母线长为8m，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，如果按用料的10%计接头重合部分，那么这座粮仓实际需用油毡的面积是多少？
24．如图3-8-10，有一直径是1m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角是90°的扇形ABC，求：
（1）被剪掉的阴影部分的面积；
（2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆半径是多少？（结果可用根号表示）
四、创新题（10分）
25．小明要在半径为1m，圆心角为60°的扇形铁皮上剪取一块面积尽可能大的正方形铁皮．小明在扇形铁皮上设计了如图3-8-11的甲、乙两种方案剪取所得的正方形的面积，并计算哪个正方形的面积较大？（估算时取1．73，结果保留两个有效数字）
五、中考题（17分）
26．（3分）一个形如圆锥的冰淇淋纸筒，其底面直径为6cm，母线长为5cm，围成这样的冰淇淋纸筒所需纸片的面积是（ ）
A．66πcm2 B．30πcm2 C．28πcm2 D．15πcm2
27．（6分）圆锥可以看成是直角三角形以它的一条直角边所在的直线为轴，其余各边旋转一周而成的面所围成的几何体，那么圆台可以看成是 所在的直线为轴，其余各边旋转一周而成的面所围成的几何体；如果将一个半圆以它的直径所在的直线为轴旋转一周，所得的几何体应该是 ．
28．（8分）在半径为27m的广场中央，点O的上空安装了一个照明光源S，S射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB的顶角为120°（如图3-8-12），求光源离地面的垂直高度SO．（精确到0．1m；=1．44，=1．732，=2．236，以上数据供参考）
加试题：竞赛趣味题（每题5分，共10分）
1．如图3-8-13，在小学，我们曾用实验归纳出圆锥的体积等于三分之一底面积乘以高．现在我们的实验是，取一个半径为R的半球面，再取一个半径和高都是R的圆锥容器．两次将圆锥容器装满细沙，并倒入半球内，发现半球恰好被装满．试根据这一实验猜想半径为R的球的体积公式．
2．已知a、b、c为正整数，且a2＋b2＋c2＋48＜4a＋6b＋12c，求（）abc的值．
Ⅵ．探究题
要将一块直径为2m的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底面．
操作：方案一：在图3-8-14中，设计一个使圆锥底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案（要求：画出示意图）．
方案二：在图3-8-15中，设计一个使圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案（要求：画出示意图）．
探究：（1）求方案一中圆锥底面的半径；
（2）求方案二中圆锥底面及圆柱底面半径；
（3）设方案二中半圆圆心为O，圆柱两个底面的圆心为O1、O2，圆锥底面的圆心为O3，试判断以O1、O2、O3、O为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明．

参考答案
Ⅱ.三、1．5cm；12cm；65cm2 2．50；60°；5
3．65；10；65 点拨：以BC为轴旋转所得圆锥的底面半径为5cm，高为12cm，母线长为13cm.利用公式计算.
Ⅲ.一、1．扇形 2．l；2r 3．lr 4．全面积
Ⅳ.1．12 2．B 点拨：侧面积=底面直径··母线长.
3．D 点拨：展开图的弧长是a，故底面半径是，这时母线长，底面半径和高构成直角三角形.
Ⅴ.一、1．A 解：设圆锥的底面半径为r，母线长为R，扇形的弧长为l，则l==R.
∴2r=.∴R=3r.∴S侧=×2r·R=·2r·3r=6r2×=3r2.
S全面积=S侧+S底=3r2+r2=4r2.∴S表：S底=3r2：4r2=3:4.
2．C 解：设圆锥母线为ι，底面半径为r，由题意，得ι=2r．
∴S侧=·2r·ι=r×2 r=2r2
∴S侧：S底=2r2：r2=2:1.
3．D 解：圆的周长为2·OA=2×2=4.
∴劣弧的长为×4=，优弧的长为×4=3.
设含劣弧的扇形围成的圆锥的底面半径为r1，含优弧的扇形围成的圆锥的底面半径为r2，则解得
点拨：不能漏掉含优弧的扇形，而选错A.
4．B 点拨：认真分析图形，发挥空间想象力.
