中小学教育资源及组卷应用平台
专题12 一次函数
一、单选题
1．（2023·广东·惠州市惠阳区朝晖学校九年级开学考试）下列说法中，正确的是（ ）
A．一次函数是正比例函数 B．正比例函数包括一次函数
C．一次函数不包括正比例函数 D．正比例函数是一次函数
【答案】D
【分析】根据一次函数和正比例函数的意义解答．
【详解】解：∵在中，当b≠0时，一次函数不是正比例函数，
∴正比例函数不包括一次函数，故A、B错误；
∵在中，当b=0时，一次函数变为正比例函数，
∴一次函数包括正比例函数，正比例函数是一次函数的一种特殊形式，故C错误，D正确；
故选D．
【点睛】本题考查一次函数和正比例函数的应用，熟练掌握一次函数和正比例函数的意义及二者关系是解题关键．
2．（2022·广东·惠州大亚湾区金澳实验学校八年级阶段练习）一次函数y＝3x＋1的图象一定经过（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将选项中的点分别代入解析式逐一进行判断即可．
【详解】解：A．当时，，选项错误，不符合题意；
B．当时，，选项错误，不符合题意；
C．当时，，选项正确，符合题意；
D．当时，，选项错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查一次函数上图象上的点，熟练掌握一次函数图象上的点的横纵坐标满足一次函数的解析式是解题的关键．
3．（2022·黑龙江·大庆市庆新中学七年级期末）如图，已知直线，根据图象可知不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】找出直线落在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可．
【详解】解：根据图象可知当x＜1时，直线落在x轴下方，
即不等式的解集是，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
4．（2022·湖南·长沙市一中双语实验中学九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与y轴的交点的坐标为( )
A．（1，0） B．（，0） C．（，0） D．（0，1）
【答案】D
【分析】令x=0，求出对应函数值，即可确定与y轴的交点的坐标．
【详解】解：当时，，
一次函数的图像与轴的交点的坐标为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数图像与坐标轴的交点问题，掌握坐标轴上的点的坐标特征是解答本题的关键．
5．（2022·福建省福州杨桥中学九年级开学考试）已知 是一次函数的图象上的两个点，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【分析】根据一次函数的性质进行判断即可；
【详解】解：
∵，
∴随的增大而增大，
∵，
∴ ；
故选B．
【点睛】本题考查一次函数的性质．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
6．（2022·北京·日坛中学九年级开学考试）已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据直线判断出函数图象的增减性，再根据各点横坐标的大小进行判断即可．
【详解】解：直线，，
随的增大而减小，
又，
．
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数的性质，掌握k的符号如何决定函数的增减性是解题的关键．
7．（2022·福建泉州·八年级期末）若一次函数的y值随x的增大而减小，则该一次函数的图象可能经过的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将各选项的坐标代入解析式中，求得k值为负数的选项为正确选项．
【详解】∵一次函数y=kx+k+3的y值随x的增大而减小，
∴k＜0．
若点（1，1）在一次函数y=kx+k+3的图象上，
∴1=2k+3，
∴k=-1＜0，
∴A选项符合题意；
若点（1，3）在一次函数y=kx+k+3的图象上，
∴3=2k+3．
∴k=0．
∴B选项不符合题意；
若点（1，4）在一次函数y=kx+k+3的图象上，
∴4=2k+3．
∴k=＞0，
∴C选项不符合题意；
若点（1，5）在一次函数y=kx+k+3的图象上，
∴5=2k+3．
∴k=1＞0，
∴D选项不符合题意；
综上，A选项符合题意．
故选：A.
【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，待定系数法，利用待定系数法解答是解题的关键．
8．（2022·福建·闽江学院附中九年级开学考试）一次函数的图象经过原点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把原点坐标代入函数解析式可得b的值，然后根据一次函数的定义可得k的取值范围，问题得解．
【详解】解：由一次函数的意义可得k≠0,
∵一次函数 y=kx+b 的图象经过原点，
∴0=k×0+b，
∴b=0，
故选B ．
【点睛】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的定义及由函数图象上点的坐标求解析式参数的方法是解题关键．
9．（2022·广东·惠州大亚湾区金澳实验学校八年级阶段练习）已知一次函数y＝（m－1）x＋3，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m＞1 B．m＜1 C．m＞2 D．m＜2
【答案】A
【分析】根据一次函数的性质，当k＞0时，y随x的增大而增大，列式计算即可．
【详解】∵一次函数y=(m-1)x+3，y随x的增大而增大，
∴m-1>0，
解得m>1．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数的增减性，熟练掌握“一次函数y=kx+b，k>0时，y随x的增大而增大，k<0时，y随x的增大而减小”是解题的关键．
10．（2022·安徽·金寨县天堂寨初级中学八年级阶段练习）一次函数 与正比例函数 （m，n为常数、且 ）在同一平面直角坐标系中的图可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论mn的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．
【详解】解：A、一次函数m＞0，n＞0；正比例函数mn＜0，矛盾；
B、一次函数m＞0，n＜0；正比例函数mn＞0，矛盾；
C、一次函数m＞0，n＜0，正比例函数mn＜0，成立；
D、一次函数m＜0，n＞0，正比例函数mn＞0，矛盾，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一次函数和正比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y＝kx＋b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，经过第二、三、四象限．
11．（2022·安徽·无为县实验中学八年级阶段练习）某品牌鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系，若22码鞋子的长度为16cm，44码鞋子的长度为27cm，则42码鞋子的长度为（ ）
A．23cm B．24cm C．25cm D．26cm
【答案】D
【分析】由题意设某品牌鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间的关系式为：，利用待定系数法求得解析式为：，将x=42，代入解析式进行求值即可．
【详解】解：设某品牌鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间的关系式为：，
将x=22，y=16；x=44，y=27，分别代入解析式得：，
解得：，
∴长度ycm与鞋子的“码”数x之间的关系式为：，
将x=42，代入解析式得：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是一次函数求解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
12．（2022·河北·石家庄石门实验学校九年级开学考试）直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据图象利用一次函数与一元一次不等式的关系即可求解．
【详解】解：由图象知：时，直线在直线的上方，
所以的不等式的解为，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握利用图象获取信息的能力．
13．（2022·陕西省西安爱知中学九年级开学考试）在平面直角坐标系中，将直线平移后得到直线，则下列平移方法正确的是（ ）
A．将向上平移4个单位长度 B．将向下平移6个单位长度
C．将向左平移3个单位长度 D．将向右平移3个单位长度
【答案】C
【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．
【详解】解：∵将直线平移后，得到直线，
∴，
解得：＝3，
故将向左平移3个单位长度．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，正确掌握平移规律是解题关键．
14．（2022·安徽·无为县实验中学八年级阶段练习）对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．当x＞1时，y＜0 B．它的图象经过第一、二、三象限
C．它的图象必经过点（－1，3） D．y随x的增大而增大
【答案】A
【分析】根据一次函数的图象和性质，进行判断即可．
【详解】解：，
∵，
