高中数学必修第一册人教A版（2019）4.4.2 对数函数的图像和性质 导学案（含答案）

第四章 指数函数与对数函数
4.4.2 对数函数的图像和性质
1.掌握对数函数的图像及性质；
2.会运用对数函数的图像与性质解决简单问题．
重点：探究对数函数的图像及性质.
难点：会求对数函数的定义域．
1．对数函数的图象及性质
a的范围 01
图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
性质 定点 (1,0)，即x＝1时，y＝0
单调性 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数
2．反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)和对数函数y＝logx(a>0且a≠1)互为反函数．
一、问题探究
思考：我们该如何去研究对数函数的性质呢？
问题1. 利用“描点法”作函数和的图像．
函数的定义域为，取x的一些值,列表如下：
x … 1 2 4 …
… 2[ -1 0 1[来源:] 2 …
… 2 1 0 -1 -2 …
问题2：我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 y轴对称．对于底数互为倒数的两个对数函数， 比如 和的图像，它们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？
发现：函数和的图像都在y轴的右边,它们关于轴对称
问题3：底数a（a＞０，且a≠１）的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？
由此你能概括出对数函数（a＞０，且a≠１）的值域和性质吗？
结论1．函数和的图像都在y轴的右边；
2．图像都经过点；
3．函数的图像自左至右呈上升趋势；函数的图像自左至右呈下降趋势．
观察两幅图象，得到a>1和0对数函数的性质的助记口诀:
对数增减有思路, 函数图象看底数; 底数只能大于0, 等于1来也不行;
底数若是大于1, 图象从下往上增;底数0到1之间, 图象从上往下减;
无论函数增和减, 图象都过(1,0)点.
二、典例解析
例1 比较下面两个值的大小
⑴ ，；⑵ ，⑶ ，( a＞0 , a≠1 )
归纳总结：1.当底数相同时,利用对数函数的单调性比较大小.
2.当底数不确定时,要对底数a与1的大小进行分类讨论.
跟踪训练1: 比较下列各题中两个值的大小:
⑴ log106 log108 ； ⑵ log0.56 log0.54
⑶ log0.10.5 log0.10.6；⑷ log1.51.6 log1.51.4
跟踪训练2：已知下列不等式，比较正数m，n 的大小：
(1) log 3 m < log 3 n； (2) log 0.3 m > log 0.3 n
(3) log a m < loga n (0 log a n (a>1)
反函数：已知函数 y=2x （x∈R ，y ∈（0，+∞）） 可得到x=log2y ，对于任意一个y∈（0，+∞），通过式子x=log2y ，x在R中都有唯一确定的值和它对应。也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数，这是我们就说x=log2y （y∈（0，+∞））是函数 y=2x （ x∈R） 的反函数。
但习惯上，我们通常用x表示自变量，y表示函数。为此我们常常对调函数x=log2y 中的字母x，y，把它写成y=log2x ,这样，对数函数y=log2x （ x∈（0，+∞） ）是指数函数y=2x （x∈R ）的反函数。
因此，函数 y = logax (a＞0,且a≠1)与指数函数y = ax互为反函数。它们的定义域和值域恰好相反。
1．函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为(　　)
A．5　　　　　　　B. C. D.
2.当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　)
A　　　　 B　　　　 C　　　　 　D
3.已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象.
4．函数f(x)＝loga(2x－5)的图象恒过定点________．
5.比较下列各组数中两个值的大小:
6:解不等式:
1．对数函数的图象及性质
a的范围 01
图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
性质 定点 (1,0)，即x＝1时，y＝0
单调性 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数
2．反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)和对数函数y＝logx(a>0且a≠1)互为反函数．
3.思想方法类比： 类比的思想方法；类比指数函数的研究方法；数形结合思想方法是研究函数图像和性质；
参考答案：
二、学习过程
典例1 解析：（1）:用对数函数的单调性，考察函数y=log 2 x ∵a=2 > 1,
∴函数在区间（0，+∞）上是增函数；∵3.4<8.5，∴ log23.4< log28.5
（2）：考察函数y=log 0.3 x , ∵a=0.3< 1, ∴函数在区间（0，+∞）上是减函数；
∵1.8<2.7 ∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7
（3）：考察函数log a 5.1与 log a 5.9 可看作函数y=log a x的两个函值 , 对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论
当a > 1时, 因为y=log a x是增函数，且5.1 <5.9，所以log a 5.1 < log a 5.9 ；
当0< a < 1时, 因为y=log a x是减函数，且5.1 <5.9，所以log a 5.1 > log a 5.9 ；
跟踪训练1 答案：＜；＜；＞；＞
跟踪训练2 答案：m < n；m < n；m > n；m > n
例2.
三、达标检测
1.【答案】A　[由图可知，a>1，故选A.]
2.解析：C　[(1)∵a>1，∴0<<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选C.]
3.解析：　∵f(x)＝loga|x|，∴f(－5)＝loga5＝1，即a＝5，∴f(x)＝log5|x|，
∴f(x)是偶函数，其图象如图所示．
4.【答案】(3,0)　[由2x－5＝1得x＝3，∴f(3)＝loga1＝0.即函数f(x)恒过定点(3,0)．]
5解:(1)∵log67＞log66＝1，log76＜log77＝1，∴log67＞log76
(2)∵log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，∴log3π＞log20.8
6.解：原不等式可化为：，