高中数学必修第一册人教A版（2019）4.5《函数的应用（二）》课时1 教学设计

《函数的应用(二)》教学设计
课时1函数的零点与方程的解、用二分法求方程的近似解
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.函数的零点与方程的解 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象 直观想象 逻辑推理 【考查内容】 判定函数零点个数,讨论零点存在的区间,求某些参数的范围,利用指数函数、对数函数模型解决实际问题 【考查题型】 选择题、填空题、解答题
2.二分法 数学运算
3.函数模型的应用 数学建模
一、本节内容分析
本节主要内容是函数零点的概念,函数零点存在定理,用二分法求方程的近似解,函数模型及其应用.
函数零点概念的形成和函数零点存在定理的发现,符合从特殊到一般的认识规律,体现了本套教材的数学应用意识;借助计算器用二分法求相应方程的近似解,沟通了函数、方程、不等式等高中知识,体现了二分法的工具性和实用性,渗透了函数与方程思想、数形结合思想、算法思想和逼近思想;建立函数模型以及运用模型解决问题,体会二分法在生活中运用的巧妙性与实用性.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.函数的零点与方程的解 2.二分法 3.函数模型的应用 数学抽象逻辑推理 数学运算数学建模 直观想象 核心素养
二、学情整体分析
通过前面函数知识的学习,在知识上,学生已经具备了一定的知识经验和基础;在能力上,学生已经初步具备了运用数形结合思想解决问题的能力,但数形结合的意识和思维的深刻性还有待进一步加强;在情感方面,多数学生对新内容的学习,有相当的兴趣和积极性,但在探究问题的能力以及合作交流等方面发展的不均衡,不知道从何下手,仍需要教师创设民主和谐平等的课堂气氛,加以调动.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.函数的零点
2.函数零点存在定理
3.用二分法求方程的近似解
4.函数模型的应用
【教学目标设计】
1.了解函数(结合二次函数)零点的概念,领会函数零点与相应方程的实根的关系.
2.理解“方程f(x)=0有实根 函数y=f(x)有零点 函数y=f(x)的图象与x轴有交点”这一结论,利用函数的性质找零点,从而求出方程的根.
3.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件.
4.能建立恰当的数学模型解决生活、生产中的一些实际问题.
【教学策略设计】
1.教学时,应该给学生提供探究情境,让学生自已发现并归纳出结论“一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象与x轴交点的横坐标”.
2.给出函数零点的概念后,要让学生明确“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切的联系,但不能将它们混为一谈.
3.让学生观察对应的二次函数在区间端点上的函数值之积的特点,引导学生发现连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.教学时,可让学生多举些例子加深认识.
4.注重学生的主体作用,让学生动脑、动手、动口,展示自己的解答.体现“学为主体,教为主导”的精神.
5.充分调动利用多媒体与学科进行整合,提高课堂效率.
【教学方法建议】
情境教学法、讲授教学法,还有________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.函数零点的概念及零点存在定理.
3.用二分法求方程的近似值.
3.根据图、表信息建立函数模型解决实际问题.
难点:
1.函数零点存在定理的理解和应用.
2.二分法原理的理解.
3.将实际问题抽象为数学问题,完成从文字语言、图表语言向符号语言的转化,并建立函数模型.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:在“函数的应用(一)”中,通过一些实例,我们初步了解了建立函数模型解决实际问题的过程,学习了用函数描述客观事物变化规律的方法.本节将先学习运用函数性质求方程近似解的基本方法,再结合实例,更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程,学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法.
【设计意图】
回顾函数的应用(一),初步了解建立函数模型解决实际问题的过程,激发学生学习兴趣.
教学精讲
探究1函数的零点
师:请大家思考下面的问题.
【情境设置】
利用函数图象探究方程的解与函数图象交x轴的点之间的关系
观察下列一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象:
方程 函数
师:方程的根为,函数的图象与轴交于点,.
生:方程的根为1,函数的图象与轴有唯一交点.方程没有实根,函数的图象与轴没有交点.
生:方程的根与函数图象交轴的点的横坐标对应.
师:与二次函数一样,我们称函数图象与轴的交点的横坐标就为函数的零点,你能归纳函数零点的定义吗
【学生思考,回答问题,教师规范语言】
【设活动,深探究】
利用函数图象探究一元二次方程的根与二次函数图象交x轴的点之间的关系.培养学生的探究能力,同时渗透数形结合思想.
师:函数零点的定义如下.
【要点知识】
函数零点的定义
对于一般函数,我们把使的实数叫做函数的零点.
师:函数的零点不是点,是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.
【概括理解能力】
通过对图象的分析,得出函数零点,并概括函数零点与方程根的关系,培养学生的概括理解、总结归纳能力.
师:函数的零点与函数的图象有什么关系
【学生讨论,回答问题,教师总结】
【要点知识】
函数的零点与方程的解的关系
方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点.
