圆[上学期]
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文档简介
§24.1 圆
课前热身
●连接圆上任意两点的线段叫做_______,经过圆心的弦叫做________.
●圆上任意两点间的部分叫做________.
●垂直于弦的直径,并且平分______________.
●平分弦(不是直径)的直径________弦,并且__________.
●顶点在圆心的角叫做_________,顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫做______.
●在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的________相等,所对的_______也相等.同弧或等弧所对的圆周角__________,都等于这条弧所对的圆心角的________.
●半圆(或直径)所对的圆周角是________,90°的圆周角所对的弦是__________.
§24.1.1 圆
例题精析
例1：如图24-1，点A、O、C以及B、O、E分别在一条直线上，请用字母
表示出所有的弦,并列举一条直径、一条半径、一条劣弧、一条优弧．
分析；弦是圆上任意两点连接的线段，直径是经过圆心的弦，
弧是圆上两点间的部分，小于半圆的弧是劣弧，大于半圆的弧是优弧．
解：圆中的弦有三条：弦AB、弦AC、弦CD，直径AC，半径OB，劣弧AB，优弧ACB．
拓展：列举图中所有的直径、半径、劣弧和优弧．
例2：世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，图24-2中的三个图都来自现实生活中且每个图形都有圆．请你选其中一个画一画．
一石激起千层浪， 汽车方向盘， 铜钱
分析：这三个图案都是由圆组成的，要画圆应先确定两个元素——圆心和半径．
解：第一个图案画4个同心圆；第二个图案先画2个同心圆，再画三条线段；第三个图案先画一个圆，再以圆心为中心画一个正方形．
拓展：请你展开想象翅膀，以圆为基本图形，设计几种美丽的图案，并象例题中一样，在图案下方题词．
能力训练
[复习巩固]
1． 如图，图中有＿＿＿条直径，＿＿＿条弦，劣弧有＿＿＿条，
请写出以D为一个端点的所有优弧 ．
2．A、B是半径为5cm⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围 ．
3．一个圆的最长弦的长为12cm，则此圆的半径是 cm．
4．下列说法正确的是（ ）
A、圆上任意两点间的部分叫做弧 B、半圆也是弧，是圆中最长的弧
C、弧分为优弧和劣弧两种 D、弦BC所对的弧就是
5．下列说法正确的是（ ）
A、经过圆心的线段是直径 B、半径也是弦
C、经过圆上一点只能作一条弦 D、直径是圆内最长的弦
6．已知圆上有5个不同的点，以其中每两点为端点的弧共有（ ）
Ａ、5条 Ｂ、8条 Ｃ、10条 Ｄ、12条
７．已知：如图Ａ、Ｂ、Ｃ是⊙O上任意三点，请把圆中以这三点中任意两点为端点的所有弦，所有弧都表示出来．
[综合运用]
８．按下列步骤画图：
（１）画一个半径为１cm的⊙O；
（２）在⊙O上任取一点Ｏ１，以Ｏ１为圆心，１cm为半径画⊙Ｏ１；
（３）用阴影表示满足ＰＯ＜1且ＰＯ１＜１的点Ｐ的集合．
９．阅读材料，并回答下列问题：
（１）当圆上有１个点时，圆中没有弦，1条弧；当圆上有２个不同点时，圆中有１条弦，２条弧；当圆上有３个不同点时，圆中有３条弦，６条弧；当圆上有４个不同点时，圆中有＿＿＿＿条弦，＿＿＿＿条弧；
（２）当圆上有n个不同点时，圆中有＿＿＿＿条弦，＿＿＿＿条弧．
［拓展探索］
10．已知：如图，ＡＢ是⊙O的直径，Ｐ是ＯＡ上一点（不与Ｏ、Ａ重合），Ｃ是⊙O上一点（不与Ａ、Ｂ重合），试猜想ＰＡ、ＰＣ、ＰＢ的大小，并通过测量验证你的猜想．
§24.1.2垂直于弦的直径
例题精析
例1：已知：如图24-３，⊙O的半径R=5cm，弦AB=8 cm ，
C是的中点，求圆心O到弦AB的距离及弦AC的长．
分析：通过添加辅助线构造可以应用垂径定理及其推论的基本图形，但如何添加辅助线要讲究方法。如：若“作OD⊥AB”，则要证OD的延长线经过点C；若“连结OC交AB于D，”则要证明OD⊥AB．
解：连结OA、OC，OC交AB于D．
∵C是的中点，AB=8 cm
∴OC⊥AB ，AD=BD=4cm
在Rt△ADO中,OD==3(cm)
∴CD=OC-OD=5-3=2(cm)
在Rt△ADC中,AC=
拓展:若C是优弧AB的中点呢 如何求圆心O到弦AB的距离及AC的长.
例2. 如图24-４,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,且∠C=Rt∠,OE⊥BC于E,D为AC的中点,猜想四边形ODCE是怎样的特殊四边形 并说明自己猜想的正确性.
分析:借助直观图形,不难猜想四边形ODCE是矩形,要证明这个结论,常有两种方法:一种证明OD⊥AC,即有三个角为直角的四边形是矩形,另一种证明四边形ODCE是平行四边形,即有一个角为直角的平行四边形是矩形.
证法1:∵D是AC的中点
∴OD⊥AC.
又∵OE⊥BC,∠C=Rt∠
∴∠ODC=∠OEC=∠C=90°
∴四边形ODCE为矩形.
证法2: ∵D是AC的中点
∴OD⊥AC.
又∵∠C=Rt∠,∴OD∥BC,
∵OE⊥BC,∴OE∥AC,∴四边形ODCE为平行四边形
又∵∠C=Rt∠
∴四边形ODCE为矩形.
能力训练
[复习巩固]
1. 如图,AB为⊙O的直径,CD为⊙O的弦,且AB⊥CD于E,
若CD=8cm,OE=3cm,则OB=_________cm；若CD=6cm, AE=1cm,
则BE=______cm.
2. 如图，在△ABC中， AB=AC=5, BC=8,那么点A到BC的距离为_________.
3. 下列命题中,错误的是( )
(A)平分弦的直径垂直于弦
(B)平分弦所对的一条弧的直径平分弦
(C)垂直于弦的直径平分弦
(D)弦的垂直平分线平分弦所对的两条弧
４．半径为2cm的圆中有一条长为2cm的弦，则圆心到这条弦的距离为 ( )
（A）1cm （B）cm （C）cm （D）2cm
5． 如图,在⊙O中,AB是直径,弦CD⊥AB,垂足为E,则下列结论正确的有( )
(1)CE=DE (2) = (3) =
(4)∠BAC=∠DAB (5)AC=AD (6)∠ACD=∠ADC
(A)3个 (B)4个 (C)5个 (D)6个
6． 如图,已知半径为5的⊙O中,弦AB=6,C,D分别为AB, 的中点,求CD的长.
7.如图,有一座圆弧石拱桥,拱形的半径OA=10m,其跨度(即弦AB的长)为16m.
(1) 求拱高(即弓形的高);
(2) 若水面离拱顶的距离为2m时,求水面的宽度.
[综合运用]
8.如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点,
求证:AC=BD.
9. (1)如图,圆形下水道横截面的水面宽AB=80cm,下水道的内径（内直径）是100cm,求下水道中最深处的水深
(2)如果不给出图形,那么问题(1)有几种可能呢 并求出所有可能的答案.
［拓广探索］
10．如图,AB为⊙O的直径,直线L与⊙O交于C、D两点,AE⊥直线L于E,BF⊥直线L于F,
(1)求证:EC=DF;
(2)若直线L向上平移与直径AB相交于点P(P不与A、B重合).在其它条件不变的情况下,请你在圆中将变化后的图形画出来,标出相应字母并写出与(1)相应的结论,判断你的结论是否成立,若不成立,请说明理由,若成立,请给予证明.
§24.1.3 弧、弦、圆心角
例1：如图24-5,已知AB是⊙O的直径,M、N分别是AO、BO的中点, CM⊥AB于M,DN⊥AB于N.求证: =
分析:证明两弧相等的几种常见思路: ①等弧的定义;②弧所对的圆心角相等或弧所对的弦相等．
证明:连结OC、OD
∵M,N分别是AO,BO的中点.
∴OM=OA,ON=OB
又∵OA=OB, ∴OM=ON
又∵CM⊥AB,DN⊥AB
∴∠CMO=∠DNO=Rt∠
在Rt△CMO和Rt△DNO中,
∴Rt△CMO≌Rt△DNO(HＬ)
∴∠COM=∠DON
∴=
拓展:若连结AD、BC,求证: AD=BC.
例2.已知: 如图24-６,⊙O上有A,B,C,D四点,且满足==,连结OB交AC于M,连结OC交BD于N．求证:△OMN是等腰三角形.
分析: 由==易得AC=BD,要证OM=ON
只需证OB⊥AC,OC⊥BD即可.
证明: ∵==,
∴= ,B是的中点,C是 的中点
∴AC=BD,OB⊥AC,OC⊥BD ∴CM=BN, ∠OMC＝∠ONB=Rt∠
又∵∠MOC＝∠ONB Rt△OMC≌Rt△ONB(AAS)
∴OM=ON ∴△OMN为等腰三角形
拓展:若添加“AD为⊙O的直径”这个条件,求证:△OMN是等边三角形.
能力训练
[复习巩固]
1.在⊙O中,弦AB把⊙O分成1:5两部分,则的度数是( )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
2.在同圆或等圆中,如果=,则AB与CD的关系是( )
(A)AB＞CD (B)AB=CD (C)AB＜CD (D)AB=2CD
3.在⊙O中,AB是弦,∠OAB=50°,则弦AB所对的圆心角为_________度.
4.在⊙O中,若弦AB的长等于半径,那么这条弦所对的劣弧的度数为____°;∠AOB=___°
5.如图,已知⊙O的直径AB和弦AC,且比的度数大36°,
则∠BOC的度数为______.
6.已知:如图,在⊙O中,M,N分别是弦AB,CD的中点,且AB=CD,
求证:∠AMN=∠CNM.
7． 已知,如图AB、CD为⊙O的两条直径,弦CE∥AB, 的度数为40°,求∠BOC的度数.
[综合运用]
8． 已知: 如图,OC为⊙O的半径,D为OC的中点,弦AB过点D,AB⊥OC,求劣弧的度数.
9． 已知:如图,AD是⊙O的一条弦,B,C是弦AD上的点,AB=CD,连结OB,OC,分别延长OB,OC交⊙O于E,F,求证: =.
［拓广探索］
10.如图,弦CD交⊙O的直径AB于点E,OF⊥CD,垂足为F,AE:EB=5:1,OA=6cm,∠AEC=30°,
求OF、CD的长.
§24.1.4 圆周角(1)
例1.已知:如图24-7,在⊙O中,弦DA、BC的延长线相交于点P,AB、CD相交点E,
且=80°, =30°,求∠BED及∠P的度数.
分析:∠BDQ与∠P既不是圆心角也不是圆周角,于是应转化为圆周角.
解: ∵=80°
∴∠BAD=∠BCD=40°
又∵=30°,∴∠ADC=∠ABC=15°
∴∠BQD=∠BAD+∠ADC=40°+15°=55°
∠P=∠BAD-∠ABC=40°-15°=25°
拓展: 若=m°, =n°(m＞n),求∠BQD及∠P的度数.(用m、n的式子表示)
例2.已知:如图24-8,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆分别交BC,AC于D,E.
(1) 求证:D是BC的中点.
(2) 若∠A=50°,求、、的度数.
分析: (1)利用等腰三角形 “三线合一”性质.
(2)求弧的度数通常转化为求圆心角或圆周角的度数.
解: (1)连结AD
∵AB为⊙O的直径 ∴∠ADB=90°,
又∵AB=AC, ∴D是BC的中点.
(2)∵∠BAC=50°,AB=AC
又∵D是BC的中点
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=25°
∴=2×25°=50°, =2×25°=50°
∴=180°-50°×2=80°
拓展: (2)中的∠A=50°改为60°,求证:BD=DE=AE.
能力训练
［复习巩固］
1. 一个圆心角为68°,则它所对的弧所对的圆周角为________.
2. 如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,∠BDC=25°,则∠BOC=_____度, 为_____度.
3. 如图,AB是⊙O的直径,若AB=4cm,∠D=30°,∠B=_____°,AC=_____cm.
4. 已知:如图,A、B、C是⊙O上的三点, 的度数是50°,∠OBC=40°,则∠ACO=( )
(A)15° (B)25° (C)30° (D)40°
5.如图,弦AB,CD相交于点E, ∠A=40°,∠AED=75°,则∠B=( )
(A)115° (B)40° (C)75° (D)35°
6.如图,⊙O的两条弦AE、BC相交于点D,连结AC、BE、AO、BO,
若∠ACB=60°,则下列结论正确的是( )
(A)∠ADC=60° (B)∠ADB=90° (C)∠AEB=60° (D)∠CBE=30°
7.已知:如图,∠A是⊙O的圆周角,且∠A=50°,求∠OBC的度数.
[综合运用]
8.已知:如图点A、B、C、D都在⊙O上.
(1) 求证:∠ABC+∠ADC=180°;
(2) 如果AC平分∠BAD,请找出所有与∠BAC相等的角,
并选取一对加以说明．(至少需要两步才能完成的)
9.如图,在⊙O中 ,弦AB等于⊙O的半径,且OC⊥AB交⊙O于C,求∠ABC的度数.
［拓广探索］
10.已知:如图,在⊙O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD.
(1) 若点P是优弧上一点(不与C、D重合)时,求证:∠CPD=∠COB.
(2) 若点P’在劣弧上一点(不与C、D重合)时,∠CP’D与∠COB有什么数量关系 请证明你的结论.
§24.1.4 圆周角(2)
例1.已知: 如图24-9,半径OA⊥直径BC,弦DE∥OA交BC于点F,且OF=BF,求∠BAD的度数.
分析: 求圆周角的度数往往转化为同弧或等弧所对的圆心角的度数.
解: 连结OD
∵半径OA⊥直径BC ，弦DE∥OA ∴∠DFO=Rt∠
又∵OF=BF ∴OF=OB=OD ∴∠ODF=30°
∴∠DOF=60° ∴∠BAD=30°
拓展: 在上述的条件下求∠AGB的度数.
例2. 已知,如图24-10,BF、CE是⊙O的直径, ==,求证:∠OBN=∠OCM.
分析: 在同圆或等圆中要证两个圆周角相等常用的方法有:
1 圆周角所对的弧(或弦)相等; ②三角形全等;③等角的余角相等
证法(一): 连结AE、EF.
∵BF,CE是⊙O的直径,∴∠BDF=∠CAE=Rt∠
又∵==
∴+=+
即=
∴∠BFD=∠AEC，∴∠OBN=∠OCM(等角的余角相等)
证法(二): 连结AE、DF
∵BF,CE是⊙O的直径
∴=
∵==
∴--=--
∴=,
∴∠OBN=∠OCM
证法(三): 利用△ACE≌△DBF(AAS)过程略
拓展: 在上述条件下求证: OM=ON.
能力训练
［复习巩固］
1．如图，AB为⊙O的直径，P，Q，R，S为圆上不同的
四点（都不与A、B重合），下列判断正确的是（ ）
(A)∠APB为锐角 (B)∠AQB为直角 (C)∠ARB为钝角 (D)∠ASB＜∠ARB
2.已知:如图，AB是⊙O的直径,C、D是⊙O上两点,∠BAC=20°,
= ,则∠DCA的度数是( )
(A)30° (B)35° (C)45° (D)70°
3.已知,如图,AC是⊙O的直径,点B,D在⊙O上,图中等于∠BOC的角有( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
4.已知:如图过点A的两条直线分别交⊙O于点B、C、D、E, 的度数为92°, 的度数为38°,则∠A=_______.
5. 如图,AB是⊙O的直径,C,D,E都是⊙O上的点,则∠1+∠2=______.
6. 如图,A、B、C、D是⊙O上四点,且D是的中点,CD交OB于E,∠AOB=100°,
∠OBC=55°,求∠OEC的度数.
7．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=50°，∠ABC=47°，求∠AOB．
[综合运用]
8.如图,以等腰△ABC的底边BC为直径所作的半圆分别交AB、AC于D、E,若∠BAC=50°,求、度数.
9.已知,AB、CD是⊙O的两条弦,且AB∥CD,猜想与的关系,并证明你猜想的正确性.
［拓广探索］
10.已知：AB是⊙O的直径,AC是弦,AB=2,AC=,在图中画出弦AD,使AD=1,并求出∠CAD的度数.
§24.2 与圆有关的位置关系
课前热身
● 设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:点P在圆外_________;
点P在圆上________;点P在圆内____________.
●不在同一直线上的________确定一个圆.
●经过三角形的三个顶点的圆,叫做这个三角形的_____圆,圆心叫做这个三角形的______心;与三角形各边都相切的圆,叫做这个三角形的______圆,圆心叫做这个三角形的_____心.
●设⊙O的半径为r,圆心到直线L的距离为d,则有:直线L和⊙O相交_____________;直线L和⊙O相切________;直线L和⊙O相离________.
●经过半径的________并且____________于这条半径的直线是圆的切线.
●圆的切线________于过切点的半径.
●两圆的位置关系有_________、_________、_________、_________、_________.
§24.2.1 点和圆的位置关系
例1：如图24-11,已知，用直尺、圆规画出它的圆心.
分析: 因为不在同一直线上的三个点确定一个圆,所以只
要在上任取一点C(不同于A、B)即可.
解:在上任取一点C,连结AC、BC，分别作AC、BC的垂直平分线，交点记为O,则点O就是所求作的圆心.
拓展: 请你介绍其他方法.
例2. 已知：如图24-12,在Rt△ABC中,∠ACB=Rt∠,∠A=30°,CD⊥AB于D,DE⊥BC于E,F为AB中点,若以D为圆心,CD为半径画⊙D,试判断B、E、F与⊙D的位置关系.
分析: 把判断B、E、F与⊙O的位置关系转化为比较BD,ED,FD与CD的大小问题.
解: ∵∠A=30°,∠ACB=Rt∠,∴∠B=60°
又∵F为AB的中点,∴CF=AB=BF
∴△BCF为等边三角形
又∵CD⊥AB,∴BD=DF＞DE,∠BCD=30°
又∵DE⊥BC,∴DE=CD
∴点E在⊙D上,点B、F在⊙D外.
能力训练
［复习巩固］
1.三角形的外心是( )
(A)三条边上的中线的交点 (B)三个角的平分线交点
(C)三条边上的高线交点 (D)三条边的垂直平分线交点
2.能确定一个圆的条件是( )
(A)圆心 (B)半径 (C)直径 (D)以上都不对
3.已知⊙O的半径为5cm,O到直线L的距离OP=3cm,Q在直线L上,且PQ=4.2cm,则点Q( )
(A)在⊙O内 (B)在⊙O上 (C)在⊙O外 (D)以上情况都有可能
4.若△ABC的外心不在△ABC内,那么△ABC是( )
(A)直角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形或钝角三角形 (D)不能确定
5.圆上的点到圆心的距离都等于________,反过来,到圆心的距离等于半径的点都在_________.
6. 直线L与⊙O相交于点A、B,点O到直线L的距离是2cm,∠OAB=45°，若OM=cm，ON=2cm，OP=2cm，则点M在⊙O______,点N在⊙O______,点P在⊙O_____.
7. 已知：点O是△ABC的外心,且∠BOC=128°,求∠A的度数.
[综合运用]
8. 如图,有一破残的轮片,现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件,请你根据所学的有关知识,设计两种方案,确定这个圆形零件的半径.
9. 已知:如图,在△ABC中,∠ACB=Rt∠,AC=4cm,AB=5cm,CD⊥AB于D,以点C为圆心,3cm长为半径画圆,那么点A、D、B与圆的位置关系怎样 并加以说明.
［拓广探索］
10.(1)已知一个长方形ABCD,能否画出一个圆,使它的四个顶点都在同一个圆上 试一试.
(2)已知一个等腰梯形ABCD,能否画出一个圆,使它的四个顶点都在同一个圆上 试一试,若能请测量各内角的度数.
(3) 已知一个平行四边形ABCD(不是特殊的平行四边形),能否画出一个圆,使它的四个顶点都在同一个圆上
(4) 已知任意四边形ABCD能否画出一个圆,使它的四个顶点都在同一个圆上,若能测量各内角的度数,若不能,画图举个反例.
根据以上画图、测量及思考,你能领悟到什么
§24.2.2直线和圆的位置关系(1)
例1：如图24-13，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，斜边AB=6cm，
以C为圆心，R为半径作圆.试写出下列三种情况下R的取值范围.
（1）⊙C与直线AB相离；（2）⊙C与直线AB相切；
（3）⊙C与直线AB相交；
分析：判断直线与圆的位置关系，关键是求出圆心到直线的距离
（即此三角形斜边上的高CD的长），比较它与圆的半径的大小关系．
解：过点C作CD⊥AB于D
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=6cm，
∴AC=3cm
又∵AC×BC=AB×CD
∴CD=cm
(1) 当⊙C与直线AB相离时,O＜R＜cm
(2) 当⊙C与直线AB相切时,R=cm
(3) 当⊙C与直线AB相交时,R＞cm
例2.如图24-14,直角梯形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD∥BC,E为AB上的一点,
DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系 请加以说明.
