高中数学必修第一册人教A版（2019）4.4.2《对数函数的图象和性质》教学设计二

《对数函数的图象和性质》教学设计
教学设计
一、提出问题
出示以下问题提纲：
（1）前面我们学习指数函数的时候，是根据什么思路研究指数函数的性质的？你认为在研究对数函数时这种方法还适用吗？
（2）前面我们学习指数函数的时候，如何画指数函数的图象？说明它的步骤.
（3）利用上面的步骤，画下列函数的图象：，.
（4）观察上面两个函数的图象各有什么特点，再画几个类似的函数图象，看是否也有类似的特点.
（5）根据上述几个函数图象的特点，你能归纳出对数函数的性质吗？
（6）把函数和的图象放在同一直角坐标系中，你能发现这两个图象的关系吗？
（7）你能证明上述结论吗？
（8）能否利用的图象画出的图象？请说明这样画的理由.
（9）画出函数与函数的图象，观察两个解析式与两个图象有什么特点？
活动：教师引导学生回顾需要研究函数的哪些性质，共同讨论研究对数函数的性质的方法，强调函数图象在研究函数性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的运用，渗透概括能力的培养.教师进行课堂巡视，个别辅导，投影展示画得好的部分学生的图象，同时投影展示教材表4.4-1，及图4.4-2和4.4-3，及时评价学生，补充学生回答中的不足.
学生独立思考，提出研究对数函数的性质的思路，独立画图，观察图象及表格，表述自己的发现.同学们相互交流，形成对对数函数性质的认识，推荐代表发表本组的认识.
讨论结果：（1）我们研究函数时，根据图象研究函数的性质，由具体到一般，一般要考虑函数的定义城、值域、单调性、奇偶性，有时也通过画函数图象，从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质.
（2）一般是列表、描点、连线，可借助多媒体画出函数的图象.
（3）列表（学生自己完成）：
… 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 …
… -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
… 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 …
画出图1、图2：
（4）通过观察图1，可知的图象分布在轴右边，说明定义域是正实数.图象上下延伸，无止境，说明值域是全体实数.图象自左至右是上升的，说明是增函数.图象经过点，当时；当时.图象不关于轴对称，也不关于轴对称.定义域不关于原点对称，说明该函数既不是奇函数也不是偶函数.
通过观察图2，可知的图象分布在轴右边，说明定义域是正实数.图象上下延伸，无止境，说明值域是全体实数.图象自左至右是下降的，说明是减函数.图象经过点，当时；当时.图象不关于轴对称，也不关于轴对称.定义域不关于原点对称，说明该函数既不是奇函数也不是偶函数.
可以再画下列函数的图象：，，以作比较，重新观察函数图象的特点，推广到一般的情形.
（5）通过以上观察，我们得到对数函数图象的特点，进而得出对数函数的性质.
对数函数图象的特征 对数函数的性质
（1）图象都在轴的右边 （1）定义域是
（2）函数图象都经过点 （2）1的对数是0
（3）从左往右看，当时，图象逐渐上升；当时，图象逐渐下降 （3）当时，是增函数；当时，是减函数
（4）当时，函数图象在点右边的纵坐标都大于0，在点左边的纵坐标都小于0；当时，图象在点右边的纵坐标都小于0，在点左边的纵坐标都大于0 （4）当时， ，则， ，则； 当时， ，则， ，则
由上述表格可知，对数函数的图象和性质如下：
图象
性质 定义域：
值域：
过点，即当时，
时，； 时， 时，； 时，
在上是增函数 在上是减函数
（6）在同一直角坐标系中画出和两个函数的图象如图3.
经过仔细研究观察发现，两个函数的图象关于轴对称.
（7）证明：设点是上的任意一点，则，又它关于轴的对称点是，它满足方程，即点
在的图象上，反之亦然，所以和两个函数的图象关于轴对称.
（8）因为和两个函数的图象关于轴对称，所以，可以根据的图象，利用轴对称的性质画出的图象.
（9）由指数式可得到对数式.这样，对于任意一个，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应.也就是说，可以把作为自变量，作为的函数，这种情况的两个函数我们称它们互为反函数.
二、归纳总结，核心必记
1.对数函数的图象与性质.
图象
性质 定义域：
值域：
过定点，即时，
在上是增函数 在上是减函数
2.对数函数与指数函数的关系.
指数函数与对数函数互为反函数.它们的定义域和值域正好互换.
三、例题
例1 比较下列各题中两个值的大小：
（1），；
（2），；
（3），.
说明：学生思考、讨论对数函数的单调性，教师指导学生总结解此类题的方法.
解：（1）和可看作函数的两个函数值.因为底数，对数函数是增函数，且，所以.
（2）和可看作函数的两个函数值.因为底数，对数函数是减函数，且，所以.
（3）和可看作函数的两个函数值.对数函数的单调性取决于底数是大于1还是小于1，因此需要对底数进行讨论.当时，因为函数是增函数，且，所以；当时，因为函数是减函数，且，所以.
例2 溶液酸碱度的测量.
溶液酸碱度是通过计量的.的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.
（1）根据对数函数性质及上述的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
（2）已知纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，计算纯净水的.
解：（1）根据对数的运算性质，有.
在上，随着的增大，减小，相应地，也减小，即减小.所以，随着的增大，减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强.
（2）当时，7，所以纯净水的是7.
四、课堂小结
1.回顾本节课所学过的知识内容及所涉及的主要数学思想方法.
2.本节内容还有哪些不明白的问题，向教师提出来.
板书设计
4.4.2 对数函数的图象和性质 一、提出问题 二、归纳总结，核心必记 1.对数函数的图象与性质 图象 性质定义域：值域：过定点，即时，在上是增函数在上是减函数
2.对数函数与指数函数的关系 指数函数与对数函数互为反函数.它们的定义域和值域正好互换 三、例题 四、课堂小结
教学研讨
本节课是在前面研究了对数及常用对数、指数函数的基础上，研究的第二类具体初等函数，它有着丰富的内涵，和我们的实际生活联系密切，也是以后学习的基础.鉴于这种情况，安排教学时，要充分利用函数图象，数形结合，总结归纳出对数函数的图象特征和性质.本节课容量大，要提高学生互动的积极性，特别是归纳出对数函数的图象和性质后，要与指数函数的图象和性质进行比较，加深对对数函数的概念、图象和性质的理解；要提高课堂的效率和节奏，多运用信息化的教学手段，顺利完成本节课的任务.