高中数学必修第一册人教A版（2019）4.4.2《对数函数的图像和性质---习题课》名师课件（共47张PPT）

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人教A版同步教材名师课件
对数函数的图象和性质
---习题课
一、对数型函数的图象
二、对数函数单调性的应用
三、与对数有关的函数值域与最值问题
四、对数函数的综合问题
一、对数型函数的图象
例1、函数的图象过定点_________.
思路分析 令真数2+ 1 = 1，让底数对函数取值无影响.
令2+ 1 = 1，可得 = 0，则，故函数的图象过定点(02).
解析
典例讲解
方法归纳
求函数，的图象恒过定点的步骤：
1.令 = 1；
2.求出；
3.得定点(m).
1. 函数的图象恒过点( )
A.(10) B.(1-4) C.(20) D.(2-4)
解析
变式训练
令2 – 3 = 1，得 = 2，函数的图象恒过点，故选D.
典例讲解
解析
若0 < < 1，则函数的图象从左到右下降且过点(01)，函数的图象从左到右上升且过点( -10 ) ；若 >1，则函数的图象从左到右上升且过点( 01 ) ，函数的图象从左到右下降且过点( -10 ).综上可知，选B.
例2、已知 > 0，且 ≠ 1，则函数与的图象可能是( )
A
B
C
D
思路分析 根据指数函数、对数函数的特点进行分类讨论.
B
方法归纳
1.对有关对数型函数图象的识辨问题，主要根据图象是上升还是下降、图象位置、图象所过的定点、图象与坐标轴的交点等求解.
2.对称变换的规律：
(1)的图象可由的图象作关于y轴的对称变换得到；
(2) 的图象可由的图象作关于轴的对称变换得到:
(3) 的图象可由的图象作关于原点的对称变换得到.
变式训练
因为函数的定义域为，故可排除选项A、B；
又在(-∞1)上为减函数， 为增函数，
所以复合函数在(-∞1)上为减函数，排除选项D，故选C.
解析
2.函数的大致图象为( )
典例讲解
解析
例3、作出函数的图象.
第三步：将函数的图象在 轴下方的部分作关于 轴的对称变换，得函数的图象，如图(3)所示.
第一步：作函数的图象，如图(1)所示；
第二步：将函数的图象沿 轴向左平移1个单位长度，得的图象，如图(2)所示；
方法归纳
翻折变换的规律
1.要作函数的图象，可先作函数的图象，然后将 轴上及其上方的图象保持不变， 轴下方的部分沿 轴翻折上去即可；
2要作函数的图象，可先作函数的图象，然后将轴上及其右侧的图象保持不变， 轴左侧的图象换成 轴右侧的图象沿轴翻折而成的图象即可.
变式训练
3.作出函数的图象.
解析
第一步：作出函数的图象；
第二步：作出函数的图象关于y轴的对称图象，即得函数的图象，如图①；
第三步：把函数的图象向右平移1个单位长度，即得函数的图象，如图②.
典例讲解
解析
例4、当 ∈(1，2)时，不等式恒成立，则 的取值范围为( ).
A.(01) B.(12) C.(12] D.
思路分析 将不等式恒成立转化为判断两个函数图象在同一平面直角坐标系中的位置关系来解决.
令，要使当 ∈(12)时，不等式恒成立，只需在 ∈(12)时， 的图象在的图象的下方.
当0 < < 1时，显然不成立；当 > 1时，如图所示，要使在(12)上， 的图象在的图象的下方，只需 ≤ ，即≤ ， ≥ 1，即1 < ≤ 2.
C
方法归纳
对于有关对数型函数的方程或不等式问题常常结合对数型函数的图象来解决，即数形结合法.应用时要准确地画出图象，把方程的根、不等式的解等问题转化为函数图象之间的关系的问题.
变式训练
4.已知函数，且的取值范围为(18)，则实数m的值为( )
A.0 B.-1 C.1 D.2
解析
作出的图象，如图所示，可令，则由图象知点(0)，(0)关于直线对称，所以，又
.
二、对数函数单调性的应用
典例讲解
解析
(1) 函数在(0+∞)上是增函数，，.
