高中数学必修第一册人教A版（2019）4.4《对数函数》课时1 教学设计

《对数函数》教学设计
课时1对数函数的概念、图象与性质
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.对数函数的概念 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象 【考查内容】 考查对数函数的图象与性质应用,常考的形式有:以对数函数为载体,与其函他函数、方程、不等式综合应用. 【考查题型】 选择题、填空题为主
2.对数函数的图象与性质 直观想象 数学运算
3.指数函数与对数函数的关系 数学运算
4.不同函数增长的差异 数学建模
一、本节内容分析
本节主要内容是对数函数的概念、图象和性质,不仅反映出对数函数和指数函数的关系,也蕴含了化归、分类讨论、数形结合等数学思想.
本节内容所涉及的核心知识及所体现的核心素养如下:
核心知识 1.对数函数的概念 2.对数函数的图象与性质 3.指数函数与对数函数的关系 4.不同函数增长的差异 数学抽象 直观想象 数学运算 数学建模 核心素养
二、学情整体分析
从初中到现在,学生已经学习了一次函数、反比例函数、二次函数、幂函数、指数函数等初等函数,对其概念、基本性质、研究方法有了一定的了解和掌握.通过类比的方法学习对数函数的知识,还是比较轻松的.
但由于指数函数、对数函数和幂函数的增长变化复杂,这就使得学生在研究过程中可能遇到困难.在情感方面,多数学生对新内容的学习有相当的兴趣和积极性,但在探究问题的能力以及合作交流等方面的发展不均衡,故仍需要教师给予指导点拨.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.对数函数的概念
2.对数函数的图象与性质
3.指数函数与对数函数的关系
4.不同函数增长的差异
【教学目标设计】
1.理解对数函数的概念和意义,掌握对数函数定义域、值域的求法.
2.能画出具体对数函数的图象,并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质.
3.掌握对数函数的单调性,会进行同底对数和不同底对数大小的比较.
4.了解反函数的概念,掌握互为反函数的两个函数之间的联系及两个函数图象的特征.
5.结合具体函数图象,总结一次函数、指数函数、对数函数的增长差异,通过图象,了解“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义.
【教学策略设计】
1.教师创设问题情境,以学生看,学生想,学生议,学生练为主,在学生仔细观察、类比、想象的基础上,通过问题串的形式加以引导点拨,使新学知识更牢固,理解更深刻.
2.类比指数函数的图象和性质来研究对数函数的相关内容.强调认识底数a对函数值变化的影响,鼓励学生积极主动地参与获得性质的过程.
3.学生是教学活动的主体,他们在学习过程中的参与状态和参与程度是影响教学效果最重要的因素,因此在学法上要重视动手操作、自主探索,让学生利用图象直观的性质,观察图象,合作探究,并通过正、反例的构造,来完成从感性认识到理性认识的转变.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.对数函数的概念、图象及性质.
2.对数函数性质的初步应用.
3.研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异.
难点:
1.对数式与指数式的互化.
2.底数a对对数函数的影响.对数函数性质的初步应用.
3.函数的增长快慢的差异.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:在4.2.1的问题2中,我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律.反过来,已知死亡生物体内碳14的含量,如何得知它死亡了多长时间呢？进一步地,死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？
【学生思考,讨论,交流,教师板书课题】
【设计意图】
由实际问题引入,激发学生的学习兴趣.
教学精讲
探究1 对数函数的概念
师:下面请看对数函数的定义.
【要点知识】
对数函数的定义
一般地,函数,且)叫做对数函数(logarithmic function),其中是自变量,定义域是.
师:在对数函数定义中,为什么要限定,且 为什么对数函数,且的定义域是
【学生思考,教师引导学生回答问题】
生:(1)根据指数式与对数式的关系,知可化为.由指数的概念,要使有意义,必须规定,且.
生:(2)因为可化为,不管取什么值,由指数函数的性质,知.
