圆的复习[上学期]
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文档简介
与圆有关的位置关系
1圆的有关概念：
掌握弦和直径之间的关系，什么是等弧，
2．垂径定理概念与规律：
圆是轴对称图形，任何经过圆形的直线都是它的对称轴。
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
在圆中，解有关弦的问题时，常作“垂直于弦”的直径或半径，但往往只作出圆心到弦的垂线段作为辅助线。
例1 两个O以为圆心的同心圆，大圆弦AB和小圆相交于CD两点，AB=8厘米、CD=3厘米，大圆的半径为5厘米，求小圆的半径。
例2 已知OA、OB为⊙O的半径，OA⊥OB，弦AD经过OB的中点C，⊙O的半径为4厘米，求AD的长。
例3 如图所示，在直角三角形ABC中，∠C=90°CB=12，CA=5，以C为圆心、CA为半径作圆交AB与点D，求BD的长。
弧、弦、圆心角
如图，AB、CD是⊙O的两条弦：
（1）如果AB=CD，那么 ， 。
（2）如果弧AB=CD，那么 ， 。
（3）如果∠AOB=∠COD，那么 ， 。
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE于OF相等吗？为什么？
与有关的位置关系
点和圆的位置关系的概念与规律
1． 如果⊙O的半径为r，点到圆心O的距离为d，那么，
（1） 点P在⊙O外
（2） 点P在⊙O上
（3） 点P在⊙O内
例题 1
如图所示，⊙O的半径R=10，圆心O到直线距离OD=6，在直线OD上有A、B、C三点，BD=8，AD=6，CD=9，判别ABC三点对于圆的位置关系。
例题 2 ⊿ABC中，∠C=90°∠B=60°AC=3以C为圆心，R为半径作圆C，如果点B再圆内，而点A在圆外，那么R的范围。
例3 一点到圆上点的最大距离为9，最短距离为1，求圆的半径。
例4 如图已知矩形ABCD的边AB=3㎝、AＣ=4㎝
⑴以点A为圆心,4cm为半径作⊙A,则点B、C、D与⊙A的位置关系
⑵若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内 ，
且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？
圆周角
概念与规律：
圆周角的两个特征：1角的顶点在圆周上。2角的两边和圆相交。
同弧和等弧所对的圆周角相等;在同圆和等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
半圆或直径所对的圆周角是直角，反之90度的圆周角所对的弦是直径，弧是半圆。
例：如图所示，在圆中AB为直径，半径OC⊥AB，D为弧BC上的一点，在AD上取AE=BD。判断三角形CDE的形状。
直线和圆的位置关系
概念与规律
1． 直线与圆的位置关系有三种情况：
（1） 相离----直线与圆没有公共点，此时直线到圆心的距离大于半径。
（2） 相切-----直线与圆只有一个公共点，此时直线到圆心的距离等于半径。
（3） 相交-----直线与圆有两个公共点，此时直线到圆心的距离小于半径。
例1已知⊙A的直径为6，A点坐标是（-3，-4），则⊙A与x轴的位置关系如何？与y轴的位置关系如何？
例2 如图所示，已知O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB，D为垂足，以O为圆心，以OD为半径作⊙O。求证⊙O和AC相切。
切线的判定：
概念与规律 1“经过半径的外端，并且垂直与半径的直线是圆的切线”。这是切线的判定定理，它把“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”的定理具体化。
2要证明一直线与圆相切，必须满足两个条件：（1）过半径的外端；（2）垂直于这条半径。因此在解决相关问题时，若已知要证的直线经过圆上点，则需要把这点与圆心相连，证这直线与这半径垂直；否则需先向这直线作垂线，再证这垂线段是圆的半径。
例1 如图所示，已知AB为⊙O的直径，BC为弦，C为弧AD的中点，过C作BD的垂线交BD的延长线于E。求证：CE于⊙O相切。
例2如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，以DC为直径作半圆交BC于E点，EF⊥AB于F点。求证：EF于此半圆相切。
切线的性质
圆的切线垂直经过切点的半径。因此在解关于切线的问题中，通常把过切点的半径连接起来，得到90度的角。
例1如图所示已知在⊿ABC中，AB为⊙O的直径，⊙O交AB于D 点，过D点作圆的切线交BC于E点，且BE=DE。求证；BC于⊙O相切。
例2如图所示，已知AB切⊙O于E点，CD切⊙O于F点，AB∥CD，OA⊥OC，求证AC与⊙O相切。
例3 如图所示，半径为2的⊙P的圆心在直线y=2x-1上运动。
（1） 当⊙P与y轴相切时，写出P点坐标。
（2） 当⊙P与x 轴相切时，写出P点坐标。
（3） ⊙P是否能同时与x轴、y轴相切，若能，写出P点坐标，若不能请说明理由。
例4如图所示，点在⊙O直径AB 延长线上的一点，CD切⊙O于D，且DC=DA=4，CE⊥AD，交AD的延长线于E。求DE的长。
三角形的内切圆、切线长定理；
内心的性质：内心到各边的距离相等，内心与各顶点的连线构成角平分线。
三角形的内心与一边两个端点连线的夹角等于90度与第三个内角一半的和。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