分析：要求以AB为直径的圆与CD的位置关系，
只需比较圆心到CD的距离与的大小即可，
于是本题的关键是找出圆心，再求出圆心到CD的距离.
解:以AB为直径的圆与边CD是相切关系.
理由:过点E作EF⊥CD于F,∵DE平分∠ADC,CE平分∠BCD
又∵∠A=∠B=90°,∴AE=EF=BE=AB
∴以AB为直径的圆与边CD相切.
拓展:直角梯形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD∥BC,且AD+BC=CD,以CD为直径的圆与AB的位置关系怎样 请加以说明.
能力训练
［复习巩固］
1.在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,若以C为圆心,2.5为半径作⊙C,则⊙C与AB所在的直线的位置关系是( )
(A)相离 (B)相切 (C)相交 (D)无法确定
2.已知圆的半径为6.5，如果一条直线和圆心的距离为9cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（ ）
(A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)相交或相离
3.已知⊙O的最长的弦长为m,直线L与⊙O相离,设直线L与点O的距离为d,则下列判断中成立的是( )
(A)d=m (B)d＞m (C)d＞ (D)d＜
4．OA平∠BOC,P是OA上任一点(O除外),若以P为圆心的⊙P与OC相离,那么⊙P与OB的位置关系是( )
(A)相离 (B)相切 (C)相交 (D)相交或相切
5. 如图，∠ABC=90°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，
BO长为半径作画⊙O，当射线BA绕点B按顺时针方向旋
转________度时与⊙O相切．
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,以C为圆心,r为半径的圆与AB有何位置关系 为什么 (1)r=4cm (2)r=4.8cm (3)r=6cm
7.在直角坐标系中,⊙O的圆心坐标为(m,0),半径R=2,求下列各种情况下m的取值范围．
(1)⊙M与y轴相切; (2)⊙M与y轴相交; (3)⊙M与y轴相离．
[综合运用]
8.如图,以O为圆心,方圆4海里范围内有暗礁,某船行驶到距点O正西8海里的A处接到消息,则该船向南偏东最大多少度航行时才不会触礁
9.在射线OM上取一点A,使OA=4cm,以A为圆心,作一直径为4cm的⊙A,试问过点O的射线OB与⊙A所夹的锐角α取什么值时,射线OB与⊙A: (1)相离;(2)相切;(3)相交.
［拓广探索］
10. 已知MN是一条直线,AB是⊙O的直径,且AB=2R,设A、B到直线MN的距离分别为x,y,O到直线MN的距离为d.
(1)当直线MN与⊙O相切时，如图(1),则 x,y,d之间的关系式为_________ ;
(2)当直线MN与⊙O相离时,如图(2),如果直线MN与AB所在的直线垂直时,则x,y,d之间的关系式为____ _；如果直线MN与AB所在的直线不垂直时,则x,y,d之间的关系式为______.
(３) 当直线MN与⊙O相交时, 如图(３)，如果直线MN与AB所在直线的交点在线段AB的延长线上时,则x,y,d之间的关系式为________ _；如果直线MN与AB所在直线的交点在线段AB上时,则x,y,d之间的关系式为________ _．
§24.2.2 直线和圆的位置关系(2)
例1. 如图24-15,已知P是⊙O外一点,连接PO交⊙O于C,弦AB⊥OP于D,
若∠DAC=∠CAP, 求证:PA是⊙O的切线.
分析: 要证PA是⊙O的切线,而点A又是⊙O上一点,
所以只要证明OA⊥PA即可.
证明: ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA
又∵∠OCA=∠CAP+∠P
∴∠OAP=∠OAC+∠CAP=∠OCA+∠CAP=∠CAP+∠P+∠CAP
又∵∠DAC=∠CAP
∴∠OAP=∠CAP+∠P+∠DAC 即∠OAP=∠DAP+∠P
又∵AB⊥CP于D, ∴∠ADP=90°
∴∠DAP+∠P=90° ∴∠OAP=90°
∴PA是⊙O的切线.
拓展: 把条件“∠DAC=∠CAP”与结论“PA是⊙O的切线”交换位置,请加以证明.
例2. 如图24-16,AB是⊙O的直径,AD是弦,过B点的切线与过点O且平行于AD的直线交于点C,连结CD,求证:CD是⊙O的切线.
分析: 要证CD是⊙O的切线,只需证OD⊥CD.
证明: 连结OD,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA
又∵AD∥OC,∴∠OAD=∠BOC,∠ODA=∠DOC,∴∠DOC=∠BOC
在△DBC和△ODC中, ∴△ODC≌△OBC(SAS)
∴∠ODC=∠OBC, 又∵AB是⊙O的直径,BC是⊙O切线,
∴∠OBC=Rt∠, ∴∠ODC=Rt∠, ∴CD是⊙O的切线.
拓展: 把条件“AD∥OC”与结论“CD是⊙O的切线”交换位置,请你加以证明.
能力训练
［复习巩固］
1. 如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,且AB=AC,
则∠C的度数是_______.
2. 如图,⊙O的半径OD为5cm,直线L⊥OD,垂足为O,则直线L
沿射线OD方向平移____cm时与⊙O相切.
3.已知A、B是⊙O上两点,点M是的中点,过点M作直线CD
平行于弦AB,则CD与⊙O的位置关系是__________.
4.下列说法中正确的是( )
(A) 和圆的半径垂直的直线是圆的切线
(B) 经过半径外端的直线是圆的切线
(C) 经过半径的端点,且垂直于这条半径的直线是圆的切线
(D) 到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线
5.如图,点A、B、C、D依次在⊙O上,点P在⊙O外,PDB是⊙O的割线,
下列条件中,能推出PA是⊙O切线的是( )
(A)PA=PC (B)点A在以PO为直径的圆上
(C)∠PAC=∠ABC (D)AB=CB
6.以三角形的一边为直径的圆切这个三角形的另一边,则该三角形为( )
(A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)等边三角形
7.已知：如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,且AC=BC,延长AC到D,使CD=AC,连结BD,求证:BD是⊙O的切线.
[综合运用]
8.如图,在⊙O中,BC是直径,A是⊙O上一点,过点A作一直线AP,使点P与点C在AB的两旁.
(1) 若∠PAB=∠ACB,试判断直线PA与⊙O的位置关系,并说明理由.
(2) 若∠PAB＞∠ACB,那么直线PA与⊙O的位置关系又怎样呢
9.已知: 如图,AB是⊙O的直径,BD=OB,∠CAB=30°.
(1) 求证: CD是⊙O的切线.
(2) 请根据已知条件和所给图形,写出不同于(1)的三个正确结论(除OA=OB=BD外).
［拓广探索］
10.已知:△ABC内接于⊙O,过点A作直线EF.
(1) 如图甲,AB为⊙O的直径,要使EF是⊙O的切线,还需添加的条件是(只需写出两种情况)
①_____________________ ；②_________________________．
(2) 如图乙,AB为非直径的弦,∠CAF=∠B,求证: EF是⊙O的切线.
§24.2.2 直线和圆的位置关系(3)
例1：如图24-17,⊙O是△ABC的内切圆,切AB、AC于点D、E.
(1) 如果∠DOE=100°,∠ACB=60°,求∠ABC的度数;
(2) 如果∠A=70°,求∠BOC的度数．
分析: 在△ABC中已知∠ACB求∠ABC,应把问题转化为先
求出∠A,而∠A与∠DOE之间又有什么数量关系呢
利用圆心与切点的连线垂直于经过切点的切线及三角形内切圆的圆心是三内角平分线的交点.
解: (1)∵AB、AC分别切⊙O于D、E
∴∠ODA=∠OEA=90°,
又∵在四边形ADOE中,∠ODA+∠OEA+∠DOE+∠A=360°
∴∠A=360°-90°-90°-100°=80°
在△ABC中, ∠A+∠ABC+∠ACB=180°
又∵∠ACB=60°, ∴∠ABC=180°-60°-80°=40°
(2)∵∠A=70°, ∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°
又∵⊙O是△ABC的内切圆
∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB
∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)= ×110°=55°
又∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-55°=125°
拓展: 由(2)你能猜想∠BOC与∠A之间的数量关系吗
例2.如图24-18,在直角坐标系xoy中,已知点A(8,0),点B(0,6).
⊙O’为△AOB的内切圆,切点分别为E、F、G,CD切⊙O’于H,分别
交OA、AB于C、D.
(1) 求证: OB+CD=OC+BD；
(2) 若OC+BD=9,求四边形OBDC的周长.
分析: 要证OB+CD=OC+BD，即证四边形OBDC的两组对边之和相等,而四边形的各边都是⊙O’的切线,于是根据切线长相等得到四组相等的线段.
(1)证明: ∵⊙O’为△AOB的内切圆,切点分别为E、F、G.
又∵CD切⊙O’于H,∴OE=OG,EC=CH,DF=DH,BF=BG
∴DE+EC+DF+BF=OG+CH+DH+BG,即OC+BD=OB+CD.
(2)由(1)得: OB+CD=OC+BD,
∵OC+BD=9,∴C四边形OBDC=2(OC+BD)=2×9=18.
拓展: 若OC+BD=9,求CD的长.
能力训练
［复习巩固］
1.如图,从点P引⊙O的切线PA、PB,切点分别为A、B,DE切⊙O于C,交PA、PB于D、E,若PA=10cm,则△PDE的周长是_______ cm.
2.如图,EB,EC是⊙O的两条切线,B、C为切点,A、D是⊙O上两点,如果∠E=46°,
∠DCF=32°,则∠A的度数为________.
3. 如图,PA,PB是⊙O的两条切线,切点为A、B,如果OP=4,PA=2,那么∠AOB等于( )
(A)90° (B)100° (C)110° (D)120°
4.已知P是⊙O外一点,PO的长等于半径的2倍,PA切⊙O于点A,弦AB⊥OP,且AB的长为a,则切线PA的长为( )
(A) a (B) a (C) 2a (D) a
5.I为△ABC的内切圆的圆心,如果∠A =110°,那么∠BIC等于( )
(A)55° (B)145° (C)125° (D)110°
6.已知线段PA、PB分别切⊙O于A、B两点,劣弧=120°,⊙O的半径为4,则线段AB的长为( )
(A) 2 (B)4 (C)6 (D)8
7.已知: 如图AB是⊙O的直径,C是AB延长线上的一点,CD是⊙O的切线,D为切点,过点B作⊙O的切线交CD于点E,若AB=CD=2,求BC及CE的长.
[综合运用]
8. 已知：如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在边AC上,CD是⊙O的直径,⊙O切AB于E,若BC=5,AC=12,求⊙O的半径.
9. 如图AB、CE、AC都是⊙O的切线,B、D、E为切点,P为弧上一点,若∠A+∠C=130°,求∠BPE的度数.
［拓广探索］
10.如图,PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点,延长半径OB到C,使BC=OB,连接PC．
求证:∠APC=3∠BPC.
§24.2.3 圆与圆的位置关系(1)
例1．已知两圆的半径之比为5：2，两圆内切时的圆心距离为9cm，求当两圆的圆心距分别为30cm，21cm，10cm，5cm时,相应的两圆位置关系.
分析:确定两圆的位置关系的因素有圆心距d及两圆的半径,本题的关键是先求出两圆的半径.
解: 设两圆的半径分别为5xcm,2xcm.
∵两圆内切时的圆心距为9cm
∴5x-2x=9,∴x=3
∴R=5x=15,r=2x=6
当d=30cm时,d＞R+r，故两圆外离.
当d=21cm时,d=R+r，故两圆外切
当d=10cm时,R-r＜d＜R+r，故两圆相交
当d=5cm时,d＜R-r,故两圆内含
拓展:把题中的“两圆内切时的圆心距为9cm”改为“两圆外切时的圆心距为21cm”,那么两圆的位置关系又怎样呢
例2.已知⊙O的半径为5cm,点P是⊙O外一点,OP=8cm.
求: (1)以P为圆心作⊙P1与⊙O外切,⊙P1的半径是多少
(2)以P为圆心作⊙P2与⊙O内切, ⊙P2的半径是多少
分析: 两圆相切包括内切和外切,当两圆外切时d=R+r,当两圆内切时d=R-r.
解: (1)如图24-19,∵⊙P1与⊙O外切,∴r1=OP-OA=8-5=3
∴⊙P1的半径为3cm
(2)∵⊙P2与⊙O内切.
∴r2=OP+OA=8+5=13
∴⊙P2的半径为13cm
拓展：与⊙P1、⊙P2、⊙O都相切的圆有几个？
能力训练:
［复习巩固］
1.已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm和4cm，若O1O2=10cm，则这两个圆的位置关系为_____.
2.两圆的半径之比为3:2,当这两个圆外切时,圆心距是10cm,那么,当两个圆内切时,其圆心距为_______cm.
3.已知两圆的半径分别为3和5,圆心距为x,且满足=x-3,|x-4|=4-x,则两圆的位置关系是__________.
4.已知两圆的半径分别是5cm和4cm,圆心距为7cm,那么两圆的位置关系是( )
(A)相交 (B)内切 (C)外切 (D)外离
5.如果两圆的半径分别为R和r(R＞r),它们的圆心距为d,且满足R2+d2-r2=2Rd,则两圆的位置关系一定是( )
(A)内切 (B)内切或外切 (C)外切 (D)相交
6.在平面直角坐标系中,两圆的圆心分别为(0,1)和(1,0),半径都是1,那么这两圆的位置关系是( )
(A)外离 (B)相切 (C)相交 (D)内含
7.已知两个同心圆,大圆的半径为9,小圆的半径为5,如果⊙O与这两个圆都相切,求⊙O的半径.
[综合运用]
8.如图,两同心圆中,大圆的弦AB切小圆于点C,若AB=8cm,OC=3cm,求大圆的半径.
9.已知⊙A,⊙B和⊙C两两外切,它们的圆心距分别为6cm,7cm和9cm,求这三个圆的半径.
［拓广探索］
10.如图,⊙O的半径OA=6,以A为圆心,OA为半径的⊙A交⊙O于B、C,求BC的长.
§24.2.3 圆和圆的位置关系(2)
例1：已知A、B两点相距4cm,分别以A、B为圆心,以2cm长为半径作圆,请回答下列问题:
(1)⊙A与⊙B的位置关系如何 (2)以4cm为半径,且与两圆都外切的圆有多少个
分析:利用两圆的圆心距与两圆半径之间的关系便可判断两圆的位置关系.
解: (1)∵rA=rB=2,d=4, ∴d=rA+rB
∴⊙A与⊙B外切.
(2)与⊙A和⊙B都外切的圆有2个.
拓展: “以4cm为半径,且与两圆都相切的圆有多少个 ”
例2.如图24-20,已知⊙O1与⊙O2外切于点P,并且⊙O与⊙O1, ⊙O2分别内切于M、N,
△O1O2O的周长为18cm,求⊙O的周长.
分析:设⊙O、⊙O1与⊙O2的半径分别为R、r1、r2,要求⊙O的周长,必须求出R,关键是找出R、r1、r2与△O1O2O周长之间的关系及相切两圆的圆心距与两圆半径之间的关系.
解: 设⊙O、⊙O1、⊙O2的半径分别为R、 r1、 r2.
∵⊙O1与⊙O2外切, ∴O1O2=r1+r2
又∵⊙O与⊙O1, ⊙O2都内切,∴O1O=R-r1, O2O=R-r2
又∵△O1O2O的周长为18
即R-r1+R -r2+r1+r2=18
∴2R=18,∴R=9
∴C⊙O=2πR=18π（cm）
答:⊙O的周长为18πcm。
拓展：当C△MON=27cm时，求∠O1OO2的度数。
能力训练
［复习巩固］
1.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,分别以A、B为圆心,以2cm和3cm长为半径作圆,则这两个圆的位置关系为( )
(A)外离 (B)相交 (C)外切 (D)内切
2.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和5cm,且两圆没有公共点,则圆心距d的长( )
(A)大于7cm (B)小于3cm (C) 大于0小于3cm或大于7cm (D)大于3cm且小于7cm
3.两圆的圆心都在x轴上,且两圆交于A、B两点,若点A的坐标为(3,2),则点B的坐标为( )
(A)(-3,2) (B)(3,-2) (C)(-3,-2) (D)(3,0)
4. ⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切,且半径分别为2cm,3cm,10cm,则△O1O2O3的形状是( )
(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰直角三角形
5.若两圆内切,圆心距为8,一个圆的半径为15,那么另一个圆的半径为____________.
6.已知⊙O1的半径为3cm, ⊙O2的半径为4cm,并且⊙O1与⊙O2相切,则这两个圆的圆心距为________.
7.⊙O的半径为2,点P是⊙O外一点,OP的长为3,那么以P为圆心且与⊙O相切的圆的半径为________.
[综合运用]
8.已知⊙A与⊙B外切, ⊙A、⊙B都与⊙C内切,且AB=8,BC=6,AC=10,求这三个圆的半径.
9.如图, ⊙O1和⊙O2相交于点A、B,且⊙O2的圆心O2在⊙O1上,若点P是⊙O2优弧AB上的一个动点( 不与A、B重合),若∠AO1B=60°,求∠APB的度数.