∴一次函数的图象过第二、三、四象限，y随x的增大而减小，
必过点：，
∴当x＞1时，y＜0
当时，，不过点；
综上，A选项正确，符合题意；B、C、D三个选项错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
15．（2022·安徽·无为县实验中学八年级阶段练习）已知点（-4，y1），（2，y2）都在直线y=x+b上，则y1，y2大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 D．不能比较
【答案】A
【分析】由一次函数k= ＜0，可得y随x的增大而减小，比较已知点的横坐标即可求解．
【详解】∵一次函数y=x+b中，k=＜0，
∴y随x的增大而减小．
∵-4＜2，
∴y1＞y2．
故选A．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．
16．（2023·安徽·安庆市石化第一中学九年级阶段练习）已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m﹣3）在同一个函数的图象上，则这个函数可能是（ ）
A．y＝2x﹣3 B．y＝﹣ C．y＝﹣2 D．y＝﹣
【答案】D
【分析】由点A（﹣1，m），B（1，m）的坐标特征，可知函数图象关于y轴对称，于是排除选项A、B；再根据B（1，m），C（2，m﹣3）的特征判断即可．
【详解】解：∵A（﹣1，m），B（1，m），
∴点A与点B关于y轴对称，
故选项A、B不可能，
把B（1，m），C（2，m﹣3）分别代入C、D选项中的解析式可知，
B（1，m），C（2，m﹣3）符合函数y＝﹣，不符合函数y＝﹣2，
∴D选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数上点的坐标特征，可以采用排除法得出答案．
17．（2023·福建厦门·八年级期末）已知一次函数y＝ax＋b（a≠0），a，b满足关系式a2＝4（b－1）－2b（b－a），若P（m，－1），Q（n，3）在一次函数y＝ax＋b（a≠0）的图象上，则下列正确的是（ ）
A．m＜0＜n B．m＞0＞n C．m＞n＞0 D．m＜n＜0
【答案】A
【分析】先把a2＝4（b﹣1）﹣2b（b﹣a），变形为（a﹣b）2＋（b﹣2）2＝0，得出b＝2，a＝2，再把P（m，﹣1），Q（n，3）代入一次函数解析式求解即可．
【详解】解：∵a2＝4（b﹣1）﹣2b（b﹣a），
∴a2＝4b﹣4﹣2b2+2ab，整理得：（a﹣b）2＋（b﹣2）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣2）2≥0，
∴（a﹣b）2＝（b﹣2）2＝0，
∴b＝2，a＝2，
∴y＝2x+2，
当y＝﹣1时，﹣1＝2m+2，得：m，
当y＝3时，3＝2n+2，得：n，
∴m＜0＜n，
故选：A．
【点睛】本题考查了非负数的性质、公式法进行因式分解、一次函数的解析式、求函数值或自变量的值，根据题意求出a，b的值是解题的关键．
18．（2022·安徽·无为县实验中学八年级阶段练习）甲、乙两人在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行1200米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①乙用6分钟追上甲；②乙步行的速度为60米/分；③乙到达终点时，甲离终点还有400米；④整个过程中，甲乙两人相距180米有2个时刻，分别是t=18和t=24．其中正确的结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由图可得，甲出发9分钟时，乙追上甲，故乙用6分钟追上甲，故①结论正确；
由题意可得：甲步行的速度为=40（米/分）；
设乙的速度为x米/分，
由题意可得：9×40=（9-3）x，
解得x=60，
∴乙的速度为60米/分；故②正确；
∴乙走完全程的时间==20（分），
乙到达终点时，甲离终点距离是：1200-（3+20）×40=280（米），故③结论错误；
由图可知，整个过程中，甲乙两人相距180米有2个时刻，当t=18时，甲距起点40×18=720（米），乙距起点60×（18-3）=900（米），此时二人相距180米；当t=24时，乙已到终点，即乙距起点1200米，甲距起点24×40=960米，此时二人相距240米，故④错误；
∴正确的结论有①②，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
19．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）三模）在边长为4的正方形ABCD的边上有一个动点P，从A出发沿折线ABCD移动一周，回到A点后继续周而复始．设点P移动的路程为x，△PAC的面积为y．请结合右侧函数图像分析当x=2021时，则y的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】要对点P所在的位置进行分类：①当点P在线段AB上移动；②当点P在线段BC上移动；③当点P在线段CD上移动；④当点P在线段DA上移动；探讨得出规律即可．
【详解】解：①当点P在线段AB上移动，
即0＜x≤4时，y＝AP BC＝2x；
②当点P在线段BC上移动，
即4＜x＜8时，y＝PC AB＝(8 x) 4＝16 2x；
③当点P在线段CD上移动，
即8＜x≤12时，y＝PC AD＝(x 8) 4＝2x 16；
④当点P在线段DA上移动，
即12＜x＜16时，y＝AP CD＝(16 x) 4＝32 2x，
点P的运动轨迹以16为单位循环，
当x=2021时，2021÷16=126……5，
此时y=16 2×5=6，
故答案为：C．
【点睛】本题考查动点函数问题，分段函数的应用，函数的解析式的求法以及动点的运动规律，分类探讨是解决问题的关键．
20．（2022·湖北·黄石市有色中学九年级开学考试）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由二次函数的图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致．
【详解】解：A、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数和一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质．
21．（2022·云南·弥勒市长君实验中学八年级阶段练习）下列关于一次函数的图象性质的说法中，不正确的是（ ）
A．直线与y轴交点的坐标是 B．与坐标轴围成的三角形面积为
C．直线经过第一、二、四象限 D．若点，在直线上，则
【答案】D
【分析】利用一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征判断即可．
【详解】解：A、∵当x=0时，y=2， ∴直线与y轴交点的坐标是（0，2），正确，故此选项不符合题意；
B、∵当y=0时，-x+2=0，解得：x=2，∴直线与x轴交点的坐标是（2，0），∴直线与坐标轴围成的三角形面积=×2×2=2．正确，故此选项不符合题意；
C、∵k=-1＜0，b=2＞0，∴直线经过第一、二、四象限；正确，故此选项不符合题意；
D、∵k=-1＜0，∴y随x的增大而减小，∵点A（-1，a），B（1，b）在直线上，∵-1<1，∴a＞b，故a故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数图象和性质是解题的关键．
22．（2022·江苏·扬州市江都区实验初级中学八年级阶段练习）如图，点A在直线y＝x上，AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上，以AC为边做正方形ACDE，点D恰好在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，连接AD，若，则k的值为（ ）
A．5 B．6 C．12 D．24
【答案】B
【分析】设正方形的边长为a，点A（t，t），则OB=AB=t，AC=CD=a，于是可表示出C（t，t-a），D（t+a，t-a），再利用等腰直角三角形的性质可得OA=t，AD=a；由可得，最后根据反比例函数图像的性质即可解答．
【详解】解：设正方形的边长为a，点A（t，t），则OB=AB=t，AC=CD=a，
∴C（t，t-a），D（t+a，t-a）
∵等腰直角三角OAB和正方形ACDE
∴，，
∵，
∴，即，
∵点D在反比例函数的图像上，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合问题、正方形的性质、反比例函数的性质等知识点，正确设出未知数、根据题意表示出所需的量和等式是解答本题的关键．
23．（2022·山东·宁津县大庄中学八年级阶段练习）下列问题中，两个变量成正比例的是（ ）
A．圆的面积S与它的半径r
B．正方形的周长C与它的边长a
C．三角形面积一定时，它的底边a和底边上的高h
D．路程不变时，匀速通过全程所需要的时间t与运动的速度v
【答案】B
【分析】利用正比例函数的定义计算．
【详解】解∶ A、圆的面积S=，不是正比例函数，故本选项错误；
B、正方形的周长C=4a，是正比例函数，故本选项正确；
C、三角形面积S一定时，它的底边a和底边上的高h的关系，不是正比例函数，故本选项错误；
D、设路程为s，则依题意得s=vt，即，则v与t不是正比例关系,故本选项错误．
故选∶B．
【点睛】本题考查正比例函数的定义，一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx ( k为常数，且k≠0)的函数，我们称y就叫做x的正比例函数，熟记圆的面积公式、正方形的周长公式、三角形的面积公式以及路程、时间及速度间的关系是解题的关键．