师:怎样求函数零点
【学生理解函数零点的意义,并根据函数零点的意义探索其求法,教师总结】
【归纳总结】
函数的零点的求法
1.代数法:求方程的实数根;
2.几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
师:你能运用函数零点的意义说说二次函数零点的情况吗
【学生理解函数零点的意义,并根据函数零点的意义探索其求法,教师总结】
师:二次函数零点的情况如下.
【归纳总结】
二次函数的零点
1.,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点.
2.,方程有两相等实根(二重根),二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点.
3.,方程没有实根,二次函数的图象与轴没有交点,二次函数没有零点.
【猜想探究能力】
根据函数零点的定义,理解函数零点的意义,从而得出二次函数零点的求法,培养学生的分析理解、猜想探究、归纳总结能力.
探究2函数零点存在定理
师:了解了二次函数零点的情况,如何探究函数零点的存在呢
【情境设置】
探究函数零点存在性定理
对于二次函数观察它的图象(如下图所示),发现它在区间上有零点.这时,函数图象与轴有什么关系 在区间上是否也有这种关系 你认为应如何利用函数的取值规律来刻画这种关系 再任意画几个函数的图象,观察函数零点所在区间,以及这一区间内函数图象与轴的关系,并探究用的取值刻画这种关系的方法.
【教师提示:探究函数的零点所在区间及零点所在区间的端点对应函数值的正负情况,区间端点一般取整数,学生观察图象,小组讨论,回答问题】
生:在零点附近,函数图象是连续不断的,并且“穿过”轴.
生:函数在端点和时取值异号,即,
生:函数在区间内有一个零点,它是方程0的一个根.
师:同样地,,函数在内有零点,它是方程的另一个根.
【推测解释能力】
通过观察图象,合作探究,得出函数零点存在定理,培养学生的推测解释、总结概括能力.
【要点知识】
函数零点存在定理
如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线,且有0,那么,函数在区间内至少有一个零点,即存在,使得,这个也就是方程的解.
师:理解函数零点存在性定理需注意以下几个问题:
1.(1)函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线;(2)这两个条件缺一不可,否则结论一定不成立.
2.满足上述两个条件则函数的图象至少穿过轴一次,即方程在区间内至少有一个实数根,但不确定有几个.
3.该定理是一个充分不必要条件,反过来,若上有零点,则不一定有0成立.
【典型例题】
函数零点存在定理的应用
例1求方程的实数解的个数.
【师生共同分析:可以先借助计算工具画出函数图象或列出的对应值表】
生:列表,画图象.
生:由图象可知,,由函数零点存在性定理可知,函数是增函数,只有一个零点,即方程0只有一个实数解.
师:上题中,为什么由函数图象和还不能说明函数只有一个零点 你能证明函数是增函数吗
生证明:任取,且,则,且,即在上是增函数.
【观察记忆能力】
结合函数图象求解方程解的个数,培养了学生观察记忆能力,渗透了数形结合思想.
【少教精教】
通过教师提示,师生共同分析,学生一步一步解决问题.教师少教精教,达到教学效果.
师:下面进行巩固练习.
【巩固练习】
证明在(a,b)内有且仅有一个零点
图(1)(2)(3)分别为函数在三个不同范围的图象.能否仅根据其中一个图象,得出函数在某个区间只有一个零点的判断 为什么
【学生思考,教师提示:证明在上为单调函数】
生:不能,仅根据图(1)得出在内仅有一个零点的错误结论,要证明函数在某区间上只有一个零点,除证明该函数在区间端点的函数值异号外,还需证明该函数在该区间上是单调的.
【说明论证能力】
根据函数零点存在定理解决问题,进一步理解函数零点存在定理的概念和意义,同时培养学生的观察记忆、分析理解、说明论证能力.
探究3用二分法求方程的近似解
师:一元二次方程可以用判别式判定根的存在性,可以用求根公式求方程的根,但是大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解,在实际问题中,往往只需要求出满足一定精确度的近似值.
师:对没有求根公式可用的方程如何求解呢 请同学们阅读教材,回答问题.
【学生阅读教材,小组讨论,回答问题,教师补充】
生:将零点所在的范围尽量缩小,就可以得到符合要求的零点的近似值.
生:通过取区间中点的方法,逐步缩小零点所在的范围.
生:取区间的中点,若,则有两个区间和,其中一个区间包含根.若,则区间包含根.
师:不断重复上述步骤,使根最终落在要求的区间内.
师:怎样求方程的根
【学生列表、观察图象,根据零点存在定理,独立求方程的根】
师:二分法的定义如下.
【要点知识】
二分法的定义
对于在区间上图象连续不断且的函数,通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
【先学后教】
学生阅读教材,自主学习,教师总结二分法的定义,培养学生自主学习的能力和习惯.
【概括理解能力】
通过教师引导、学生思考,根据一般方程的条件逐步分析出利用二分法求方程近似解的过程,并由此归纳总结出二分法的定义,提升了学生的概括理解能力.