(2)由于
(3) ，
.
例5、比较下列各组数的大小：
； .
典例讲解
解析
(4)解法一：函数的图象如图所示，当 >1时，的图象在的图象上方，当 = 5时， >
解法二：
.
例5、比较下列各组数的大小：
； .
方法归纳
比较有关对数值大小的方法
类型 方法
底数不同，真数相同 利用对数函数的单调性
底数不同，真数相同 1.化为同底数
2.利用图象
底数不同，真数相同 利用中间量比较
指数值与对数值的比较 利用中间量比较
变式训练
5.若，b，，d，则 ，b，c，d的大小关系是( )
C. D.
，
，
，即 >b>c>d，故选C.
解析
典例讲解
解析
由3 -1>0，得函数的定义域为 在上为增函数，
当 >1时，函数在上为增函数；
当0< <1时，函数在上为减函数.
例6、讨论函数的单调性.
思路分析
>1时的单调性
0< <1时的单调性
求函数定义域
方法归纳
判断的单调性的方法：函数可看成是由
与两个简单函数复合而成的，进而由复合函数单调性“同增异减”的规律进行判断.
变式训练
6.讨论函数的单调性.
由
解析
典例讲解
解析
由，得或，所以函数的定义域为.
令，因为在(0+∞)上单调递减，在(-∞-1)上单调递减，在(3+∞)上单调递增，所以由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为(-∞-1).
例7、求函数的单调递增区间.
思路分析 首先确定函数的定义域，再运用复合函数单调性的规律确定递增区间.
变式训练
7. ( )
A.在(-∞0)上是增函数 B.在(-∞0)上是减函数
C.在(-∞-1 )上是增函数 D.在(-∞-1 )上是减函数
(2)函数的单调递增区间为____________.
(1)
，
.
解析
C
典例讲解
解析
(1)因为真数大于0，所以解得，又函数在(0+∞)上是增函数，所以，解得 <2.
综上可得，满足要求的 的取值集合为
例8、(1)满足不等式的 的取值集合为______________；
(2) ______________.
思路分析
利用对数函数的单调性求解
对数不等式
(1)真数大于0
(2)把常数1化为对数式的形式
典例讲解
解析
(2) ，即，当 >1时，函数在定义域内是增函数，所以总成立；当0< <1时，函数在定义域内是减函数，由，得即.综上可得，.
例8、(1)满足不等式的 的取值集合为______________；
(2) ______________.
思路分析
利用对数函数的单调性求解
对数不等式
(1)真数大于0
(2)把常数1化为对数式的形式
方法归纳
解常见对数不等式的方法
1.形如 ( >0，且 ≠1)的不等式，借助( >0，且 ≠1)的单调性求解，如果 的取值不确定，需分 >1和0< <1两种情况讨论；
2.形如 > b( >0，且 ≠1)的不等式，应将b化成以 为底的对数式的形式，再借助( >0，且 ≠1)的单调性求解；
3.形如 ( >0，且 ≠1，b>0，且b≠1)的不等式，可利用图象求解.
变式训练
8.(1)已知，求 的取值范围；
(2)已知，求 的取值范围.
(1)
.
解析
典例讲解
解析
令，在其定义域内为减函数，要使原函数在区间
上是增函数，则在区间上应是减函数，且恒大于0.
则 解得1)，
故所求 的取值范围是
例9、若函数在区间上是增函数，求实数 的取值范围.
思路分析 求解此类问题时，一要考虑定义域，二要考虑单调性.解题时，不要忘记对数式中的真数恒为正.
方法归纳
在解决真数中含参数的对数问题时，一定要保证真数大于0，忽略这一点，会使所求参数的取值范围扩大，从而致错.
变式训练
9.若函数( >0，且 ≠ 1)是R上的单调函数，则实数 的取值范围是____________.
.
解析
三、与对数有关的函数值域与最值问题
典例讲解
解析
(1)的定义域为R.∵ >0，∴1>1.∵在(0+∞)上单调递增，
∴ > =0，∴的值域为(0+∞).