24．（2022·湖北华一寄宿学校八年级阶段练习）如图，已知直线交、轴于、两点，以为边作等边、、三点逆时针排列，、两点坐标分别为、，连接、，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在x轴上方作等边△AOF，证明△AOB≌△AFC（SAS），所以点C的轨迹为定直线CF，作点E关于直线CF的对称点E'，连接CE'，CE＝CE'，当点D、C、E'在同一条直线上时，DE'＝CD+CE的值最小，再根据勾股定理，即可解答．
【详解】解：点在直线上，
，
，
，
，
，，
在轴上方作等边，
，
，即，
又，，
≌，
，
点的轨迹为定直线，
作点关于直线的对称点，连接，，
，
当点、、在同一条直线上时，的值最小，
，，，
∴，AG=2×2=4，，
∴ ,
∴
∵关于M的对称，
∴，
的最小值
故选：D．
【点睛】本题考查最短路径，勾股定理，轴对称等知识点，解题关键是熟练掌握以上知识点、根据条件好问题作出辅助线
25．（2022·辽宁·丹东市第十九中学八年级期末）如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据A 是函数 ， 的图像交点，可把A代入中，求出 ，所以点 ，再把A代入解得 ，不等式 可化为 ，解不等式即可得出答案．
【详解】函数过点，
，
解得：，
，
将A代入中，
，
解得：
解不等式
解集为．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，求出点A的坐标和 的函数解析式，并结合函数图象进行解答是解题的关键．
26．（2022·陕西安康·八年级期末）在平面直角坐标系中，已知直线与直线平行，且与轴交于点，与轴的交点为，则的面积为（ ）
A．2022 B．1011 C．8 D．4
【答案】D
【分析】先根据两直线平行k值相等，以及直线经过点M(0,4)，即可求出直线MN的解析式，进而可求出N点坐标，然后根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】∵直线与直线平行，
∴k=2，即，
∵直线过点M(0,4)，
∴，即b=4，
∴直线MN的解析式为，
当y=0时，有x=-2，
∴N点坐标为(-2,0)，
∴ON=2，
∵M(0,4)，
∴OM=4，
∴△MON的面积为：，
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标系中两直线平行的性质以及直线与坐标轴交点的知识，掌握坐标系中两直线平行时两直线的解析式的k值相等是解答本题的关键．
27．（2022·湖北武汉·八年级期末）直线y＝x+n与直线y＝mx+3n（m是常数，m≠0且m≠1）交于点A，当n的值发生变化时，点A到直线y＝x﹣3的距离总是一个定值，则m的值是（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】先求得交点A的坐标，即可求出点A的轨迹，进而判断出直线与直线y＝x﹣3平行，即可求出m的值．
【详解】解：∵直线y＝x+n与直线y＝mx+3n（m是常数，m≠0且m≠1）交于点A，
解析式联立解得，x＝ ，y＝ ，
∴A（，），
∴yA＝xA，
当m为一个的确定的值时，yA是xA的正比例函数，
即：点A在直线y＝x上，
∵点A到直线y＝x﹣3的距离总是一个定值，
∴直线y＝x与直线y＝x﹣3平行，
∴＝，
∴m＝．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，平行线的判定，得出点A的轨迹，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．
28．（2022·重庆南开中学八年级期末）甲、乙两支龙舟队沿安居古城涪江段进行比赛，早上9：00同时从起点出发．甲队在上午11：30分到达终点，乙队一直匀速前进．比赛时甲、乙两队所行驶的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．甲队先达到终点
B．上午10：30分乙队追上甲队
C．甲、乙两队在上午10：00时相距最远
D．上午11：10乙队到达终点
【答案】C
【分析】甲队在上午11时30分到达终点，共花时间2.5小时，从图象上看，AB线是甲队的路程，所以是乙队花时间少，先到终点，从而判断A，D；从图象来看，乙队的路程与时间成正比例关系，甲队的路程与时间是一个分段函数，即在1小时内是正比例函数，在1到2.5小时是一次函数，可使用待定系数法分别求出．乙队追上甲队时，两队的路程相等，列出方程可求解，从而判断B；由图看出1小时之内，两队相距最远距离是4千米；乙队追上甲队后，两队的距离也可计算，相比较得出甲、乙两队在出发后1小时相距最远，从而判断C．
【详解】解：对于乙队，x＝1时，y＝16，所以y＝16x，
到达终点用时35÷16＝时＝2时11分15秒，时间为11时11分15秒，
∵甲队在上午11：30分到达终点，
∴乙队先到达终点．
故A、D错误，不符合题意；
对于甲队，出发1小时后，设y与x关系为y＝kx+b，
将x＝1，y＝20和x＝2.5，y＝35分别代入上式得： ，
解得： ，
所以y＝10x+10
∴解方程组 得：x＝．
即出发1小时40分钟后（或者上午10点40分）乙队追上甲队，
故B错误，不符合题意；
1小时之内，两队相距最远距离是4千米；
乙队追上甲队后，两队的距离是16x﹣（10x+10）＝6x﹣10，当x为最大，
即x＝时，6x﹣10最大，
此时最大距离为6×﹣10＝3.125＜4，
所以比赛过程中，甲、乙两队在出发后1小时（或者上午10时）相距最远，
故C正确，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的实际运用，利用待定系数法求一次函数关系式．当解决追程问题时，需注意的是两者路程相等．
29．（2022·新疆·乌市八中八年级期末）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上，直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为( )
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【答案】B
【分析】过B作BM⊥OE于M，过C作CN⊥OF于N，根据AAS定理证得△DAO≌△ABM，△CDN≌△DAO，根据全等三角形的性质求出C点的坐标为(2,3)，由待定系数法求出直线l的解析式为y=-x+4，设平移后点C的坐标为(2,3-m)，代入解析式即可求出m．
【详解】解：过B作BM⊥OE于M，过C作CN⊥OF于N，如图，
∴∠ABM+∠BAM=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=DA，
∴∠DAO+∠BAM=90°，
∴∠DAO=∠ABM，
在△DAO和△ABM中，
，
∴△DAO≌△ABM(AAS)，
∴OA=BM，OD=AM，
∵B(3,1)，
∴BM=1，OM=3，
∴OA=1，
∴AM=OM-OA=2，
∴OD=2，
同理可证△CDN≌△DAO，
∴DN=OA=1，CN=DO=2，
∴ON=OD+DN=3，
∴C(2,3)，
∵点B(3,1)在直线l：y=kx+4上，
∴3k+4=1，
∴k=-1，
∴直线l的解析式为y=-x+4，
设正方形ABCD沿y轴向下平移m个单位长度后点C的坐标为(2,3-m)，
∵点C在直线l上，
∴-2+4=3-m，
解得：m=1，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的特征，正方形的性质，坐标与图形的变化-平移，全等三角形的判定与性质定理，根据AAS定理证得△DAO≌△ABM，△CDN≌△DAO，求出C点的坐标是解决问题的关键．
30．（2022·湖北武汉·八年级期末）我们把、、三个数的中位数记作，直线与函数的图象有且只有2个交点，则的值为（ ）
A．或或1 B．或 C．或或1 D．2或
【答案】A
【分析】画出函数y=Z|2x-2，x+1，-x+1|的图象，要使直线y=kx+与函数y=Z|2x-2，x+1，-x+1|的图象有且只有2个交点，只需直线经过（3，4）或经过（1，0）或平行于y=x+1．
【详解】解：由题意，函数y=Z|2x-2，x+1，-x+1|的图象如图所示：
直线y=2x-2与直线y= x+1交于点（3，4），
直线y=2x-2、y=-x+1与x轴交于点（1，0），
直线y= x+1与y轴交于点（0，1），
∵y=kx+与函数y=Z|2x-2，x+1，-x+1|的图象有且只有2个交点，
当直线y=kx+经过点（3，4）时，则4=3k+，
解得k=，
当直线y=kx+经过点（1，0）时，k=-，
当k=1时，平行于y=x+1，与函数y=Z|2x-2，x+1，-x+1|的图象也有且仅有两个交点；
∴直线直线y=kx+与函数y=Z|2x-2，x+1，-x+1|的图象有且只有2个交点，则k的取值为或-或1．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的性质以及中位数的概念，数形结合思想的应用是解题的关键．
31．（2022·广西贵港·八年级期末）如图，直线，相交于点，直线m交x轴于点，直线n交x轴于点，交y轴于点A．下列四个说法：①；②；③；④直线m的函数表达式为．其中正确说法的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】直接运用待定系数法求出函数解析式，再运用一次函数图象上的点的坐标的特征、全等三角形的判定求解此题．
【详解】解：设直线的解析式为，直线的解析式为．
由题意得，或．
，．
①由得，那么①正确．
②由，点得，．对于直线，当，，那么．根据勾股定理，得．
由①得，，得，那么．由，，，得，那么②正确．
③如图，
由题得，，，那么．由②得，那么，推断出，故③正确．
④由分析知，直线的函数表达式为，那么④正确．
综上，正确的有①②③④，共4个．
故选：A．
