高中数学必修第一册人教A版（2019）4.5.2《函数的零点与方程的解》教学设计（表格式）

《函数的零点与方程的解》教学设计
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 观察下列三组方程与函数： 方程函数
利用函数图象探究方程的根与函数图象与轴的交点之间的关系. 师：方程的根为-1，3，函数的图象与轴交于点，. 生：有两相等实根为1，函数的图象与轴有唯一交点. 没有实根，函数的图象与轴无交点. 以旧引新，导入课题.
概念形成 1.零点的概念. 对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 2.函数的零点与方程根的关系. 方程有实数根 函数的图象与轴有交点 函数有零点. 3.二次函数零点的判定. 对于二次函数与一元二次方程，其判别式. 判别式方程的根函数的零点两个不相等实根两个零点两个相等实根一个零点没有实根0个零点
师：我们通俗地称函数图象与轴交点的横坐标为函数的零点，请同学们归纳函数零点的定义. 师：考察函数①， ②，③， ④的零点. 生：①的零点是； ②的零点是； ③没有零点； ④的零点是. 归纳总结，感知概念. 探究二次函数的零点与一元二次方程根的判别式之间的关系.
概念深化 思考下列问题： （1）如何求函数的零点？ （2）函数零点与函数图象的关系怎样？ 师生合作，学生口答，教师点评，阐述. （1）零点即函数值为零时对应的自变量的值，求零点可转化为求对应方程的根. （2）零点即函数图象与轴交点的横坐标. 以问题讨论代替教师的讲解.
示例探究 探究函数的零点所在区间及零点所在区间的端点对应函数值的正负情况. 师：利用图象观察零点所在区间，区间端点一般取整数. 生：零点，零点，且，. 师：其他函数的零点是否具有相同规律呢？观察下列函数的零点及零点所在区间： ①； ②. 生：函数的零点为且. 函数的零点为2，且. 由特殊到一般，归纳一般结论，从而引出函数零点存在定理.
发现定理 函数零点存在定理. 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有 ，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解 师生合作分析，并剖析定理中的关键词： ①连续不断； ②. 师：由于函数图象连续不断，若，，则函数的图象将从轴上方变化到下方，这样必通过轴，即与轴有交点. 形成定理，分析关键词，了解定理，提升数学抽象素养.
概念深化 定理的理解. （1）函数在区间上的图象连续不断，又它在区间端点的函数值异号，则函数在上一定存在零点； （2）函数值在区间上连续且存在零点，则它在区间端点的函数值可能异号也可能同号； （3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数. 师：函数在 内①有2个零点，②有1个零点，分别求的取值范围. 生：①在内有2个零点， 则 ②在内有1个零点， 则 通过实例分析，进一步理解定理.
应用举例 例1 求函数的零点，并画出它的图象. 解：因为，所以这个函数的零点为-1，1，2.这3个零点把轴分成4个区间：，，，.在这4个区间内，取的一些值（包括零点），列出这个函数的对应值表： 在直角坐标系内描点连线，这个函数的大致图象如图所示. 例2 利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根： （1）； （2）； （3）； （4）. 解：（1）令，作出函数的图象，它与轴有两个交点，所以方程有两个不相等的实数根. （2）可化为，令，作出函数的图象，它与轴没有交点，所以方程-3无实数根. （3）可化为，令，作出函数的图象，它与轴只有一个交点，所以方程有两个相等的实数根. （4）可化为，令，作出函数的图象，它与轴有两个交点，所以方程有两个不相等的实数根. 例3 求函数的零点的个数. 解：用计算器或计算机列出，的对应值表，并画出图象. 由表和图可知，，，则，这说明函数在区间内有零点.由于函数在定义域内是增函数，所以它仅有一个零点. 教师指导学生完成例1. 学生求出零点后，讨论如何画出该函数的图象. 学生画出各题的函数图象后再回答. 师生合作交流，体会定理的应用. 师生合作探求解题思路，教师板书解答过程. 通过例1的解决，培养学生对函数零点求法的掌握，以及动手画函数图象的能力. 通过例2的解决，提升利用函数图象判断方程的根及根的个数的能力. 通过对例3的解决，加深对函数零点存在定理的理解.
归纳总结 1.知识方面：零点的概念、求法、判定. 2.数学思想方面：函数与方程的相互转化，即转化思想；借助图象探寻规律，即数形结合思想. 学生归纳，教师补充、点评、完善. 回顾、反思、归纳知识，提高自我整合知识的能力.
课后作业 教材第144页练习第1，2题. 学生独立完成. 固化知识，提升能力.
板书设计
4.5.1 函数的零点与方程的解 （1）画图，利用函数图象探究方程的根与函数图象与轴的交点之间的关系 （2）探究函数的零点所在区间及零点存在区间的端点函数值的正负情况 1.零点的概念 2.函数的零点与方程根的关系 3.二次函数零点的判定 4.函数零点存在定理 例1 例2 例3 小结 1.知识 2.数学思想
教学研讨
此案例紧密结合教材，采用探究学习的模式，使学生能够很快掌握概念.案例还可以从以下几个方面适当展开：
1.教学过程中要多举例子，强化学生对方程的根与函数零点的关系的理解.
2.在例题的选取中要选取的更有代表性.
3.教学中要多让学生进行自主探究.