4.2.1 等差数列课件-2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册(共23张PPT)

(共23张PPT)
4.2.1 等差数列
2.数列中的每一个数叫做这个数列的项。
各项依次叫做数列的第1项，第2项，···，第n项，
3.数列的分类
(1)按项数分：
项数有限的数列叫有穷数列。
项数无限的数列叫无穷数列。
(2)按项之间的大小关系：
递增数列，
递减数列，
摆动数列，
常数列。
1.数列：
按照确定的顺序排列的一列数。
复习回顾
请看下面几个问题中的数列.
1.北京天坛圜丘坛的地面是由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外的石板数依次为 9，18，27，36，45，54，63，72，81.
情境导入
2.XXS,XS,S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上对应的意大利尺码分别是：34，36，38，40，42，44，46，48
3.测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为
① 9，18，27，36，45，54，63，72，81.
② 38，40，42，44，46，48.
③ 25，24，23，22，21.
对于①，我们发现
18=9+9，27=18+9....81=72+9，
换一种写法，就是
18-9=9，27-18=9....81-72=9.
如果用{an}表示数列①，
那么有a2-a1=9，a3- a2 =9，...a9-a8=9.
问题探究1
什么是等差数列？
思考：你能归纳出等差数列的定义吗？　
概念形成
等差数列定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
公差d
符号表示：
起始位置
作差顺序
定值特征
a1,
a3,
a4,
an,
an+1,……
…,
d
d
a2,
an-1,
概念辨析
1.判断以下数列是等差数列吗？若是，求出公差。
公差是3
(3)1,1,1,1,1；
公差是0
(2)6，4，2；
公差是-2
(1)4，7，10，13，16;
(4)-3，-2，-1，1，2，3 .
d>0 增数列
d<0 减数列
d=0 常数列
是
是
是
不是
注意：
1. 判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断，即判定an+1-an 是不是同一个常数.
2. 公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差，而且公差可以是正数，负数，也可以为0.
判断对错：
1. 常数列是等差数列. ( )
2. 若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列. ( )
3. 数列{an}满足an＋1－an＝1(n＞1)，则数列{an}是等差数列. ( )
{an}不一定是等差数列，忽略了第1项.
√
×
×
概念形成
(3)1,1,1,1,1；
(2)6，4，2；
(1)4，7，10，13，16;
(4)-3，-2，-1，1，2，3 .
(1)2008，2012，2016.
(3)48,53,58,63.
(4)28, 21.5, 15, 8.5, 2 ,-4.5.
(2)104.25, 108.5, 112.75, 117,121.25……
由三个数a，A，b组成的等差数列
特点：
由三个数构成
a与b的等差中项.
概念形成
(2)6，4，2；
(1)2008，2012，2016;
由三个数a，A，b组成的等差数列,A为
特点：
由三个数构成
a与b的等差中项.
试一试：在横线填入一个数，让数列成为一个等差数列
（1）2， ，4；(2)-8， ，0；(3)a， ，b
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项.
等差中项
由等差数列的定义，可知
… …
求等差数列1，4，7，10，13，16，…的通项公式
问题探究2
如何求等差数列的通项公式？
问题：如果已知一个等差数列的首项是 a1 ，公差是 d ，那么这个数列的通项an 能求出吗？
所以
由此得到：
问题：如果已知一个等差数列的首项是 a1 ，公差是 d ，那么这个数列的通项an 能求出吗？
分析1：根据等差数列的定义：
不完全归纳
（通项公式）
问题探究2
由此得到：
（通项公式）
分析2：根据等差数列的定义：
累加法
问题探究2
（n ≥ 2）
首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为
等差数列的通项公式的一般形式：an＝am＋(n－m)d
等差数列的通项公式
a1,an,n,d 知三求一
am=a1 +(m-1)d
an-am =(n-m) d
am=
an-am =
思考
1. 求下列等差数列的通项公式
（1）9，18，27，36，45，54，63，72...
（2）38，40，42，44，46，48...
（3）25，24，23，22，21.
解：（1）an=9+(n－1)×9=9n
（2）an=38+(n－1)×2=2n+36
（3）an=25+(n－1)×(-1)=－n+26
小试牛刀
①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n,an)组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上.
(k＋b)
k
an＝a1＋(n－1)d=dn＋(a1－d)
②任给一次函数f(x)＝kx＋b (k,b为常数)，则f(1)＝k＋b,
f(2)＝2k＋b, …, f(n)＝nk＋b，构成一个等差数列{nk＋b}，
其首项为________，公差为____.
思考 我们知道数列是自变量为n的函数，你认为等差数列与我们熟悉的哪一类函数有关？
等差数列与一次函数的关系
探究新知
1
2
5
a1
x
f(x)
O
3
4
6
a1－d
a2
a3
a4
a5
a6
f(x)＝dx＋(a1－d)
1
2
a1
x
f(x)
O
3
4
5
6
a1－d
a2
a3
a4
a5
a6
f(x)＝dx＋(a1－d)
1
2
a6
x
f(x)
O
3
4
5
6
a1－d
a5
a4
a3
a2
a1
f(x)＝dx＋(a1－d)
结论：当d＞0时，数列{an}单调递增; 当d＜0时，数列{an}单调递减；当d＝0时，等差数列{an}为常数列.
探究：可以从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？
探究新知
例1 (1) 已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求{an}公差和首项;
(2) 求等差数列 8，5，2，···的第20项.
解: (1)当n≥2时，由{an}的通项公式为an＝5－2n，可得
an－1＝5－2(n－1) ＝7－2n.
于是 d＝an－an-1＝5－2n－(7－2n)＝－2， a1＝5－2＝3.
∴{an}公差为－2，首项为3.
(2) 由已知条件，得 d＝5－8＝－3，a1＝8.
∴an＝ a1＋ (n－1)d ＝8－3(n－1)＝－3n＋11.
∴a20 ＝－3×20＋11＝－49.
知三求一
典例分析
例2 －401是不是等差数列 －5,－9,－13,…的项？如果是，是第几项？
分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看－401是否能使这个方程有正整数解.
解：由a1=－5，d=－9－(－5)=－4，
所以数列的通项公式为an=－5－4(n－1)=－4n－1.
令－4n－1=－401，解得n=100.
所以，－401是这个数列的项，是第100项。
典例分析
解：（1）a10=a1+9d=2+9×3=29
（2）∵21=3+(n-1)×2 ∴n=10
（3）∵a6=a1+5d，即27=12+5d ∴ d=3
巩固练习
（4）∵a7=a1+6d ，即8=a1+6×( ) ∴a1=10
1.在下列等差数列{an}中，
（1）已知a1=2，d=3，n=10，求a10;
（2）已知a1=3，an=21，d=2，求n;
（3）已知a1=12，a6=27，求d;
（4）已知d= ，a7=8，求a1.
1 等差数列的概念
(1) 等差数列及等差中项的定义；
(2) 等差数列的通项公式；
递推公式、归纳法.
(3) 通项公式的应用.
函数与方程.
2 研究方法
递推公式
应用
通项公式
回顾本节课的探究过程，你学到了什么？
函数与方程
的思想
课堂小结