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式、一次函数图象上的点的坐标的特征、全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式、一次函数图象上的点的坐标的特征、全等三角形的判定．
32．（2022·广东肇庆·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l1于点A1，过A1点作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2022的坐标为（ ）
A．（1011，﹣1011） B．（﹣10112，10112）
C．（﹣21011，21011） D．（21011，﹣21011）
【答案】C
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9等的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A4n+1(22n，22n+1)，A4n+2(-22n+1，22n+1)，A4n+3(-22n+1，﹣22n+2)，A4n+4（22n+2，﹣22n+2）（n为自然数）”，依此规律结合2022＝505×4+2即可找出点A2022的坐标．
【详解】解：当x＝1时，y＝2，
∴点A1的坐标为(1，2)；
当y＝-x＝2时，x＝﹣2，
∴点A2的坐标为(-2，2)；
同理可得：A3(-2，-4)，A4(4，-4)，A5(4，8)，A6(-8，8)，A7(-8，-16)，A8(16，16)，A9(16，32)，A10(-32，32)，…，
∴A4n+1(22n，22n+1)，A4n+2(-22n+1，22n+1)，
A4n+3(-22n+1，﹣22n+2)，A4n+4（22n+2，-22n+2)(n为自然数)．
∵2022＝505×4+2，
∴点A2022的坐标为(-2505×2+1，2505×2+1)，即(-21011，21011)．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的图象以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．
33．（2022·安徽芜湖·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点是直线与直线的交点，点B是直线与y轴的交点，点P是x轴上的一个动点，连接PA，PB，则的最小值是（ ）
A．6 B． C．9 D．
【答案】D
【分析】作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，则PA+PB的最小值即为A'B的长，先求出点A坐标，再待定系数法求出b的值，根据轴对称的性质可得点A'的坐标，进一步求出A'B的长，即可确定PA+PB的最小值．
【详解】解：作点A关于x轴的对称点，连接，如图所示：
则PA+PB的最小值即为的长，
将点A（3，a）代入y=2x，
得a=2×3=6，
∴点A坐标为（3，6），
将点A（3，6）代入y=x+b，
得3+b=6，
解得b=3，
∴点B坐标为（0，3），
根据轴对称的性质，可得点A'坐标为（3，-6）
∴，
∴PA+PB的最小值为．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及两直线的交点问题，一次函数的性质，利用轴对称解决最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质以及一次函数的性质是解题的关键．
二、填空题
34．（2022·福建泉州·八年级期末）将函数的图象沿y轴向上平移2个单位长度后，所得图象对应的函数关系式是______．
【答案】
【分析】根据题意一次函数的平移的规律，即可求解．
【详解】解：根据题意得：将函数的图象沿y轴向上平移2个单位长度后，所得图象对应的函数关系式是．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了一次函数的平移，熟练掌握一次函数的平移的规律：上加下减是解题的关键．
35．（2022·广东·佛山市南海区桂城街道映月中学八年级阶段练习）如图，一次函数与一次函数的图象交于点P(1，2)，则关于不等式的解是______．
【答案】x>1
【分析】根据题意，可知当x=1时，=，再根据函数图象可以直接写出不等式>的解集．
【详解】解：由图象可得，
不等式>的解集是x>1，
故答案为：x>1．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
36．（2022·北京·人大附中九年级开学考试）正比例函数y＝kx经过点（1，3），则k＝_____．
【答案】3
【分析】将点（1，3）代入解析式即可求解．
【详解】∵正比例函数y＝kx经过点（1，3），
∴k＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质，掌握正比例函数的性质是解题的关键．
37．（2022·四川·仁寿县鳌峰初级中学八年级期中）把直线y=2x+1，向下平移3个单位得到直线__________________．
【答案】
【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：由“上加下减”的原则可知，直线y=2x+1向下平移3个单位后得到直线解析式是：，即．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．
38．（2022·海南·儋州川绵中学八年级期末）直线与直线平行，则的值为______．
【答案】
【分析】直接根据两直线平行的条件即可得出结论．
【详解】解：直线与直线平行，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是两条直线相交或平行问题，熟知若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即值相同，是解答此题的关键．
39．（2022·广西·银海学校八年级期末）已知，两点在一次函数的图象上，则，的大小关系是______（用“<”、“>”或“=”号表示）．
【答案】>
【分析】首先判断一次函数一次项系数为负，然后根据一次函数的性质当，随的增大而减小即可作出判断．
【详解】解：∵一次函数中，
∴y随增大而减小，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征的知识，解答本题要掌握一次函数的性质当，随的增大而减小，此题难度不大．
40．（2023·广东·惠州市惠阳区朝晖学校九年级开学考试）如图，折线表示从甲地向乙地打电话所需的电话费（元）关于通话时间（分钟）的函数图象，则通话7分钟需要支付电话费_________元．
【答案】6.4
【分析】用待定系数法求出直线BC的函数表达式，再求出当t=7时的函数值即可．
【详解】解：由图可知B（3，2.4），C（5，4.4），
设直线BC的函数表达式为：y=kt+b，
将点B和点A的坐标代入得：
，解得，
∴直线BC的函数表达式为：，
当t=7时，y=7-0.6=6.4．
故答案为：6.4．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的图象和性质，根据函数图象求解一次函数是表达式是解题的关键．
41．（2023·福建省福州第十六中学八年级期末）平面直角坐标系中，原点O到直线y=kx+2k+4的距离的最大值是__________．
【答案】2
【分析】一次函数y=kx+2k+4的图像过定点（-2，4），原点O（0，0）到过（-2，4）所有直线的距离h小于等于（0，0）到（-2，4）的距离，O（0，0）到（-2，4）的距离为2．
【详解】解：∵y=kx+2k+4=（x+2）k+4，当x=-2时，无论k为何值，y=4，
∴直线y=kx+2k+4的图像过定点A（-2，4），
又∵点到直线的距离等于点到直线的垂线段的长，
∴原点O（0，0）到过A（-2，4）所有直线的距离h小于等于（0，0）到（-2，4）的距离，
∴O（0，0）到（-2，4）的距离为=2，
即坐标原点O到一次函数y=kx+2k+4图像的距离的最大值为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查一次函数的图像和性质，及点到直线的距离公式，解题关键是直线经过定点（-2，4）．
42．（2022·全国·八年级期中）在下列函数中，是自变量，是因变量，则一次函数有___，正比例函数有___．（将代号填上即可）①；②；③；④；⑤．
【答案】 ①③④ ③
【分析】根据一次函数及正比例函数的定义，即可一一判定．
【详解】解：①是一次函数，不是正比例函数；
②不是一次函数；
③是正比例函数，因为正比例函数一定是一次函数，所以还是一次函数；
④是一次函数；
⑤既不是正比例函数也不是一次函数．
故答案为：①③④，③．
【点睛】本题考查了一次函数及正比例函数的定义，熟知正比例函数是一次函数的特例是解决本题的关键．
43．（2022·广东·惠州大亚湾区金澳实验学校八年级阶段练习）已知函数为一次函数，则m＝______．
【答案】
【分析】根据一次函数定义，形如，分别列出方程、不等式即可解得答案．
【详解】解：∵函数是一次函数，
∴且，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数的定义，根据定义列出方程和不等式是解题的关键．
44．（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校八年级阶段练习）如图，△AOB的顶点坐标分别为A(0，4)、B(3，0)，将△AOB沿x轴向右平移，当点A落在直线y= 3x-8上时，线段OA扫过的面积为__________
【答案】
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A平移后所在的位置，结合OA的长可得出线段OA扫过的区域是边长为4的正方形，再求出正方形区域的面积即可求出线段OA扫过的面积为16．
