高中数学必修第一册人教A版（2019）4.5.1《函数的零点与方程的解》名师课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
方程解法时间图 · 中国
公元50年—100年
一次方程、二次方程
和三次方程根
11世纪·北宋·贾宪
三次方程正根数值解法
13世纪·南宋秦九韶
任意次代数方程正根解法
7世纪·隋唐·王孝通
三次或三次以上方程
方程解法时间图 · 西方
一次方程、二次方程
的一般解法
1541年·意大利
塔尔塔利亚
三次方程一般解法
1802～1829
挪威·阿贝尔
证明了五次以上一般方程没有求根公式
记载了费拉里的四次方程一般解法
9世纪·阿拉伯
花拉子米
1545年·意大利
卡尔达诺
复习引入
求下列方程的根
复习引入
人教A版同步教材名师课件
函数的零点与方程的解
学习目标
学 习 目 标 核心素养
结合二次函数了解函数零点的概念. 数学抽象
结合函数的图象了解函数零点与方程解的关系. 直观想象
掌握函数零点存在定理的应用. 数学运算
学习目标
课程目标
1.了解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的联系.
2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.
3.能借助函数单调性及图象判断零点个数．
数学学科素养
1.数学抽象：函数零点的概念；
2.逻辑推理：借助图像判断零点个数；
3.数学运算：求函数零点或零点所在区间；
4.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的思想总结函数零点概念.
1、方程与函数的联系
方程
x2－2x+1=0
x2－2x+3=0
对应函数
函
数
的
图
象
方程的实数根
x1=－1,x2=3
x1=x2=1
无实数根
(－1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
x2－2x－3=0
y= x2－2x－3
y= x2－2x+1
y= x2－2x+3
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
4
3
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4
y
x
0
－1
2
1
1
2
函数图象与
x轴交点坐标
判别式Δ
Δ＞0
Δ=0
Δ＜0
思考：①一元二次方程不相等实数根的个数与对应二次函数的图象和x轴交点个数有何关系？
探究新知
1、方程与函数的联系
方程
x2－2x+1=0
x2－2x+3=0
对应函数
函
数
的
图
象
方程的实数根
x1=－1,x2=3
x1=x2=1
无实数根
(－1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
x2－2x－3=0
y= x2－2x－3
y= x2－2x+1
y= x2－2x+3
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
4
3
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4
y
x
0
－1
2
1
1
2
函数图象与
x轴交点坐标
判别式Δ
Δ＞0
Δ=0
Δ＜0
探究新知
思考：②一元二次方程的根与对应二次函数的图象和x轴的交点的坐标有何关系？
上述结论对于其他的方程与其对应的函数是否也成立？
x
y
O
－1
2
1
1
2
－1
x
y
O
－1
2
1
1
2
－1
－2
x
y
O
2
1
1
2
－1
－2
3
①一元二次方程不相等实根的个数与对应二次函数图象和x轴交点的个数相同；
②一元二次方程的实数根是对应二次函数图象和x轴交点的横坐标。
结论
(-1,0)
(1,0)
(2,0)
探究新知
方程 有实数根
对应函数 的图象和x轴
方程 不相等实数根的个数
x0是方程 的实数根
对应函数 的图象与x轴
推广：
对应函数 的图象和x轴
交点为(x0,0)
有交点
交点的个数
探究新知
函数的零点定义：
方程f(x)=0的实数根
函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标
函数y=f(x)的零点
形
数
零点不是点，而是实数
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x，叫做函数y=f(x)的零点.
探究新知
函数的零点定义：
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x，叫做函数y=f(x)的零点.
函数零点的求解
方程f(x)=0的根
代数法
函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标
图象法
等价关系：
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
探究新知
探究2：函数零点存在性问题
(时间)
(气温)
下图是某市1月份的某一天从0点到12点的气温变化图，假设气温是连续变化的，请将图形补充成完整的函数图象。
思考：
这段时间内，是否一定有某一时刻的气温为0度？
类比探究：
函数y=f(x)存在零点的条件是什么？
探究新知
假设函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，请画出下列三种情况下经过A、B两点的可能的函数图象。
a
b x
a
b x
猜想：
函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上连续，如果有 ，那么函数在区间(a,b)上有零点.
