沪科版七年级数学上册3.2一元一次方程的应用 第1课时 教案

第三章 一次方程与方程组
3.2 一元一次方程的应用
第1课时
一、教学目标
1．通过学习列方程解决实际问题，进一步感知数学在生活中的作用．
2．通过分析等积变形与行程问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题。进一步发展分析问题，解决问题的能力．
3. 在合作与交流中学会肯定自己和倾听他人意见．
二、教学重点及难点
重点：找出等积变形，行程问题中的条件和要求的结论，并找出等量关系，列出方程，解决实际问题．
难点：分析与确定问题中的等量关系，能用方程来描述和刻画事物间的等量关系．
三、教学用具
多媒体课件．
四、相关资源
无．
五、教学过程
【情境导入】
一个长方形的周长为26cm，这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm，就可成为一个正方形，那么长方形的长是多少？
解：设长方形的长为xcm，则长方形的宽为(13-x)cm．
依据题意，得方程x-1=13-x+2
解得x=8
答：长方形的长为8cm．
设计意图：通过案例，引出本节课的学习内容．
【探究新知】
探究点一：等积变形问题
教师引导学生回顾以下知识.
常见几何图形的面积、体积、周长计算公式．
①圆柱体的体积公式：V=底面积×高=S﹒h=πr2h
②长方体的体积公式：V=长×宽×高=abc
例题：用直径为4cm的圆钢（截面为圆形的实心长条钢材）铸造3个直径为2cm，高为16cm的圆柱形零件，则需要截取多长的圆钢？
分析：本题中涉及的数量关系有：形虽变，但体积不变．
答案：解：设需要截取xcm的圆钢．
π×(4/2)2x=3×π×(2/2)2×16
解得x=12
答：需要截取12cm的圆钢．
方法总结：常用的等量关系：形状面积变了，但是周长没变；容器形状改变，但是容积没变；原料体积等于成品体积．
设计意图：引导学生按照题意，分析并列出一元一次方程，明确本题考查重点为等积变形问题．
探究点二：行程问题
例题：若A、B两站间的路程为500km, 甲车速度20km/h,乙车速度为30km/h，
（1）甲乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行，几小时后两车相遇？
（2）快车先开出30分钟，两车相向而行，慢车行驶了多少小时两车相遇
（3）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行，问经过多少小时他们相距100km？
（4）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,同向而行，问经过多少小时他们相距100km？
分析：本题涉及的数量关系有：相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程；追及问题：追及时间=路程差÷速度差．
答案：解：（1）设x小时后相遇，根据题意得:
x(20+30)=500
x=10
答:10小时后相遇.
（2）设x小时后相遇，根据题意得:
x(20+30)+0.5×30=500
x=9.7
答:9.7小时后相遇.
（3）设x小时后相距100km，根据题意得:
x(20+30)=500-100
x=8
答:8小时后他们相距100km.
（4）设x小时后相距100km，根据题意得:
30x-20x-500=100
x=60
答:60小时后相距100km.
方法总结：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体运动速度、时间、行程三者之间的关系．常用基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间；关键问题：确定行程过程中的位置；相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程；追及问题：追及时间=路程差÷速度差．
设计意图：引导学生按照题意，分析并列出一元一次方程，明确本题考查重点为行程问题．
【典型例题】
例题1：用直径为90mm的圆钢，铸造一个底面长和宽都是131mm，高度是81mm的长方体钢锭．问需要截取多长的一段圆钢？(结果保留π)
分析：本题中圆钢由圆柱体变成了长方体，形状发生了变化，但是体积保持不变．“变形之前圆钢的体积＝变形之后长方体的体积”．
答案：解：设截取圆钢的长度为xmm.
根据题意，得πx=131×131×81，
解方程，得x=.
答：截取圆钢的长度为mm.
例题2：小明家离学校2.9千米，一天小明放学走了5分钟之后，他爸爸开始从家出发骑自行车去接小明，已知小明每分钟走60米，爸爸骑自行车每分钟骑200米，请问小明爸爸从家出发几分钟后接到小明？
分析：本题等量关系：小明所走的路程＋爸爸所走的路程＝全部路程，但要注意小明比爸爸多走了5分钟，另外也要注意本题单位的统一．
答案：解：设小明爸爸出发x分钟后接到小明．
由题意，得200x+60(x+5)=2900.解得x=10．
答：小明爸爸从家出发10分钟后接到小明．
设计意图：通过经典例题，强化知识，熟练等积变形与行程问题的解题方法.
【合作探究】
教师将学生分成组，先小组讨论得出结果再向全班汇报．
问题：甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，甲的速度为360米/分，乙的速度是240米/分．
(1)两人同时同地同向跑，问第一次相遇时，两人一共跑了多少圈？
(2)两人同时同地反向跑，问几秒后两人第一次相遇？
分析：(1)题实质上是追及问题，两人第一次相遇，实际上就是快者比慢者多跑一圈，其等量关系是追上时，甲走的路程-乙走的路程=400米；
(2)题实质上是相遇问题，两人第一次相遇就是两人所走的路程之和为环行跑道一圈的长，其等量关系是相遇时，甲走的路程+乙走的路程=400米．
答案：
(1)设x分钟后两人第一次相遇，由题意，得360x-240x=400.解得x=.
÷400＝5(圈)．
答：两人一共走了5圈；
(2)设x分钟后两人第一次相遇，由题意，得360x+240x=400.解得x=(分钟)=40(秒)．
答：40秒后两人第一次相遇．
设计意图：通过合作探究，突破难点，熟练行程问题的解题方法.
【新知应用】
1．一张覆盖在圆柱形罐头侧面的商标纸，展开是一个周长为80πcm的正方形（不计接口部分），这个罐头的容积是 cm3．
答案：2000π
敌我两军相距25km，敌军以5km/h的速度逃跑，我军同时以8km/h的速度追及，并在相距1km处发生战斗，问战斗是在开始追及后几小时发生的？
答案：
解 ：设战斗是在开始追及后x小时发生的．根据题意，得8x-5x=25-1.解得x=8.
答：战斗是在开始追及后8小时发生的．
【随堂练习】
长方体甲的长宽高分别为260mm，150mm，325mm，长方体乙的底面积为130×130mm2．
已知甲的体积是乙的体积的2.5倍，求乙的高？
解：设乙的高为xmm，根据题意可列方程
260×150×325=2.5×130×130x，解得x=300
答：乙的高为300mm．
甲、乙两车从A、B两地相向而行,已知甲车速度为60km/h，乙车速度是100km/h，甲车比乙车早出发15分钟，相遇时，甲比乙少走65km，求A、B两地的距离.
解：设甲乙共同行驶的时间为x，则
100x-60x-60×=65
求得x=2（小时）
总路程为 60×0.25+(100+60)×2=335（km）
答：A、B两地的距离为335km.
设计意图：较大练习量是为了实现“等积变形与行程问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题”这一目标，并突破难点；学生演练过程中教师巡视教室，帮助并作个别指导，使基础差的学生在教师帮助下也获得成功、体验成功.
课堂小结
1.等积变形问题：常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变.
2.行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体运动速度、时间、行程三者之间的关系.
设计意图：通过小结，回顾本节课所学新知，加深印象.
七、板书设计
第3课时 工业问题
1.等积变形问题
2.行程问题
(1)相遇问题；
(2)追及问题；
(3)环形问题．