例1 如图，已知直角三角形ABC，∠ACB=90°I为它的内心，∠BIC=105°，AC=，求各边长及内切圆的半径。
例2 已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°以AB为直径作⊙O切CD于E点。求证：OD⊥OC；若AD=9，BC=16，求梯形的周长和面积。
圆和圆的位置关系
两圆的位置关系是由半径和、差与圆心距的大小关系判定的：
d ＞ r+R
d ＝ r+R
R-r＜d ＜ r+R
d = R-r
d ＜ R-r
1、⊙O1、⊙O2的半径分别为40mm和25mm，两圆相交于A、B两点。若AB=48mm，则O1O2= mm。
2、已知⊙O1与⊙O2相切，它们的半径分别为3和6，则圆心距O1O2的长为 。
3、现有半径分别为5mm和4mm的两种钢球各2个，技术员小张用它们来测量一些口小内大的机器零件的内孔直径。
（1）如图示（此图为截面示意图），小张用上述两种钢球各一个进行测量时，测得钢球顶点与孔口平面的距离分别为11mm、10mm，则此零件的内孔直径是多少？
4、在平面直角坐标系中，⊙O1与⊙O2外切，它们的半径分别为6和4。若
圆心O1的坐标为（8，0），圆心O2在坐标轴上，则点O2的坐标为 。
5、某饮料厂生产一种半径为5cm的易拉罐，包装时每8瓶装一箱。现有两
种装箱方案（下图是箱底平面示意图）：
图1 图2
试判断哪种装箱方案的箱底面积较小？
三．典型例题
例1．若矩形ABCD的邻边不等，分别以直线AB、BC为轴旋转一周得两个圆柱，观察这两个圆柱的底面和侧面，则有 ( )．
(A)S底S侧都相等． (B)S底不等，S侧相等．
(C) S底相等，S侧不等．(n) S底S侧都不等．
例2．如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R=( )
(A)10 (B)15 (C)20 (D)25
例3．用一块圆心角为150°，面积为240лcm2的扇形硬纸片围成一个圆锥模型(相交粘贴部分忽略不计)，求圆锥模型的底面半径．
例4．巳知圆锥的轴截面周长为10cm，设腰长为x，圆锥的表面积为S，
(1) 求S关于X的函数表达式和自变量X的取值范围；
(2)画出这个函数图象，确定S的取值范围．
例5．如图，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠B=90°，AB=5 cm ，BC=16cm，AD=4cm。(1)求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积；
(2)求以直线BC为轴旋转一周所得几何体的表面积．
1圆的有关概念：
掌握弦和直径之间的关系，什么是等弧，
2．垂径定理概念与规律：
圆是轴对称图形，任何经过圆形的直线都是它的对称轴。
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
在圆中，解有关弦的问题时，常作“垂直于弦”的直径或半径，但往往只作出圆心到弦的垂线段作为辅助线。
例1 两个O以为圆心的同心圆，大圆弦AB和小圆相交于CD两点，AB=8厘米、CD=3厘米，大圆的半径为5厘米，求小圆的半径。
例2 已知OA、OB为⊙O的半径，OA⊥OB，弦AD经过OB的中点C，⊙O的半径为4厘米，求AD的长。
例3 如图所示，在直角三角形ABC中，∠C=90°CB=12，CA=5，以C为圆心、CA为半径作圆交AB与点D，求BD的长。
弧、弦、圆心角
如图，AB、CD是⊙O的两条弦：
（1）如果AB=CD，那么 ， 。
（2）如果弧AB=CD，那么 ， 。
（3）如果∠AOB=∠COD，那么 ， 。
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE于OF相等吗？为什么？
与有关的位置关系
点和圆的位置关系的概念与规律
1． 如果⊙O的半径为r，点到圆心O的距离为d，那么，
（1） 点P在⊙O外
（2） 点P在⊙O上
（3） 点P在⊙O内
例题 1
如图所示，⊙O的半径R=10，圆心O到直线距离OD=6，在直线OD上有A、B、C三点，BD=8，AD=6，CD=9，判别ABC三点对于圆的位置关系。
例题 2 ⊿ABC中，∠C=90°∠B=60°AC=3以C为圆心，R为半径作圆C，如果点B再圆内，而点A在圆外，那么R的范围。
例3 一点到圆上点的最大距离为9，最短距离为1，求圆的半径。
例4 如图已知矩形ABCD的边AB=3㎝、AＣ=4㎝
⑴以点A为圆心,4cm为半径作⊙A,则点B、C、D与⊙A的位置关系
⑵若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内 ，
且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？
圆周角
概念与规律：
圆周角的两个特征：1角的顶点在圆周上。2角的两边和圆相交。
同弧和等弧所对的圆周角相等;在同圆和等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
半圆或直径所对的圆周角是直角，反之90度的圆周角所对的弦是直径，弧是半圆。
例：如图所示，在圆中AB为直径，半径OC⊥AB，D为弧BC上的一点，在AD上取AE=BD。判断三角形CDE的形状。
直线和圆的位置关系
概念与规律