5．B 解：由题意知旋转后的几何体为以AC为高，AB为母线，BC为底面半径的圆锥，所以S侧=·2·BC·AB=×2×3×4=12（cm2）
6．B 解：设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l，则l=8cm，r·l=32．
7．6 解：设圆锥的底面半径为r，则·2r·10=60，解得r=6．
8．10cm2 解：S侧=2r·l·=×2×5=10（cm2）.
9．1：2：3 解：设轴截面（等边三角形）边长为a，则圆锥的底面半径为a，母线为a.
∴S底=·（）2=a2，S侧=·2··a=a2.
S全=S底+S侧=.
∴S底：S侧：S全==1：2：3.
点拨：恰当设元，分别求出各面积再求比值.
10．10cm 解：l==20，∴2r=20，r=10cm.
11．400cm2 点拨：l=×30=20，20=2r，r=10，S底=r2=102=100，S侧=lR=×20×30=300，∴S全=S底+S侧=400cm2.
12．A 点拨：由公式S侧=·2r·R=rR，所以50r=2000，2r=80.
13．解：侧面积为20cm2，圆心角为288°，由勾股定理可得母线长为5cm，S侧=lr=20rcm2，圆心角=×360°=×360°=288°.
14．解：旋转体的表面积是a2.
15．解：由圆锥锥角相等，可知两圆的轴截面的两个等腰三角形相似，另一圆锥的底面半径10cm，底面面积为100cm2.
16．解：设轴截面等腰三角形的腰长是a，则圆锥底面半径为，S侧：S底=rl：r2=l：r=2：.
17．解：设圆锥底面周长为C，则C=2r=2×2=4.又此周长即为圆锥侧面展开图的扇形弧长，∴C=.∴a==120°.
18．解：（1）S全=r2+rl=100+200=300（cm2）.
（2）如答图3-8-1所示，OS为圆锥的高.
在Rt△OSA中，OS=（cm）.
（3）在Rt△OSA中，sin=，∴=30°.
（4）设侧面展开图扇形的圆心角底数为，则2r=.∴=180°.
∴侧面展开图扇形的圆心角为180°.
点拨：关于圆锥的轴截面面积的计算问题，关键是结合图形分析清楚轴截面的各元素与圆锥各元素之间的关系，圆锥有无数个轴截面，它们是全等的等腰三角形.
二、19．解：设底面半径为r，锥角为.∵的长为，∴2r=20.∴r=10（cm）.
∴sin查表得=19°28′，∴=38°56′.
点拨：圆锥的锥角是指圆锥的轴截面中两母线所夹的等腰三角形的顶角，通常是在底面半径、高和母线组成的直角三角形中，首先求出锥角的一半，再得锥角.
20．解：（1）如答图3-8-2为圆锥的轴截面，SA、SB为母线，SO为高，AB为底面圆的直径、高和母线组成的直角三角形中，首先求出锥角的一半，再得锥角.
20．解：（1）如答图3-8-2为圆锥的轴截面，SA、SB为母线，SO为高，AB为底面圆的直径，所以SO=2.在Rt△SOB中，SB==4，OB=SB·cos60°=4×=2，∴S侧=2·OB··SB=2×2××4=8，S全=S侧+S底=8+·OB2=4+8=12（cm2）.
（2）设圆锥侧面展开图的圆心角为n°，则，即，解得n=180，所以圆锥的侧面展开图如答图3-8-3.
21．解：绕直线AC旋转一周所得图形如答图3-8-4.
在Rt△ABC中，OB=AB·cos45°=5=5.
∴所得图形的面积为2S侧=2××2×OB×AB=2×5×5=50（cm2）.
点拨：发挥想象力.能想象出旋转后的图形面积为两个圆锥的侧面积之和.
三、22．解：设扇形的半径为R，圆锥底面半径为r，那么r=0.5m，2r=，2×0.5=，解得R=0.6m. 答：略.
点拨：扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长.
23．解：设圆锥的底面半径为r，那么2r=36，∴r=.
∴圆锥的侧面积为2r·l·=36×8×=144（m2）.
∴实际需要油毡的面积为144+144×10%=158.4（m2）. 答：略.
点拨：本题还可以用36×8×直接求得圆锥的侧面积.
