2022-2023学年河南省洛阳第二外国语学校九年级（上）第一次月考数学试卷(word解析版)

2022-2023学年河南省洛阳第二外国语学校九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
关于的方程是一元二次方程，则( )
A. B. C. D.
抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为( )
A. B. C. D.
用配方法解方程时，配方结果正确的是( )
A. B. C. D.
一元二次方程的根的情况是( )
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 有两个不相等的实数根
如图是某公司去年月份生产成本统计图，设月每个月生产成本的下降率都为，根据图中信息，得到所满足的方程是( )
A. B.
C. D.
将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为( )
A. B. C. D.
已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为( )
A. B. C. 或 D. 或
北京环球影城霸天虎过山车是很多人喜欢的项目．过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，其运行的竖直高度与水平距离近似满足函数关系如图记录了过山车在该路段运行与的三组数据、、，根据上述函数模型和数据，可推断出，此过山车运行到最低点时，所对应的水平距离满足( )
A. B. C. D.
如图，抛物线为常数交轴于点，与轴的一个交点在和之间，顶点为．
抛物线与直线有且只有一个交点；
若点、点、点在该函数图象上，则；
将该抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线解析式为；
点关于直线的对称点为，点、分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为．
其中正确的判断有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
请写出一个开口向上，并且与轴交于点的抛物线的表达式： ．
方程的根是______．
已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则______．
教练对小明推铅球的录像进行技术分析，如图，发现铅球行进高度与水平距离之间的关系为，由此可知铅球推出的距离______
如图，抛物线的对称轴是直线，且过点，有下列结论：；当或时，；；；：其中所有正确的结论是______填写正确结论的序号．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
解方程．
；
．
已知关于的一元二次方程．
求证：方程总有两个实数根；
若方程有一个根是负数，求的取值范围．
已知二次函数．
这个二次函数图像的对称轴是______，顶点坐标是______；
在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
当时，的取值范围是______．
商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件．
若某天该商品每件降价元，当天可获利多少元？
在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？
如图，抛物线的顶点为，此抛物线交轴于、两点．
求此抛物线的解析式；
求的面积；
若抛物线上另一点满足，请求出点的坐标．
园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃苗圃的一面靠墙墙最大可用长度为米另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留米宽的门门不用木栏，建成后所用木栏总长米，设苗圃的一边长为米．
苗圃的另一边长为______米用含的代数式表示；
若苗圃的面积为，求的值；
当为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少平方米？
已知抛物线与轴交于、两点点在点左侧．
请求出抛物线对称轴及、两点坐标；
直接写出不等式时的解集；
已知线段的两个端点坐标、，当该抛物线与线段有交点时，求的取值范围．
如图所示，抛物线经过点，与轴交于另一点，与轴交于点．
求抛物线所对应的函数表达式；
如图，设点是轴正半轴上一个动点，过点作直线轴，交直线于点，交抛物线于点，连接、．
若点在第一象限内，当时，求点的坐标；
若，则点的横坐标为______．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
根据一元二次方程定义可得：，再解即可．
此题主要考查了一元二次方程定义，解题的关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．
2.【答案】
【解析】解：抛物线的顶点坐标是．
故选：．
根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求顶点坐标的方法是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：把代入方程得，解得．
故选：．
把代入方程得，然后解关于的方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．常数项移到右边，再配上一次项系数一半的平方即可．
【解答】
解：，
，
则，即，
故选D．
5.【答案】
【解析】解：将原方程化为一般形式为．
，
原方程有两个不相等的实数根．
故选：．
将原方程转化为一般形式，由根的判别式，即可得出原方程有两个不相等的实数根．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：设每个月生产成本的下降率为，
根据题意得：，
故选：．
设月每个月生产成本的下降率都为，根据该公司月份及月份的生产成本，即可得出关于的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，
．
将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的抛物线对应的函数表达式为：，即．
故选：．
利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
此题主要考查了二次函数与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：，
，．
三角形是等腰三角形，必须满足三角形三边的关系，
腰长是，底边是，
周长为：．
故选：．
用因式分解法求出方程的两个根分别是和，有三角形的三边关系，为底，为腰，可以求出三角形的周长．
本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根，然后根据三角形三边的关系，确定三角形的周长．
9.【答案】
【解析】解：设该抛物线的对称轴为，
由函数图象得：，
故选：．
根据函数图象，可以得到对称轴的取值范围，从而可以得到哪个选项是正确的．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出对称轴的取值范围．
10.【答案】
【解析】解：把代入中，得，
，
此方程两个相等的实数根，则抛物线与直线有且只有一个交点，故结论正确；
抛物线的对称轴为，
点关于的对称点为，
，
当时，随增大而增大，
又，点、点、点在该函数图象上，
，故结论错误；
将该抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，抛物线的解析式为：，即，故结论正确；
当时，抛物线的解析式为：，
，，，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，与轴、轴分别交于、点，如图，