【详解】解：当y=4时，3x-8=4，
解得：x=4，
∴平移后点A落在的位置为点(4，4)，
∴线段OA扫过的区域是边长为4的正方形，
∴线段OA扫过的面积=4×4=16．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标图图形变化-平移，利用一次函数图象上点的坐标特征及平移的性质，找出线段OA扫过的区域是边长为4的正方形是解题的关键．
45．（2022·上海·测试·编辑教研五八年级期末）如果直线经过第一、二、四象限，且与轴的交点为，那么当时的取值范围是______．
【答案】
【分析】先根据一次函数的性质画出函数的大致图象，然后结合图象，写出一次函数图象在轴上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：如图，当时，，
即当时的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：理解一次函数与一元一次不等式组之间的内在联系及数形结合思想．运用一次函数的性质是解决本题的关键．
46．（2022·湖北·五峰土家族自治县中小学教研培训中心八年级期末）将一次函数的图象向下平移2个单位，所得图象对应的函数表达式为___．
【答案】##
【分析】根据一次函数函数图象的平移规律：左加右减（只改变），上加下减（只改变），即可得到答案．
【详解】∵向下平移个单位长度，得到解析式
∴一次函数的图象向下平移2个单位，得解析式．
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数图象平移规律的应用，解题的关键是掌握一次函数平移规律：左加右减，上加下减．
三、解答题
47．（2023·广东·惠州市惠阳区朝晖学校九年级开学考试）为了测试某种汽车在高速路上匀速行驶的耗油量，专业测试员将汽车加满油，对汽车行驶中的情况做了记录，并把试验的数据制成如下表所示：
汽车行驶时间 0 1 2 3 …
剩余油量 60 52 44 36 …
(1)根据上表的数据，请用表示，_________．
(2)若油箱中的剩余油量为20升，汽车行驶了多少小时？
(3)若该汽车贮满汽油准备从高速路出发，要匀速前往需要7小时车程的某目的地，当余油量不足5升时，油箱将会报警，请问汽车能在油箱报警之前到达目的地吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)5小时
(3)不能；理由见解析
【分析】（1）根据表格数据可知，汽车的耗油量为8L/h,根据：剩余油量＝开始时存油量 行驶过程中消耗油量可列函数关系式；
（2）根据题意求y＝20时x的值即可；
（3）求当x＝7时汽车的剩余油量y，并判断与5的大小即可．
（1）
解：由表格数据可知，行驶时间延长1小时，剩余油量减少8L，即耗油量为8L/h，
∴y＝60 8x，
故答案为：60 8x；
（2）
根据题意，当y＝20时，得：60 8x＝20，
解得：x＝5，
故若油箱中的剩余油量为20升，汽车行驶了5小时；
（3）
不能在油箱报警之前到达目的地，
根据题意，当x＝7时，y＝60 8×7＝4＜5，
汽车不能在油箱报警之前到达目的地．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，由表格中数据求函数解析式可以根据等量关系列出或者利用待定系数法去求，理清能否在报警之前到达目的地之中的数量大小关系是关键，判别方法不一．
48．（2022·四川·成都市田家炳中学八年级阶段练习）如图，已知函数＝2x+b和＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B．
(1)分别求出这两个函数的解析式；
(2)求△ABP的面积；
(3)根据图象直接写出不等式2x+b＜ax﹣3的解集．
【答案】(1)，；
(2)
(3)
【分析】（1）把点P（-2，-5）分别代入函数=2x+b和=ax-3，求出a、b的值即可；
（2）根据（1）中两个函数的解析式得出A、B两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论；
（3）直接根据两函数图象的交点坐标即可得出结论．
（1）
解：∵将点P （-2，-5）代入，
得-5=2×（-2）+b，解得b=-1，
将点P （-2，-5）代入，
得-5=a×（-2）-3，解得a=1，
∴这两个函数的解析式分别为和；
（2）
∵在中，令，得x=，
∴A（，0）．
∵在中，令，得x=3，
∴B（3，0）．
∴．
（3）
由函数图象可知，当x＜-2时，2x+b＜ax-3．
∴不等式2x+b＜ax﹣3的解集为：x＜-2．
【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴的交点问题，能利用函数图象直接得出不等式的解集是解答此题的关键．
49．（2023·福建省福州第十六中学八年级期末）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是出价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件） 50 60 80
周销售量y（件） 100 80 40
周销售利润w（元） 1000 1600 1600
注：周销售利润=周销售量×（售价-进价）
(1)求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)当售价是多少元/件时，周销售利润最大，此时最大利润是多少元．
【答案】(1)y=-2x+200
(2)当售价是70元时，最大利润是1800元
【分析】（1）设函数解析式为y＝kx+b，再运用待定系数法解答即可；
（2）先确定进价，然后再利用销售利润＝销售量×（售价﹣进价）确定二次函数解析式，然后再确定函数解析式即可．
(1)
解：设一次函数解析式为y＝kx+b，
根据题意，得
，
解得
所以y与x的函数表达式为y＝﹣2x+200．
(2)
解：进价为50﹣（1000÷100）＝40元每件，
所以w＝（﹣2x+200）（x﹣40）
＝﹣2（x﹣70）2+1800
所以当x＝70元时，周销售利润最大，最大利润为1800元．
【点睛】本题考查了一次函数解析式和二次函数的应用，解题的关键在于对待定系数法和二次函数求最值的应用．
50．（2022·广东·平洲一中八年级阶段练习）寒假期间，两位家长计划带若干名学生去旅游，他们联系了两家旅行社的报价均是500元的旅行社.经协商，甲旅行社的优惠条件是：两位家长全额收费，学生按7折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、学生都按八折收费.假设有名学生，甲旅行社的总费用元，乙旅行社的总费用元.
(1)分别写出，与的关系式；
(2)请你帮他们分析应该选择哪家旅行社更省钱？
【答案】(1)，
(2)当学生数为4人时，选择甲，乙费用一样；
当学生数小于4人时，选择甲旅行社；
当学生数大于4人时，选择乙旅行社；
【分析】（1）根据题意，分别写出关系式即可；
（2）根据函数的图像和性质，分类讨论即可．
（1）
解：由题意得：；
；
∴，；
（2）
解：当时，，解得：；
当时：，解得：；
当时：，解得：；
∴当学生数为4人时，选择甲，乙费用一样；
当学生数小于4人时，选择甲旅行社；
当学生数大于4人时，选择乙旅行社．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用．从实际问题抽象出一次函数，求出函数解析式是解题的关键．
51．（2022·湖北·五峰土家族自治县中小学教研培训中心八年级期末）某登山队大本营所在地的气温为5，海拔每升高1 km气温下降6 ．登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y ．
(1)试用函数解析式表示y与x的关系；
(2)当登山队员由大本营登高0.5km时，他们所在位置的气温是多少摄氏度？
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）待定系数法求一次函数关系式；
（2）当登山运动员向上等高0.5千米时，即x=0.5时，求出y的值即可．
（1）
由题意得：解析式为
（2）
把x=0.5带入（1）中解析式：
答：他们所在位置的气温是2℃
【点睛】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题．解决本题的关键是能熟练掌握求一次函数的方法．
52．（2023·北京·首都师范大学附属中学九年级开学考试）如图，直线y＝kx+b(k＞0)与x轴、y轴分别交于点A，B，且OA＝3，OB＝4．
(1)求直线AB的函数表达式；
(2)若C是第一象限内的直线AB上一点，当△AOC的面积为6时，求点C的坐标．
【答案】(1)
(2)(6，4)
【分析】（1）先写出A、B点的坐标，然后利用待定系数法求直线AB的解析式；
（2）设C，则根据三角形面积公式得×3×＝6，然后解方程求出t，从而得到C点坐标．
（1）
∵OA＝3，OB＝4，
∴A(3，0)，B(0，-4)，
把A(3，0)，B(0，-4)分别代入y＝kx+b得，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x-4；
（2）
设C，
∵△AOC的面积为6，
∴×3×＝6，
解得t＝6，
∴点C的坐标为(6，4)．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解决本题的关键是掌握求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
53．（2023·广东·东莞市东华初级中学九年级期中）已知二次函数，m是常数.
(1)随着的变化，该二次函数的顶点的位置也发生变化，求出此时的轨迹的解析式函数；
(2)若直线经过该二次函数的顶点，求此时的值；
(3)将该二次函数与轴的两个交点分别记作、，顶点为，若三角形的面积为8，求此时二次函数的解析式.