1． 直线与圆的位置关系有三种情况：
（1） 相离----直线与圆没有公共点，此时直线到圆心的距离大于半径。
（2） 相切-----直线与圆只有一个公共点，此时直线到圆心的距离等于半径。
（3） 相交-----直线与圆有两个公共点，此时直线到圆心的距离小于半径。
例1已知⊙A的直径为6，A点坐标是（-3，-4），则⊙A与x轴的位置关系如何？与y轴的位置关系如何？
例2 如图所示，已知O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB，D为垂足，以O为圆心，以OD为半径作⊙O。求证⊙O和AC相切。
切线的判定：
概念与规律 1“经过半径的外端，并且垂直与半径的直线是圆的切线”。这是切线的判定定理，它把“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”的定理具体化。
2要证明一直线与圆相切，必须满足两个条件：（1）过半径的外端；（2）垂直于这条半径。因此在解决相关问题时，若已知要证的直线经过圆上点，则需要把这点与圆心相连，证这直线与这半径垂直；否则需先向这直线作垂线，再证这垂线段是圆的半径。
例1 如图所示，已知AB为⊙O的直径，BC为弦，C为弧AD的中点，过C作BD的垂线交BD的延长线于E。求证：CE于⊙O相切。
例2如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，以DC为直径作半圆交BC于E点，EF⊥AB于F点。求证：EF于此半圆相切。
切线的性质
圆的切线垂直经过切点的半径。因此在解关于切线的问题中，通常把过切点的半径连接起来，得到90度的角。
例1如图所示已知在⊿ABC中，AB为⊙O的直径，⊙O交AB于D 点，过D点作圆的切线交BC于E点，且BE=DE。求证；BC于⊙O相切。
例2如图所示，已知AB切⊙O于E点，CD切⊙O于F点，AB∥CD，OA⊥OC，求证AC与⊙O相切。
例3 如图所示，半径为2的⊙P的圆心在直线y=2x-1上运动。
（1） 当⊙P与y轴相切时，写出P点坐标。
（2） 当⊙P与x 轴相切时，写出P点坐标。
（3） ⊙P是否能同时与x轴、y轴相切，若能，写出P点坐标，若不能请说明理由。
例4如图所示，点在⊙O直径AB 延长线上的一点，CD切⊙O于D，且DC=DA=4，CE⊥AD，交AD的延长线于E。求DE的长。
三角形的内切圆、切线长定理；
内心的性质：内心到各边的距离相等，内心与各顶点的连线构成角平分线。
三角形的内心与一边两个端点连线的夹角等于90度与第三个内角一半的和。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
例1 如图，已知直角三角形ABC，∠ACB=90°I为它的内心，∠BIC=105°，AC=，求各边长及内切圆的半径。
例2 已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°以AB为直径作⊙O切CD于E点。求证：OD⊥OC；若AD=9，BC=16，求梯形的周长和面积。
圆和圆的位置关系
两圆的位置关系是由半径和、差与圆心距的大小关系判定的：
d ＞ r+R
d ＝ r+R
R-r＜d ＜ r+R
d = R-r
d ＜ R-r
1、⊙O1、⊙O2的半径分别为40mm和25mm，两圆相交于A、B两点。若AB=48mm，则O1O2= mm。
2、已知⊙O1与⊙O2相切，它们的半径分别为3和6，则圆心距O1O2的长为 。
3、现有半径分别为5mm和4mm的两种钢球各2个，技术员小张用它们来测量一些口小内大的机器零件的内孔直径。
（1）如图示（此图为截面示意图），小张用上述两种钢球各一个进行测量时，测得钢球顶点与孔口平面的距离分别为11mm、10mm，则此零件的内孔直径是多少？
4、在平面直角坐标系中，⊙O1与⊙O2外切，它们的半径分别为6和4。若
圆心O1的坐标为（8，0），圆心O2在坐标轴上，则点O2的坐标为 。
5、某饮料厂生产一种半径为5cm的易拉罐，包装时每8瓶装一箱。现有两
种装箱方案（下图是箱底平面示意图）：
图1 图2
试判断哪种装箱方案的箱底面积较小？
三．典型例题
例1．若矩形ABCD的邻边不等，分别以直线AB、BC为轴旋转一周得两个圆柱，观察这两个圆柱的底面和侧面，则有 ( )．
(A)S底S侧都相等． (B)S底不等，S侧相等．
(C) S底相等，S侧不等．(n) S底S侧都不等．
例2．如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R=( )
(A)10 (B)15 (C)20 (D)25
例3．用一块圆心角为150°，面积为240лcm2的扇形硬纸片围成一个圆锥模型(相交粘贴部分忽略不计)，求圆锥模型的底面半径．
例4．巳知圆锥的轴截面周长为10cm，设腰长为x，圆锥的表面积为S，
(1) 求S关于X的函数表达式和自变量X的取值范围；
(2)画出这个函数图象，确定S的取值范围．
例5．如图，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠B=90°，AB=5 cm ，BC=16cm，AD=4cm。(1)求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积；
(2)求以直线BC为轴旋转一周所得几何体的表面积．
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