2022-2023学年山东省淄博市张店八中九年级（上）月考数学试卷（10月份）（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省淄博市张店八中九年级（上）月考数学试卷（10月份）（五四学制）
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是( )
A. B. C. D.
如图，一块含有的直角三角板的直角顶点和坐标原点重合，角的顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，则的值为( )
A. B. C. D.
如图，在一笔直的海岸线上有、两个观测站，离海岸线的距离即的长为，从测得船在北偏东的方向，从测得船在北偏东的方向，则的长( )
A. B. C. D.
如图，在平面直角坐标系中，四边形的边与轴的正半轴重合，，轴，对角线，交于点已知：：，的面积为若反比例函数的图象恰好经过点，则的值为( )
A. B. C. D.
把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线，则有( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数与一次函数的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是( )
A. B.
C. D.
从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度单位：与小球运动时间单位：之间的函数关系如图所示．下列结论：
小球在空中经过的路程是；
小球运动的时间为；
小球抛出秒时，速度为；
当时，小球的高度．
其中正确的是( )
A. B. C. D.
在平面直角坐标系中，将抛物线沿轴向下平移个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
已知，关于的一元二次方程的解为，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
在中，若角，满足，则的大小是______．
已知抛物线的顶点在坐标轴上，则______．
抛物线的部分图象如图所示，则抛物线与轴的另一个交点坐标为______ ．
如图，在矩形中，点是边的中点，，垂足为，则的值是______．
如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴的正半轴上，，点在轴的负半轴上，，连接，过点作交交于点，点在上，连接，若的面积为，则的值是______．
三、解答题（本大题共8小题，共91.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
计算：
．
．
本小题分
如图武汉绿地中心，投资亿元人民币，总建筑面积达万平方米，中心主楼高，是目前湖北省第二高楼，大楼顶部有一发射塔，已知和处于同一水平面上有一高楼，在楼底端点测得的仰角为，，在顶端点测得的仰角为，
求两楼之间的距离；
求发射塔的高度．
本小题分
如图，若二次函数的图象与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点．
求顶点坐标和，两点的坐标；
若为二次函数图象上一点且，求点的坐标．
本小题分
在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角两边足够长，用长的篱笆围成一个矩形花园篱笆只围，两边，设．
若花园的面积为，求的值；
若在处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内含边界，不考虑树的粗细，求花园面积的最大值．
本小题分
在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐一市民骑自行车由地出发，途经地去往地，如图当他由地出发时，发现他的北偏东方向有一信号发射塔他由地沿正东方向骑行到达地，此时发现信号塔在他的北偏东方向，然后他由地沿北偏东方向骑行到达地．
求地与信号发射塔之间的距离；
求地与信号发射塔之间的距离计算结果保留根号
本小题分
如图，以为顶点的抛物线交轴于、两点，交轴于点．
求点，，，的坐标；
在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标；
请你猜想的形状，并说明理由．
本小题分
如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点．连接，．
求一次函数的表达式；
求的面积；
如图，隐去，，若点为轴上一动点，则平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
本小题分
如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点．
求这条抛物线所对应的函数的表达式；
若点为该抛物线上的一个动点，且在直线上方，求点到直线的距离的最大值及此时点的坐标；
点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为：两部分，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：是抛物线的顶点式，
顶点坐标为．
故选D．
直接根据顶点式的特点求顶点坐标．
本题主要考查二次函数的性质．
2.【答案】
【解析】解：反比例函数的图象经过点，
，
A、，故A不正确，不符合题意；
B、，故B不正确，不符合题意；
C、，故C正确，符合题意，
D、，故D不正确，不符合题意．
故选：．
将代入即可求出的值，再根据解答即可．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查反比例函数的几何意义，特殊锐角的三角函数值，相似三角形的性质等知识，理解相似三角形的性质和锐角三角函数之间的关系是解决问题的关键．
根据特殊锐角的三角函数值可得，再利用相似三角形的性质，可得，由反比例函数的几何意义可得，进而得出，再由反比例函数的的几何意义可得出的值．
【解答】
解：过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，
在中，，，
，
，，
，
又，
∽，
，
点在的图象上，
，
，
，
又点在第二象限，
，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：在上取一点，使，
可得：，，
从测得船在北偏东的方向，
，
．
设，则，
，
，
，
解得，即．
故选：．
根据题意在上取一点，使，设，则，，再根据列出方程，求解即可．
此题考查了解直角三角形的应用方向角问题，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定，设，得到是解题关键．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查反比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例等知识，解题的关键是求出的面积．
过点作于首先证明∽，利用相似三角形的性质求出的面积，再证明，进而求出的面积，利用反比例系数的几何意义即可求解．
【解答】
解：过点作于．
，
∽，
，且，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：，
的顶点坐标为，
向右平移个单位，向下平移个单位，
平移前的抛物线的顶点的横坐标为，
纵坐标为，
平移前的抛物线的顶点坐标为，
平移前的抛物线为，
，．
故选：．
先求出的顶点坐标，再根据“左加右减”求出平移前的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出，整理成二次函数的一般形式，再根据对应项系数相等解答．
本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据两个函数图象的顶点坐标确定平移方法更简便，要注意知道平移后的顶点坐标求平移前的顶点坐标的方法．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致，用排除法即可解答．
本题考查二次函数与一次函数的图象性质，比较简单．
【解答】
解：、一次函数的图象过一、三象限，，与二次函数开口向下，即相矛盾，错误；
B、一次函数的图象过二、四象限，，与二次函数开口向上，相矛盾，错误；
C、，故此二次函数与轴的两个交点为，，一次函数与轴的交点为，故两函数在轴上有交点，错误；
排除、、，
故选D．
8.【答案】
【解析】解：由图象可知，小球在空中达到的最大高度为，则小球在空中经过的路程一定大于，故错误；
由图象可知，小球时落地，故小球运动的时间为，故正确；
小球抛出秒时达到最高点，即速度为，故正确；
设函数解析式为，将代入得：
，
解得，
函数解析式为，
当时，，
正确．
综上，正确的有．
故选：．
可直接由函数图象中的信息分析得出答案；可由待定系数法求得函数解析式，再将代入计算，即可作出判断．
本题考查了二次函数在物体运动中的应用，会用待定系数法求函数解析式并数形结合进行分析是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，
该抛物线顶点坐标是，
将其沿轴向下平移个单位后得到的抛物线的顶点坐标是，
，
，
，
，
点在第四象限；
故选：．
根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可．
本题考查了二次函数的图象与性质、平移的性质、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点坐标是解题的关键．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一元二次方程与二次函数的关系，数形结合是解题的关键．
将关于的方程的解为，的问题转化为二次函数与交点的横坐标，借助图象即可得出答案．
【解答】
解：关于的一元二次方程的解为，，可以看作二次函数与直线的交点的横坐标，如图，
二次函数与轴交点坐标为，，
当时，直线与抛物线交于轴上方的部分，
又，
，
故选A．
11.【答案】
【解析】解：，
，，
，，
．
故答案为：．
直接利用特殊角的三角函数值结合非负数的性质得出，，进而利用三角形内角和定理求出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值以及非负数的性质，正确记忆相关数据是解题关键．
12.【答案】，，
【解析】解：当抛物线的顶点在轴上时，，即，解得或；
当抛物线的顶点在轴上时，，解得．
故答案为：，，．
由于抛物线的顶点在坐标轴上，故应分在轴上与轴上两种情况进行讨论．
本题考查的是二次函数的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
13.【答案】
【解析】解：如图，抛物线的对称轴为直线，根据抛物线的对称性，可得抛物线与轴两交点到对称轴的距离相等，那么抛物线与轴的另一个交点的横坐标为，纵坐标为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为．
故答案是：．
根据抛物线的对称性质解答．
本题主要考查了抛物线与轴的交点，抛物线与轴两个交点的横坐标的和除以后等于对称轴．
14.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，
点是边的中点，
，
∽，
，
，
，
点是边的中点，
由矩形的对称性得：，
，设，则，
，
；
故答案为：．
证明∽，得出，，由矩形的对称性得：，得出，设，则，由勾股定理求出，再由三角函数定义即可得出答案．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
15.【答案】
【解析】解：因为，依据同底等高的原理，的面积等于的面积，
设，则，