师:怎样判断一个函数是不是对数函数
【学生思考,分组讨论,回答问题,教师总结】
师:依据定义,抓住其解析式的三个结构特征进行判断:①的系数为1;②底数满足,且;③真数为且.只有同时具备以上三个条件才是对数函数,否则就不是.
【以学定教】
经历讨论、交流的过程,培养学生的分析、概括理解能力,体现了逻辑推理核心素养.
【典型例题】
对数函数的应用
例1 求下列函数的定义域:
(1);(2),且.
生解:(1)因为,即,所以函数的定义域是.
(2)因为,即,所以函数的定义域是.
师:求对数函数的定义域应注意:①对数的真数大于零,对数的底数大于0且不等于1;②使式子符合实际背景;③对底数含有字母的对数式要注意分类讨论.
【分析计算能力】
通过演练,进一步理解对数函数的定义,培养学生的分析计算能力,体现了数学运算素养.
【学生讨论,自由回答,教师总结】
师:由指数和对数的关系,我们可以得到对数的基本性质.
【典型例题】
对数函数的应用(二)
例2 假设某地初始物价为1,每年以的增长率递增,经过年后的物价为.
(1)该地的物价经过几年后会翻一番
(2)填写下表,并根据表中的数据,说明该地物价的变化规律.
【学生独立回答问题,教师总结】
生:(1)由题意可知,经过年后物价为,即.由对数与指数间的关系,可得.由计算工具可得,当时,.所以,该地区的物价大约经过14年后会翻一番.
(2)根据函数,利用计算工具,可得下表:
由表中的数据可以发现,该地区的物价随时间的增长而增长,但大约每增加1倍所需要的时间在逐渐缩小.
【简单问题解决能力】
通过解决实际问题,让学生体会对数函数在实际生活中的应用,培养简单问题解决能力、分析计算能力.
师:(1)这里中,是的函数,是一个指数函数,而中,是的函数,是一个对数函数.
(2)解决对数函数模型的实际问题时,通常先用指数函数列出数量关系,再转化为对数式,下面我们进行巩固练习.
【巩固练习】
对数函数的定义的应用
求出函数的定义域,并画出它的大致图象.
【学生独立完成,汇报结果,教师总结】
生:函数的定义域为函数解析式可化为其大致图象如图所示(其特征是关于轴对称),如图所示:
师:解决类似问题,先去掉绝对值,转化成分段函数后再画出大致图象,求函数的定义域,结果必须用集合表示.
【推测解释能力】
结合对数函数定义、分段函数的知识解决问题,培养学生的推测解释、分析计算能力.
探究2 对数函数的图象和性质
师:下面我们研究对数函数的图象和性质.与研究指数函数一样,先画出图象,然后借助图象研究其性质.请同学们画出的图象.
【学生思考、讨论后,列表、画图象,并展示结果,教师总结】
生:列表、描点、连线画出的图象.
生:列表、描点、连线画出的图象.
【情境学习】
利用画图象引入,同时复习了函数图象的画法,为新知识做铺垫.
师:接下来请同学们思考下面的问题.
【情境设置】
探究底数互为倒数的对数函数图象的关系
我们知道,底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称.对于底数互为倒数的两个对数函数,比如和,它们的图象是否也有某种对称关系呢 可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象
【教师提示:利用换底公式,得出和的关系,根据这个关系画图象,并把两个函数的图象放在同一直角坐标系中.学生思考后回答问题】
生:因为,点与点关于轴对称,所以函数和的图象关于轴对称.作出的图象,再作此图象关于轴的对称图形.如图所示:
【少讲精讲】
学生综合所学知识独立分析函数和的图象关系,教师精讲的图象和性质.
师:底数互为倒数的两个对数函数的图象关于轴对称.好了,我们思考下面的问题.
【情境设置】
探究对数函数的图象和性质
选取底数,且的若干个不同的值,在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象.观察这些图象的位置、公共点和变化趋势,它们有哪些共性 由此你能概括出对数函数的值域和性质吗
【教师提示:函数的图象按照底数的取值为和两种类型进行分析,学生讨论,合作探究,回答问题】
师:你知道怎样快速画出对数函数,且)的图象吗
生:描出点三点后,连线即可.