【答案】(1)的轨迹的解析式函数表达式是；
(2)m的值是 2或0；
(3)二次函数为或．
【分析】（1）根据二次函数的函数表达式求得该函数的顶点坐标P (， )，利用代换法即可求得顶点坐标所在的函数图象的函数表达式；
（2）因为直线y=x + 1经过二次函数图象的顶点P，所以顶点坐标P (， )也满足直线方程y=x+1，故而，将其代入直线方程，求解即可；
（3）设，，点A在点B的左侧，则AB=，进而由三角形的面积为8， 构建方程，从而求得m的值，即可求出二次函数的解析式．
（1）
解：∵二次函数，m是常数，
∴ ，
∴顶点坐标是P (， )．
设 ，则，
∴ ，
∴的轨迹的解析式函数表达式是；
（2）
解：∵直线经过该二次函数的顶点P (， )，
∴ ，
∴，
∴m=0或m= 2，
∴若直线经过该二次函数的顶点， m的值是 2或0；
（3）
解：设，，点A在点B的左侧，
对于二次函数，当y=0时，，
∴，，
∴AB=
∵三角形的面积为8，P (， )，
∴，
化简得，
∴，，
当时，二次函数，
当时，二次函数，
综上所述，二次函数为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质、一次函数的性质，求出顶点p的坐标以及正确理解“直线经过该二次函数的顶点”，的意思是顶点坐标P (， )既满足二次函数，又满足直线y=x+1是解题的关键．
54．（2023·广东·东莞市东华初级中学九年级期中）已知函数．
(1)讨论的增减性；
(2)说明当为何值时取到最小，并写出最小值；
(3)若A和B在函数图像上，A和B是函数图像的拐点且A在B的左边，P和Q分别是x、y轴上的动点，若A，B，P，Q四点连成的四边形是平行四边形，求出此时P的坐标．
【答案】(1)当时，y随着x的增大而减小；当时，y随着x的增大而增大；
(2)当x=2时，y有最小值，最小值为；
(3)(1，0)，(-3，0) 或(3，0)．
【分析】（1）分段讨论增减，连续增或连续减的部分可以合并；
（2）根据（1）的结论求出最小值即可；
（3）分AB是对角线和边两种情况讨论．
（1）
当时，，
∵，所以此时y随着x的增大而减小；
当时，，
∵，所以此时y随着x的增大而减小；
当时，，
∵，所以此时y随着x的增大而增大；
综上所述：当时，y随着x的增大而减小；
当时，y随着x的增大而增大；
（2）
∵当时，y随着x的增大而减小；当时，y随着x的增大而增大；
∴当x=2时，y有最小值，最小值为：；
（3）
∵A和B是函数图像的拐点且A在B的左边，
∴A（-1，9），B（2，3），
①当AB为对角线时，如下图所示：
∵点A到点Q需要向右平移1个单位长度，
∴点B到点P需要向左平移一个单位长度，
∴P(1，0)
②当AB为边时，如下面两图所示：
∵点A到点B需要向右移动3个单位长度，
∴点O到点P需要向右（上面左图）或向左（上面右图）3个单位长度，
∴P(3，0)或P(-3，0)，
综上所述：P的坐标为P(1，0)，(-3，0) 或(3，0)．
【点睛】本题考查一次函数的增减性，分段函数的最值，平移，构成平行四边形四个点的坐标，正确画出图形，掌握平移的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
55．（2022·浙江绍兴·一模）如图1，平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（5，0），D（3，0），点P从点A出发，沿y轴负方向在y轴上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，过点P作轴交直线AD于点E．
(1)设点P的运动时间为t（s），DE的单位长度为y，求y关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
(2)当t为何值时，以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切？并求此时⊙E的半径；
(3)在点P的运动过程中，当以D，E，P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求此时t的值；
(4)如图2，将△ABD沿直线AD翻折，得到，连结，如果，求t值．（直接写出答案，不要求解答过程）．
【答案】(1)y关于t的函数关系式为，或
(2)当t为或16时，以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切，⊙E的半径为或12
(3)当以D，E，P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，t的值为或8或或10
(4)
【分析】（1）由勾股定理求出AD，分两种情况，由平行线得出比例式求出AE，得出DE即可；
（2）作EM⊥OD于M，则EM=4-t，由平行线得出比例式，得出，，当以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切时，PE=EM，分两种情况：①当0＜t＜4时；②当t＞4时；得出方程，解方程即可；
（3）当0≤t≤4时，由PE=DE，得出方程，解方程即可；当t＞4时，分三种情况：①当时，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当PE=PD时，由勾股定理得出方程，解方程即可；③当PE=DE时，得出方程，解方程即可；即可得出结果；
（4）设直线AD交于F，连接，则AF⊥，证明△AOD∽△BFD，得出比例式求出，得出，证明，得出比例式求出，即可得出t的值．
（1）
解：∵A（0，4），B（5，0），D（3，0），
∴OA=4，OD=3，
由勾股定理得：，
①当0≤t≤4时，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
②当t＞4时，；
综上所述，y关于t的函数关系式为，或；
（2）
解：如图1所示：作EM⊥OD于M，则EM=4-t，
∵，
∴，
即，
解得：，
当以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切时，PE=EM，分两种情况：
①当0＜t＜4时，，
解得：，此时；
②当t＞4时，，
解得：t=16，此时12；
综上所述，当t为或16时，以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切，⊙E的半径为或12；
（3）
解：当0≤t≤4时，由PE=DE，
∴，
解得：；
当t＞4时，分三种情况：如图2所示：
①当时，
由勾股定理得：，
即，
解得：t=8；
②当PE=PD时，
由勾股定理得：，
解得：，或t=4（舍去）；
∴；
③当PE=DE时，
解得：t=10；
综上所述：当以D，E，P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，t的值为或8或或10；
（4）
解：设AD交于F，连接，如图3所示：
则AF⊥，
∴∠AOD=∠BFD=90°，
又∵∠ADO=∠FDB，
∴∠OAD=∠FBD，△AOD∽△BFD，
∴，即，
∴，
∴，
∵，∠OAD=∠FBD，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了一次函数解析式的求法、平行线分线段成比例定理、切线的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）和（4）中，需要进行分类讨论和作辅助线证明三角形相似才能得出结果．
56．（2022·湖北·武汉市光谷实验中学九年级阶段练习）如图，已知抛物线的顶点M（0，4），与x轴交于A（－2，0）、B两点，
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点C（0，2），P为抛物线上一点，过点P作PQy轴交直线BC于Q（P在Q上方），再过点P作PRx轴交直线BC于点R，若△PQR的面积为2，求P点坐标；
(3)如图2，在抛物线上是否存在一点D，使∠MAD＝45°，若存在，求出D点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)P（1，3）；
(3)存在，D点坐标为（，）．
【分析】（1）先设出抛物线的顶点式，再代入点A的坐标，即可得出抛物线的解析式；
（2）由顶点M（0，4），A（ 2，0）可得B（2，0），则OC＝OB，可得∠OCB＝∠OBC＝45°，根据平行线的性质得∠PQR＝∠PRQ＝45°，则PQ＝PR，根据△PQR的面积为2可得PQ＝2，求出直线BC的解析式为y＝ x＋2，设P（m，），则Q（m， m＋2），PQ＝，解方程求出m的值即可；
（3）过点M作MN⊥AD于N，过点N分别作NE⊥y轴于E，NF⊥x轴于F，证明△MNE≌△ANF（AAS），可得NE＝NF，设N（n， n＋2），则n＝ n＋2，求出n＝1，可得N（1，1），求出直线AN的解析式为y＝，联立即可求解．
（1）
解：∵抛物线的顶点M（0，4），
∴设抛物线的解析式为：，
∵抛物线与x轴交于A（ 2，0），
∴4a＋4＝0，
解得a＝ 1，
∴抛物线的解析式为：；
（2）
解：∵顶点M（0，4），A（ 2，0），
∴B（2，0），
∵点C（0，2），
∴OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵PQy轴，PRx轴，
∴∠PRQ＝∠OBC＝45°，∠PQR＝∠OCB＝45°，
∴∠PRQ＝∠PQR＝45°，
∴PQ＝PR，
∵△PQR的面积为2，
∴PR·PQ＝＝2，
∴PQ＝2，
∵C（0，2），
∴设直线BC的解析式为y＝kx＋2，
代入B（2，0）得：0＝2k＋2，
解得：k＝－1，
∴直线BC的解析式为y＝ x＋2，
设P（m，），则Q（m， m＋2），
∴PQ＝，
解得：m＝1或0（舍去），
∴P（1，3）；
（3）
解：存在；
过点M作MN⊥AD于N，过点N分别作NE⊥y轴于E，NF⊥x轴于F，
∴NE⊥NF，∠MEN＝∠AFN＝90°，
∴∠MNE＝∠ANF，
∵∠MAD＝45°，MN⊥AD，