则，根据两点之间线段最短，知最短，而的长度一定，
此时，四边形周长最小，为：，故结论正确；
综上所述，正确的结论是．
故选：．
把代入中，判断所得一元二次方程的根的情况便可得判断正确；
根据二次函数的性质进行判断；
根据平移的公式求出平移后的解析式便可；
因边一定，只要其他三边和最小便可，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，与轴、轴分别交于、点，求出便是其他三边和的最小值．
本题是二次函数的应用，主要考查二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点、求线段和的最小值等知识，解题的关键是熟悉二次函数的性质以及作对称点、处理四边形周长的最小值．
11.【答案】答案不唯一
【解析】解：抛物线的开口向上，
，
又抛物线与轴交于点，
，
所以抛物线的表达式为，
故答案为：答案不唯一．
根据二次函数的性质，所写出的函数解析式是正数，即可．
本题主要考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
12.【答案】，
【解析】解：将方程整理成一般式得：，
则，
或，
解得：，，
故答案为：，．
将方程整理成一般式，再利用因式分解法求解可得．
本题考查了解一元二次方程--因式分解法．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项，使方程的右边化为零；将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
13.【答案】
【解析】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根，
，，
则原式．
故答案为：．
利用根与系数的关系求出与，原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，将各自的值代入计算即可求出值．
此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，
当时，，
解得，舍去，
铅球推出的距离为．
故答案为：．
根据铅球落地时，高度，实际问题可理解为当时，求的值即可．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数和一元二次方程的关系是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，正确．
抛物线经过，
，
，
，，
，
，错误．
，错误．
抛物线对称轴为直线，
抛物线经过，
或时，，正确．
时，为函数最大值，
，即正确．
故答案为：．
由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断，由抛物线对称轴为直线，抛物线经过可得抛物线与轴另一个交点坐标及，，的数量关系，从而判断，由时取最大值可判断．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
16.【答案】解：，
，
，
，
，
，
，；
，
，
或，
，．
【解析】利用配方法解方程即可；
利用因式分解法解方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法解一元二次方程．
17.【答案】证明：关于的一元二次方程，
，
方程总有两个实数根；
解：由求根公式可求得或，
若方程有一个根为负数，则，解得．
综上可知，若方程有一个根是负数，的取值范围为．
故答案为：
【解析】计算方程根的判别式，判断其符号即可；
求方程两根，结合条件则可求得的取值范围．
本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
18.【答案】直线
【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为．
故答案为：直线，．
如图，
，
时，取最小值为，
将代入得，
当时，，
故答案为：．
将二次函数解析式化为顶点式求解．
根据二次函数解析式作图．
根据抛物线开口方向及顶点坐标求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
19.【答案】解：当天盈利：元．
答：若某天该商品每件降价元，当天可获利元；
根据题意，得：，
整理，得：，
解得：，，
商城要尽快减少库存，
．
答：每件商品降价元时，商场日盈利可达到元．
【解析】根据“盈利单件利润销售数量”即可得出结论；
根据“盈利单件利润销售数量”即可列出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再根据尽快减少库存即可确定的值．
本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出一元二次方程或算式是解题的关键．
20.【答案】解：如图，连接、设抛物线的解析式为，
把代入得，解得，
所以此抛物线的解析式为；
抛物线的对称轴为直线，
点坐标为，
的面积；
设点坐标为，
，
，
解得或舍去，
，
解得，，
点坐标为，．
【解析】设抛物线的解析式为，然后把原点坐标代入求出即可；
根据抛物线的对称性确定点坐标，然后根据三角形的面积公式求解；
设点坐标为，根据可计算出，然后利用二次函数的解析式计算对应的的值，从而得到点坐标．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式：二次函数的解析式有三种常见形式：一般式：是常数，；顶点式：是常数，，其中为顶点坐标；交点式：是常数，．
21.【答案】
【解析】解：木栏总长米，两处各留米宽的门，设苗圃的一边长为米，
长为，
故答案为：；
根据题意得：，
解得或，
的值为或；
设苗圃的面积为，
则，
，
时，最大为，
答：当为米时，苗圃的最大面积为平方米．
根据木栏总长米，两处各留米宽的门，设苗圃的一边长为米，即得长为米；
根据题意得：，即可解得的值；
，由二次函数性质可得答案．
本题考查二次函数的应用，解题得关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式．
22.【答案】解：，
抛物线对称轴为直线，
令，可得，
解得或，
点坐标为，点坐标为．
，
抛物线开口向上，
，，
或时，．
，
抛物线顶点坐标为，
当时，抛物线顶点在线段上，
解得，
当抛物线经过时，，
解得，
当抛物线经过时，，
解得，
符合题意．
【解析】将抛物线解析式化为顶点式可得抛物线对称轴，令，可得点，坐标．
由抛物线开口方向及点，坐标求解．
结合图象，分别求出抛物线顶点在线段上，抛物线经过点，时的值，进而求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质．
23.【答案】或
【解析】解：在抛物线上，
，
，
抛物线所对应的函数表达式为；
作点关于直线的对称点，交于点，过点作轴于点，连接交抛物线于点，此时，，
，令，则，
令，则，
解得：或，
，，．
，，
是等腰直角三角形，则，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
把代入得：，
解得，
直线的解析式为，
，解得，
点的坐标为；
当点在轴上方时，如图，延长交轴于，
点，点，
，
，
，
，
，．
，
，
∽，
，
，
，
点，
设直线的解析式为，
把代入得：，
解得，
直线的解析式为，
，
舍去，，
点的横坐标为；
当点在轴下方时，如图，设与轴交于点，
，．
，
，，
≌，
，
点，
同理直线解析式为：．
，
舍去，，
点的横坐标为．
综上所述，点的横坐标为或．
故答案为：或．
利用待定系数法即可求解；
作点关于直线的对称点，连接交抛物线于点此时，求得，利用待定系数法求得直线的解析式为，联立方程组，即可求解；
分两种情况讨论，由相似三角形的性质和等腰三角形的性质，可求的解析式，联立方程可求解．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
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