苏教版（2019）必修第一册6.2 指数函数 课件（共37张PPT）

(共37张PPT)
第6章
6.2
指数函数
学习目标
1.了解指数函数模型的实际背景后，理解指数函数的含义，学会探索并理解指数函数的图象与性质.
2.会画出具体的指数函数的图象，利用图象平移与对称变换，讨论指数函数的图象.
3.能运用指数函数的单调性比较两个指数式值的大小，会求一类与指数函数有关的复合函数的定义域、值域、单调性.
核心素养：直观想象、逻辑推理.
新知学习
一、指数函数的概念
1.指数函数的概念
一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.
2.指数函数的结构特征
函数解析式中，需满足：
（1）ax的系数必须为1；
（2）自变量出现在指数位置上；
（3）底数为大于0且不等于1的常数.

【思考】为什么规定底数a>0且a≠1？


【提示】在由定义判断函数是不是指数函数时，一定要注意是否满足指数函数解析式形式的3个要求，要思考全面，避免由于思维不缜密而出错.
4

①⑤⑧
二、指数函数的性质与图象
1.指数函数y＝ax（a>0且a≠1）的图象与性质
底数 a>1 0图象
性质 定义域 R
值域 （0，+∞）
定点 图象过定点（0，1），即当x＝0时，y＝1
单调性 增函数 减函数
函数值的变化情况 当x>0时，ax>1，当x＝0时，ax＝1， 当x<0时，00时，01
对称性


（3）从函数值角度描述底数对函数值的影响：
指数函数y＝ax与y＝bx的函数值有如下特点.
①若a>b>1，则当x<0时，总有1>bx>ax>0；当x＝0时，总有ax＝bx＝1；当x>0时，总有ax>bx>1.
②若0ax>1；当x＝0时，总有ax＝bx＝1；当x>0时，总有1>ax>bx>0.
综上可得，当x>0，a>b>0时，ax>bx；当x<0，a>b>0时，ax


②④⑤
三、指数函数y＝ax（a>0且a≠1）的图象变换　
1.平移变换与对称变换
2.翻折变换
函数y＝a|x|的图象就是保留y＝ax在y轴上及y轴右侧的图象，然后把y轴右侧的图象对称翻折到y轴左侧.
函数y＝|ax-b|的图象就是使y＝ax-b在x轴上及x轴上方的图象保持不变，把x轴下方的图象对称翻折到x轴上方.

示例　利用函数f（x）＝2x的图象，作出下列函数的图象：
（1）f（x-1）；　（2）f（|x|）；　（3）- f（x）；　（4）| f（x）-1|.
（1） 　　 （2） （3） 　　 　　　 （4）

【解】如图所示.




3.单调性
当a>1时，函数y＝ax在R上单调递增；当00，且a≠1）与函数y＝af（x）的单调性之间的关系如下表.
指数函数的单调性 与指数函数有关的复合函数的单调性
当a>1时， 函数y＝ax在R上单调递增 当a>1时，若t＝f（x）在（m，n）上单调递增，则y＝af（x）在（m，n）上单调递增；
若t＝f（x）在（p，q）上单调递减，则y＝af（x）在（p，q）上单调递减
当0若t＝f（x）在（p，q）上单调递减，则y＝af（x）在（p，q）上单调递增
示例　求函数y＝2-|x|的单调性.
【解】 设t＝-|x|，当x∈（-∞，0）时，t＝-|x|为增函数，所以函数y＝2-|x|在（-∞，0）上为增函数；
当x∈（0，+∞）时，t＝-|x|为减函数，所以函数y＝2-|x|在（0，+∞）上为减函数.
【提示】讨论形如y＝af（x）的函数的单调性，首先确定函数f（x）的单调性，然后结合底数中的a是满足a>1，还是满足0【解析】（方法1）因为指数函数y＝ax（a>0且a≠1）的图象过定点（0，1），
所以在函数y＝ax-3+3中，令x＝3，得y＝1+3＝4，即函数的图象过定点（3，4）.
（方法2）将原函数解析式变形，得y-3＝ax-3，把y-3和x-3分别看成一个整体，
所以当x-3＝0时，y-3＝1，即x＝3时，y＝4，所以原函数的图象过定点（3，4）.
典例剖析
一、指数型函数的图象及应用
1.指数型函数图象过定点问题
例 1 函数y＝ax-3+3（a>0且a≠1）的图象过定点　　　　.
【方法技巧】解决指数型函数图象过定点问题的思路
指数函数y＝ax（a>0且a≠1）的图象过定点（0，1），据此，可解决形如y＝k·ax+c+b（k≠0，a>0且a≠1）的函数图象过定点的问题，即令x＝-c，得y＝k+b，故函数图象过定点（-c，k+b）.
（3，4）
2.图象的识别问题
例 2 （1）在同一直角坐标系中，函数y＝ax2+bx，y＝ax-b（a>0且a≠1）的图象可能是（　）
（2）若函数y＝f（x）＝ax-b（a>0，且a≠1）的图象经过第一、三、四象限，则一定有（　）
A. 01 　　　　B. a>1且b>1 C. 01且b<1

