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专题07 数轴中的动点问题 专项提升（精讲）
数轴动点问题本学期必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的重要内容之一，该专题对考生的综合素养要求较高。
【解题技巧】数轴动点问题主要步骤：
①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；
②写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示；
③表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值；
④列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。
注意：要注意动点是否会来回往返运动。
高频考点1. 单动点问题
例1.（2022·北京·七年级期末）已知有理数满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧），，
下列结论①；②当点与点重合时，；
③当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，则；
④在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度不变．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．①②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】根据平方式和绝对值的非负性求出a和b的值，然后根据数轴上两点之间距离的计算方法和中点的表示方法去证明命题的正确性．
【详解】解：∵，，且，
∴，，解得，，故①正确；
当点与点重合时，∵，，∴，故②错误；
设点P表示的数是，当点与点重合时，点B表示的数是2，
，，，∴，故③正确；
设点B表示的数是，则点C表示的数是，∵M是OB的中点，∴点M表示的数是，
∵N是AC的中点，∴点N表示的数是，则，故④正确．故选：D．
【点睛】本题考查数轴的性质，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的求解，中点的表示方法．
变式1．（2022·河北·七年级期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且AB＝12，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确的有（ ）
①B对应的数是－4；②点P到达点B时，t＝6；③BP＝2时，t＝5；④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，由题意求出AP的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可．
【详解】解：设点B对应的数是x，
∵点A对应的数为8，且AB=12，
∴8-x=12，∴x=-4，∴点B对应的数是-4，故①正确；
由题意得：12÷2=6（秒），∴点P到达点B时，t=6，故②正确；
分两种情况：当点P在点B的右侧时，
∵AB=12，BP=2，∴AP=AB-BP=12-2=10，
∴10÷2=5（秒），∴BP=2时，t=5，
当点P在点B的左侧时，∵AB=12，BP=2，∴AP=AB+BP=12+2=14，
∴14÷2=7（秒），∴BP=2时，t=7，综上所述，BP=2时，t=5或7，故③错误；
分两种情况：当点P在点B的右侧时，
∵M，N分别为AP，BP的中点，∴MP=AP，NP=BP，
∴MN=MP+NP=AP+BP=AB=×12=6，
当点P在点B的左侧时，∵M，N分别为AP，BP的中点，∴MP=AP，NP=BP，
∴MN=MP-NP=AP-BP=AB=×12=6，
∴在点P的运动过程中，线段MN的长度不变，故④正确；
所以，上列结论中正确的有3个，故选：C．
【点睛】本题考查了数轴，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
变式2．（2022·浙江·七年级课时练习）如图，在数轴上有A，B两点（点B在点A的右边），点C是数轴上不与A，B两点重合的一个动点，点M、N分别是线段AC，BC的中点，如果点A表示数a，点B表示数b，求线段MN的长度．下列关于甲、乙、丙的说法判断正确的是（ ）
甲说：若点C在线段AB上运动时，线段MN的长度为；
乙说：若点C在射线AB上运动时，线段MN的长度为；
丙说：若点C在射线BA上运动时，线段MN的长度为．
A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．只有丙正确 D．三人均不正确
【答案】A
【分析】分别求得点C在线段AB上运动时，点C在射线AB上运动时和点C在射线BA上运动时，线段的长度，判定即可．
【详解】解：点C在线段AB上运动时，如下图：
甲说法正确；
当点C在射线AB上运动时，如下图：
乙说法不正确；
当点C在射线BA上运动时，如下图：
丙说法不正确 故选A
【点睛】此题考查数轴上的动点以及两点之间的距离，解题的关键是对点C的位置进行分类讨论分别求解．
高频考点2. 单动点问题（规律变化）
例2.（2022·浙江·七年级期中）如图，在数轴上，点A表示﹣4，点B表示﹣1，点C表示8，P是数轴上的一个点．
(1)求点A与点C的距离．(2)若PB表示点P与点B之间的距离，PC表示点P与点C之间的距离，当点P满足PB＝2PC时，请求出在数轴上点P表示的数．(3)动点P从点B开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动2个单位长度，第三次向左移动3个单位长度，第四次向右移动4个单位长度，依此类推…在这个移动过程中，当点P满足PC＝2PA时，则点P移动 次．
【答案】(1)12(2)17或5(3)2或29
【分析】(1)根据两点间的距离公式可得A与C的距离；
(2)设点P表示的数是x，根据题意列出方程，再解方程即可；
(3)设点P表示的数是x，根据题意列出方程可得x= 16或0，再根据点P的移动规律可得答案．
(1)解：AC＝|8-(-4)|＝12，故答案为：12；
(2)解：设点P表示的数是x，则PB＝|x＋1|，PC＝|x﹣8|，
∴|x＋1|＝2|x﹣8|，解得x＝17或5；
(3)解：设点P表示的数是x，则PA＝|x＋4|，PC＝|x﹣8|，
∴|x﹣8|＝2|x＋4|，解得x＝﹣16或0，
根据点P的移动规律，它到达的数字分别是﹣2，0，﹣3，1，﹣4，2，﹣5，3，……，
它移动奇数次到达的数是从﹣2开始连续的负整数，故移动到﹣16需29次，移动到0需2次．
故答案为：2或29．
【点睛】本题主要考查数字的变化类、实数在数轴上对应的点、数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的性质、实数在数轴上对应的点、数轴上两点间的距离是解决本题的关键．
