湖南省衡阳市第六中学2022-2023学年高二数学学业水平考试复习模拟卷(二)（含解析）

湖南省衡阳市第六中学2022-2023学年高二数学学业水平考试复习模拟卷
(时间:90分钟　满分:100分)
一、选择题(本大题共18小题,每小题3分,共54分.每小题列出的四个备选项中只有一个符合题目要求,不选、多选、错选均不给分)
1.已知集合M={y|y=x2-1,x∈R},N={x|y=},则M∩N=(　　)
A.{±1,±2} B.[-1,2] C.[0,2] D.
2.i是虚数单位,若=a+bi(a,b∈R),则a+b的值是(　　)
A.- B.-2 C.2 D.
3.函数f(x)=-(x+3)0的定义域是(　　)
A.(-∞,3)∪(3,+∞) B.(-∞,-3)∪(-3,3)
C.(-∞,-3) D.(-∞,3)
4.若α为锐角,sin α=,则cos α=(　　)
A.- B. C.- D.
5.计算30+log22的结果是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
6.如果a>b,那么下列说法正确的是(　　)
A.ac>bc B.ac2C.ac=bc D.b-a<0
7.已知a=(x,2),b=(2,-1),且a⊥b,则|a-b|=(　　)
A. B. C.2 D.10
8.将函数f(x)=sin πx的图象向右平移个单位长度后得到g(x)的图象,则(　　)
A.g(x)=-cos πx B.g(x)=cos πx
C.g(x)=sin(πx+) D.g(x)=sin(πx-)
9.已知函数f(x)=-x3,则(　　)
A.f(x)是偶函数,且在(-∞,+∞)上是增函数
B.f(x)是偶函数,且在(-∞,+∞)上是减函数
C.f(x)是奇函数,且在(-∞,+∞)上是增函数
D.f(x)是奇函数,且在(-∞,+∞)上是减函数
10.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=1,A=30°,B=45°,则b的值为(　　)
A. B. C. D.2
11.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是(　　)
A.中位数 B.平均数
C.方差 D.极差
12.已知正实数x,y满足xy=2,则x+y的最小值是(　　)
A.3 B.2 C.2 D.
13.已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,给出下列命题:
①若α∥β,m⊥α,则m⊥β;
②若m∥n,m⊥α,则n⊥α;
③若α⊥β,m⊥α,则m∥β;
④若m⊥n,m⊥α,则n∥α.
其中真命题有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
14.函数f(x)=x+sin x的大致图象是(　　)
15.如图,正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为a,则直线AC1与侧面ABB1A1所成的角是(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
16.下面是某地连续11天复工复产指数折线图,下列说法正确的是(　　)
A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加
B.这11天期间,复产指数增量大于复工指数的增量
C.第3天至第11天复工复产指数均超过80%
D.第9天至第11天复工指数增量大于复产指数的增量
17.设点A,B的坐标分别为(0,1),(1,0),P,Q分别是曲线y=2x和y=log2x上的动点,记I1=,I2=.(　　)
A.若I1=I2,则=λ(λ∈R)
B.若I1=I2,则||=||
C.若=λ(λ∈R),则I1=I2
D.若||=||,则I1=I2
18.如图,在等腰三角形ABC中,∠CAB=∠ACB=θ,∠ACB的内角平分线交边AB于点D,现将△ACD沿CD翻折至△A'CD,使得∠A'DA=60°,则θ的取值范围是(　　)
A.[) B.[)
C.[) D.[)
二、填空题(本大题共4小题,每空3分,共15分)
19.已知函数f(x)=则f(1)=　　　　　　　,f(f(-2))=　　　　　　　.
20.已知某平面图形的直观图是边长为2的正三角形,则该平面图形的面积为　　　　.
21.已知平面向量a,b,c,满足|a|=3,|b-a|=,c∥b,a·c=,则|c|的最大值为　　　　　　　　　.
22.对于定义域为D的函数f(x)=k+,满足存在区间[a,b] D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b],则实数k的取值范围为　　　　　.
三、解答题(本大题共3小题,共31分)
23.(本小题满分10分)已知函数f(x)=sin(x+)+cos(x+),x∈R.
