数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.1椭圆及其标准方程 课件（共32张ppt）

(共32张PPT)
什么是圆锥曲线
我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是 一个圆.如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢 如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线(conic sections).
新课导入
椭圆
抛物线
双曲线
圆
圆锥曲线与科研、生产以及人类生活有着紧密的关系.如行星绕太阳运行的轨道是椭圆，发电厂冷却塔的外形线是双曲线，探照灯反射镜面、卫星接收天线是抛物线绕其对称轴旋转所成的抛物面....为什么圆锥曲线有如此广泛的应用呢 我们可以从它们的几何特征及其性质中找到答案.
新课导入
圆锥曲线的发现与研究始于古希腊。当时人们用纯几何的方法研究这些与圆密切相关的曲线，它们的几何性质是圆的几何性质的自然推广。17世纪，笛卡尔发明了坐标系，人们开始借助坐标系，运用代数的方法研究圆锥曲线。
本章我们继续采用坐标法，在研究圆锥曲线几何特征的基础上，建立它们的方程，通过方程研究它们的性质，并解决与圆锥曲线有关的几何问题与实际问题。进一步感受数形结合的思想方法，体会坐标法的魅力与威力。
1
3.1.1椭圆及其标准方程
课程标准
了解圆锥曲线的是实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
经历从实际情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及其几何性质。
一
二
三
教学目标
掌握椭圆的定义
掌握椭圆的标准方程
会求椭圆的标准方程
教学目标
难点
重点
新知探究一：椭圆的定义
椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，那么，椭圆到底有怎样的几何特征 我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础
探究实践
取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点）画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点，，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
观察：在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？
把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离不变
概念生成
平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆. 这两个定点F1, F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距. 焦距的一半称为半焦距.
1. 椭圆的定义:
思考： 动点的轨迹是椭圆应满足什么条件？
（1） 必须在平面内;
（2）两个定点---两点间距离确定;
（3）定长---轨迹上任意点到两定点距离和确定.
（4）|PF1|+|PF2|>|F1F2|
当绳长等于两定点间距离，即|PF1|+|PF2|=|F1F2|时,
当绳长小于两定点间距离，即|PF1|+|PF2|<|F1F2|时，
F1
F2
F1
F2
思考
为什么要求|PF1|+|PF2|>|F1F2|
点P 的轨迹为线段
点P无轨迹
P
新知解惑
新知讲解
小结:(1)若|PF1|+|PF2|>|F1F2|,P点轨迹为椭圆.
(3)若|PF1|+|PF2|<|F1F2|,P点轨迹不存在.
(2)若|PF1|+|PF2|=|F1F2|,P点轨迹为线段.
新知探究二：椭圆的标准方程
问题1：回忆下圆的方程：我们是如何求圆轨迹方程的？
建系
设点
列式
代换
化简
建立适当的直角坐标系；
设M（x,y）是圆上任意一点；
由限制条件，列出几何 等 式，写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)}
用坐标法表示条件P(M)，列出方程化简方程.
类比这个方法，我们开始求取椭圆的标准方程
探讨:建立平面直角坐标系的方案
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”
O
x
y
O
x
y
O
x
y
M
F1
F2
方案一
F1
F2
方案二
O
x
y
M
O
x
y
新知探究二：求椭圆的标准方程
新知探究二：求椭圆的标准方程
(1)建系设点:
(2)写出点集:
(3)列出方程:
(4)化简方程:
问题2:求椭圆方程的步骤是什么 (以方案一为例)
O
x
y
F1
F2
M
方案一
以F1F2所在直线为x轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系，
设M(x,y)为所求轨迹上的任意一点，点M与焦点F1、F2的距离的和为2a(a>0)
则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0),椭圆的焦距为2c(c>0)。
P= {M | | MF1 | + |MF2 | =2a}.
下面怎样化简？
即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
由椭圆的定义可知，2a>2c>0，即a>c>0，所以a2-c2>0
新知探究二：求椭圆的标准方程
移项
再平方
y
O
x
F1
F2
P
你能从中找出表示a ,c,
的线段吗？
|PF1|=|PF2|=a， |OF1|=|OF2|=c ， |PO|= 令b=|PO|= ,
那么方程①就是
这个方程叫做椭圆的标准方程，它表示焦点在x轴上，两个焦点分别是F1(-c, 0), F2(c,0)的椭圆，这里c2=a2-b2.
问题3： 如图示, 如果焦点F1, F2在y轴上, 且F1, F2的坐标分别为(0,－c), (0, c), a, b的意义同上, 那么椭圆的方程是什么
F1
F2
M