［拓广探索］
10.如图所示,两枚同样大小的硬币,其中一枚固定,另一枚在其周围滚动,滚动时两枚硬币总是保持一点接触(即相外切),当滚动的硬币沿固定的硬币滚动一周,回到原来的位置时,滚动的硬币自转的周数是多少
§24.3正多边形和圆
● 各边____并且各角_____的多边形叫做正多边形．
●正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的_____，外接圆的半径叫做正多边形的______，内切圆的半径叫做正多边形的______，每一边所对的圆心角叫做正多边形的__________．
●正ｎ边形的每个中心角都等于______，每个内角都等于 ．
●画正多边形的一般步骤：（1）将一个圆______ （2）顺次连结各_______．
●画正多边形的方法有两种：（1）用_______等分圆 （2）用_______等分圆．
§24.3正多边形和圆（1）
例题精析
例1.已知圆外切正四边形的边长为6，求该圆的内接正三角形的边心距．
分析：本题既有圆外切正四边形，又有圆内接正三角形，关键是画出清晰的图形，把外切正四边形的一个切点作为内接正三角形的一个顶点，圆的半径是相应两个直角三角形的公共边，然后解这两个具有公共边的直角三角形。因此，解题时应先求出圆的半径。
解：如图24-21，连结OA、OC，作OH⊥CD于H
在RtΔOAC中，∠AOC==45 AC=AB=3
∵OC⊥AB ∴OC=AC=3
在RtΔOHC中，∠COH=60
∴∠OCH=30 ∴OH=OC =
拓展：求该圆的内接正三角形的边长．
例2．某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：
同学甲：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形；
同学乙：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形，如图一，ΔABC是正三角形，==，可以证明六边形ADBECF的各内角相等，但它未必是正六边形；
同学丙：我能证明，边数是5时，它是正多边形，我想，边数是7时，它可能也是正多边形．
（1）请你说明乙同学构造的六边形各内角相等．
（2）请你证明：各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG，（如图二）是正七边形．
解：（1）证明：如图一，∵==，
∴∠ABD=∠BCE=∠CAF
又∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠ADB+∠ACB=180 ．
又∵ΔABC为正三角形，
∴∠ACB=60 ， ∴∠ADB=120 ． 同理可得，∠BEC=∠AFC=120 ．
在ΔADB与ΔBEC中，∠ADB=∠BEC=120 ，
∠ABD=∠BCE，
AB=BC，
∴ΔADB≌ΔBEC（SAS） ∴∠BAD=∠CBE．
∴∠DBE=∠ABD+∠CBE+∠ABC=∠ABD+∠BAD+60 ，
又∵∠ABD+∠BAD=180 -∠ADB=60 ∴∠DBE=120 ．
同理可知，∠DAF=∠FCE=120 ．
而AD与BD不一定相等，所以同学乙的论述是正确的．
（2）证明：如图二，连结AD、AC，则四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠BAD+∠C=∠ADC+∠B=180 ． ∵∠B=∠C
∴∠BAD=∠ADC， ∴∠DAB+∠B=180 ， ∴AD∥BC．
∴∠ACB=∠DAC， ∴AB=CD．同理可知，BC=ED=GF=AB=CD=EF=GA．
∴该七边形为正七边形．
拓展：根据以上探索过程，提出你的猜想．（不必证明）
能力训练
［复习巩固］
1．判断题
（1）各边都相等的多边形是正多边形．（ ）
（2）每条边都相等的圆内接多边形是正多边形．（ ）
（3）每个内角都相等的圆内接多边形是正多边形．（ ）
（4）所有正多边形都有对称中心．（ ）
2．已知一个正多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形的边数是（ ）
(A)8 (B)10 (C)12 (D)14
3．在半径为R的圆中，内接正方形与内接正六边形的边长之比为（ ）
(A)２∶１ (B) :1 (C)１∶２ (D)1∶
4．如图，若正ΔA１B１C１内接于正ΔABC的内切圆，则的值为（ ）
(A) (B) (C) (D)
5．有一边长为2cm的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住
这个图形，则这个圆形纸片的最小半径是_____cm．
6．如图，已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，阴影部分的面积为12，则⊙O的半径为_____．
7．已知正六边形的半径为20cm，则它的外接圆与内切圆组成的圆环的面积是_______ cm2．
[综合运用]
8．某校计划在校园内修建一座周长为12米的花坛，同学们设计出正三角形、正方形、正六边形和圆共四种图案，请问其中使花坛面积最大的是哪个图案？并且说明理由．
9．将一个边长为a的正方形硬纸板剪去四个角，使它成为正八边形．求此正八边形的边长a8 ．
［拓广探索］
10. 如图1、2、3、…、n，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON．
（1）图1中∠MON的度数是_________；
（2）图2中∠MON的度数是_________，图3中∠MON的度数是_________；
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是__________________（直接写出答案）．
§24.3正多边形和圆（2）
例题精析
例1已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形．
分析 正多边形的画法一般有两种：一是度量法，二是尺规法．
解：（1）度量法： ① 用量角器或30 角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30 ．
②用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120 ．
（2）尺规法：用圆规在⊙O上截取长度等于半径2cm的弦，连结AB、BC、CA即可．
（3）计算与尺规结合法： 由正三角形的半径与边长的关系可得，正三角形的边长=R=2cm．用圆规在⊙O上截取长度为2cm的弦AB、AC，连结AB、BC、CA即可．
能力训练
［复习巩固］
１．用量角器等分圆：把半径为2cm的圆五等分．
２．要在一张圆形纸板上截出一个面积最大的正八边形，试画出这个正八边形．
３．请观察下列图案，分析图案结构，画出图案．
４．如图，已知正五边形ABCDE，求作正五边形ABCDE的外接圆和内切圆．
５．已知⊙O和⊙O上一点P．求作⊙O 的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH．
6．画出你喜欢的三个不同的圆内接正多边形(画图工具不限,但要保留画图痕迹)
[综合运用]
7．如图，有一木制圆形脸谱工艺品，、两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点处打一小孔．现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你用两种不同的方法确定点的位置（画出图形表示），并且分别说明理由．
理由是：
8．我国民间相传有五边形的近似画法，画法口诀是：“九五顶五九，八五分两边”．它的意义如图：如果正五边形的边长为10，作它的中垂线AF，取AF=15．4，在AF上取FM=9．5，则AM=5．9，过点M作BE⊥AF，在BE上取BM=ME=8，连结AB、BC、DE、EA即可．请用民间相传画法口诀，画一个边长为20mm的正五边形．
9．某学校在教学楼前的圆形广场中，准备建造一个花坛，并在花坛内分别种植牡丹、月季和杜鹃三种花卉．为了美观，种植要求如下：
(1)种植4块面积相等的牡丹，4块面积相等的月季和一块杜鹃；
(2)花坛边界只能种植牡丹花，杜鹃花种植在花坛中间且与牡丹没有公共边；
请你设计几种种植方案．
［拓广探索］
10.李大爷有一边长为a的正方形鱼塘图①，鱼塘四个角的顶点A、B、C、D上各有一棵大树.现在李大爷想把原来的鱼塘扩建成一个圆形或正方形鱼塘（原鱼塘周围的面积足够大），有不想把树挖掉（四棵大树要在新建鱼塘的边沿上）.
(1)若按圆形设计，利用图①画出你所设计的圆形鱼塘示意图，并求出圆形鱼塘的面积；
(2)若按正方形设计，利用图②画出你所设计的圆形鱼塘示意图；
(3)你在（2）所设计的正方形鱼塘中，有无最大面积？为什么？
(4)李大爷想使新建鱼塘面积最大，你认为新建鱼塘的最大面积是多少？
§24.4弧长和扇形面积
●在半径为R的圆中，n 的圆心角所对的弧长L=_______．
●在半径为R的圆中，n 的圆心角所对的扇形面积的计算公式有两个：（1）S扇形=______；
（2）S扇形=______．
● 圆锥的侧面展开图是一个_____，它的半径是圆锥的______，它的弧长是圆锥的_______．设圆锥的母线长为L，底面半径为R，那么这个扇形的半径为_____，扇形的弧长为______，圆锥的侧面积为______，全面积为_________．
§24.4.1弧长和扇形面积
例题精析
例1 已知扇形的圆心角为270 ，弧长为12π，求扇形的面积．
分析 根据扇形面积计算公式S扇形=，已知n=270 ，L=12π，不管用哪一种都必须先求出R，而借助弧长公式可以先求出R．
解法1：设扇形半径为R，∵ ∴
解法2：由解法1知：R=8 S扇形 =
例2：一个小孩荡秋千，秋千链子的长OA为2．5米，当秋千向两边摆动时，摆角∠BOD恰好为60 ，并且两边摆动的角度相同．求
（1）秋千摆至最高位置时与其摆到最低位置的高度差；
（2）秋千从B点摆至D点所走过的路程．（结果都精确到0.01m）
分析 由实例可抽象出如图24-24的扇形，从而问题（1）可用垂径定理解答，
而问题（2）即是求的弧长，可用弧长公式求解．
解：（1）如图，连结BD交OA于点C．
∵∠BOD＝60 ∴∠BOA=∠DOA=30 AO⊥BD
又∵OB＝OA＝2.5 ∴BC＝1.25
∴ OC=
在Rt△OCD中OA－OC=（米）
（2）的长（米）
能力训练
［复习巩固］
1． 半径为10cm，圆心角为60 的扇形中，它的弧长为_______ cm，面积为_______ cm２．
2． 如图，已知PA、PB切于⊙O于A、B两点，若PO=16cm，∠APB=60 ，则劣弧AB的长为________ cm．
3． 如图，一块边长为10cm的正方形木板ABCD，在水平桌面上绕着点D按顺时针方向旋转到A′B′C′D的位置，顶点B从开始到结束所经过的路径长为_______cm．
4．一个圆的直径等于一个扇形的半径,且它们的面积相等，则扇形的弧所对的圆心角是（ ）
(A)60 (B)90 (C)120 (D)150
5．如图，已知四边形ABCD，分别以A、B、C、D为圆心，以2为半径作圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
(A)π (B)2π (C)3π (D)4π
6．扇形的周长为14cm，面积为10cm ，此扇形的半径为（ ）cm
(A)2和 5 (B)3和 4 (C)5 (D)2
[综合运用]
７．如图，AB是半圆的直径，点E是BA延长线上的点， C、D是半圆周上的三等分点，若OA=R，求图中阴影部分的面积．
8. 下图中, 图(1)是一个扇形AOB,将其作如下划分:
第一次划分: 如图(2)所示,以OA的一半OA1为半径画弧,再作∠AOB的平分线, 得到扇形的总数为6个, 分别为: 扇形AOB、扇形AOC、扇形COB、扇形A1OB1、扇形A1OC1、扇形C1OB1;
第二次划分: 如图(3)所示, 在扇形C1OB1中, 按上述划分方式继续划分, 可以得到扇形的总数为11个;
第三次划分: 如图(4)所示;
……
依次划分下去.
(1)根据题意, 完成下表:
划分次数 扇形总个数
1 6
2 11
3
4
… …
n
(2)根据上表, 请你判断按上述划分方式, 能否得到扇形的总数为2006个 为什么
9．如图，有一圆形的马戏帐篷，其半径为20米，从A到B有一笔直的栅栏，长为20米．
（1）试求∠ACB的度数；
（2）某学校的学生在阴影区域里看马戏，密度为每平方米中有2个学生，试问该校有多少学生在看马戏？
［拓广探索］
10．如图，四边形ABCD为正方形，曲线DEFGHIJ…叫做“正方形ABCD的渐开线”，其中、、、、、……的圆心依次按ABCD循环，当渐开线廷伸开时，形成了扇形、、、和一系列的扇环、…当AB=1时，它们的面积、、、、S5=6π…，求扇环的面积Ｓ8．
6
§24.4.2圆锥的侧面积和全面积
例题精析
例1 一个圆锥的高是10,侧面展开图是半圆,求圆锥的侧面积.
分析 首先画出示意图24-25：欲求圆锥的侧面积，即求母线长L和底面半径r，由圆锥的形成过程可知，圆锥的高、母线和底面半径构成Rt△SOA，且SO=10，SA=L，OA=r，关键找出L与r的关系．侧面展开图是半圆，可得关系，即L=2r.
解：设圆锥的底面半径为r，扇形弧长为C，母线长为L.
由题意得，C=.
∴得L=2r ①
在Rt△SOA中,L2=r2+102 ②
由①②解得r=,L=
∴所求圆锥的侧面积为：S=πrL=π××=（cm2）
例2 某工厂要选一块矩形铁皮加工一个底面半径为20cm，高为40cm的锥形漏斗，要求只能有一条接缝。（接缝忽略不计）要想用料最省，请问应选择边长分别是多少的矩形？
分析:已知圆锥的高和底面半径,利用勾股定理可求出圆锥的母线长,它即是展开扇形的半径.扇形与矩形的位置关系有如图(1)(2)两种可能.矩形的宽即为扇形的半径.矩形的长通过计算可得.
解：∵圆锥底面半径r=20cm,高h=40cm
∴母线L==60cm.
展开图的圆心角θ==120°
如图(1)∵∠BOD=30°,OB=60
∴OD=30
∴矩形的长DE=200-60≈104
如图(2)∵∠BOC=60°,OB=60
∴OC=OB=30
∴矩形的长AC=OA+OC=60+30=90
通过计算应该选择图(2)情形,因此应选择长为90cm,宽为60cm的矩形铁皮.
能力训练
［复习巩固］
1． 一个形如圆锥的冰淇淋纸筒，其底面直径为6cm，母线长为8cm，围成这样的冰淇淋纸筒所需纸片的面积是________．
2．若一圆锥的侧面积为，母线长为3，则圆锥的高为_____，侧面展开图的圆心角为______．
3．如图，将半径为2的圆形纸片沿半径OA、OB将其裁成1∶3两部分，
用所得的扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为________．
4．圆锥的轴截面是一个边长为10cm的正三角形，则这个圆锥的底面积、
侧面积和全面积的比为___________．
5．小明要制作一个圆锥模型，其侧面是由一个半径为90cm，圆心角为240°的扇形纸片制成，还需一块圆形纸板做底面，那么这块圆形纸板的直径为（ ）．
（A）15cm （B）12cm （C）10cm （D）9cm
6．如图，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成
一个圆锥模型。设圆的半径为r，扇形的半径为R，则圆的
半径与扇形半径之间的关系为（ ）．
(A)R=2r (B)R=r (C)R=3r (D)R=4r
7．在RtΔABC中，已知AB=6，AC=8，∠A=90°。如果把RtΔABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S1；把RtΔABC绕直线AB旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S2，那么S1∶S2等于（ ）．
(A)2∶3 (B)3∶4 (C)4∶9 (D)5∶12
[综合运用]
8．如图，有一直径是1米的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角是90°的扇形ABC．
求（1）被剪掉的阴影部分的面积．
（2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是多少？（结果可用根号表示）
9．小明同学和小强同学合作,将半径为1m,圆心角为90°的扇形薄铁板围成一个圆锥筒,小明认为圆锥的高就等于扇形的圆心到弦AB的距离(即OC的长)如图(1),小强说这样计算不正确,你同意谁的说法 请通过计算说明理由.
［拓广探索］
10．如图，圆锥母线长为4，底面圆半径为1，一只小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈回到SA的中点C。请求出小虫爬行的最短距离？
数学活动1
我们常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空白，又不互相重叠，这在几何里叫做平面密铺(镶嵌)．我们知道，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和为3600时，就能够拼成一个平面图形．某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法：如果用x个正三角形、y个正六边形进行平面密铺，可得600×x＋1200×y＝3600，化简得x＋2y＝6．因为x、y都是正整数，所以只有当x＝2，y＝2或x＝4，y＝1时上式才成立，即2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图⑴、⑵、⑶．
①请你依照上面的方法研究用边长相等的x个正三角形和y个正方形进行平面密铺的情形，并按图⑷中给出的正方形和正三角形的大小大致画出密铺后的图形的示意图(只要画出一种图形即可)；
②如用形状、大小相同的如图⑸方格纸中的三角形，能进行平面密铺吗？若能，请在方格纸中画出密铺的设计图．
数学活动2
小红家的锅盖坏了，为了配一个锅盖，需要测量锅的直径（锅沿所形成的圆的直径），而小红家只有一把长20cm的直尺，根本不够长，怎么办呢？小红想了想，采取了以下办法：如图（1）所示，首先把锅平放到墙根，锅沿刚好靠到两墙，用直尺紧贴墙面量得MA的长如图（2）所示，即可求出锅的直径．请你说明她这样做的理由．
综合例析·综合训练
通过本章的学习，我们利用圆的对称性，探索了圆的一些重要性质；通过图形的运动，研究了点和圆、直线和圆、圆与圆的位置关系，还研究了圆和正多边形的计算．其中垂径定理的应用和切线的性质及判定是重点，切线的判定是难点．在运动变化中观察它们的关系，发现图形的性质，使直观操作和逻辑推理有机地整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续；通过许多性质的探索过程，丰富学生从事数学活动的经验和体会，进一步培养学生的合情推理能力；在简单的计算中让学生掌握转化的基本方法，结合圆的基本性质解决实际问题，进一步培养学生分析和应用知识解决问题的能力；进一步体会图形来源于现实，服务于现实．
综合例析
例1. 三角形的三边长分别为3cm,4cm,5cm,以三角形的三个顶点为圆心的三个圆两两外切,求这三个圆的半径.
分析:三角形的三边长分别是三个圆两两外切时的圆心距,建立方程组即可求解.
解: 设三个圆的半径分别为xcm,ycm,zcm.
由题意得:
①-②得: y-z=-1……④
③+④得: y=2
把y=2代入①得x=1
把y=2代入③得z=3
答: 这三个圆的半径分别为1cm,2cm,3cm.
拓展: 三角形的三边长分别为a,b,c,以三角形的三个顶点为圆心的三个圆两两外切,求这三个圆的半径(用含a、b、c的式子表示).
例2：如图24-2，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，直线l与AB的夹角为α，当直线l绕点A旋转时， 点O到直线l的距离d如何变化 直线l与⊙O的位置关系如何变化
分析：由已知得直线经过直径的一端A，那么直线l与⊙O的位置关系只有相交和相切两种．
解：如图，直线l与AB的夹角为α,点O到直线l的距离为d1，此时 d1拓展：当α等于多少度时，点O到直线l的距离d等于半径r 此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系 为什么
例3 如图24-29中的(1)、(2)、(3)、…、(m)是边长均大于2cm的三角形、四边形、五边形、…、凸n边形，分别以它们的各顶点为圆心，以1cm长为半径画弧，与两邻边相交，得到了3条弧、4条弧、五条弧、…、n条弧,请回答下列问题。
①图(1)中3条弧的弧长之和为_______；②图(2)中4条弧的弧长之和为________；
③图(3)中5条弧的弧长之和为_____；④求图(m)中n条弧的弧长之和为_____．（用n表示）
分析:在同圆中要求若干条弧长总和关键是求出各圆心角之和,从而把问题转化为求多边形的内角和.
解:l1==
同理： l2= l3=
lm=
拓展: 求所有图中的扇形面积总和.
例4.如图24-30,△ABC内接于⊙O,弦CM⊥AB于E,CN为直径,F是的中点,求证:CF平分∠NCM.
分析: 要证CF平分∠NCM通常证=,而=,于是只需证=,从而证∠CAN=∠BCM即可.
证法1: 连结AN,
∵CN是⊙O的直径, ∴∠CAN=90°
又∵CM⊥AB于E, ∴∠CEB=90°
又∵∠ANC=∠ABC(同弧所对的圆周角相等)
∴∠ANC=∠BCM
又∵F是的中点,∴=,∴∠ACF=∠BCF
∴∠ACF-∠ANC=∠BCF-∠BCM
即∠NCF=∠MCF
∴CF平分∠NCM
证法2. 连结OF
∵F是的中点, ∴OF⊥AB
又∵CM⊥AB, ∴OF∥CM
∴∠OFC=∠FCM
又∵OF=OC, ∴∠OCF=∠OFC
∴∠OCF=∠FCM
即∠NCF=∠FCM
∴CF平分∠NCM
拓展: 此题有多种证法,同学之间互相交流一下,把不同的证明在班级的橱窗内展评一下.
综合训练
［复习巩固］
1. 如图,PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,
则∠ABO-∠APB=_______.
2.如图, ⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,若∠COD=120°,OE=3cm,则OD=____cm.
3.两个圆内切,其中一个圆的半径为5,两圆的圆心距为2,则另一个圆的半径是______.
4.在半径为5cm的⊙O中,弦AB=6cm,弦CD=8cm,且AB∥CD,则AB与CD之间的距离为____cm.
5.已知⊙O的直径为6,P为直线L上一点,且OP=3,那么直线L与⊙O的位置关系是_____.
6.如图,已知∠AOB=30°,M为OB边上一点,以M为圆心, 2cm为半径作⊙M,若点M在OB边上运动时,则当OM=_____cm时,⊙M与OA相切.
7.如图AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,若∠B=50°,则∠A等于( )
(A)80° (B)60° (C)50° (D)40°
8.已知两圆的半径分别是2、3,圆心距为d,若两圆有公共点,则下列结论正确的是( )
(A)d=1 (B)d=5 (C)1≤d≤5 (D)1＜d＜5
9.如图,在⊙O中,弦AB=1.8, 圆周角∠ACB=30°,则⊙O的直径是( )
(A) 1．8 (B)3.6 (C)5.4 (D)不能确定
10.如图，四边形ABCD的各边都与⊙O相切，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为( )
(A)50 (B)52 (C)54 (D)56
11.已知⊙O的半径是2cm,画圆使它的半径为1cm,且与⊙O相切,这样的圆可以画( )
(A)2个 (B)4个 (C)8个 (D)无数个
12．一个底面半径为5cm,母线长为16cm的圆锥,它的侧面展开图的面积是( )
(A)80πcm2 (B) 40πcm2 (C) 80cm2 (D)40cm2
13.在平面直角坐标系中,⊙O1和⊙O2的半径分别为3和7,圆心O1的坐标为(0,6), O2的坐标为(8,0),试判断两圆的位置关系,并说明理由.
14.如图,等边△ABC的内切圆的面积为9π,求△ABC的周长.
15.已知：如图,AB是⊙O的直径，点P在BA延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD于D，连接BC，求证：BC平分∠PBD.
16.如图是“神舟五号”太空舱的示意图,太空舱的外表面须作特别处理,以承受重返地球大气层时与空气摩擦而产生的高热,求该太空舱要接受防高热处理的面积.(结果精确到0.1m2)
[综合运用]
17.如图,正三角形ABC的中心恰好为扇形ODE的圆心,点B在扇形内,要使扇形ODE绕点O无论怎样转动,△ABC与扇形重叠部分的面积总等于△ABC面积的,扇形的圆心角应为多少度 请说明你的理由.
18.某校八年级(1)班在黑板报版面设计过程中需将一个半圆面三等分,请你帮助她设计两种合理的等分方案.要求保留作图痕迹,并作简要的设计说明.
19．工人师傅为了检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）
将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A，B，E三个接触点，该球的大小就符合要求。
图2是过球心O及A，B，E三个接触点的截面示意图。已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD，BD⊥CD。请你结合图1中的数据。计算这种铁球的直径。
［拓广探索］
20．(1)如图①,O为边长为a的正方形ABCD的旋转中心,现将一块半径足够大,圆心角∠EOF为90°的扇形纸板的圆心落在点O上,并让其可绕点O旋转,扇形两边交正方形边上于M、N两点,则被纸覆盖的M到N之间的虚线长为__________,重叠部分的面积等于_________.
(2)如图②,将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的等边三角形和正五边形的中心O处,并将其绕点O旋转,当扇形纸板的圆心角∠EOF为______度时,与等边三角形的覆盖部分的总长为a;当扇形纸板的圆心角∠EOF为_______度时,与正五边形的覆盖部分的总长度为a.
(3)一般地,将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O处，并将纸板绕点O旋转，当扇形纸板的圆心角∠EOF为_____度时,与正n边形的覆盖部分的总长度为定值a,此时覆盖部分的面积是否也为定值 若是,那么它占整个正n边形面积的几分之几 若不是定值,请说明理由.
互动探究
在一次数学实验探究课中,需要研究两个同心圆内有关线段的关系问题,某同学完成了以下部分记录单：
记录单 (单位：㎝)
第一次 第二次 第三次
图形R=5R=3
AB 2.50 3.00 3.50
AC 6.40 5.33 4.57
AB·AC
(1) 请用计算器计算AB·AC的值,并填入上表的相应位置;
(2)对半径分别为R、r的两个同心圆,猜测AB·AC与R、r的关系式,并加以证明。
自我评估
A卷
一、 选择题（每小题4分，共32分）
1．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，若∠P=60°，PA=2，
则AB的长为（ ）
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
2.如图,AB是⊙O的直径,根据下列条件不能判定直线AT是⊙O切线的是( )
(A) AB=4,AT=3,BT=5 (B)∠B=38°,∠TAC=38°
(C)∠TAC=30°,BC=AC (D)∠T=∠B
3.已知⊙O1、⊙O2的半径分别为5cm和3cm，圆心距O1O2=7cm,则⊙O1与⊙O2的位置关系为( )
(A)相交 (B)内切 (C)外切 (D)外离
4.如图,实线部分是半径为9米的两条等弧组成的游泳池.若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心,则游泳池的周长为( )
(A)12π米 (B)18π米 (C)20π米 (D)24π米
5．若一个直角三角形的两边分别为6和8，则这个直角三角形外接圆直径是( )
（A）8 （B）10 （C）5或2 （D）10或2
6.过⊙O内一点M的最长弦的长为10cm,最短弦的长为8cm,那么OM的长为( )
(A)3cm (B)6cm (C) cm (D)9cm
7. 如图所示,四个正方形的边长都相等,其中阴影部分面积相等的图形的个数为( )
8.如图,已知大圆的周长记为C1,在大圆直径AB上恰好画得n个依次相切的等圆(圆心都在AB上),这n个等圆的周长和记为C2,那么C1和C2之间的关系是( )
(A) C1=nC2 (B) C1=πC2 (C) C1=C2 (D) C1=C2
二、填空题（每题4分，共24分）
9. 已知：如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,切点分别为D、E、F,
则∠EDF=______．
10.若直角三角形斜边长为10cm,其内切圆半径为2cm,
则它的周长为_____cm.
11.如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠OBC=35°,则∠A的度数是_______.
12.如图,点P是⊙O直径BC的延长线上的一点,过点P作⊙O的切线PA,切点为A,连结BA、OA、CA,过点A作AD⊥BC于D,请你找出图中共有______个直角(不要再添加辅助线).
13.如图,在⊙O中,∠AOB=100°,C为优弧AB的中点,则∠CAB=______.
14.如图,⊙O的直径CD与弦AB(非直径)交于点M,添加一个条件_________,就可以得到点M是AB的中点.
三、解答题（共44分）
15.（6分）如图⊙O的半径OA=2cm,以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D,若BD=1cm,求AB的长及∠A的度数.
16. （6分）如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3.5cm，请你用学过的知识帮助小明计算此光盘的直径.（精确到0.01 cm）
17.（6分）如图,PA是⊙O的切线,A为切点,PO交⊙O于点B,OA=3,OP=6,求切线PA长∠BAP的度数.
18.（8分）下面是两位同学的争论．
甲：“这道题不好算，给的条件也太少了！”
乙：“为什么你要这么说？”
甲：“你看，题中只告诉AB的长度等于20，却要求出阴影部分的面积！事实上我们连这两个半圆的直径各是多少都不知道呢．”
乙：“不过AB可是小圆的切线，而且它和大半圆的直径也是平行的呀！”
甲：“那也不顶用，我看一定是出题人把条件给遗漏啦！”
请问：真是甲说的这么回事吗？如果不是，你能求出阴影部分的面积来吗？
19.已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于点A、B，过点B作CD⊥AB，分别交⊙O1和⊙O2于点C、D．
（1）如图1，求证：AC是⊙O1的直径；
（2）若AC＝AD，如图2，连接BO2、O1 O2，求证：四边形O1C BO2是平行四边形；
20. 正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位，以O为原点建立平面直角坐标系．圆心为A（3，0）的⊙A被y轴截得的弦长BC＝8，如图所示，解答下列问题：
（1）⊙A的半径为＿＿＿＿＿；
（2）请在图中将⊙A先向上平移6个单位，再向左平移8个单位得到⊙D，观察你所画的图形知⊙D的圆心D的坐标是＿＿＿＿＿；⊙D与x轴的位置关系是＿＿＿＿；⊙D与y轴的位置关系是＿＿＿＿＿；⊙D与⊙A的位置关系是＿＿＿＿＿＿＿．
B卷
一、 选择题（每小题4分，共32分）
1.如图,PA切⊙O于A,PB切⊙O于B,OP交⊙O于C,
下列结论中错误的是( )
(A)∠1=∠2 (B)PA=PB (C)AB⊥OP (D)AB平分OC
2.如图,AB、AC与⊙O相切于B、C,若∠A=50°,点P是圆上异
于B、C的一动点,则∠BPC的度数为( )
(A)65° (B)115° (C)65°和115° (D)130°和50°
3.等腰△ABC内接于半径为10cm的圆,其底边BC的长为16cm,则S△ABC为( )
(A) 32cm2 (B)128cm2 (C) 32cm2或8cm2 (D) 32cm2或128cm2
4.在直角坐标系中,⊙C与y轴相切,与x轴相交于(1,0)和(9,0)两点,圆心C在第四象限,则点C的坐标是( )
(A)(3,-5) (B)(5,-3) (C)(5,-4) (D)(-5,3)
5.已知⊙O的半径为r,那么垂直平分半径的弦的长是( )
(A)r (B)r (C)2r (D)4r
6. 半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为( )
(A)1: : (B) ::1 (C)3:2:1 (D)1:2:3
7. 如图一个圆锥的侧面积为16,那么这个圆锥的母线L与底面半径r之间的函数关系的大致图象是( )
8. 如图,已知AB为⊙O的弦,P是AB上一点,若AB=10cm,PB=4cm,OP=5cm,
则⊙O的半径为( )
(A)2cm (B)7cm (C)2cm (D)6cm
二、填空题（每题4分，共24分）
9. 在Rt△ABC中,∠A=90°,以AB为直径的⊙O与AC的位置关系_______.
10.如图,A,B是⊙O上两点,且∠AOB=70°,C是⊙O上不与点A、B重合的任意一点,则∠ACB的度数是_____________.
11.P是⊙O外一点,过点P引⊙O的两条切线PA、PB且互相垂直,PO交⊙O于C,若⊙O的半径为R,则PA=________.
12.把一个半径为8cm的圆片,剪去一个圆心角为90°的扇形后,
用剩下的部分做成一个圆锥，则这个圆锥的高为_________cm.
13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,以AC为直径作圆与
斜边交于点P,则BP的长为___________.
14.图中正比例函数和反比例函数的图象相交于A、B两点,
分别以A、B为圆心,画与y轴相切的两个圆,若点A的坐标
为(1,2),则图中两个阴影面积的和是__________.
三、解答题（共44分）
15.（6分）如图,AB是⊙O的直径,弦CD与AB交于点E, 的度数为72°,
∠BCD=68°,求∠AED的度数.
16.（6分）如图，中，，AC＝2，AB＝4，分别以AC、BC为直径作半圆，求图中阴影部分的面积．
17.（6分）已知：如图,⊙O与⊙O1相交于A、B两点,过A点作直线分别交⊙O、⊙O1于点C、D,过点B作直线分别交⊙O、⊙O1于E、F,求证:CE∥FD.
(提示:连结AB,且∠DAB+∠DFB=180°)
18.（8分）已知：如图,⊙O的半径为2cm,A为⊙O上一点,请以A为圆心,2cm长为半径画一个⊙A,并回答下列问题:
(1)⊙O与⊙A的位置关系怎样
(2)若⊙O与⊙A相交于B,C两点,请问△ABO是什么三角形;
(3)四边形ABOC是什么四边形,说说你的理由;
(4)线段OA与BC之间有什么关系
19.（8分）如图,AB是⊙O的直径,以OA为直径的⊙O1与⊙O的弦AC相交于点D且DE⊥OC,垂足为E.
(1) 求证:AD=DC; (2)求证:DE是⊙O1的切线;
(2) 如果OE=EC,猜想:四边形O1OED是什么四边形
并证明你猜想的合理性和正确性.
20.（10分）如图所示，AB是半圆O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合），点Q在半圆O上运动，且总保持PQ＝PO，过点Q作半圆O的切线交BA的延长线于点C．
（1）∠QPA＝60°时，请你对△QCP的形状作出猜想，并给予证明；
（2）当QP⊥AB时，△QCP的形状是___________三角形；
（3）由（1），（2）得出的结论，请进一步猜想当点P在线段
AM上运动到任何位置时，△QCP一定是__________三角形．
参考答案
§24.1.1 圆
1. 1, 1,5, , , ,
2. 0＜AB≤10
3. 6
4. A 5.D 6.C 7. 弦AC,弦BC,弦AB；弧AC,弧ABC,弧BC,弧CAB,弧AB,弧ACB
8.（1）、（2）略 （3）如图
9.(1)6,12 (2), n(n-1)
10. PA＜PC＜PB
§24.1.2 垂直于弦的直径
1.5, 9 2. 3 3. A 4. C 5.D 6.CD的长为1
7.(1)4m (2)12m
8. 提示: 过O点作OE⊥AB,利用垂经定理即可
9. (1)80cm (2)有两种可能,下水道中最深处的水深20cm或80cm．
10.(1)提示:过O点作OM⊥直线L；（2）结论仍然成立，证明略．
§24.1.3弧、弦、圆心角
1.C 2. B 3. 80 4. 60°,60° 5. 72° 6.提示: 连结OM、ON．
7.提示: 连接OE,∠BOC =70° 8.提示: 连结OA或OB,劣弧 的度数是120°
9.提示: 连接OA,OD,只要证∠AOE=∠DOF即可.
10. OF=2cm, CD=
§24.1.4圆周角（1）
1.34° 2.50, 130 3. 30°, 2 4.A 5. D 6. C 7. ∠OBC=40°
8.(1)证明: ∵∠ABC+∠ADC + ×360°=180°
(2)与∠BAC相等的角有：∠CAD 、∠BDC、∠CBD.
9.∠ABC==15° 10.(1)略 (2)∠CP’D+∠COB=180°(∠CP’D与∠COB互补)
§24.1.4圆周角（2）
1. B 2. B 3. C 4. 27° 5. 90° 6. ∠OEC=80° 7. 166°
8. =50°, =80°
9. 猜想：= （一题多解） 提示: 连结AD或BC；取的中点E，连接OE．
10.∠CAD=15°或105°
§24.2.1 点和圆的位置关系
1.D 2. C 3. D 4. C 5. 半径, 圆上 6. 内,上,外
7.∠A=64° 8.略
9.点A在⊙C外,点D在⊙C内,点B在⊙C上
10.(1)能;(2)能;(3)不能;(4)不一定,领悟到：对角互补的四边形内接于圆
§24.2.2直线和圆的位置关系(1)
1.C 2. C 3. C 4. A 5. 60° 6.（1） 相离 （2）相切（3）相交
7.(1)m=±2 (2)-2＜m＜2 (3)m＞2或m＜-2 8.60°
9.(1)30°＜α＜90°; (2)α=30°; (3)0°＜α＜30°
10.(1)d=(x+y) (2)d=(x+y),d=(x+y) (3)d=( x+y),d=( y -x)
§24.2.2直线和圆的位置关系(2)
1. 45° 2. 5cm 3. 相切 4. D 5. B 6. C
7.提示: 只要证明∠ABD=90°
8.(1)提示: 连结OA,再证明∠OAP=90°； (2)相交．
9.(1)提示: 连结OC, 再证明∠OCD=90°； (2)答案不唯一．（略）
10.(1)①∠FAC=∠B; ②∠OAF=90° (2)提示: 连结AO并延长AO交⊙O于D点
§24.2.2直线和圆的位置关系(3)
1.20 2. 99° 3. D 4. A 5. B 6. B 7.BC=-1 EC=
8．r= 9．65° 10．提示：连接OP．
§24.2.3圆和圆的位置关系(1)
1.外离 2. 2 3.相交 4.A 5. B 6. C 7. ⊙O的半径为7
8. 大圆的半径为5cm 9.三个圆的半径分别为2cm,4cm,5cm 10. BC=6
§24.2.3圆和圆的位置关系(2)
1.C 2. C 3.B 4.B 5. 7或23 6. 7或1cm 7. 1或5
8. ⊙A的半径为2；⊙B的半径为6；⊙C的半径为12
9.提示:连接O2A、O2B ∠APB=75° 10. 2周
§24.3正多边形和圆（1）
1.（1）×（2）√（3）×（4）× 2. C 3.B 4.A 5. 2 6. 4 7. 100π
8. 圆 理由略 9.a8 =a 10.（1）120°（2）90°，72°（3）∠MON=
§24.3正多边形和圆（2）
1.略 2. 略 3. 略 4. 略 5. 略 6. 略
7.
8. 略
9.如图
10. （1）图略、S⊙O=（2）图略 （3）有最大面积 当新正方形的顶点真好落在原正方形的各边的垂直平分线上，最大面积为2a2 （4）正方形鱼塘面积最大 最大面积为2a2
§24.4.1弧长和扇形面积
1. 2. 3. 5 4. B 5.D 6. A 7.
8.（1）16 21 5n+1 （2）能 5n+1=2006 n=401
9.（1）∠ACB=120°（2）S弓形≈245.6(米2) 学生数约为491人.
10. S8=16π
§24.4.2圆锥的侧面积和全面积
1. 24π 2. 150 3. 或 4. 1：2：3 5. B 6. D 7. A
8.（1）S阴影= （2） 9.小强的说法是正确的
10. 最短距离为2
综合例析
1. 0 2. 6cm 3.3或7 4. 1或7 5. 相切或相交 6.4
7. D 8.C 9.B 10.B 11.D 12.A
13.外切 理由略 14. C△ABC=18 15.提示：连接OC
16. S外表=18π≈56.5m2 17.圆心角应为120° 18.略 19.直径为20cm
20.(1)a (2)120°, 72° (3)
A卷
1.B 2.D 3. A 4.D 5. D 6.A 7. C 8.D
9.45° 10. 24 11.55° 12. 4 13.65° 14. cd⊥ab 或C是的中点
15.提示: 连结OD,BE, AB=2cm,∠A=60° 16. 光盘的直径约为12.12cm
17.PA= ,∠BAP=30° 18.不是 S阴=50π
19．(1)证明： ∵CD⊥AB， ∴∠ABC=90°
又∵点A，B，C在⊙O1上 ∴AC是⊙O1的直径
(2)证:∵O1 是AC的中点,O2是AD的中点
∴O1O2∥CD,又∵AC=AD, ∴∠C=∠D, ∵O2B=O2D
∴∠O2BD=∠D, ∴∠O2BD=∠C, ∴O2B∥O2C ∴四边形O1CBO2是平行四边形
20.(1)5 (2)(-5,6),相离, 相切,外切
B卷
1.D 2. C 3. D 4. B 5. B 6. B` 7.A 8. B
9. 相切 10. 35°或145° 11. R 12. cm 13. 3.6 14.π
15. 提示: 连结AC, ∠AED=58° 16.2π-2
17.略 18.(1)相交 (2)等边三角形 (3)菱形 (4)OA与BC互相垂直平分
19. (1)提示: 连结OD (2)只要证明O1D⊥DE (3)四边形O1OED是正方形
20. (1)等边三角形 证明略 (2)等腰直角; (3)等腰
·
A
B
C
O
E
D
(图24-1)
(图24-2)
(第1题)
B
·
O
·
·
·
A
C
(第7题)
B
·
O
·
·
A
·
O
·
A
(第9题)
B
·
O
·
·
A
C
B
·
O
·
A
C
P
(第10题)
B
·
O
A
C
D
(图24-3)
·
A
B
C
E
O
D
(图24-4)
B
·
O
E
A
C
D
(第1题)
B
·
O
A
C
(第2题)
B
·
O
E
A
C
D
(第５题)
B
·
O
A
C
D
(第6题)
B
O
A
(第7题)
B
A
·
O
C
D
(第8题)
(第9题)
B
·
O
A
C
E
F
L
(第10题)
D
B
·
O
A
D
C
N
M
(图24-5)
D
(图24-6)
B
·
O
A
C
(第5题)
·
O
A
C
N
M
B
D
(第6题)
B
·
O
A
C
D
E
(第7题)
B
·
O
A
C
D
(第8题)
D
·
O
A
B
C
E
F
(第9题)
B
·
O
A
D
C
E
F
(第10题)
(图24-7)
(图24-8)
(第5题)
B
·
O
A
C
D
(第2题)
D
B
·
O
A
C
（第3题）
B
·
O
C
(第4题)
B
·
O
A
C
D
E
A
(第6题)
B
·
O
A
C
(第7题)
B
·
O
A
D
C
(第8题)
B
·
O
A
C
(第9题)
B
D
·
O
C
P
A
(第10题)
·P’
·
O
C
E
B
D
A
G
F
(图24-9)
E
F
·
O
A
D
C
B
M
N
(图24-10)
B
P
·
O
A
Q
R
S
(第1题)
B
D
·
O
A
C
(第2题)
B
D
·
O
A
C
B
D
·
O
E
A
C
B
D
·
O
A
C
E
1
2
(第3题)
(第4题)
(第5题)
D
B
·
O
A
C
E
(第6题)
(第7题)
(第8题)
B
·
O
A
C
D
(第9题)
B
·
O
A
C
(第10题)
B
A
(图24-11)
B
A
C
D
F
E
(图24-12)
(第8题)
A
B
C
D
(第9题)
A
B
C
D
(图24-13)
A
B
C
D
E
(图24-14)
F
(第4题)
·
O
A
(第8题)
(2)
N
·
O
A
B
M
N
M
B
A
O
·
(3)
(图24-15)
D
·
O
A
B
D
C
(图24-16)
·
O
A
C
(第1题)
B
·
O
D
L
(第2题)
C
·
O
A
B
D
P
(第5题)
C
·
O
A
B
D
(第7题)
C
·
O
A
B
P
(第8题)
C
·
O
D
A
B
(第9题)
E
·
O
F
B
C
(乙)
E
·
O
F
A
B
C
A
(甲)
(第10题)
C
·
O
D
A
B
E
(图24-17)
(图24-18)
H
E
·
O
D
A
B
P
C
·
O
E
A
B
D
(第1题)
(第2题)
E
·
O
A
B
P
(第3题)
F
C
(图24-19)
·
O
D
A
C
E
(第7题)
B
(第8题)
·
O
D
B
E
C
(第9题)
·
O
D
A
B
E
C
P
(第10题)
·
O
A
B
P
C
A
A
O
P
B
·
·
C
A
B
O
(第8题)
(第10题)
(图24-20)
(第9题)
·
O1
·
O2
固定
(图24-21)
(一)
(二)
(图24-22)
·
O
A
B
C
A1
B1
C1
(第4题)
A
B
C
D
E
F
（第６题）
O
A
C
B
M
N
O
图1
A
B
C
D
O
M
N
图2
A
B
C
D
O
M
N
E
图3
A
B
C
D
O
M
N
E
F
G
图n
_
A
B
C
·
O
A
B
C
·
O
(图24-23)
A
B
E
C
D
(第4题)
(第3题)
(第2题)
(第6题)
A
B
E
C
D
F
M
(第8题)
(第10题)
D
C
B
A
D
C
B
A
①
②
B
A
C
D
O
(图24-24)
(第5题)
(第3题)
B
·
O
P
A
(第2题)
D
E
(第7题)
·
A
B
C
(第9题)
(第10题)
C
A
O
B
E
D
如图(1)
如图(2)
·
A
B
O
(第3题)
(第6题)
(第8题)
(第9题)
S
C
B
A
P
(第10题)
（图24-27）
（图24-28）
（图24-28）
(图24-29)
A
B
C
A
B
C
D
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
(3)
……
(图24-30)
·
O
M
A
B
F
C
N
E
(第1题)
·
O
A
B
P
(第2题)
·
O
A
B
C
D
E
D
(第10题)
·
O
A
B
(第7题)
O
·
A
B
C
第9题
(第6题)
·
M
A
O
B
C
(第14题)
·
O
A
B
C
·
O
A
B
D
C
P
C
(第15题)
(第16题)
2m
m
4m
(第17题)
·
O
·
O
图1
图2
①
②
A
B
P
(第1题)
A
B
C
T
(第2题)
（第4题）
(第8题)
E
(第9题)
·
O
B
F
A
D
C
(第14题)
·
O
A
B
C
D
O
C
A
B
(第11题)
·
O
B
C
A
M
(第12题)
(第13题)
A
B
D
E
C
·
·
O
(第15题)
P
(第17题)
·
O
A
B
A
B
C
D
(第18题)
图1
图2
(第1题)
(第2题)
C
·
O
A
B
(第8题)
·
O
A
B
P
(第10题)
·
O
A
B
·
O
A
B
C
P
(第13题)
(第14题)
(第15题)
·
O
A
B
C
D
E
(第16题)
(第17题)
(第18题)
O
A
·
·
(第19题)
(第20题)
O
O1
S
O
·
B
A
图(24-25)
PAGE
53
课前热身
●连接圆上任意两点的线段叫做_______,经过圆心的弦叫做________.
●圆上任意两点间的部分叫做________.
●垂直于弦的直径,并且平分______________.
●平分弦(不是直径)的直径________弦,并且__________.
●顶点在圆心的角叫做_________,顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫做______.
●在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的________相等,所对的_______也相等.同弧或等弧所对的圆周角__________,都等于这条弧所对的圆心角的________.
●半圆(或直径)所对的圆周角是________,90°的圆周角所对的弦是__________.
§24.1.1 圆
例题精析
例1：如图24-1，点A、O、C以及B、O、E分别在一条直线上，请用字母
表示出所有的弦,并列举一条直径、一条半径、一条劣弧、一条优弧．
分析；弦是圆上任意两点连接的线段，直径是经过圆心的弦，
弧是圆上两点间的部分，小于半圆的弧是劣弧，大于半圆的弧是优弧．
解：圆中的弦有三条：弦AB、弦AC、弦CD，直径AC，半径OB，劣弧AB，优弧ACB．
拓展：列举图中所有的直径、半径、劣弧和优弧．
例2：世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，图24-2中的三个图都来自现实生活中且每个图形都有圆．请你选其中一个画一画．
一石激起千层浪， 汽车方向盘， 铜钱
分析：这三个图案都是由圆组成的，要画圆应先确定两个元素——圆心和半径．
解：第一个图案画4个同心圆；第二个图案先画2个同心圆，再画三条线段；第三个图案先画一个圆，再以圆心为中心画一个正方形．
拓展：请你展开想象翅膀，以圆为基本图形，设计几种美丽的图案，并象例题中一样，在图案下方题词．
能力训练
[复习巩固]
1． 如图，图中有＿＿＿条直径，＿＿＿条弦，劣弧有＿＿＿条，
请写出以D为一个端点的所有优弧 ．
2．A、B是半径为5cm⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围 ．
3．一个圆的最长弦的长为12cm，则此圆的半径是 cm．
4．下列说法正确的是（ ）
A、圆上任意两点间的部分叫做弧 B、半圆也是弧，是圆中最长的弧
C、弧分为优弧和劣弧两种 D、弦BC所对的弧就是
5．下列说法正确的是（ ）
A、经过圆心的线段是直径 B、半径也是弦
C、经过圆上一点只能作一条弦 D、直径是圆内最长的弦
6．已知圆上有5个不同的点，以其中每两点为端点的弧共有（ ）
Ａ、5条 Ｂ、8条 Ｃ、10条 Ｄ、12条
７．已知：如图Ａ、Ｂ、Ｃ是⊙O上任意三点，请把圆中以这三点中任意两点为端点的所有弦，所有弧都表示出来．
[综合运用]
８．按下列步骤画图：
（１）画一个半径为１cm的⊙O；
（２）在⊙O上任取一点Ｏ１，以Ｏ１为圆心，１cm为半径画⊙Ｏ１；
（３）用阴影表示满足ＰＯ＜1且ＰＯ１＜１的点Ｐ的集合．
９．阅读材料，并回答下列问题：
（１）当圆上有１个点时，圆中没有弦，1条弧；当圆上有２个不同点时，圆中有１条弦，２条弧；当圆上有３个不同点时，圆中有３条弦，６条弧；当圆上有４个不同点时，圆中有＿＿＿＿条弦，＿＿＿＿条弧；
（２）当圆上有n个不同点时，圆中有＿＿＿＿条弦，＿＿＿＿条弧．
［拓展探索］
10．已知：如图，ＡＢ是⊙O的直径，Ｐ是ＯＡ上一点（不与Ｏ、Ａ重合），Ｃ是⊙O上一点（不与Ａ、Ｂ重合），试猜想ＰＡ、ＰＣ、ＰＢ的大小，并通过测量验证你的猜想．
§24.1.2垂直于弦的直径
例题精析
例1：已知：如图24-３，⊙O的半径R=5cm，弦AB=8 cm ，
C是的中点，求圆心O到弦AB的距离及弦AC的长．
分析：通过添加辅助线构造可以应用垂径定理及其推论的基本图形，但如何添加辅助线要讲究方法。如：若“作OD⊥AB”，则要证OD的延长线经过点C；若“连结OC交AB于D，”则要证明OD⊥AB．
解：连结OA、OC，OC交AB于D．
∵C是的中点，AB=8 cm
∴OC⊥AB ，AD=BD=4cm
在Rt△ADO中,OD==3(cm)
∴CD=OC-OD=5-3=2(cm)
在Rt△ADC中,AC=
拓展:若C是优弧AB的中点呢 如何求圆心O到弦AB的距离及AC的长.
例2. 如图24-４,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,且∠C=Rt∠,OE⊥BC于E,D为AC的中点,猜想四边形ODCE是怎样的特殊四边形 并说明自己猜想的正确性.
分析:借助直观图形,不难猜想四边形ODCE是矩形,要证明这个结论,常有两种方法:一种证明OD⊥AC,即有三个角为直角的四边形是矩形,另一种证明四边形ODCE是平行四边形,即有一个角为直角的平行四边形是矩形.
证法1:∵D是AC的中点
∴OD⊥AC.
又∵OE⊥BC,∠C=Rt∠
∴∠ODC=∠OEC=∠C=90°
∴四边形ODCE为矩形.
证法2: ∵D是AC的中点
∴OD⊥AC.
又∵∠C=Rt∠,∴OD∥BC,
∵OE⊥BC,∴OE∥AC,∴四边形ODCE为平行四边形
又∵∠C=Rt∠
∴四边形ODCE为矩形.
能力训练
[复习巩固]
1. 如图,AB为⊙O的直径,CD为⊙O的弦,且AB⊥CD于E,
若CD=8cm,OE=3cm,则OB=_________cm；若CD=6cm, AE=1cm,
则BE=______cm.
2. 如图，在△ABC中， AB=AC=5, BC=8,那么点A到BC的距离为_________.
3. 下列命题中,错误的是( )
(A)平分弦的直径垂直于弦
(B)平分弦所对的一条弧的直径平分弦
(C)垂直于弦的直径平分弦
(D)弦的垂直平分线平分弦所对的两条弧
４．半径为2cm的圆中有一条长为2cm的弦，则圆心到这条弦的距离为 ( )
（A）1cm （B）cm （C）cm （D）2cm
5． 如图,在⊙O中,AB是直径,弦CD⊥AB,垂足为E,则下列结论正确的有( )
(1)CE=DE (2) = (3) =
(4)∠BAC=∠DAB (5)AC=AD (6)∠ACD=∠ADC
(A)3个 (B)4个 (C)5个 (D)6个
6． 如图,已知半径为5的⊙O中,弦AB=6,C,D分别为AB, 的中点,求CD的长.
7.如图,有一座圆弧石拱桥,拱形的半径OA=10m,其跨度(即弦AB的长)为16m.
(1) 求拱高(即弓形的高);
(2) 若水面离拱顶的距离为2m时,求水面的宽度.
[综合运用]
8.如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点,
求证:AC=BD.
9. (1)如图,圆形下水道横截面的水面宽AB=80cm,下水道的内径（内直径）是100cm,求下水道中最深处的水深
(2)如果不给出图形,那么问题(1)有几种可能呢 并求出所有可能的答案.
［拓广探索］
10．如图,AB为⊙O的直径,直线L与⊙O交于C、D两点,AE⊥直线L于E,BF⊥直线L于F,
(1)求证:EC=DF;
(2)若直线L向上平移与直径AB相交于点P(P不与A、B重合).在其它条件不变的情况下,请你在圆中将变化后的图形画出来,标出相应字母并写出与(1)相应的结论,判断你的结论是否成立,若不成立,请说明理由,若成立,请给予证明.
§24.1.3 弧、弦、圆心角
例1：如图24-5,已知AB是⊙O的直径,M、N分别是AO、BO的中点, CM⊥AB于M,DN⊥AB于N.求证: =
分析:证明两弧相等的几种常见思路: ①等弧的定义;②弧所对的圆心角相等或弧所对的弦相等．
证明:连结OC、OD
∵M,N分别是AO,BO的中点.
∴OM=OA,ON=OB
又∵OA=OB, ∴OM=ON
又∵CM⊥AB,DN⊥AB
∴∠CMO=∠DNO=Rt∠
在Rt△CMO和Rt△DNO中,
∴Rt△CMO≌Rt△DNO(HＬ)
∴∠COM=∠DON
∴=
拓展:若连结AD、BC,求证: AD=BC.
例2.已知: 如图24-６,⊙O上有A,B,C,D四点,且满足==,连结OB交AC于M,连结OC交BD于N．求证:△OMN是等腰三角形.
分析: 由==易得AC=BD,要证OM=ON
只需证OB⊥AC,OC⊥BD即可.
证明: ∵==,
∴= ,B是的中点,C是 的中点
∴AC=BD,OB⊥AC,OC⊥BD ∴CM=BN, ∠OMC＝∠ONB=Rt∠
又∵∠MOC＝∠ONB Rt△OMC≌Rt△ONB(AAS)
∴OM=ON ∴△OMN为等腰三角形
拓展:若添加“AD为⊙O的直径”这个条件,求证:△OMN是等边三角形.
能力训练
[复习巩固]
1.在⊙O中,弦AB把⊙O分成1:5两部分,则的度数是( )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
2.在同圆或等圆中,如果=,则AB与CD的关系是( )
(A)AB＞CD (B)AB=CD (C)AB＜CD (D)AB=2CD
3.在⊙O中,AB是弦,∠OAB=50°,则弦AB所对的圆心角为_________度.
4.在⊙O中,若弦AB的长等于半径,那么这条弦所对的劣弧的度数为____°;∠AOB=___°
5.如图,已知⊙O的直径AB和弦AC,且比的度数大36°,
则∠BOC的度数为______.
6.已知:如图,在⊙O中,M,N分别是弦AB,CD的中点,且AB=CD,
求证:∠AMN=∠CNM.
7． 已知,如图AB、CD为⊙O的两条直径,弦CE∥AB, 的度数为40°,求∠BOC的度数.
[综合运用]
8． 已知: 如图,OC为⊙O的半径,D为OC的中点,弦AB过点D,AB⊥OC,求劣弧的度数.
9． 已知:如图,AD是⊙O的一条弦,B,C是弦AD上的点,AB=CD,连结OB,OC,分别延长OB,OC交⊙O于E,F,求证: =.
［拓广探索］
10.如图,弦CD交⊙O的直径AB于点E,OF⊥CD,垂足为F,AE:EB=5:1,OA=6cm,∠AEC=30°,
求OF、CD的长.
§24.1.4 圆周角(1)
例1.已知:如图24-7,在⊙O中,弦DA、BC的延长线相交于点P,AB、CD相交点E,
且=80°, =30°,求∠BED及∠P的度数.
分析:∠BDQ与∠P既不是圆心角也不是圆周角,于是应转化为圆周角.
解: ∵=80°
∴∠BAD=∠BCD=40°
又∵=30°,∴∠ADC=∠ABC=15°
∴∠BQD=∠BAD+∠ADC=40°+15°=55°
∠P=∠BAD-∠ABC=40°-15°=25°
拓展: 若=m°, =n°(m＞n),求∠BQD及∠P的度数.(用m、n的式子表示)
例2.已知:如图24-8,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆分别交BC,AC于D,E.
(1) 求证:D是BC的中点.
(2) 若∠A=50°,求、、的度数.
分析: (1)利用等腰三角形 “三线合一”性质.
(2)求弧的度数通常转化为求圆心角或圆周角的度数.
解: (1)连结AD
∵AB为⊙O的直径 ∴∠ADB=90°,
又∵AB=AC, ∴D是BC的中点.
(2)∵∠BAC=50°,AB=AC
又∵D是BC的中点
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=25°
∴=2×25°=50°, =2×25°=50°
∴=180°-50°×2=80°
拓展: (2)中的∠A=50°改为60°,求证:BD=DE=AE.
能力训练
［复习巩固］
1. 一个圆心角为68°,则它所对的弧所对的圆周角为________.
2. 如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,∠BDC=25°,则∠BOC=_____度, 为_____度.
3. 如图,AB是⊙O的直径,若AB=4cm,∠D=30°,∠B=_____°,AC=_____cm.
4. 已知:如图,A、B、C是⊙O上的三点, 的度数是50°,∠OBC=40°,则∠ACO=( )
(A)15° (B)25° (C)30° (D)40°
5.如图,弦AB,CD相交于点E, ∠A=40°,∠AED=75°,则∠B=( )
(A)115° (B)40° (C)75° (D)35°
6.如图,⊙O的两条弦AE、BC相交于点D,连结AC、BE、AO、BO,
若∠ACB=60°,则下列结论正确的是( )
(A)∠ADC=60° (B)∠ADB=90° (C)∠AEB=60° (D)∠CBE=30°
7.已知:如图,∠A是⊙O的圆周角,且∠A=50°,求∠OBC的度数.
[综合运用]
8.已知:如图点A、B、C、D都在⊙O上.
(1) 求证:∠ABC+∠ADC=180°;
(2) 如果AC平分∠BAD,请找出所有与∠BAC相等的角,
并选取一对加以说明．(至少需要两步才能完成的)
9.如图,在⊙O中 ,弦AB等于⊙O的半径,且OC⊥AB交⊙O于C,求∠ABC的度数.
［拓广探索］
10.已知:如图,在⊙O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD.
(1) 若点P是优弧上一点(不与C、D重合)时,求证:∠CPD=∠COB.
(2) 若点P’在劣弧上一点(不与C、D重合)时,∠CP’D与∠COB有什么数量关系 请证明你的结论.
§24.1.4 圆周角(2)
例1.已知: 如图24-9,半径OA⊥直径BC,弦DE∥OA交BC于点F,且OF=BF,求∠BAD的度数.
分析: 求圆周角的度数往往转化为同弧或等弧所对的圆心角的度数.
解: 连结OD
∵半径OA⊥直径BC ，弦DE∥OA ∴∠DFO=Rt∠
又∵OF=BF ∴OF=OB=OD ∴∠ODF=30°
∴∠DOF=60° ∴∠BAD=30°
拓展: 在上述的条件下求∠AGB的度数.
例2. 已知,如图24-10,BF、CE是⊙O的直径, ==,求证:∠OBN=∠OCM.
分析: 在同圆或等圆中要证两个圆周角相等常用的方法有:
1 圆周角所对的弧(或弦)相等; ②三角形全等;③等角的余角相等
证法(一): 连结AE、EF.
∵BF,CE是⊙O的直径,∴∠BDF=∠CAE=Rt∠
又∵==
∴+=+
即=
∴∠BFD=∠AEC，∴∠OBN=∠OCM(等角的余角相等)
证法(二): 连结AE、DF
∵BF,CE是⊙O的直径
∴=
∵==
∴--=--
∴=,
∴∠OBN=∠OCM
证法(三): 利用△ACE≌△DBF(AAS)过程略
拓展: 在上述条件下求证: OM=ON.
能力训练
［复习巩固］
1．如图，AB为⊙O的直径，P，Q，R，S为圆上不同的
四点（都不与A、B重合），下列判断正确的是（ ）
(A)∠APB为锐角 (B)∠AQB为直角 (C)∠ARB为钝角 (D)∠ASB＜∠ARB
2.已知:如图，AB是⊙O的直径,C、D是⊙O上两点,∠BAC=20°,
= ,则∠DCA的度数是( )
(A)30° (B)35° (C)45° (D)70°
3.已知,如图,AC是⊙O的直径,点B,D在⊙O上,图中等于∠BOC的角有( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
4.已知:如图过点A的两条直线分别交⊙O于点B、C、D、E, 的度数为92°, 的度数为38°,则∠A=_______.
5. 如图,AB是⊙O的直径,C,D,E都是⊙O上的点,则∠1+∠2=______.
6. 如图,A、B、C、D是⊙O上四点,且D是的中点,CD交OB于E,∠AOB=100°,
∠OBC=55°,求∠OEC的度数.
7．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=50°，∠ABC=47°，求∠AOB．
[综合运用]
8.如图,以等腰△ABC的底边BC为直径所作的半圆分别交AB、AC于D、E,若∠BAC=50°,求、度数.
9.已知,AB、CD是⊙O的两条弦,且AB∥CD,猜想与的关系,并证明你猜想的正确性.
［拓广探索］
10.已知：AB是⊙O的直径,AC是弦,AB=2,AC=,在图中画出弦AD,使AD=1,并求出∠CAD的度数.
§24.2 与圆有关的位置关系
课前热身
● 设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:点P在圆外_________;
点P在圆上________;点P在圆内____________.
●不在同一直线上的________确定一个圆.
●经过三角形的三个顶点的圆,叫做这个三角形的_____圆,圆心叫做这个三角形的______心;与三角形各边都相切的圆,叫做这个三角形的______圆,圆心叫做这个三角形的_____心.
●设⊙O的半径为r,圆心到直线L的距离为d,则有:直线L和⊙O相交_____________;直线L和⊙O相切________;直线L和⊙O相离________.
●经过半径的________并且____________于这条半径的直线是圆的切线.
●圆的切线________于过切点的半径.
●两圆的位置关系有_________、_________、_________、_________、_________.
§24.2.1 点和圆的位置关系
例1：如图24-11,已知，用直尺、圆规画出它的圆心.
分析: 因为不在同一直线上的三个点确定一个圆,所以只
要在上任取一点C(不同于A、B)即可.
解:在上任取一点C,连结AC、BC，分别作AC、BC的垂直平分线，交点记为O,则点O就是所求作的圆心.
拓展: 请你介绍其他方法.
例2. 已知：如图24-12,在Rt△ABC中,∠ACB=Rt∠,∠A=30°,CD⊥AB于D,DE⊥BC于E,F为AB中点,若以D为圆心,CD为半径画⊙D,试判断B、E、F与⊙D的位置关系.
分析: 把判断B、E、F与⊙O的位置关系转化为比较BD,ED,FD与CD的大小问题.
解: ∵∠A=30°,∠ACB=Rt∠,∴∠B=60°
又∵F为AB的中点,∴CF=AB=BF
∴△BCF为等边三角形
又∵CD⊥AB,∴BD=DF＞DE,∠BCD=30°
又∵DE⊥BC,∴DE=CD
∴点E在⊙D上,点B、F在⊙D外.
能力训练
［复习巩固］
1.三角形的外心是( )
(A)三条边上的中线的交点 (B)三个角的平分线交点
(C)三条边上的高线交点 (D)三条边的垂直平分线交点
2.能确定一个圆的条件是( )
(A)圆心 (B)半径 (C)直径 (D)以上都不对
3.已知⊙O的半径为5cm,O到直线L的距离OP=3cm,Q在直线L上,且PQ=4.2cm,则点Q( )
(A)在⊙O内 (B)在⊙O上 (C)在⊙O外 (D)以上情况都有可能
4.若△ABC的外心不在△ABC内,那么△ABC是( )
(A)直角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形或钝角三角形 (D)不能确定
5.圆上的点到圆心的距离都等于________,反过来,到圆心的距离等于半径的点都在_________.
6. 直线L与⊙O相交于点A、B,点O到直线L的距离是2cm,∠OAB=45°，若OM=cm，ON=2cm，OP=2cm，则点M在⊙O______,点N在⊙O______,点P在⊙O_____.
7. 已知：点O是△ABC的外心,且∠BOC=128°,求∠A的度数.
[综合运用]
8. 如图,有一破残的轮片,现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件,请你根据所学的有关知识,设计两种方案,确定这个圆形零件的半径.
9. 已知:如图,在△ABC中,∠ACB=Rt∠,AC=4cm,AB=5cm,CD⊥AB于D,以点C为圆心,3cm长为半径画圆,那么点A、D、B与圆的位置关系怎样 并加以说明.
［拓广探索］
10.(1)已知一个长方形ABCD,能否画出一个圆,使它的四个顶点都在同一个圆上 试一试.
(2)已知一个等腰梯形ABCD,能否画出一个圆,使它的四个顶点都在同一个圆上 试一试,若能请测量各内角的度数.
(3) 已知一个平行四边形ABCD(不是特殊的平行四边形),能否画出一个圆,使它的四个顶点都在同一个圆上
(4) 已知任意四边形ABCD能否画出一个圆,使它的四个顶点都在同一个圆上,若能测量各内角的度数,若不能,画图举个反例.
根据以上画图、测量及思考,你能领悟到什么
§24.2.2直线和圆的位置关系(1)
例1：如图24-13，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，斜边AB=6cm，
以C为圆心，R为半径作圆.试写出下列三种情况下R的取值范围.
（1）⊙C与直线AB相离；（2）⊙C与直线AB相切；
（3）⊙C与直线AB相交；
分析：判断直线与圆的位置关系，关键是求出圆心到直线的距离
（即此三角形斜边上的高CD的长），比较它与圆的半径的大小关系．
解：过点C作CD⊥AB于D
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=6cm，
∴AC=3cm
又∵AC×BC=AB×CD
∴CD=cm
(1) 当⊙C与直线AB相离时,O＜R＜cm
(2) 当⊙C与直线AB相切时,R=cm
(3) 当⊙C与直线AB相交时,R＞cm
例2.如图24-14,直角梯形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD∥BC,E为AB上的一点,
DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系 请加以说明.
分析：要求以AB为直径的圆与CD的位置关系，
只需比较圆心到CD的距离与的大小即可，
于是本题的关键是找出圆心，再求出圆心到CD的距离.
解:以AB为直径的圆与边CD是相切关系.
理由:过点E作EF⊥CD于F,∵DE平分∠ADC,CE平分∠BCD
又∵∠A=∠B=90°,∴AE=EF=BE=AB
∴以AB为直径的圆与边CD相切.
拓展:直角梯形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD∥BC,且AD+BC=CD,以CD为直径的圆与AB的位置关系怎样 请加以说明.
能力训练
［复习巩固］
1.在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,若以C为圆心,2.5为半径作⊙C,则⊙C与AB所在的直线的位置关系是( )
(A)相离 (B)相切 (C)相交 (D)无法确定
2.已知圆的半径为6.5，如果一条直线和圆心的距离为9cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（ ）
(A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)相交或相离
3.已知⊙O的最长的弦长为m,直线L与⊙O相离,设直线L与点O的距离为d,则下列判断中成立的是( )
(A)d=m (B)d＞m (C)d＞ (D)d＜
4．OA平∠BOC,P是OA上任一点(O除外),若以P为圆心的⊙P与OC相离,那么⊙P与OB的位置关系是( )
(A)相离 (B)相切 (C)相交 (D)相交或相切
5. 如图，∠ABC=90°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，
BO长为半径作画⊙O，当射线BA绕点B按顺时针方向旋
转________度时与⊙O相切．
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,以C为圆心,r为半径的圆与AB有何位置关系 为什么 (1)r=4cm (2)r=4.8cm (3)r=6cm
7.在直角坐标系中,⊙O的圆心坐标为(m,0),半径R=2,求下列各种情况下m的取值范围．
(1)⊙M与y轴相切; (2)⊙M与y轴相交; (3)⊙M与y轴相离．
[综合运用]
8.如图,以O为圆心,方圆4海里范围内有暗礁,某船行驶到距点O正西8海里的A处接到消息,则该船向南偏东最大多少度航行时才不会触礁
9.在射线OM上取一点A,使OA=4cm,以A为圆心,作一直径为4cm的⊙A,试问过点O的射线OB与⊙A所夹的锐角α取什么值时,射线OB与⊙A: (1)相离;(2)相切;(3)相交.
［拓广探索］
10. 已知MN是一条直线,AB是⊙O的直径,且AB=2R,设A、B到直线MN的距离分别为x,y,O到直线MN的距离为d.
(1)当直线MN与⊙O相切时，如图(1),则 x,y,d之间的关系式为_________ ;
(2)当直线MN与⊙O相离时,如图(2),如果直线MN与AB所在的直线垂直时,则x,y,d之间的关系式为____ _；如果直线MN与AB所在的直线不垂直时,则x,y,d之间的关系式为______.
(３) 当直线MN与⊙O相交时, 如图(３)，如果直线MN与AB所在直线的交点在线段AB的延长线上时,则x,y,d之间的关系式为________ _；如果直线MN与AB所在直线的交点在线段AB上时,则x,y,d之间的关系式为________ _．
§24.2.2 直线和圆的位置关系(2)
例1. 如图24-15,已知P是⊙O外一点,连接PO交⊙O于C,弦AB⊥OP于D,
若∠DAC=∠CAP, 求证:PA是⊙O的切线.
分析: 要证PA是⊙O的切线,而点A又是⊙O上一点,
所以只要证明OA⊥PA即可.
证明: ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA
又∵∠OCA=∠CAP+∠P
∴∠OAP=∠OAC+∠CAP=∠OCA+∠CAP=∠CAP+∠P+∠CAP
又∵∠DAC=∠CAP
∴∠OAP=∠CAP+∠P+∠DAC 即∠OAP=∠DAP+∠P
又∵AB⊥CP于D, ∴∠ADP=90°
∴∠DAP+∠P=90° ∴∠OAP=90°
∴PA是⊙O的切线.
拓展: 把条件“∠DAC=∠CAP”与结论“PA是⊙O的切线”交换位置,请加以证明.
例2. 如图24-16,AB是⊙O的直径,AD是弦,过B点的切线与过点O且平行于AD的直线交于点C,连结CD,求证:CD是⊙O的切线.
分析: 要证CD是⊙O的切线,只需证OD⊥CD.
证明: 连结OD,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA
又∵AD∥OC,∴∠OAD=∠BOC,∠ODA=∠DOC,∴∠DOC=∠BOC
在△DBC和△ODC中, ∴△ODC≌△OBC(SAS)
∴∠ODC=∠OBC, 又∵AB是⊙O的直径,BC是⊙O切线,
∴∠OBC=Rt∠, ∴∠ODC=Rt∠, ∴CD是⊙O的切线.
拓展: 把条件“AD∥OC”与结论“CD是⊙O的切线”交换位置,请你加以证明.
能力训练
［复习巩固］
1. 如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,且AB=AC,
则∠C的度数是_______.
2. 如图,⊙O的半径OD为5cm,直线L⊥OD,垂足为O,则直线L
沿射线OD方向平移____cm时与⊙O相切.
3.已知A、B是⊙O上两点,点M是的中点,过点M作直线CD
平行于弦AB,则CD与⊙O的位置关系是__________.
4.下列说法中正确的是( )
(A) 和圆的半径垂直的直线是圆的切线
(B) 经过半径外端的直线是圆的切线
(C) 经过半径的端点,且垂直于这条半径的直线是圆的切线
(D) 到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线
5.如图,点A、B、C、D依次在⊙O上,点P在⊙O外,PDB是⊙O的割线,
下列条件中,能推出PA是⊙O切线的是( )
(A)PA=PC (B)点A在以PO为直径的圆上
(C)∠PAC=∠ABC (D)AB=CB
6.以三角形的一边为直径的圆切这个三角形的另一边,则该三角形为( )
(A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)等边三角形
7.已知：如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,且AC=BC,延长AC到D,使CD=AC,连结BD,求证:BD是⊙O的切线.
[综合运用]
8.如图,在⊙O中,BC是直径,A是⊙O上一点,过点A作一直线AP,使点P与点C在AB的两旁.
(1) 若∠PAB=∠ACB,试判断直线PA与⊙O的位置关系,并说明理由.
(2) 若∠PAB＞∠ACB,那么直线PA与⊙O的位置关系又怎样呢
9.已知: 如图,AB是⊙O的直径,BD=OB,∠CAB=30°.
(1) 求证: CD是⊙O的切线.
(2) 请根据已知条件和所给图形,写出不同于(1)的三个正确结论(除OA=OB=BD外).
［拓广探索］
10.已知:△ABC内接于⊙O,过点A作直线EF.
(1) 如图甲,AB为⊙O的直径,要使EF是⊙O的切线,还需添加的条件是(只需写出两种情况)
①_____________________ ；②_________________________．
(2) 如图乙,AB为非直径的弦,∠CAF=∠B,求证: EF是⊙O的切线.
§24.2.2 直线和圆的位置关系(3)
例1：如图24-17,⊙O是△ABC的内切圆,切AB、AC于点D、E.
(1) 如果∠DOE=100°,∠ACB=60°,求∠ABC的度数;
(2) 如果∠A=70°,求∠BOC的度数．
分析: 在△ABC中已知∠ACB求∠ABC,应把问题转化为先
求出∠A,而∠A与∠DOE之间又有什么数量关系呢
利用圆心与切点的连线垂直于经过切点的切线及三角形内切圆的圆心是三内角平分线的交点.
解: (1)∵AB、AC分别切⊙O于D、E
∴∠ODA=∠OEA=90°,
又∵在四边形ADOE中,∠ODA+∠OEA+∠DOE+∠A=360°
∴∠A=360°-90°-90°-100°=80°
在△ABC中, ∠A+∠ABC+∠ACB=180°
又∵∠ACB=60°, ∴∠ABC=180°-60°-80°=40°
(2)∵∠A=70°, ∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°
又∵⊙O是△ABC的内切圆
∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB
∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)= ×110°=55°
又∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-55°=125°
拓展: 由(2)你能猜想∠BOC与∠A之间的数量关系吗
例2.如图24-18,在直角坐标系xoy中,已知点A(8,0),点B(0,6).
⊙O’为△AOB的内切圆,切点分别为E、F、G,CD切⊙O’于H,分别
交OA、AB于C、D.
(1) 求证: OB+CD=OC+BD；
(2) 若OC+BD=9,求四边形OBDC的周长.
分析: 要证OB+CD=OC+BD，即证四边形OBDC的两组对边之和相等,而四边形的各边都是⊙O’的切线,于是根据切线长相等得到四组相等的线段.
(1)证明: ∵⊙O’为△AOB的内切圆,切点分别为E、F、G.
又∵CD切⊙O’于H,∴OE=OG,EC=CH,DF=DH,BF=BG
∴DE+EC+DF+BF=OG+CH+DH+BG,即OC+BD=OB+CD.
(2)由(1)得: OB+CD=OC+BD,
∵OC+BD=9,∴C四边形OBDC=2(OC+BD)=2×9=18.
拓展: 若OC+BD=9,求CD的长.
能力训练
［复习巩固］
1.如图,从点P引⊙O的切线PA、PB,切点分别为A、B,DE切⊙O于C,交PA、PB于D、E,若PA=10cm,则△PDE的周长是_______ cm.
2.如图,EB,EC是⊙O的两条切线,B、C为切点,A、D是⊙O上两点,如果∠E=46°,
∠DCF=32°,则∠A的度数为________.
3. 如图,PA,PB是⊙O的两条切线,切点为A、B,如果OP=4,PA=2,那么∠AOB等于( )
(A)90° (B)100° (C)110° (D)120°
4.已知P是⊙O外一点,PO的长等于半径的2倍,PA切⊙O于点A,弦AB⊥OP,且AB的长为a,则切线PA的长为( )
(A) a (B) a (C) 2a (D) a
5.I为△ABC的内切圆的圆心,如果∠A =110°,那么∠BIC等于( )
(A)55° (B)145° (C)125° (D)110°
6.已知线段PA、PB分别切⊙O于A、B两点,劣弧=120°,⊙O的半径为4,则线段AB的长为( )
(A) 2 (B)4 (C)6 (D)8
7.已知: 如图AB是⊙O的直径,C是AB延长线上的一点,CD是⊙O的切线,D为切点,过点B作⊙O的切线交CD于点E,若AB=CD=2,求BC及CE的长.
[综合运用]
8. 已知：如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在边AC上,CD是⊙O的直径,⊙O切AB于E,若BC=5,AC=12,求⊙O的半径.
9. 如图AB、CE、AC都是⊙O的切线,B、D、E为切点,P为弧上一点,若∠A+∠C=130°,求∠BPE的度数.
［拓广探索］
10.如图,PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点,延长半径OB到C,使BC=OB,连接PC．
求证:∠APC=3∠BPC.
§24.2.3 圆与圆的位置关系(1)
例1．已知两圆的半径之比为5：2，两圆内切时的圆心距离为9cm，求当两圆的圆心距分别为30cm，21cm，10cm，5cm时,相应的两圆位置关系.
分析:确定两圆的位置关系的因素有圆心距d及两圆的半径,本题的关键是先求出两圆的半径.
解: 设两圆的半径分别为5xcm,2xcm.
∵两圆内切时的圆心距为9cm
∴5x-2x=9,∴x=3
∴R=5x=15,r=2x=6
当d=30cm时,d＞R+r，故两圆外离.
当d=21cm时,d=R+r，故两圆外切
当d=10cm时,R-r＜d＜R+r，故两圆相交
当d=5cm时,d＜R-r,故两圆内含
拓展:把题中的“两圆内切时的圆心距为9cm”改为“两圆外切时的圆心距为21cm”,那么两圆的位置关系又怎样呢
例2.已知⊙O的半径为5cm,点P是⊙O外一点,OP=8cm.
求: (1)以P为圆心作⊙P1与⊙O外切,⊙P1的半径是多少
(2)以P为圆心作⊙P2与⊙O内切, ⊙P2的半径是多少
分析: 两圆相切包括内切和外切,当两圆外切时d=R+r,当两圆内切时d=R-r.
解: (1)如图24-19,∵⊙P1与⊙O外切,∴r1=OP-OA=8-5=3
∴⊙P1的半径为3cm
(2)∵⊙P2与⊙O内切.
∴r2=OP+OA=8+5=13
∴⊙P2的半径为13cm
拓展：与⊙P1、⊙P2、⊙O都相切的圆有几个？
能力训练:
［复习巩固］
1.已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm和4cm，若O1O2=10cm，则这两个圆的位置关系为_____.
2.两圆的半径之比为3:2,当这两个圆外切时,圆心距是10cm,那么,当两个圆内切时,其圆心距为_______cm.
3.已知两圆的半径分别为3和5,圆心距为x,且满足=x-3,|x-4|=4-x,则两圆的位置关系是__________.
4.已知两圆的半径分别是5cm和4cm,圆心距为7cm,那么两圆的位置关系是( )
(A)相交 (B)内切 (C)外切 (D)外离
5.如果两圆的半径分别为R和r(R＞r),它们的圆心距为d,且满足R2+d2-r2=2Rd,则两圆的位置关系一定是( )
(A)内切 (B)内切或外切 (C)外切 (D)相交
6.在平面直角坐标系中,两圆的圆心分别为(0,1)和(1,0),半径都是1,那么这两圆的位置关系是( )
(A)外离 (B)相切 (C)相交 (D)内含
7.已知两个同心圆,大圆的半径为9,小圆的半径为5,如果⊙O与这两个圆都相切,求⊙O的半径.
[综合运用]
8.如图,两同心圆中,大圆的弦AB切小圆于点C,若AB=8cm,OC=3cm,求大圆的半径.
9.已知⊙A,⊙B和⊙C两两外切,它们的圆心距分别为6cm,7cm和9cm,求这三个圆的半径.
［拓广探索］
10.如图,⊙O的半径OA=6,以A为圆心,OA为半径的⊙A交⊙O于B、C,求BC的长.
§24.2.3 圆和圆的位置关系(2)
例1：已知A、B两点相距4cm,分别以A、B为圆心,以2cm长为半径作圆,请回答下列问题:
(1)⊙A与⊙B的位置关系如何 (2)以4cm为半径,且与两圆都外切的圆有多少个
分析:利用两圆的圆心距与两圆半径之间的关系便可判断两圆的位置关系.
解: (1)∵rA=rB=2,d=4, ∴d=rA+rB
∴⊙A与⊙B外切.
(2)与⊙A和⊙B都外切的圆有2个.
拓展: “以4cm为半径,且与两圆都相切的圆有多少个 ”
例2.如图24-20,已知⊙O1与⊙O2外切于点P,并且⊙O与⊙O1, ⊙O2分别内切于M、N,
△O1O2O的周长为18cm,求⊙O的周长.
分析:设⊙O、⊙O1与⊙O2的半径分别为R、r1、r2,要求⊙O的周长,必须求出R,关键是找出R、r1、r2与△O1O2O周长之间的关系及相切两圆的圆心距与两圆半径之间的关系.
解: 设⊙O、⊙O1、⊙O2的半径分别为R、 r1、 r2.
∵⊙O1与⊙O2外切, ∴O1O2=r1+r2
又∵⊙O与⊙O1, ⊙O2都内切,∴O1O=R-r1, O2O=R-r2
又∵△O1O2O的周长为18
即R-r1+R -r2+r1+r2=18
∴2R=18,∴R=9
∴C⊙O=2πR=18π（cm）
答:⊙O的周长为18πcm。
拓展：当C△MON=27cm时，求∠O1OO2的度数。
能力训练
［复习巩固］
1.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,分别以A、B为圆心,以2cm和3cm长为半径作圆,则这两个圆的位置关系为( )
(A)外离 (B)相交 (C)外切 (D)内切
2.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和5cm,且两圆没有公共点,则圆心距d的长( )
(A)大于7cm (B)小于3cm (C) 大于0小于3cm或大于7cm (D)大于3cm且小于7cm
3.两圆的圆心都在x轴上,且两圆交于A、B两点,若点A的坐标为(3,2),则点B的坐标为( )
(A)(-3,2) (B)(3,-2) (C)(-3,-2) (D)(3,0)
4. ⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切,且半径分别为2cm,3cm,10cm,则△O1O2O3的形状是( )
(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰直角三角形
5.若两圆内切,圆心距为8,一个圆的半径为15,那么另一个圆的半径为____________.
6.已知⊙O1的半径为3cm, ⊙O2的半径为4cm,并且⊙O1与⊙O2相切,则这两个圆的圆心距为________.
7.⊙O的半径为2,点P是⊙O外一点,OP的长为3,那么以P为圆心且与⊙O相切的圆的半径为________.
[综合运用]
8.已知⊙A与⊙B外切, ⊙A、⊙B都与⊙C内切,且AB=8,BC=6,AC=10,求这三个圆的半径.
9.如图, ⊙O1和⊙O2相交于点A、B,且⊙O2的圆心O2在⊙O1上,若点P是⊙O2优弧AB上的一个动点( 不与A、B重合),若∠AO1B=60°,求∠APB的度数.
