高中数学必修第一册人教A版（2019）4.5《函数的应用（二）》课时2 教学设计

《函数的应用(二)》教学设计
课时2函数模型的应用
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.函数的零点与方程的解 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象 直观想象 逻辑推理 【考查内容】 判定函数零点个数,讨论零点存在的区间,求某些参数的范围,利用指数函数、对数函数模型解决实际问题 【考查题型】 选择题、填空题、解答题
2.二分法 数学运算
3.函数模型的应用 数学建模
一、本节内容分析
本节主要内容是函数零点的概念,函数零点存在定理,用二分法求方程的近似解,函数模型及其应用.
函数零点概念的形成和函数零点存在定理的发现,符合从特殊到一般的认识规律,体现了本套教材的数学应用意识;借助计算器用二分法求相应方程的近似解,沟通了函数、方程、不等式等高中知识,体现了二分法的工具性和实用性,渗透了函数与方程思想、数形结合思想、算法思想和逼近思想;建立函数模型以及运用模型解决问题,体会二分法在生活中运用的巧妙性与实用性.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.函数的零点与方程的解 2.二分法 3.函数模型的应用 数学抽象逻辑推理 数学运算数学建模 直观想象 核心素养
二、学情整体分析
通过前面函数知识的学习,在知识上,学生已经具备了一定的知识经验和基础;在能力上,学生已经初步具备了运用数形结合思想解决问题的能力,但数形结合的意识和思维的深刻性还有待进一步加强;在情感方面,多数学生对新内容的学习,有相当的兴趣和积极性,但在探究问题的能力以及合作交流等方面发展的不均衡,不知道从何下手,仍需要教师创设民主和谐平等的课堂气氛,加以调动.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.函数的零点
2.函数零点存在定理
3.用二分法求方程的近似解
4.函数模型的应用
【教学目标设计】
1.了解函数(结合二次函数)零点的概念,领会函数零点与相应方程的实根的关系.
2.理解“方程f(x)=0有实根 函数y=f(x)有零点 函数y=f(x)的图象与x轴有交点”这一结论,利用函数的性质找零点,从而求出方程的根.
3.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件.
4.能建立恰当的数学模型解决生活、生产中的一些实际问题.
【教学策略设计】
1.教学时,应该给学生提供探究情境,让学生自已发现并归纳出结论“一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象与x轴交点的横坐标”.
2.给出函数零点的概念后,要让学生明确“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切的联系,但不能将它们混为一谈.
3.让学生观察对应的二次函数在区间端点上的函数值之积的特点,引导学生发现连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.教学时,可让学生多举些例子加深认识.
4.注重学生的主体作用,让学生动脑、动手、动口,展示自己的解答.体现“学为主体,教为主导”的精神.
5.充分调动利用多媒体与学科进行整合,提高课堂效率.
【教学方法建议】
情境教学法、讲授教学法,还有________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.函数零点的概念及零点存在定理.
3.用二分法求方程的近似值.
3.根据图、表信息建立函数模型解决实际问题.
难点:
1.函数零点存在定理的理解和应用.
2.二分法原理的理解.
3.将实际问题抽象为数学问题,完成从文字语言、图表语言向符号语言的转化,并建立函数模型.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学精讲
探究1 指数型函数模型
师:我们知道,函数是描述客观世界变化规律的数学模型,不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画.面临一个实际问题,该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢
【典型例题】
已知函数模型解决实际问题
例1人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数的变化规律,可以为制定一系列相关政策提供依据.早在1798年,英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型,其中表示经过的时间,表示时的人口数,表示人口的年平均增长率.
(1)根据国家统计局网站公布的数据,我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万.根据这些数据,用马尔萨斯人口增长模型建立我国在年期间的具体人口增长模型.
(2)利用(1)中的模型计算年各年末的人口总数.查阅国家统计局网站公布的我国在年间各年末的实际人口总数,检验所得模型与实际人口数据是否相符.
(3)以(1)中的模型作预测,大约在什么时候我国人口总数达到13亿
师:形如的函数为指数型函数,生活中以此函数构建模型的实例很多.用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型,就是要确定其中的初始量和年平均增长率.
【学生在教师的引导下审题、建模、求解、检验,尝试完成此题,师生合作总结解答思路】
师:由题意知,设年期间我国人口的年平均增长率为,根据马尔萨斯人口增长模型,有,由计算工具得.因此我国在年期间的人口增长模型为.