x
y
O
新知探究二：求椭圆的标准方程
（问题：下面怎样化简？）
由椭圆的定义得，限制条件：
由于
得方程

(焦点在y轴上)
F1
F2
M


x
y
O
F1
F2
M


x
y
O
(x,y)
(焦点在x轴上)
(焦点在y轴上)
新知讲解
问题4：椭圆的两种标准方程有怎样的特征？
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1
（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。
（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。
（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等
于常数（大于F1F2）的点的轨迹
标准方程
不 同 点
相 同 点
图 形
焦点坐标
定 义
a、b、c 的关系
焦点位置的判断
再认识！
x
y
F1
F2
P
O
x
y
F1
F2
P
O
新知探究三：求椭圆的标准方程
例1
解1: (定义法)
你还能用其他方法求它的标准方程吗 试比较不同方法的特点.
新知探究三：求椭圆的标准方程
解2: (待定系数法)
例1
【方法说明】
(3) 求椭圆的标准方程，要先定“位”，
1. 求椭圆标准方程的主要方法有：
a, b, c 满足的关系有：
根据焦点位置设方程，代入计算出待定字母的值.
用定义寻找a, b, c的方程；
(1) 定义法：
(2) 待定系数法：
待定系数法更为常用，是解此类问题的通法.
即求 a, b 的大小 .
即确定焦点的位置；
其次是定“量”，
例题小结
14
课堂练习
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)，，焦点在轴上;
(2) ，，焦点在y轴上;
(3)，.
1.如果椭圆上一点P与焦点的距离等于6，那么点P与另一个焦点的距离是_________.
课堂练习
设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).由点M是线段PD的中点，得
例2 如图，在圆 上任意一点P , 过点P作x轴的垂线段 PD, D为垂足. 当点P在圆上运动时, 线段 PD中点M的轨迹是什么？为什么？
x
y
P
M
O

D

寻求点M的坐标(x,y)中x, y与x0, y0之间的关系,然后消去x0, y0, 得到点M的轨迹方程. 这是解析几何中求点的轨迹方程常用的方法.
解：
新知探究三：求椭圆的标准方程
相关点代入法
例题反思
问题5：由例2我们发现，可以由圆通过“压缩”得到椭圆．你能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？
，
，
O
x
y
M
A
B
例3
解:
直接法
新知探究三：求椭圆的标准方程
4. 已知A, B两点的坐标分别是(－1,0), (1,0), 直线AM, BM相交于点M, 且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2, 点M的轨迹是什么 为什么
解：设点M的坐标为(x, y), 由已知, 得
直线AM的斜率为
直线BM的斜率为
x
y
B
M
O
A



例题变式
y
O
F1
F2
x
A
B
(1)由题意
故△AF1B的周长为：
(2) 如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长不会有变化.
仍然成立.
解：


∴△AF1B的周长为：
课堂练习
O
x
y
P
F1
F2
解:
例4
补充例题
O
x
y
P
F1
F2
解:
例4
补充例题
2.椭圆的标准方程
当焦点在x轴上时
当焦点在y轴上时
1.椭圆的定义；
3.轨迹方程的求法
定义法, 待定系数法, 相关点代入法, 直接法.
课堂小结