人教B版（2019）必修第一册 2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系第1课时教案（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）必修第一册 2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系第1课时教案（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 139.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-07 21:01:10 | ||
图片预览
文档简介
第二章 等式与不等式
《2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系》
第1课时
教学目标
1．掌握一元二次方程一般式解集的方法．
2．会用整体代入法解一元二次方程．
3．学会用配方法推出一元二次方程的解集．
教学重难点
教学重点：1．掌握用配方法，整体代入法解一元二次方程．2．实际情景问题中构建一元二次方程模型．
教学难点：用整体代入法解一元二次方程
课前准备
PPT课件．
教学过程
一、整体概述
问题1：阅读课本第47~49页，回答下列问题：
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？
师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．
预设的答案：（1）本节将要研究一元二次方程的解集．（2）起点是一次方程的解集以及因式分解法解一元二次方程，目标是会用配方法以及公式法求解一元二次方程或可化为一元二次方程的方程；提升数学建模素养．
设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．
二、探索新知
1．情境与问题
《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著．是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右．《九章算术》内容十分丰富，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就．同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，《方程》章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则．它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．
《九章算术》第九章“勾股”问题二十：今有邑方不知大小，各中开门．出北
门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何．
根据题中的描述可画出示意图如图所示，其中A点代表北门，B处是木，C点代表南门，而且AB=20， CD=14， DE=_______．
如果设正方形的边长为x．则有，DB=20+x+14=x+34．
根据ΔABF∽ΔDBE可知，从而AF·DB=AB·DE， 因此．
整理得， 你会解这个方程吗？
设计意图：以中国古代数学名著中的题为情境引入，既说明学习这部分内容的重要，也说明中国古代数学成就突出，激发学生的学习热情和爱国情怀．
2．探究新知
知识点1 一元二次方程的解集
我们知道，形如ax2+bx+c=0的方程为一元二次方程，其中a，b，c是常数，且a≠0．
问题1：从上一节的内容可知，用因式分解法能得到一元二次方程的解集，但是用这种方法有时候并不容易，例如情境与问题中所得到的方程就是这种情形，此时该怎么办呢？
追问1：你认为最简单的一元二次方程具有什么样的形式？可以怎样得到这种方程的解集？举例说明．
师生活动：学生讨论，不难发现：如果一个一元二次方程可以化为x2=t的形式，其中t为常数，那么这个方程的解集①是容易获得的．（①如不特别声明，本书中所说的一元二次方程的解均指的是实数解，下同．）
【练一练】方程x2=3的解集为__________；方程x2=0的解集为__________；方程x2=－2的解集为__________．
预设的答案：{一，}；{0}； ．
教师总结：一般地，方程x2=t：当t>0时，解集为__________；
（2）当t=0时，解集为__________；
（3）当t<0时，解集为__________．
预设的答案： {，－}； {0}； ．
追问2：形如（x－k）2=t（其中k，t是常数）的一元二次方程的解集如何得到？
【练一练】方程（x－1）2=2的解集为__________．
师生活动：学生书写解题过程：由（x－1）2=2可知x－1=﹣或x－1=，从而x=1－或x=1+，因此解集为{1－，1+}．
教师总结：一般地，方程（x－k）2=t：
