高中数学必修第一册人教A版（2019）4.4.3《不同函数增长的差异》名师课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
人教A版同步教材名师课件
不同函数增长的差异
学习目标
学 习 目 标 核心素养
结合现实情境中的具体问题比较对数函数、一次函数、指数函数、幂函数增长的差异 数学建模
恰当地运用函数的三种表示方法解决一些实际问题 逻辑推理
理解用函数构建数学模型的基本过程 数学抽象
学习目标
课程目标
1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质,并体会其增长的快慢.
2.理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义以及三种函数模型的性质的比较,培养数学建模和数学运算等核心素养.
数学学科素养
1.数学抽象：常见增长函数的定义、图象、性质；
2.逻辑推理：三种函数的增长速度比较；
3.数学运算：由函数图像求函数解析式；
4.数据分析：由图象判断指数函数、对数函数和幂函数；
5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结函数性质.
以函数与为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异.
(1) 在区间(-∞,0)上，指数函数y=2x值恒大于0，一次函数y=2x值恒小于0，所以我们重点研究在区间(0,+∞)上它们的增长差异.
(2) 列表、描点作图如下：
x y=2x y=2x
0 1 0
0.5 1.414 1
1 2 2
1.5 2.828 3
2 4 4
2.5 5.657 5
3 8 6
··· ··· ···
y=2x
y=2x
探究新知
(3) 观察两个函数图象及其增长方式：
结论1：函数y=2x与y=2x有两个交点(1,2)和(2,4)
结论2：在区间(0,1)上，函数y=2x的图象位于y=2x之上
结论3：在区间(1,2)上，函数y=2x的图象位于y=2x之下
结论4：在区间(2,3)上，函数y=2x的图象位于y=2x之上
综上：虽然函数y=2x与y=2x都是增函数，但是它们的增长速度不同，函数y=2x的增长速度不变，但是y=2x的增长速度改变，先慢后快.
探究新知
请大家想象一下，取更大的x值，在更大的范围内两个函数图象的关系？
思考：随着自变量取值越来越大，函数y=2x的图象几乎与x轴垂直，函数值快速增长，函数y=2x的增长速度保持不变，和y=2x的增长相比几乎微不足道.
探究新知
总结一：函数y=2x与y=2x在[0,+∞)上增长快慢的不同如下：
虽然函数y=2x与y=2x在[0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.
随着x的增大，y=2x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=2x的增长速度.
尽管在x的一定范围内，2x<2x，但由于y=2x的增长最终会快于y=2x的增长，
因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有2x>2x.
探究新知
总结二：一般地指数函数y=ax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)的增长都与上述类似.
即使k值远远大于a值，指数函数y=ax(a>1)虽然有一段区间会小于y=kx(k>0)，但总会存在一个x0，当x>x0时， y=ax(a>1)的增长速度会大大超过y=kx(k>0)的增长速度.
探究新知
(1) 在区间(-∞,0)上，对数函数y=lgx没意义，一次函数值恒小于0，
所以研究在区间(0,+∞)上它们的增长差异.
(2) 列表、描点作图如下：
x y=lgx
0 不存在 0
10 1 1
20 1.301 2
30 1.477 3
40 1.602 4
50 1.699 5
60 1.778 6
··· ··· ···
以函数y=lgx与 为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异.
y=lgx
探究新知
(3) 观察两个函数图象及其增长方式：
总结一：虽然函数y=lgx与 在(0,+∞)上都是单调递增，
但它们的增长速度存在明显差异.
在(0,+∞)上增长速度不变，y=lgx在
(0,+∞)上的增长速度在变化.
随着x的增大， 的图象离x轴越来越远，
而函数y=lgx的图象越来越平缓，就像与x轴平行一样.
y=lgx
探究新知
例如：lg10=1，lg100=2，lg1000=3，lg10000=4；
这表明，当x>10，即y>1，y=lgx比 相比增长得就很慢了.
y=lgx
探究新知
思考：将y=lgx放大1000倍，将函数y=1000lgx与 比较，仍有上面规律吗？先想象一下，仍然有.
探究新知
总结二：一般地，虽然对数函数 与一次函数y=kx(k>0)在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.
随着x的增大，一次函数y=kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数 的增长速度越来越慢.
不论a值比k值大多少，在一定范围内， 可能会大于kx，但由于 的增长会慢于kx的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，恒有 .
探究新知
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典例讲解
例1、下列函数中随的增大而增大，且增长速度最快的是( )
解析
由于指数型函数的增长是爆炸式增长，所以当越来越大时，函数的增长越来越快，由于e>2，当x超过某一个值时，函数的值会超过的值.故选B.
B
方法归纳
比较函数增长情况的方法
(1)解析法：直接看函数解析式是一次函数、指数型函数还是对数型函数，其中当较大时，指数型函数增长速度最快，一次函数增长速度其次，对数型函数增长速度最慢.
(2)表格法：通过分析表格中的数据得出函数增长速度的差异.
(3)图象法：在同一直角坐标系中画出各函数的图象，观察图象并借助计算器，便能直观地得出这三个函数增长速度的差异.
变式训练
1.四人赛跑，假设他们跑过的路程和时间的函数关系分别是，如果他们一直跑下去最终跑在最前面的人所跑过的路程与时间的函数关系式是( )
解析
由函数的增长趋势可知，指数函数增长最快，所以最终跑在最前面的人所跑过的路程与时间的函数关系为
典例讲解
例2、已知三个变量随变量变化的数据如下表：
则反映随变化情况拟合较好的一组函数模型是( )
解析
从题中表格可以看出，三个变量都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量的增长速度最快，呈指数型函数变化，变量的增长速度最慢，呈对数型函数变化.故选B.
B
变式训练
2.在某种新型材料的研制中，工作人员获得了下面一组数据(见下表)：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的是( )
解析
题表中数据随的变化趋势函数在(0，+∞)上是增函数，且的变化随的增大越来越快.A中函数是线性增加的函数,C中函数是比线性增加缓慢的函数，D中函数是减函数， 排除A，C，D选项，故选B.
典例讲解
例3、某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿的种植成本Q与上市时间t的变化关系.
利用你选取的函数，回答下列问题：
(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________；
(2)最低种植成本是________(元/100kg).
典例讲解
根据表中数据可知函数不单调，所以，且开口向上.
(1)函数图象的对称轴方程为，
所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120.
(2)将表格中的数据代入，
得，解得
所以最低种植成本是
答案 (1)120 (2)80
解析
方法归纳
由增长速度确定函数模型的技巧
(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.
(2)增长速度最快且呈现“爆炸”式增长的函数模型是指数型函数模型.
(3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型.
变式训练
3.据统计，某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万人、0.4万人、0.76万人，则该地区这三个月的用工人数(万人)关于月数的函数关系近似是( )
解析
对于A，当时，，与0.76差距较大，故排除A；对于B，当时，，与0.76差距较大，故排除B；对于D，当时， ，与0.76差距较大，故排除D，故选 C
当堂练习
1、下列函数中，增长速度最慢的是( )
2、四人赛跑，假设其跑过的路程4})和时间的函数关系分别是 ，跑得最快的是( )
3、以下四种说法中，正确的是( )
A.幂函数模型增长的速度比一次函数增长的速度快
B对任意的
C对任意的
D.不一定存在
D
D
B
归纳小结
不同函数增长的差异
一次函数一增长速度不变
指数函数—增长越来越快
对数函数一增长速度缓
作 业
P139练习：1、2、3