解得，
所以．
故．
故答案为：．
根据同底等高把面积进行转化，再根据的几何意义，从而求出的值．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，关键是根据同底等高把面积进行转化．
16.【答案】解：
；
．
【解析】根据特殊角度的三角形函数值进行计算便可；
根据有理数乘方法则，绝对值的定义，零指数幂的性质，特殊角的三角函数值进行计算便可．
本题考查了实数的运算，熟记特殊角度的三角形函数值，有理数乘方法则，绝对值的定义，零指数幂的性质是解题的关键．
17.【答案】解：作于，
在中，，
，
，，，
四边形为矩形，
，
答：两楼之间的距离为；
在中，，即，
解得，，
，
答：发射塔的高度为．
【解析】作，根据等腰直角三角形的性质求出，根据矩形的性质得到，得到答案；
根据正切的定义求出，结合图形计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
18.【答案】解：令，则，
解得，，
，；
，，
，
设点的坐标为，
由题意，
，
，
则，
当时，
解得：或，
当时，
解得，
故所求点的坐标为或或．
【解析】令，解方程可得出答案；
求出，由三角形的面积可得出点的纵坐标，解方程可求出的值，则可求出答案．
此题考查了二次函数的图象与轴的交点，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
19.【答案】解：，则，
，
解得：，，
答：的值为或；
，
，
，
在处有一棵树与墙，的距离分别是和，
，
，
当时，取到最大值为：，
答：花园面积的最大值为平方米．
【解析】根据题意得出长宽，进而得出答案；
由题意可得出：，再利用二次函数增减性求得最值．
此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出与的函数关系式是解题关键．
20.【答案】解：依题意知：，，，
过点作于点，
，，
，
，，
，
，
，
；
，，
，
过点作于，
，，
，
，
，，
，
，
．
【解析】根据题意得到，，，过点作于点，求得，得到，由，求得，于是得到结论；
过点作于，根据，，求得，得到，，根据，于是得到结论．
此题考查了解直角三角形的应用方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．
21.【答案】解：令，则，
解得或，
点的坐标为，点的坐标为，
令，，
点坐标为．
，
顶点的坐标为；
抛物线的解析式为：，
其对称轴为直线，
连接，如图所示，
，，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
；
是直角三角形．理由如下：
点的坐标为，点的坐标为，顶点的坐标为，
，，，
，
，
是直角三角形．
【解析】令可得点，坐标，令可得点坐标，将抛物线化为顶点式，可得的坐标；
点、点关于对称轴对称，连接交对称轴直线于点，求出点坐标即可；
求出线段、、的长，利用勾股定理的逆定理即可判断的形状．
本题是二次函数综合题，考查用待定系数法求函数的解析式、轴对称求最短路线问题、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是要注意数形结合的应用．
22.【答案】解：把代入，得，故A，
把代入，得，故B，
将、坐标代入一次函数中得：
，
解得：，
一次函数的表达式为：；
如图，设直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，
则，，
把代入中得，故E，
，
；
的坐标为或或或或，理由如下：
，，
，
当点与点重合时，如下图所示，存在以点，，，为顶点的四边形为菱形，此时；
若，设点，如下图所示：过点作轴于点，则，
根据勾股定理得：，
解得：，
的坐标为或；
若，设点，如下图所示：过点作轴于点，则，
根据勾股定理得：，
解得：，
的坐标为或；
综上，平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，且的坐标为或或或或；
【解析】把、坐标代入反比例函数中求出、的值，再利用待定系数法即可求出一次函数表达式；
如图，设直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，先求出点坐标，再根据即可；
分，此时与点重合，以及，三种情况讨论，设，利用勾股定理列出方程即可找到的不同坐标．
本题考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形面积，菱形性质，勾股定理等知识，正确分类，熟练掌握上述知识，灵活应用方程思想是解题的关键．
23.【答案】解：抛物线与轴交于，，与轴交于点．
，
解得：，
抛物线的解析式为；
过点作于，交直线于点，过点作于，如图．
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为．
设点的横坐标为，则点的横坐标也为，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
当时，点到直线的距离取得最大值．
此时，
即点的坐标为；
如图，设直线交轴于点，
直线把四边形的面积分为：两部分，
又：：：，
则：：或：
则或，
即点的坐标为或，
将点的坐标代入直线的表达式：，
解得：或，
故直线的表达式为：或，
联立方程组或，
解得：或不合题意值已舍去，
故点的坐标为或
【解析】运用待定系数法即可解决问题；
过点作于，交直线于点，过点作于，可用待定系数法求出直线的解析式，设点的横坐标为，则点的横坐标也为，从而可以用的代数式表示出，然后利用得到，可得出关于的二次函数，运用二次函数的最值即可解决问题；
根据：：：，即可求解．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，锐角三角函数、图象面积计算等，解决问题的关键是将面积比转化为线段比．
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