当t>0时，解集为 ；当t=0时，解集为 ；当t<0时，解集为 ．
预设的答案：{，}； {k}； ．
结论：对于一般的一元二次方程来说，只需要将其化为（x－k）2=t的形式，就可得到方程的解集．
追问3：怎样将x2+2x+3=0化为（x－k）2=t的形式？动手试试看，并写出这个方程的解集．
师生活动：学生思考后回答：利用配方法可得x2+2x+3=x2+2x+1+2=（x+1）2+2．
因此x2+2x+3=0可以化为（x+1）2 =﹣2，从而解集为 ．
教师总结：利用配方法，总是可以将化为（x－k）2=t的形式，过程如下：因为a≠0，所以
因此，可以化为．
从而可知，的符号情况决定了上述方程的解集情况：
（1）当时，方程的解集为；
（2）当时，方程的解集为；
（3）当时，方程的解集为．
一般地，Δ=b2－4ac称为一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的判别式．由此可知，一元二次方程解集的情况完全由它的系数决定．
师生活动：请学生回答：前述情境与问题中的方程的解，方程可以化为（x+17）2=71289，从而可解得x=250或x=－284（舍）．
设计意图：从最简单的一元二次方程入手，逐步讨论一元二次方程的解集．
三、初步应用
例1求下列方程的解集．
（1）； （2）；
（3）（）．
师生活动：学生分析，化为一元二次方程的一般形式，利用公式法求解．教师写出规范解答．
预设的答案：解：（1）方程可化为：，，则．
则，所以原方程的解集为；
（2）方程可化为：，则，所以原方程的解集为．
（3）．
当时，原方程的解集为；
当时，原方程的解集为；
当时，原方程的解集为．
设计意图：利用公式法求一元二次方程的解集．注意，若方程中含有参数，需要对参数分类讨论．
例2 求下列方程的解集．
（1） （2）（x2+3x）2+2（x2+3x）－3=0．
师生活动：学生分组讨论，派代表完成解题过程．
预设的答案：解 ：（1） 设，则y≥0，且原方程可变为，
因此可知y=1+或y=1－（舍）
从而，即，所以原方程的解集为．
（2）设x2+3x=y，方程化为y2+2y－3=0，即（y－1）（y+3）=0，解得y1=1，y2=－3．
即x2+3x=1或x2+3x=－3．
即x2+3x－1=0或x2+3x+3=0．
解得，所以原方程的解集为．
设计意图：这不是一个一元二次方程，但是通过把或x2+3x看成一个整体就可以转化为一个一元二次方程． 通过本例说明可用换元法和公式法求一类可化为一元二次方程的解集．
练习：教科书P50 练习A 1 、2、3
四、归纳小结，布置作业
1．板书设计：
2.1.2一元二次方程的解集
1．一元二次方程的解集
例1
例2
2．总结概括：
回顾本节课，你有什么收获？
（1）什么叫一元二次方程？试写出一元二次方程的一般形式．
（2）如何求一元二次方程的解集？
师生活动：学生总结，老师适当补充．
作业：教科书P51练习B 1、4、5
《2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系》
第1课时
教学目标
1．掌握一元二次方程一般式解集的方法．
2．会用整体代入法解一元二次方程．
3．学会用配方法推出一元二次方程的解集．
教学重难点
教学重点：1．掌握用配方法，整体代入法解一元二次方程．2．实际情景问题中构建一元二次方程模型．
教学难点：用整体代入法解一元二次方程
课前准备
PPT课件．
教学过程
一、整体概述
问题1：阅读课本第47~49页，回答下列问题：
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？
师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．
预设的答案：（1）本节将要研究一元二次方程的解集．（2）起点是一次方程的解集以及因式分解法解一元二次方程，目标是会用配方法以及公式法求解一元二次方程或可化为一元二次方程的方程；提升数学建模素养．
设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．
二、探索新知
1．情境与问题
《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著．是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右．《九章算术》内容十分丰富，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就．同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，《方程》章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则．它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．
《九章算术》第九章“勾股”问题二十：今有邑方不知大小，各中开门．出北