(1)求f()的值;
(2)求函数f(x)的最小正周期;
(3)当x∈[0,]时,求函数f(x)的值域.
24.(本小题满分10分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,△PAB是等边三角形,CB⊥平面PAB,AD∥BC且PB=BC=2AD=2,F为PC中点.
(1)求证:DF∥平面PAB;
(2)求直线AB与平面PDC所成角的正弦值.
25.(本小题满分11分)已知函数f(x)=(a∈R).
(1)当a=1时,解不等式f(x)>1;
(2)对任意的b∈(0,1),当x∈(1,2)时,f(x)>恒成立,求实数a的取值范围.
答案及解析
1.B　解析 由集合M中,x2-1≥-1得到M=[-1,+∞),
由集合N中,y=得到4-x2≥0,解得-2≤x≤2,
即N=[-2,2].
所以M∩N=[-1,2],故选B.
2.C　解析 ∵i,且=a+bi,∴a=,b=,∴a+b==2.故选C.
3.B　解析 由题得,解得x<3且x≠-3,所以函数的定义域为(-∞,-3)∪(-3,3).
4.D　解析 ∵sin α=且α为锐角,
∴cos α=.故选D.
5.B　解析 30+log22=1+1=2.故选B.
6.D　解析 因为a>b,不等式两边同时减去a得0>b-a,D正确,若c=0,则A,B错误,若c≠0,C错误.故选D.
7.B　解析 ∵a⊥b,∴a·b=2x-2=0,∴x=1,
∴a=(1,2),a-b=(-1,3),则|a-b|=,故选B.
8.A　解析 因为将函数f(x)=sin πx的图象向右平移个单位长度后得到g(x)的图象,所以g(x)=f(x-)=sin(πx-)=-cos πx.故选A.
9.D　解析 ∵f(x)=-x3,则f(-x)=-(-x)3=x3=-f(x),∴f(x)为奇函数.
又f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,则f(x)=-x3在(-∞,+∞)上单调递减.故选D.
10.C　解析 由正弦定理,可得,解得b=.故选C.
11.A　解析 根据题意,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分,7个有效评分与9个原始评分相比,最中间的一个数不变,即中位数不变.故选A.
12.B　解析 x+y≥2=2(当且仅当x=y=时,等号成立),所以x+y的最小值为2.故选B.
13.B　解析 ①若α∥β,m⊥α,则m⊥β,由两个平面平行的性质定理知,正确;
②若m∥n,m⊥α,则n⊥α,由直线与平面垂直的性质定理知,正确;
③若α⊥β,m⊥α,则m∥β或m β,错误;
④若m⊥n,m⊥α,则n∥α或n α,错误.故选B.
14.A　解析 因为f(-x)=(-x)+sin(-x)=-x-sin x=-f(x),所以f(x)是奇函数,
从而f(x)的图象关于原点对称,故排除B和C;当x>0,且x→0时,f(x)>0,故排除D.故选A.
15.A　解析 取A1B1中点M,连接MA,MC1,∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1=B1C1,
∴C1M⊥A1B1,平面A1B1C1⊥平面ABB1A1,∴C1M⊥平面ABB1A1,
∴∠C1AM即为直线AC1与侧面ABB1A1所成的角.
∵底面边长为a,侧棱长为a,∴C1M=a,AM=a,
∴tan∠C1AM=,
∴∠C1AM=30°.故选A.
16.C　解析 由图可知,这11天的复工指数和复产指数有增有减,故A错误;由折线的变化程度可见这11天期间,复产指数增量小于复工指数的增量,故B错误;第3天至第11天复工复产指数均超过80%,故C正确;第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量,D错误.故选C.
17.C　解析 根据题意,在直线AB上取P',Q',且|AP'|=|BQ'|.过P',Q'分别作直线AB的垂线,交曲线y=2x于P1,P2,交y=log2x于Q1,Q2.在曲线y=2x上取点P3,使|AP1|=|AP3|.如图所示.