变式1．（2022·浙江嘉兴·七年级期中）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【分析】“前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，先根据题意列出几组数据，从数据找寻规律：第一个循环节结束的数即x5=1，第二个循环节结束的数即x10=2，第三个循环节结束的数即x15=3，…，第m个循环节结束的数就是第5m个数，即x5m=m．然后再根据“前进3步后退2步”的运动规律来求取对应的数值．
【详解】根据题意可知：x1=1，x2=2，x3=3，x4=2，x5=1，
x6=2，x7=3，x8=4，x9=3，x10=2，
x11=3，x12=4，x13=5，x14=4，x15=3，…
由上列举知①②正确，符合题意；
由上可知：第一个循环节结束的数即x5=1，第二个循环节结束的数即x10=2，第三个循环节结束的数即x15=3，…，即第m个循环节结束的数即x5m=m．
∵x100=20，∴x101=21，x102=22，x103=23，x104=22，
∵x105=21，∴x106=22，x107=23，x108=24
故x108＞x104，故③错误，不合题意；
∵x2015=403，∴x2016=404，x2017=405，x2018=406，x2019=405，x2020=404，
故x2019＞x2020，故④正确．符合题意．故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了规律型——数字的变化类，主要考查了数轴，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来．前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，让n÷5看余数，余数是几，那么第n秒时就是循环节中对应的第几个数．
变式2．（2022·江苏·泰州七年级阶段练习）在如图的数轴上，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒钟4个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…
（1）求出2.5秒钟后动点Q所处的位置；（2）求出7秒钟后动点Q所处的位置；
（3）如果在数轴上有一个定点A，且A与原点O相距48个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由．
【答案】（1）-2 ；（2）4 ；（3）1140秒或1164秒．
【分析】（1）先根据路程=速度×时间求出2.5秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计算即可得解；（2）先根据路程=速度×时间求出7秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计算即可得解；
（3）分点A在原点左边与右边两种情况分别求出动点走过的路程，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解．
【详解】解：（1）∵4×2.5=10，
∴点Q走过的路程是1+2+3+4=10，Q处于：1-2+3-4=4-6=-2；
（2）∵4×7=28，∴点Q走过的路程是1+2+3+4+5+6+7=28，
Q处于：1-2+3-4+5-6+7=-3+7=4；
（3）①当点A在原点右边时，设需要第n次到达点A，则，解得n=95，
∴动点Q走过的路程是1+|-2|+3+|-4|+5+…+|-94|+95=1+2+3+…+95==4560，
∴时间=4560÷4=1140(秒)；
②当点A原点左边时，设需要第n次到达点A，则=48，解得n=96，
∴动点Q走过的路程是1+|-2|+3+|-4|+5+…+95+|-96|=1+2+3+…+96==4656，
∴时间=4656÷4=1164(秒) ．
【点睛】本题考查了数轴的知识，弄清题中的移动规律是解本题的关键．（3）题注意要分情况讨论求解，弄清楚跳到点A处的次数的计算方法是关键，可以动手操作一下便不难得解．
高频考点3. 双动点问题（匀速）
例3.（2021·陕西·西安七年级期中）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，b满足|a+3|+（b﹣9）2＝0，c＝1．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）点P为数轴上一动点，其对应的数为x，则当x 时，代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|取得最大值，最大值为 ；
（3）点P从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时点Q从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在点Q到达点C后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（t≤8）秒，求第几秒时，点P、Q之间的距离是点B、Q之问距离的2倍？
【答案】（1）﹣3，9；（2）≥9，12；（3）秒或秒．
【分析】（1）由|a+3|+（b﹣9）2＝0，根据非负数的性质得|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，即可求出a＝﹣3、b＝9；
（2）由（1）得a＝﹣3、b＝9，则代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代数式|x+3|﹣|x﹣9|，按x＜﹣3、﹣3≤x＜9及x≥9分类讨论，分别求出相应的代数式的值或范围，再确定代数式的最大值；
（3）先由点C表示的数是1，点B表示的数是9，计算出B、C两点之间的距离，确定t的取值范围，再按t的不同取值范围分别求出相应的t的值即可．
【详解】解：（1）∵|a+3|≥0，（b﹣9）2≥0，且|a+3|+（b﹣9）2＝0，
∴|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，∴a＝﹣3，b＝9，故答案为：﹣3，9．
（2）∵a＝﹣3，b＝9，∴代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代数式|x+3|﹣|x﹣9|，
当x＜﹣3时，|x+3|﹣|x﹣9|＝﹣（x+3）﹣（9﹣x）＝﹣12；
当﹣3≤x＜9时，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（9﹣x）＝2x﹣6，
∵﹣12≤2x﹣6＜12，∴﹣12≤|x+3|﹣|x﹣9|＜12；
当x≥9时，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（x﹣9）＝12，
综上所述，|x+3|﹣|x﹣9|的最大值为12，
故答案为：≥9，12．
（3）∵点C表示的数是1，点B表示的数是9，
∴B、C两点之间的距离是9﹣1＝8，
当点Q与点C重合时，则2t＝8，解得t＝4，
