高中数学必修第一册人教A版（2019）4.4《对数函数》课时2 教学设计

《对数函数》教学设计
课时2不同函数增长的差异
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.对数函数的概念 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象 【考查内容】 考查对数函数的图象与性质应用,常考的形式有:以对数函数为载体,与其函他函数、方程、不等式综合应用. 【考查题型】 选择题、填空题为主
2.对数函数的图象与性质 直观想象 数学运算
3.指数函数与对数函数的关系 数学运算
4.不同函数增长的差异 数学建模
一、本节内容分析
本节主要内容是对数函数的概念、图象和性质,不仅反映出对数函数和指数函数的关系,也蕴含了化归、分类讨论、数形结合等数学思想.
本节内容所涉及的核心知识及所体现的核心素养如下:
核心知识 1.对数函数的概念 2.对数函数的图象与性质 3.指数函数与对数函数的关系 4.不同函数增长的差异 数学抽象 直观想象 数学运算 数学建模 核心素养
二、学情整体分析
从初中到现在,学生已经学习了一次函数、反比例函数、二次函数、幂函数、指数函数等初等函数,对其概念、基本性质、研究方法有了一定的了解和掌握.通过类比的方法学习对数函数的知识,还是比较轻松的.
但由于指数函数、对数函数和幂函数的增长变化复杂,这就使得学生在研究过程中可能遇到困难.在情感方面,多数学生对新内容的学习有相当的兴趣和积极性,但在探究问题的能力以及合作交流等方面的发展不均衡,故仍需要教师给予指导点拨.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.对数函数的概念
2.对数函数的图象与性质
3.指数函数与对数函数的关系
4.不同函数增长的差异
【教学目标设计】
1.理解对数函数的概念和意义,掌握对数函数定义域、值域的求法.
2.能画出具体对数函数的图象,并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质.
3.掌握对数函数的单调性,会进行同底对数和不同底对数大小的比较.
4.了解反函数的概念,掌握互为反函数的两个函数之间的联系及两个函数图象的特征.
5.结合具体函数图象,总结一次函数、指数函数、对数函数的增长差异,通过图象,了解“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义.
【教学策略设计】
1.教师创设问题情境,以学生看,学生想,学生议,学生练为主,在学生仔细观察、类比、想象的基础上,通过问题串的形式加以引导点拨,使新学知识更牢固,理解更深刻.
2.类比指数函数的图象和性质来研究对数函数的相关内容.强调认识底数a对函数值变化的影响,鼓励学生积极主动地参与获得性质的过程.
3.学生是教学活动的主体,他们在学习过程中的参与状态和参与程度是影响教学效果最重要的因素,因此在学法上要重视动手操作、自主探索,让学生利用图象直观的性质,观察图象,合作探究,并通过正、反例的构造,来完成从感性认识到理性认识的转变.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.对数函数的概念、图象及性质.
2.对数函数性质的初步应用.
3.研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异.
难点:
1.对数式与指数式的互化.
2.底数a对对数函数的影响.对数函数性质的初步应用.
3.函数的增长快慢的差异.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:在前面的学习中我们看到,一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异.事实上,这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.因此,如果把握了不同函数增长方式的差异,那么就可以根据现实问题的增长情况,选择合适的函数模型刻画其变化规律.下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异.
【设活动,深探究】
在画出一次函数与指数函数的图象并进行比较的情境中,得到指数函数增长的特点,为深度探究不同函数增长的差异打好基础.
教学精讲
【情境设置】
一次函数与指数函数的比较
画出指数函数和一次函数在上的图象,探索它们的增长差异,你能描述一下指数函数增长的特点吗
【师生合作观察研究函数和的增长快慢】
师:观察图象,回答问题:(1)满足的的范围是什么 (2)满足的的范围是什么 (3)满足的的范围是什么
生:(1)(3)
【概括理解能力】
观察一次函数与指数函数图象,讨论增长的差异,培养学生观察、概括理解能力.
师:下面在更大的范围内,观察和的增长情况.
【情境设置】
观察和的增长情况
【情境学习】
列表、画图象,分析讨论和的增长情况,渗透了数形结合思想,提升直观想象学科素养.
【学生观察、讨论、展示结果,师生合作,共同得出指数函数与一次函数的增长差异】
生:随着的增大,的增长速度越来越快,会超过并远远大于的增长速度.尽管在的一定变化范围内,会小于,但由于的增长最终会快于的增长,因此,总会存在一个,当时,恒有.
师:指数函数与一次函数的增长差异如下.
【要点知识】
指数函数与一次函数的增长差异
一般地,指数函数与一次函数的增长差异与上述情况类似,即使的值远远大于的值,的增长速度最终都会大大超过的增长速度.
师:指数函数不像一次函数那样按同一速度增长,而是越来越快,呈爆炸性增长,也可以说倍数增长.
【情境设置】
对数函数与一次函数的比较
画出对数函数和一次函数在上的图象,探索它们的增长差异,你能描述一下对数函数增长的特点吗
【学生画出图象并观察,讨论函数和的增长情况,教师规范语言】
【意义学习】
参照“一次函数与指数函数”的比较方法,比较“对数函数与一次函数”的图象,充分体现了类比思想,同时体会类比思想在数学中的应用.
生:
生:函数的增长速度不变,而增长速度在变化.随着的增大的增长速度越来越慢.
生:函数的图象离轴越来越远,而函数的图象越来越平缓,就像与轴平行一样.