师:根据前面,我们分析求解方程的根的过程,你能总结出用二分法求函数的零点的近似值的步骤吗
【归纳总结】
用二分法求函数零点的近似值的步骤
给定精确度,用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下:
1.确定零点的初始区间,验证.
2.求区间的中点.
3.计算,并进一步确定零点所在的区间:
(1)若(此时),则就是函数的零点;
(2)若(此时),则令;
(3)若(此时),则令.
4.判断是否达到精确度:若,则得到零点近似值或;否则重复步骤.
师:为了刻画与准确值的接近程度,这里给出了精确度,由可知,区间中任意一个值都是零点满足精确度的近似值,想一想,为什么
【学生思考,小组讨论,教师总结】
师:由,可知区间中任意一个值都是零点的满足精确度的近似值,原因如下:设函数的零点为,则,在数轴上标出,对应的点(如图所示).
由图可知,又,所以,故区间中任意一个值都是零点的满足精确度的近似值.
【以学定教】
理解用二分法求函数的零点的近似值方法,注意辨析“精确度”“精确到”的意义,体现数学的准确性.
师:利用前面的方法解决例2题.
【典型例题】
用二分法解决问题
例2借助信息技术,用二分法求方程的近似值(精确度为).
【学生根据二分法的定义,求方程的近似值,教师点评】
生解:令,用信息技术画出图象并列出它的对应值表:
,该函数在区间内存在零点.
取区间的中点,算得.因为,所以.再取区间的中点,算得.因为,所以.同理可得,.由于,所以,原方程的近似解可取为.
师:用二分法求方程的近似解,计算量较大,而且是重复相同的步骤.因此,可以通过设计一定的计算程序,借助信息技术完成计算.
【合作学习】
通过演练,使学生进一步理解二分法,并学会应用,提高学生的学习兴趣.
【推测解释能力】
通过画函数图象、列表、应用函数零点定理解决实际问题,培养学生的推测解释能力,渗透数形结合思想.
【归纳总结】
【情境学习】
用程序框图的形式直观的教学手段来理解二分法求方程近似解过程,更能把抽象的知识形象地展示出来,有助于学生对知识的理解和掌握.
师:学习完以上的知识,我们巩固练习一下吧!
【巩固练习】
用二分法求方程近似解
1.借助计算器或计算机,用二分法求函数在区间内的零点(精确度为.
2.借助计算器或计算机,用二分法求方程在区间内的近似解(精确度为).
【学生思考,教师提示:1题先用函数零点存在定理选定零点所在的区间,再用二分法逐步计算求解;2题出现了对数计算,所以需要借助计算器来帮助简化运算,提高解题效率,学生独立回答问题】
师:这节课你学到了什么
【课堂小结】
函数的零点与方程的解、用二分法求方程的近似解
【设计意图】
回顾函数的零点与方程的解,用二分法求方程的近似解的知识,总结出它们的联系,培养学生的概念理解能力.
教学评价
本节课学习了函数的零点与方程的解、函数零点存在定理,用二分法求方程的近似解、函数的应用(二).
应用所学知识,完成下面各题:
1.函数的零点个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:函数的定义域决定了函数的一切性质,分析函数的有关问题时一般先考虑定义域.注意函数零点存在定理的使用范围.具体解题过程如下:函数的定义域为且.当时,无实根;当时,无实根,所以函数没有零点.
答案:
2.用二分法求方程的一个非负近似解(精确度为).
解析:对精确度的正确理解是解题的关键.当区间长度小于精确度时,零点可选区间内的任一值.具体解题过程如下:由于,所以取区间作为计算的初始区间,用二分法逐次计算.
列表:
计算可得区间的长度是,所以这个区间的两个端点值就可作为方程的解的近似值,当区间长度小于精确度时,零点可选区间内的任一值.
【设计意图】
通过本节的学习,学生了解零点的概念,函数零点与方程根的关系,理解和掌握函数零点存在性定理、体会二分法的近似求函数零点的过程,会进行数学建模解决实际问题,培养了学生观察记忆、概括理解、推测解释、分析计算、简单问题解决、综合问题解决学科能力,达到数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学建模、数学运算核心素养目标.
教学反思
此教学案例紧密结合教材,采用探究式教学的模式,使得学生很快掌握概念,通过提出问题引入课题,师生合作,使学生理解和掌握用二分法来求方程近似解的基本步骤,函数模型应用属于难点内容,应用性比较强,计算比较冗长,可能会影响学生的思路,教师需要做好课堂规划,在整个教学过程中,注意利用多媒体课件和计算机画图相结合,集中学生的注意力,增加学习兴趣,达到教学核心素养目标要求.
【以学定教】
综合函数零点的概念与方程根的关系,深层理解函数零点存在定理的意义,掌握用二分法求函数的零点的近似值及建立数学模型从而解决问题的方法.
【以学论教】
根据学生对本节课的实际学习情况,教师在课堂上灵活安排,调动学习积极性,选用设情境,巧激趣,以学定教、少教精教等教学策略,完成教学目标,根据实际学情灵活安排课堂巩固,弥补教学中的不足.
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