(2)由题意得，
令，t∈[02]，，结合图象可知，当时，
当 = 0时， ， ∴的值域为
例10、求下列函数的值域：
(1)
思路分析 (1)先求的定义域，进而确定的值域，再结合对数函数的单调性求出的值域. (2)对于型函数可由换元法求值域.
方法归纳
求对数型函数且 ≠ 1)的值域的一般步骤
1.求函数的定义域；
2.分解成=两个函数；
3.求的取值范围；
4.利用的单调性求解.
变式训练
10.函数的值域为( )
11.求下列函数的值域：
10..
11.(1)的定义域为R.∵ ≥ 4，∴≥ ，∴的值域为.
(2)设则.∵>0，∴0 <≤ 4.
又在(0+∞)上为减函数，∴ ≥ = -2，
∴的值域为
解析
典例讲解
解析
∵， ∈[13]，∴ =，
其定义域为[13]. 令，∵ 在[13]上单调递增， ∴ .
∴ ).
从而要求在[13]上的最大值，只需求在[01]上的最大值即可. ∵ 在[01]上单调递增，当t = 1，即 = 3时，.
∴当 = 3时， 取得最大值12.
例11、已知， ∈[1，3]，求的最大值及相应的 的值.
思路分析 先求函数的定义域，然后令，将所求函数转化为关于t的函数，再求t的范围，从而可得所求函数的最大值.
方法归纳
求最值的三种方法：
一是形如，且 ≠ 1)的函数，利用对数函数的单调性求解；
二是关于的二次函数，可利用换元法转化；
三是形如的函数，求解时确定的取值范围之后，可将其转化为求的值域与最值.
变式训练
12.根据函数的图象与性质解决以下问题：
(1)若>，求 的取值范围；
(2)求在 ∈[2，14]上的最值.
解析
函数y = 的图象如图.
(1)y = 是增函数，>，即 > . ∴ > 2. ∴ 的取值范围为(2+∞).
(2)∵2 ≤ ≤ 14，∴3 ≤ 2-1 ≤ 27，∴ ≤ ≤ ∴函数在∈[214]上的最小值为，最大值为.
典例讲解
解析
因为与在[01]上具有相同的单调性，所以在[01]上单调，所以，即，化简得，解得
例12、函数在[01]上的最大值和最小值之和为 ，则 的值为( )
A. B. C.2 D.4
思路分析 注意到指数函数与对数函数的底数相同，从而单调性也相同，进而确定函数的最值，建立关于 的方程，求出 的值
方法归纳
已知函数的值域、最值求参数的步骤
1.判断函数的单调性；
2.求函数在给定区间上的最值；
3.根据已知条件列方程(组)；
4.解方程(组)求出参数的值；
5.检验所求的值是否满足题意.
变式训练
13.已知函数，且在区间[-2-1]上恒有，求实数的取值范围.
∵ ∈[-2-1]，∴1 ≤ + 3 ≤ 2.当 时，，即∵，∴解得.
当0 < < 1时，，即 ∵，∴解得 综上可得，实数的取值范围是.
解析
四、对数函数的综合问题
典例讲解
解析
(1)∵为奇函数，.，即
时，
例13、已知为奇函数.
(1)求常数的值；
(2)设 ，证明函数在(1+∞)上是减函数.
思路分析 (1)利用奇偶性求出的值；(2)利用单调性的定义证明.
典例讲解
解析
(2)证明：由(1)，则.
∵ ， ，∴ ， ，
∴.
∴函数在(1，+∞)上是减函数.
例13、已知为奇函数.
(1)求常数的值；
(2)设 ，证明函数在(1+∞)上是减函数.
思路分析 (1)利用奇偶性求出的值；(2)利用单调性的定义证明.
方法归纳
1.奇函数的定义.
2.化简整理，相同项的系数相等.
3.分离常数的目的是方便后面的作差.
4.定义法证明单调性的步骤：取值→作差→变形→定号→结论.
变式训练
14.已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增.若实数 满足，则的取值范围是( )
2]
因为1)，所以，又，所以.又且在[0+∞)上单调递增，所以≤ 1，即-1 ≤ ≤ 1，解得
解析