高中数学必修第一册人教A版（2019）4.5.3《函数模型的应用》名师课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
人教A版同步教材名师课件
函数模型的应用
学习目标
学 习 目 标 核心素养
运用模型思想，发现和提出问题，并能分析和解决问题. 数学建模
在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律. 数学建模
课程目标
1.能利用已知函数模型求解实际问题.
2.能自建确定性函数模型解决实际问题.
数学学科素养
1.数学抽象：建立函数模型,把实际应用问题转化为数学问题；
2.逻辑推理：通过数据分析，确定合适的函数模型；
3.数学运算：解答数学问题,求得结果；
4.数据分析：把数学结果转译成具体问题的结论,做出解答；
5.数学建模：借助函数模型，利用函数的思想解决现实生活中的实际问题.
学习目标
例1、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律,可以为制定一系列相关政策提供依据.早在 1978 年 ,英国经济学家马尔萨斯 ( T.R.Malthas ，1766 — 1834) 就提出了自然状态下的人口增长模型 ,其中 t 表示经过的时间,表示 t＝０ 时的人口数,r 表示人口的年平均增长率.下表 是 1950～1959 年我国的人口数据资料
( １ ) 如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率 ( 精确到 0.0001)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据是否相符 ；
( ２ ) 如果按上表的增长趋势,那么大约在哪一年我国的人口数达到 13 亿？
典例讲解
解 ：( 1) 由题意知,设1951～1959 年我国人口的年平均增长率为根据马尔萨斯人口增长模型，有 ,由计算工具得 ，≈0.021876，因此我国在 1950～1959年期间的人口增长模型为．
分别取由可得1951~1958年间的各年末人口总数.
年 份 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958
计算所的人口总数/万 56471 57665 58940 60243 61576 62938 64330 65753
实际人口总数 56300 57482 58796 60266 61465 62828 64563 65994
根据表中实际的数据画出散点图,并画出函数
的图象. 由图可以看出 ，
所得模型与 1950～1959 年的实际人口数据基本吻合 ．
典例讲解
事实上,我国 1989年的人口数为 11.27亿,直到 2005年才突破13 亿 ． 对由函数模型所得的结果与实际情况不符,你有何看法 ？
因为人口基数较大,人口增长过快,与我国经济发展水平产生了较大矛盾,所以我国从 ２０ 世纪 ７０ 年代逐步实施了计划生育政策 ． 因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件,自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况 ．
(2)将代入由计算工具得.
所以，如果按模型预测，大约在1950年后的第40年(即1990年)，
我国的人口就已达到13亿.
典例讲解
例2、2010年,考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测,检测出碳14的残留量约为初始量的55.2％,能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？
因为死亡生物机体内碳 14 的初始量按确定的衰减率衰减,属于指数衰减,所以应选择函数( ∈R,且 ≠０； ＞０,且 ≠１ ) 建立数学模型 ．
典例讲解
设样本中碳14的初始量为,衰减率为 ( )，经过 年后,残余量为 ． 根据问题的实际意义 ，可选择如下模型 ：
(,且 0 ； ( ； ≥０ ) ．
由碳14的半衰期为 5730年,得=
解析
思路
分析
例2、2010年,考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测,检测出碳14的残留量约为初始量的55.2％,能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？
典例讲解
解析
于是 ，所以 .由样本中碳14 的残余量约为初始量的 55.2% 可知 ，即0.552k.解得．由计算工具得≈4912．
因为 2010年之前的 4912年是公元前 2902年,所以推断此水坝大概是公元前 2902年建成的 ．
例3、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，
这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案？
①问题中涉及哪些数量关系？
②如何用函数描述这些数量关系？
投资天数、回报金额
典例讲解
40
40
40
40
40
10
10+10
=10×2
10+10+10
=10×3
10+10+10+10
=10×4
10+10+10+10+10
=10×5
0.4
0.4×2
0.4×2×2
=0.4×22