24．解：（1）连接BC.∵∠BAC=90°，∴弦BC为直径.∴AB=AC.∴AB=AC=BC·sin45°=.
∴S阴影=S⊙O-S扇形ABC=()2-(m2).
（2）设圆锥底面圆的半径为r，而弧的长即为圆锥底面的周长，2r=.解得r=(m).
答：略.
点拨：阴影部分的面积是用圆减去一个圆心角为90°的扇形的面积.关键是求扇形的半径，而扇形的弧长实际上是圆锥底面圆的周长.
四、25．解：方案甲：连接OH，设EF=x，则OF=EF·cot60°=x.
在Rt△OGH中，OH2=GH2+OG2，即1=x2+（）2.解得x2=.
方案乙：作OM⊥G′H′于M，交E′F′于N，则M、N分别是G′H′和E′F′的中点，∠NOF′=30°.
连接OG′.设E′F′=y，则ON=y.在Rt△OG′M中，OM2+MG′2=OG′2，∴y2=2-.
若≈1.73，则x2=0.287≈0.29，y2=0.27，
∴x2﹥y2，即按甲方案剪得的正方形面积较大.
五、26．D 解：如冰淇淋纸筒示意图（答图3-8-5），根据题意，得SA=SB=5cm，AB=6cm.圆锥的底面周长为l=2·=2·3=6，
∴S侧=l·R=·SB·l=×5×6=15（cm2）.
点拨：冰淇淋纸筒侧面积是圆锥的侧面积，不能加上底面面积.
27．直角梯形以垂直于底边的腰；球或球体
28．解：在△SAB中，SA=SB，∠ASB=120°.
∵SO⊥AB，∴O为AB的中点，且∠ASO=∠BSO=60°.
在Rt△ASO中，OA=27m，∴SO=OA·cot∠ASO=27×cot60°=27×≈15.6（m）.
答：略.
加试题：1．解：V球=R3，实验结果表明：2V圆锥=V半球，即V半球=R3，∴V球=R3.
点拨：数学试验是获得一些结论的重要途径，同时在获取知识培养能力，增强毅力等方面有很大益处.
2．解：不等式两边加上1，移项整理后有a2-4a+b2-6b+c2-12c+49﹤1，
∵a、b、c为正整数，∴a2-4a+b2-6b+c2-12c+49≤0，即（a-2）2+(b-3)2+(c-6)2≤0.
∴a-2=0，b-3=0，c-6=0.∴a=2，b=3，c=6.
∴原式=（）2×3×6=136=1.
点拨：（1）若x2+y2≤0，必有x=0，y=0；（2）通过本题应注重加“1”的妙用.
Ⅵ.方案一：如答图3-8-6，⊙O3是圆锥底面，⊙O1和⊙O2是圆柱底面.
方案二：如答图3-8-7，⊙O1和⊙O2是圆柱底面，⊙O3是圆锥底面.
（1）圆锥半径为2××=0.5m.
（2）如答图3-8-7，连接OO1、OO2、O2O3、O1O3、O1O2，设⊙O1与⊙O2的半径为ym，⊙O3的半径为xm.∵⊙O1和⊙O2外切于点D，∴OD⊥O1O2，
设⊙O1切AB于点C，连接O1C，∴O1C⊥AB.
∴四边形O1COD为正方形.OD=y.
∴OO12=O1D2+OD2.∴(1-y)2=y2+y2.∴y=-1±.
∵y﹥0，∴y=-1.∴圆柱底面半径为（-1）m.
∵O1O3=O2O3，O1D=O2D，∴O3D⊥O1O2.∴O1O32=O1D2+O3D2.
∴(x+y)2=y2+(1-x-y)2.∴x=1-2y=3-2.
∴圆锥底面半径为（3-2）m.
（3）四边形OO1O3O2是正方形.
由（2）知O1O3=x+y=2-，O1O=1-y=2-.
同理OO2=O2O3=2-，即O1O=O1O3=O2O3=OO2.∴四边形OO1O3O2是菱形.
∵OO3=1-x=2-2，O1O2=2y=2-2，∴OO3=O1O2.
∴四边形OO1O3O2是正方形.