高中数学必修第一册人教A版（2019）4.5.1《函数的零点与方程的解---习题课》名师课件（共27张PPT）

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人教A版同步教材名师课件
函数的零点与方程的解
---习题课
一、求函数的零点
二、函数零点（方程根）所在的区间问题
三、函数零点（方程根）的个数问题
一、求函数的零点
典例讲解
例1、函数的零点为______.
在同一平面直角坐标系中作出函数 的图像，如图所示，由图可知函数的零点为0
解析
0
方法归纳
当方程 的实数解无法直接求出时, 可通过作出函数 的图象，确定其与 轴交点的横坐标,或作出两个相关函数 和 的图象,确定其交点的横坐标来求函数 的零点.
变式训练
1.函数 的零点为______
解析
在同一平面直角坐标系中作出函数 , 的图象, 如图所示,则函数 的零点为0
0
二、函数零点（方程根）所在的区间问题
典例讲解
例2、函数的零点所在的一个区间是为______.
A. B. C. D.
又因为的图象是连续不断的一条曲线，故函数的零点所在的一个区间是
解析
B
典例讲解
例3、若是方程的解，则属于区间( )
A. B. C. D.
C
设函数，易知函数的图像是一条连续不断地曲线，且在R上单调递减，
，.故函数的唯一零点所在的区间为，即方程的解属于此区间
解析
方法归纳
代入
判断
结论
将区间端点代入函数求出函数的值
把所得函数值相乘，并进行符号判断
若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点; 若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点
方法归纳
(1)函数 的零点就是方程 的实数根,也是函数 与 的图象交点的横坐标.
(2)如果方程 有两个相等的实数根 ,那么 叫做函数 的不变号零点.如 2 就是函数的不变号零点.
变式训练
2.方程 的解所在的区间为( )
解析
令,则 ，所以方程 的解所在区间为
C
变式训练
3.在下列区间中, 函数 的零点所在的区间为( )
解析
因为函数 的图象是连续不断的一条曲线 ,又 所以 , 故函数 的零点所在的区间为
C
典例讲解
例4、函数的一个零点在区间(1,2)内，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
易知函数，在区间内是增函数，因为函数的一个零点在区间内，
所以 所以，故选C
解析
C
方法归纳
函数思想与方程思想是密切相关的,函数的问题可以转化为方程的问题去解决,方程的问题也可以转化为函数的问题去解决, 如函数 的零点问题可以转化为方程 的解的问题去研究,同样方程 的解的问题也可以转化为函数 的零点问题去研究.
变式训练
4.已知方程 的一个根在 内, 另一个根在 内, 则 的取值
范围为_____________.
解析
由函数 零点的分布结合二次函数的图象 列出不等式组
三、函数零点（方程根）的个数问题
典例讲解
例5、 的零点个数是 ( )
A. B. C. D.
解法一:当 时,由 得 当时,由
得 ，所以函数 有 2 个零点.
解法二:画出函数 的图象,如图所示,观察图象可知, 的图象与 轴有2个交点,所以函数 有 2个零点.
解析
C
方法归纳
解决分段函数的零点个数问题的关键在于“对号入座”,即根据分段函数中自变量的取值范围,代入相应的解析式求解零点, 注意自变量的取值范围.
方法归纳
(1) 解方程法: 可转化为一元 次方程根的个数问题, 方程有几个根,相应的函数就有几个零点.
(2) 判别式法: 可转化为一元二次方程根的个数问题,通常用判别式法来判断根的个数.
(3) 图象法:指数型函数和对数型函数的零点个数问题一般用图象法来解决.
(4) 单调性法: 常规方法不易判断时, 可利用函数的单调性来判断函数零点的个数.
确定函数零点个数的方法
变式训练
5.求函数的零点的个数.
解析
显然 有两个不相等且不为1的实数根,故函数 共有三个零点.
典例讲解
例6、 求函数的零点个数
解法一: 且的图象在定义域上连续,
故 在的在 上至少有一个零点,
令 由于 均为定义域内的增函数
故函数 上的单调增函数.
函数 仅有一个零点.
解法二:令 得
在同一平面直角坐标系中画出函数 和 在上的图象,如图所示.
由图可知函数 仅有一个零点.
解析
变式训练
6.已知 ,则函数 的零点个数为( )
解析
函数 的零点个数，等于函数 和函数 的图象的交点个数.如图所示.
函数 和函数 的图象的交点个数为 2 ,
故 0<<1 时, 函数 的零点个数为 2.
A
典例讲解
例7、 已知 是实数 ,函数 ，若函数 有且仅有两个零点,则实数 的取值范围是________.
函数 有且仅有两个零点,即函数 与 有且仅有两个交点.
分别作出函数 与 的图象,如右图所示.
由图易知,当 时,两函数的图象有两个不同的交点,故实数 的取值范围是 .
解析
思路解析
把函数 有且仅有两个零点问题转化为函数 与 的图象有且仅有两个交点问题,画出两个函数的图象,然后利用数形结合思想求出参数的取值范围.
方法归纳
已知函数零点的个数(方程根的个数) 求参数的值或取值范围的方法 :
(1) 直接法:直接根据题设条件构造关于参数的不等式 (组),通过解不等式(组)确定参数的取值范围.
(2) 分离参数法:先将参数分离,然后转化成求函数值域的问题.
(3) 数形结合法:先对函数解析式变形,转化为两个相应基本初等函数的图象的交点问题.
变式训练
7.已知函数
(1) 当 = 0 时, 函数 的零点个数为______;
(2) 如果函数 恰有两个零点,那么实数 的取值范围为__________________.
解析
(1)当 时，函数
当 时,令 ,解得 或
当 时,令 ,解得 所以当 时,函数 有3个零点，如图所示，
要使函数 恰有两个零点,则或，
即实数的取值范围是
3
变式训练
8.已知函数，若方程仅有一根,则实数 的取
值范围是__________________
解析
如图,画出函数与的图像
的值域是的值域是方程仅有一根，即函数的图像与直线仅有一个交点，由图像可得