0.4×2×2×2
=0.4×23
0.4×2×2×2×2
=0.4×24
方案一
方案二
方案三
1
2
3
4
5
则方案一可以用函数________________进行描述；
方案二可以用函数__________________描述；
方案三可以用函数______________________描述。
设第天的回报是元，
典例讲解
三种方案每天回报表
x/天 方案1 方案2 方案3
y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元
1 40 　 10 　 0.4 　
2 40 0 20 10 0.8 0.4
3 40 0 30 10 1.6 0.8
4 40 0 40 10 3.2 1.6
5 40 0 50 10 6.4 3.2
6 40 0 60 10 12.8 6.4
7 40 0 70 10 25.6 12.8
8 40 0 80 10 51.2 25.6
9 40 0 90 10 102.4 51.2
10 40 0 100 10 204.8 102.4
… … … … … … …
30 40 0 300 10 214748365 107374182.4
典例讲解
我们看到，底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多.从中你对“指数爆炸”的含义有什么新的理解？
典例讲解
　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … 30
方案一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 … 1200
方案二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 … 4650
方案三 0 1 2.8 6 12 25 50.8 102 204 409 819 … 429496729.2
投资1~6天，应选择方案一；
投资7天，应选择方案一或方案二；
投资8~10天，应选择方案二；
投资11天(含11天)以上，应选择方案三。
典例讲解
一次函数，
对数型函数，
指数函数。
①例4涉及了哪几类函数模型？
②你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗
例4、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金(单位：万元)随销售利润(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：其中哪个模型能符合公司的要求？
典例讲解
分析:本例提供了三个不同增长方式的奖励模型,按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系.由于公司总的利润目标为 1000万元,所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润.于是,只需在区间[10 ，1000]上,寻找并验证所选函数是否满足两条要求 ：
第一,奖金总数不超过5万元,即最大值不大于5；
第二,奖金不超过利润的 25%,即 y.不妨先画出函数图象,通过观察函数图象,得到初步的结论,再通过具体计算,确认结果.
典例讲解
借助信息技术画出函数 的图象.观察图象发现,在区间[10,1000]上,模型 的图象都有一部分在直线 的上方,只有模型 的图象始终在的
下方,这说明只有按模型 进行奖励
时才符合公司的要求 ．
典例讲解
解析
下面通过计算确认上述判断 ．
先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元 ．
对于模型 ,它在区间[10,1000]上单调递增,
而且当 时,,因此,当 时,,
所以该模型不符合要求 ；
典例讲解
对于模型, ,由函数图象,并利用信息技术,可知在区间 (805 ，806 ) 内有一个点 满足 ＝５,由于它在区间[10,1000]上单调递增,因此当 时, ,所以该模型也不符合要求 ；
对于模型 ,它在区间[10,1000]上单调递增,而且当 时 ，,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求 ．
再计算按模型 奖励时,奖金是否不超过利润的25％ ，
即当 ∈ [10,1000]时,是否有 即成立 ．
令 , 利用信息技术画出它的图象
由图象可知函数在区间上单调递减,因此,即．
所以,当 时,,说明按模型奖励,奖金不会超过利润的
综上所述,模型确实能符合公司要求 ．
典例讲解
典例讲解
例5、灌满开水的热水瓶放在室内，如果瓶内开水原来的温度是℃，室内气温是℃，min后，开水的温度可由公式求得，其中是与热水瓶类型有关的正的常量.现有一个某种类型的热水瓶，测得瓶内水温为100℃，1h后又测得瓶内水温变为98℃.已知某种茶叶必须用不低于85℃的开水冲泡，现用这个热水瓶在早上六点灌满100℃的开水，问：能否在这天的中午十二点用这瓶开水来冲泡这种茶叶？(假定该地白天室温为20℃)
解析
根据题意有，算得≈0.00042，故，从早上六点到这一天的中午十二点共经过6h，即360min.
当=360时，89.
因为89℃高于85℃，所以能够在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲泡这种茶叶.