当0＜t≤4时，如图1，点P表示的数是﹣3﹣t，点Q表示的数是9﹣2t，
根据题意得9﹣2t﹣（﹣3﹣t）＝2×2t，解得t＝；
当4＜t≤8时，如图2，点P表示的数仍是﹣3﹣t，
∵1+（2t﹣8）＝2t﹣7，∴点Q表示的数是2t﹣7，
根据题意得2t﹣7﹣（﹣3﹣t）＝2（16﹣2t），解得t＝，
综上所述，第秒或第秒，点P、Q之间的距离是点B、Q之间距离的2倍．
【点睛】本题考查数轴、数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用、绝对值的几何意义等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
变式1．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）已知数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数，4，6．
(1)画出数轴，并用数轴上的点表示点A，点B，点C；
(2)动点P从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向数轴负方向运动，到达点A后立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴返回到点C，到达点C后停止运动，设运动时间为t秒．
①当时，的长为__________个单位长度，的长为__________个单位长度，的长为____________。个单位长度；②在点P的运动过程中，若个单位长度，则请直接写出t的值为___________。【答案】(1)见解析；
(2)①4 ，2 ，4；②或或或
【分析】（1）根据题意画出数轴即可；
（2）①先求出当时，P点表示的数为6-4=2，然后根据数轴上两点距离公式求解即可；②分当P从C向A运动和当P从A向C运动两种情况讨论求解即可．
(1)解：如图所示，即为所求；
(2)解：①当时，P点表示的数为6-4=2，
∴，，，故答案为：4、2、4；
②当P从C向A运动，时，
，，，
∵，∴，解得；
当P从C向A运动，时，
，，，
∵，∴，解得；
当P从A向C运动时，当时，
，，，
∵，∴，解得；
当P从A向C运动时，当时，
，，，
∵，∴，解得；
综上所述，t的值为或或或．
【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，解题的关键在于能够正确理解题意，利用分类讨论的思想求解．
变式2．（2022·河南洛阳·七年级期末）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则．
问题提出：(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为 2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______，线段AB的中点表示的数为______．
(2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0）
①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______；
②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数．
(3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数．
【答案】(1)；(2)①；；②当t为3时，P、Q两点相遇；相遇点所表示的数是7
(3)所需要的时间为9秒；相遇点所表示的数是1
【分析】（1）由A表示的数为 2，点B表示的数为13，即得AB＝15，线段AB的中点表示的数为；（2）①t秒后，点P表示的数为 2＋3t，点Q表示的数为 13 2t；
②根据题意得： 2＋3t＝13 2t，即可解得t＝3，相遇点所表示的数为 2＋3×3＝7；
（3）由已知返回途中，P表示的数是13 3（t 5），Q表示的数是 2＋2（t ），即得：13 3（t 5）＝ 2＋2（t ），可解得t＝9，第二次相遇点所表示的数为：13 3×（9 5）＝1．
(1)∵A表示的数为 2，点B表示的数为13，
∴AB＝|13 （ 2）|＝15，线段AB的中点表示的数为；故答案为：15；．
(2)①t秒后，点P表示的数为 2＋3t，点Q表示的数为13 2t；故答案为： 2＋3t；13 2t．
②根据题意得： 2＋3t＝13 2t，解得t＝3，相遇点所表示的数为 2＋3×3＝7；
答：当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7．
(3)由已知得：P运动5秒到B，Q运动秒到A，
返回途中，P表示的数是13 3（t 5），Q表示的数是 2＋2（t ），
根据题意得：13 3（t 5）＝ 2＋2（t ），解得t＝9，
第二次相遇点所表示的数为：13 3×（9 5）＝1，
答：所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示运动后的点所表示的数．
高频考点4. 双动点问题（变速）
例4.（2022·江苏·无锡七年级期中）已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 _____秒时，P、Q两点到点B的距离相等．
【答案】或30
【分析】利用已知条件先求出B、C在数轴表示的数，根据不同时间段，通过讨论P、 Q点的不同位置，找到对应的边长关系，列出关于的方程，进行求解即可．
【详解】∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，
∴b﹣9＝0，c﹣15＝0，∴b＝9，c＝15，
∴B表示的数是9，C表示的数是15，
①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；
②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，P表示的数为t﹣6，Q表示的数是9﹣3（t﹣6），
∴P、Q两点到点B的距离相等只需t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t＝，
③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；
④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，P表示的数为9+2（t﹣15），Q表示的数是﹣（t﹣9），∴P、Q两点到点B的距离相等只需9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30，
综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为秒或30秒，
故答案为：或30．
【点睛】本题主要是考查了数轴上的动点问题，熟练地通过动点在不同时间段的运动，进行分类讨论，找到等量关系，列出关于时间的方程，并进行求解，这是解决这类问题的主要思路．