［拓广探索］
10.如图所示,两枚同样大小的硬币,其中一枚固定,另一枚在其周围滚动,滚动时两枚硬币总是保持一点接触(即相外切),当滚动的硬币沿固定的硬币滚动一周,回到原来的位置时,滚动的硬币自转的周数是多少
§24.3正多边形和圆
● 各边____并且各角_____的多边形叫做正多边形．
●正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的_____，外接圆的半径叫做正多边形的______，内切圆的半径叫做正多边形的______，每一边所对的圆心角叫做正多边形的__________．
●正ｎ边形的每个中心角都等于______，每个内角都等于 ．
●画正多边形的一般步骤：（1）将一个圆______ （2）顺次连结各_______．
●画正多边形的方法有两种：（1）用_______等分圆 （2）用_______等分圆．
§24.3正多边形和圆（1）
例题精析
例1.已知圆外切正四边形的边长为6，求该圆的内接正三角形的边心距．
分析：本题既有圆外切正四边形，又有圆内接正三角形，关键是画出清晰的图形，把外切正四边形的一个切点作为内接正三角形的一个顶点，圆的半径是相应两个直角三角形的公共边，然后解这两个具有公共边的直角三角形。因此，解题时应先求出圆的半径。
解：如图24-21，连结OA、OC，作OH⊥CD于H
在RtΔOAC中，∠AOC==45 AC=AB=3
∵OC⊥AB ∴OC=AC=3
在RtΔOHC中，∠COH=60
∴∠OCH=30 ∴OH=OC =
拓展：求该圆的内接正三角形的边长．
例2．某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：
同学甲：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形；
同学乙：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形，如图一，ΔABC是正三角形，==，可以证明六边形ADBECF的各内角相等，但它未必是正六边形；
同学丙：我能证明，边数是5时，它是正多边形，我想，边数是7时，它可能也是正多边形．
（1）请你说明乙同学构造的六边形各内角相等．
（2）请你证明：各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG，（如图二）是正七边形．
解：（1）证明：如图一，∵==，
∴∠ABD=∠BCE=∠CAF
又∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠ADB+∠ACB=180 ．
又∵ΔABC为正三角形，
∴∠ACB=60 ， ∴∠ADB=120 ． 同理可得，∠BEC=∠AFC=120 ．
在ΔADB与ΔBEC中，∠ADB=∠BEC=120 ，
∠ABD=∠BCE，
AB=BC，
∴ΔADB≌ΔBEC（SAS） ∴∠BAD=∠CBE．
∴∠DBE=∠ABD+∠CBE+∠ABC=∠ABD+∠BAD+60 ，
又∵∠ABD+∠BAD=180 -∠ADB=60 ∴∠DBE=120 ．
同理可知，∠DAF=∠FCE=120 ．
而AD与BD不一定相等，所以同学乙的论述是正确的．
（2）证明：如图二，连结AD、AC，则四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠BAD+∠C=∠ADC+∠B=180 ． ∵∠B=∠C
∴∠BAD=∠ADC， ∴∠DAB+∠B=180 ， ∴AD∥BC．
∴∠ACB=∠DAC， ∴AB=CD．同理可知，BC=ED=GF=AB=CD=EF=GA．
∴该七边形为正七边形．
拓展：根据以上探索过程，提出你的猜想．（不必证明）
能力训练
［复习巩固］
1．判断题
（1）各边都相等的多边形是正多边形．（ ）
（2）每条边都相等的圆内接多边形是正多边形．（ ）
（3）每个内角都相等的圆内接多边形是正多边形．（ ）
（4）所有正多边形都有对称中心．（ ）
2．已知一个正多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形的边数是（ ）
(A)8 (B)10 (C)12 (D)14
3．在半径为R的圆中，内接正方形与内接正六边形的边长之比为（ ）
(A)２∶１ (B) :1 (C)１∶２ (D)1∶
4．如图，若正ΔA１B１C１内接于正ΔABC的内切圆，则的值为（ ）
(A) (B) (C) (D)
5．有一边长为2cm的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住
这个图形，则这个圆形纸片的最小半径是_____cm．
6．如图，已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，阴影部分的面积为12，则⊙O的半径为_____．
7．已知正六边形的半径为20cm，则它的外接圆与内切圆组成的圆环的面积是_______ cm2．
[综合运用]
8．某校计划在校园内修建一座周长为12米的花坛，同学们设计出正三角形、正方形、正六边形和圆共四种图案，请问其中使花坛面积最大的是哪个图案？并且说明理由．
9．将一个边长为a的正方形硬纸板剪去四个角，使它成为正八边形．求此正八边形的边长a8 ．
［拓广探索］
10. 如图1、2、3、…、n，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON．
（1）图1中∠MON的度数是_________；
（2）图2中∠MON的度数是_________，图3中∠MON的度数是_________；
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是__________________（直接写出答案）．
§24.3正多边形和圆（2）
例题精析
例1已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形．
分析 正多边形的画法一般有两种：一是度量法，二是尺规法．
解：（1）度量法： ① 用量角器或30 角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30 ．
②用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120 ．
（2）尺规法：用圆规在⊙O上截取长度等于半径2cm的弦，连结AB、BC、CA即可．
（3）计算与尺规结合法： 由正三角形的半径与边长的关系可得，正三角形的边长=R=2cm．用圆规在⊙O上截取长度为2cm的弦AB、AC，连结AB、BC、CA即可．
能力训练
［复习巩固］
１．用量角器等分圆：把半径为2cm的圆五等分．
２．要在一张圆形纸板上截出一个面积最大的正八边形，试画出这个正八边形．
３．请观察下列图案，分析图案结构，画出图案．
４．如图，已知正五边形ABCDE，求作正五边形ABCDE的外接圆和内切圆．
５．已知⊙O和⊙O上一点P．求作⊙O 的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH．
6．画出你喜欢的三个不同的圆内接正多边形(画图工具不限,但要保留画图痕迹)
[综合运用]
7．如图，有一木制圆形脸谱工艺品，、两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点处打一小孔．现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你用两种不同的方法确定点的位置（画出图形表示），并且分别说明理由．
理由是：
8．我国民间相传有五边形的近似画法，画法口诀是：“九五顶五九，八五分两边”．它的意义如图：如果正五边形的边长为10，作它的中垂线AF，取AF=15．4，在AF上取FM=9．5，则AM=5．9，过点M作BE⊥AF，在BE上取BM=ME=8，连结AB、BC、DE、EA即可．请用民间相传画法口诀，画一个边长为20mm的正五边形．
9．某学校在教学楼前的圆形广场中，准备建造一个花坛，并在花坛内分别种植牡丹、月季和杜鹃三种花卉．为了美观，种植要求如下：
(1)种植4块面积相等的牡丹，4块面积相等的月季和一块杜鹃；
(2)花坛边界只能种植牡丹花，杜鹃花种植在花坛中间且与牡丹没有公共边；
请你设计几种种植方案．
［拓广探索］
10.李大爷有一边长为a的正方形鱼塘图①，鱼塘四个角的顶点A、B、C、D上各有一棵大树.现在李大爷想把原来的鱼塘扩建成一个圆形或正方形鱼塘（原鱼塘周围的面积足够大），有不想把树挖掉（四棵大树要在新建鱼塘的边沿上）.
(1)若按圆形设计，利用图①画出你所设计的圆形鱼塘示意图，并求出圆形鱼塘的面积；
(2)若按正方形设计，利用图②画出你所设计的圆形鱼塘示意图；
(3)你在（2）所设计的正方形鱼塘中，有无最大面积？为什么？
(4)李大爷想使新建鱼塘面积最大，你认为新建鱼塘的最大面积是多少？
§24.4弧长和扇形面积
●在半径为R的圆中，n 的圆心角所对的弧长L=_______．
●在半径为R的圆中，n 的圆心角所对的扇形面积的计算公式有两个：（1）S扇形=______；
（2）S扇形=______．
● 圆锥的侧面展开图是一个_____，它的半径是圆锥的______，它的弧长是圆锥的_______．设圆锥的母线长为L，底面半径为R，那么这个扇形的半径为_____，扇形的弧长为______，圆锥的侧面积为______，全面积为_________．
§24.4.1弧长和扇形面积
例题精析
例1 已知扇形的圆心角为270 ，弧长为12π，求扇形的面积．
分析 根据扇形面积计算公式S扇形=，已知n=270 ，L=12π，不管用哪一种都必须先求出R，而借助弧长公式可以先求出R．
解法1：设扇形半径为R，∵ ∴
解法2：由解法1知：R=8 S扇形 =
例2：一个小孩荡秋千，秋千链子的长OA为2．5米，当秋千向两边摆动时，摆角∠BOD恰好为60 ，并且两边摆动的角度相同．求
（1）秋千摆至最高位置时与其摆到最低位置的高度差；
（2）秋千从B点摆至D点所走过的路程．（结果都精确到0.01m）
分析 由实例可抽象出如图24-24的扇形，从而问题（1）可用垂径定理解答，
而问题（2）即是求的弧长，可用弧长公式求解．
解：（1）如图，连结BD交OA于点C．
∵∠BOD＝60 ∴∠BOA=∠DOA=30 AO⊥BD
又∵OB＝OA＝2.5 ∴BC＝1.25
∴ OC=
在Rt△OCD中OA－OC=（米）
（2）的长（米）
能力训练
［复习巩固］
1． 半径为10cm，圆心角为60 的扇形中，它的弧长为_______ cm，面积为_______ cm２．
2． 如图，已知PA、PB切于⊙O于A、B两点，若PO=16cm，∠APB=60 ，则劣弧AB的长为________ cm．
3． 如图，一块边长为10cm的正方形木板ABCD，在水平桌面上绕着点D按顺时针方向旋转到A′B′C′D的位置，顶点B从开始到结束所经过的路径长为_______cm．
4．一个圆的直径等于一个扇形的半径,且它们的面积相等，则扇形的弧所对的圆心角是（ ）
(A)60 (B)90 (C)120 (D)150
5．如图，已知四边形ABCD，分别以A、B、C、D为圆心，以2为半径作圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
(A)π (B)2π (C)3π (D)4π
6．扇形的周长为14cm，面积为10cm ，此扇形的半径为（ ）cm
(A)2和 5 (B)3和 4 (C)5 (D)2
[综合运用]
７．如图，AB是半圆的直径，点E是BA延长线上的点， C、D是半圆周上的三等分点，若OA=R，求图中阴影部分的面积．
8. 下图中, 图(1)是一个扇形AOB,将其作如下划分:
第一次划分: 如图(2)所示,以OA的一半OA1为半径画弧,再作∠AOB的平分线, 得到扇形的总数为6个, 分别为: 扇形AOB、扇形AOC、扇形COB、扇形A1OB1、扇形A1OC1、扇形C1OB1;
第二次划分: 如图(3)所示, 在扇形C1OB1中, 按上述划分方式继续划分, 可以得到扇形的总数为11个;
第三次划分: 如图(4)所示;
……
依次划分下去.
(1)根据题意, 完成下表:
划分次数 扇形总个数
1 6
2 11
3
4
… …
n
(2)根据上表, 请你判断按上述划分方式, 能否得到扇形的总数为2006个 为什么
9．如图，有一圆形的马戏帐篷，其半径为20米，从A到B有一笔直的栅栏，长为20米．
（1）试求∠ACB的度数；
（2）某学校的学生在阴影区域里看马戏，密度为每平方米中有2个学生，试问该校有多少学生在看马戏？
［拓广探索］
10．如图，四边形ABCD为正方形，曲线DEFGHIJ…叫做“正方形ABCD的渐开线”，其中、、、、、……的圆心依次按ABCD循环，当渐开线廷伸开时，形成了扇形、、、和一系列的扇环、…当AB=1时，它们的面积、、、、S5=6π…，求扇环的面积Ｓ8．
6
§24.4.2圆锥的侧面积和全面积
例题精析
例1 一个圆锥的高是10,侧面展开图是半圆,求圆锥的侧面积.
分析 首先画出示意图24-25：欲求圆锥的侧面积，即求母线长L和底面半径r，由圆锥的形成过程可知，圆锥的高、母线和底面半径构成Rt△SOA，且SO=10，SA=L，OA=r，关键找出L与r的关系．侧面展开图是半圆，可得关系，即L=2r.
解：设圆锥的底面半径为r，扇形弧长为C，母线长为L.
由题意得，C=.
∴得L=2r ①
在Rt△SOA中,L2=r2+102 ②
由①②解得r=,L=
∴所求圆锥的侧面积为：S=πrL=π××=（cm2）
例2 某工厂要选一块矩形铁皮加工一个底面半径为20cm，高为40cm的锥形漏斗，要求只能有一条接缝。（接缝忽略不计）要想用料最省，请问应选择边长分别是多少的矩形？
分析:已知圆锥的高和底面半径,利用勾股定理可求出圆锥的母线长,它即是展开扇形的半径.扇形与矩形的位置关系有如图(1)(2)两种可能.矩形的宽即为扇形的半径.矩形的长通过计算可得.
解：∵圆锥底面半径r=20cm,高h=40cm
∴母线L==60cm.
展开图的圆心角θ==120°
如图(1)∵∠BOD=30°,OB=60
∴OD=30
∴矩形的长DE=200-60≈104
如图(2)∵∠BOC=60°,OB=60
∴OC=OB=30
∴矩形的长AC=OA+OC=60+30=90
通过计算应该选择图(2)情形,因此应选择长为90cm,宽为60cm的矩形铁皮.
能力训练
［复习巩固］
1． 一个形如圆锥的冰淇淋纸筒，其底面直径为6cm，母线长为8cm，围成这样的冰淇淋纸筒所需纸片的面积是________．
2．若一圆锥的侧面积为，母线长为3，则圆锥的高为_____，侧面展开图的圆心角为______．
3．如图，将半径为2的圆形纸片沿半径OA、OB将其裁成1∶3两部分，
用所得的扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为________．
4．圆锥的轴截面是一个边长为10cm的正三角形，则这个圆锥的底面积、
侧面积和全面积的比为___________．
5．小明要制作一个圆锥模型，其侧面是由一个半径为90cm，圆心角为240°的扇形纸片制成，还需一块圆形纸板做底面，那么这块圆形纸板的直径为（ ）．
（A）15cm （B）12cm （C）10cm （D）9cm
6．如图，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成
一个圆锥模型。设圆的半径为r，扇形的半径为R，则圆的
半径与扇形半径之间的关系为（ ）．
(A)R=2r (B)R=r (C)R=3r (D)R=4r
7．在RtΔABC中，已知AB=6，AC=8，∠A=90°。如果把RtΔABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S1；把RtΔABC绕直线AB旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S2，那么S1∶S2等于（ ）．
(A)2∶3 (B)3∶4 (C)4∶9 (D)5∶12
[综合运用]
8．如图，有一直径是1米的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角是90°的扇形ABC．
求（1）被剪掉的阴影部分的面积．
（2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是多少？（结果可用根号表示）
9．小明同学和小强同学合作,将半径为1m,圆心角为90°的扇形薄铁板围成一个圆锥筒,小明认为圆锥的高就等于扇形的圆心到弦AB的距离(即OC的长)如图(1),小强说这样计算不正确,你同意谁的说法 请通过计算说明理由.
［拓广探索］
10．如图，圆锥母线长为4，底面圆半径为1，一只小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈回到SA的中点C。请求出小虫爬行的最短距离？
数学活动1
我们常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空白，又不互相重叠，这在几何里叫做平面密铺(镶嵌)．我们知道，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和为3600时，就能够拼成一个平面图形．某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法：如果用x个正三角形、y个正六边形进行平面密铺，可得600×x＋1200×y＝3600，化简得x＋2y＝6．因为x、y都是正整数，所以只有当x＝2，y＝2或x＝4，y＝1时上式才成立，即2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图⑴、⑵、⑶．
①请你依照上面的方法研究用边长相等的x个正三角形和y个正方形进行平面密铺的情形，并按图⑷中给出的正方形和正三角形的大小大致画出密铺后的图形的示意图(只要画出一种图形即可)；
②如用形状、大小相同的如图⑸方格纸中的三角形，能进行平面密铺吗？若能，请在方格纸中画出密铺的设计图．
数学活动2
小红家的锅盖坏了，为了配一个锅盖，需要测量锅的直径（锅沿所形成的圆的直径），而小红家只有一把长20cm的直尺，根本不够长，怎么办呢？小红想了想，采取了以下办法：如图（1）所示，首先把锅平放到墙根，锅沿刚好靠到两墙，用直尺紧贴墙面量得MA的长如图（2）所示，即可求出锅的直径．请你说明她这样做的理由．
综合例析·综合训练
通过本章的学习，我们利用圆的对称性，探索了圆的一些重要性质；通过图形的运动，研究了点和圆、直线和圆、圆与圆的位置关系，还研究了圆和正多边形的计算．其中垂径定理的应用和切线的性质及判定是重点，切线的判定是难点．在运动变化中观察它们的关系，发现图形的性质，使直观操作和逻辑推理有机地整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续；通过许多性质的探索过程，丰富学生从事数学活动的经验和体会，进一步培养学生的合情推理能力；在简单的计算中让学生掌握转化的基本方法，结合圆的基本性质解决实际问题，进一步培养学生分析和应用知识解决问题的能力；进一步体会图形来源于现实，服务于现实．
综合例析
例1. 三角形的三边长分别为3cm,4cm,5cm,以三角形的三个顶点为圆心的三个圆两两外切,求这三个圆的半径.
分析:三角形的三边长分别是三个圆两两外切时的圆心距,建立方程组即可求解.
解: 设三个圆的半径分别为xcm,ycm,zcm.
由题意得:
①-②得: y-z=-1……④
③+④得: y=2
把y=2代入①得x=1
把y=2代入③得z=3
答: 这三个圆的半径分别为1cm,2cm,3cm.
拓展: 三角形的三边长分别为a,b,c,以三角形的三个顶点为圆心的三个圆两两外切,求这三个圆的半径(用含a、b、c的式子表示).
例2：如图24-2，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，直线l与AB的夹角为α，当直线l绕点A旋转时， 点O到直线l的距离d如何变化 直线l与⊙O的位置关系如何变化
分析：由已知得直线经过直径的一端A，那么直线l与⊙O的位置关系只有相交和相切两种．
解：如图，直线l与AB的夹角为α,点O到直线l的距离为d1，此时 d1
例3 如图24-29中的(1)、(2)、(3)、…、(m)是边长均大于2cm的三角形、四边形、五边形、…、凸n边形，分别以它们的各顶点为圆心，以1cm长为半径画弧，与两邻边相交，得到了3条弧、4条弧、五条弧、…、n条弧,请回答下列问题。
①图(1)中3条弧的弧长之和为_______；②图(2)中4条弧的弧长之和为________；
③图(3)中5条弧的弧长之和为_____；④求图(m)中n条弧的弧长之和为_____．（用n表示）
分析:在同圆中要求若干条弧长总和关键是求出各圆心角之和,从而把问题转化为求多边形的内角和.
解:l1==
同理： l2= l3=
lm=
拓展: 求所有图中的扇形面积总和.
例4.如图24-30,△ABC内接于⊙O,弦CM⊥AB于E,CN为直径,F是的中点,求证:CF平分∠NCM.
分析: 要证CF平分∠NCM通常证=,而=,于是只需证=,从而证∠CAN=∠BCM即可.
证法1: 连结AN,
∵CN是⊙O的直径, ∴∠CAN=90°
又∵CM⊥AB于E, ∴∠CEB=90°
又∵∠ANC=∠ABC(同弧所对的圆周角相等)
∴∠ANC=∠BCM
又∵F是的中点,∴=,∴∠ACF=∠BCF
∴∠ACF-∠ANC=∠BCF-∠BCM
即∠NCF=∠MCF
∴CF平分∠NCM
证法2. 连结OF
∵F是的中点, ∴OF⊥AB
又∵CM⊥AB, ∴OF∥CM
∴∠OFC=∠FCM
又∵OF=OC, ∴∠OCF=∠OFC
∴∠OCF=∠FCM
即∠NCF=∠FCM
∴CF平分∠NCM
拓展: 此题有多种证法,同学之间互相交流一下,把不同的证明在班级的橱窗内展评一下.
综合训练
［复习巩固］
1. 如图,PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,
则∠ABO-∠APB=_______.
2.如图, ⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,若∠COD=120°,OE=3cm,则OD=____cm.
3.两个圆内切,其中一个圆的半径为5,两圆的圆心距为2,则另一个圆的半径是______.
4.在半径为5cm的⊙O中,弦AB=6cm,弦CD=8cm,且AB∥CD,则AB与CD之间的距离为____cm.
5.已知⊙O的直径为6,P为直线L上一点,且OP=3,那么直线L与⊙O的位置关系是_____.
6.如图,已知∠AOB=30°,M为OB边上一点,以M为圆心, 2cm为半径作⊙M,若点M在OB边上运动时,则当OM=_____cm时,⊙M与OA相切.
7.如图AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,若∠B=50°,则∠A等于( )
(A)80° (B)60° (C)50° (D)40°
8.已知两圆的半径分别是2、3,圆心距为d,若两圆有公共点,则下列结论正确的是( )
(A)d=1 (B)d=5 (C)1≤d≤5 (D)1＜d＜5
9.如图,在⊙O中,弦AB=1.8, 圆周角∠ACB=30°,则⊙O的直径是( )
(A) 1．8 (B)3.6 (C)5.4 (D)不能确定
10.如图，四边形ABCD的各边都与⊙O相切，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为( )
(A)50 (B)52 (C)54 (D)56
11.已知⊙O的半径是2cm,画圆使它的半径为1cm,且与⊙O相切,这样的圆可以画( )
(A)2个 (B)4个 (C)8个 (D)无数个
12．一个底面半径为5cm,母线长为16cm的圆锥,它的侧面展开图的面积是( )
(A)80πcm2 (B) 40πcm2 (C) 80cm2 (D)40cm2
13.在平面直角坐标系中,⊙O1和⊙O2的半径分别为3和7,圆心O1的坐标为(0,6), O2的坐标为(8,0),试判断两圆的位置关系,并说明理由.
14.如图,等边△ABC的内切圆的面积为9π,求△ABC的周长.
15.已知：如图,AB是⊙O的直径，点P在BA延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD于D，连接BC，求证：BC平分∠PBD.
16.如图是“神舟五号”太空舱的示意图,太空舱的外表面须作特别处理,以承受重返地球大气层时与空气摩擦而产生的高热,求该太空舱要接受防高热处理的面积.(结果精确到0.1m2)
[综合运用]
17.如图,正三角形ABC的中心恰好为扇形ODE的圆心,点B在扇形内,要使扇形ODE绕点O无论怎样转动,△ABC与扇形重叠部分的面积总等于△ABC面积的,扇形的圆心角应为多少度 请说明你的理由.
18.某校八年级(1)班在黑板报版面设计过程中需将一个半圆面三等分,请你帮助她设计两种合理的等分方案.要求保留作图痕迹,并作简要的设计说明.
19．工人师傅为了检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）
将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A，B，E三个接触点，该球的大小就符合要求。
图2是过球心O及A，B，E三个接触点的截面示意图。已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD，BD⊥CD。请你结合图1中的数据。计算这种铁球的直径。
［拓广探索］
20．(1)如图①,O为边长为a的正方形ABCD的旋转中心,现将一块半径足够大,圆心角∠EOF为90°的扇形纸板的圆心落在点O上,并让其可绕点O旋转,扇形两边交正方形边上于M、N两点,则被纸覆盖的M到N之间的虚线长为__________,重叠部分的面积等于_________.
(2)如图②,将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的等边三角形和正五边形的中心O处,并将其绕点O旋转,当扇形纸板的圆心角∠EOF为______度时,与等边三角形的覆盖部分的总长为a;当扇形纸板的圆心角∠EOF为_______度时,与正五边形的覆盖部分的总长度为a.
(3)一般地,将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O处，并将纸板绕点O旋转，当扇形纸板的圆心角∠EOF为_____度时,与正n边形的覆盖部分的总长度为定值a,此时覆盖部分的面积是否也为定值 若是,那么它占整个正n边形面积的几分之几 若不是定值,请说明理由.