师:通过观察图象,我们发现函数和在区间上都单调递增,但增长速度存在明显的差异.
【观察记忆能力】
观察图象,分析数据得出结论,培养学生的观察记忆、分析、总结能力.
【归纳总结】
对数函数与一次函数的增长差异
一般地,虽然对数函数与一次函数在区间上都单调递增,但它们的增长速度不同.随着的增大,一次函数保持固定的增长速度,而对数函数的增长速度越来越慢.不论的值比的值大多少,在一定范围内,可能会大于,但由于的增长慢于的增长,因此总会存在一个.当时,恒有.
【概括理解能力】
从具体到一般,培养学生的分析、总结、概括理解能力,提升逻辑推理核心素养.
师:对数函数比较适合描述增长速度平缓的规律.
【情境设置】
一次函数、对数函数与指数函数的比较
1.画出一次函数,对数函数和指数函数的图象,并比较它们的增长差异;
2.试着概括一次函数,对数函数和指数函数的增长差异;
3.讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义.
【学生画出一次函数,对数函数和指数函数的图象,根据图象,讨论增长差异并比较,回答问题,教师点评】
生:(1)在同一直角坐标系画出一次函数,对数函数和指数函数的图象:
①的图象在上匀速上升;
②的图象在上上升得越来越快;
③的图象在上上升得越来越慢.
生:(2)观察图象可得,①的图象在上匀速上升;②的图象在上增长得越来越慢;③的图象在上增长得越来越快.
生:(3)直线上升——匀速上升,对数增长——增长越来越慢,指数爆炸——增长越来越快.
【猜想探究能力】
通过观察在同一坐标系中画出一次函数、对数函数、指数函数的图象,学生得到“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义,培养学生的猜想探究能力.
师:下面我们总结一下,一次函数、指数函数、对数函数还有幂函数的图象增长差异性.
【归纳总结】
比较一次函数、对数函数与指数函数
函数
图象
单调性 递增
增长 速度 不变 先慢后快 先快后慢 n>1时,越来越快；n=1时,不变；0图象 变化 随x的增大,图象均匀上升 随x的增大,图象上升的速度逐渐变快,当x很大时,呈“爆炸式”增长 随x的增大,图象上升的速度逐渐变慢 n>1时,随x的增大,图象上升的速度逐渐变快； 0师:下面我们根据所学知识,巩固练习一下.
【巩固练习】
比较函数的增长情况
在同一平面直角坐标系内画出下列函数的图象,并比较它们的增长情况:
(1);
(2);
(3).
【学生独立完成,教师点评】
【分析计算能力】
根据函数图象,分析概括函数增长差异.通过此类问题的演练,培养学生的分析计算能力.
师:这节课就上到这里.你学到了哪些知识
【课堂小结】
不同函数增长的差异
【设计意图】
回顾不同函数增长的差异知识,总结知识点,建立数学框架,培养学生的总结、概括理解能力.
教学评价
本节课学习了对数函数的概念、图象与性质,不同函数增长的差异.
应用所学知识,完成下题:
大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵,研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速(单位:)与其耗氧量单位数之间的关系可以表示为函数,其中,为常数.已知一条鲑鱼在静止时的耗氧量为100个单位,而当它的游速为时,其耗氧量为2700个单位.
(1)求出游速与其耗氧量单位数之间的函数解析式.
(2)当一条鲑鱼的游速不高于时,其耗氧量的最大值是多少个单位
解析:要求“当一条鲑鱼的游速不高于时,其耗氧量的最大值是多少个单位”,就是求游速与其耗氧量单位数之间的函数的最大值.具体解题过程如下:
(1)由题意,得,解得.故游速与其耗氧量单位数之间的函数解析式为.
(2)由题意,得,即,∴,由对数函数的单调性,有,解得,所以当一条鲑鱼的游速不高于时,其耗氧量的最大值是24300个单位.
【设计意图】
本题考查学生求对数函数最大值的方法.既引导学生回顾对数函数的相关知识,又培养学生的推测解释分析计算能力,同时提升逻辑推理、数学运算核心素养.
教学反思
本节教学案例,严格按照教材体例和顺序编写,在学习对数函数时,可让学生适当做一些练习,强化对对数函数概念的理解.在解有关求定义域的问题时,学生可能会忽略底数的取值范围以及真数必须大于0这些条件,教师要适时指导,在学习对数函数图象时,要注意画图的准确性;总结图象特征和性质时,教师要关注每位学生的表现,在教学中应多给学生创造尝试、思考、交流、讨论表述的机会;在不同函数增长差异中,先设计两个探究,通过讨论、探究、推导,找出一次函数与指数函数、一次函数与对数函数的增长方式的差异.在设计第一个探究时,不能只用函数和得出一次函数与指数函数增长方式的差异,应再举一些例子,在探究一次函数与对数函数的增长差异时,也要多举一些例子.可以通过多媒体展示.使我们的推论更有说服力.
【以学定教】
综合对数函数概念、图象和性质,深层理解对数函数与指数函数的关系,体会函数图象的增长差异,从而解决问题.
【以学论教】
在学生的实际学习过程中,教师应根据具体学情,使学生理解对数函数的概念,在学习图象特征和性质时,教师要关注每一个学生的表现,在学习不同函数增长差异时,要多举一些例子,在整体学习过程中,教师应多给学生创造尝试、思考、交流、讨论表述的机会.
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