(2)分别取,由可得我国在年间的各年末人口总数;查阅国家统计局网站,得到我国年各年末的实际人口总数,如下表所示.
根据1950~1959年我国人口总数的实际数据画出散点图,并画出函数)的图象(如图所示)
由上表和函数图象可以看出,所得模型与年的实际人口数据基本吻合.
(3)将代入,由计算工具得.15.所以,如果人口按照(1)中的模型增长,那么大约在1950年后的第40年(即1990年),我国的人口就已达到13亿.
【以学定教】
引导学生根据所理解的概念,解决实际问题,一方面考查对已学知识的运用,一方面培养学生的问题解决能力.
【深度学习】
经历分析、列表及对应的函数图象、发现规律得出结论的过程,培养学生发现问题解决问题的探究意识.
【情境设置】
探究函数模型所得结果与实际情况不符问题
事实上,我国1990年的人口数为亿,直到2005年才突破13亿.对由函数模型所得的结果与实际情况不符,你有何看法
生:因为人口基数较大,人口增长过快,与我国经济发展水平产生了较大矛盾,所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策.因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件,自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况.
【情境学习】
通过问题情境,学生探究函数模型所得结果与实际情况不符.使学生在情境中解决问题,提升数学思维的发展.
师:在用已知的函数模型刻画实际问题时,应注意模型的适用条件.请看例2.
【典型例题】
建立函数模型解决实际问题
例2 2010年,考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测,检测出碳14的残留量约为初始量的,能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的
【师生合作,探究解题过程:因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减,属于指数衰减,所以应选择函数(,且,且)建立数学模型.学生思考,合作交流,完成解题过程】
生解:设样本中碳14的初始量为,衰减率为,经过年后,残余量为.根据问题的实际意义,可选择如下模型:,且.
由碳14的半衰期为5730年,得,所以,由样本中碳14的残余量约为初始量的可知,.解得.由计算工具得.因为2010年之前的4912年是公元前2902年,所以推断此水坝大概是公元前2902年建成的.
师:通过上题,可得建立函数模型解决实际问题的基本思路.
【归纳总结】
建立函数模型解决实际问题的基本思路
【简单问题解决能力】
将实际问题转化成数学问题并解决,培养学生建模的数学思想,同时提升学生的简单问题解决能力和数学建模核心素养.
【概括理解能力】
根据解题的过程,得出建立函数模型解决实际问题的基本思路,培养学生的概括理解、归纳总结能力.
探究2 对数型函数模型
师:在实际问题中,有的能用已知的函数模型解决,有的需要根据问题条件建立函数模型解决,请看下面的例题.
【典型例题】
函数模型的比较
例3假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:方案一:每天回报40元;方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;方案三:第一天回报元,以后每天的回报比前一天翻一番.请问,你会选择哪种投资方案
【教师提示:我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型,再通过比较它们的增长情况,为选择投资方案提供依据,学生合作回答问题】
生:设第天所得回报是元,则方案一可以用函数进行描述;方案二可以用函数进行描述;方案三可以用函数进行描述.三个模型中,第一个是常函数,后两个都是增函数.三种方案所得回报的增长情况如下表,根据表格画三个函数图象:
由表和图可知,从每天所得回报看,在第天,方案一最多;在第4天,方案一和方案二一样多,方案三最少;在第天,方案二最多;第9天开始,方案三比其他两个方案所得回报多得多,到第30天,所得回报已超过2亿元.
师:累计的回报数如下表:
因此,投资天,应选择方案一;投资7天,应选择方案一或方案二;投资天,应选择方案二;投资11天(含11天)以上,则应选择方案三.
【少教精教】
教师提示,通过学生列表、描点、画函数图象,教师少教,让学生自主探究不同函数模型的比较,以达到少教精教的目的.
【活动学习】
学生通过建立不同的函数模型,经过列表、画图分析不同函数的差异,得到不同的问题,选取不同的函数模型,在活动学习中获得知识和方法.
【教师通过信息技术列表】
师:由此可知,不同的函数增长模型,增长变化存在很大的差异,请看例4题.
【典型例题】
建立函数模型解决实际问题
例4某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金(单位:万元)随销售利润(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的.现有三个奖励模型:,其中哪个模型能符合公司的要求
【师生共同分析:本例提供了三个不同增长方式的奖励模型.按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系.由于公司总的利润目标为1000万元,所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润.于是,只需在区间上,寻找并验证所选函数是否满足两条要求:第一,奖金总数不超过5万元,即最大值不大于5;第二,奖金不超过利润的,即】
师:利用函数图象来理解题目是一个好方法.
生:借助信息技术画出函数的图象:
观察图象发现,在区间上,模型,的图象都有一部分在直线的上方,只有模型的图象始终在的下方,这说明只有模型进行奖励时才符合公司的要求.
生:首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.对于模型,它在区间上单调递增,而且当时,,因此,当时,,所以该模型不符合要求;对于模型,由函数图象,并利用信息技术,可知在区间内有一个点满足,由于它在区间上单调递增,因此当时,,所以该模型也不符合要求;
对于模型,它在区间上单调递增,而且当时,,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.
再计算按模型奖励时,奖金是否不超过利润的,即当时,是否有成立.
生:令,利用信息技术画出它的图象:
由图象可知函数在区间上单调递减,因此f(x)≤f(10)≈-0.3167<0,即<0.25x.所以当x∈[10,1000]时,y≤0.25x,说明按模型奖励,奖金不会超过利润的25%.
综上所述,模型确实能符合公司要求.
师:通过上面的实际问题解决,我们知道这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况(是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”);根据增长情况选择函数类型构建数学模型,将实际问题化归为数学问题;通过运算、推理求解函数模型;用得到的函数模型描述实际问题的变化规律,解决有关问题,在这一过程中,往往需要利用信息技术帮助画图、运算等.
【综合问题解决能力】
建立数学模型,将实际问题转化成函数,再结合图象分析题意,并解决,培养学生的观察记忆、理解分析、综合问题解决能力.
【推测解释能力】
根据教师提示,学生独立完成解题过程,一方面考查学生的观察函数图象、分析问题的能力,一方面体会借助数学建模解决实际问题的基本思路,培养学生的概括理解、推测解释能力.
师:这节课你学到了什么知识？
【课堂小结】
函数的应用(二)
1.建立函数模型解决实际问题的基本思路
2.解决实际问题的基本过程
3.几类常见的函数模型
(1)一次函数模型
(2)二次函数模型
(3)指数型函数模型
(4)对数型函数模型
(5)分段函数模型
【设计意图】
教师引导学生回忆、总结函数的应用(二)的重点内容,整体学习,培养学生对学习内容的整体认识和把握.
教学评价
本节课学习了函数的零点与方程的解、函数零点存在定理,用二分法求方程的近似解、函数的应用(二).
应用所学知识,完成下面各题:
1.函数的零点个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:函数的定义域决定了函数的一切性质,分析函数的有关问题时一般先考虑定义域.注意函数零点存在定理的使用范围.具体解题过程如下:函数的定义域为且.当时,无实根;当时,无实根,所以函数没有零点.
答案:
2.用二分法求方程的一个非负近似解(精确度为).
解析:对精确度的正确理解是解题的关键.当区间长度小于精确度时,零点可选区间内的任一值.具体解题过程如下:由于,所以取区间作为计算的初始区间,用二分法逐次计算.
列表:
计算可得区间的长度是,所以这个区间的两个端点值就可作为方程的解的近似值,当区间长度小于精确度时,零点可选区间内的任一值.
【设计意图】
通过本节的学习,学生了解零点的概念,函数零点与方程根的关系,理解和掌握函数零点存在性定理、体会二分法的近似求函数零点的过程,会进行数学建模解决实际问题,培养了学生观察记忆、概括理解、推测解释、分析计算、简单问题解决、综合问题解决学科能力,达到数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学建模、数学运算核心素养目标.
教学反思
此教学案例紧密结合教材,采用探究式教学的模式,使得学生很快掌握概念,通过提出问题引入课题,师生合作,使学生理解和掌握用二分法来求方程近似解的基本步骤,函数模型应用属于难点内容,应用性比较强,计算比较冗长,可能会影响学生的思路,教师需要做好课堂规划,在整个教学过程中,注意利用多媒体课件和计算机画图相结合,集中学生的注意力,增加学习兴趣,达到教学核心素养目标要求.
【以学定教】
综合函数零点的概念与方程根的关系,深层理解函数零点存在定理的意义,掌握用二分法求函数的零点的近似值及建立数学模型从而解决问题的方法.
【以学论教】
根据学生对本节课的实际学习情况,教师在课堂上灵活安排,调动学习积极性,选用设情境,巧激趣,以学定教、少教精教等教学策略,完成教学目标,根据实际学情灵活安排课堂巩固,弥补教学中的不足.
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