变式1.（2022·四川绵阳·七年级期中）已知a、b为常数，且关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示．动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒．（1）求a、b的值；（2）请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为： ，点F在数轴上对应的数为： ．（3）当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍．在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，求运动时间t的值（不必写过程）．
【答案】（1）a＝12，b＝﹣20；（2）12﹣6t，﹣20+2t；（3）秒或秒秒或秒
【分析】（1）由题意根据关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，即可求出a、b；
（2）由题意根据点E、F的运动方向和速度可得解；
（3）根据题意分相遇前和相遇后两种情况，然后正确列出方程进行分析计算即可．
【详解】解：（1）∵关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，
∴（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）＝﹣20x2+ax﹣y+12﹣bx2﹣12x﹣6y+3）
＝（﹣20﹣b）x2+（a﹣12）x﹣7y+15，
∴﹣20﹣b＝0或a﹣12＝0，解得b＝﹣20，a＝12；
设运动时间为t秒．
由题意得：点E在数轴上对应的数为：12﹣6t，点F在数轴上对应的数为：﹣20+2t，
故答案为：12﹣6t，﹣20+2t；
（3）设当E、F之间的距离为2个单位时，运动时间为t秒，
相遇前：12﹣6t＝﹣20+2t+2，解得：t＝；
相遇后：E、F相遇的时间为：（20+12）÷（2+6）＝4（秒），
相遇点为﹣20+2×4＝﹣12，
点F在原地停留4秒时，6（t﹣4）＝2，解得：t＝；
由题意得：当E、F相遇后，点E在数轴上对应的数为：12﹣6t，点F在数轴上对应的数为：﹣12﹣2×5（t﹣4﹣4）＝68﹣10t．
当E在F左侧时，68﹣10t﹣（12﹣6t）＝2，解得：t＝；
当E在F右侧时，12﹣6t﹣（68﹣10t）＝2，解得：t＝．
答：当E、F之间的距离为2个单位时，运动时间为秒或秒秒或秒
【点睛】本题考查数轴和一元一次方程的应用，能根据题意列出代数式和方程是解答此题的关键．
变式2．（2022·江苏盐城·七年级期中）如图，点、、在数轴上对应的数分别是、、，且、满足，动点从点出发以单位/秒的速度向右运动，同时点从点出发，以个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的倍，之后立刻恢复原速，设运动时间为秒．
（1）____，____，、两点间的距离为____个单位；
（2）①若动点从出发运动至点时，求的值；
②当、两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数；
（3）当___时，、两点到点的距离相等．
【答案】（1）9，20，32；（2）①；②相遇点对应的数为6；（3）当t=12或25时，点P、Q到点B的距离相等．
【分析】（1）根据可先求出b、c的值，然后再由数轴两点距离可求解；
（2）①点P从点A运动到点C可得当点P在AO上时，点P在OB上时及点P在BC上时，然后分别求出时间，进而问题可求解；
②由题意易得当点C到达变速点B时，点P所运动到的位置可求，然后再根据相遇问题进行求解，最后在利用数轴求解即可；
（3）由（1）（2）及题意可分：①当时，②当时，③当点Q的速度变为3单位/秒时，即，④当点Q和点P都过了“变速区”，即，然后根据数轴两点距离及线段的和差关系进行列方程求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，∴，
∴A、C两点距离为：；故答案为9，20，32；
（2）①由题意可分：当点P从A运动到O和从B运动到C时，所需时间为：，
点P从点O到点B属于变速区，所以速度为2÷2=1单位/秒，此时所需时间为9÷1=9s，
∴点P从点A到点C的时间为：；
②当点C到达变速点B时，所需时间为11÷1=11s，此时点P运动的路程为：，即在数轴上所表示的数为5，此时点Q的速度为1×3=3单位/秒，
∴，∴5+1×1=6，∴相遇点所表示的数为6；
（3）由（1）（2）及题意可分：
①当时，如图所示：
则有AB=21，AP=2t，PB=21-2t，BC=11，BQ=11-t，
∵BP=BQ，∴，解得：（不符合题意，舍去）；
②当时，如图所示：
∵点P的速度为1单位/秒，Q速度不变，∴，BQ=11-t，
∵PB=BQ，∴，方程无解；
③当点Q的速度变为3单位/秒时，即，如图所示：
∴PB=15-t，，
∵PB=BQ，∴，解得t=12，
④当点Q和点P都过了“变速区”，即，如图所示：
∴，，
∵PB=BQ，∴，解得：；
综上所述：当t=12或25时，点P、Q到点B的距离相等；故答案为12或25．
【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题及线段的和差、一元一次方程的解法，熟练掌握数轴上的动点问题及线段的和差、一元一次方程的解法是解题的关键．
高频考点5. 多动点问题
例5.（2022·福建·厦门七年级期中）已知数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足|a＋3|＋(b－9)2＝0，O为原点；
(1) a＝ ，b＝ .(2) 若点C从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离等于点C到B点距离，求点C的运动速度？（结合数轴，进行分析.）
(3) 若点D以2个单位每秒的速度从点O向右运动，同时点P从点A出发以3个单位每秒的速度向左运动，点Q从点B出发，以6个单位每秒的速度向右运动．在运动过程中，M、N分别为PD、OQ的中点，问的值是否发生变化，请说明理由.（注：PD指的是点P与D之间的线段，而算式PQ－OD指线段PQ与OD长度的差.类似的，其它的两个大写字母写在一起时意义一样 .
【答案】（1）-3、9；（2）点C的速度为每秒1个单位长度；（3）的值没有发生变化，理由见解析.
【分析】（1）根据几个非负数的和为0，则每一个数都是0，建立关于a、b的方程即可求出a、b的值；（2）根据点C从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离等于点C到B点距离，可表示，，再由CA=CB建立关于x的方程求解即可；（3）根据点的运动速度和方向，分别用含t的代数式表示点D、P、Q、M、N对应的数，再分别求出PQ、OD、MN的长，然后求出的值为常量，即可得出结论.
【详解】（1）∵|a＋3|＋(b－9)2＝0，∴a+3=0，b-9=0，解得a=-3，b=9；
（2）设3秒后点C对应的数为x，则，，∵CA=CB，∴，
当，无解；
当，解得x=3，此时点C的速度为3÷3=1个单位每秒，
∴点C的速度为每秒1个单位长度；
（3）的值没有发生变化，理由如下：设运动时间为t秒，
则点D对应的数为2t；点P对应的数为-3-3t；点Q对应的数为9+6t；
点M对应的数为-1.5-0.5t；点N对应的数为4.5+3t；
则PQ=9t+12，OD=2t，MN=3.5t+6，∴，为定值，
即的值没有发生变化.
【点睛】本题考查列代数式和一元一次方程的应用，解题关键是根据数轴表示的数正确列出代数式.
变式1．（2022·剑阁县七年级月考）已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c-6）2+|a+b|=0，请回答问题（1）请直接写出a、b、c的值．a=___，b=___，c=___．
（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在A、B之间运动时，请化简式子：|x+1|-|x-1|-2|x+5|（请写出化简过程）
（3）在（1）的条件下，数轴上的A，B，M表示的数为a，b，y，是否存在点M，使得点M到点A，点B的距离之和为5？若存在，请求出y的值；若不存在，请说明理由．
（4）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒n（n>0）个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2n个单位长度和5n个单位长度的速度向右运动，假设经过t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】（1）-1、1、6；（2）-10 ；（3）存在，y=2.5或y=-2.5；（4）值不变，BC-AB=3．
【分析】（1）据最小正整数的意义和非负数的性质作答；（2）先去绝对值号，再去括号，最后合并即可；（3）据绝对值的性质用y表示出点M到点A，点B的距离之和，再令其等于5，列方程求解；
（4）结合题意，用t和n表示出BC-AB再化简即可判断．
【详解】解：（1）由b是最小正整数得b=1；
由（c-6）2+|a+b|=0得c-6=0和a+b=0，解之得c=6，a=-1．故a=-1，b=1，c=6．
（2）∵点P在A、B之间运动 ∴-1＜x＜1∴x+1＞0、x-1＜0、x+5＞0
∴|x+1|-|x-1|-2|x+5|=(x+1)-(1-x)-2(x+5)=x+1-1+x-2x-10=-10．
（3）由题意知AB=2，所以M不可能在AB之间，下面讨论M在AB之外的情况
第一种情况，当M在A点左侧时 由MA+MB=MA+MA+AB=5，得MA=1.5
∴|y-(-1)|=1.5且y＜-1∴y=-2.5；
第二种情况，当M在B点右侧时 由MA+MB=MA+MA-AB=5，得MA=3.5
∴|y-(-1)|=3.5且y＞-1 ∴y=2.5；故存在这样的点M，对应的y=2.5或y=-2.5．
(4)如下图
用A1、B1、C1分别表示A、B、C的初始位置
由题意得，当t秒时，A1A=nt，B1B=2nt，C1C=5nt
∴AB=A1A+A1B1+B1B=nt+2+2nt=3nt+2，BC=B1C-B1B=B1C1+C1C-B1B=5+5nt-2nt=3nt+5
∴BC-AB=(3nt+5)-( 3nt+2)=3 故BC-AB的值不变，且BC-AB的值为3．
【点睛】此题综合考查了绝对值的意义和数轴上两点之间的距离．弄清数轴上点及点的运动与所表示的数之间的关系是解决本题的关键．
变式2．（2022·浙江·七年级课时练习）如图一，已知数轴上，点表示的数为，点表示的数为，动点从出发，以个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，运动时间为秒
(1)线段__________．
(2)当点运动到的延长线时_________．（用含的代数式表示）
(3)如图二，当秒时，点是的中点，点是的中点，求此时的长度．
(4)当点从出发时，另一个动点同时从点出发，以个单位每秒的速度沿射线向右运动，
①点表示的数为：_________（用含的代数式表示），
点表示的数为：__________（用含的代数式表示）．
②存在这样的值，使、、三点有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点，请直接写出值．______________．
【答案】(1) (2) (3) (4)①； ②秒或秒或秒
【分析】（1）由数轴上两点间的距离的定义求解即可，数轴上两点间的距离等于数轴上两点所对应的数的差的绝对值；
（2）结合“路程＝速度×时间”以及两点间的距离公式，用点P运动路程－可求解；
（3）当秒时，根据路程＝速度×时间，得到，所以，再 由点是的中点，点是的中点，利用中点的定义得到，，最后由即可得到结论．（4）①设运动时间为，当点从点出发时，以个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，另一个动点同时从点出发，以个单位每秒的速度沿射线向右运动，结合“路程＝速度×时间”，再利用数轴上两点间距离公式，则点所表示的数是点的运动路程加上点所表示的数，点所表示的数是点的运动路程加上点所表示的数即可．
②结合①的结论和点所表示的数，分三种情况讨论即可．
(1)解：∵在数轴上，点A表示的数为－6，点B表示的数为8，
∴．故答案为：14
(2)∵在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，动点从点出发时，以个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，运动时间为秒，
∴，∴．故答案为：
(3)∵点表示的数为，点表示的数为，动点从点出发时，以个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，当秒时，，∴，
又∵点是的中点，点是的中点，∴，，
∴．∴此时的长度为．
(4)①设运动时间为，当点从点出发时，以个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，另一个动点同时从点出发，以个单位每秒的速度沿射线向右运动，∴，，
∴点所表示的数为：，点所表示的数为：，故答案为：；
②结合①的结论和点所表示的数，可知：
点表示的数为，点所表示的数为：，点所表示的数为：，
分以下三种情况：若点为中点，则，∴，解得：；
若点为中点，则，∴，解得：；
若点为中点，则，∴，解得：．
综上所述，当为秒或秒或秒时，、、三点中有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，中点的定义，注意分情况讨论．解题的关键是学会用含有t的式子表示动点点P和点Q表示的数．
题型6. 新定义问题
例6.（2022·江西赣州·七年级期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点．
例如；如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距高是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点．
如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2．
（1）点E，F，G表示的数分别是，6.5，11，其中是美好点的是________；写出美好点H所表示的数是___________．
（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？
【答案】（1）G，-4或-16；（2）1.5或3或9
【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．
（2）根据美好点的定义，分情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值．
【详解】解：（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件，故答案是：G．
结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定-4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是-16．故答案是：-4或-16．
（2）根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，
第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1，
当MP=2PN时，PN=3，点P对应的数为2-3=-1，因此t=1.5秒；
第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2，
当2PM=PN时，NP=6，点P对应的数为2-6=-4，因此t=3秒；
第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3，
当PN=2MN时，NP=18，点P对应的数为2-18=-16，因此t=9秒；
综上所述，t的值为：1.5或3或9．
【点睛】本题考查实数与数轴、美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．
变式1．（2022·福建南平·七年级期末）【阅读】在数轴上，若点A表示数a，点B表示数b，则点A与点B之间的距离为．例如：两点A，B表示的数分别为3，-1，那么．
(1)若，则x的值为 ．
(2)当x＝ （x是整数）时，式子成立．
(3)在数轴上，点A表示数a，点P表示数p．我们定义：
当时，点P叫点A的1倍伴随点，
当时，点P叫点A的2倍伴随点，
……
当时，点P叫点A的n倍伴随点．
试探究以下问题：若点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点，是否存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，若存在，求出线段AB的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)5或1 (2)-2、-1、0、1
(3)存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，线段AB的长为3或1
【分析】（1）根据数轴上，两点间的距离，即可求解；
（2）根据题意可得表示x的点到表示1的点与表示x的点到表示2的点的距离之和为3，再由，即可求解；
（3）设点M表示的数为m，则点M与点N重合时，点N表示的数为m，根据题意可得
，然后分四种情况讨论，即可求解．
(1)解：∵，∴在数轴上到3和x的点的距离为2，
∴x=5或x=1，故答案为：5或1；
(2)解：∵，∴表示x的点到表示1的点与表示x的点到表示2的点的距离之和为3，
∵，∴，
∵ x是整数，∴x取-2、-1、0、1；故答案为：-2、-1、0、1；
(3)解：存在，理由如下：设点M表示的数为m，则点M与点N重合时，点N表示的数为m，
∵点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点，
∴，∴，
当时，，∴，即AB=1；
当时，，∴，即AB=3；
当时，，∴，即AB=3；
当时，，∴，即AB=1；
综上所述，存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，线段AB的长为3或1．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值的性质，理解新定义，并利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．
变式2．（2022·浙江·七年级专题练习）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福点”，若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心”．
（1）如图1，点A表示的数为-1，则A的幸福点C所表示的数应该是______；
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为-2，点C就是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是______（填一个即可）；
（3）如图3，A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为-1，点B所表示的数为4，点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心吗？请说明理由．
【答案】（1）-4或2；（2）C所表示的数可以是-2或-1或0或1或2或3或4（答案不唯一）；（3）当经过秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心．
【分析】（1）根据幸福点的定义即可求解；（2）根据幸福中心的定义即可求解；
（3）根据幸福中心的定义即可求解．
【详解】解：（1）A的幸福点C所表示的数应该是-1-3=-4或-1+3=2；故答案为：-4或2；
（2）∵4-（-2）=6，∴M，N之间的所有数都是M，N的幸福中心．
故C所表示的数可以是-2或-1或0或1或2或3或4（答案不唯一）；
（3）经过秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心，理由是：
8-2-4+（8-2+1）=6，故当经过秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心．
【点睛】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，熟练掌握动点中三个量的数量关系式：路程=时间×速度，认真理解新定义．
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专题07 数轴中的动点问题 专项提升（精讲）
数轴动点问题本学期必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的重要内容之一，该专题对考生的综合素养要求较高。
【解题技巧】数轴动点问题主要步骤：
①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；
②写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示；
③表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值；
④列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。
注意：要注意动点是否会来回往返运动。
高频考点1. 单动点问题
例1.（2022·北京·七年级期末）已知有理数满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧），，
下列结论①；②当点与点重合时，；
③当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，则；
④在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度不变．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．①②③④ D．①③④
变式1．（2022·河北·七年级期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且AB＝12，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确的有（ ）
①B对应的数是－4；②点P到达点B时，t＝6；③BP＝2时，t＝5；④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2．（2022·浙江·七年级课时练习）如图，在数轴上有A，B两点（点B在点A的右边），点C是数轴上不与A，B两点重合的一个动点，点M、N分别是线段AC，BC的中点，如果点A表示数a，点B表示数b，求线段MN的长度．下列关于甲、乙、丙的说法判断正确的是（ ）
甲说：若点C在线段AB上运动时，线段MN的长度为；
乙说：若点C在射线AB上运动时，线段MN的长度为；
丙说：若点C在射线BA上运动时，线段MN的长度为．
A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．只有丙正确 D．三人均不正确
高频考点2. 单动点问题（规律变化）
例2.（2022·浙江·七年级期中）如图，在数轴上，点A表示﹣4，点B表示﹣1，点C表示8，P是数轴上的一个点．
(1)求点A与点C的距离．(2)若PB表示点P与点B之间的距离，PC表示点P与点C之间的距离，当点P满足PB＝2PC时，请求出在数轴上点P表示的数．(3)动点P从点B开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动2个单位长度，第三次向左移动3个单位长度，第四次向右移动4个单位长度，依此类推…在这个移动过程中，当点P满足PC＝2PA时，则点P移动 次．
变式1．（2022·浙江嘉兴·七年级期中）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是_______．
变式2．（2022·江苏·泰州七年级阶段练习）在如图的数轴上，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒钟4个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…
（1）求出2.5秒钟后动点Q所处的位置；（2）求出7秒钟后动点Q所处的位置；
（3）如果在数轴上有一个定点A，且A与原点O相距48个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由．
高频考点3. 双动点问题（匀速）
例3.（2021·陕西·西安七年级期中）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，b满足|a+3|+（b﹣9）2＝0，c＝1．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）点P为数轴上一动点，其对应的数为x，则当x 时，代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|取得最大值，最大值为 ；
（3）点P从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时点Q从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在点Q到达点C后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（t≤8）秒，求第几秒时，点P、Q之间的距离是点B、Q之问距离的2倍？
变式1．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）已知数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数，4，6．
(1)画出数轴，并用数轴上的点表示点A，点B，点C；
(2)动点P从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向数轴负方向运动，到达点A后立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴返回到点C，到达点C后停止运动，设运动时间为t秒．
①当时，的长为__________个单位长度，的长为__________个单位长度，的长为____________。个单位长度；②在点P的运动过程中，若个单位长度，则请直接写出t的值为___________。
变式2．（2022·河南洛阳·七年级期末）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则．
问题提出：(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为 2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______，线段AB的中点表示的数为______．
(2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0）
①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______；
②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数．
(3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数．
高频考点4. 双动点问题（变速）
例4.（2022·江苏·无锡七年级期中）已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 _____秒时，P、Q两点到点B的距离相等．
变式1.（2022·四川绵阳·七年级期中）已知a、b为常数，且关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示．动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒．（1）求a、b的值；（2）请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为： ，点F在数轴上对应的数为： ．（3）当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍．在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，求运动时间t的值（不必写过程）．
变式2．（2022·江苏盐城·七年级期中）如图，点、、在数轴上对应的数分别是、、，且、满足，动点从点出发以单位/秒的速度向右运动，同时点从点出发，以个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的倍，之后立刻恢复原速，设运动时间为秒．
（1）____，____，、两点间的距离为____个单位；（2）①若动点从出发运动至点时，求的值；②当、两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数；（3）当___时，、两点到点的距离相等．
高频考点5. 多动点问题
例5.（2022·福建·厦门七年级期中）已知数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足|a＋3|＋(b－9)2＝0，O为原点；
(1) a＝ ，b＝ .(2) 若点C从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离等于点C到B点距离，求点C的运动速度？（结合数轴，进行分析.）
(3) 若点D以2个单位每秒的速度从点O向右运动，同时点P从点A出发以3个单位每秒的速度向左运动，点Q从点B出发，以6个单位每秒的速度向右运动．在运动过程中，M、N分别为PD、OQ的中点，问的值是否发生变化，请说明理由.（注：PD指的是点P与D之间的线段，而算式PQ－OD指线段PQ与OD长度的差.类似的，其它的两个大写字母写在一起时意义一样 .
变式1．（2022·剑阁县七年级月考）已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c-6）2+|a+b|=0，请回答问题（1）请直接写出a、b、c的值．a=___，b=___，c=___．
（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在A、B之间运动时，请化简式子：|x+1|-|x-1|-2|x+5|（请写出化简过程）
（3）在（1）的条件下，数轴上的A，B，M表示的数为a，b，y，是否存在点M，使得点M到点A，点B的距离之和为5？若存在，请求出y的值；若不存在，请说明理由．
（4）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒n（n>0）个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2n个单位长度和5n个单位长度的速度向右运动，假设经过t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
变式2．（2022·浙江·七年级课时练习）如图一，已知数轴上，点表示的数为，点表示的数为，动点从出发，以个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，运动时间为秒
(1)线段__________．(2)当点运动到的延长线时_________．（用含的代数式表示）
(3)如图二，当秒时，点是的中点，点是的中点，求此时的长度．
(4)当点从出发时，另一个动点同时从点出发，以个单位每秒的速度沿射线向右运动，
①点表示的数为：_________（用含的代数式表示），
点表示的数为：__________（用含的代数式表示）．
②存在这样的值，使、、三点有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点，请直接写出值．______________．
题型6. 新定义问题
例6.（2022·江西赣州·七年级期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是的美好点．
例如；如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距高是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点．
如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为2．
（1）点E，F，G表示的数分别是，6.5，11，其中是美好点的是________；写出美好点H所表示的数是___________．（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？
变式1．（2022·福建南平·七年级期末）【阅读】在数轴上，若点A表示数a，点B表示数b，则点A与点B之间的距离为．例如：两点A，B表示的数分别为3，-1，那么．
(1)若，则x的值为 ．
(2)当x＝ （x是整数）时，式子成立．
(3)在数轴上，点A表示数a，点P表示数p．我们定义：
当时，点P叫点A的1倍伴随点，
当时，点P叫点A的2倍伴随点，……
当时，点P叫点A的n倍伴随点．
试探究以下问题：若点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点，是否存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，若存在，求出线段AB的长；若不存在，请说明理由．
变式2．（2022·浙江·七年级专题练习）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福点”，若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心”．
（1）如图1，点A表示的数为-1，则A的幸福点C所表示的数应该是______；
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为-2，点C就是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是______（填一个即可）；
（3）如图3，A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为-1，点B所表示的数为4，点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心吗？请说明理由．
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