∴MN＝AN，
∴△MNE≌△ANF（AAS），
∴ME＝AF，NE＝NF，
设N（n，n），则ME＝4－n，AF＝n＋2，
∴4－n＝n＋2，
解得：n＝1，
∴N（1，1），
∵A（ 2，0），
设直线AN的解析式为y＝kx＋b，
∴，
解得，
∴直线AN的解析式为y＝，
联立，
解得：（舍去）或，
∴D点坐标为（，）．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积，二次函数的性质等，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质知识点，熟练掌握待定系数法求函数解析式及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
57．（2022·福建省福州延安中学九年级阶段练习）如图，平行四边形ABCD与抛物线相交于点A，B，D，点C在抛物线的对称轴上，已知点，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在对称轴上找一点P使得的周长最小，求P的坐标．
【答案】(1) ；
(2)．
【分析】（1）由B的坐标，以及BC的长，求出C的坐标，确定出抛物线对称轴，利用待定系数法求出解析式即可；
（2）根据“将军饮马”模型，连接BD交对称轴于点P，连接AP，此时△ABP的周长最小；求出BD的解析式，当时，即可求出点P的坐标．
（1）
解：∵B（﹣1，0），BC＝3，
∴C（2，0），即抛物线对称轴为直线x＝2，
∴，
解得：，
则抛物线解析式为 ；
（2）
如图，连接BD交对称轴于点P，连接AP，此时△ABP的周长最小；
∵A、D关于对称轴对称，
∴AP=DP，
∴AP+BP=DP+BP=BD；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=3，
∴点A的横坐标为：，
当时，，
∴A坐标为：，
D的坐标为：；
∴设BD的解析式为，
将点，D 代入可得：
，
解得，
∴设BD的解析式为，
当时，，
∴点P的坐标为．
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，根据对称性求三角形周长的最小值，平行四边形的性质，解题的关键在于熟练掌握待定系数法和“将军饮马”模型．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题12 一次函数
一、单选题
1．（2023·广东·惠州市惠阳区朝晖学校九年级开学考试）下列说法中，正确的是（ ）
A．一次函数是正比例函数 B．正比例函数包括一次函数
C．一次函数不包括正比例函数 D．正比例函数是一次函数
2．（2022·广东·惠州大亚湾区金澳实验学校八年级阶段练习）一次函数y＝3x＋1的图象一定经过（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·黑龙江·大庆市庆新中学七年级期末）如图，已知直线，根据图象可知不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖南·长沙市一中双语实验中学九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与y轴的交点的坐标为( )
A．（1，0） B．（，0） C．（，0） D．（0，1）
5．（2022·福建省福州杨桥中学九年级开学考试）已知 是一次函数的图象上的两个点，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
6．（2022·北京·日坛中学九年级开学考试）已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·福建泉州·八年级期末）若一次函数的y值随x的增大而减小，则该一次函数的图象可能经过的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·福建·闽江学院附中九年级开学考试）一次函数的图象经过原点，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·广东·惠州大亚湾区金澳实验学校八年级阶段练习）已知一次函数y＝（m－1）x＋3，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m＞1 B．m＜1 C．m＞2 D．m＜2
10．（2022·安徽·金寨县天堂寨初级中学八年级阶段练习）一次函数 与正比例函数 （m，n为常数、且 ）在同一平面直角坐标系中的图可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022·安徽·无为县实验中学八年级阶段练习）某品牌鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系，若22码鞋子的长度为16cm，44码鞋子的长度为27cm，则42码鞋子的长度为（ ）
A．23cm B．24cm C．25cm D．26cm
12．（2022·河北·石家庄石门实验学校九年级开学考试）直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解为（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·陕西省西安爱知中学九年级开学考试）在平面直角坐标系中，将直线平移后得到直线，则下列平移方法正确的是（ ）
A．将向上平移4个单位长度 B．将向下平移6个单位长度
C．将向左平移3个单位长度 D．将向右平移3个单位长度
14．（2022·安徽·无为县实验中学八年级阶段练习）对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．当x＞1时，y＜0 B．它的图象经过第一、二、三象限
C．它的图象必经过点（－1，3） D．y随x的增大而增大
15．（2022·安徽·无为县实验中学八年级阶段练习）已知点（-4，y1），（2，y2）都在直线y=x+b上，则y1，y2大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 D．不能比较
16．（2023·安徽·安庆市石化第一中学九年级阶段练习）已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m﹣3）在同一个函数的图象上，则这个函数可能是（ ）
A．y＝2x﹣3 B．y＝﹣ C．y＝﹣2 D．y＝﹣
17．（2023·福建厦门·八年级期末）已知一次函数y＝ax＋b（a≠0），a，b满足关系式a2＝4（b－1）－2b（b－a），若P（m，－1），Q（n，3）在一次函数y＝ax＋b（a≠0）的图象上，则下列正确的是（ ）
A．m＜0＜n B．m＞0＞n C．m＞n＞0 D．m＜n＜0
18．（2022·安徽·无为县实验中学八年级阶段练习）甲、乙两人在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行1200米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①乙用6分钟追上甲；②乙步行的速度为60米/分；③乙到达终点时，甲离终点还有400米；④整个过程中，甲乙两人相距180米有2个时刻，分别是t=18和t=24．其中正确的结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
19．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）三模）在边长为4的正方形ABCD的边上有一个动点P，从A出发沿折线ABCD移动一周，回到A点后继续周而复始．设点P移动的路程为x，△PAC的面积为y．请结合右侧函数图像分析当x=2021时，则y的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
20．（2022·湖北·黄石市有色中学九年级开学考试）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
21．（2022·云南·弥勒市长君实验中学八年级阶段练习）下列关于一次函数的图象性质的说法中，不正确的是（ ）
A．直线与y轴交点的坐标是 B．与坐标轴围成的三角形面积为
C．直线经过第一、二、四象限 D．若点，在直线上，则
22．（2022·江苏·扬州市江都区实验初级中学八年级阶段练习）如图，点A在直线y＝x上，AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上，以AC为边做正方形ACDE，点D恰好在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，连接AD，若，则k的值为（ ）
A．5 B．6 C．12 D．24
23．（2022·山东·宁津县大庄中学八年级阶段练习）下列问题中，两个变量成正比例的是（ ）
A．圆的面积S与它的半径r
B．正方形的周长C与它的边长a
C．三角形面积一定时，它的底边a和底边上的高h
D．路程不变时，匀速通过全程所需要的时间t与运动的速度v
24．（2022·湖北华一寄宿学校八年级阶段练习）如图，已知直线交、轴于、两点，以为边作等边、、三点逆时针排列，、两点坐标分别为、，连接、，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
25．（2022·辽宁·丹东市第十九中学八年级期末）如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
26．（2022·陕西安康·八年级期末）在平面直角坐标系中，已知直线与直线平行，且与轴交于点，与轴的交点为，则的面积为（ ）
A．2022 B．1011 C．8 D．4
27．（2022·湖北武汉·八年级期末）直线y＝x+n与直线y＝mx+3n（m是常数，m≠0且m≠1）交于点A，当n的值发生变化时，点A到直线y＝x﹣3的距离总是一个定值，则m的值是（ ）