门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何．
根据题中的描述可画出示意图如图所示，其中A点代表北门，B处是木，C点代表南门，而且AB=20， CD=14， DE=_______．
如果设正方形的边长为x．则有，DB=20+x+14=x+34．
根据ΔABF∽ΔDBE可知，从而AF·DB=AB·DE， 因此．
整理得， 你会解这个方程吗？
设计意图：以中国古代数学名著中的题为情境引入，既说明学习这部分内容的重要，也说明中国古代数学成就突出，激发学生的学习热情和爱国情怀．
2．探究新知
知识点1 一元二次方程的解集
我们知道，形如ax2+bx+c=0的方程为一元二次方程，其中a，b，c是常数，且a≠0．
问题1：从上一节的内容可知，用因式分解法能得到一元二次方程的解集，但是用这种方法有时候并不容易，例如情境与问题中所得到的方程就是这种情形，此时该怎么办呢？
追问1：你认为最简单的一元二次方程具有什么样的形式？可以怎样得到这种方程的解集？举例说明．
师生活动：学生讨论，不难发现：如果一个一元二次方程可以化为x2=t的形式，其中t为常数，那么这个方程的解集①是容易获得的．（①如不特别声明，本书中所说的一元二次方程的解均指的是实数解，下同．）
【练一练】方程x2=3的解集为__________；方程x2=0的解集为__________；方程x2=－2的解集为__________．
预设的答案：{一，}；{0}； ．
教师总结：一般地，方程x2=t：当t>0时，解集为__________；
（2）当t=0时，解集为__________；
（3）当t<0时，解集为__________．
预设的答案： {，－}； {0}； ．
追问2：形如（x－k）2=t（其中k，t是常数）的一元二次方程的解集如何得到？
【练一练】方程（x－1）2=2的解集为__________．
师生活动：学生书写解题过程：由（x－1）2=2可知x－1=﹣或x－1=，从而x=1－或x=1+，因此解集为{1－，1+}．
教师总结：一般地，方程（x－k）2=t：
当t>0时，解集为 ；当t=0时，解集为 ；当t<0时，解集为 ．
预设的答案：{，}； {k}； ．
结论：对于一般的一元二次方程来说，只需要将其化为（x－k）2=t的形式，就可得到方程的解集．
追问3：怎样将x2+2x+3=0化为（x－k）2=t的形式？动手试试看，并写出这个方程的解集．
师生活动：学生思考后回答：利用配方法可得x2+2x+3=x2+2x+1+2=（x+1）2+2．
因此x2+2x+3=0可以化为（x+1）2 =﹣2，从而解集为 ．
教师总结：利用配方法，总是可以将化为（x－k）2=t的形式，过程如下：因为a≠0，所以
因此，可以化为．
从而可知，的符号情况决定了上述方程的解集情况：
（1）当时，方程的解集为；
（2）当时，方程的解集为；
（3）当时，方程的解集为．
一般地，Δ=b2－4ac称为一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的判别式．由此可知，一元二次方程解集的情况完全由它的系数决定．
师生活动：请学生回答：前述情境与问题中的方程的解，方程可以化为（x+17）2=71289，从而可解得x=250或x=－284（舍）．
设计意图：从最简单的一元二次方程入手，逐步讨论一元二次方程的解集．
三、初步应用
例1求下列方程的解集．
（1）； （2）；
（3）（）．
师生活动：学生分析，化为一元二次方程的一般形式，利用公式法求解．教师写出规范解答．
预设的答案：解：（1）方程可化为：，，则．
则，所以原方程的解集为；
（2）方程可化为：，则，所以原方程的解集为．
（3）．
当时，原方程的解集为；
当时，原方程的解集为；
当时，原方程的解集为．
设计意图：利用公式法求一元二次方程的解集．注意，若方程中含有参数，需要对参数分类讨论．
例2 求下列方程的解集．
（1） （2）（x2+3x）2+2（x2+3x）－3=0．
师生活动：学生分组讨论，派代表完成解题过程．
预设的答案：解 ：（1） 设，则y≥0，且原方程可变为，
因此可知y=1+或y=1－（舍）
从而，即，所以原方程的解集为．
（2）设x2+3x=y，方程化为y2+2y－3=0，即（y－1）（y+3）=0，解得y1=1，y2=－3．
即x2+3x=1或x2+3x=－3．
即x2+3x－1=0或x2+3x+3=0．
解得，所以原方程的解集为．
设计意图：这不是一个一元二次方程，但是通过把或x2+3x看成一个整体就可以转化为一个一元二次方程． 通过本例说明可用换元法和公式法求一类可化为一元二次方程的解集．
练习：教科书P50 练习A 1 、2、3
四、归纳小结，布置作业
1．板书设计：
2.1.2一元二次方程的解集
1．一元二次方程的解集
例1
例2
2．总结概括：
回顾本节课，你有什么收获？
（1）什么叫一元二次方程？试写出一元二次方程的一般形式．
（2）如何求一元二次方程的解集？
师生活动：学生总结，老师适当补充．
作业：教科书P51练习B 1、4、5