【学生画出图象,并观察图象,师生共同总结对数函数的图象特点】
师:对数函数的图象特点如下.
【归纳总结】
,且)的图象特点
1.图象都在轴的右侧,且都过点;
2.图象都无限地靠近轴,但不会与轴相交;
3.当时,图象自左向右“上升”,当时,图象自左向右“下降”.
【概括理解能力】
总结对数函数的图象特点,为学习对数函数的性质做准备,培养学生概括理解、归纳总结能力.
师:对数函数的图象和性质如下.
【归纳总结】
对数函数的图象和性质
解析式
底数
图象
定义域
值域 R
单调性 在上是增函数 在上是减函数
共点性 图象过定点,即时,
函数值特点 时,; 时, 时, 时,
对称性 函数与的图象关于轴对称
【观察记忆能力】
根据图象,总结、记忆对数函数的性质,进一步理解对数函数图象的特点,培养观察记忆、概括理解能力.
师:根据对数函数的图象和性质,你能说出底数的大小与函数值的变化有什么关系吗 观察下面两个图象,你能说出对数函数底数的大小与图象有什么关系吗
【学生思考,讨论,回答问题,教师总结】
【深度学习】
通过观察图象,总结对数函数底数的大小与图象的关系,加深学生对对数函数图象的理解和观察,为近一步通过图象得到性质进行铺垫.
师:两个单调性相同的对数函数,它们的图象在位于直线右侧部分是“底大图低”.学完了对数函数的性质,下面看一道例题.
【典型例题】
利用对数函数性质求值
例3 比较下列各题中两个值的大小:
(1),且
【根据对数函数的性质,学生独立完成,教师总结】
生:(1)和可看作函数的两个函数值.因为底数,对数函数是增函数,且,所以.
(2)和可看作函数的两个函数值.因为底数,对数函数是减函数,且,所以.
(3)和可看作函数的两个函数值.当时,因为函数是增函数,且,所以;当时,因为函数是减函数,且,所以.
【分析计算能力】
结合对数函数的性质,合作学习解决比较两个对数值的大小问题,培养学生猜想探究能力、概括理解能力.
师:当底数确定时,利用对数函数的单调性求值,当底数不确定时,要分类讨论.解决完例1题,请看例2题.
【典型例题】
用对数函数性质解决实际问题
例4 溶液酸碱度是通过计量的,的计算公式为,其中表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔升.
(1)根据对数函数性质及上述的计算公式,说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系;
(2)已知纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升,计算纯净水的.
生:(1)根据对数的运算性质,有,在上,,随若的增大,减小,相应地,也减小,即pH减小.所以,随着的增大,减小,即溶液中氢离子的浓度越大,溶液的酸性就越强.
生:(2)当时,,所以,纯净水的是7.
师:胃酸中氢离子的浓度是摩尔/升,胃酸的是多少
生:.
【简单问题解决能力】
运用对数函数性质解决实际问题,培养学生分析理解、简单问题解决能力.
探究3 指数函数与对数函数的关系
师:下面,请同学们阅读教材,回答什么是反函数 互为反函数的两个函数的定义域和值域有什么关系 它们之间有什么关系
【学生阅读教材,画图象进行观察、讨论,教师总结】
师:反函数的定义如下.
【要点知识】
反函数的定义
一般地,对于函数,设它的值域为,我们根据这个函数中的关系,用把表示出来,得到.如果对于在中任何一个值,通过在A中都有唯一的值和它对应,那么就表示是自变量的函数,这样的函数叫做函数的反函数.
【先学后教】
学生阅读教材,自主学习反函数概念,教师引导,总结体现了先学后教的教学策略.
师:只有定义域和值域满足“一一对应”的函数才有反函数.那么,反函数具有什么样的性质呢 我们一起探讨下.
【情境设置】
探究反函数的性质
对于指数函数,你能利用指数与对数间的关系,得到与之对应的对数函数吗 它们的定义域、值域之间有什么关系 它们也互为反函数吗
生:由得,所以函数是函数的反函数,与的定义域与值域正好互换,与互为反函数.