　 A B C D
B
D
【方法技巧】函数图象的识别方法：
（1）由函数的定义域与值域判断图象的左右、上下位置；
（2）由函数的单调性判断图象的变化趋势；
（3）由函数的奇偶性判断图象的对称性；
（4）由函数的特征点排除不合要求的图象.
　　　
3.图象的应用
例 3 若直线y＝2a与函数y＝|ax-1|+1（a>0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是　　　　.



（1） （2）
【方法总结】利用函数的图象可解决与方程和不等式有关的问题，如观察两个函数y＝f（x）和y＝g（x）的图象的交点个数可确定方程f（x）＝g（x）的解的个数，观察函数y＝f（x）的图象与x轴的交点情况，可以确定不等式f（x）>0或f（x）<0的解集等.
【分析】定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值集合，值域是函数值的集合，依据定义域和函数的单调性求解值域.


【方法技巧】求与指数函数有关的函数的定义域和值域的一般方法
（1）求与指数函数有关的函数的定义域时，先观察函数是y＝ax型还是y＝af（x）型，前者的定义域是R，后者的定义域与f（x）的定义域一致，而y＝f（ax）的定义域由t＝ax的值域在y＝f（t）的定义域内决定，因此求y＝f（ax）型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式（组）.
（2）求与指数函数有关的函数的值域时，一方面要考虑函数的定义域和单调性，另一方面要注意指数函数的值域是（0，+∞）.一般地，对于y＝af（x）型函数，要先求出f（x）的值域A，再画出y＝ax（x∈A）的草图或利用函数的单调性求出原函数的值域.



【方法技巧】指数幂的大小比较问题的三种类型及解法

【方法技巧】指数不等式的求解方法
（1）形如ax>ab的不等式，借助函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0（2）形如ax>b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解.
（3）形如ax>bx的不等式，利用函数图象求解.
（4）形如a2x+b·ax+c>0的不等式，可利用换元法转化为一元二次不等式求解.



【方法技巧】
（1）对于求形如f（x）＝ma2x+nax+q（m≠0，a>0，且a≠1）的函数的单调性，往往通过换元设t＝ax，然后结合二次函数与指数函数的单调性，进行判断.
（2）对于求形如f（x）＝aφ（x）（a>0，且a≠1）的函数的单调性，往往通过换元设t＝φ（x），然后结合函数t＝φ（x）与指数函数y＝at（a>0，且a≠1）的单调性，进行判断.
上述两种类型的复合函数单调性的判断原则是“同增异减”，同时为了更加清楚直观，往往作出相应函数的图象.

C

【方法技巧】判断函数奇偶性要注意的问题
（1）坚持“定义域优先”的原则.
如果定义域不关于原点对称，那么可立刻判断此函数既不是奇函数也不是偶函数.
（2）正确利用变形技巧.
分析f（x）与f（-x）的关系，也可利用f（x）±f（-x）＝0判断.
（3）巧用图象的特征.
根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，进行快速判断.

A
随堂小测
A
　　　　
　　　　
D

　　　　
　　　　
ACD
CD
AC

（3，6］

f（c）＝2c（单调递增的指数函数都可以）



谢 谢！