f(a) f(b)<0
探究2：函数零点存在性问题
A
B
A
B
a
b x
A
B
一定存在零点
不一定存在零点
不一定存在零点
A
B
探究新知
函数零点存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点。
即存在 c∈(a,b)
x
y
O
a
b
c
，使得 f(c) =0，这个c也就是方程 f(x)=0 的根。
探究新知
x
O
y
a
b
(1)
x
y
o
a
b
(2)
x
b
a
o
y
(3)
结论：定理不能确定零点的个数；
不满足定理条件时依然可能有零点；
定理中的“连续不断”是必不可少的条件；定理反之不成立。
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点。
函数零点存在性定理：
探究新知
例1、求方程的实数解的个数．
典例讲解
设函数，利用计算工具，列出函数的对应值表并画出图象
由表和图可知，，，则．由函数零点存在定理可知，函数在区间(２，３)内至少有一个零点．
函数，∈(０，＋∞)是增函数，所以它只有一个零点，即相应方只有一个实数解．
解析
典例讲解
例2、判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出
(2)
(3) (4)
(5)
令，解得.所以函数存在零点，且零点为.
(2) 令，解得.所以函数存在零点，且零点为1.
解析
(3) 令，显然方程无实数根.所以函数 不存在零点.
(4) 令，解得.所以函数存在零点，且零点为0.
典例讲解
例2、判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出
(2)
(3) (4)
(5)
解析
(5)当由得；当时，由得(舍去).所以函数存在零点，且零点为1.
方法归纳
求函数的零点的方法
代数法 根据零点的定义,解方程,它的实数根就是函数的零点
图象法 若方程无法求解,可以根据函数 的性质及图象求出零点
方法归纳
要判断函数 是否有零点, 只需解方程 ，如果方程 有解,那么方程 的解即为函数 的零点 ; 如果方程 无解，那么函数 没有零点.
变式训练
1.(1) 函数 的零点是______；
(2) 已知函数 的零点是1和2，则函数 的零点是______.
解析
(1) 函数 在定义域内单调递增, 函数 在 内只有一个零点,令 ,得 .
(2) 因为 的零点为1和2,所以1和2是方程 的两个实数根,所以 解得所以函数 的解析式为,令 ,得.所以函数 的零点为 0.
10
0
典例讲解
例3、函数的零点为______.
在同一平面直角坐标系中作出函数 的图像，如图所示，由图可知函数的零点为0
解析
0
方法归纳
当方程的实数解无法直接求出时, 可通过作出函数的图象，确定其与轴交点的横坐标,或作出两个相关函数和的图象,确定其交点的横坐标来求函数 的零点.
变式训练
2.函数 的零点为______
解析
在同一平面直角坐标系中作出函数 , 的图象, 如图所示,则函数 的零点为0
0
典例讲解
例4、若是方程的解，则属于区间( )
A. B. C. D.
C
设函数，易知函数的图像是一条连续不断地曲线，且在R上单调递减，
..故函数的唯一零点所在的区间为，即方程的解属于此区间.
解析
典例讲解
例4、若是方程的解，则属于区间( )
设函数，易知函数的图像是一条连续不断地曲线，且在R上单调递减，
故函数的唯一零点所在的区间为，即方程的解属于此区间
解析
C
方法归纳
代入
判断
结论
将区间端点代入函数求出函数的值
把所得函数值相乘，并进行符号判断
若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点; 若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点
方法归纳
(1)函数 的零点就是方程的实数根,也是函数与的图象交点的横坐标.
(2)如果方程 有两个相等的实数根,那么叫做函数的不变号零点.如2就是函数的不变号零点.
变式训练
3.方程 的解所在的区间为( )
解析
令,则 ，所以方程 的解所在区间为 .
C
变式训练
4.在下列区间中, 函数 的零点所在的区间为( )
解析
因为函数 的图象是连续不断的一条曲线 ,又 所以 , 故函数 的零点所在的区间为
C
当堂练习
函数 的零点是 ( )
A、 B 、
C、 D、
C
函数 的零点所在的一个区间是 ( )
A、 B 、
C、 D、
C
当堂练习
已知函数 的两个零点是 2 和 3 则函数 的零点是__________
方程 的实数根 ，则 __________
函数 的零点个数是__________
归纳小结
方程的根与
函数的零点
一元二次方程
的根的分布情况
函数零点
存在定理
二次函数
的零点
函数零点
的概念
作 业
P144练习：1、2