师:一般地,指数函数,且与对数函数,且互为反函数,它们的定义域与值域正好相反.
师:画出一对反函数图象,你能说说反函数有什么性质吗
【学生合作探究,教师规范语言,师生共同得出反函数的性质】
师:反函数的性质如下.
【归纳总结】
反函数的性质
1.互为反函数的两个函数的图象关于直线对称.
2.若函数的图象上有一点,则必在其反函数的图象上.反之,若点在反函数的图象上,则必在其原函数的图象上.
3.反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是原函数的定义域.
4.单调函数的反函数与原函数有相同的单调性.
5.若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数.
【发现创新能力】
综合所学知识,探究反函数的性质,培养学生的总结、发现创新能力.
师:结合所学知识,比较指数函数和对数函数的图象和性质.
【学生思考,教师提示:从图象、定义域、值域和函数值的变化情况等方面进行比较】
【要点知识】
指数函数和对数函数的图象与性质比较
名称 指数函数 对数函数
一般 形式 ,且 ,且
图象
定义域
值域
函数值的 变化情况 当时, 当时, 当时, 当时,
【概括理解能力】
对比指数函数和对数函数的图象和性质,培养学生的概括理解、总结归纳能力.
师:这节课你学到了什么
【课堂小结】
对数函数的概念、图象与性质
【设计意图】
学生独立回顾知识点,教师完善、帮助学生形成知识体系,培养学生的归纳总结、逻辑思维能力.
教学评价
本节课学习了对数函数的概念、图象与性质,不同函数增长的差异.
应用所学知识,完成下题:
大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵,研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速(单位:)与其耗氧量单位数之间的关系可以表示为函数,其中,为常数.已知一条鲑鱼在静止时的耗氧量为100个单位,而当它的游速为时,其耗氧量为2700个单位.
(1)求出游速与其耗氧量单位数之间的函数解析式.
(2)当一条鲑鱼的游速不高于时,其耗氧量的最大值是多少个单位
解析:要求“当一条鲑鱼的游速不高于时,其耗氧量的最大值是多少个单位”,就是求游速与其耗氧量单位数之间的函数的最大值.具体解题过程如下:
(1)由题意,得,解得.故游速与其耗氧量单位数之间的函数解析式为.
(2)由题意,得,即,∴,由对数函数的单调性,有,解得,所以当一条鲑鱼的游速不高于时,其耗氧量的最大值是24300个单位.
【设计意图】
本题考查学生求对数函数最大值的方法.既引导学生回顾对数函数的相关知识,又培养学生的推测解释分析计算能力,同时提升逻辑推理、数学运算核心素养.
教学反思
本节教学案例,严格按照教材体例和顺序编写,在学习对数函数时,可让学生适当做一些练习,强化对对数函数概念的理解.在解有关求定义域的问题时,学生可能会忽略底数的取值范围以及真数必须大于0这些条件,教师要适时指导,在学习对数函数图象时,要注意画图的准确性;总结图象特征和性质时,教师要关注每位学生的表现,在教学中应多给学生创造尝试、思考、交流、讨论表述的机会;在不同函数增长差异中,先设计两个探究,通过讨论、探究、推导,找出一次函数与指数函数、一次函数与对数函数的增长方式的差异.在设计第一个探究时,不能只用函数和得出一次函数与指数函数增长方式的差异,应再举一些例子,在探究一次函数与对数函数的增长差异时,也要多举一些例子.可以通过多媒体展示.使我们的推论更有说服力.
【以学定教】
综合对数函数概念、图象和性质,深层理解对数函数与指数函数的关系,体会函数图象的增长差异,从而解决问题.
【以学论教】
在学生的实际学习过程中,教师应根据具体学情,使学生理解对数函数的概念,在学习图象特征和性质时,教师要关注每一个学生的表现,在学习不同函数增长差异时,要多举一些例子,在整体学习过程中,教师应多给学生创造尝试、思考、交流、讨论表述的机会.
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