方法归纳
1.实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可以用指数型函数模型表示.
2利用指数函数的单调性即可得出函数的单调性，利用指数式与对数式的转化可得出函数的表达式.
变式训练
设小时后才可以驾驶机动车.
由题意，得
即至少要经过4小时才可以驾驶机动车.故选C.
解析
1.调查表示，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.02mg/mL如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减小，那么他至少要经过_____小时才可以驾驶机动车(精确到时).( )
A.1 B.2 C.4 D.6
典例讲解
例6、大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数= ，单位是m/s，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是8100个单位时，它的游速是多少？
(2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数.
(3)若鲑鱼A的游速大于鲑鱼B的游速，问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大？并说明理由.
思路分析
已知函数关系式
令=8100，求得游速
令=0，求得耗氧量
令，求得哪条鲑鱼的耗氧量大
典例讲解
例6、大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数= ，单位是m/s，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是8100个单位时，它的游速是多少？
(2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数.
(3)若鲑鱼A的游速大于鲑鱼B的游速，问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大？并说明理由.
(1)将=8100代入函数关系式，得2，所以一条鲑鱼的耗氧量是8100个单位时，它的游速是2m/s.
(2)令即则=100，
所以一条鲑鱼静止时的耗氧量为100个单位.
(3)由，得，即，
则
解析
方法归纳
对数函数应用题的基本类型和求解策略
(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解；
(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据,代入解析式求值，最后根据数值解释其实际意义.
变式训练
2.有时可用函数描述学习某学科知识的掌握程度，其中表示某学科知识的学习次数，表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.
根据经验，学科甲，乙，丙对应的的取值区间分别为(115，121]，(121，127]，(127，133]，当学习某学科知识5次时，掌握程度是70%，请确定相应的学科.
参考数据：( )
解析
由题意可知得因此该学科为丙学科.
例7、某公司为了实现60万元的利润目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在利润达到5万元时，按利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随利润(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%现有三个奖励模型：，其中哪个模型符合该公司的要求？
典例讲解
解析
的部分
图像(如图所示)，
观察图象可知，在区间[5，60]上，，= 的图象都有部分在直线=3的上方，只有y= 的图象始终在=3和=0.2图象的下方，这说明只有按模型进行奖励才符合公司的要求.
变式训练
3.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，
这三种方案每天的回报如图所示.横轴为投资时间，纵轴为每
天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法中错误
的是( )
A.投资3天以内(含3天)，采用方案一 B.投资4天，不采用方案三
C.投资6天，采用方案一 D.投资12天，采用方案二
由题图可知，投资3天以内(含3天)，方案一的回报最高，A正确；投资4天，方案的回报约为40×4=160(元)，方案二的回报约为10+20+30+40=100(元)，都高于方案三的回报，B正确；投资6天，方案一的回报约为40×6=240(元)，方案二的回报约为10+20+30+40+50+60=210(元)，都高于方案三的回报，即方案一的回报最高，C正确；投资12天，明显方案三的回报最高，所以此时采用方案三，D错误.
解析
当堂练习
2. 某自行车存车处在某一天总共存放车辆4000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆若该天普通自行车存车辆次，存车费总收入为元，则与的函
数关系式
A. B.
C.D.
D
C
当堂练习
C
当堂练习
D
5.某城市出租汽车的收费标准是：起步价为6元，行程不超过2千米者均按此价收费；行程超过2千米，超过部分按3元/千米收费(不足1千米按1千米计价)；另外，遇到堵车或等候时，汽车虽没有行驶，但仍按6分钟折算1千米计算(不足1千米按1千米计价)陈先生坐了一趟这种出租车，车费24元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程的取值范围是( )
A.[5，6) B.(5，6] C.[6，7) D.(6，7]
B
归纳小结
1.建立函数模型解决实际问题的基本思路.
符合实际
实际问题
数学问题
实际问题的结论
数学问题的解
转化
回到实际问题中去
作 业
P154:1、2