I1==||·||cos∠QAB=||·||,
I2==||·||cos∠PBA=||·||,
若|AP'|=|BQ'|,则|AQ'|=|BP'|,
若I1=I2,则|AQ'|=|BP'|即可.此时P可以与P1重合,Q可以与Q2重合,满足题意,但=λ(λ∈R)不成立,且||≠||,所以A,B错误;
对于C,若=λ(λ∈R),则,此时必有P1与Q1(或P2与Q2)对应,所以满足I1=I2,所以C正确;
对于D,对于点P3,满足|AP1|=|AP3|,但此时P3P'不与AB垂直,因而不满足|AQ'|=|BP'|,即I1≠I2,所以D错误.故选C.
18.A　解析 因为∠CAB=∠ACB=θ,
由题意可知∠A'CD=∠ACD=∠DCB=∠ACB=θ,∠CAB=∠DA'C=θ,
作AO⊥CD于O,连接A'O,AA',如图所示,
则∠AOA'为二面角A-CD-A'的平面角,
又∠A'DA=60°,DA'=DA,
所以△A'DA为等边三角形,
设∠A'OA=α,且α∈[0,π],
令AD=DA'=AA'=1,则AO=AD·sin∠ADO,
又∠ADO=+θ=,所以AO=sin,
又AO=OA',所以A'O=sin.
又OA2+OA'2-AA'2=2OA·OA'cos α,
所以cos α==1-∈[-1,1].
则sin2,所以sin,或sin≤-,
又0<θ<,则0<,
所以,所以≤θ<.
故选A.
19.0　1　解析 f(1)=log21=0,f(f(-2))=f(2)=log22=1.
20.2　解析 由原平面图形的面积S与直观图面积S'的关系知:S=2S'=2×22=2.
21.3　解析 因为c∥b,所以设b=λc(λ≠0),
所以|b-a|=|λc-a|=,即(λc-a)2=,
所以λ2c2-2λa·c+a2=,λ2c2-27λ+9=,
整理得c2=-+27·=-+27,
所以当λ=时,c2取得最大值为27,即|c|max=3.
22.(-,-2]　解析 因为函数f(x)=k+在[-2,+∞)上单调递增,所以所以a,b为方程x=k+的两个实数根,即k=x-在x≥-2时有两个不同的根,设t=,则x=t2-2,则方程等价于k=t2-2-t,在t≥0时有两个不等的实根,
设g(t)=t2-2-t(t≥0),作出g(t)的图象,如图,
当t=0时,g(0)=-2,又g(t)=t2-2-t=,
则g(t)的最小值为-,
要使y=k与g(t)有两个不同的交点,则-23.解 (1)f（)=sincos,
即f()=.
(2)f(x)=sin(x+)+cos(x+)=sin(x+)=sin(x+),
故f(x)的最小正周期T=2π.
(3)当x∈[0,]时,x+∈[,π],
因此当x+=π,即x=时,f(x)min=sin π=0;
当x+,即x=时,f(x)max=1.
所以f(x)在[0,]上的值域为[0,1].
24.(1)证明 如图所示:
取PB边的中点E,连接AE,FE,
由三角形中位线相关知识可知:EF∥BC且EF=BC,
由题可知:AD∥BC且AD=BC,
∴AD∥EF且AD=EF,
即四边形AEFD为平行四边形,
∴DF∥AE.
又DF 平面PAB,AE 平面PAB,故DF∥平面PAB.
(2)解 取BC边的中点G,则DG∥AB,且DG=AB=2,直线AB与平面PDC所成角即为DG与平面PDC所成角.
又S△CDG=1,且易得DC=PD,∴S△CDP=PC·DF=×2.
由等体积法,VP-CDG=VG-PCD=×1××dG-PCD,得dG-PCD=,∴DG与平面PDC所成角的正弦值为,故直线AB与平面PDC所成角的正弦值为.
25.解 (1)因为a=1,所以f(x)=.
即f(x)=>1,即x2+1<|x+1|.
即
解得0所以不等式的解集为(0,1).
(2)f(x)=恒成立等价于|x+a|>b(x+)恒成立,即x+a>b(x+)或x+a<-b(x+)恒成立.
所以有a>(b-1)x+或a<-(b+1)x-对任意x∈(1,2)恒成立.
所以a≥2b-1或a≤-(b+2)对任意b∈(0,1)恒成立,
解得a≥1或a≤-.
所以实数a的取值范围是(-∞,-]∪[1,+∞).