14.2 三角形全等的判定 (7) 课件(共25张PPT)

(共25张PPT)
沪科版 八年级上册
14.2三角形全等的判定 (7)
教学目标
1.掌握全等三角形的判定方法
2.能用全等三角形证明三角形的边或角相等.
教学重点：
教学难点：
用全等三角形证明边或角相等.
规范叙述证明三角形全等的过程.
判断两个三角形全等的方法有：
(1)： ；
(2)： ；
(3)： ；
(4)： ；
SSS
SAS
ASA
AAS
直角三角形 全等特有的方法：
HL.
证明两个三角形全等的基本思路：
(1)已知两边----
找第三边
(SSS)
找夹角
(SAS)
(2):已知
一边一角---
一边和它的邻角
找是否有直角
(HL)
一边和它的对角
找这边的另一个邻角(ASA)
找这个角的另一个边(SAS)
找这边的对角 (AAS)
找一角(AAS)
对角是直角，找一边(HL)
(3):已知两角---
找两角的夹边(ASA)
找夹边外的任意边(AAS)
全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一，证明时
　 ①要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中.
　 ②分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件.
　 ③有公共边的，公共边一定是对应边， 有公共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对应角.
已知:如图，A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，求证：BD与EF互相平分.
A
F
C
E
D
B
G
专题一 全等三角形判定和性质的综合应用
已知:如图，A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，
过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，
求证：BD与EF互相平分.
A
F
C
E
D
B
G
要证：
△BFG≌△DEG
BF=DE
BG=DG
△ABF≌△CDE
EG=FG
AF=CE
△ABF和△CDE是直角三角形
AE=CF
DE⊥AC，BF⊥AC
BD与EF互相平分.
A
F
C
E
D
B
G
∵AE=CF,
∴AE＋EF=CF＋EF.
∴AF=CE.
证明：
AB=CD
∴Rt△ABF≌Rt△CDE
∴ BF=DE.
AF=CE
(HL).
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
∵BF⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BFA=∠DEC=90°.
在△BFG和△DEG中，
∠BFG=∠DEG
∠BGF=∠DGE
BF=DE
∴△BFG≌△DEG.
∴BG=DG，
EG=FG.
∴BD与EF互相平分.
如图，已知：AB=CD， BE=DE，
A
B
C
E
D
∠BAD=∠BDA. 求证：AC=2AE.
F
专题二 补短法在全等三角形中的应用
如果延长AF至点F，使EF=AE， 并能证明△ABF≌△CDA，
就可以得出AC= AF=2AE.
根据已知条件，需要先证明△ADE≌△FBE，获得条件，
再证明△ABF≌△CDA.
分析
如图，已知：AB=CD， BE=DE，
A
B
C
E
D
∠BAD=∠BDA. 求证：AC=2AE.
F
证明：
延长AE至F，使EF=AE.
连接BF.
∴AF=2AE
∴△AED≌△FEB
∴∠1=∠F ，
在△AED和△FEB中，
AE=FE
∠AED=∠FEB
BE=DE
(SAS)
DA=BF.
1
2
A
B
C
E
D
F
证明：
延长AE至F，使EF=AE.
连接BF.
∴AF=2AE
∴△AED≌△FEB
∴∠1=∠F ，
在△AED和△FEB中，
AE=FE
∠AED=∠FEB
BE=DE
(SAS)
∴ ∠1＋∠2
= ∠F＋∠2
∵ ∠BAD=∠BDA，
∠1＋∠2
∴ ∠BDA =∠F＋∠2
DA=BF.
=∠BAD
1
2
A
B
C
E
D
F
∴△AED≌△FEB
∴∠1=∠F ，
(SAS)
∴ ∠1＋∠2
= ∠F＋∠2
∵ ∠BAD=∠BDA，
∠2＋∠F
∴ ∠BDA =∠F＋∠2
DA=BF.
∵ ∠ABF=180°－(∠F＋∠2)，
∠ADC=180°－∠BDA，
∴ ∠ADC=∠ABF
在△ABF和△CDA中，
AB=CD
∠ABF=∠ADC
BF=DA
∴△ABF≌△CDA
∴AF=AC ，
(SAS)
∴AC=2AE .
=∠BAD
1
2
已知，如图，在 △ ABC中，CA=CB，∠C=90°，D为AB上任一点，AE⊥CD，垂足为点E，BF⊥CD，垂足为点F. 求证：EF= .
|AE－BF|
专题二 分类讨论思想在全等三角形中的应用
A
B
C
D
E
F
∟
∟
1
2
3
①当AD＜ AB时，
1
2
②当AD= AB时，
1
2
③当AD＞ AB时，
1
2
已知，如图，在 △ ABC中，CA=CB，∠C=90°，D为AB上任一点，AE⊥CD，垂足为点E，BF⊥CD，垂足为点F. 求证：EF= .
|AE－BF|
EF=
CE－CF
BF
AE
ΔAEC≌ΔCBF
∠1=∠2.