互动探究
在一次数学实验探究课中,需要研究两个同心圆内有关线段的关系问题,某同学完成了以下部分记录单：
记录单 (单位：㎝)
第一次 第二次 第三次
图形R=5R=3
AB 2.50 3.00 3.50
AC 6.40 5.33 4.57
AB·AC
(1) 请用计算器计算AB·AC的值,并填入上表的相应位置;
(2)对半径分别为R、r的两个同心圆,猜测AB·AC与R、r的关系式,并加以证明。
自我评估
A卷
一、 选择题（每小题4分，共32分）
1．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，若∠P=60°，PA=2，
则AB的长为（ ）
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
2.如图,AB是⊙O的直径,根据下列条件不能判定直线AT是⊙O切线的是( )
(A) AB=4,AT=3,BT=5 (B)∠B=38°,∠TAC=38°
(C)∠TAC=30°,BC=AC (D)∠T=∠B
3.已知⊙O1、⊙O2的半径分别为5cm和3cm，圆心距O1O2=7cm,则⊙O1与⊙O2的位置关系为( )
(A)相交 (B)内切 (C)外切 (D)外离
4.如图,实线部分是半径为9米的两条等弧组成的游泳池.若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心,则游泳池的周长为( )
(A)12π米 (B)18π米 (C)20π米 (D)24π米
5．若一个直角三角形的两边分别为6和8，则这个直角三角形外接圆直径是( )
（A）8 （B）10 （C）5或2 （D）10或2
6.过⊙O内一点M的最长弦的长为10cm,最短弦的长为8cm,那么OM的长为( )
(A)3cm (B)6cm (C) cm (D)9cm
7. 如图所示,四个正方形的边长都相等,其中阴影部分面积相等的图形的个数为( )
8.如图,已知大圆的周长记为C1,在大圆直径AB上恰好画得n个依次相切的等圆(圆心都在AB上),这n个等圆的周长和记为C2,那么C1和C2之间的关系是( )
(A) C1=nC2 (B) C1=πC2 (C) C1=C2 (D) C1=C2
二、填空题（每题4分，共24分）
9. 已知：如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,切点分别为D、E、F,
则∠EDF=______．
10.若直角三角形斜边长为10cm,其内切圆半径为2cm,
则它的周长为_____cm.
11.如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠OBC=35°,则∠A的度数是_______.
12.如图,点P是⊙O直径BC的延长线上的一点,过点P作⊙O的切线PA,切点为A,连结BA、OA、CA,过点A作AD⊥BC于D,请你找出图中共有______个直角(不要再添加辅助线).
13.如图,在⊙O中,∠AOB=100°,C为优弧AB的中点,则∠CAB=______.
14.如图,⊙O的直径CD与弦AB(非直径)交于点M,添加一个条件_________,就可以得到点M是AB的中点.
三、解答题（共44分）
15.（6分）如图⊙O的半径OA=2cm,以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D,若BD=1cm,求AB的长及∠A的度数.
16. （6分）如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3.5cm，请你用学过的知识帮助小明计算此光盘的直径.（精确到0.01 cm）
17.（6分）如图,PA是⊙O的切线,A为切点,PO交⊙O于点B,OA=3,OP=6,求切线PA长∠BAP的度数.
18.（8分）下面是两位同学的争论．
甲：“这道题不好算，给的条件也太少了！”
乙：“为什么你要这么说？”
甲：“你看，题中只告诉AB的长度等于20，却要求出阴影部分的面积！事实上我们连这两个半圆的直径各是多少都不知道呢．”
乙：“不过AB可是小圆的切线，而且它和大半圆的直径也是平行的呀！”
甲：“那也不顶用，我看一定是出题人把条件给遗漏啦！”
请问：真是甲说的这么回事吗？如果不是，你能求出阴影部分的面积来吗？
19.已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于点A、B，过点B作CD⊥AB，分别交⊙O1和⊙O2于点C、D．
（1）如图1，求证：AC是⊙O1的直径；
（2）若AC＝AD，如图2，连接BO2、O1 O2，求证：四边形O1C BO2是平行四边形；
20. 正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位，以O为原点建立平面直角坐标系．圆心为A（3，0）的⊙A被y轴截得的弦长BC＝8，如图所示，解答下列问题：
（1）⊙A的半径为＿＿＿＿＿；
（2）请在图中将⊙A先向上平移6个单位，再向左平移8个单位得到⊙D，观察你所画的图形知⊙D的圆心D的坐标是＿＿＿＿＿；⊙D与x轴的位置关系是＿＿＿＿；⊙D与y轴的位置关系是＿＿＿＿＿；⊙D与⊙A的位置关系是＿＿＿＿＿＿＿．
B卷
一、 选择题（每小题4分，共32分）
1.如图,PA切⊙O于A,PB切⊙O于B,OP交⊙O于C,
下列结论中错误的是( )
(A)∠1=∠2 (B)PA=PB (C)AB⊥OP (D)AB平分OC
2.如图,AB、AC与⊙O相切于B、C,若∠A=50°,点P是圆上异
于B、C的一动点,则∠BPC的度数为( )
(A)65° (B)115° (C)65°和115° (D)130°和50°
3.等腰△ABC内接于半径为10cm的圆,其底边BC的长为16cm,则S△ABC为( )
(A) 32cm2 (B)128cm2 (C) 32cm2或8cm2 (D) 32cm2或128cm2
4.在直角坐标系中,⊙C与y轴相切,与x轴相交于(1,0)和(9,0)两点,圆心C在第四象限,则点C的坐标是( )
(A)(3,-5) (B)(5,-3) (C)(5,-4) (D)(-5,3)
5.已知⊙O的半径为r,那么垂直平分半径的弦的长是( )
(A)r (B)r (C)2r (D)4r
6. 半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为( )
(A)1: : (B) ::1 (C)3:2:1 (D)1:2:3
7. 如图一个圆锥的侧面积为16,那么这个圆锥的母线L与底面半径r之间的函数关系的大致图象是( )
8. 如图,已知AB为⊙O的弦,P是AB上一点,若AB=10cm,PB=4cm,OP=5cm,
则⊙O的半径为( )
(A)2cm (B)7cm (C)2cm (D)6cm
二、填空题（每题4分，共24分）
9. 在Rt△ABC中,∠A=90°,以AB为直径的⊙O与AC的位置关系_______.
10.如图,A,B是⊙O上两点,且∠AOB=70°,C是⊙O上不与点A、B重合的任意一点,则∠ACB的度数是_____________.
11.P是⊙O外一点,过点P引⊙O的两条切线PA、PB且互相垂直,PO交⊙O于C,若⊙O的半径为R,则PA=________.
12.把一个半径为8cm的圆片,剪去一个圆心角为90°的扇形后,
用剩下的部分做成一个圆锥，则这个圆锥的高为_________cm.
13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,以AC为直径作圆与
斜边交于点P,则BP的长为___________.
14.图中正比例函数和反比例函数的图象相交于A、B两点,
分别以A、B为圆心,画与y轴相切的两个圆,若点A的坐标
为(1,2),则图中两个阴影面积的和是__________.
三、解答题（共44分）
15.（6分）如图,AB是⊙O的直径,弦CD与AB交于点E, 的度数为72°,
∠BCD=68°,求∠AED的度数.
16.（6分）如图，中，，AC＝2，AB＝4，分别以AC、BC为直径作半圆，求图中阴影部分的面积．
17.（6分）已知：如图,⊙O与⊙O1相交于A、B两点,过A点作直线分别交⊙O、⊙O1于点C、D,过点B作直线分别交⊙O、⊙O1于E、F,求证:CE∥FD.
(提示:连结AB,且∠DAB+∠DFB=180°)
18.（8分）已知：如图,⊙O的半径为2cm,A为⊙O上一点,请以A为圆心,2cm长为半径画一个⊙A,并回答下列问题:
(1)⊙O与⊙A的位置关系怎样
(2)若⊙O与⊙A相交于B,C两点,请问△ABO是什么三角形;
(3)四边形ABOC是什么四边形,说说你的理由;
(4)线段OA与BC之间有什么关系
19.（8分）如图,AB是⊙O的直径,以OA为直径的⊙O1与⊙O的弦AC相交于点D且DE⊥OC,垂足为E.
(1) 求证:AD=DC; (2)求证:DE是⊙O1的切线;
(2) 如果OE=EC,猜想:四边形O1OED是什么四边形
并证明你猜想的合理性和正确性.
20.（10分）如图所示，AB是半圆O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合），点Q在半圆O上运动，且总保持PQ＝PO，过点Q作半圆O的切线交BA的延长线于点C．
（1）∠QPA＝60°时，请你对△QCP的形状作出猜想，并给予证明；
（2）当QP⊥AB时，△QCP的形状是___________三角形；
（3）由（1），（2）得出的结论，请进一步猜想当点P在线段
AM上运动到任何位置时，△QCP一定是__________三角形．
参考答案
§24.1.1 圆
1. 1, 1,5, , , ,
2. 0＜AB≤10
3. 6
4. A 5.D 6.C 7. 弦AC,弦BC,弦AB；弧AC,弧ABC,弧BC,弧CAB,弧AB,弧ACB
8.（1）、（2）略 （3）如图
9.(1)6,12 (2), n(n-1)
10. PA＜PC＜PB
§24.1.2 垂直于弦的直径
1.5, 9 2. 3 3. A 4. C 5.D 6.CD的长为1
7.(1)4m (2)12m
8. 提示: 过O点作OE⊥AB,利用垂经定理即可
9. (1)80cm (2)有两种可能,下水道中最深处的水深20cm或80cm．
10.(1)提示:过O点作OM⊥直线L；（2）结论仍然成立，证明略．
§24.1.3弧、弦、圆心角
1.C 2. B 3. 80 4. 60°,60° 5. 72° 6.提示: 连结OM、ON．
7.提示: 连接OE,∠BOC =70° 8.提示: 连结OA或OB,劣弧 的度数是120°
9.提示: 连接OA,OD,只要证∠AOE=∠DOF即可.
10. OF=2cm, CD=
§24.1.4圆周角（1）
1.34° 2.50, 130 3. 30°, 2 4.A 5. D 6. C 7. ∠OBC=40°
8.(1)证明: ∵∠ABC+∠ADC + ×360°=180°
(2)与∠BAC相等的角有：∠CAD 、∠BDC、∠CBD.
9.∠ABC==15° 10.(1)略 (2)∠CP’D+∠COB=180°(∠CP’D与∠COB互补)
§24.1.4圆周角（2）
1. B 2. B 3. C 4. 27° 5. 90° 6. ∠OEC=80° 7. 166°
8. =50°, =80°
9. 猜想：= （一题多解） 提示: 连结AD或BC；取的中点E，连接OE．
10.∠CAD=15°或105°
§24.2.1 点和圆的位置关系
1.D 2. C 3. D 4. C 5. 半径, 圆上 6. 内,上,外
7.∠A=64° 8.略
9.点A在⊙C外,点D在⊙C内,点B在⊙C上
10.(1)能;(2)能;(3)不能;(4)不一定,领悟到：对角互补的四边形内接于圆
§24.2.2直线和圆的位置关系(1)
1.C 2. C 3. C 4. A 5. 60° 6.（1） 相离 （2）相切（3）相交
7.(1)m=±2 (2)-2＜m＜2 (3)m＞2或m＜-2 8.60°
9.(1)30°＜α＜90°; (2)α=30°; (3)0°＜α＜30°
10.(1)d=(x+y) (2)d=(x+y),d=(x+y) (3)d=( x+y),d=( y -x)
§24.2.2直线和圆的位置关系(2)
1. 45° 2. 5cm 3. 相切 4. D 5. B 6. C
7.提示: 只要证明∠ABD=90°
8.(1)提示: 连结OA,再证明∠OAP=90°； (2)相交．
9.(1)提示: 连结OC, 再证明∠OCD=90°； (2)答案不唯一．（略）
10.(1)①∠FAC=∠B; ②∠OAF=90° (2)提示: 连结AO并延长AO交⊙O于D点
§24.2.2直线和圆的位置关系(3)
1.20 2. 99° 3. D 4. A 5. B 6. B 7.BC=-1 EC=
8．r= 9．65° 10．提示：连接OP．
§24.2.3圆和圆的位置关系(1)
1.外离 2. 2 3.相交 4.A 5. B 6. C 7. ⊙O的半径为7
8. 大圆的半径为5cm 9.三个圆的半径分别为2cm,4cm,5cm 10. BC=6
§24.2.3圆和圆的位置关系(2)
1.C 2. C 3.B 4.B 5. 7或23 6. 7或1cm 7. 1或5
8. ⊙A的半径为2；⊙B的半径为6；⊙C的半径为12
9.提示:连接O2A、O2B ∠APB=75° 10. 2周
§24.3正多边形和圆（1）
1.（1）×（2）√（3）×（4）× 2. C 3.B 4.A 5. 2 6. 4 7. 100π
8. 圆 理由略 9.a8 =a 10.（1）120°（2）90°，72°（3）∠MON=
§24.3正多边形和圆（2）
1.略 2. 略 3. 略 4. 略 5. 略 6. 略
7.
8. 略
9.如图
10. （1）图略、S⊙O=（2）图略 （3）有最大面积 当新正方形的顶点真好落在原正方形的各边的垂直平分线上，最大面积为2a2 （4）正方形鱼塘面积最大 最大面积为2a2
§24.4.1弧长和扇形面积
1. 2. 3. 5 4. B 5.D 6. A 7.
8.（1）16 21 5n+1 （2）能 5n+1=2006 n=401
9.（1）∠ACB=120°（2）S弓形≈245.6(米2) 学生数约为491人.
10. S8=16π
§24.4.2圆锥的侧面积和全面积
1. 24π 2. 150 3. 或 4. 1：2：3 5. B 6. D 7. A
8.（1）S阴影= （2） 9.小强的说法是正确的
10. 最短距离为2
综合例析
1. 0 2. 6cm 3.3或7 4. 1或7 5. 相切或相交 6.4
7. D 8.C 9.B 10.B 11.D 12.A
13.外切 理由略 14. C△ABC=18 15.提示：连接OC
16. S外表=18π≈56.5m2 17.圆心角应为120° 18.略 19.直径为20cm
20.(1)a (2)120°, 72° (3)
A卷
1.B 2.D 3. A 4.D 5. D 6.A 7. C 8.D
9.45° 10. 24 11.55° 12. 4 13.65° 14. cd⊥ab 或C是的中点
15.提示: 连结OD,BE, AB=2cm,∠A=60° 16. 光盘的直径约为12.12cm
17.PA= ,∠BAP=30° 18.不是 S阴=50π
19．(1)证明： ∵CD⊥AB， ∴∠ABC=90°
又∵点A，B，C在⊙O1上 ∴AC是⊙O1的直径
(2)证:∵O1 是AC的中点,O2是AD的中点
∴O1O2∥CD,又∵AC=AD, ∴∠C=∠D, ∵O2B=O2D
∴∠O2BD=∠D, ∴∠O2BD=∠C, ∴O2B∥O2C ∴四边形O1CBO2是平行四边形
20.(1)5 (2)(-5,6),相离, 相切,外切
B卷
1.D 2. C 3. D 4. B 5. B 6. B` 7.A 8. B
9. 相切 10. 35°或145° 11. R 12. cm 13. 3.6 14.π
15. 提示: 连结AC, ∠AED=58° 16.2π-2
17.略 18.(1)相交 (2)等边三角形 (3)菱形 (4)OA与BC互相垂直平分
19. (1)提示: 连结OD (2)只要证明O1D⊥DE (3)四边形O1OED是正方形
20. (1)等边三角形 证明略 (2)等腰直角; (3)等腰
·
A
B
C
O
E
D
(图24-1)
(图24-2)
(第1题)
B
·
O
·
·
·
A
C
(第7题)
B
·
O
·
·
A
·
O
·
A
(第9题)
B
·
O
·
·
A
C
B
·
O
·
A
C
P
(第10题)
B
·
O
A
C
D
(图24-3)
·
A
B
C
E
O
D
(图24-4)
B
·
O
E
A
C
D
(第1题)
B
·
O
A
C
(第2题)
B
·
O
E
A
C
D
(第５题)
B
·
O
A
C
D
(第6题)
B
O
A
(第7题)
B
A
·
O
C
D
(第8题)
(第9题)
B
·
O
A
C
E
F
L
(第10题)
D
B
·
O
A
D
C
N
M
(图24-5)
D
(图24-6)
B
·
O
A
C
(第5题)
·
O
A
C
N
M
B
D
(第6题)
B
·
O
A
C
D
E
(第7题)
B
·
O
A
C
D
(第8题)
D
·
O
A
B
C
E
F
(第9题)
B
·
O
A
D
C
E
F
(第10题)
(图24-7)
(图24-8)
(第5题)
B
·
O
A
C
D
(第2题)
D
B
·
O
A
C
（第3题）
B
·
O
C
(第4题)
B
·
O
A
C
D
E
A
(第6题)
B
·
O
A
C
(第7题)
B
·
O
A
D
C
(第8题)
B
·
O
A
C
(第9题)
B
D
·
O
C
P
A
(第10题)
·P’
·
O
C
E
B
D
A
G
F
(图24-9)
E
F
·
O
A
D
C
B
M
N
(图24-10)
B
P
·
O
A
Q
R
S
(第1题)
B
D
·
O
A
C
(第2题)
B
D
·
O
A
C
B
D
·
O
E
A
C
B
D
·
O
A
C
E
1
2
(第3题)
(第4题)
(第5题)
D
B
·
O
A
C
E
(第6题)
(第7题)
(第8题)
B
·
O
A
C
D
(第9题)
B
·
O
A
C
(第10题)
B
A
(图24-11)
B
A
C
D
F
E
(图24-12)
(第8题)
A
B
C
D
(第9题)
A
B
C
D
(图24-13)
A
B
C
D
E
(图24-14)
F
(第4题)
·
O
A
(第8题)
(2)
N
·
O
A
B
M
N
M
B
A
O
·
(3)
(图24-15)
D
·
O
A
B
D
C
(图24-16)
·
O
A
C
(第1题)
B
·
O
D
L
(第2题)
C
·
O
A
B
D
P
(第5题)
C
·
O
A
B
D
(第7题)
C
·
O
A
B
P
(第8题)
C
·
O
D
A
B
(第9题)
E
·
O
F
B
C
(乙)
E
·
O
F
A
B
C
A
(甲)
(第10题)
C
·
O
D
A
B
E
(图24-17)
(图24-18)
H
E
·
O
D
A
B
P
C
·
O
E
A
B
D
(第1题)
(第2题)
E
·
O
A
B
P
(第3题)
F
C
(图24-19)
·
O
D
A
C
E
(第7题)
B
(第8题)
·
O
D
B
E
C
(第9题)
·
O
D
A
B
E
C
P
(第10题)
·
O
A
B
P
C
A
A
O
P
B
·
·
C
A
B
O
(第8题)
(第10题)
(图24-20)
(第9题)
·
O1
·
O2
固定
(图24-21)
(一)
(二)
(图24-22)
·
O
A
B
C
A1
B1
C1
(第4题)
A
B
C
D
E
F
（第６题）
O
A
C
B
M
N
O
图1
A
B
C
D
O
M
N
图2
A
B
C
D
O
M
N
E
图3
A
B
C
D
O
M
N
E
F
G
图n
_
A
B
C
·
O
A
B
C
·
O
(图24-23)
A
B
E
C
D
(第4题)
(第3题)
(第2题)
(第6题)
A
B
E
C
D
F
M
(第8题)
(第10题)
D
C
B
A
D
C
B
A
①
②
B
A
C
D
O
(图24-24)
(第5题)
(第3题)
B
·
O
P
A
(第2题)
D
E
(第7题)
·
A
B
C
(第9题)
(第10题)
C
A
O
B
E
D
如图(1)
如图(2)
·
A
B
O
(第3题)
(第6题)
(第8题)
(第9题)
S
C
B
A
P
(第10题)
（图24-27）
（图24-28）
（图24-28）
(图24-29)
A
B
C
A
B
C
D
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
(3)
……
(图24-30)
·
O
M
A
B
F
C
N
E
(第1题)
·
O
A
B
P
(第2题)
·
O
A
B
C
D
E
D
(第10题)
·
O
A
B
(第7题)
O
·
A
B
C
第9题
(第6题)
·
M
A
O
B
C
(第14题)
·
O
A
B
C
·
O
A
B
D
C
P
C
(第15题)
(第16题)
2m
m
4m
(第17题)
·
O
·
O
图1
图2
①
②
A
B
P
(第1题)
A
B
C
T
(第2题)
（第4题）
(第8题)
E
(第9题)
·
O
B
F
A
D
C
(第14题)
·
O
A
B
C
D
O
C
A
B
(第11题)
·
O
B
C
A
M
(第12题)
(第13题)
A
B
D
E
C
·
·
O
(第15题)
P
(第17题)
·
O
A
B
A
B
C
D
(第18题)
图1
图2
(第1题)
(第2题)
C
·
O
A
B
(第8题)
·
O
A
B
P
(第10题)
·
O
A
B
·
O
A
B
C
P
(第13题)
(第14题)
(第15题)
·
O
A
B
C
D
E
(第16题)
(第17题)
(第18题)
O
A
·
·
(第19题)
(第20题)
O
O1
S
O
·
B
A
图(24-25)
PAGE
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