A．3 B．2 C． D．
28．（2022·重庆南开中学八年级期末）甲、乙两支龙舟队沿安居古城涪江段进行比赛，早上9：00同时从起点出发．甲队在上午11：30分到达终点，乙队一直匀速前进．比赛时甲、乙两队所行驶的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．甲队先达到终点
B．上午10：30分乙队追上甲队
C．甲、乙两队在上午10：00时相距最远
D．上午11：10乙队到达终点
29．（2022·新疆·乌市八中八年级期末）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上，直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为( )
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
30．（2022·湖北武汉·八年级期末）我们把、、三个数的中位数记作，直线与函数的图象有且只有2个交点，则的值为（ ）
A．或或1 B．或 C．或或1 D．2或
31．（2022·广西贵港·八年级期末）如图，直线，相交于点，直线m交x轴于点，直线n交x轴于点，交y轴于点A．下列四个说法：①；②；③；④直线m的函数表达式为．其中正确说法的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
32．（2022·广东肇庆·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l1于点A1，过A1点作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2022的坐标为（ ）
A．（1011，﹣1011） B．（﹣10112，10112）
C．（﹣21011，21011） D．（21011，﹣21011）
33．（2022·安徽芜湖·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点是直线与直线的交点，点B是直线与y轴的交点，点P是x轴上的一个动点，连接PA，PB，则的最小值是（ ）
A．6 B． C．9 D．
二、填空题
34．（2022·福建泉州·八年级期末）将函数的图象沿y轴向上平移2个单位长度后，所得图象对应的函数关系式是______．
35．（2022·广东·佛山市南海区桂城街道映月中学八年级阶段练习）如图，一次函数与一次函数的图象交于点P(1，2)，则关于不等式的解是______．
36．（2022·北京·人大附中九年级开学考试）正比例函数y＝kx经过点（1，3），则k＝_____．
37．（2022·四川·仁寿县鳌峰初级中学八年级期中）把直线y=2x+1，向下平移3个单位得到直线__________________．
38．（2022·海南·儋州川绵中学八年级期末）直线与直线平行，则的值为______．
39．（2022·广西·银海学校八年级期末）已知，两点在一次函数的图象上，则，的大小关系是______（用“<”、“>”或“=”号表示）．
40．（2023·广东·惠州市惠阳区朝晖学校九年级开学考试）如图，折线表示从甲地向乙地打电话所需的电话费（元）关于通话时间（分钟）的函数图象，则通话7分钟需要支付电话费_________元．
41．（2023·福建省福州第十六中学八年级期末）平面直角坐标系中，原点O到直线y=kx+2k+4的距离的最大值是__________．
42．（2022·全国·八年级期中）在下列函数中，是自变量，是因变量，则一次函数有___，正比例函数有___．（将代号填上即可）①；②；③；④；⑤．
43．（2022·广东·惠州大亚湾区金澳实验学校八年级阶段练习）已知函数为一次函数，则m＝______．
44．（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校八年级阶段练习）如图，△AOB的顶点坐标分别为A(0，4)、B(3，0)，将△AOB沿x轴向右平移，当点A落在直线y= 3x-8上时，线段OA扫过的面积为__________
45．（2022·上海·测试·编辑教研五八年级期末）如果直线经过第一、二、四象限，且与轴的交点为，那么当时的取值范围是______．
46．（2022·湖北·五峰土家族自治县中小学教研培训中心八年级期末）将一次函数的图象向下平移2个单位，所得图象对应的函数表达式为___．
三、解答题
47．（2023·广东·惠州市惠阳区朝晖学校九年级开学考试）为了测试某种汽车在高速路上匀速行驶的耗油量，专业测试员将汽车加满油，对汽车行驶中的情况做了记录，并把试验的数据制成如下表所示：
汽车行驶时间 0 1 2 3 …
剩余油量 60 52 44 36 …
(1)根据上表的数据，请用表示，_________．
(2)若油箱中的剩余油量为20升，汽车行驶了多少小时？
(3)若该汽车贮满汽油准备从高速路出发，要匀速前往需要7小时车程的某目的地，当余油量不足5升时，油箱将会报警，请问汽车能在油箱报警之前到达目的地吗？请说明理由．
48．（2022·四川·成都市田家炳中学八年级阶段练习）如图，已知函数＝2x+b和＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B．
(1)分别求出这两个函数的解析式；
(2)求△ABP的面积；
(3)根据图象直接写出不等式2x+b＜ax﹣3的解集．
49．（2023·福建省福州第十六中学八年级期末）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是出价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/件） 50 60 80
周销售量y（件） 100 80 40
周销售利润w（元） 1000 1600 1600
注：周销售利润=周销售量×（售价-进价）
(1)求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)当售价是多少元/件时，周销售利润最大，此时最大利润是多少元．
50．（2022·广东·平洲一中八年级阶段练习）寒假期间，两位家长计划带若干名学生去旅游，他们联系了两家旅行社的报价均是500元的旅行社.经协商，甲旅行社的优惠条件是：两位家长全额收费，学生按7折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、学生都按八折收费.假设有名学生，甲旅行社的总费用元，乙旅行社的总费用元.
(1)分别写出，与的关系式；
(2)请你帮他们分析应该选择哪家旅行社更省钱？
51．（2022·湖北·五峰土家族自治县中小学教研培训中心八年级期末）某登山队大本营所在地的气温为5，海拔每升高1 km气温下降6 ．登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y ．
(1)试用函数解析式表示y与x的关系；
(2)当登山队员由大本营登高0.5km时，他们所在位置的气温是多少摄氏度？
52．（2023·北京·首都师范大学附属中学九年级开学考试）如图，直线y＝kx+b(k＞0)与x轴、y轴分别交于点A，B，且OA＝3，OB＝4．
(1)求直线AB的函数表达式；
(2)若C是第一象限内的直线AB上一点，当△AOC的面积为6时，求点C的坐标．
53．（2023·广东·东莞市东华初级中学九年级期中）已知二次函数，m是常数.
(1)随着的变化，该二次函数的顶点的位置也发生变化，求出此时的轨迹的解析式函数；
(2)若直线经过该二次函数的顶点，求此时的值；
(3)将该二次函数与轴的两个交点分别记作、，顶点为，若三角形的面积为8，求此时二次函数的解析式.
54．（2023·广东·东莞市东华初级中学九年级期中）已知函数．
(1)讨论的增减性；
(2)说明当为何值时取到最小，并写出最小值；
(3)若A和B在函数图像上，A和B是函数图像的拐点且A在B的左边，P和Q分别是x、y轴上的动点，若A，B，P，Q四点连成的四边形是平行四边形，求出此时P的坐标．
55．（2022·浙江绍兴·一模）如图1，平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（5，0），D（3，0），点P从点A出发，沿y轴负方向在y轴上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，过点P作轴交直线AD于点E．
(1)设点P的运动时间为t（s），DE的单位长度为y，求y关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
(2)当t为何值时，以EP为半径的⊙E恰好与x轴相切？并求此时⊙E的半径；
(3)在点P的运动过程中，当以D，E，P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求此时t的值；
(4)如图2，将△ABD沿直线AD翻折，得到，连结，如果，求t值．（直接写出答案，不要求解答过程）．
56．（2022·湖北·武汉市光谷实验中学九年级阶段练习）如图，已知抛物线的顶点M（0，4），与x轴交于A（－2，0）、B两点，
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点C（0，2），P为抛物线上一点，过点P作PQy轴交直线BC于Q（P在Q上方），再过点P作PRx轴交直线BC于点R，若△PQR的面积为2，求P点坐标；
(3)如图2，在抛物线上是否存在一点D，使∠MAD＝45°，若存在，求出D点坐标，若不存在，请说明理由．
57．（2022·福建省福州延安中学九年级阶段练习）如图，平行四边形ABCD与抛物线相交于点A，B，D，点C在抛物线的对称轴上，已知点，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在对称轴上找一点P使得的周长最小，求P的坐标．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