AE⊥CD，BF⊥CD
∠AEC=∠BFC= 90°
A
B
C
D
E
F
∟
∟
1
2
3
①当AD＜ AB时，
1
2
∵EF=
∴CE=BF，
AE=CF.
∴ △CAE≌ △ BCF
∴∠1=∠2.
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴∠AEC=∠BFC= 90°.
CA=BC
在△CAE和△BCF中，
∠AEC=∠BFC
∠1=∠2
∵∠1＋∠3=∠ACB=90°，
∴ ∠2＋∠3= 90°.
证明：
A
B
C
D
E
F
∟
∟
1
2
3
∴EF=
BF－AE，
∴EF=
CE－CF，
|AE－BF|.
(AAS)
①当AD＜ AB时，
1
2
已知，如图，在 ΔABC中，CA=CB，∠C=90°，D为AB上任一点，AE⊥CD，垂足为点E，BF⊥CD，垂足为点F. 求证：EF= .
|AE－BF|
A
B
C
D
(E，
F)
∟
∟
∟
②当AD= AB时，
1
2
∴AE=BF，
∴AE－BF=0，
∵EF=0
∴EF=
|AE－BF|.
A
B
C
D
F
∟
∟
1
2
3
已知，如图，在 ΔABC中，CA=CB，∠C=90°，D为AB上任一点，AE⊥CD，垂足为点E，BF⊥CD，垂足为点F. 求证：EF= .
|AE－BF|
E
EF=
CF－CE
AE
BF
△ AEC≌ △ CFB
∠1=∠2.
AE⊥CD，BF⊥CD
∠AEC=∠BFC= 90°
③当AD＞ AB时，
1
2
A
B
C
D
E
F
∟
∟
1
2
3
∵EF=
∴CE=BF，
AE=CF.
∴ △CAE≌△BCF
∴∠1=∠2.
∵AE⊥CD，BF⊥CD
∴∠AEC=∠BFC= 90°
CA=BC
在△CAE和△BCF中，
∠AEC=∠BFC
∠1=∠2
∵∠2＋∠3=∠ACB=90°，
∴ ∠1＋∠3= 90°.
证明：
∴EF=
AE－BF，
∴EF=
CF－CE，
|AE－BF|.
∴综合①、②、③，
可得EF=
|AE－BF|.
(AAS)
1.如图，AC⊥BC， ED⊥AB，BC⊥BE，垂
足分别为点 C，D，B，AB=BE. 试探究BE与
AC＋AD 之间的数量关系.
A
B
C
D
E
∟
∟
∟
解 : ∵ BC⊥BE，ED⊥AB，
∴ ∠DBE＋∠CBA=90°，∠BDE=90°.
∴ ∠ DBE＋∠ E=90°. ∴ ∠CBA=∠E.
在△ABC 和△BED 中，
∠C=∠BDE=90°， ∠CBA=∠E，AB=BE.
∴ △ABC≌△BED.(AAS)
∴AC=BD.
∵ AB=BD＋AD，AB=BE，
∴BE=AC＋AD.
练习巩固
2.如图，已知：BC=DC， CE⊥AB，垂足为E，
AC平分∠BAD， 求证： AB＋AD=2AE.
A
B
C
E
D
过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于F.
F
证明：
∴ ∠CFD=90°，
∵CE⊥AB，
∴ ∠CEA=∠CEB=90°，
∴ ∠CEA=∠CFD，
∠CFD=∠CEB.
∵AC平分∠BAD，
∴ ∠CAE=∠CAF，
过点C作CF⊥AD，垂足为F.
A
B
C
E
D
F
证明：
∴ ∠F=90°，
∵CE⊥AB，
∴ ∠CEA=∠CEB=90°，
∴ ∠CEA=∠F，
∠F=∠CEB.
∵AC平分∠BAD，
∴ ∠CAE=∠CAF.
在△AEC和△AFC中，
∠CEA=∠F
AC=AC
∠CAE=∠CAF
∴△AEC≌△AFC
∴CE=CF，
(AAS)
AE=AF.
A
B
C
E
D
F
在△AEC和△AFC中，
∠CEA=∠F
AC=AC
∠CAE=∠CAF
∴△AEC≌△AFC
∴CE=CF ，
(AAS)
在Rt△CEB和△CFD中，
BC=DC
CE=CF
∴Rt△CEB≌Rt△CFD
∴EB=FD
(HL)
AE=AF.
∵ AB=AE＋EB，
AD=AF－FD
=AE－EB
∴ AB＋AD
＋AE－EB
=AE＋EB
=2AE.
今天作业
课本P115页第6、10题
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin